（概率论与数理统计专业论文）基于深度函数的秩检验.pdf

摘要 秩检验是基于秩统计量的一种简单实用的非参数统计方法，秩统 计量是基于秩的统计量。对于一维样本，由于数据之间存在一种自然 的线性序关系，故可按照样本的大小排序，从而得到秩向量。但对于 多维样本，数据之间则不存在自然的线性序关系，无法按照样本的大 小排序而得到高维样本的次序统计量并由此把一维非参数统计的许 多有用的方法直接推广到高维情形，使得对多元数据的统计分析十分 麻烦。因此，发展高维统计的非参数方法是统计学家们所关心的一个 十分重要的问题。文献 1 中介绍了一种新的方法，即引入深度函数d 进行高维数据的排序，从而得到基于深度函数d 的秩向量。秩检验之 所以在理论上与应用上起着重要的作用，是因为在一定条件下秩向量 r = ( r 】 一，r ，) 在集合孵= ( h ，。) ( r l , r n ) 是( 1 ，j ) 的排列 上服从 均匀分布，与总体分布无关。只要样本是简单随机样本，且总体分布 连续，一维样本的秩一向量，就服从集合 贸= 缸一，。) ( n ，) 是( 1 ，) 的排列 上均匀分布。而多维样本的基于 深度函数d 的秩向量与深度函数和总体分布有关。这使得它的应用受 到限制。目前统计学家们还没有形成系统的理论来讨论基于深度函数 的秩统计量及其应用。由于线性秩统计量是非参数统计中应用最广的 一类统计量，所以本文构造了基于深度函数的线性秩统计量，并对其 渐近性质和应用做了一些研究，具体结果如下： 1 给出了r 服从贸上的均匀分布的条件。 2 证明了当总体分布f 属于椭球分布族时，基于统计深度函数 的秩统计量r 服从贸上的均匀分布。 3 证明了基于深度函数的线性秩统计量s j = c 。( q ，) n 。( 胄，) 在 i = 1 一定条件下与s 。= 。( 嘞。( 只i ) 有相同的渐近分布。 i ：j 4 利用基于深度函数的线性秩统计量检验两d 维随机向量的 独立性。 ， 5 、利用基于深度函数的线性秩统计量讨论两d 维样本尺度与 位置问题。 关键词：深度函数d ；秩向量r ；线性秩统计量s ，椭球分布族 a b s t r a c t r a n kt e s ti sa s i m p l e a n d p r a c t i c a l m e t h o do f n o n - p a r a m e t r i cs t a t i s t i c sb a s e do nr a n ks t a t i s t i c s ，w h i c hi s a k i n do fs t a t i s t i c sb a s e do nr a n k s t h e r ei san a t u r a ll i n e a r o r d e r r e l a t i o n s h i pa m o n gt h ed a t ao fo n e d i m e n s i o n a l s a m p l e ，s o w h i c hc a nb e o r d e r e d a c c o m i n g t ot h es i z eo ft h e s a m p l ep o i n t s h o w e v e r ，s i n c et h e r ei sn on a t u r a l l i n e a ro r d e r r e l a t i o n s h j o a m o n gd a t ao fm u l t i _ d i m e n s i o n a l s a m p l e ，i ti s i m p o s s i b l et 0 g a i nm u l t i - d i m e n s i o n a lo r d e rs t a t i s t i c s i n a c c o r d a n c ew i t ht h e o r d e ro ft h es i z eo fs a m p l e ，n e i t h e ri s i t i m p o s s i b l et oe x t e n d m a n y u s e f u lm e t h o d s f o r o n e d i m e n s i o n a l n o n p a r a m e t r i c s t a t i s t i c st ot h o s ef o r h i g hd i m e n s i o n a lo n e s t hu so c c u r r e d m u c ht r o u b l ei nt h e a n a l y s i so fm u l t i d i m e n s i o n a ld a t as t a t i s t c s s oi t sav e r yi m p o r t a n tp r o b l e mf o rs t a t i s t i c i a n t o d e v e l o pt h e m u l t i - d i m e n s i o n a l n o n p a r a m e t r i cm e t h o d i nd o c u m e n ff 1 】，a n e wm e t h o di s i n t r o d u c e d ，t h a ti s ，w ea r ea b l et oc a l c u l a t et h e j i r a n kb a s e do n d e p t hf u n c t i o nb yi n t r o d u c i n gt h ed e p t hf u n c t i o n f o r h i g hd i m e n s i o n a ld a t a r a n kt e s tm a k e sg r e a td i f f e r e n c e t h e o r e t i c a l l ya sw e l la sp r a c t i c a l l yo n l yb e c a u s eu n d e rc e r t a i n c o n d i t i o n s r a n kv e c t o r r = ( 最1 i 一，r 。) h a v eau n ；f o r md i s t r i b u t i o n o v e r 贝= ( h ，r ”) ( n ，) i s a p e r m u t i o no f ( 1 ，) f r e eo f u n d e r l y i n gd i s t r i b u t i o n r a n kv e c t o ro fo n e d i m e n s i o n a ls a m p l e m e e t st h e p r o p e r t y t a l k e da b o u t p r e v i o u s l y i fi t sas i m p l e r a n d o m s a m p l e w i t hc o n t i n u o u s u n d e r l y i n g d i s t r i b u t i o n h o w e v e r ，r a n kv e c t o ro fm u l t i - d i m e n s i o n a ls a m p l eb a s e do n d e p t hf u n c t i o n h a ss o m e t h i n gt od ow i t h d e p t hf u n c t i o n a n d u n d e d y i n gd i s t r i b u t i o n ，w h i c h l i m i t si t s p r a c t i c e s o f a r s t a t i s t i c i a nh a v e n tf o r m e ds y s t e m a t i ct h e o r yt od i s c u s sr a n k s t a t i s t i c sb a s e do nd e p t hf u n c t i o n a n di t s a p p l i c a t i o n s i n c e n e a rr a n ks t a t i s t i c sh a st h em o s tp o p u l a r i t yi n a p p l i c a t i o n i n n o n p a r a m e t r i cs t a t i s t i c s ，t h i sa r t i c l ef a b r i c a t et h ei i n e a rr a n k s t a t i s t i c sb a s e do nd e p t hf u n c t i o n ，a n dd i s c u s s e di t sa s y m p t o t i c p r o p e r t ya n da p p l i c a t i o n p a r t i c u l a rr e s u l ti sa sf o l l o w s ： 1 t h ec o n d i t i o n o f 只h a v i n gau n i f o r md i t r i b u t i o no v e r 婀i sg i v e n 2 w h e n u n d e r l y i n g d i s t r i b u t i o n b e l o n g s t o e l l i p t i c a d i s t r i b u t i o n f a m i l y ，r a n k s t a t i s t i c sb a s e do n d e p t h f u n c t i o n h a v i n gau n i f o r md i s t r i b u t i o no v e r 婀i sp r o v e d 3 u n d e rp r o p e rc o n d i t i o n ，t h el i n e a rr a n ks t a t i s t i c sb a s e d o n d e p t h f u n c t i o n h a v i n g t h es a m e n a s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o na s s 。= c ( z ) 口( 尺f ) i sp r o v e d i ；l 4 t h e i n d e p e n d e n c e o ft w o d d i m e n s i o n a lr a n d o m v e c t o r s st e s t e db ye m p l o y i n gt h el i n e a rr a n ks t a t i s t i c sb a s e do nd e p t h f un c t i o n 5 t h e p o s i t i o n a n ds c a l e p r o b l e mo ft w od - d i m e n s i o n a s a m p l e si sd i s c u s s e db yu s i n gt h el i n e a rr a n ks t a t i s t i c sb a s e do n c ! e p t hf u n c t i o n v ) r ( 口 )q( c m = s k e yw o r d s ：d e p t h f u n c t i o nd ：r a n k v e c t o rr ：l i n e a rr a n k s t a t i s t i c s s 。：e l l i p t i c a ld i s t r i b u t i o nf a m i l y v 1引言 非参数统计方法是2 0 世纪3 0 年代中、后期开始形成并逐步发 展起来的，也是近年统计学家们最感兴趣的一种简单实用的统计方 法。它是与“参数统计”相比较而存在的，不依赖于总体分布及其 参数，亦即不受分布约束的统计方法。其中以秩为根据的非参数方 法应用最广，主要是因为秩向量r = ( rn ，r 。) 在集合： 吼= ( h ，) ( r i ，。) 是( 1 ，) 的排列 上服从均匀分布，从而秩统计量与总体分布无关，因而用秩统计量 来进行一些统计推断，就比较方便。一维秩向量是根据一维样本间 的自然序做简单的排序得到。但实际生活中，存在着很多不止一个 属性的对象，研究时，往往同时观测对象的a ( a 1 ) 个属性，得到 d ( d 1 ) 维总体。多元统计分析是处理这类数据的一种统计方法。多 元统计的参数方法，假定总体分布形式己知。然而生活中，大部分 对象的总体分布是未知的，这使得多元统计的参数方法在实际中的 应用受很大限制。于是，人们希望发展简单、实用、有效的非参数 统计方法。 一元非参数统计方法大多是基于秩统计量，而秩统计量又是基 于一元样本数据间的线性序关系。而多元样本数据之间不存在自然 的线性序关系，因此，对多元样本不能直接定义多元样本的秩，从 而给多元非参数统计方法的发展带来了极大的困难。 0 j a ( 1 9 8 3 ) 引入0 j a 深度对多维数据进行排序，得到基于深度 函数的从中心向外的顺序统计量，b r o w n ( 1 9 8 7 ) 和0 j a ( 1 9 8 9 ) 在此基 础上发展了二维秩检验，并检验了位置平移参数，l i u y ( 1 9 8 9 ) 引 入一种新的深度函数s d 对多维数据进行排序，并定义了多元l 一统 计量。l i u ( 1 9 9 3 ) 构造了基于m h d ，h d ，s d ，m ；d 四种深度函数的指 数q 来测量一个总体相对于另一个总体远离中心的程度。l i u ( 1 9 9 9 ) 发展了基于m h d ，h _ d ，s d ，o d ，m d ，l d ，c d 七种深度函数的描述性 的非参数多元理论。z h i d o n g ( 1 9 9 9 ) 讨论了最大深度估计量的渐近 性。y i j u nz o o ( 2 0 0 0 ) 给出了统计深度函数的一般定义，并讨论了 样本统计深度函数围道的结构特征及收敛性。但基于一般深度函数 的秩方法的研究尚未见到，故本文拟以下两个问题进行讨论： 1 基于深度函数的秩统计量是否与常规直线上的秩统计量有 相同的性质? 2 若有相同的性质，是否可利用基于深度函数的秩统计量把 一元非参数统计方法推广到高维情形? 2 记号和背景 设f 是r 4 ( d 1 ) 上的绝对连续分布函数x ，x 。是来自于 总体f 的d 维样本对于一维样本，可根据样本点的大小排序，从而 确定样本点的秩，但对于多维样本，不可能按样本点的大小排序。 所以文献 1 中引入了统计深度函数d ，根据样本点深度函数的大 小排序，从而得到基于深度d 的顺序统计量，记为五啦，噩满足 d ( f ；x ) d ( f ；丑：】) d ( f ；。】) ，在此，若总体分布，未知，则用经 验分布函数f 。代替。若d ( f ；x 。) = d ( f ；刖) ，则称r ，为x ，的基于d 的秩， i = l ，一，n ，r = ( r ，r 。) 为基于d 的深度秩向量设a ( o ，4 ( ) 和 c o ) ，c ( ) 是两个常数集合，每个集合里的元素不完全相同。 s = c ( i ) a ( r ，) 就叫做基于d 的线性秩统计量。其中常量a ( 1 ) ，a ( ) 叫做分值：c ( 1 ) ，c ( v ) 叫做回归常量。回归常量的选取通常根据实 际问题而定。为了讨论渐近性质，记线性秩统计量肌= c n ( i ) 。，( r ，) ， 对分值和回归常数。( f ) 和。( f ) 加上附标n ，表示它们是样本量v 时 的两组数，并且对这两组数作一些限制。对回归常数 。鼢要求满 足n o e t h e r 条件： 豢msx c o c 一。，其中石：专姜。撕， 2 一。o ( 一) 共甲c = i 乞c ( f ) ， 【c ( f ) 一c “ 这就是说 。，“) l 没有特别显著的离群值。而对分值 。( f ) ) 要求： “。( f ) = 6 彬( 熹) + d ， i = l ，n ，其中b ，d 。是仅依赖，而不随i 变 化的常数。而妒万l - ) 是函数似) 在南( i = l ，) 处的取值a 函数 ( “) 满足： ( 1 ) 庐( “) 是定义在( o ，1 ) 上的函数，i f i 随变化； ( 2 ) ( “) 可表成两个非降函数之差，即( “) = ( “) 一”( “) 。而痧( “) 与 ”( “) 均是“的非降函数。 ( 3 ) 痧( “) 平方可积，即o c f 妒( “j 一习2 d “c 。，其中历= f ) d z r 。 满足( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 的函数( “) 称为平方可积分值函数。 设f 是r 。( d 1 ) 上的绝对连续分布函数，一，x 。是来自于总 体f 的d 维样本，下面定义几个有用的深度函数： 定义1 x c i 壬, - g , 工s r 4 ，令s d ( f ；x ) = p ， z s i x i ，x 。 。 其中s i x l ，一，x 。1 是由( d + 1 ) 个随机样本点所构成的闭单形。则称 s d ( f ；x ) 为s i m p l i c i a la e p t h ，简称为。 若总体分布f 未知，则用经验分布函数f 。来代替，从而得到的 样本形式：s d ( f ”：工) = 去m 。s k ， ) 。 其中c 分表示从n 个元素中选( d + 1 ) 个的组合，。是示性函数。 定义2 对任意的z e r 4 ，令帆d ( ，；一) = l + ( 工一脚) o 一，) - 】 其中，和，分别是总体均值向量和协方差矩阵，则称mh d ( f ；x ) 为 m a h a l a n o b i sd e p t h ，简称为m u 9 。若总体分布，未知，则分别用。，和， 的样本估计来代替，就可得到m d 9 的样本形式。 定义3h a l f s p a c e d e p t h ( 1 i d ) 对任意的工岔，令 一 h d ( f ；x ) = i n f f p ( 日) ：日是穴址的闭半空间且z 日) 。则称h d ( f ；x ) 为 h a l f s p a c e d e p t h ，简称为l i d 。若总体分布f 未知，则用经验分布函 数f 。来代替，即可得到h d 的样本形式。 定义4 若d 维随机向量石的密度函数的形式为： 厂o ) = c f | - j ( ( z 一) - 1 ( 石一) ) ，其中：d x l ，：d x d ，且o ，贝。称x 遵从具有参数 ，卢，的椭球等高分布。记作x e 。( ；，) 。正态分布 是椭球等高分布的特例。 记秩向量r = ( 尺一，r 。) ，倪= f ( ，矿一，r 。) l ( r 一，r ”) 是( 1 ，- 一，) 的排列 3一些引理 引理1 若k ( ，) ( r 巩) 是吼到婀的一对一映射，太是在倪上均匀分 布的秩向量，则统计量s = k ( 尺) 也在贸上均匀分布。 证明见 6 。 下面列举几个常用的对一映射： 例l定义蜀( 尺) = d ，其中d = ( d l ，一，d ，) ，d ，= ，当，= i ( f = 1 ，) 时，即d j 是f 在，= ( h ，r 。) 中的位置。例如n = 6 ，= ( 4 ，1 ，6 ，2 ，3 ，5 ) ，则 k ，( j r ) = ( 2 ，4 ，5 ，1 ，6 ，3 ) 。k ，( r ) 是贸到吼的对映射。 例2 考虑( 1 ，) 的两个排列r = ( n ，。) 和f = ( “，s ，) 的复合排 列。r 对s 的复合排列为r 。s = ( “，以，) 而s 对r 的复合排列为 s 。r = ( 5 。，s ，。) 。一般ro s r 。s 。例如：r = ( 2 ，4 ，3 ，i ) ，j = ( 1 ，3 ，4 ，2 ) ，则 ，。s = ( 2 ，3 ，1 ，4 ) ， s or = ( 3 ，2 ，4 ，1 ) 。 对一给定的排列s ，映射：匠( 尺) = ，。s ，暇和墨( r ) ：s 。r ，r 蝣 都是吼到孵的一对一映射。 引理2 设x 一，x 。是独立同分布的d 维随机向量，( 蛳，a n ) 是 ( 1 ，) 的任意一个置换，则( x ，x ，) 三( 甄，_ x 。) 。其中“兰”表示 “同分布! 。 证明见 2 。 引理3 设v u = 芝( 。o ) 一乃o ( u ，) + 云五，其中c ，( 1 ) ，c ”( ) 满足 线性秩统计量回归常数的n o e t h e r 条件，( ) 是一个平方可积分值 函数，u l 一，u 。是独立同分布( o ，1 ) 均匀分布的随机变量列， 设a u ( i ) 2 ( 高) ，吣一，则訾洲( o 1 ) ( 枷，) 其中。= 云i ，仃：。= 芝( 。，( 力一磊) 2f ( ( “) 一孑) 2 幽，其中 = 刮( u = f 庐( “) 砌，砌r 矿w 2 姜( c ) 一i ) 2 地“( ( ，2 o 2 n 证明见 2 。 引理4 设了芝“( f ) 卧( r 。j = 芝( 。= ( f ) 一云) 影( r ) + ii 是一个 基于深度函数的线性秩统计量，回归常量。( 1 ) ，。( ) 满足。聃仃 条件，分值a 一( i ) _ 万备) ，f - l ，其中妒( ) 是个平方可积分值 函数糠“v = i i ，盯2 。2 志良脚罚洳n ( f ) 南二i ，则 虹呻n ( 0 ，1 ) ( 一) 证明见 2 。 引理5 若d 维向量f 西( ；麒) ，则s d ，m p ，h d 的深度围道： 工e 尺4 ：d ( ，；工) 2 口 为辑球面，即有 z r 。：“一a ) 一1 一一) = c 。 的形式。 其中盘 0 ，c 。 0 。 证明见 3 。 引理6 设s 。是一个基于深度函数d 的线性秩统计量，回归常 量c w ( 1 ) ，c w ( ) 满2 ：n o 口旃e ，条件，分值为口”( f ) 2 妒万f _ ) ，i = l ，n 其中( ) 是平方可积分值函数；设s ；是另外一个基于深度函数d 的线性秩统计量，回归常量与s 。相同，分值为。j ( f ) ，f ：l ，n 。 若熙专缸撕h 撕) 2 = 。则等警斗删) ( 刊。 证明见 2 。 4 主要定理及证明 定理1 r ，贸由前面定义，假设对于任意实常数。， p d ( f t 柳= c ) = o ，其中f 是总体分布。则r 服从吼上的均匀分布。 当总体分布未知时，用样本深度函数o ( f ，。) ，对样本进行排序， 得到样本秩r ，若p d ( c ；置) = d ( f , ；x a - 0 ，则r 服从吼上的均匀分 布。 证明：显然r 的值域为贸，锨中共有! 个不同元素。对任意的 r 婀， p ( r = ，) = p ( r l = ，一，r = ，。) = ? ( d ( ，；x - ) ，d ( f ；x v ) ) = ( d ( f ；x r ) ，d ( ，；z p 。 ) ) = p ( d ( f ；。) ，d ( f ；x a 。) ) = ( d ( ，；石) ，d ( f ；) ) = p d ( f ；x d ) d ( f ；x d ，) 其中d ，表示f 在，中的位置 由于对于任意常数c ，p ( d ( f ；工) = c ) = 0 ，其中x 是总体的任意样 本点，所以对于任意的i j ，f ，= 1 ，n ，有p ( d ( f ；x 。) = d ( f ；x ，) ) = 0 。 于是 p d ( f ；x d ) d ( f ；x d 。) 2p ( f ；x d ，) d ( f ；x d 。) 由于x ，。是独立同分布的，且( 打一d ，) 是( 1 ，) 的一个置 换。由引理2 知： ( d ( fx 女) ，d ( f ；x 。j ) = ( d ( ，；五) ，一，d ( f ；x w ) ) p ( r = r ) = p ( f ；_ 。) d ( ，；z 。) = p d ( f ；x 。) d ( f ；x ) 对任意的r e 吼，上式均成立，所以对于任意的r ，这个概率均相等。 而全部这样的事件互不相容且它们的和是必然事件，故对任意的 ，吼，有p ( r = ，) 2 丽1 ，即r 服从贝上的均匀分布。 对样本深度函数情形，类似可证。 定理2 若总体分布，属于椭球分布族，则基于深度函数 s d ，m 。d ，h d 的秩统计量r 服从塌上的均匀分布。 证明：由引理5 知：对v a o ，s d ，m 。d ，h d 对应的深度围道： 工r 4 ：d ( ，；。) = 口 有 z 只“：协一f ) 一1 ( x 一奶= 已 形式， 若总体分布f 已知，即卢与己知，则 x r 。：( x - ) 一，( x - 1 ) ：岛 是椭球面，而椭球面上的勒贝格测度为0 ，故 尸 d ( f ；x ) = c ) = j 卑。月幻。矿叫印( z ) 2 0 。由定理1 可知此定理结论 成立。 若总体分布f 未知，即与未知，则s d ，m 。d ，肋对应的深 n n n n ： z r d ：d ( 目；一) = 口) = f x e r 一：o i ) 。s 一o i ) ：c 。 。其中i ， s 分别为样本均值与样本协方差矩阵。设x ，x 。是来自总体的简单 随机样本，若能证得对于任意的。n ，x j 有 p ( x i 一- 2 ) 一s1 ( x ；一孑) = ( 一i ) s 一。( x 厂i ) ：o 成立，则可得定理结 论。 下面只考虑一未知，已知的情况： p ( 五一i ) 一1 ( 五一) = ( 乃一动一1 ( 以一_ ) 2 px i 。一1 五一2 i 。( 一) 五十夏一1 牙= _ 一乃一2 夏+ ( 一1 ) + - 2 t 叉 2 p 五。“置一2 i ( “) 五一_ 。一l x j + 2 - 2 + ( 5 2 1 ) 乃= o l ( 木) 令= ( 五【一，+ 。) 。，则( = l = ) = p x 。a z x = 0 ，其中一是一对称矩 阵，其秩大于l ，故a = p i x & x = o 是一维数低于n d 的曲面，其 l e b e s g u e 测度为0 。由于总体分布为椭球分布，故p 连x = o = 0 。 即 尸 ( 置一i ) 。一1 ( 置一i ) = ( 一一i ) 一( x ，一i ) 0 。 故定理结论成立。 ， 定理3 设q = ( q i ，一，o 。) 是x l ，工。基于深度函数d ( f 。；) 的秩向 量，r = ( r l j t ，r 。) 是y l i 一，】，。基于深度函数d ( f “) 的秩向量，若 c w ( 1 ) ，c ) 满足d 幽e r 条件，“”( f ) = 妒万f _ ) ，f = l ，n 。( 其中妒是平 方可积分值函数) ，且q 与r 都服从贸上的均匀分布，则线性秩统计 量“= c 。( q 。) 。( r ，) 与s 。= c 。( i ) 。( r r ) 有相同的渐近分布。 证明：由引理1 及例1 中的映射k ( r ) 确定的统计量d = k ( q ) 服 从披上的均匀分布，即d 兰q ( d 与q 同分布) ，而一 s = c 。( q ；k ，( r r ) = c 。( j k 。( 月。，) 由引理1 及例2 中的映射确定 i u lj - i 的统计量k ：( r ) = ro d = ( r 。l ，r 。) 兰r s l , ：兰。( q ，) 。( r ；) ：羔。( ) 。( 兄。，) 兰羔。( k ，( 足力：s 。而由引 洋l = lj = l 理4 可知：s 。有渐近正态分布，则s j 与s 。有相同的渐近正态分布。 证毕。 5 定理的应用 1 独立性检验： 设和y 是两d ( d 1 ) 维连续型随机向量，f ( x ，_ y ) ，f 。( z ) ，f ，( j ，) 分别是x 和 ，的联合分布及边缘分布。为了讨论x 和y 之间的独立 性，提出检验假设： h 。：x 与y 独立 备择假设可以是单边的( z 和l ，有正相关，或彳和y 有负相关) ，也 可以是双边的，( z 和】，相关) ，此处只讨论单边备择假设： 日。：石和y 有正相关 设( 凰，y ，) ，( x 。，y 。) 是来自于连续分布f ( x ，y ) 的一列随机 样本。给定深度函数d ，单调且满足定理1 的条件。设q = ( q l ，q 。) 是 x 1 ，一，z 。基于深度函数d ( f 0 ) 的秩向量，r = ( 肌，r 。) 是h 一，y 。 基于深度函数d ( f 茹) 的秩向量。当x 和y 有正相关时，样本值x ；，y ； 会存在同时取大值或同时取小值的倾向，因而秩统计量对 ( q l ，r ，) ，( q 。，r 。) 的相关系数会取较大的值，即 兰( 2 一掣) 尼( 2 一之坠) 尺。 = 型= 一 n ( n 2 - 1 ) 7 1 2 取大的值有利于胃，由s 化简后的结果司知：s 的值的变化只 与兰( q ；一掣) 丑，有关，于是可构造等价的检验统计量： s ，：艺( g 一掣) 忍 很容易看出：s 。是一个线性秩统计量，此时的c f ) ：f n - + l ， “= i ，i = l ，n 。则i = 0 ， 善m 而 2 = 磐- 等- - a 1 2 = t n ( n - i ) ( n + 1 ) 雹嚣 “沪- 12 = 半， 于是辐= 鬻斗m 即满足d e t h e r7 f 牛- 。 a n d ) = i = ( + 1 ) ( 万备j ，一l 一，。对应的可 积分值函数为( “) = “，b ，= ( + 1 ) 。易知：( “) 是平方可积分值函数。 当原假设h 。成立时，由定理l ，秩向量a = ( q l ，一，q 。) 与r = ( r - ，一，r 。) 都服从毗上的均匀分布，且q 与r 独立于是由定理3 及引理4 知： s # - n c a 专n ( o ，1 )( 寸) 利用u 检验法：给定显著性水平口，查标准正态分布函数值表 得i 临界值。，使得： p 学狐卜于是否定域的形规 学狐 ，对 于双边备择假设日。，否定域的形式为： 落于否定域，则拒绝日。 学h 。若观测值 2 。两样本位置与刻度问题 ( 1 ) 两样本位置问题： 设x l i ，和y 。，y 。是来自于连续总体分布f ( x ) 和f ( x 一) 的d 维随 机样本，其中工= ( m 。) 7 ，= ( 1 ，。) 7 为位置参数 为了讨论这两个样本是否来自于同一个总体，提出检验假设： h o ：a = 0日1 ：a 0 若日。成立，则z 一，x 。，y i ，y 。是来自于连续总体分布f ( 上) 的 样本容量为：朋+ 甩的随机样本给定深度函数d ，单调且满足定理 1 的条件。设q f ( r ，) 是z ，( y ，) 所有个观察值基于深度函数d 的秩， 则在h 。成立的条件下，r = ( q 1 ，q ，；眉b 一，r ) 在倪上服从均匀分布设 f 0 c ( i ) =t1 m 一+ 忍 即两样本回归常量 令s ”2 a n ( 胄。)( 两样本线性秩统计量) ，其中 i = 1 7 i = l , - - - , n ，b 。 0 ，( ) 是非降平方 司积分值函数。 当备择假设h 。为真时，即 0 ，则y x ，于是y 样本在混合样 本中的秩( r ”一，r 。) 应较大，所以5 ，的值应较大，于是s ，可作为检验 统计量。否定域的形式为： s 。 - s ( a ；m ，h ) ，其中s ( a ；r e n ) 是由s n 在h 。 下的分布按检验水平口确定的临界值。所以下面只要求出s n 在h 。下 争a ( r i ) - n = 的分布即可。由引理2 ：互一寸n ( o ，1 ) r 斗o 。1 ， 其中t t 。n 2 2 v a r i s “】2 丙而m n喜( a 廊) 一i ) 2 ，e 陋。】= ”i 利用u 检验法：给定显著性水平口，查标准正态分布函数值表 得临界值。，使得： r 一 、 户 点卫查2 。 = 口。令，( a ；肼，) = 月= + 盯。“。 【 盯州 j 当s s ( a ；m ， ) 时，拒绝日。 ( 2 ) 两样本刻度问题： 设置l ，一，x 。和y i ，一，y 。是来自于连续总体分布f 缸，) 和 f ( ( j ，一目，) 7 7 ) 的d 维独立随机样本；其中良( 口，) 是x ，( y ，) 的分 布的中位向量：玎 0 。 h o ：p ，2 臼，叩= 1 h 1 ：秽，2 巩印 1 若原假设日。成立，则xb 一，z 。和y w , y 。是来自于连续总体分 布f ( x 一0 ，) 的样本容量为n = m + n 的随机样本给定深度函数 d ，使之满足定理l 的条件；设q ，( r ，) 是x 。( y ，) 所有个观察值基 于深度函数d 的秩，则在h 。条件下，r = ( q 一，q 。；r l ，一，r ，) 在巩上服从 均匀分布。令 。 c ( i ) ： ) i i ：= 聊1 三j ：_ 优+ n 即两样本回归常量 令s ”2 a 。( r ，) ( 两样本线性秩统计量) ，其中 暗1 口一( ) 。b ”万音) + d ” f - 1 ，n ，6 ” o ，庐( ) 是非降平方 可积分值函数。 当备择假设h ，为真时，即 0 ，则y x ，于是y 样本在混合样 本中的秩( r l ，一，r 。) 应较大，所以s 。的值应较大，于是s 。可作为检验 统计量。否定域的形式为： s n s ( 口；m ，n ) ) ，其中s ( 口；m ，”) 是由s 。在h 。 下的分布按检验水平口确定的临界值。所以下面只要求出s ，在h 。下 y d 。( 尺f ) 一”i 的分布即可。由引理2 ：互一_ n ( o , d ( n - , o o ) 口州 其中( ：t a n 2 2 v a r s 4 2 面焉喜 n 施) 一i ， 醪”= n i 利用u 检验法：给定显著性水平口，查标准正态分布函数值表 得临界值。，使得：p 叠坐。 = 口。令s ；m ，n ) = ”五+ 叮。 【乳wj 当s s ( a ；m ，月) 时，拒绝。 上面的三个问题，都有一个特定的检验。每个特定的检验其功 效如何，与记分函数口，的选取及分布f 有关。某个特定的检验对这 个f 功效高，而对另一个f 功效低。若f 已知，则可选择一秩检验， 它针对这个，最有效。在这里不做详细讨论。 6 例子 例l 每个家庭都有长子与次子。试图想分析长子的头x 与次子 的头y 是否独立，这里只考察头长及头宽两个属性：调查n ：2 5 个家 庭，今分别测得长子的头长( 期) 及头宽( x ：) 与次子的头长( _ y ) 及头宽 ( y ：) 的数据如下表( 见 9 ) ： 分长子( x )次子y 量 x ix 2 y iy z 样品 11 9 l1 5 51 7 91 4 5 21 9 51 4 92 0 11 5 2 31 8 l1 4 81 8 51 4 9 41 8 31 5 31 8 81 4 9 51 7 61 4 41 7 11 4 2 62 0 81 5 71 9 21 5 2 71 8 91 5 01 9 01 4 9 81 9 71 5 91 8 91 5 2 91 8 81 5 21 9 71 5 9 1 01 9 21 5 01 9 01 4 9 为了检验长子的头与次子的头是否独立，提出检验假设： 日。：x 与y 独立日：与】，正相关 这是一个两维随机向量的独立性检验问题。所以可以按照应用1 的 方法来检验。 设x l ，x 。是来自于x 的随机样本；y l ，y 。是来自于y 的随机 样本。它们都是二维样本，无法按照直线上的常规办法来排序，给 定深度函数s d ( 见定义1 ) ，由于总体分布未知，故用其样本形式： 1 一 ( f ”；曲= 音邛e s 协如z 。 ln i e i j 2 3 3 ， d n 从而否定原假设。即x 与r 不独立，正相关。与多元分析中典型相 关分析得出的结论一样。 参考文献 1 l i u ，r y m u l t i v a r i a t ea n a l y s i s b yd a t a 。d e p t h ： d e s c r i p t i v e s t a t i s t i c s ，g r a p h i c s a n d i n f e r e n c e 1 9 9 9 ， a n n s t a t i s t 2 7 ：7 8 3 8 5 8 2 r o n a l dh r a n d l e sa n dd o u g l a sa w o l f e ，i n t r o d u c t i o n t ot h e t h e o r yo fn o n p a r a m e t r i cs t a t i s t i c s 。w o r l d p u b l i s h i n gc o r p o r a t i o n ，1 9 7 9 。 3 y i j u nz u oa n dr o b e r ts e r f l i n g s t r u c t u r a lp r o p e r t i e s a n d c o n v e r g e n c er e s u l t s + f o rc o n t o u r so f s a m p l e s t a t i s t i c a ld e p t h f u n c t i o n s ，t h ea n n a l so fs t a r i s t i c s 2 0 0 0 ，v 0 1 2 8 ，n o 2 ，4 8 3 4 9 9 4 l i u ，r y a n ds i n g h ，k aq u a li t yi n d e xb a s e do nd a t a d e p t ha n dm u l t i v a r i a t er a n kt e s t s j a m e r s t a t i s t 1 9 9 3 ， a s s o c 8 8 ：2 5 7 2 6 0 5 b a r n e t t ，v t h eo r d e r i n go fm u l t i v a r i a t ed a t a j r o y s t a t i s t s o c s e r 1 9 7 6 ，a1 3 9 ：3 1 9 3 5 4 6 孙山泽，非参数统计讲义。北京：北京大学出版社，2 0 0 0 4 。 7 方开泰张尧庭，广义多元分析，北京：科学出版社，1 9 9 3 ，3 第一版。 8 l i u ，r o nan o t i o no fd a t ad e p t hb a s e do nr a n d o ms i m p l i c e s t h ea n n a l so fs t a t i s t i c s ，1 9 9 0 v 0 1 1 8 n o 1 4 0 5 4 1 4 6 9 樊家琨，应用多元分析，河南：河南大学出舨社，1 9 9 3 ，第一 版。 1 0 y i j u nz u oa n dr o b e