链式法则与隐式求导法总结

1 / 52 链式法则与隐式求导法总结 求 求 导 法 则 歌 诀 一 . 求导法则 常数导数恒为零，其它法则逐记清。 (6)y?f(u),u?(x)?yx?f(u)?(x) nn?1加减乘除 复合导，具体问题各分明： 和差之导导和差，常数提取与导乘； 积导项数因式数，因式变导逐一轮。 商导分式切辨明，分母平方而后成： 分子导后分母乘，分母导后分子乘， 前者被减减后者，差作分子多思寻。 复函求导法则链，逐层求导积一群。 二 . 幂函数求导 2 / 52 幂函求导勿忘掉，先把幂函指减少， 再 把原指作乘数，两者之积便是导。 三 . 指数函数求导 指函求导切记住，导为自乘某对数： 对数取 e 为底数，指函原底作真数。 四 . 对数函数求导 对数导数莫记错，先写真数之到数， 原底不动真换 e，两者乘积为导数。 五 . 反函数和隐函数求导 若对反函求其导，原函导倒即行了； 隐函两边同求导，灵活变通觅技巧。 六 . 三角函数求导 正弦余弦互为导，余弦导数有负号； 割函平方切函导，余3 / 52 切导数也负号； 自乘切函割函导，余割导数又负号。 七 . 双曲函数求导 双曲函数导也妙，类同三角似可抄。 正负符号很重要，余切割函是负号。 公 式 1c?0 (2) (cu)?cu (3) (u?v?w)?u?v?w (4) (uvw)?uvw?uvw?uvw (5) (u )? vu?uv vv 2 4 / 52 (v?0) (7)(x)?nx (8)(ax)?ax?lna (ex)?ex (9)(log11ax)?xlonae? xlna (lnx)?1x (10） y x? 1 x y (11） y?xx ? 取 e 为底 lny?xlnx?两边求导 ?y 5 / 52 y ?1?lnx?y?xx(1?lnx) (12) x=(t)y=?(t) (t) ?dy?(t)dx? ?(t) (13)(sinx)?cosx， (cosx)?sinx (14)(tanx)?sec2x， (cotx)?csc2x (15)(secx)?secxtanx (cscx)?cscxcotx (16)(arcsinx)cosx)?(arctanx)? 11? x2,(arccotx)?1 1?x2 6 / 52 (arcsecx)ecx)?*(17)(shx)?chx,(chx)?shx (thx)?sech2 x,(cthx)?csch2 x (sehcx?)?thxsech,x(ce?c)h?xcct hsxhx 四、基本求导法则与导数公式 . 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 ? (1) (C)?0 ? (3) (sinx)?cosx 7 / 52 (5) ?1 ?(x)?x (2) ? (4) (cosx)?sinx (6) (tanx)?sec2x (cotx)?csc2x ? (7) (secx)?secxtanx xx ?(a)?alna (9) ? (8) (cscx)?cscxcotx xx 8 / 52 ?(e)?e (10) (11) (logax)? 1 xlna (lnx)? (12) 1x， (arcsinx)? (13) 1?x2 9 / 52 11?x2 (14) (arccosx)? 1?x2 11?x2 (arctanx)? (15) (arccotx)? (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设 10 / 52 u?u(x)， v?v(x)都可导，则 (u?v)?u?v? (uv)?u?v?uv? (Cu)?Cu? ? ?u?u?v?uv?2vv? 反函数求导法则 若函数 x?(y)在某区间 Iy内可导、单调且 ?(y)?0，则它的反函数y?f(x)在对应 I 区间 x内也可导，且 11 / 52 dy1?dx1dxf?(x)? dy ?(y) 或 复合函数求导法则 设 y?f(u)，而 u?(x)且 f(u)及 ?(x)都可导，则复合函数y?f?(x)的导数为 dydydu ?(x) dxdudx 或 y?f?(u)? . 双曲函数与反双曲函数的导数 . 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出 可以推出下表列出的公式： 对数求导法 12 / 52 对数求导的法则 根据隐函数求导的方法，对某一函数先取函数的自然对数，然后在求导。 注：此方法特别适用于幂函数的求导问题。 例题：已知 x 0，求 此题若对其直接求导比较麻烦，我们可以先对其两边取自然对数，然后再把它看成隐函数进行求导，就比较简便些。如下 解答：先两边取对数： 把其看成隐函数，再两边求导 因为 ，所以 例题：已知 13 / 52 ，求 此题可用复合函数求导法则进行求导，但是比较麻烦，下面我们利用对数求导法进行求导 解答：先两边取对数 再两边求导 因为 ，所以 隐函数及其求导法则 我们知道用解析法表示函数，可以有不同的形式 . 14 / 52 若函数 y 可以用含自变量 x的算式表示，像 y=sinx， y=1+3x等，这样的函数叫显函数 .前面我们所遇到的函数 大多都是显函数 . 一般地，如果方程 F(x,y)=0 中，令 x 在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的 y 值存在，则我们就 说方程 F(x,y)=0 在该区间上确定了 x 的隐函数 y. 把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化。 注：有些隐函数并不是很容易化为显函数的 ，那么在求其导数时该如何呢？ 下面让我们来解决这个问题！ 隐函数的求导 若已知 F(x,y)=0，求时，一般按下列步骤进行求解： 的形式，则用前面我们所学的方法进行求 a)：若方程 F(x,y)=0 15 / 52 ，能化为导； b)：若方程 F(x,y)=0 ，不能化为并把 y 看成 x 的函数 ， 的形式，则是方程两边对 x进行求导， 用复合函数求导法则进行。 例题：已知，求 解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法 . 两边对 x 进行求导， 16 / 52 故 = 注：我们对隐函数两边对 x进行求导时，一定要把变量 y 看成 x 的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。 例题：求隐函数 解答：两边对 x 求导 ，在 x=0处的导数 故 当 x=0时， y=0.故 2 求导法则 上一节我们讲述了导数 的相关知识 ,要求大家：深刻理解导数概念 ,能准确表达其定义 ;明确其物理、几何意义 ,会求曲线上一点的切线方程 ;能够从定义出发求某些函数的导数 ;知道导数与导函数的区别和联系 ;明确导数与单侧导数 ,可导与连续的关系 .特别要注意 ,要学会从导数定义出发求某17 / 52 些导数的导数 .例如 ,我们上节课已计算出左边所列的导函数 ,并且我们知道 ,计算函数在一点的导数或某区间上的导函数归结为极限的计算 .因此 ,从理论上来讲 ,给了一个函数 ,总可用定义求其导数 .但从我们计算左边几个函数的经验知道 ,用定义计算函数的导数是比较繁琐的 .试想对基本初等函数的 导数计算都如此繁琐 ,对一般的初等函数更是不可想象 . 因此 ,我们不能满足于只用导数定义求导数 ,而应去寻找一些求导数的一般方法 ,以便能较方便地求出初等函数的导数 .在给出较一般的方法之前 ,先看以下函数如何求导数： f1(x)?sinx?cosx g1(x)?sin2x f2(x)?sinx?cosx g2(x)?sin(ax) f3(x)? cosx g3(x)?arcsinx logax 18 / 52 f4(x)?csinx g4(x)?arccosx 一、导数的四则运算 问题 1 设 f(x)?sinx?cosx,求 f(x). 分析 利 用 导 数 的 定 义 及 极 限 的 四 则 运 算知 ,f(x)?cosx?sinx?(sinx)?(cosx).即 (sinx?cosx)?(sinx)?(cosx) 一般地 ,有如下和的导法则： 定理 1 设 f(x),g(x) 在 x 点可导 , 则 f(x)?g(x)?f?(x)?g?(x) 证明 令 y(x)?f(x)?g(x) ?yf(x?x)?g(x?x)?f(x)?g(x)?x?x f(x?x)?f(x)g(x?x)?g(x)? 19 / 52 ?x?x ?f?(x)?g?(x)当 ?x?0时。 问题 2 设 f(x)?sinx?a, 则f(x)?(sinx)?(a)?cosx?a?lna 对吗？ x x x 分析 一般地 ,有如下乘 积的求导法则： 定理 2设 f(x),g(x)在 x 点可导 ,则 f(x)?g(x)?f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) 证明 令 y(x)?f(x)?g(x) ?yf(x?x)?g(x?x)?f(x)?g(x)?x?x 20 / 52 ( 分子 ?f(x)?g(x?x)?f(x)?g(x?x)f(x?x)?f(x)g(x?x)?g(x) ?g(x?x)?f(x) ?x?x ?f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)当 ?x?0 时。 ? 推论 1 (u(x)v(x)w(x)(x0)?u(x0)v(x0)w(x0)?u(x0)v(x0)w(x0)?u(x0)v(x0)w(x0). 推论 2 若函数 v(x)在 x0 知 可导 ,C 为常 数 , 则(cos(x)x?x0?C?v(x0). ax 问题 3 设 f(x)?,求 f(x). 21 / 52 logax 一般地 ,存如下商的运算法则： 定理 3 设 f(x),g(x)在 x 点可导 ,则 ?f(x)?f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x) ?g(x)?g2(x)?. 1 y(x)? g(x) 证明 令 ?y1?11? ?x?x?g(x?x)g(x)? g(x?x)?g(x)1? 22 / 52 ?xg(x?x)g(x)g?(x)?2 当 ?x?0 时。 g(x) f(x)1 ?f(x)? g(x) 给出 . g(x) ?n ?n? fi(x)?fi?(x)?i?1? 推论 (1) cf(x)?cf(x). (2) ?i?1. ?n ?n? ?fi(x)?Kk(x),?j?1?k?1 (3) 23 / 52 ?.利用导数的四则运算法则举例 . Kk(x)?f1(x)?fk?(x)?fn(x) . 例 1 f(x)?x3?5x2?9x?, 求 f(x),f(0). 例 2 y?cosxlnx,求 y 2 x? . 例 3 证明： (x?n)?nx?n?1,n?N. 2 ? 例 4 证明： (tanx)?secx,(cotx)?cscx. 24 / 52 例 5 证明： (secx)?secxtanx,(cscx)?cscxcotx. ?.利用导数的四则运算法则求导数举例： 1 f(x)?x?sinx; 2 f(x)?x?sinx?cosx; 3 f(x)?2x; 4 f(x)?xcosx; 23 5 f(x)?xsinx?7x; 6 f(x)?x?x?xcosx; 2 2 2 3 7 f(x)?xsinx?lnx? 2 25 / 52 tgx5sinx?3tgx ; 8 f(x)?; xx exsinx 9 y?x2lnx. (来自 : 海 达范文网 :链式法则与隐式求导法总结 ) 1?tgx 二、反函数的导数 问题 1 设 f(x)?arcsinx,求 f(x). y?(c,d)点可导 ,且 定理 4 设 x?(y)在区间 (c,d)上连续 ,严格上升 ,在 0 ?(y0)?0, x0?(y0).则反函数 y?f(x)在 x0点可导 ,且 26 / 52 f?(x0)? 11 ? ?(y0)?f(x0). 注 若 x?(y)在 (c,d)可导 ,导数 ?0(或 ?0),则反函数 y?f(x)存在 ,且 f?(x)? 111 ? ?(y)?f(x)?(y)y?f(x) . 这里导数 ?0(或 ?0)可推出 ?(y)严格上升 ,反函数之导数 公式也可写成 27 / 52 dydx x?x0 ? 1dy . lim 定理的证明 要证 f(x)?f(x0)x?x0 存在 ,注意到这个比式是函数 g(y)? 的复合 ,由定理条件知 y?y0 28 / 52 ?(y)?(y0) 与 y?f(x) f(x)?f(x0)1?lim?y?y0?(y)?(y)y?y0?(y0)0 y?y0lim . 再由反函数连续性 , x?x0 x?x0时 ,y?y0,由复合函数求极限定理得 f(x)?f(x0)1 ?limgf(x)?limg(y)?x?x0y?y0x?x0?(y0). 1y ? 29 / 52 (logay)?y?axlogae ?axlna ,反过来 ,如果 lim x y?a(a?0,a?1),求 y?. 例 6 x?logay, 解 (ax)?已知 ,也可求 ? (ax)? 30 / 52 y?ax (logax)? logae11 ? (ax)?x?logayaxlnay. 例 7 y?x,求 y?. 解 y?e ?lnx y? , ?lnxe?x?1 31 / 52 x . 例 8 y?arcsinx,求 y?. 解 x?siny, (arcsinx)? 1 (siny)?y?arcsinx 例 9 y?arccosx,求 y?. 例 10 y?arctgx,求 y?. 1 cos(arcsinx)1?。 2 ?x? 32 / 52 三、复合函数的导数 问题 1 设 f(x)?sin2x,求 f(x);2） . 设 f(x)?sin(ax),求f(x);3） . 设 f(x)?x?,求 f(x). 定理 5 设导 ,且 f?(u0)与 g?(x0)存在 ,u0?g(x0),则复合函数 F(x)?fg(x)在 x0点可 F?(x0)?f?g(x0)?g?(x0). 注 若 f(u)的定义域包含 u?g(x)的值域 ,两函数在各自的定义域上可导 ,则复合函数 F(x)?fg(x) 在 g(x) 的 定 义 域 上 可 导 , 且F?(x)?f?g(x)?g?(x)或 dydydu?y?y?ududx. xux, dx 33 / 52 定理的证明 定义函数 ?f(u)?f(u0) ,u?u0,? u?uA(u)?0 ?f?(u),u?u0。 0? limA(u)?A(u0)?f?(u0) A(u)在 u0点连续 ,u?u0 . 由恒等式 , f(u)?f(u0)?A(u)(u?u0),我们有 F(x)?F(x0)fg(x)?fg(x0)g(x)?g(x0) ?Ag(x)? 34 / 52 x?x0x?x0x?x0 x?x0,得 F?(x0)?f?g(x0)?g?(x0). 令 我们引进 A(u)是为了避免再直接写表达式 F(x)?F(x0)f(u)?f(u0)g(x)?g(x0) ? x?x0u?u0x?x0 x?x0时 ,可能会出现 u?u0 情况 . 中当 例 1 y?x,求 y?. 解 ?1122 ?y?(1?x)(1?x2)?2 1?1 35 / 52 ?(1?x2)2(?2x)2 x?。 2 ?x 2 例 2 y?sinx,求 y?. 1 2 考研高等数学：隐函数求导法则总结 隐函数求导问题基本是考研数学必考知识点，小题和大题中都会涉及到。下面凯程教育数学老师对隐函数求导这部分的法则进行了总结，希望广大 2016考研备考学员充分利用。 2016年考研数学高分规划 36 / 52 近几年的考研数学大纲基本没有变化。对于选择题仍然考查考生的基本计算能力、基本逻辑推导能力等 ;填空题考查基本计算能力 ;而计算题考查基本计算能力、简单的应用能力和证明能力等。我们考生在复习时，一定要以国家考试中心的考试大纲为标准，严格按照规定的考 点及层次去复习，至今命题的核心是考察两个层次的问题，一个是基本概念、基本理论、基本方法，也就是 “ 三基 ” ，这些题目占到 80%以上 ;再一个就是知识的运用能力，所以凯程教育数学辅导专家提醒考生考研数学复习的准备也应该从这样两个方面去针对性的复习。 第一个层次 扎实的基础知识。对于考试大纲中规定的所有考点，一定要系统、完备的理解和掌握，特别要注意课本外的理解和延展，结合一些基础题目去真正理解这些知识点以及了解这些知识点的使用条件等。 第二个层次 知识的灵活运用。如果仅是依靠教材，很难把这种考试命题的特点归纳总结出来，因此要了解考试必须熟悉历年考试真题，通过真题的分析帮助自己真正的归纳总结一些题型，再针对每一类问题去分析。根据真题，总结常考的题型及每种题型相应的解决 方法有哪些，去总结和归纳，借助于题型再进一步完善知识点的理解和掌握。 37 / 52 不管进行哪个层次的复习，都必须保证一定的题量。不通过一定的题量练习稳固知识基础，也很难把握知识的灵活运用，所以建议大家找一些典型的题做一 些训练，通过这种练习来反馈我们知识的把握情况，同时还能更好的掌握这些相关的知识。 根据命题考核层次及学习的科学规律，我们总的来说把复习规划可以分为三个阶段： 第一个阶段是基础阶段。这个阶段的长短应该根据自己的情况来实施，基础好一点的同学，这个时间可以短一点，基础差一点的同学，这个阶段可以长一点。但是要提醒大家，这个基础阶段的时间不能太长，不能到了十月、十一月份还在打基础，那这样的话，复习的效 率就太低了，我们建议基础再差的同学也要尽量在五、六月份把这个教材的打基础复习的阶段做完。 第二个阶段是强化阶段。看一些提高类的辅导书和针对考研的这种考试参考书，按照题型分类。教材和参考书在复习上是有差异的，教材是不跨章节的，也就是你在看第六章的时候，例题也好，习题也好，不可能用到第六章以后的知识，考研的题是同学们上完全部课程，都学完了才来考试的，所以仅看教材的话就有些不足，难以提高自己的水平。而 参考38 / 52 书已经将所有知识进行了综合整理，对于考研这个层次的数学知识来说哪些是重点、哪些是难点它都做了归纳总结，同学们要多花时间充分利用参考书复习透彻。 第三个阶段是冲刺阶段。通过强化阶段的复习，考生已经达到了一定的水平，那么怎么样保持这个水平呢 ?通过做适当的题，比如历年真题或是做模拟题，这个叫做总复习，或者说是冲刺的阶段。这个阶段什么时候开始是同学们关心的，一般来说，考生可以在十月份中旬以后，甚至十 一月份以后作为准备冲刺的阶段。这个阶段大家必须要做 10到 15年的真题，先做第一遍，每天上午利用 3 个小时的时间，完全模拟真正的考试，完整的做一套卷子，这样下午去总结和归纳，第二天做第二套，一直下午，基本半个月一遍结束，然后重新开始再做第二遍，也从第一套开始，下午总结的时候看看是不是第一遍错的地方第二遍纠正过来了，对于两遍都错的地方要特别留意。真题做完之后必须要做 5套模拟题，以及调整心理和生理的备考状态，在真正考试时，让自己充分发挥出来。 凯程教育： 凯程考研成立于 XX 年，国内首家全日制集训机构考研，一39 / 52 直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授 、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯； 凯程考研的价值观口号：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 如何选择考研辅导班： 40 / 52 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯 程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下 2016 五道口金融学院 状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士 10人，人大金融硕士 15个，中财和贸大金融硕士合计 20 人，北师大教育学 7 人，会计硕士保录班考取 30人，翻译硕士接近 20人，中传状元王园璐、41 / 52 郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科 都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 建校历史：机构成立的历史也是一个参考因素，历史越久，积累的人脉资源更多。例如，凯程教育已经成立 10 年，一直以来专注于考研，成功率一直遥遥领先，同学们有兴趣可以联系一下 他们在线老师或者电话。 有没有实体学校校区：有些机构比较小，就是一个在写字楼里上课，自习，这种环境是不太好的，一个优秀的机构必须是在教学环境，大学校园这样环境。凯程有自己的学习校区，有吃住学一体化教学环境，独立卫浴、空调、暖气齐全，这也是一个考研机构实力的体现。此外，最好还要看一下他们42 / 52 的营业执照 。 复合函数求导法则及其应用 阿文 摘 要：主要 叙述证明了复合函数求导法则的概念定理，运算法则，性质等，以及在数学分析中的应用。 关键词：复合；函数；求导法则 引 言 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合的函数，可以 由下面的复合函数求导法则求出它们的导数。 1 复合函数求导法则 定理： 设函数 u?g?x? x? 43 / 52 可导，而函数 y?f?u?在 u?(u0)?g(x0)处可导，则复合函数 y?f?g(x)?在 x?x0 可导，且有 ?f?g?x? x?x0 ?f?u0?g?x0?f?g?x0?g?x0? . 证明：因为 y?f?u?在 u0处可导，所以可微。由可微的定义，对任意一个充分小的 ?u?0，都有 f?u0?u?f?u0?f?u0?u?u ， 其中