求导方法总结

1 / 112 求导方法总结 导数大题方法总结 一 总论 一般来说，导数的大题有两到三问。每一个小问的具体题目虽然并不固定，但有相当的规律可循，所以在此我进行了一个答 题方法的总结。 二 主流题型及其方法 *求函数中某参数的值或给定参数的值求导数或切线 一般来说，一到比较温和的导数题的会在第一问设置这样的问题：若 f(x)在 x = k 时取 得极值，试求所给函数中参数的值；或者是 f(x)在 (a , f(a)处的切线与某已知直线垂直，试求所给函数中参数的值等等很多条件。虽然会有很多的花样，但只要明白他们的本质是考察大家求导数的能力，就会轻松解决。这一般都是用来送分的，所以遇到这样的题，一定要淡定，方法是： 2 / 112 先求出所给函数的导函数，然后利用题目所给的已知条件，以上述第一种情形为例：令 x = k， f(x)的导数为零，求解出函数中所含的参 数的值，然后检验此时是否为函数的极值。 注意： 导函数一定不能求错，否则不只第一问会挂，整个题目会一并挂掉。保证自己求导不会求错的最好方法就是求导时不要光图快，一定要小心谨慎，另外就是要将导数公式记牢，不能有马虎之处。 遇到例子中的情况，一道要记得检验，尤其是在求解出来两个解的情况下，更要检验，否则有可能会多解，造成扣分，得不偿失。所以做两个字来概括这一类型题的方法就是：淡定。别人送分，就不要客 气。 求切线时，要看清所给的点是否在函数上，若不在，要设出切点，再进行求解。切线要写成一般式。 *求函数的单调性或单调区间以及极值点和最值 一般这一类题都是在函数的第二问，有时也有可能在第一问，依照题目的难易来定。这一类题问法都比较的简单，一般是求 f(x)的单调区间或函数的单调性，以 及函数的极大值或是笼统的函数极值。一般来说，由于北京市高考不要求二3 / 112 阶导数的计算，所以这类题目也是送分题，所以做这类题也要淡定。这类问题的方法是： 首先写定义域，求函数的导函数，并且进行通分，变为假分式形式。往下一般有两类思路，一是走一步看一步型，在行进的过程中，一点点发现参数应该讨论的范围，一步步解题。这种方法个人认为比较累，而且容易丢掉一些情况没有进行讨论，所以比较推荐第二种方法，就是所谓的一 步到位型，先通过观察看出我们要讨论的参数的几个必要的临介值，然后以这些值为分界点，分别就这些临界点所分割开的区间进行讨论，这样不仅不会漏掉一些对参数必要的讨论，而且还会是自己做题更有条理，更为高效。 极值的求法比较简单，就是在上述步骤的基础上，令导函数为零，求出符合条件的根，然后进行列表，判断其是否为极值点并且判断出该极值点左右的单调性，进而确定该点为极大值还是极小值，最后进行答题。 最值问题是建立在极值的基础之上的，只是有些题要比较极值点与边界点的大小，不能忘记边界点。 注意 : 要注意问题，看题干问的是单调区间还是单调性，4 / 112 极大值还是极小值，这决定着你最后如何答题。还有最关键的，要注意定义域，有时题目不会给出定义域，这时就需要你自己写出来。没有注意定义域问题很严重。 分类要 准，不要慌张。 求极值一定要列表，不能使用二阶导数，否则只有做对但不得分的下 场。 *恒成立或在一定条件下成立时求参数范围 这类问题一般都设置在导数题的第三问，也就是最后一问，属于有一定难度的问题。这就需要我们一定的综合能力。不仅要对导数有一定的理解，而且对于一些不等式、函数等的知识要有比较好的掌握。这一类题目不是送分题，属于扣分题，但掌握好了方法，也可以百发百中。方法如下： 做这类恒成立类型题目或者一定范围内成立的题目的核心的四个字就是：分离变量。一定要 将所求的参数分离出来，否则后患无穷。有些人总是认为不分离变量也可以做。一些简单的题目诚然可以做，但到了真正的难题，分离变量的优势立刻体现，它可以规避掉一些极为繁琐的讨论，只用一些简单的代数变形可以搞定，而不分离变量就要面临着极为麻5 / 112 烦的讨论，不仅浪费时间，而且还容易出差错。所以面对这样的问题，分离变量是首选之法。当然有的题确实不能分离变量，那么这时就需要我们的观察能力，如果还是没有简便方法，那么才会进入到讨论阶段。 分离变量后，就要开始求分离后函数的最大或者最小值，那么这里就要重新构建一个函数，接下来的步骤就和中基本相同了。 注意： 分离时要注意不等式的方向，必要的时候还是要讨论。 要看清是求分离后函数的最大值还是最小值，否则容易搞错。 分类要结合条件看，不能抛开大前提自己胡搞一套。 最后，这类题还需要一定的不等式知识，比如均值不等式，一些高等数学的不等数等等。这就需要我们有足够的知识储备，这样做起这样的题才能更有效率。 构造新函数对新函数进行分析 这类题目题型看似复杂，但其实就是在上述问题之上多了一个步骤，就是将上述的函数转化为了另一个函数，并没有本6 / 112 质 的区别，所以这里不再赘述。 零点问题 这类题目在选择填空中更容易出现，因为这类问题虽然不难，但要求学生对与极值和最值问题有更好的了解，它需要我们结合零点，极大值极小值等方面综合考虑，所以更容易出成填空题和选择题。如果出成大题，大致方法如下： 先求出函数的导函数，然后分析求解出函 数的极大值与极小值，然后结合题目中所给的信息与条件，求出在特定区间内，极大值与极小值所应满足的关系，然后求解出参数的范围。 三 总结 以上就是导数大题的主要题型及方法，当然有很多题型不能完全的照顾到，有很多的创新题型没有涉及，那么如何解决这个问题呢？就是我们要明白导数题的核心是什么。 导数题的核心就是参数，就是对参数的把握，而对参数的理解与分析正是每一道题目的核心。只要我们能够从参数入手，能够对参数进行分析，那么不论一道题有多么的繁琐，我们都能够把握这道题的主线，能有一个明确的脉络，做出题目。所以我总结的导数题的八字大纲，不一定对，但我认为对于解7 / 112 决北京市的高考题有一定的帮助，那就是 “ 分离变量，一步到位 ” 。一切的一切，都应该围绕着参量来展开。相信导数虽然是第 18或者 19题，但也一定会被我们大家淡定的斩于马下。 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量； 2 变更主元； 3根分布； 4判别式法 5、二次函数区间最值求法：对称轴 与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决 “ 不等式恒成立问题 ” 以及 “ 充分应用数形结合思想 ” ，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成8 / 112 立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令f(x)?0 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 第二种：变更主元 -； 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒成立，则称函数 y?f(x)在区间 D上为 “ 凸函数 ” ，已知实数 m是常数，f(x)? x 9 / 112 4 12 ? mx6 3 ? 3x2 2 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为 “ 凸函数 ” ，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为 “ 凸函数 ” ，求 b?a 的最大值 . 解 :由函数 f(x)? 10 / 112 2 x 4 12 ? mx6 3 ? 3x2 2 得 f?(x)? 11 / 112 x 3 3 ? mx2 2 ?3x ?g(x)?x?mx?3 ?y?f(x)在区间 ?0,3?上为 “ 凸函数 ” ， 则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax(x)?0 12 / 112 ?g(0)? ? ?g(3) 0?30 ?m?2 0?9m3?30 2 解法二：分离变量法： 2 当 x?0时 , ?g(x)?x?mx?3?3?0 恒成立 , 2 当 0?x?3 时 , g(x)?x?mx?3?0 恒成立 13 / 112 等价于 m? x?3x3 x 2 ?x? 3x 的最大值恒成立， 而 h(x)?x? ?m?2 是增函数，则 hmax(x)?h(3)?2 (2) 当 m?2时 f(x)在区间 ?a,b?上都为 “ 凸函数 ” 则等价14 / 112 于当 m?2 时 g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 变更主元法 再等价于 F(m)?mx?x2?3?0 在 m?2恒成立 2 0?F(?2)?0?x2?x?3 ?1?x?1 2 ?F(2)?0?2x?x?3?0 ?b?a?2 请同学们参看 2016 第三次周考： 例 2：设函数 f(x)? 15 / 112 13 x?2ax 3 2 ?3ax?b(0?a?1,b?R) 2 求函数 f 的单调区间和极值； 若对任意的 x?a?1,a?2,不等式 f?(x)?a恒成立，求 a 的取值范围 . 解： f?(x)?x?4ax?3a?x?3a?x?a? 2 16 / 112 2 ?0?a?1 令 f?(x)?0,得 f(x)令 f?(x)?0,得 f(x)的单调递减区间为和 当 x=a 时， f(x)极小值 =? 34 a?b; 当 x=3a时， f(x)极大值 =b. 3 22 由 |f?(x)|a ，得：对任意的 x?a?1,a?2,?a?x?4ax?3a?a恒成立 ?gmax(x)?a22 则等价于 g(x)这个二次函数 ? g(x)?x?4ax?3a 的对称轴17 / 112 x?2a ?gmin(x)?a ?0?a?1 , a?1?a?a?2a 即定义域在对称轴的右边， g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 g(x)?x?4ax?3a 在 a?1,a?2 上是增函数 . g(x)max?g(a?2)?2a?(x)min?g(a?1)?4a?4. 2 2 ?1, x?aa?2? 18 / 112 于是，对任意 x?a?1,a?2，不等式 恒成立，等价于 ?g(a?2)?4a?4?a,4 解得 ?a?1. ? 5?g(a?1)?2a?1?a 又 0?a?1, 45 ?a?1. 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： f(x)?g(x)恒成立 ? h(x)?f(x)?g(x)?0 恒成立；从而转化为第一、二种题型 19 / 112 例 3；已知函数 f(x)?x3?ax2 图象上一点 P(1,b)处的切线斜率为 ?3， g(x)?x? 3 t?62 x?(t?1)x?3 2 (t?0) 求 a,b的值； 当 x?1,4时，求 f(x)的值域； 当 x?1,4时，不等式 f(x)?g(x)恒成立，求实数 t 的取值范围。 20 / 112 /?f(1)?3?a?3/2 解： f(x)?3x?2ax? ， 解得 ? b?2b?1?a? 由知， f(x)在 ?1,0上单调递增，在 0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又 f(?1)?4,f(0)?0,f(2)?4,f(4)?16 f(x) 的值域是 ?4,16 令 h(x)?f(x)?g(x)? t2 x?(t?1)x?3 2 x?1,4 2 21 / 112 思路 1：要使 f(x)?g(x)恒成立，只 需 h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6 分离变量 思路 2：二次函数区间最值 二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为 f(x)?0或 f(x)?0在给定 区间上恒成立， 回归基础题型 解法 2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚 “ 在上是减函数 ” 与 “ 函数的单调减区间是 ” ，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例 4：已知 a?R，函数 f(x)? 112 x? 3 a?12 22 / 112 x?(4a?1)x 2 如果函数 g(x)?f?(x)是偶函数，求 f(x)的极大值和极小值； 如果函数 f(x)是 (?, 解： f?(x)? ?)上的单调函数，求 a的取值范围 14 x?(a?1)x?(4a?1). 112 3 x?3x， f?(x)? 2 23 / 112 f?(x) 是偶函数， a?1. 此时 f(x)? 令f?(x)?0，解得： x?2 列表如下： 14 x?3， 2 3. 可知： f(x)的极大值为 f(?23)?43， f(x)的极小值为 f(23)?43. 函数 f(x)是 (?, f?(x)? ?)上的单调函数， 14 24 / 112 x?(a?1)x?(4a?1?)，在给定区间 0 2 2 R 上恒成立判别式法 则 ?(a?1)?4? 14 ?(4a?1)?a?2a?0， 解得： 0?a?2. 2 综上， a的取值范围是 a0?a?2. 例 5、已知函数 f(x)? 13x? 25 / 112 3 12 (2?a)x?(1?a)x(a?0). 2 求 f(x)的单调区间； 若 f(x)在 0， 1上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想 2 f?(x)?x?(2?a)x?1?a?(x?1)( x?1?a). 2 1、当 a?0时 ,f?(x)?(x?1)?0 恒成立 , 26 / 112 当且仅当 x?1 时取 “=” 号， f(x)在 (?,?)单调递增。 2、当 a?0时 ,由 f?(x)?0,得 x1?1,x2?a?1,且 x1?x2, 单调增区间： (?,?1)a ,(?1?,? 单调增区间： (?1a,?1 ) 当 ?f(x)在 0,1上单调递增 , 则 ?0,1?是上述增区间的子集： 1 、 a?0 时， f(x) 在 (?,?) 单调递增 符 合 题 意 2、 ?0,1?a?1,?， ?a?1?0 ?a?1 综上， a 的取值范围是 0， 1。 三、题型二：根的个数问题 题 1函数 f(x)与 g(x)的交点 =即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即 “ 穿线图 ” 和 “ 趋势图 ” 即三次函数的大致趋势 “ 是先增后减再增 ” 还是 “ 先减后增再减 ” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式；主要看极大值和极小值与 27 / 112 0 的关 系； 第三步：解不等式即可； 例 6、已知函数 f(x)? 13x 3 ? (k?1)2 x， g(x)? 2 13 ?kx，且 f(x)在区间 (2,?)上为增函数 28 / 112 求实数 k 的取值范围； 若函数 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围 解：由题意 f?(x)?x2?(k?1)x f(x) 在区间 (2,?)上为增函数， f?(x)?x2?(k?1)x?0 在区间 (2,?)上恒成立 即 k?1?x 恒成立，又 x?2， k?1?2 ，故 k?1k 的取值范围为 k?1 设 h(x)?f(x)?g(x)? h?(x)?x 2 x 3 3 ? 29 / 112 (k?1)2 x 2 ?kx? 13 ， ?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令 h?(x)?0得 x?k 或 x?1由知 k?1， 2 当 k?1 时， h?(x)?(x?1)?0， h(x)在 R 上递增，显然不合题意 ? 当 k?1时， h(x)， h?(x)随 x 的变化情况如下表： 30 / 112 由于故需 ? k 3 k?12 ?0，欲使 f(x)与 g(x)的图象有三个不同的交点，即方程 h(x)?0 有三个不同的实根， 2 6 ? k 2 ? 31 / 112 13 ?0，即 (k?1)(k 2 ?k?1 ?2k?2)?0 ?2 ，解得 k?1? ?k?2k?2?0 3 综上，所求 k的取值范围为 k?1?3 根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、已知函数 f(x)?ax? 3 12 32 / 112 x?2x?c 2 若 x?1是 f(x)的极值点且 f(x)的图像过原点，求 f(x)的极值； 导数的基础知识 一导数的定义： 1.(1).函数 y?f(x)在 x?x0处的导数 :f(x0)?y|x?x?lim f(x0?x)?f(x0) ?x ?x?0 (2).函数 y?f(x)的导数 :f(x)?y?lim 33 / 112 ?x?0 f(x?x)?f(x) ?x ?y?x 2.利用定义求导数的步骤： 求函数的增量： ?y?f(x0?x)?f(x0)； 求平均变化率： 取极限得导数： f(x0)?lim ?y?x ? f(x0?x)?f(x0) ?x ； 34 / 112 ?x?0 二、导数的运算： 基本初等函数的导数公式及常用导数运算 公式： C?0(C为常数 )； (x)?nx n n?1 ； ( 1x n m )?(x 35 / 112 x ?n )? nx x ?n?1 ； ?(x)? x n mn m 36 / 112 x n ?1 (sinx)?cosx ； (cosx)?sinx (e)?e (a)?alna(a?0, 且 a?1)； (lnx)? 1 xxlna 法则 1： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)； (口诀：和与差的导数等于导数的和与差 ). x ； (logax)? 1 37 / 112 (a?0,且 a?1) 法则 2： f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号 ) 法则 3： f(x)g(x) ? f(x)?g(x)?f(x)?g(x) g(x) 2 (g(x)?0) (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号 ) 复合函数 y?f(g(x)的导数求法： 换 元 ， 令 u?g(x) ，则 y?f(u) 分 别 求 导 再 相 乘38 / 112 y?g(x)?f(u)? 回代 u?g(x) 题型一、导数定义的理解 题型二：导数运算 1、已知 f ?x? x x?2x?sin?，则 f 2 ?0? 2、若 f?x? 10 esinx ，则 f 13 39 / 112 ?x? (x)=ax3+3x2+2 ， f?(?1)?4，则 a= 33 三导数的物理意义 A. B. 1.求瞬时速度：物体在时刻 t0时的瞬时速度 V0就是物体运动规律 S?f?t?在 t?t0 时的导数 f?t0?， 即有 V0?f?t0?。 / s(t) 表示即时速度。 a=v(t) 表示加速度。 四导数的几何意义： 40 / 112 函数 f?x?在 x0 处导数的几何意义，曲线 y?f?x?在点P?x0,f?x0?处切线的斜率是 k?f?x0?。于是相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0?。 题型三用导数求曲线的切线 注意两种情况： 曲线 y?f?x?在点 P?x0,f?x0?处切线：性质： k切线 ?f?x0?。相应的切线方程是： y?y0?f?x0?x?x0? 曲线 y?f?x?过点P?x0,y0?处切线：先设切点，切点为 Q(a,b) ,则斜率k=f(a)，切点 Q(a,b) 在曲线 y?f?x?上，切点 Q(a,b)在切线 y?y0?f?a?x?x0?上，切点 Q(a,b)坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率 k=f(a)，确定切线方程。 例题在曲线 y=x3+3x2+6x-10 的切线中，求斜率最小的切线方程； 解析： k?y|x?x?3x02?6x0?6?3(x0?1)2?3 当 x0=-1时， k有最小值 3， 此时 P 的坐标为故所求切线的方程为 3x-y-11=0 五函数的单调性：设函数 y?f(x)在某个区间内可导， 41 / 112 f(x)?0?f(x)该区间内为增函数； f(x)?0?f(x)该区间内为减函数； 注意：当 f(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正时， f(x)在这个区间上仍是递增的。 f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 题型一、利用导数证明函数 f(x)在某一区间上单调性： 步骤： 求导数 y?f?(x) (2)判断导函数 y?f?(x)在区间上的符号 (3)下结论 f(x)?0?f(x) 该区间内为增函数； f(x)?0?f(x) 该区间内为减函数； 题型二、利用导数求单调区间 求函数 y?f(x)单调区间的步骤为： 分析 y?f(x)的定义域； 求导数 y?f?(x) 解不等式f?(x)?0，解集在定义域内的部分为增区间 解不等式42 / 112 f?(x)?0，解集在定义域内的部分为减区间 题型三 、利用单调性求参数的取值 思路一 .f(x)在该区间内单调递增 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； f(x)在该区间内单调递减 ?f(x)?0 在该区间内恒成立； 思路二 .先求 出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子 集。 注意：若函数 f在上为减函数，在上为增函数，则 x=c两侧使函数 f?变号，即 x=c为函数的一个极值点，所以 f(c)?0 例题若函数 f(x)? lnxx ，若 a?f(3),b?f(4),c?f(5)则 ( ) 43 / 112 A. a 六、函数的极值与其导数的关系： 1. 极值的定义：设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且若对x0附近的所有的点都有 f(x)?f(x0)值， x0为极大值点。 可导数 f(x)在极值点，但函数 f(x)在某点 x0处的导数为 0，并不一定函数 f(x)在 x0处的导数为 0 3 该处取得极值。 求极值的步 骤： 第一步：求导数 f(x)； 第二步：求方程 f(x)?0的所有实根； 第三步：列表考察在每个根 x0附近，从左到右，导数 f(x)的符号如何变化， 若 f(x)的符号 由正变负，则 f(x0)是极大值； 若 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值； 若 f(x)的符号不变，则 f(x0)不是极值， x0不是极值点。 2、函数的最值： 44 / 112 最值的定义：若函数在定义域 D 内存 x0，使得对任意的x?D，都有 f(x)?f(x0)，则称 f(x0)为函数的最大值， 记作ymax?f(x0) 如果函数 y?f(x)在闭区间 a,b上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间 a,b上必有最大值和最小值。 求可导函数 f(x)在闭区间 a,b上的最值方法： 第一步；求 f(x)在区间 a,b内的极值； 第二步：比较 f(x)的极值与 f(a)、 f(b)的大小： 第三步：下结论 :最大的为最大值，最小的为最小值。 注意： 1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最小值点可以在极值 点、不可导点、区间的端点处取得。极值 最值。函数 f(x)在区间 a,b上的最大值为极大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。最小值为极小值和 f(a) 、 f(b)中最小的一个。 2函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值 45 / 112 3、注意：极大值不一定比极小值大。如 f(x)?x? / / 1x 的极大值为 ?2，极小值为 2。 注意：当 x=x0时，函数有极值 ? f(x0) 0。但是， f(x0)0 不能得到当 x=x0 时，函数有极值； 判断极值，还需结合函数的单调性说明。 题型一、求极值与最值 题型二、导数的极值与 最值的应用 题型四、导数图象与原函数图象关系 导函数 原函数 f(x)的符号 f(x)单调性 f(x)与 x 轴的交点且交点两侧异号 f(x)极值 46 / 112 f(x)的增减性 f(x)的每一点的切线斜率的变化趋势 f(x)的增 f(x)的每一点的切线斜率增大 f(x)减 f(x)的每一点的切线斜率减小 例 1. 已知 f(x)=e-ax-1. 求 f(x)的单调增区间； 若 f(x）在定义域 R内单调递增，求 a 的取值范围； 是否存在 a,使 f(x)在上单调递增？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由 . 解： f?(x) x =e-a. 若 a0 ， x x 47 / 112 x f?(x) =e-a0 恒成立，即 f(x)在 R 上递增 . x 若 a0,e-a 0, e a,x lna. f(x)的单调递增区间为(lna,+ ). f 在 R内单调递增， x x f?(x) 0 在 R上恒成立 . 48 / 112 x x e-a 0，即 a e 在 R 上恒成立 . a min，又 e0， a 0. 由题意知， x=0为 f(x)的极小值点 . 3 2 f?(0) =0,即 e-a=0, a=1. 23 例 2. 已知函数 f(x)=x+ax+bx+c,曲线 y=f(x）在点 x=1处的切线为 l:3x-y+1=0，若 x=时， y=f(x）有极值 .求 a,b,c 的y=f(x）在 -3， 1上的最大值和最小值 . 解 由f(x)=x+ax+bx+c,得 49 / 112 3 2 f?(x) =3x+2ax+b, 2 当 x=1 时 ， 切 线 l 的斜率为 3 ， 可 得 2a+b=0 当 x=时， y=f(x)有极值，则 32 ?2?f?3? =0,可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 x=1, f(1)=4.1+a+b+c=4. c=5. 由可得 f(x)=x+2x-4x+5, 50 / 112 3 2 f?(x) =3x+4x-4, 2 f?(x) =0,得 x=-2,x=. 3 2 当 x 变化时 ， y,y的取值及变化如下表： x 51 / 112 -3 (-3,-2) + 单调递增 -2 0 13 2? ?2,? 3? 23 ?2? ?,1?3? 1 4 y y 52 / 112 8 - 单调递减 9527 + 单调递 增 9527 . y=f在 -3， 1上的最大值为 13，最小值为 例 3.当 x?0，证明不等式证明： f(x)?ln(x?1)? x1?x ?ln(1?x)?x. 53 / 112 x(1?x) 2 x1?x ， g(x)?ln(x?1)?x，则 f?(x)?， x1?x ?0， 当 x?0 时。 ?f(x)在 ?0,?内是增函数， ?f(x)?f(0)，即ln(1?x)?又 g?(x)? ?x1?x ，当 x?0 时， g?(x)?0， ?g(x)在 ?0,?内是减函数， ?g(x)?g(0)，即 ln(1?x)?x?0，因 x1?x 54 / 112 ?ln(1?x)?x 成立 . x1?x 此，当 x?0时，不等式 点 评 ： 由 题 意 构 造 出 两 个 函数 f(x)?ln(x?1)? ，g(x)?ln(x?1)?x. 利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键 . 七定积分求值 1定积分的概念 设函数 f(x)在区间 a,b上连续，则 ?f(x)dx?lim ab n 55 / 112 n? ?f? i i?1 b?an n n 等分区间 ?a,b?； 2.用定义求定积分的一般方法是：分割：近似代替：取点 ?i?xi?1,xi?；求和： ? i?1 b?an f(?i)； 取极限： ?f(x)dx?lim 56 / 112 a b n n? ? i?1 f?i? b?an 0,S? ba 3.曲边图形面积： f?x?0,S? 57 / 112 t2t1 ? ba f ?x?dx； f?x? f ?x?dx 在 x 轴上方的面积取正，下方的面积取负 变速运动路程S? 4定积分的性质 性质 1 ?kf(x)dx?k?f(x)dx 58 / 112 a a b b ? v(t)dt； 变力做功 W? ? ba F(r)dr 性质 2 ?f1(x)?f2(x)dx? ab 59 / 112 c b ? bab f1(x)dx? ? ba f2(x)dx 性质 3 ?f(x)dx? a ? 60 / 112 a f(x)dx? ? c f(x)dx(其中 a?c?b) b b 5.定理 函数 F(x)是 a,b上 f(x)的一个原函数，即f(x)?F?(x)则 ?f(x)dx?F(x)|a?F(b)?F(a) a 导数各种题型方法总结 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 61 / 112 1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法 5、二次函数区间最值求法： 对称轴与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 同学们在看例题时，请注意寻找关键的等 价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f(x)?0 得到两个根； 第二步：画两图 或列表； 第三步：由图表可知； 62 / 112 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论 第二种：变更主元 -； 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的 导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒 2 成立，则称函数 y?f(x)在区间 D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， f(x)?x 4 3 3x12 ? mx6 63 / 112 ? 2 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为“凸函数”，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为“凸函数”，求 b?a的最大值 . 解 :由函数 f(x)? x 4 mx3 2 2 12 64 / 112 ? 6 ? 3x2 得 f?(x)? x 3 mx3 ? 2 ?3x 65 / 112 ?g(x)?x2 ?mx?3 ?y?f(x)在区间 ?0,3?上为“凸函数”， 则 ?g(x)?x2 ?mx?3?0 在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 gmax(x)?0 ?g(0) ?0? 0?30 66 / 112 ?g(3) ?m3?3?0 m?2 ?9 解法二：分离变量法： 当 x?0时 , ?g(x)?x2 ?mx?3?3?0 恒成立 , 当 0?x?3 时 , g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 2 等价于 m? x?3x ?x? 3x 67 / 112 的最大值恒成立， 而 h(x)?x? 3x 是增函数，则 hmax(x)?h(3)?2 ?m?2 (2)当 m?2 时 f(x)在区间 ?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当 m?2时 g(x)?x2 ?mx?3?0 恒成立 变更主元法 再等价于 F(m)?mx?x2 ?3?0在 m?2 恒成立 68 / 112 2 ?F(?2)? 0?x2?x?3? ?0?F(2)?0 ?1?x?1 ?2x?x2 ?3?0 ?b?a?2 例 2：设函数 f(x)? 13 2 3 69 / 112 x?2ax 2 ?3ax?b(0?a?1,b?R) 求函数 f 的单调区间和极值； 若对任意的 x?a?1,a?2,不等式 f?(x)?a恒成立，求 a 的取值范围 . 解： f?(x)?x2?4ax?3a2 ?x?3a?x?a? ?0?a?1 导数题型总结 体型一 : 70 / 112 关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2 变更主元； 3根分布； 4判别式法 5、二次函 数区间最值求法：对称轴 与定义域的关系 端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最 值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 f(x)?0得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨 论 第二种：变更主元 -； 71 / 112 例 1：设函数 y?f(x)在区间 D 上的导数为 f?(x)， f?(x)在区间 D 上的导数为 g(x)，若在区间 D 上， g(x)?0 恒成立，则称函数 y?f(x)在区间 D上为“凸函数”，已知实数 m x4mx33x2 ?是常数， f(x)? 1262 若 y?f(x)在区间 ?0,3?上为“凸函数”，求 m的取值范围； 若对满足 m?2 的任何一个实数 m，函数 f(x)在区间 ?a,b?上都为“凸函数”，求 b?a的最大值 . x4mx33x2x3mx2 ?3x 解 :由函数 f(x)? 得 f?(x)?126232 ?g(x)?x2?mx?3 72 / 112 ?y?f(x)在区间 ?0,3?上为“凸函数”， 则 ?g(x)?x2?mx?3?0 在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的 区间最值入手：等价于 gmax(x)?0 ? 解法二：分离变量法： 当 x?0时 , ?g(x)?x2?mx?3?3?0 恒成立 , 当 0?x?3时 , g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 ?g(0)?0?3?0 ?m?2 ?g(3)?0?9?3m?3?0 73 / 112 x2?33 ?x?的最大值恒成立， 等价于 m?xx 而 h(x)?x? 3 是增函数，则 hmax(x)?h(3)?2 x ?m?2 (2)当 m?2 时 f(x)在区间 ?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当 m?2 时 g(x)?x2?mx?3?0 恒成立 变更主元法 再等价于 F(m)?mx?x2?3?0 在 m?2恒成立 2 ?F(?2)?0?2x?x?3?0 74 / 112 ?1?x?1 ?2 ?2x?x?3?0?F(2)?0? ?b?a?2 例 2：设函数 f(x)? 13 x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3 求函数 f 的单调区间和极值； 若对任意的 x?a?1,a?2,不等式 f?(x)?a恒成立，求 a 的取值范围 . 解： f?(x)?x2?4ax?3a2?x?3a?x?a? ?0?a?1 令 f? 75 / 112 (x)?0,得 f(x)的单调递增区间为 令 f?(x)?0,得 f(x)的单调递减区间为和 当 x=a 时， f(x)极小值 =? 2 33 a?b; 当 x=3a时， f(x)极大值 =b. 4 2 由 |f?(x)| a，得：对 任意的 x?a?1,a?2,?a?x?4ax?3a?a恒成立 则等价于 g(x)这个二次函数 ? ?gmax(x)?a 76 / 112 g(x)?x2?4ax?3a2 的对称轴 x?2a ?gmin(x)?a ?0?a?1 , a?1?a?a?2a 即定义域在对称轴的右边， g(x)这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 g(x)?x2?4ax?3a2 在 a?1,a?2上是增函数 . g(x)max?g(a?2)?2a?1. ?1, x?aa?2? g(x)min?g(a?1)?4a?4. 于是，对任意 x?a?1,a?2，不等式恒成立， 77 / 112 等价于 ?g(a?2)?4a?4?a,4 解得 ?a?1. ? 5?g(a?1)?2a?1?a 又 0?a?1, 4 ?a?1. 5 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴与定义域的关系 第三种：构造函数求最值 题型特征： f(x)?g(x)恒成立 ?h(x)?f(x)?g(x)?0 恒成立；从而转化为第一、二种题型 78 / 112 例 3；已知函数 f(x)?x3?ax2 图象上一点 P(1,b)处的切线斜率为 ?3， g(x)?x3? t?62 x?(t?1)x?32 (t?0) 求 a,b的值； 当 x?1,4时，求 f(x)的值域； 当 x?1,4时，不等式 f(x)?g(x)恒成立，求实数 t 的取值范围。 /?f(1)?3?a?3/2 解： f(x)?3x?2ax ?， 解得 ? 79 / 112 b?2b?1?a? 由知， f(x)在 ?1,0上单调递增，在 0,2上单调递减，在2,4上单调递减 又 f(?1)?4,f(0)?0,f(2)?4,f(4)?16 f(x)的值域是 ?4,16 令 h(x)?f(x)?g(x)? t2 x?(t?1)x?32 x?1,4 2 思路 1：要使 f(x)?g(x)恒成立，只需 h(x)?0，即t(x?2x)?2x?6 分离变量 思路 2：二次函数区间最值 二、参数问题 题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为 f(x)?0或 f(x)?0在给定区间上恒成立， 回80 / 112 归基础题型 解法 2：利用子区间；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在上是减函数”与“函数的单调减区间是”，要弄清楚两句话的区别：前者是后者的子集 例 4：已知 a?R，函数 f(x)? 13a?12 x?x?(4a?1)x 122 如果函数 g(x)?f?(x)是偶函数，求 f(x)的极大值和极小值； 如果函数 f(x)是 (?,解： f?(x)? ?)上的单调函数，求 a的取值范围 12 x?(a?1)x?(4a?1). 4 81 / 112 131 x?3x， f?(x)?x2?3， f?(x)是偶函数， a?1. 此时 f(x)? 124 令 f?(x)?0 ， 解 得 ： x?23. 列 表如下： 可知： f(x)的极大值为 f(?2)?4， f(x)的极小值为 f(2)?43. 函数 f(x)是 (?, f?(x)? ?)上的单调函数， 12 x?(a?1)x?(4a?1)?0，在给定区间 R 上恒成立判别式法 4 82 / 112 122 则 ?(a?1)?4?(4a?1)?a?2a?0， 解得： 0?a?2. 4 综上， a的取值范围是 a0?a?2. 例 5、已知函数 f(x)? 131 x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32 第一章 导数及其应用 一， 导数的概念 1.已知 f(x)?1 ,则 f(2?x)?f(2) x 83 / 112 ?lim x?0 ?x 的值是 A. ?1 4 B. 2 C. 14 D. 2 变式 1：设 f?3?4,则 limf?3?h?f?3?为 h?02h A 2 84 / 112 C 3 D 1 变式 2：设 f?x?在 x0可导 ,则 ?lim