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第二章,三、两个重要极限,二、极限存在准则,2.5极限存在准则两个重要极限,一、函数极限与数列极限的关系,一、函数极限与数列极限的关系,定理1,的充分必要条件是：,对任意数列xn，xnx0，,当xnx0(n)时，,都有,定理1经常被用于证明某些极限不存在.,例1.证明,不存在.,证:取两个趋于0的数列,及,显然当n时，xn0,由定理1知,不存在.,定理2(两边夹法则),如果函数g(x),f(x),h(x)满足：,二、极限存在准则,例2.证明,证:利用两边夹法则.,且,由,g(n),h(n),定理3（收敛准则）,定理4（收敛准则）,单调递减且有下界的数列必有极限,单调递增且有上界的数列必有极限,单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限,(证明略),例3已知数列,满足：,证明数列,收敛,证,先用数学归纳法证明,（1）当n=1时，,结论成立,（2）当n=k时，xk2,则,由数学归纳法知xn2.,再证明该数列单调递增,由定理2知数列收敛,令,则,故极限存在，,备用题,1.设,且,求,解：,设,则由递推公式有,数列单调递减有下界，,故,利用极限存在准则,圆扇形AOB的面积,证:当,即,亦即,时，,显然有,AOB的面积,AOD的面积,三、两个重要极限,为了方便地求函数的极限，可记住下列结果：,时，,例4.求,解:,例5.求,解:令,则,因此,类似可证,例6.求,解:原式=,2.,我们可以通过列出函数,的部分取值列表,来观察该函数值的变化趋势,的值无限接近于一个常数,由此可得:,令z=1/x,则x时，,z0，,为了方便地求函数的极限，可记住下面结果：,例6.求,解:令,则,说明：若利用,则,原式,解:原式=,例7.求,例8求,解,的不同数列,内容小结,1.函数极限与数列极限关系的应用,(1)利用数列极限判别函数极限不存在;,法1找一个数列,且,使,法2找两个趋于,及,使,不存在.,(2)函数极限存在的两边夹法则;,(3)单调递增（递减）且有上界（下界）数列必有极限,2.两个重要极限,思考与练习,填空题(14),P34,练习2.4,2（6）,解,P40,练
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