近世代数课件-4.2.唯一分解环.ppt

2.唯一分解环,2.1定义与例子2.2等价条件2.3典型分解2.4最大公因子与互素,2.1定义与例子,由于上一节的例我们知道，在一个整环里唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的。,例1.举正反例子,例2.在唯一分解环,每一个非零元a的因子,在相伴的意义下只有有限多个.,证明:,(1)如果a是单位,那么,a的因子只有单位,所有单位都相伴的(?).因此,a的因子,在相伴的意义下只有一个.,(2)如果a不是单位,a可以分解,a的因子只有下面的形式:,不相伴因子总数不超过个,说明:不同类因子不相伴,同类因子可能相伴.,一个唯一分解环有下面重要性质。,注:在一个非唯一分解环,一个非零元a的因子,可以有无穷多个不相伴的(吴品三,p181).,证明,能够整除,(1)当之中有一个是零或是单位的时候，定理也是对的。若，那么。若是单位，那么,(2)和都不是零元，也都不是单位。这时c显然不等于零。我们说c又不是一个单位。不然的话,而由，1定理2，是素元。这就是说，素元可以写成两个非单位的乘积，因而有真因子。这是矛盾。c既不是零又不是单位，由唯一分解环的定义，,由唯一分解的定义，一定是某一个或某一个的相伴元。若是某一个的相伴元，那么,同样若是某一个的相伴元，那么。,2.2等价条件,性质（）的重要性由以下定理可以看出。,证明,我们看的一个不等于零也不是单位的元。由性质（），有一个分解,我们须要证明，有唯一分解；就是说，假定我们也有,那么，并且我们可以把这些的次序掉换一下，使得是的相伴元。我们对素因子的个数r,应用第二型归纳法。,(2)假如,定理对能写成个素元的乘积的元都成立,即都有唯一分解。,在这个假定之下，我们看一个元的两种分解：,由性质（），,能够整除某一个；把的次序换一换，我们可以假定，但是素元，不是单位，所以,这样,这里b是个素元的乘积，所以依照归纳法假定，,而且我们可以把的次序掉换一下，使得,注由定理1，2，我们也可以用条件（），（）来作唯一分解的定义。,2.3典型分解,2.4最大公因子与互素,定义2(公因子)元叫做元的公因子，假如c同时能够整除。,定义3(最大公因子)元叫做的最大公因子,假如:(1)元是元的公因子.(2)的每一个公因子也是的因子。,例2.整环中,两个元的最大公因子不一定存在.,唯一分解环的另一重要性质是最大公因子的存在。,定理3一个唯一分解环的两个元和b在里一定有最大公因子。和b的两个最大公因子d和只能差一个单位因子：,证明,若之中有一个是零，比方说，那么b显然是一个最大公因子。若是之中一个单位，比方说是单位，那么显然是最大公因子。,(首先在Z中介绍一个例子),现在看和b都不是零也不是单位是的情形。适当改变典型分解的形式,可以得到:,用来表示与中较小的一个（的时候就叫）而作元,那么显然,.,进一步,可以证明d是最大公因子.,假定也是和b的最大公因子，那么,当且仅当,证完,从这个定理用归纳法立刻可以得到,推论一个唯一分解环的n个元在里一定有最大公因子。的两个最大公因子只能差一个单位因子。,这样，若是几个元的某一个最大公因子是一个单位，这几个元的任何一个最大公因子也是一个单位。利用这一件事实，我们可以在一个唯一分解环里规定互素这一个概念。,定义4我们说，一个唯一分解环的院互素，假如它们的最大公因子是单位。,这样