2014年五一高中数学联赛提高班后端习题1答案

2014 年 五一 高中 数学联赛 提高班 后端习题 答案 （第 一 次） 试卷说明 本测试与 2014 年 全国高中数学联赛 加试 难度相当 ，并与实际授课难度接近 。 希望学员经由本试卷了解数学联赛加试题型及难度，对 14 年 10 月 全国高中数学联赛 举办之前的学习进度给出合理安排。 本 习题为李建泉教授为清北学堂 2014 年 寒假集训课程数学联赛提高班命制的试题。 本习题用于学生对水平进行自我评估， 如有学员希望单独得到金牌助教们的阅卷及分析，请通过邮箱与我们取得联系。方式 1：将自测结果（推荐直接在原试卷上给出答案）以照片或扫描件的形式发送。方式 2：将自测答案单独以 excel 或 word 形式发送。我们会在收到答案的两周内进行评阅并进行个性化分析。 第二套后端习题将于 2014年 5月 15日 12:00发布。 清北学堂集中培训课程后端 习题答 案 （ 2014 年 五一 集中培训课程使用） QBXT/JY/HDXTDA2014/5-1-4 2014-5-15 发布 清北学堂教学研究部 清北学堂学科邮箱 自主招生邮箱 数学竞赛邮箱 物理竞赛邮箱 化学竞赛邮箱 生物竞赛邮箱 理科精英邮箱 清北学堂官方博客 /tsba 清北学堂微信订阅号 学习资料最新资讯 清北学堂 内部习题清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 2 页 2014 年五一高中 数学联赛 提高班后端习题 1 答案 1.已知锐角 ABC 中 ,BC内的旁心分别为 23,II， 圆 23,II圆 分别与直线 BC 切于点,XY， 2IX与 AC 的延长线交于点 N ， 3IY与 AB 的延长线交于点 M ， ABN 与 ACM的外接圆的不同于 A 的交点为 D ，若 ABC 的外心为 O ，证明 ,AOD 三点共线。 证明 连 , , .DB DC DM DN，因为 ,M B D A N D A M D N C D ，所以 MBD CND ，于是 s ins inB M B D B A DC N D N C A D 。又因为 12B Y C X A B A C B C ，所以 c o s c o sB M A B C C N A C B ，于是 c o s s i nc o s s i nA C B B M B A DA B C C N C A D。 设 AD 与 BC 交于点 E ，由分角线定理可得 s i n s i n s i n s i n c o s s i n 2s i n s i n s i n s i n c o s s i n 2B E A B B A D A C B B A D A C B A C B A C BE C A C C A D A B C C A D A B C A B C A B C 。 设直线 AO 与 BC 交于点 1E ，则 11s i n s i n s i n 2s i n s i n s i n 2B E O B B O E A O B A C BE C O C C O E A O C A B C 。于是 11BEBEEC EC ，从而 1EE ，即 ,AOD 三点共线。 清北学堂 内部习题清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 3 页 2.已知函数 :f N N 满足 1 , 2 , 3 ,f f f 是 1,2,3, 的一个排列，证明 1对于任意正整数 a ，都存在正整数 d ，使得 2f a f a d f a d ； 2 若对于任意满足条件的函数 f ，均有 2f a f a d f a d f a nd ，则正整数4n 。 证明 1 对于任意正整数 a ，不超过 fa的正整数只有有限个，因此存在正整数 m ，使得对于任意正整数 km ，均有 f k f a 。设正整数 cm ，则 23, 2 , 2 , 2 ,f a c f a c f a c f a c 均 大 于 fa 。若 232 2 2f a c f a c f a c f a c ，则有无穷多个不同的正整数 232 , 2 , 2 ,f a c f a c f a c 大于 fa，小于 f a c ，矛盾，因此一定存在非 负 整 数 l ， 使 得 122llf a c f a c 。设 2ldc ，则有 2f a f a d f a d ； 2 假设 5n ，设 1 , 2 , 3 ,f f f 为 1, 2, 4, 3, 8, 7, 6, 5,16,，其中从第 3 项开始，对于任意正整数 i ，第 21i 至第 12i 项分别为 112 , 2 1, , 2 1i i i，从而可知函数 f在区间 12 1,2ii内严格单调下降。 由 345f a d f a d f a d ，可知 3f a d ， 4f a d ， 5f a d分别在三个不同的单调区间内。因为 4ad 所在的单调区间内正整数的个数4 22adtd，所以 2 5 3 2d a d a d t d ，矛盾，因此 4n 。 清北学堂 内部习题清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 4 页 3.求方程 22 2014x y x y 的所有正整数解。 解 将 2014 分解为 2014 2 19 53 。 先 利用反证法证明 ： x,y均为 19 的倍数。如下： 因为 22 2014x y x y ，若 x非 19 倍数，则可令 x=19k+a（ k 为自然数， a 为正整数），可知 2 2 2(1 9 ) 3 8x k ak a ，因等式左右两边均为 19 的倍数，则可知 y 不是 19 的倍数，则 2 2 2(1 9 ) 3 8y d bd b ，则 22ba 必为 19 的倍数才能使等式两边均为 19 的倍数，根据下表可知不存在这样的 ,ab满足条件。故 ,xy必为 19 的倍数。 a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2a 1 4 9 16 25 36 49 64 81 2a 除以 19 的余数 1 4 9 16 6 17 11 7 5 注： 2a 与 219 a 对 19的取余相等，在此不再一一列出 又 22 2 0 1 4 ( )x y x y ，若 ,xy均为奇数，则 22 2 m od 4xy ，而 201 4( ) 0 m od 4xy ，所以不符合题意。若 ,xy有一为奇数，显然等式左边为奇数，右边是偶数，亦不符合题意。所以 ,xy均为偶数。 综上所述， ,xy均为 38 的倍数。 则可令 x=38m,y=38n（ m,n 均为正整数），则原式转化为： 2 2 2 2( 3 8 ) ( 3 8 ) 2 0 1 4 ( 3 8 3 8 )x y m n m n 化简得： 22 53( )m n m n ，即 2 2 2( 5 3 ) ( 5 3 ) 2 5 3mn 故 22( 5 3 ) 2 5 3 , 5 3 7 4nn ,故 1 21n , 则检验 n 从 121 的正整数分别代入检验，可知当且仅当 n=10 时， m 存在正整数解 35和 18。故 38 35 1330x ,或 38 18 684x ， 38 10 380y 。 清北学堂 内部习题清北学堂集中培训课程课程 后端习题 答案 北京清北学堂教育科技有限公司 第 5 页 4.若平面上有 n 个点，任意三点不共线，每个点都被染为红、黄、蓝、绿色之一，且满足下述条件： 1 任意三个红点构成的三角形内至少有一个黄点； 2 任意三个黄点构成的三角形内至少有一个蓝点； 3 任意三个蓝点构成的三角形内至少有一个绿点； 4 任意三个绿点构成的三角形内至少有一个红点，证明 32n 。 证明 设有 a 个红点，这 a 个红点的凸包为 1 ， 1 为凸 0a 边形，则 1 能被剖分为 0 0 02 2 2 2a a a a a 个三角形，每个三角形的三个顶点均为红色。设 1 内有 b 个黄点，则 022b a a 。 设这 b 个黄点的凸包为 2 ， 2 为凸 0b 边形，则 0bb 。设 2 内有 c 个蓝点，类似地可得 02 2 2c b b b 。 设这 c 个蓝点的凸包为 3 ， 3 为凸 0c 边形，则 0cc 。设 3 内有 d 个绿点，类似地可得 02 2 2d c c c