北京工业大学线性代数第五章第一节特征值与特征向量.ppt

1,第五章矩阵的相似标准型,第一节特征值与特征向量第二节相似矩阵第三节矩阵的对角化第四节实对称矩阵的对角化,2,第一节特征值与特征向量,一特征值与特征向量的概念,二特征值与特征向量的计算,三特征值与特征向量的性质,3,一特征值与特征向量的概念,定义：,设A是数域P上一个n阶方阵，如果,存在数域P中数和n维非零列向量,使得,特征值的特征向量,则称为矩阵A的特征值，称为A的属于,在几何中，在物理学、化学、生物学等,的问题.于是我们抽象出下述概念.,学科中，都会提出是否有向量满足,4,如:设,因此，2是A的一个特征值，是A的属于,由于,特征值2的一个特征向量,因此，-3是A的一个特征值，是A的属于,特征值-3的一个特征向量,又,5,方阵A可以有有限个不同的特征值,A的属于同一个特征值的特征向量有无穷多个(且加上0向量构成向量空间即特征子空间),说明：,若,则对于,的特征向量。,若,则,的特征向量。,6,几何意义：,若把矩阵看成变换，其特征向量,就是在该变换下保持不变或伸长(缩短)的向量，,特征向量对应的特征值就是伸缩系数。,A来表示：,易知，坐标轴上的向量(a,0)T,(0,b)T(a,b0),是A的特征向量，对应的特征值是1，-1。,7,可用下述矩阵A来表示：,由于任一非零向量在该变换下都不会变成它的,倍数，因此A没有特征值和特征向量。,问题：,如何判断数域P上的n阶矩阵是否有特征,值和特征向量？若有的话，如何求A的全部特,征值和特征向量？,8,是A的属于特征值的特征向量,分析：,二特征值与特征向量存在性的判断与计算,9,定义：,则,称为A的特征多项式,即,10,定理1,设A是数域P上一个n阶方阵，则,是A的一个特征值是A的特征方程,在数域P上的一个根,是A的属于特征值的特征向量,说明：,(1)判断A是否有特征值就是判断A的特征方程,在数域P上是否有根,(2)求A的属于特征值的全部特征向量就是求,11,求A的全部特征值及特征向量的方法：,全部根,的全部特征值；,1.计算A的特征多项式,3.对于A的每一个特征值,求出齐次线性,则A的属于的全部特征向量为,不全为零,12,例1求如下矩阵的特征值和特征向量.,(1)求特征值.,则A的全部特征值为,解：,A的特征方程为,(2)求特征向量,即,13,对于特征值解齐次线性方程组,对系数矩阵做初等行变换：,14,一个基础解系是,则A的属于的全部特征向量是,(c1为不等于零任意常数),一般解是,15,对于特征值解齐次线性方程组,对系数矩阵做出等行变换：,16,一个基础解系是,(c2,c3为不全为零任意常数).,一般解是,则A的属于的全部特征向量是,17,例求如下矩阵的特征值和特征向量.,A的全部特征值为,解：,A的特征方程是,实数域上的矩阵A没有特征值,复数域上的矩阵,18,对于特征值求出齐次线性方程组,基础解系为,则A的属于的全部特征向量是,(c1为不等于零任意常数),19,对于特征值求出齐次线性方程组,基础解系为,则A的属于的全部特征向量是,(c2为不等于零任意常数),问题：对角矩阵(上、下三角阵)的特征值是什么？,答案：主对角线元素,20,（1）属于矩阵A的每一个特征值的特征向量加上零向量构成向量空间，称为A的特征子空间。,说明几个概念和结论：,（2）把特征值在特征多项式中的重数称为的代数重数；把属于的特征子空间的维数称为的几何重数。,（3）对于每一个特征值而言，它的几何重数总不大于它的代数重数。,21,三特征值与特征向量的性质,特征值为,，则,22,则,n阶方阵A的迹：,n阶方阵A的主对角元素之,和称为A的迹，记作tr(A),即,性质1,设的特征值为,行列式的另一种计算法,23,性质2,复特征值.,复数域上的任意n阶方阵A必有n个,全不为零.,n阶方阵A可逆,A的n个特征值,性质3,例3,的一个特征值.,证明：,已知是A的一个特征值，则是kA,是A的特征值,存在非零向量,使得成立，,24,证：,是A的特征值,存在非零向量,使得成立，,试证：是A-1的特征值.,例4A是n阶可逆矩阵，是A的特征值，,(书P163例5.1.4),25,解：,是A的特征值,练习：,若A可逆,且是A的一个特征值,则,答案:,个特征值是（）,26,例5设是n阶方阵A的特征值，证明,是A2的特征值.,证：,是A2的特征值.,易知，是的特征值。,例6,已知A的n个特征值是,求3E-A的特征值.,(书P163例5.1.5),27,解：,矩阵3E-A的特征多项式,3E-A的n个特征值是,易知，,A+3E的n个特征值是,28,练习设是n阶方阵A的特征值，则有,A2+4E必有特征值（）.,性质4,从以上例子可以得出,则必是f(A)的特征值。,A2+3A必有特征值（）.,A2+3A+4E必有特征值（）.,A5+3A3+2A+E必有特征值（）.,29,例7,(幂等矩阵：若A2=A，则称A为幂等矩阵),若A是幂等矩阵，证明A的特征值,只能是0或1,证：,30,例8,证明n阶方阵A与其转置矩阵AT有相同,的特征值.,（要证A与AT有相