一道课本习题的探究

一道课本习题的拓展探究,一习题来源,如图，ABAC于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，APPC，则ABPPDC。请说明理由。,浙教版八年级数学(上册)2.7直角三角形全等的判定课后作业题第2题(第47页)：,已知条件：1、一组边相等（AP=PC）2、三个角相等（ABP=APC=PDC=90）,A+1=901+2=902+C=90,1,2,A=2,C=1,结论：ABPPDC,基本图形的构造与应用,条件、结论的互逆变换,基本图形的变化拓展,结论的延伸与拓展,条件的弱化,问题演变,如图，ABAC于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，APPC，则ABPPDC。请说明理由。,一、结论的延伸与拓展,观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系，并证明你的猜想。,例1、已知A、D是一段圆弧上的两点，且在直线L的同侧，分别过这两点作L的垂线，垂足为B、C，E是BC上一动点，连结AD、AE、DE，且AED=90。如图，若点E恰为这段圆弧的圆心，则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明。再探究：当A、D分别在直线L两侧且ABCD，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系？请直接写出结论，不必证明。,（1）经历观察猜想到验证的解决问题方法；培养学生探究能力与解决问题的能力。（2）让题设条件与图形“动”起来，克服思维定势和图形位置定势，使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。,E,例2、如图，在笔直的公路L的同侧有A、B两个村庄，已知A、B丙村分别到公路的距离AC=3km，BD=4km。现要在公路上建一个汽车站P，使该车站到A、B两村的距离相等，（1）试用直尺和圆规在图中作出点P；（2）若连接AP、BP，测得APB=90，求A村到车站的距离。,C,D,A,B,L,P,添加应用背景,一、结论的延伸与拓展,渗透数形结合思想、培养应用数学知识解决问题的能力。,二、条件和结论的互逆变换,例3、两个全等的含30、60角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连结BD，取的BD中点M，连结EM，EC，试判断的CME形状，并说明理由,培养思维的灵活性。,如图，ABAC于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，APPC，则ABPPDC。请说明理由。,三、弱化条件,弱化条件“线段相等”则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。,演变命题1,当一个命题成立的条件较为丰富时，可考虑减少其中一两个条件，或将其中一两个条件一般化，并确定相应的命题结论，从而加工概括成新的命题以求拓展应用。,例4、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处已知折痕，且(1)判断OCD与ADE是否相似？请说明理由；(2)求直线CE与x轴交点P的坐标；,P,6X,8X,3X,4X,10X,5X,5X,如图，ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，ACE=B=D，则ABCCDE。,弱化条件“直角”，则“全等三角形”结论仍然成立。,演变命题2,=90,三、弱化条件,例5、ABC为等边三角形，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF也为等边三角形。（1）在图中找到除等边三角形边长相等的线段，证明你的结论。（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变换相互得到？写出变换过程。,如图，ABC和CDE中，点D在边BC的延长线上，AC=CE，ACE=B=D，则ABCCDE。,三、弱化条件,同时弱化条件“线段相等”、“直角”，则结论由三角形的全等弱化为三角形相似。,演变命题3,=90,例6、如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=6，ABC60，点E，F分别在线段AD、DC上（点E与点A、D不重合），且BEF120，设AE=x，DF=y（1）求y与x的函数解析式（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？,充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题,ACE=B=D=90ABPPDC,AP=CPB=APC=DABPPDC,ACE=B=D,AP=CPB=APC=D=90ABPPDC,ABPPDC,无论如何变换，本质是三个角相等，应用三角形相似（全等）来解决。,四、图形的变化拓展,从图形运动中找出规律，转化为一般的几何证明问题，探究解决新问题的策略。,平移,平移,旋转,轴对称,A,B,C,D,E,F,G,3.在正方形ABCD中，E,F分别是DC,BC边上的点，且BF=CE,连接BE,AF相交于点G,下列结论不正确的是()A、BE=AFB、DAF=BECC、AFB+BEC=90D、AFBC,A,B,C,D,E,H,4.在ABC中,高AD,BE相交于点H,且BH=AC,则ABC=,例4、某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：1、如图（1），在等边ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若BON=60，则BM=CN；2、如图（2），在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交与点O，BON=90，则BM=CN；3、如图（3），在正五边行ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN。,任务要求1、请你从1，2，3三个命题中选择一个进行证明；2、请你继续完成下面的探索；试在图（3）中画出一条与CD相等的线段DH，使点H在正五边行的边上，且与CN相交所成的角是108，这样的线段有几条？如图（4），在正五边行ABCDE中。M，N分别是DE，EA上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，请问结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，试说明。,五、基本图形的构造,几何综合性问题通常是由若干个基本问题组合而成，其图形也是由若干个基本图形组合而成，因而，学生不仅要具备必需的图形的分解能力，同时，还应具备必需的辅助线构造基本图形的技能。,五、基本图形的构造,例7、如图21，MON=90，MON的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，点B在ON上的任意一点，在MON的内部作正方形AB1C1D1。连接DD1，求证：ADD1=90连接CC1，猜一猜，C1CN的度数？并证明你的结论。ON上任取一点B2，以AB2为边。在MON的内部作出正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1），（2）的结论，请你再作出一个合理的判断。,D,添加辅助线构造基本图形来解决问题的能力,H,I,例8、已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3分别以OB,OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系F是边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E请探索：是否存在这样的点F，使得将CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由,（,3）,(4,),3,（1）添加直角坐标系，与函数结合，是一道代数与几何的综合题，考查相似三角形、图形与坐标、函数等知识；（2）培养学生综合分析问题能力、处理实际问题能力和应变能力。,具有较强代表性和典型性的习题是数学问题的精华，教学不要忽视了这些小题，要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，多题组合，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题、通一类、会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质，这对激发学生学习的兴趣，培养学生的创造性思维，创新能力，数学素质，都将起作积极的推动作用。,三、感悟与反思,浙教版八(下)第18页作业题第5题从一张等腰直角三角形纸板中剪一个尽可能大的正方形，应怎样剪？请画图说明你的剪法。如果这张纸板的斜边长为30cm，能剪出的最大正方形的面积是多少cm2？,原题：如图，以正方形ABCD的一边AD为边在正方形外作等边ADE，连接BE，则BED的度数为（）（A）30（B）37.5(C)45(D)50,浙教版八(下)第158页目标与评定第9题,【原题】已知：如图在平行四边形ABCD中，ADC的平分线交AB于点E,DEA=680,(1)求证：AD=AE(2)求平行四边形ABCD各内角的度数。,浙教版八(下)第127页目标与评定第7题,如图，一只箱子沿着斜面向上运动，箱高AB=1.2m.当BC=2.4m,点B离地面的距离BE=1.4m，求此时点A离地面的距离（精确到0.1m）,原题展示,来源,浙教版九上课本第117页A组第2题,代数的改编题,变1：柯岩街道某服装厂2009年1月份生产服装5万件,后来由于市场需求,这年第一季度共生产服装18.2万件.求2、3月份的平均月增长率,问题1：柯岩街道某服装厂2009年1月份生产服装5万件,后来由于市场需求,3月份生产服装7.2万件.求2、3月份的平均月增长率。,变2：柯岩街道某服装厂2009年1月份生产服装5万件,后来由于市场需求,3月份生产服装达6.6万件.其中3月份月增长率是2月份的2倍.求2、3月份的月增长率分别是多少？,问题1：柯岩街道某服装厂2009年1月份生产服装5万件,后来由于市场需求,3月份生产服装7.2万件.求2、3月份的平均月增长率。,变3：柯岩街道某服装厂生产的服装原来每件售价96元，经过连续两次降价后，现在每件售价54元，则平均每次降价的百分率是多少？,柯岩街道某服装厂有一个专卖店，将成本为40元的服装按50元出售，能卖出500件，已知这种服装每涨价1元，就会少销售10件。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时的销量为多少件?,变1：（若要让顾客获得实惠）,变2：（获利不能超过50%）,服装厂有一个专卖店，将成本为40元的服装按50元出售，能卖出500件，已知这种服装每涨价1元，就会少销售10件。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时的销量为多少件?,变3：把“每涨价1元，就会少销售10件”改为“每涨价2元，就会少销售10件”,变4：把“每涨价1元，就会少销售10件”改为“每涨价0.5元，就会少销售10件”,（若要让顾客获得实惠）,服装厂有一个专卖店，将成本为40元的服装按50元出售，能卖出500件，已知这种服装每涨价1元，就会少销售10件。为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时的销量为多少件?（若要让顾客获得实惠）,变5：把“为了赚得8000元的利润”改为“为了赚得10000元的利润”,变6：把“为了赚得800