（数学专业论文）无限秩仿射李代数的结构理论.pdf

摘要 一个无限秩广义c a x t a n 矩阵被称为无限秩仿射矩阵，如果它的每个有限阶主 子式都是正的。无限秩仿射矩阵共有a o o ，a + ，风o ，c 岛和d 五种类越 无限秩仿射李代数是指复数域c 上同无限秩仿射矩阵x 相关联的的k a c - m o o d y 代数g ( x ) ，它由生成元豫，轰，麓| i 砖生成辩任意非负整数珏，记瓢是由 玩，五，趣| ，| i | 嚣 生成的雾( x ) 的子代数。瓢是一个有限维经典李代数，其根系 为如对任意m 豫，g m3 骱，因此g ) 一l i m g 忭，即g ) 可以看作是予 代数的正向极限 本文主要研究无限秩仿射李代数g ( x ) 的结构设【m 悖= 1 ，2 ，) 是任一递 增的非负整数序列 本文首先介绍了无限秩仿射李代数的生成元和生成关系式等基本性质，并猩 无限维空闻上蔫矩阵逐一实瑷了五种类型的无限秩仿射李代数，并萼l 进了它的 k i l l i n g 型。 无限秩仿射李代数的根系就是无限秩典型根系在本文里我们给出了无限 秩典型根系的的公理体系，它直接推广了有限根系的公理体系，并在基为慨悼，) 的可数维e u c l i d e a n 空间里，我们直接构造了无限秩典型根系最后我们完全确 定了的保持m 的自同构群r ( n d ) 它是有限根系的自同构群的直接推广 无限秩仿射李代数g ( x ) 的c a r t a n 子代数是存在的，本文给出了无限秩仿射 李代数的型为 魄 的良同构，所有型为 瓤 的宙丽构构成群g ( 魄 ) 并罨| 入广 义内宣同构群暑( 魄 ) ，接着定义了寥( x ) 的型为 魄 的c a f t a n 子代数，证明了 这种型为 啦 的c a r t a n 子代数在广义内自同构群荔( 瓤) ) 下的共轭性 对于有限维单李代数，它的自同构的确定取决于根系的自同构的确定和c a r - t a n 子代数的共轭性本文在刻画了无限秩典型根系的自同构和论证了c a r t a n 子 代数的共轭性后逐一确定了无限秩仿射李代数的某种类型的自同构我们的主要 结论是：无限秩仿射李代数的自同构群g ( 佻 ) 是巍它的广义内自同构、对兔自 同梅秘可畿的广义图蠢阕梅生成。 关键词李代数，根系，c a f t a n 子代数，寄同构 分类号0 1 5 2 a b s t r a c t i i i ag e n e r a l i z e dc a r t a nm a t r i xo fi n f i n i t eo r d e ri sc a l l e da 1 1i n f i n i t ea f l i n em a t f i xi f e v e r yo n eo fi t sp r i n c i p a lm i n o r so ff i n i t eo r d e ri sp o s i t i v e ac o m p l e t el i s to fi n f i n i t e a f f i n em a t r i c e si sf o l l o w i n g ：a o 。，a + ，氐，氏a n dd a ni n f i n i t er a n ka f l i n el i e a l g e b r ag ( x ) i sak a c - m o o d ya l g e b r aa s s o c i a t e dw i t ha l li n f i n i t ea f l i n em a t r i xx 。t h e l i ea l g e b r ag 省) i sg e n e r a t e db yt h eg e n e r a t o r s 岛，矗，勉| i 毋 f o ra n yn o r m e g a t i v e i n t e g e rn ，l e tg | ld e n o t et h es u b a l g e b r ao fg ( x ) w h i c hg e n e r a t e db y 龟，轰，l l i l 墨 犯) g 住i sac l a s s i c a lf i n i t ed i m e n s i o n n a ll i ea l g e b r aw i t har o o ts y s t e ma 件f o ra n y m n ， i ti sc l e a rt h a tg 仇3g na n dg ( x ) = l i m g ni st h ei n d u c t i v el i m i to ft h e s u b a l g e b r a sg ，1 t h ep a p e rm 8 i n i ys t u d i e dt h es t r u c t u r eo ft h ei n f i n i t er a n ka g i n el i ea l g e b r a s l e t - l i = 王，2 ， b ea n yi n c r e a s i n gn o n n e g a t i v ei n t e g e rs e q u e n c e ，w h i c hm e _ 2 2 1 st h a t 啦z a n dr t l n 2 f i r s t l yw eg a v et h eg e n e r a t o r sa n dd e f i n i n gr e l a t i o n sf o ri n f i n i t er a n ka f f i n el i e a l g e b r ag ) t h e nw ec a s eb yc a s er e a l i z e dt h ef i v et y p e so fi n f i n i t er a n ka f f i n el i e a l g e b r ab ym a t r i xi nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n n a lv e c t o rs p a c e t h e nw ei n t r o d u c e dt h e n o n d e g e n e r a t e dk i l l i n gf o r mf o rt h ei n f i n i t er a n ka f f i n el i ea l g e b r a s s e c o n d l yw eg a v et h ei n f i n i t ec l a s s i c a lr o o ts y s t e m s a n dd i r e c t l yc o n s t r u c t e d t h e mr e s p e c t i v e l yi na l le u c l i d e a ns p a c ew i t ha l lo r t h o n o r m a lb a s i s 矗汪毋t h e nw e c o m p l e t e l yd e t e r m i e da l la u t o m o r p h i s m so f p r e s e r v i n g 镌。i ti sag e n e r a l i z a t i o no f a u t o m o r p h i s mg r o u p so ff i n i t er o o ts y s t e m s 。 t h i r d l yw eg a v et h ed e f i n i t i o no ft h ea u t o m o r p h i s m so ft y p e 啦 o fi n f i n i t er a n k a f f i n el i ea l g e b r a s a l la u t o m o r p h i s m so f t y p e 【佻 c o n s i s to ft h ea u t o m o r p h i s m sg r o u p s g ( 啦) ) t h e nw ed e f i n e dt h eg e n e r a l i z e di n n e ra u t o m o r p h i s m sg r o u p se ( 仇) ) o fi n f i - n i t er a n ka f f i n el i ea l g e b r a s a n dt h ep a p e ri n t r o d u c e dt h ed e f i n i t i o no fc a f t a ns u b - a l g e b r a so ft y p e 啦 o fi n f i n i t er a n ka f f i n el i ea l g e b r a s ，t h e np r o v e dt h ec o n j u g a c yo f t h e s e k i n d so fc a f t a ns u b a l g e b r a su n d e r 联 氆挎 f o raf i n i t ed i m e n s i o n a ls i m p l el i ea l g e b r a ，i t sa u t o m o r p h i s mg r o u pi sd e t e r - m i n e db yt h ea u t o m o r p h i s m so ft h er o o ts y s t e m sa n dt h ec o n j u g a c yo fc a f t a ns u b - a l g e b r a s f i n a l l yw eg a v eac o m p l e t ed e s c r i p t i o no ft h eg r o u pg ( m ) ) o u rm a i nt h e o - r e mi st h a tt h ea u t o m o r p h i s mg r o u pg ( 啦 ) o fg ( x ) i sg e n e r a t e db yg e n e r a l i z e di n n e r a u t o m o r p h i s m so ft y p e 儆) ，d i a g o n a la u t o m o r p h i s m sa n dp o s s i b l eg e n e r a l i z e dg r a p h a u t o m o r p h i s m so ft y p e 撕) f o ra n yi n c r e a s i n gn o n n e g a t i v ei n t e g e rs e q u e n c e n d ， i v k e y w o r d sl i ea l g e b r a s ，r o o ts y s t e m ，c a r t a ns u b a l g e b r a s ，a u t o m o r p h i s m s 2 0 0 0m rs u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n0 1 5 2 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名：节 0 善年，胃 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者棍构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：翻磁 口占年f 胃彩e t 。 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年月日年月曰 第一章引言 上个世纪，特征数为0 酶代数闭域上的有限维半单李代数理论已得到了充分 的发展，对有限维半攀李代数的结构秘表示有深刻和系统的认识。给定复数域c 上的个有限维单李代数己和它的c a f t a n 予代数慰，李代数有关于c a r t a n 子代数日的根空间分解【1 1 l = h 。( o 如) n 圣 其中圣是相应的根系。设 毡l ，锄，q n ) 是蚤的基础根系，魏是圣的秩，矩 阵( ) ：1 冀釜的c a f t a n 矩阵。 1 9 4 8 年c c h e v a l l e y 证明了对于任何秩为孙的有限维复半单李代数存在溉 个生成元e l ，e 2 ， ，2 ，厶， l ，危2 ，k ，并且满足下面的关系： 陬，幻】= 0 ， i ，j = 1 ，2 ，n ， f e i ，办】= k ，t ，j = 1 ，2 ，钆， 陋l ，e j l = a o e j ，陬，矗】= 一厶， i ，j = l ，2 ，死， ( a d e n ) 1 一露裕勺一0 ，( 积五) 1 叫嘧鼻= 0 ， i 歹，墓，j = 1 ，2 ，芤。 其中a i j 是的c a r t a n 整数， ( a o ) i , j ：l 为c a r t a n 矩阵，满足下面的性质； c 1 )a i i = 2 ，i 勰1 ，2 ，死； c 2 )对z j ，a i j 是非正整数； c 3 )= 0 垮a j + 拳o ； c 4 )a 的所有妻子式都是正的。 1 9 6 6 年j p s e r r e 证明了上面的关系就是有限维复半单李代数的定义关系。 这样，我们纵观有限维经典李代数的结构理论，可以看出： 有限维单李代数卜_ c a r t a n 矩阵 这个对应是一的，也就是说，如果两个李代数是同构的，则它们的c a f t a n 矩阵是相同的( 这里，两个c a r t a u 矩阵相同是指它们置换相似) ，否则它们的 董 2 第一掌零| 富 c a r t a n 矩阵就不相同因此，有限维单李代数的分类就可以由它的c a r t a n 矩阵 的分类决定同样我们也建立了( l ，日) 与( 西，e ) 之间的一个一一对应，其中e 是实欧氏空间这些就是著名的c a r t a n - k i l l i n g 理论，它出现在约一百年以前 从那开始，c a r t a n - k i l l i n g 理论作为有限维单李代数上的一套完整的理论体系而 存在着，直到1 9 6 8 年k a c 穰m o o d y 放松了有限维单李代数的c a r t a n 矩阵的条 件、弓| 进广义c a r t a n 矩阵的概念，构造| 出一类新的无限维李代数，即k a c - m o o d y 李代数 从那时起k a c - m o o d y 代数发展迅速，已经成为现代代数的一个重要的分支， 至今方兴未艾k a c 和m o o d y 已经完成了k a c - m o o d y 代数g ( a ) 的构造、分 类、根系、w e y l 群和表示理论等方面的大量工作首先我们已经知道k a c m o o d y 代数的分类可以归结为广义c a r t a n 矩阵的分类，且广义c a r t a n 矩阵可以分为 三类；有限型，仿射毽和不定型。有限型广义c a r t a n 矩阵就是我们熟知的通常 的c a r t a n 矩阵，仿射型广义c a f t a n 矩阵的分类怨电k a c 、m o o d y 分别独立得 到，丽不定型广义c a f t a n 矩阵的分类还没有完成。 作为广义c a r t a n 矩阵的一种特殊情况，文献翻给出了无限秩仿射矩阵，并 定义同无限秩仿射矩阵相关联的k a c - m o o d y 代数就是无限秩仿射李代数本文 主要研究无限秩仿射李代数的结构 对于无限秩仿射李代数g ( x ) ，文献 2 1 已经给出了它的基本性质，并指出了 无限秩仿射李代数分为五种类型：a ，a 旧，z k ，瓯。积比。对每一狰 类型，列举了它的根系。 文献( 3 1 进一步指鬻对任意非负整数绍，记瓢是由 龟，五| | i | 髓 生成的 g ( x ) 的子代数则g ocg lc9 2c 且g ( x ) 一l i r a g n ，这样g ( x ) 可以看 成是子代数g n 的正向极限 对于有限维半单李代数，它的每一个导子都是内导子对于同有限阶广义 c a r t a n 矩阵相关联的k a c - m o o d y 代数g ，g c 的每一个导子也都是内导子，其 中e 是g 的中心。但是辩无限秩仿射李代数寥( x ) ，此结论并不成立。 文献 3 1 中研究了无限秩仿射李代数g ( x ) 的导子。对任意菲负整数露，设 孙是g 住在g ( x ) 中的中心化子，显然， 3 1 ) a 23 ) a t l ) ， 对任意非负整数n ，我们有向量空间的自然同态； l r n ：o ( x ) _ g ( x ) 办摊， 对所有m ，m 他， 7 r 机：g ( x ) 如_ g ( x ) 轴， 这里7 r n m0 = 7 r n 集合 露x ) 办狂；嚣= l ，2 ， 和同态集合 ：g ( z ) 5 m g ( x ) h n ；似m 构成一向量空间范畴的的射影系 定理作为向量空间， d e r ( g ( x ) ) 型n mg ( x ) 办鼗， 这里l i mg ( x ) 3 靠是莉影系 参x ) 岛拓，m 的射影极限。- 本论文将进一步研究无限秩仿射李代数的结构本文分五章： 】2 3 第二章里我们给出无限秩矩阵的定义：一个无限秩广义c a f t a n 矩阵，如果它 的每拿有限阶主子式都是正的，则称之力无限秩仿射矩阵。它共有a ，a + ， 骞。，c 帮玩五种类型。无限秩仿射李代数是可对称化酶。利用k a c - m o o d y 代数的构造方法，我们袁接构造出五种类型的无限秩仿射李代数g ( x ) ，它由生 成元 e ，五，h d i j ) 生成，满足一定的定义关系而后简单介绍了无限秩仿射 李代数g ( x ) 的基本的性质，并用正向极限的方法说明了无限秩仿射李代数实质 上是有限维李代数的直接推广，并引入了无限秩仿射李代数的对称不变双线性型 k 本章最后在无限维向量空间上从矩阵角度实现了五种类型的无限秩仿射李代 数 1 。3 对于一个有限根系，它的自同构群是它的w e y l 群和相应的d y n k i n 图的自 同构群的半直积【1 1 ，类似的结论对于同有限阶仿射型或不定型的可对称化的广 义c a r t a n 矩阵相关联的根系也成立【4 ，剐本章的主要目的是将此结论推广到无 限秩典型根系上 4第一章孳| 言 首先，我们建立了无限根系的公理体系，它直接推广了有限根系的公理体系 接着对五种类型的无限秩典型根系，我们逐一给出了它们的直接构造 其次，我们定义了无限秩典型根系的型为 啦) 的自同构，并完整地刻画 了的由所有型为 礅) 的自同构组成的群r ( 啦) ) ，它是有限根系的自同构群 的推广。 设是无限秩典毽板系，i i = 戳i i | i 歹 是它的基础根系，对任意难整 数z ，设h t = a i i i | | i l f ) ，a tca 是有所有e k i a i ，( x i 1 1 1 ) 且觑全为非 负或全为非正的整系数显然l 是基为f 的不可约有限根系，oca 1c 且a = u 墨o 1 因此，无限秩典型根系是有限根系的推广 设 n i l = 1 ，2 ，) 是任一个非负整数数列且n l n 2 对每一个无 限典型根系，若对每一个n l ，的自同构矿满足矿( 啦) = 珏。，则称6 r 是的型为 魄 的宙丽构。 对任意声。对每一魄0 王) ，令 彘一 a h i + 1 i ( z ，q ) = o ，魄a 他。) ， 并约定乞= a n ，记眠。是由所有反射即，p 忐一，生成的r ( m ) ) 的子 群直积兀墨1v 是r ( 吼) ) 的正规子群，称为广义w e y l 群 无限秩典型根系的自同构群r ( 啦) ) 可以盘以下四个定理刻画出来 定理设是型魏。或侥。的无限秩典型根系。对任一个菲负整数序列 n i l i = 王，2 ， 且1 r $ 1 铭2 ， r ( 饥，) 垒i j ；i 对于比，定义矿( n o ) = a l ，7 ( 口1 ) = o r 0 ，7 + ( c x i ) = 砚( i 2 ) ，则矿能 够唯一地被扩展成的自同构记贯为r 在l 上的限制，显然贯是l 的 图童同构。对z 2 ，令 霄= 搴r e t 一句r e l + e o ， 当n i 2 时，令瓯一帆。o ；。 定理设是型d 的无限秩典型根系对任一非负整数序列 n d i 一 1 ，2 ，) 且r $ 1 n 2 ， ( 3 0 r ( 仇) ) 是瓯一 5 显然， ( 。) 黼磐( t t 。嚅。) 是r i i 墨lc m 中的元若存在某个能。 ；，则称( 能。) 为的广义图自同构 对于a ，定义7 ；对所有i z ，7 ( 啦) 一a 1 7 事能够唯一地扩张成 的宣圊构，且r r ( 硪 ) 。r 对i 的限制贯就是 的麴自囿构。 定理设是型众的无限秩典型根系， 槐骖1 ，2 ， 是一非负整数 序列且r t l 彻 ，则的自同构群r ( n d ) 由广义w e y l 群n 墨l 眠；和 由上定义的元素矿生成i 对于a 旧，对任一个啦，存在w e y l 群w ( a m ) 中的元8 n ；使得弦。8 儆是 n 的图自同构吃一，到墩的扩张，定义的自同构r ：对任意aca ， 若& 抛，则 ，( & ) = & ；( 貔) 。 对所有l 2 ，8 h i 如，对啦一，的限制是嚆一，瓢一，8 住：，广哪敝的 广义图自同构 定理设是型a + 。的无限秩典型根系， 撕忙= 1 ，2 ，) 是一非负整数 序列且竹1 ) 中的元来研究g m 】) 中元的性质 ( 1 ) 当口= 1 时，对任意o z a ，令 矿：hh h ，v h b ，hx ( 口) ，z 一口hx ( 口) _ 1 z 一口，得到仃= 叉 ( 2 ) 对每一根a ，令 = e x p a d x a e x p ( - a d x 一口) e m p a d x a ， 则由的诱导的的削同构正好是反射，即竹盏= 对任意广义w e y l 群h i 1 p 。的元矿，存在一个广义内自同构e ( 毗) ) 使得它的诱导自同构矿鉴矿从而对任意矿n 霪1 v ；，存在咖e ( _ 【) ) 使得矿= d r + 因此( 咖q 口) = l ，由( 1 ) ，_ 1 仃是个对角自同构叉，因此， 仃= 又o 。 ( 3 ) 对于。r ( ) ) 是的广义图自同构， 对型a 的无限秩仿射李代数9 ，定义1t 对所有i z ， ，y ( ) = 一，7 ( 勖) ：= b 一，7 ( ) = = ，_ 7 r ( m ) ) ，则它的诱导自同构矿就是的图自同构把自同构，y 叫做型a 的无限秩仿射李代数g 的广义图自同构 8第一章孳l 吉 对型a + 的无限秩仿射李代数g ，它可以由所有复矩阵a = ( ) t j e z + ， 其中非零的a i j 个数是有限的且t r a = 0 在通常的李括号下所构成的李代数所实 现定义g 的广义图自同构如下：对每一个a g ，r t ( a ) = 一j z a 以这里 磊= ( 苫气z + 硒= o o ： l 0 ( b ) = 白，由诱导的囱同构百是型a 旧的无限秩典型根系的广义图自同 构 若g 是型三乙或q 的无限秩仿射李代数，它没有广义图皇同构。 设g 是型d 。o 的无限秩仿射李代数定义7 ： 7 ( e o ) 一e l ，7 ( e 1 ) = e o ，7 ( e i ) 一e l ，i 2 ， 7 ( f o ) 一f l ，7 ( ) = f o ，7 ( ) 一 ，i 芝2 对啦2 ，令一 t n e 。；一。& 。；+ 翱，在露札，上的限制是对危窿圊 祷，存在露的对袁囊网构弱。使得磊；磊；g ( 磁，) 且磊；在g 瑰一；上酶 限制是恒等的对的任意广义图皇同构( 镌。) ，容易看出存在一个自同构列 。，。，t 使得；是g 啦的自同构且。在g m 一。上的限制是恒等的 则 、 ( 。) = n m l i m ，2 g ( ( 心) ) ， 【j = 1 2 “【t 心，) ， 我们把它叫做g 的广义图自同构，它的诱导自同构为 ) 搴= 粤；咤镌一( 镌) 最后，我们给出一个主要定理，它完整地刻画了g ( 啦) ) 定理设g 是无限秩仿射李代数， 啦) 是任一递增的非负整数序列，这里， 若g 是型a 旧的，n l 1 ；若g 是型d 的，n l 2 则g 的自同构群g ( m ) ) 是由它的广义内自同构、对角自同构、和可能的图自同构生成- 第二章预备知识 这一章里，作为预备知识，我们简单介绍了k a c - m o o d y 代数的构造过程， 详细的证锈可查阅文献i 2 1 。 定义l 。1 称满足条件g 王，9 2 ，c 奄的矩阵a 为广义c a r t a n 矩阵。 设a ；( a 。) n ，扣1 是复数域c 上秩为f 的矩阵 定义1 2 设b 是一个有限维空间，b 。为b 的对偶空间，若存在 r 雀 1 ，口2 ，q n cb + ，霄v = a r ，q ￥，a ：) cb 满足下列两个条件， ( i ) 7 r 和7 v 都是线性无关的， ( i i ) = ，i ，j = 1 ，2 ，霸。 其中 ：睁xb + - c ， = 口( 危) 称三元组( 白，i i ，i i v ) 为a 的一个三元组实现 很明显，若( b ，i i ，i i v ) 是矩阵a 的个实现，剡( 每掌，v ，) 是a 的转置的 一个实现。 ， 这榉定义的麓的极小实现在丽梅意义下是瞧一的，这里极小是指每的维数 d i mb = 2 n f 。 沿用有限维理论的术语，称7 r 为根基，称7 r v 为余根基7 r 中的元素叫做单 根，7 r v 中的元素叫做余单根 令 nn q 攀魄q + = 淤强， i = 1i = i 称q 为李代数孬) 的根格对于& = e 叁l 老饿gq ，h t a = 羔，趣称为玟的 高度 取定a 的一个极小实现( b ，i i ，i i v ) ，先构造一个辅助李代数百( a ) ，它具有 9 1 0 第二章预备知识 生成元e i ，五( i = 1 ，2 ，犯) 和哆，满足下列关系s ( z ) f h ，h 7 】- 0 ， v h ，h 哆， ( i i ) 【e a ，l j 】= 酵， l ，j = 1 ，2 ，n ， ( i i i ) 【h ，e i 】= e i ，【h ，五】= 一 兵，h 每，i = 1 ，2 ， 显然在丽构意义下孬( a ) 仅依赖于矩阵a 记嚣+ 表示由e l ，l 生成的 孬( a ) 的子代数，嚣一是蠢 ，厶生成的孬) 的子代数主要结果是： 命题1 1 ( 1 )孬( a ) = f i + obon 一是直和分解 ( 2 )n 由e 1 ，e n 自由生成，最一由 ，厶自由生成 ( 3 )映射 h 一毳，h 鸯， e i 卜_ 一五，毒= 1 ，2 ，撵， 蠡h 一岛，i = 1 ，2 ，豫， 可以唯一地扩充为李代数螽( a ) 地对合西 ( 4 ) 孬( a ) 有关于b 的根空间分解； 孬( a ) 一( 0 蚕一8 ) 0 9 0 ( 0 姒 a q + ，a # oa e q + ，毪o 其中她= 。孬似) l 陬霹= z 。进步，d i m 孔 0 ，a 0 若q 0 ，由所有 形如 【 e i l ，e i 2 】，e 如】，e i ，】，o q l + + 啦，= 口 的元素线性张成； 若8 l ，则g 蚴= 0 如果g 穗0 ，称a 为g ( a ) 的根 ( c )设q 是囱e l ，生成的李代数季( a ) 的子代数，秘一是由五，厶 生成的李代数g ( a ) 斡予代数，那么我嬲有三焦分怒 g ( a ) = 谯+ e 每。转一 ( d ) g ( a ) 的所有理想都是q - 分次的，并且g ( a ) 没有与哆具有平凡交的非 零理想 ( e ) g ( a ) 有一个c h e v a l l e y 对合自同构u ： w ( 磊) 眷- e i ， w ( e i ) 拦- a ， w ( h ) 觜- h ， ( ，) 分别用，十和一表示的所有根、正根、负根的集合则燃 + ua 一( 不相交并) ，并且a 一= 一+ 终 n 心心吼 ，王 l ； “ 垤 。； 霉 v 1 2 ( g )李代数g ( a ) 有一个关于高度的主分次； g j ( 1 ) = 0g 穗 q ：h t a = j 特别有 使得 第二章预备知识 g o ( 1 ) 一赣，垂一l 1 ) = e 五，暴l ( 1 ) = c 8 i ， i l 一g j ( 1 ) ，t l 一= og 。( 1 ) 1 j 1j l 通过以上过程，我们构造了新的李代数g ( a ) 定义1 3 设a 是一个可对称化矩阵，即a 可以写成a = d b ，其中d 是 一个非退化对角矩阵，嚣是一个对称矩阵，称李代数g ( a ) 为可对称化的。 定义王。4 设a 是个广义c a r t a n 矩阵，称李彳弋数g ( a ) 为a 的k a c - m o o d y 代数 g ( a ) 的导代数 g 。( a ) = g ( a ) ，g ( a ) 】， g ( a ) = g ( a ) + b ，并且g ( a ) = g ) 当且仅当d e t a 0 令b 7 = ，c 酵，则 露4 ( a ) q 务= t 9 4 ( a ) 门瓢= g a ，q 0 作为g ( a ) 的一个刻画，有 命题1 3 设g 是一个李代数，匆cg 是一个交换子代数，e 1 ，e n ， ，厶 是f r a k g 中的元素，硝= q l ，q 2 ，) cb 4 ，硝v = a y ，a ￥，口： cb 是 线性无关的集合，使得 国酵，& 黧= 0 ，墓，歹一1 ，2 ，鼹， ( i i ) e i ，f j 】- 翰彰，i ，j = 1 ，2 ，嚣， ( i i i ) 【h ，e d - - e i ，【h ， 】= 一 ，h b ，t = 1 ，2 ，n 假设作为李代数，g 由e i ， ，i = 1 ，2 ，n 和b 生成，并且设g 没有与b 有 平凡交的非零理想最后，令a = ( ) 乃。1 并假设d i m 口= 2 n r a n k a 那么g 同构于g ( a ) 1 1 3 另外，在文献f 2 l 中指出有时我们代替李代数0 c a ) 而考虑g ) 是更有意义 的我们可以这样直接构造g ( a ) 记西( a ) 是由生成元吼， ，位：，i = 1 ，2 ，生成并满足下列定义关系， 裱，f j 】= 屯，陋，蟛】一0 ， 睁y ，】= 勺，蟛，易】攀一叼岛 的李代数。设q 是关予生成元q l ，及2 ，的自由a b e l 群引入一个q 一分次 孬u ) = o 酞 q q 令 d e g e i = 戳= 一d e gf i ，d e g = 0 ， 则存在唯一极大q 分次理想警c 秦盖) 且rng o 一0 ，其中晶= 邑c ，剥 g ) = 孬( a ) r 这样的构造当n 无限时即a = ( a i j ) 为无穷矩阵时也依然成立 特别地，当矩阵a 为无限秩仿射矩阵时，把这样构造出来的李代数g 似) 称 为无限秩仿射李代数 第三章无限秩仿射李代数 在这一部分里，我们将给出无限秩仿射李代数的定义和一些相关的基本概念 以及无限秩仿射李代数的基本性质。 3 。1 生成元和生成关系 定义2 1 一个无限秩广义c a f t a n 矩阵，如果它的每一个有限阶主子式都是 正的，则称之为无限秩仿射矩阵 无限秩仿射矩阵的分类已经完全确定，共有五种类型：a ，a 旧，段o ， 饶。和k 。无限秩仿射矩阵完全列举如下【2 l ； 盖： a + ： ： 厂 厂 1 5 幻妇日螂娜积a o o _ 2 o 以2 q o 2 o o 2 0 0 o 2 o o o ，o o o o 。o o o o 、，illlljiii，j， o o o o o o o 2 o o 2 o o 2 o o 2 o o o ) o o o q o o o 2 o o 2 o 2 o o 2 以o o | ： 1 6 ： 一2000 2 一l 00 12一l0 ol2 一l 第三章无限秩仿射夸代数 厂量2 壹0 ；- 1 量0 熹0i、 召。厂2 童- 1 j0量0三0j 3 】生成元和生成关系 若x 为型的，则d 竺d i a g ( 2 ，1 ，1 ，) ， 1 10 00 l 一1 l b 端l 0 l l 0 lt 21 12 ol 00 一lo 2l 1 7 定义2 3 同无限秩仿射矩阵x 相关联的复数域c 上的k a c - m o o d y 代数 0 ( x ) 称为一个无限秩仿射李代数 显然，无限秩仿射李代数是可对称化的k a c - m o o d y 代数它可以由以下命 题刻画 命题2 。l 无限秩仿射李代数g ( x ) 由生成元 甄，五，勉| i 毋生成，臣满 足下列定义关系闼； i ) f h i ，h j 】葛0 ， v i ，j j ； i i ) 【e i ，办】_ h i ，v i ，歹，； t 钇) f 鬼，勺】= n 材， ，办】= 一办， v i ，jc ，； i v ) ( a d e i ) 1 一髟一0 ，( a d f ) 1 一叼乃= 0 ，歹j ，i j 在证明此命题之前我们首先弓l 入两个孳l 理。回忆李代数s 1 2 ( c ) 的结构耩表 示，设 e = ( 三言) ，矗= ( 三三) ，一( 呈三) 为s 1 2 ( c ) 的标准基，则 k ，月= h ，哦，e 】= 2 e ，【h ，州端- 2 f ， 在s 1 2 ( c ) 的普遍包络代数里，通过对k 作好纳容易得到以下关系式； 陋，勺- 2 k f 蠢， 【h ，e 勺兰2 e 奄， 【e ，奄】兰- k ( k 一1 ) f 膏一1 + k f 南一1 h 引理2 1a ) 设y 是s 1 2 ( c ) 一模，t ，v 使得 茏( 钞) ：= a v ，f o rs o m ea c 1 8 令吻= 刍，。( 秽) ，则 第三章无限秩贫射孝代数 ( ) = ( a 一巧) ， 特别，若e ( v ) = 0 ，则 e ( ) = o j + 1 ) 吻一1 b ) 对每一个整数k 0 ，在回梅意义下存在唯一不可约瑟+ 1 维s 1 2 ( c ) 一模。设 这个摸作为向量空间的基为 吩 ，s t 2 ( c ) 在基上的作用力 h ( v j ) = ( k 一巧) ， f ( v j ) = 0 + 1 ) v j + l ， e o , j ) = ( 七+ 1 一歹) 一1 ，j 燃0 ，1 ，k 并且假设v k + 1 = y - 1 0 证鑫) 磊( 吩) = 毳( 寺扣) ) = 刍( 】扣) + 矗( 移) 一贵( 入一2 j ) f 洳) 攀( a 一2 j ) v j ， ( 吩) 粼e ( 击户扣) ) = 刍( 砖，夕】( 秽) + 。e ( 蛰) ) 燃嘉( ( 一歹) ( j 1 ) 一1 ( 移) j 夕一1 磊( 移) ) 。万( 入一j + 1 ) f j l 2 南( n j + 以 糌( a 一歹+ 1 ) v j 一1 b ) 设v 是一个不可约毙+ l 维s z 2 ( c ) 一模，设u v 是h 的特征值为弘的特征 向量。若8 ( 程) 0 ，则 h e s ( 锃) = 睡，e 8 】( 嚣) e 尊h ( u ) = 2 s e 8 ( “) + p e su ) = ( p + 2 s ) e 8 ( 牡) ， 故可得特征值为p + 2 s 的特征向量e 8 ( 牡) 由于v 是有限维的，则一定存在某个 秽：e s ( 珏) 0 使得e ( v ) 攀0 且九( 掣) = 知，a 黧弘十2 s 令= ( 歹! ) _ 1 f 歹( 秽) ，显 3 】生成元和生成关系 1 9 然， v j j = 0 ，1 ，) 是线性无关的，v k + l 篙0 所以0 = e ( 1 ) k + 1 ) = ( a k ) v k ， a = k ，b ) 成立一 引理2 2 在第一章构造的k a c - m o o d y 代数g ( a ) 中，若a n + 使得对 i = l ，2 ，礼，有融，矧= 0 ，则a = 0 ；同样，a n 一使得对i = 1 ，2 ，n ， 有缸，e i 】= 0 ，劐a 篇0 证设a * 使得对i = 羔，2 ，鼹有瞳，嗣端0 ，则 ( a d g l ( 1 ) ) ( a do ) j a t j 0 是r l + cg ( a ) 的子空间，且在a d 9 1 ( 1 ) ，a d 白，a d o 一1 ( 1 ) 下是不变的因此如 果口0 ，则谢o ( 删9 1 ( 1 ) ) ( 扰白) j 口是一个与b 交平凡的非零理想，矛盾i