微积分基础知识.ppt

绪论,1,课程名称,微积分上,计划学时,80,考核形式,考试（学分）,课堂纪律,作业问题,课前预习、重点听讲、简记笔记、整理咀嚼、后作练习,2,参考书目,微积分学习指导,高等数学,同济大学数学系编（高等教育出版社）,3,1.基础:函数,极限,连续,2.微积分学:一元微积分,(上册),(下册),3.向量代数与空间解析几何,4.无穷级数,5.常微分方程,主要内容,多元微积分,高等数学研究的主要对象是函数，主要研究函数的分析性质（连续、可导、可积等）和分析运算（极限运算、微分法、积分法等）。那么高等数学用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限方法，也称为无穷小分析法。从方法论的观点来看，这是高等数学区别于初等数学的一个显著标志。,由于高等数学的研究对象和研究方法与初等数学有很大的不同，因此高等数学呈现出以下显著特点：,概念更复杂,理论性更强,表达形式更加抽象,推理更加严谨,4,因此在学习高等数学时，应当认真阅读和深入钻研教材的内容，一方面要透过抽象的表达形式，深刻理解基本概念和理论的内涵与实质，以及它们之间的内在联系，正确领会一些重要的数学思想方法，另一方面也要培养抽象思维和逻辑推理的能力。,学习数学，必须做一定数量的习题，做习题不仅是为了掌握数学的基本运算方法，而且也可以帮助我们更好地理解概念、理论和思想方法。但我们不应该仅仅满足于做题，更不能认为，只要做了题，就算学好了数学。,5,6,极限方法1）计算圆的周长,7,2）切线的斜率,8,3)计算曲边梯形面积,曲边梯形面积为,9,4)无穷级数,10,一、基本概念,1.集合:,具有某种特定性质的对象的全体.,组成集合的事物称为该集合的元素.,P（x）表示元素具有性质,第0章基本知识,11,2.邻域:,1.定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于xD，变量y按照确定的法则总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数,记作,自变量,因变量,二、函数,12,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,对应法则f,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,13,14,(1)符号函数,几个特殊的函数举例,15,(2)取整函数y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,16,(3)狄利克雷函数,17,(4)取最值函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则,用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,18,三.函数的几种特性,设函数,(1)有界性,使,称,A为上界，B为下界。,(2)单调性,为有界函数.,当,时,称,为I上的,单调增函数;,称,为I上的,单调减函数.,19,(3)奇偶性,且有,若,则称f(x)为偶函数;,若,则称f(x)为奇函数.,说明:若,在x=0有定义,为奇函数时,则当,必有,例如,偶函数,双曲余弦,记,20,例1判断函数的奇偶性.,解：,f(x)是奇函数.,例2设f(x)在R上定义，证明f(x)可分解为一个奇函数与一个偶函数的和。,证明：设,显然g(x)是偶函数，h(x)是奇函数,而,故命题的证.,21,(4)周期性,且,则称,为周期函数,若,称l为周期,(一般指最小正周期).,周期为,周期为,注:周期函数不一定存在最小正周期.,例如,常量函数,狄里克雷函数,x为有理数,x为无理数,四.反函数,若函数,为单射,则存在逆映射,称此映射,为f的反函数.,22,习惯上,的反函数记成,图形关于直线,对称.,单调性一致,23,24,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,25,例1证明若函数y=f(x)是奇函数且存在反函数x=f1(y),则反函数也是奇函数。,证明：,反函数是奇函数。,例2,解:当x0时,y1,当xN1时,假设,从而,矛盾.,因此收敛数列的极限必唯一.,则当nN时,故假设不真!,满足的不等式,47,两边夹准则,证:,由条件(2),当,时,当,时,令,则当,时,有,由条件(1),即,故,48,49,例.证明数列,是发散的.,证:用反证法.,假设数列,收敛,则有唯一极限a存在.,取,则存在N,但因,交替取值1与1,内,而此二数不可能同时落在,长度为1的开区间,使当nN时,有,因此该数列发散.,50,例(P10)证明若X2k-1a,X2ka(k),则数列Xn收敛于a。证：对任0,K1,当kK1时X2k落在a-,a+即满足|2k-a|(1)K2当kK2时X2k-1落在a-,a+即满足|2k-1-a|(2)取N=max2K1,2K2-