数系的扩充和复数的概念导学案

1 / 5 数系的扩充和复数的概念导学案 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 石油中学高二文科数学选修 1-2 导学案 -复数 3 -1 数系的扩充和复数的概念 学习目标： 1、了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位 i 2、理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律 3、理解并掌握复数的有关概念 (复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部 )理解并掌握复数相等的有关概念 学习重点： 复数的概念，虚数单位 i，复数的分类 (实数、虚数、纯虚数 )和复数相等等概念是本节课的教学重点 . 学 习难点： 虚数单位 i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点 .复数的概念是在引入虚数单位 i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的 .在规定 i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 自主学习 一、知识回顾： 数的概念是从实践中产生和发展起来的，由于计数的需要，就产生了 1， 2 及表示 “ 没有 ” 的数 0.自然数的全体构成自然数集 N 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的2 / 5 问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数 .这样就把数集扩充到有理数集 Q.显然 NQ.如果把自然 数集 (含正整数和 0)与负整数集合并在一起，构成整数集 Z，则有 ZQ、 NZ.如果把整数看作分母为 1 的分数，那么有理数集实际上就是分数集 有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数 .所谓无理数，就是无限不循环小数 .有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集 R.因为有理数都可看作循环小数 (包括整数、有限小数 )，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集 因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说， 也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾 .但是，数集扩到实数集 R 以后，像 x2= 1 这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于 1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数，叫做虚数单位 .并由此产生的了复数 二、新课研究： 1、虚数单位 : (1)它的平方等于 -1，即 ; 3 / 5 (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 . 2.与 1 的关系 :就是 1 的一个平方根，即 方程 x2= 1 的一个根，方程 x2= 1 的另一个根是 ! 2、的周期性： 4n+1=i,4n+2=-1,4n+3=-i,4n=1 3、复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 c 表示 * 4、复数的代数形式 :复数通常用字母 z 表示，即，把复数表示成 a+bi的形式，叫做复数的代数形式 5、复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数，当且仅当 b=0时，复数 a+bi(a、 bR) 是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi叫做虚数；当 a=0且 b0 时， z=bi叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0时， z 就是实数 0. 6、复数集与其它数集之间的关系： NZQRc. 7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等 这就是说，如果 a， b， c， dR ，那么 a+bi=c+dia=c， b=d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小 .如 3+5i与 4+3i不能比较大小 . 现有一个命题： “ 任何两个复数都不能比较大小 ” 对吗？不4 / 5 对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当 两个复数不全是实数时才不能比较大小 例题讲解 例 1 请说出复数的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：它们都是虚数，它们的实部分别是 2， 3， 0， ;虚部分别是 3， ; i 是纯虚数 . 例 2 复数 2i+的实部和虚部是什么？ 答：实部是，虚部是 2. 易错为：实部是 2，虚部是！ 例 3 实数 m 取什么数值时，复数 z=m+1+(m 1)i是 : (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 分析因为 mR ，所以 m+1， m 1 都是实数，由复数 z=a+bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定 m 的值 . 解： (1)当 m 1=0，即 m=1时，复数 z 是实数； (2)当 m 10 ，即 m1 时，复数 z 是虚数； (3)当 m+1=0，且 m 10 时，即 m= 1 时，复数 z 是纯虚数 . 例 4 已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x， yR ，求 x 与y. 解：根据复数相等的定义，得方程组，所以 x=， y=4 课堂巩固 1、设集合 c=复数， A=实数， B=纯虚数，若全集5 / 5 S=c，则下列结论正确的是 () B=B=B=c 2、复数 (2x2+5x+2)+(x2+x 2)i为虚数，则实数 x 满足 () = = 2 或 1 且 x 2 3、复数 z1=a+ b i， z2=c+ d i(a、 b、 c、 dR) ，则z1=z2的充要条件是 _. 4、已知 mR ，复数 z=+(m2+2m 3)i，当 m 为何值时，(1)zR;(2)z 是虚数； (3)z是纯虚数； (4