（管理科学与工程专业论文）国债市场即期利率波动的agarch模型.pdf

致谢 这篇论文是在我的导师方兆本教授精心指导和热情帮助下完成的。在整个 博士生学习和论文写作期间，方兆本教授为我的学业和论文工作的进展倾注了 大量的心血。他那严谨的治学态度、敏锐的洞察力和丰富的科研经验使我深受 教益。 中国科技大学统计与金融系的缪柏其教授、赵林城教授、苏淳教授和吴耀 华副教授也一直热情关怀和悉心指导着我的学习与工作。胡太忠博士对我的论 文工作提出过不少有益的建议，提供了许多帮助。张曙光搏士也给了我不少启 发和帮助。在此，我对他们表示衷心的感谢。 我也要向美国的宣昌能博士( t e x a ss t a t eu n i v e r s i t y ) 、d r l o c k l i ns b l a k e ( c o m e l lu n i v e r s i t y ) 、陈航博士( c e n t r a lm i s s o u r is t a t eu n i v e r s i t y ) 、清华大学的 孙昌龄教授、厦门大学的郑耀辉教授和孙见荆先生、中国北方计算中心的李永 诚先生以及河南财经学院的刘晓真女士致谢，他( 她) 们为我收集和提供了许 多宝贵的资料。 中国科技大学研究生院、统计与金融系以及华侨大学人事处、管理信息科 学系的许多老师、同事和学友也对我的学业给予t q ：i g 关心、鼓励、支持和帮助。 在此一并致以诚挚的谢意。 吴硕思 1 9 9 9 年1 0 月 摘要 对现有国债市场即期利率的变化规律进行研究，有助于探索和建立适合中国国情的 浮动型挛和基准利率机制。r 美国等西方发达国家的金融数学家已对各自国家的市场利率 作了大量的研究，尤其在即期利率的数学模型方面，更是成果累累。自e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提 出第一个a r c h 模型以来，其各种推广和变异模型层出不穷，主要的有g a r c h 模型、 a r c h m 模型、e g a r c h 模型和a g a r c h 模型等等。这些模型统称为a r c h 类模型， 广泛应用于计量经济的各个领域。随着中国金融市场的快速发展，国债市场利率的研究 也越来越受到人们的关注0 笨文在 函五聂鬲1 甄爵再丽萌亍了= 亘薪搽素_ 弄桶 a g a r c h 模型来刻划市场因素对国债市场即期利率波动的不对称影响。主要做了以下三 项工作： 第一，提出一个新的带有非对称广义自回归条件异方差的线性回归模型( 1 i n e a r r e g r e s s i o nw i t ha s y m m e t r i cg e n e r a la u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t ym o d e l ) ，以 下简称为a g a r c h 线性回归模型。证明了该模型宽平稳和偶数阶矩存在的两个定理( 参 见第三章3 1 ) 7 、 ， ，、二二一提出带约束条件的a g a r c h 模型。a r c h 类模型的待定参数一般不附带约 一。束条件( 除要求非负之外) ，在正态分布的假设f ，估计a r c h 类模型的传统方法是最 r 、，_ 一 、 人似然估计法( 参见第四章4 ”。1 本文首次明确提出带约束条件的a g a r c h 模型。 ， 一 1 该模型的估计可转化为非线性规划问题，然后再用适当的方法加以解决( 参见第四章 ，。、 42 ) 。除了最大似然估计和非线性规划方法之外，冀二文还探讨了非参数回归和核估计方 ，、 法在a g a r c h 非参数模型估计中的应脬( 参见第五章) e 。一 一一、 。第三，针对目前我国国债品种较少的状况，提出两种计算国债市场即期利率样本值 z 。、y、n 、 的方澎( 参见第六章6 1 ) j ，以获得供实证研究之用的即期利率样本值序列。本文还根 据一年期贴现国债9 6 1 和国债9 6 5 的发行价和逐日收盘价等数据信息，就多个不同的 g a r c h 模型和ag a r c h 模型进行实证研究f ( 参见第a 章62 本文共分九部分：第一章介绍与利率有关的定义和概念。第二章回顾现有的利率随 限结构的连续时间模型和离散时间模型以及这两类模型之间的关系，着重介绍了 a r c h 、g a r c h 和a g a r c h 等模型及其估计方法。第三章提出一个新的a g a r c h 模 型证明了该模型宽平稳以及偶数阶矩存在的充要条件，并且对模型进行了初步估计。 第四章介绍a g a r c h 线性回归参数模型的最大似然估计方法：提出带约束条件的 a g a r c h 模型及其估计方法。第五章利用非参数回归和核估计方法对a g a r c h 非参数 模型进行估计。第六章利用国债9 6 1 和国债9 6 5 二级市场日收盘价等数据，对多个不同 的模型进行实证研究。文章的最后三部分分别是小结、附录和参考文献。 a b s t r a c t s t u d y i n gt h el a wo fd y n a n u cm o v e m e r t t so ft h es p o tr a t ei nc h i n e s et r e a s u r yb o n d m a r k e ti sh e l p f u lt ot h ee s t a b l i s h m e n to fa f l o a t i n gi n t e r e s tr a t ea n db e n c h m a r ks y s t e mi n c h i n af i n a n c i a lm a t h e m a t i c i a n si ns o m ed e v e l o p e dc o u n t r i e s ，s u c ha su s aa n du k ，h a v e d o n ec o n s i d e r a b l er e s e a r c ho nt h e i rn a t i o n a lb e n c h m a r k sa n dt h es h o r t - t e r mi n t e r e s tr a t e , s u 罄e s t m gal a r g en u m b e ro fm a t h e m a t i c a lm o d e l s f o re x a m p l e ，s i n c et h ef i r s ta r c h m o d e li n t r o d u c e db ye r 酒e ( 1 9 8 2 ) ，i t sv a r i o u se x t e n s i o n sk e e pe m e r g i n go n ea t t e ra n o t h e r ， s u c ha sg a r c h , a r c h m ，e g a r c ha n da g a r c hm o d e l sa n de t c ，a l lt h o s em o d e l sa r e c a l l e da r c hf a m i l ym o d e l sw j mr a p i dd e v e l o p m e n to f t h ef i n a n c i a lm a r k e ti nc h i n a m o r e a n dm o r ep e o p l eh a v eb e c o m ei n t r i g u e db yt h es t u d yo f t h ef l o a t i n gi n t e r e s tr a t ei nc h i n e s e t r e a s u r yb o n dm a r k e t t h i sp a p e ri sa l la t t e m p ti na g a r c hm o d e l i n ga n dd e s c r i b i n g a s y m m e t i i cn e w si m p a c t so nt h es p o tr a t ei nc h i n e s et r e a s u r yb o n dm a r k e tw i t hs e v e r a lr l e w a g a r c hm o d e l s ，i t st h r e em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： f i r s t l y , t h ep a p e rs u g g e s t san wa g a r c hl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e lf o rt h es p o tr a t e a n d t w o t h e o r e m sr e l a t e d t o t h e m o d e la r e p r o v e d ( s e e 3 1 i n c h a p t e r3 ) s e c o n d l y a na g a r c hm o d e lw i t hc o n s t r a i n t si sp r o p o s e dt r a d i t i o n a l l y , t h ea r c h f a m i l ym o d e l sa r ew i t h o u tc o n s t r a i n t sa n dt h em a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o di st h e m a i n t o o l u s e d t oe s t i m a t e t h e m o d e l su n d e r t h e n o r m a l i t ya s s u m p t i o nt h e p a p e rs u g g e s t s a n a g a r c hm o d e lw i t hc o n s t r a i n t sf o r t h es p o tr a t e t h em o d e lc a nb ec o n v e r t e dt oan o n l i n e a r p r o g r a m m i n gp r o b l e ma n ds o l v e dw i t hp r o p e rm e t h o d s ( s e ec h a p t e r4 ) i na d d i t i o nt ot h e m a x i m u ml i k e l i h o o de s t i m a t i o nm e t h o d ，t h en o n p a r a m e t r i cr e g r e s s i o na n dt h ek e r n e l e s t i m a t i o na r ea l s ou s e dt oe s t i m a t ea g a r c hm o d e l si nt h i sp a p e r ( s e ec h a p t e r5 ) t h i r d l y , t h ep a p e rs 1 1 9 9 e s t st w om h o d st oc a l c u l a t es a m p l ev a l u e so f t h es p o tr a t ei n c h i n e s et r e a s u r yb o n dm a r k e t ( s e e 6 1 1 e m p i r i c a ls t u d i e sh a v eb e e nd o n eb a s e do nd a i l y p r i c e - d a t a o f o n e - y e a r d i s c o u n t b o n d s n b 9 6 1i s s u e d b y c h i n e s o g o v e r n m e n t i n1 9 9 6 ( s e e 6 2 - 6 5i nc h a p t e r 6 ) t h ep a p e rc o n s i s t so fn i n ep a r t s ：s e c t i o no n ei n t r o d u c e sb a s i cc o n c e p t sa n dd e f i n i t i o n s r e l a t e dt oi n t e r e s tr a t e s e c t i o nt w oc o n t a i n sab r i e fr e v i e wo fe x i s t i n gs t o c h a s t i ct e r m s t r u 吐u r cm o d e l s ，b o t hc o l 曲l u o u sa n dd i s c r e t eo n e s ，i n t r o d u c i n gi nd e t a i l sa r c h , g a r c h a n da g a r c hm o d e l sa n ds o m em e t h o d su s e di ne s t i m a t i n gt h em o d e l s s e c t i o nt h r e e 9 1 1 9 8 e s t sa n e wa g a r c hm o d e lf o rt h es p o tr a t ea n di t sp r e l i m i n a r yi d e n t i f i c a t i o n s e c t i o n f o u ru s e st w oa g a r c hm o d e l s ，o n ei sw i t h o u ta n yc o n s t r a i n t s ，a n o t h e rw i t hc e r t a i n c o n s t r a i n t st om o d e lt h ed y n a m i cm o v e m e n t so ft h es p o tr a t es e c t i o nf i v ei n t r o d u c e sa n o n p a r a m e t f i ca g a r c hm o d e la n dt h er e l a t e de s t i m a t i o np r o c e d u r es e c t i o ns i xc o n d u c t s e m p i r i c a ls t u d i e sr e l a t e dt oap a r a m e t r i cg a r c hm o d e l ，t h r e ep a r a m e t r i ca g a r c h m o d e l s a n dan o n p a r a m e t r i ca g a r c hm o d e lh a s e do nd a i l yp r i c e - d a t ao f n b 9 6 lt h el a s tt h r e e p a n so f t h ep a p e ra r er e s p e c t i v e l yc o n c l u s i o n ，a p p e n d i x e sa n dr e f e r e n c e s 2 第一章概念、定义和背景 本章介绍本文将要涉及的一些概念、定义和背景。 利率 1 1 利率、基准利率与利率期限结构 诺贝尔经济学奖( 1 9 7 0 ) 得主、s a m u e l s o n 教授( 1 9 8 0 ) 在e c o n o m i c s 一书第四部分 第3 0 节中给出了无风险竞争市场条件下的利率( i n t e r e s tr a t e ) 定义：“在任何无风险或 所有风险因素已被考虑从而所有风险均用特别保险费加以防范和补偿的竞争市场中，市 场利率( t h em a r k e tr a t eo fi n t e r e s t ) 是各种年收益率：或是任何一种无风险贷款的报酬 率，或是任何一种无风险债券或证券的收莆率，或是任倒一种资本资产( 如机器、酒店、 专利) 价值的回报率。” 西方经济学认为：利率是可供借贷资本的使用价格，它由这些资本的供求关系所决 定。从供给方面看，利率取决于借贷资本的供给成本，即延期消费的报酬。从需求方面 看利率取决于资本的边际生产力。 根据西方经济学的定义，资本( c a p i t a l ) 是人们生产出来并被用作投入的生产耍素 以便进一步生产物品和提供服务。资本包括生产过程中使用的厂房、机器、设备、t 具 和原材料等等。对种类繁多的资本的需求必然导致对货币( m o e y ) ( 或资金( f u n d s ) ) 的 需求，所以资本又被理解为用于购买或支配各种资本货物( c a p i t a lg o o d s ) 的货币( 资 金) 。因此，利率也经常被简称为“货币( 或资金) 的使用价值。”例如b a u r n o l b l i n d e r ( 1 9 8 8 ) 的e c o n o m i c s p r i n c i p l e s a n d p o l i c y 一书第九章第3 5 节“p r i c i n g t h e f a c t o r s o f p r o d u c t i o n ”用一句话概括了利率的定义：“t h er a t eo fi n t e r e s ti st h ep r i c ea tw h i c hf u n d s c a l lb er e n t e d ( b o r r o w e d ) ”其中文泽义为：“利率是可供借贷资金的价格。”而j o h n s o n ( 1 9 9 3 ) 的f i n a n c i a li n s t i t u t i o n sa n dm a r k e t s - - ag l o b a lp e r s p e c t i v e 一书第八章则从金融 业的角度给出了利率的简短定义：“t h eb a s i cc o m m o d i t y t h a t f i n a n c i a l i n s t f f u t e s t r a d ea m o n g t h e m s e l v e sa n dw i t ho t h e r si sm o n e y a n dt h ep r i c eo f m o n e yi st h ei n t e r e s tr a t e ”译成中文即 为：“金融机构之间以及金融机构与其他机构之间进行交易的基本商品是货币，而货币 的价格就是利率。” 有关利率的概念还可参阅以下文献：历以宁和秦宛顺( 1 9 8 3 ) 编著的现代西方经 济学概论、梁东黎和刘东( 1 9 9 1 ) 编著的微观经济学、管德华和汪祖杰( 1 9 9 1 ) 主 编的两方经济学以及l i p s e y s t e i n e r ( 1 9 8 1 ) 的e c o n o m i c s 。 基准利率 从上面的介绍，我们知道利率是可供借贷资本的使用价格，而对资本的供求又导致 了对货币( 或资金) 的供求。因此，像其他实物商品的价格受商品内在价值以及供求关 系等因素的影响一样，利率必在货币的内在价值以及资金的供求关系等困素的影响下 不断地波动。这种波动的利率被称为浮动利率或市场利率。在利率浮动的金融市场中 资金价格的确定需要一种参j 标准，而作为参照标准的利率被称为基准利率 ( b e n c h m a r k ) 。根据国际惯例，只有结构合理、信誉高和流通性能好的金融产品的利率才 有资格成为基准利率。由于国债通常具备这些良好的性质，因此，利率市场化的国家总 是把国债市场利率作为基准利率。 利率期限结构 利率期限结构( t e r ms t r u c t u r e o f i n t e r e s tr a t e ) ( 或简称为期限结构) 的定义仍可参见 f i n a n c i a li n s t i t u t i o n sa n dm a r k e t s ag l o b a lp e r s p e c t i v e 的第四章：“t h er e l a t i o n s h i p b e t w e e n t i m e ( t e r m ) a n d i n t e r e s tr a t e ”译成中文即为：“时间( 期限) 与利率之间的关系。” 由上述定义可见，研究期限结构就是研究利率与时问( 或期限) 的函数关系。在现 实社会中，大量不确定因素时刻影响着期限结构。这些不确定因素可以是经济、政治、 政策和法律等因素( 例如：国民生产总值、通货膨胀率、总统选举、政府换届、上潮或 战争、有关的经济或金融政策和法规等等) 、甚至可以是自然囚素( 例如：水灾或地震 等等) 。因此，合理的期限结构模型应是一种与时间有关的随机函数关系模型( 即随机 过程模型) 。这种不确定性的期限结构被称为随机期限结构( s t o c h a s t i ct e r ms t r u c t u r e ) 。 如果把时间假设为连续( 或离散) 型变量，相应的期限结构模型就成了连续( 或离散) 时间模型。 本文所建立a g a r c h 线性同归模型就是个离散时间的随机期g 睫结构模型，并且 把它作为刻划国债市场即期利率随时间变化规律的工具。 1 2 人民币利率的现状 在改革开放以前，我国金融行业长期沿着计划经济的轨道运行，一切金融产品( 例 如：存款、贷款、同业拆借和债券发行等等) 的价格( 即利率) 都由国家通过行政手段 制定。在计划经济模式下i ，我国没有基准利率，也不需要基准利率。现在，我国正沿着 社会主义市场经济的方向发展，以前那种管制式的利率机制逐渐显露出其缺陷。因此 有必要加紧探索和建立适合中国国情的浮动剥率和基准利率机制。 我国现行的人民币利率可分为两大类：银行利率和金融市场利率。第一类利率主要 包括( 1 ) 中国人民银行对金融机构的存贷款利率。这种利率由中国人民银行制定并强制 执行，体现了中央银行对经济形势的预期。( 2 ) 金融机构对居民和非金融机构的存贷款 利率。这种利率也由中国人民银行统一规定，备金融机构无权擅自调整，因此，这种利 率无法准确体现资金市场的供求状况。第二类利率主要包括( 1 ) 全国银行间拆借市场利 率。这个拆借市场的参与者都是商业银行，它们入市是为了调剂各自的资金头寸，所以 这种利率不是完全市场化的利率。( 2 ) 国债回购利率。由于非金融机构不能进入全国银 行间拆借市场，于是，它们便成了国债同购市场的主要参与者，而它们同时又是股市的 积极参与者。因此，股市的涨跌就经常直接影响着回购利率的升降。显然，这种利率也 发行价格及息票与银行存贷款利率一样都是人为制定的，基本上只有一级市场，没有全 国统一的二级市场。这种状况下的国债不具备结构台理和流通性好的特点。但是，从1 9 9 6 年以来，国债的品种多样化；在一级市场上，国债的发行采用国际通行的贴现发行和收 益率投标等方式，实现了发行利率市场化：二级市场除了个人投资者之外还由于商业 银行、一级自营商和基金公司的进入，交易规模进一步扩大。因此，二级市场上的国债 利率的市场化程度大大提高。对现有国债市场利率的变化规律进行定性和定量研究，有 助于探索和建立适合中国国情的浮动利率和基准利率机制。 6 第二章现有的期限结构模型 2 1 连续时间模型 自从2 0 世纪7 0 年代初以来，利率期限结构的连续时间模型大量涌现，主要有均衡 模型和无套利模型两种。较著名的均衡模型有：m e r t o n ( 1 9 7 3 ) ，b r e n n a n s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) c o x i n g e r s o l l r o s s ( 1 9 8 5 a ) ，s c h a e f e r s c h w a r t z ( 1 9 8 4 ) 以及l o n g s t a f f - s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 。 而较主要的无套利模型是：v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) ，h o - l e e ( 1 9 8 6 ) ，b l a c k d e r m a n t o y ( 1 9 9 0 ) h e a t h - j a r r o w m o r t o n ( 1 9 9 2 ) 以及h u l l w h i t e ( 1 9 9 0 1 9 9 3 ) 。 这些连续时间模型通常以伊藤过程为表现形式，早期模型人多数是单因素模型后 来的多因素模型，除了把即期利率作为模型冈素之外，还考虑了诸如远期利率、即期利 率的均值或波动等其他冈素。这些模型通常是对利率衍生证券进行定价的基础。 单因素模型 期限结构单因素模型的一般形式如下 出t = t t + p t r i ) d t + o l r ；d w 其中，_ 为利率，d w ，为标准布朗运动，口。，反，盯。和，均为待定参数 当口f = 口、卢f = 0 、盯f = 盯和，= 0 时，即为m e r t o n ( 1 9 7 3 ) 模型 ( 2 i ) 啦= a d t + c r d w f( 2 2 ) 其中，常数口和口分别为漂移率和波动率。m e r t o n 利用该模型对贴现债券进行定价。 当口l = 口、芦l = 芦、盯。= t 7 和y = 0 时即为v a s i c e k ( 1 9 7 7 ) 模型： 出= m + 成) 出+ ( y d w 。( 2 3 ) 该模型刻划了利率的均值回复漂移性质，1 泛应用于债券期货和债券期权的定价模型。 当d f = a 、卢f = 卢、口f = 盯和，= i 2 时，是c o x - i n g e r s o l l - r o s s ( 1 9 8 5 a ) 模型 出= ( 口+ 威) m + 吼”咖( 2 4 ) 该期限结构模型不但刻划了利率的均值回复漂移，而且描述了利率的条件异方差性质。 多因数模型 b r e n n a n s c h w a r t z ( 1 9 7 9 ) 构造了下列的双因素模型 出= 臼，d t + 仃，l d w l ，+ 盯，2 d w l f d l ，= 0 ，d t + d ，l d w l l + 口，2 d w 2 f ( 2 5 ) 其中，r f 表示即期利率，表示远期利率，0 ，、口，i 、盯，2 、口f 、o 和口，2 均 为与时间无关的常数，”“和w ：，表示相互独立的标准布朗运动。 s c h a e f e r - s c h w a r t z ( 1 9 8 4 ) 构造的另一个双因素模型，与上述模型十分相似 以= ，硝一- ) d t + 呀小v 】r d l f 文口2 一z ? r ) d r + o 再“ ( 2 6 ) 其中，为即期利率，为远期利率m 、肌_ , 1 1 0 - 为与时间无关的常数，w 和w 2 ， 表示相且独立的标准布朗运动。 l o n g s t a f f - s c h w a r t z ( 1 9 9 2 ) 的烈冈素模型选用即期利率及其波动作为模型因素 d x ，= ( ，一缸，) d r + 扛矶l ， a y t = t l j _ v y l ) a t + 6 如1 1 ( 2 7 ) 其中，x ，为即期利率，y 。为即期利率的波动，卜文r l 和y 为常数，”l ，和w 2 ，为互 不相关的标准布朗运动。l o n g , s t a f f - s c h w a r t z 用该模型对贴现债券及其期权进行定价。 l i nc h e n ( 1 9 9 4 ) 的三因素模型则_ ； j 即期利率及其波动和均值作为模型因素 d r t = k t 8 | r l + e 再阳n t d o ，= “百一0 ，) d r + 鼎2 ， d c r ，= ( 孑一o t ) a t + q 扛咖3 ， ( 2 8 ) 其中，表示即期利率，0 ，表示即期利率的均值，口，表示即期利率的波动，y 、 卢和口为与时间无关的常数，叫i f 、”2 ，和w m 均为标准布朗运动且有相关关系如下 8 d ”n d w 2r = p 【2 d t ，d w l f d w m = p 1 3 d t ，d w 2 ，d w 3 r2p 2 3 d t l i nc h e n 以这个期限结构模型为基础，系统地讨论了各种利率衍生证券的定价问题。 虽然连续时间模型具有良好的解析性质，有利于衍生证券定价模型的理论推导。但 是这些模型多半假设利率的条件方差是不随时间变化的常数( 例如，上述的模型( 2 2 ) 、 ( 2 3 ) 、( 25 ) 和( 2 6 ) ) ，晟多也只假设利率的条件方差与其前一个单位时间的时滞有关 ( 例如，模型( 2 8 ) ) ，因此许多连续时间模型往往不能很好地解释实际数据。有关文献 可参见s h i l l e r ( 1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) 、s a r g e n t ( 1 9 7 2 ，1 9 7 9 ) 、s h i l l e r - c a m p b e l l s c h o e n h o l t z ( 1 9 8 3 ) 、 m a n k i w s u m m e r s ( 1 9 8 4 ) 、c a m p b e l l ( 1 9 8 4 ) 、f l e s a k e r ( 1 9 9 3 ) 、b a c k u s f o r e s i z i n ( 1 9 9 4 ) 以 及w u ( 1 9 9 9 ) 。同时，大量的实证研究也表明：经济( 尤其是金融) 领域的许多高频率 数据序列( 例如，通货膨胀率、资产回报率、股票价格、利率以及汇率等数据序列) 都 具有明显的序列相关性质。这些数据序列的条件方差随着时间推移而变化，经常产生波 动串( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 现象，即幅度较大的波动和幅度较小的波动经常分别集中在不 同的时段里。有关的文献可追溯到m a n d e l b r o t ( 1 9 6 3 ) 和f a m a ( 1 9 6 5 ) 这两篇文章。后 来的研究叉发现消息的好坏也会对宁列的波动产生不同的影自。如果根据影响程度把消 鬯、分为人中小等不同的级别，则刚一级别的坏消息对序列波动的影响往往要大于好消 息。b l a c k ( 1 9 7 6 ) 、c h r i s t i e ( 1 9 8 2 ) 、f r e n c h s c h w e r t s t a m b a u g h ( 1 9 8 7 ) 、n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 以及 s c h w e r t ( 1 9 9 0 ) 是讨论这个问题的主要文献。 2 2 离散时间模型 由于连续时间模犁的缺陷和经济数据序列的相关性质，不少学者把注意力投向模拟 能力更强和实用性能更好的离散时f 刚模型。例如始于8 0 年代初，近十几年来飞速发展 的自回归条件异方差模型( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c r ym o d e l so ra r c h m o d e l s ) 及其各种推广模型就是近代计量经济学的一类重要且实用的离散时间模型。下 面将概要地介绍这类模型以及有关的模型分析和估计方法。 9 a r c h 模型 为了更准确地刻划条件方差的波动串性质，e n g l e ( 1 9 8 2 ) 开创性地提出了自回归条 件异方差模型( a r c hm o d e l ) 。他假设模型的预测误差 s 。) 为某实值离散时间随机过 程，记y ，为截止时刻f 的所有信息的信息集合( 即一域) ，且有 占。= z ，q 腔 z ，i i d - e ( z r ) = 0 ， v a r ( z f ) = 1 h t = ( s 2 _ 1 ，2 - 2 ，口) ( 2 9 ) 佗1 0 ) ( 2 1 1 ) 其中，h ，是给定信息集合妒r _ l 时，的条件方差( 即y h 的正可测函数) ，口为 方差参数向量。在某给定的模型中。s ，通常是某随机过程y 。的随机扰动，即 y ，= g ( x ，b ) + r ( 2 1 2 ) 其中，x ，是外生变量和y ，的时滞组成的向量，6 是均值参数向量。 a r c h 线性回归参数模型 若进一步假设= ，是独立同分布的标准正态变量，并且具体地假设s ：是某线性回 归方程的随机扰动，即 s r2 y f x f 0 毛i i d n ( 0 ，1 ) ( 或s ，y h n ( o ，h ，) ) 且 ，是时刻f 之前q 个随机扰动项的平方的线性函数 q ：口。+ q 。，。2 一。：口。+ 爿( ) f ； ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 其中，q 0 ，口= ( 口o ，a l ，口2 ，盘口) 是来知的方差参数向量，口o 0 ，口，0 i = 1 ，2 ，q 。可以证明q 阶线性a r c h 过程( 2 1 5 ) 协方差平稳的充要条件是其特征方 程爿( 砷= 0 的根都在单位圆外( 参见e n g l e ( 1 9 8 2 ) 定理2 ) 。于是( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 便构成了应用性很强的带有q 阶自回归条件异方差的线性回归参数模型( p a r a m e t r i c 0 l i n e a rr e g r e s s i o nw i t ha r c h 国) m o d e l ) 。 其中 因为s ，少h n ( o ，啊) ，所以样本i ，s 2 ，s 。的平均对数似然函数为 l ( o ) = h “( 功 ( 口) = 一1 ( 1 0 9 h ，+ ；h ，) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 表示第t 个样本点s ，的对数似然函数，0 是全体未知参数组成的向量。于是口的最大 似然估计量就是似然方程8 l ( o ) o o = 0 的解。虽然该似然方程比较复杂，但是 b e m d t h a l l h a l l - h a u s m a n ( 1 9 7 4 ) 提出了一种类似于牛顿迭代的算法解决了该似然方程 的求解问题。在一定的条件下，可以证明a r c h 模型的参数信息矩阵关于均值参数b 和方筹参数a 的非对角子块均为零阵( 参见e n g l e ( 1 9 8 2 ) 定理4 和g o u r i 6 r o u x ( 1 9 9 7 ) 日 理4 1 3 ) ，冈此t 均值参数和方筹参数的估计可以在升：损失渐近有效性的情形f 分别进 行。参数a r c h 模型的异方差性质可以通过假设检验来加以肯定或否定，它等价丁检验 方差参数b 的估计量是否全部为零，常用的检验统计量是拉格朗日乘子统计量( l a g r a n g e m u l t i p l i e tt e s ts t a t i s t i c ) 。上述内容详细讨论可参见e n g l e ( 1 9 8 2 ) 。 除了最人似然估计法之外，还可以用广义矩方法估计a r c h 模型的未知参数，有关 的文献有：m a r k ( 1 9 8 8 ) 、b o d u r t h a - m a r k ( 1 9 9 1 ) 、g l o s t e n ，j a g a n n a t h a n r u n k l e ( 1 9 9 1 ) s i m o n ( 1 9 8 9 ) 和r i c h - r a y m o n d - b u t l e r ( 1 9 9 0 ) 。 g a r c h 模型与a r c h m 模型 在e n g l e ( 1 9 8 2 ) 的a r c h 模型问世之后，各种修改或推广的a r c h 模型层出不穷， 本小节只简要地介绍两个比较主要的模型： b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 的g a r c h 模型( g e n e r a l a r c hm o d e l ) 和e n g l e - l i l i e n - r o b i n s ( 1 9 8 7 ) 的a r c h m 模型( a r c h i n m e a nm o d e l ) 。 我们把各种a r c h 的修改或推广模型统称为a r c h 类模型( a r c hf a m i l ym o d e l s ) 。 g a r c h 模型与a r c h 模型的不同之处在于把时刻f 之前的条件方差作为独立的自 变量引入条件方差的函数h ，即 h ，= a o + 口。占l ，+ 声，啊一， = d o + a ( l ) g ；+ b ( 三) 扛 ( 2 1 8 ) 其中，p 0 ，q 0 ：口o 0 ，口，20 ，i = 1 , 2 ，一，q ；卢0 ，i = 1 ，2 ，p 。显然 g a r c h 是a r c h 的推广，而a r c h 是g a r c h 的特例。g a r c h 模型的未知参数的估 计方法以及模型异方差性质的假设检验均与a r c h 模型所采用的方法相似。有关 g a r c h 模型的详细介绍可参见b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 。 1 9 8 7 年，e n g l e 、l i l i e n 和r o b i n s 三人合作了一篇文章。他们考虑了金融理论中常见 的均值与方差的负相关关系，在y ，的条件均值e ( y ，| 。) = g ( z ，6 ) 的白变量中加入 一个新成员t ，使( 2 1 2 ) 变成 y f = g ( x ，h ，b ) + ( 2 1 9 ) 从而使y ，的条什均值包含了条件方差啊。也正是这个原因，( 2 1 9 ) 和( 2 i5 ) 所构成 的模型被称为a r c h m 或a r c h - i n - m e a n 模型译成中文应该是“条件均值中含有自回 归条件异方差的模型”。a r c h - m 模型的未知参数估计方法和模型异方差性质的假设检 验仍与g a r c h 模犁所采用的方法相似。但是，g a r c h 模型的参数信息矩阵关于均值 参数和方莘参数的非对角子块为零阵的性质，a r c h m 模型却不具备。对g a r c h 模型 而言，均值参数和方差参数可以分别估计而不影响估计的渐近有效性，因此，如果关于 条件方差的函数h 的假设存在偏差，仍可获得均值参数b 的相合估计。然而，对a r c h m 模型来说，要想得到未知参数的相合估计，整个a r c h m 模型的假设必须是完全止确 的。 e g a r c h 模型与a g a r c h 模型 g a r c h 模型乃至a r c h - m 模型的一个明显缺点就是模型的对称性，该缺陷的根源 在于模型的条件方差函数h 的构造：h 只包含过去的条件方差h ，。和预测误差的平方项 s ：。，这样的h 只能刻划s 。的人小( 即消息的大小) 而不能反映其正负( 即消息的好 2 坏) 对序列波动的影响。 为了弥补这方面的缺陷，n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 首先提出下列非对称模型，以刻划消息的不 对称影响，这个模型称为指数g a r c h 模型( e x p o n e n t i a lg a r c hm o d e lo re g a r c h m o d e l ) 。该模型的条件方差函数为 l o g ( h , ) = + f l l o g ( h ，一1 ) + 声。+ 口( k l l 一了万) ( 2 2 0 ) 其中，、口和，为参数。 e n g l e ( 1 9 9 0 ) 提出了另一个非对称g a r c h 模型( a s y m m e t r i cg a r c hm o d e lo r a g a r c hm o d e l ) ，其条件方差函数为 j 吃= + 届q i + 口( s ，一1 + ，) 2( 2 2 1 ) 其中、a 、口和，为参数。 上述的两个模型均可以刻划消息的非对称影响，但是a g a r c h 模型的解析性质要 比e g a r c h 模型好，因为后者含有绝对值符号，这将给模型参数的最火似然估计运算 带来困难。a g a r c h 模型也有不足之处，其平方项含有未知参数”这会成为模型初估 的障碍。因此，本文提出一个新的a g a r c h 模型，作为刻划人民币基准利率的数学模 型( 参见第三章3 1 ) ，并在无约束条件和有约束条件两种假设下，用最大似然估计、 非线性规划和非参数回归等方法对模型进行估计( 参见第四和第五章) 。 如上所述我们用拉格朗同乘f 统计量对g a r c h 模型的异方若性质作假设检验 但是这种检验只能检验对称性的异方差性质。要进一步检验非对称的异方差性质，还须 使用另外三种假设检验方法：符号偏