空间向量及其运算

1 / 9 空间向量及其运算 本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 空间向量及其运算 考试目标主词填空 1.空间向量基本定理及应用 空间向量基本定理：如果三个向量 a、 b、 c 不共面，那么对空间任一向量 p 存在惟一的有序实数组 x、 y、 z,使p=xa+yb+zc. 2.向量的直角坐标运算： 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 则 a+b=. a-b=. ab=. 若 a、 b 为两非零向量，则 a bab=0=0. 题型示例点津归纳 【例 1】已知空间四边形 oABc中， AoB=Boc= Aoc, 且 oA=oB=， N 分别是 oA， Bc的中点， G 是 mN的中点 . 求证： oGBc. 【解前点津】要证 oGBc ，只须证明即可 . 2 / 9 而要证 ,必须把、用一组已知的空间基向量来表示 .又已知条件为 AoB=Boc=Aoc, 且 oA=oB=oc，因此可选为已知的基向量 . 【规范解答】连 oN由线段中点公式得： 又 , 所以 ) =(). 因为 . 且， AoB=Aoc. 所以 =0,即 oGBc. 【解后归纳】本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力 . 【例 2】在棱长为 a 的正方体 ABcD A1B1c1D1 中，求：异面直线 BA1与 Ac所成的角 . 【解前点津】利用，求出向量与的夹角 ,，再根据异面直线 BA1， Ac所成角的范围确定异面直线所成角 . 【规范解答】因为 , 所以 = 因为 ABBc ， BB1AB ， BB1Bc ，例 2 图 3 / 9 所以 =0, =-a2. 所以 =-a2. 又 所以 =120. 所以异面直线 BA1 与 Ac所 成的角为 60 【解后归纳】求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量来表示 . 【例 3】如图，在正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E、 F 分 别是 BB1、 Dc的中点 . (1)求 AE与 D1F所成的角； (2)证明 AE 平面 A1D1F. 【解前点津】设已知正方体的棱长为 1，且 =e1， =e2， =e3，以 e1， e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D xyz, 则： (1)A(1， 0， 0)， E(1， 1， )， F(0， 0)， D1(0， 0， 1)， 所以 =(0,1,),=(0,-1). 所以 =(0,1),(0,-1)=0. 所以 ，即 AE 与 D1F所成的角为 90 (2)又 =(1,0,0)=， 4 / 9 且 =(1,0,0)(0,1,)=0. 所以 AED1A1 ，由 (1)知 AED1F ，且 D1A1D1F=D1. 所以 AE 平面 A1D1F. 【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法 . 【例 4】证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分 (此点称为四面体的重心 ). 【规范解答】 E,G 分别为 AB,Ac 的中点 , EG, 同理 HF， EGHF. 从而四边形 EGFH为平行四边形，故其对角线 EF, GH相交于一点 o,且 o 为它们的中点 ,连接 oP,oQ. 只要能证明向量 =-就可以说明 P,o,Q 三点共线且 o 为 PQ的中点 ,事实上 ,而 o 为 GH 的中点 ,例 4 图 cD,QHcD, =0. =,PQ 经过 o 点 ,且 o 为 PQ的中点 . 【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点 o,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点 ,然后 证明两向量共线 ,从而说明 P、 o、 Q 三点共线进而说明 PQ直线过 o 点 . 对应训练分阶提升 一、基础夯实 5 / 9 1.在下列条件中 ,使 m 与 A、 B、 c 一定共面的是 () 2.与向量 a=(12,5)平行的单位向量是 () 3.若向量 a， b， c是空间的一个基底，向量 m a+b， n a-b，那么可以与 m、 n 构成空间另一个基底的向量是 () 、 b 是非零向量，则 a， b的范围是 () A.(0， )B. 0， c.(0， ) D. 0， 5.若 a 与 b 是垂直的，则 ab的值是 () A.大于 0B.等于零 c.小于 0D.不能确定 6.向量 a (1， 2， -2)， b (-2， -4， 4)，则 a 与 b() A.相交 B.垂直 c.平行 D.以上都不对 (1， 1， -2)、 B(1， 1， 1)，则线段 AB的长度是 () 8， 3， a， n 2b,6,5，若 mn ，则 a+b 的值为 () 1,5,-2， b m,2,m+2，若 ab ，则 m 的值为 () c.-6 D. 6 (2， -4， -1)， B(-1， 5， 1)， c(3， -4， 1)，令 a， b，6 / 9 则 a+b对应的点为 () A.(5， -9， 2)B.(-5， 9， -2) c.(5， 9， -2)D.(5， -9，2) (2， -2， -3)， b (2,0,4)，则 a 与 b 的夹角为 () B. 12.若非零向量 a x1， y1， z1， b x2， y， z2 ,则是 a 与 b 同向或反向的 () A.充分不必要条件 B.必要非充分条件 c.充要条件 D.不充分不必要条件 二、思维激活 13.已知向量 a,b,c 满足 a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4.则ab+bc+ca=. 14.已知 |a| 2， |b|， ab -，则 a、 b 所夹的角为 . 15.已知空间三点 A、 B、 c 坐标分别为 (0， 0， 2)， (2， 2，0)， (-2， -4， -2)，点 P 在 xoy平面上且 PAAB ， PAAc ，则 P 点坐标为 . 16.已知 a 8,-1,4， b 2,2,1，则以 a、 b 为邻边的平行四边形的面积为 . 三、能力提高 17.已知线段 AB在平面 内，线段 Ac ，线段 BDAB ，且与 所成的角是 30 ，如果 AB a， Ac BD b，求 c、 D之间的距离 . 7 / 9 18.长方体 ABcD A1B1c1D1 中， E、 F 分别为 AB、 B1c1中点，若 AB Bc 2， AA1 4，试用向量法求： (1)的夹角的大小 . (2)直线 A1E与 Fc所夹角的大小 . 19.在正方体 ABcD A1B1c1D1 中， E、 F 分别为 BB1、 Dc 的中点，求证： D1F 平面 ADE. 20.如图所示 ,已知 ABcD,o 是平面 Ac 外的一点 ,求证 :A1,B1,c1,D1 四点共面 . 空间向量及其运算习题解答 由向量共线定义知 . 设此向量为 (x,y), ， 根据两 向量所成的角的定义知选 D. 当 ab 时， ab=0(cos a,b =0) =(1,2,-2)=-b a b. |AB|=3. m n,故 (8,3,a)=k(2b,6,5)， 8=2bk,3=6k,a=5k k=故 a=,b=8, a+b=+8= a b 1m+52-2(m+2)=0. m=6. 8 / 9 =(-1,0,-2),=(-4,9,0)， a+b=(-5,9,-2). (ab)=-. a 与 b 同向或 反向，反之不成立 . 13.-13 a+b+c=0, (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0, ab+bc+ca=-(a2+b2+c2)=-(9+1+16)=-13. 14. cos a,b =. a,b所夹的角为 . 15.(-8,6,0)由向量的数量的积求得 . =|a|b|sin a,b求得 . 17.如图，由 Ac，知 Ac AB. 过 D 作 DD， D为垂足，则 DBD 30， ， |cD|2= b2+a2+b2+2b2cos120 a2+b2. cD 点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算 . 18.如图，建立空间坐标系，则 D(0， 0， 0)、 A(2， 0， 0)，B(2， 2， 0) 、 c(0， 2， 0)、 A1(2， 0， 4)、 B1(2， 2， 4)、 c1(0， 2， 4). 由题设可知 E(2， 1， 0)， F(1， 2， 4). (1) 9 / 9 则 cos . 的夹角为 -arccos. (2)直线 A1E与 Fc的夹角为 arccos 19.如图所示，不妨设正方体的棱长为 1，且设 i， j， k， 以 i、 j、 k 的坐标向量建立空间直