（概率论与数理统计专业论文）混合模型参数估计的研究.pdf

摘要 参数估计和估计的性质是线性模型理论的中心内容本文主要研究了混合模型 的参数估计问题，并针对线性模型设计矩阵病态问题，提出改进估计的方法论文 的安排如下： 第一章提出混合模型及其背景，并介绍了本文从事的主要工作 第二章考虑了混合模型在球约束、椭球约束下回归系数的估计问题，并将其与 经典模型在相同球约束和椭球约束下所得的估计进行比较得出了在各准则下相对 原估计更优的充分条件，说明带随机附加信息后的估计相对于原估计的优良性 第三章研究带附加信息的混合模型回归系数的估计，引入度量混合估计和l s 估 计差异的相对效率的新定义，并分别求出各个新相对效率的上、下界 第四章考察了带随机信息的混合模型，得出了在线性不等式约束下的混合模型 的参数估计，并研究了它的一些性质如均方误差矩阵( m s e m ) 、均方误差( m s e ) 准则下相对于混合估计的优劣性 第五章分别对于无约束和线性约束下的线性回归模型，针对设计矩阵的病态问 题，提出相应线性模型下回归系数的部分根方估计和条件部分根方估计并在均方 误差矩阵准则和在p c 准则下，分剐比较了部分根方估计与条件部分根方估计相对 于l s 估计和r l s 估计的优良性 关键词，混合模型，线性极小极大估计，相对效率，部分根方估计，条件部分根方估计 a b s t r a c t t h ep a r a m e t e re s t i m a t i o na n di t sp r o p e r t ya r et h ef o c u so ft h el i n e a rm o d e lt h e o r y i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yo nt h ep a r a m e t e re s t i m a t i o ni nam i x e dm o d e l i nt e r m o ft h ea p p r o x i m a t em u l t i c o l l i n e a r i t yo fm a t r i x , w ep r o p o s et h ep a r t i a lr o o tr o o te s t i m a t o r a n dc o n d i t i o n a lp a r t i a lr o o tr o o te s t i m a t o ro fc o e m c i e n ti nt h ec l a s s i cl i n e a rm o d e l t h e d i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gp a r t s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h em i x e dm o d e la n di t sb a c k g r o u n d a n di n t r o d u c e t h em a j a rw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o n i nt h es e c o n dc h a p t e r w ec o n s i d e rt h ep r o b l e m o f e s t i m a t i n gt h er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t s i nam i x e dm o d e lu n d e rs p h e r i c a lc o n s t r a i n t sa n de u i p s o i d a lc o n s t r a i n t s t h em i n i m a xe s t i - m a t o ri sc o m p a r e dt oc l a s s i c a lr e g r e s s i o n s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h i se s t l n l a i t o rh a v ea l s o b e e nd e r i v e d i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es t u d ym i x e de s t i m a t o ro fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t su n d e r p r i o r i n f o r m a t i o na n dc o m p a r ei tw i t hl e a s ts q u a r ee s t i m a t o r ( l s e ) t h eu p p e ra n dl o w e rb o u n d s o ft h r e en e wr e l a t i v ee f 丑c i e n c ya r eo b t a i n e d i nt h ef o r t hc h a p t e r wc o n s i d e rt h em i x e dm o d e lu n d e rp r i o ri n f o r m a t i o na n do b t a i n p a r a m e t e re s t i m a t i o ns u b j e c tt ol i n e a ri n e q u a l i t y t h e nd i s c u s s e si t sp r o p e r t i e s ，s u c ha b m s e m - s u p e r i o r i t y , m s e - s u p e r i o r i t yc o m p a r i s o n sb e t w e e nt h en e we s t i m a t i o na n dm i x e d e s t i m a t i o n i nt h ef i f t hc h a p t e r ，i nt e r mo ft h ea p p r o x i m a t em u l t i c o l l i n e a r i t yo fm a t r i x ，w ep r o p o s e t h ep a r t i a lr o o tr o o te s t i m a t o ro fc o e i 五c i e n ti nt h ec l a s s i cl i n e a rm o d e la n dt h ec o n d i t i o n a l p a r t i a ir o o tr o o te s t i m a t o ro fc o e f l l c i e n ti nt h er i s t r i c t e dl i n e a rm o d e l u n d e rt h em e a l l s q u a r ee r r o rm a t r i x ( m s e - m ) c r i t e r i o na n dp i t m a nc l o s e n e s s ( p c ) c r i t e r i o n ，t h ep a r t i a lr o o t r o o te s t i n n a t o ra n dt h ec o n d i t i o n a lp a r t i a lr o o tr o o te s t i m a t o ra r ec o m p a r e dw i t hl se s t l - m a t o ra n dr l se s t i m a t o rr e s p e c t i v e l y a n dt h es u p e r i o r i t yi sa c h i e v e d k e y w o r d s ：m i x e dm o d e l ，l i n e a rm i n i m a xe s t i m a m a t i o n ，r e l a t i v ee f f i c i e n c y , p a r t i a l r o o tr o o te s t i m a t o r ，c o n d i t i o n a lp a r t i a lr o o tr o o te s t i m a t o r 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或 证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：e l 期： 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论 文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查 阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授 权东南大学研究生院办理 签名：导师签名：日期： 第一章绪论 1 1 问题与背景 线性模型是数理统计中发展较早，理论丰富而且应用性很强的一个重要分支 一些富有实际意义的统计分支，诸如回归分析，方差分析和多元分析等，都以这种 模型理论为基础或与之有密切联系 线性模型的参数估计问题是一个重要内容在参数估计方法中，g a u s s m a r k o v 模型： y = x z + ee 一( 0 ，口2 d( 1 1 ) 其中y 为n 维观测向量，x 为n p 设计阵，卢为p 维待定回归系数向量，e 为n 维误差向量，r a n k ( x x ) = p ( n ) 对于g a u s s m a r k o v 模型的最小二乘估计( l e a s ts q u a r te s t i m a t e ) 、线性极小极 大估计( l i n e a rm i n i m a xe s t i m a t e ) 等内容，国内外众多学者都已经做了大量的研究， 并已得出许多有意义的结果但它们并不是适用于所有的场合。例如在描述经济现 象的回归模型中，除了样本信息之外，往往会得到一些附加信息； u = 日卢+ ，e 一( 0 ，w )( 1 2 ) 这里“为f 维可观测的随机向量，日为f p 维的已知矩阵，e 为 维不可观测的误 差向量并假定两个随机误差项s 与e 不相关，即e ( e d ) = 0 把( 1 1 ) 和( 1 2 ) 合并在一起，得到混合模型t ( b = $ + ( e ) ( 1 3 ) 其中 四( 0 = 。c o y ( ；) = ( 唁2 0 ) 此时，有了这些附加信息后所得到的回归系数的估计即混合估计它不同于一般情 况下的估计，并且比一般情况下的估计有更优良的性质 描述估计优良性的指标有很多，目前讨论较充分的是m s e m 准则、m s e 准 则、g m s e 准则以及p c 准则 一般地，若岛、如为口的两个估计量，则m s e m 准则、m s e 准则、g m s e 准则依次指： 查蛊盔堂亟望些迨塞 2 1 ) 若曰( 如一日) ( 如一口) 一曰( 自l 一目) ( 自一口) s0 则称在m s e m 准则下如不比l 差； 2 ) 若占( 如一日) ( 如一鳓一e ( 吼一口) ( l 一0 ) 0 则称在m s e 准则下如不比吼差 但由于 t r 嚣( 如一日) ( 如一口) 一e ( 岛一日) ( 0 。一日) ) = 硎d 2 一p ) ( 如一0 ) 一日( 口1 一日) ( 鼠0 ) 故m s e 准则弱于m s e m 准则； 3 ) e ( 0 2 一日) d ( 如一口) 一移( 1 一目) d ( 0 1 8 ) 0 则称在g m s e 准则下如不比i 差 p i t m a n ( 1 9 3 7 ) 提出了比较两个估计量优劣的一种准则设口l 和如为参数口的 两个不同估计，则称 p m c ( 0 2 ，1 ；e ) = p ( 16 2 0 i i6 l 一0 1 )( 1 4 ) 为2 相对于1 的密切度量( p i t m a nm e a s u r eo fc l o s e n e s s ) ，简称p m c 将这一概念 一般化，令三( d ，目) 为损失函数，定义估计量如相对于a l 的p m c 如下： p m c ( 6 2 ，6 l ；0 ) = p ( l ( 0 2 ，0 ) 曼 ( 自，e ) )f 1 5 ) 这里口z ，如和口可必是一维，也可以是多维的通常取损失函数为二次损失或绝 对损失在多元情形常取如下的损失函数tl ( d ，口) = ( 口一日) d ( 0 8 ) ，d 0 为非 负定矩阵 令o 为0 的参数空间，在p m c 意义下称0 的估计量如不比0 l 差，如果 p m c ( 0 2 ，l ；口) 0 5 对一切口e ( 1 6 ) 若至少存在一个0 0 使( 1 6 ) 式右边的严格不等式成立，则称在p m c 意义下如优 于岛 以上这种两个估计量优劣的准则，称为p i t m a n 密切( p i t m a nc l o s e n e s s ) 准则， 以下简称p c 准则 p c 准则自1 9 3 7 年由p i t m a n 提出以后，这方法被忽略了相当长的时间这一 方法真正引起统计学者的重视，是在r a o ( 1 9 8 1 ，1 9 8 6 ) 有关p c 准则的论文发表之后 壅壹盔堂亟土望些迨塞 一3 p c 准则曾引起统计学界的争论( 见r o b e r t 等( 1 9 9 3 ) ) 但作为比较不同估计量优劣 的又一准则，这一方法仍受到统计学者的广泛关注 本论文将在以上各准则下讨论混合估计的优怠性 另外，我们容易知道在1 5 w r i e r “偏序”的意义下，混合估计比最小二乘估计有 较小的协方差矩阵但是对于混合模型( 1 3 ) 由于混合估计表达式较复杂，所以人们 实际中用最小二乘估计替换混合估计不过这种替换就要蒙受一些损失，有时这种 损失可以是很大的，因而研究这种损失的大小显得相当重要因为最小二乘估计和 混合估计都是无偏估计，因而替换的损失可以用它们方差的差异来度量，此时由于 r a n k ( x ，x ) = p ( 0 代入d 。= x x + 矿j ，则( 2 , 1 8 ) 式等价于 2 盯2 ，+ 盯4 ( y x + 日) 一1 一盯2 卢卢7 0 显见上式成立的一个充分条件为 2 0 2 i 一一8 日 0 利用代数事实：设a 为一向量，则j 一口 0 讳。缸 1 于是( 2 2 0 ) 等价于 口 2 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 至此，定理得证 另外，我们引入广义均方误差和均方误差 g m s e ( 8 ，0 ) = e 0 一日f | 刍= e ( a p ) d ( o 一口) m s e ( 口，口) = e ( 一日) ( a 一日) 可以得到如下结论 定理2 2 4 ：对一切d 0 ，g m 舳( 6 ( 2 ) ，卢) 0 ，为a 的特征根，于是 且一1 = 纠e 一1 币1 ：= 错百妇， 百= 如卵( 筇1 ，町1 ) ( 2 2 4 ) 令香= a - g a 一 0 ，故存在正交阵如，使得 百= 鹤如，= d i a g ( j p ，以)( 2 2 5 ) 其中d 1 如0 0 ，为台的特征根 下面我们分别讨论i r a - 1 ，t r ( a + g ) ，打【( 卜- 口口7 ) a 一2 】，州u 一卢声，) ( a + g ) 一2 】 的上、下界 ， 打a 。= 町1 ( 2 2 6 ) i = 1 亡r ( a + g ) 一1 = t r 【a 一 ( j + 百) 一1 a 一；1 = t r ( i + 面一1 a 一1 = 亡r 【钙( j + ) 一1 勘i 6 庐1 = t r ( i + ) 一1 咖嘶舀l 链】 = 亡r 商五纠 其中= 如以为正交阵而鑫：= ( j + ) 一1 = 饿o “( 1 + 矗) 一1 则利用e u m n 不等式，得 ( 2 2 7 ) 另外，使用代数事实：a b 与b a 有相同的非零特征根，且r n n ( a a ，) = r a n k ( a ，a ) 易知对于矩阵j 卢存在正交阵如，使得j p = 缟d n 9 1 ，1 ，1 一卢卢 曲3 而 a 一2 = a 一1 a 一1 = 科百2 1 ，同样利用n e u m a n n 不等式，有 ( 2 2 8 ) 记九= h ( 似+ g ) 一1 ) 为+ g ) 一1 的第i 个特征根，且a l 三= 则利用 n v u m a n n 不等式，我们有 p 一1 p 一1 蚤+ ( 1 一卢) 靖9 【( 7 一卢们( a + g ) - 2 s i = 1 埒+ ( 1 一卢卢) 峙 ( 2 2 9 ) 一 +一 知 + n +映 ，：i 一 厂 g + a打 十g ) 一2 卢显然成立，所以( 2 2 2 ) 式成立的一个充分条 件为 。0 - 2 ( t r a 一2 一t r ( a + g ) 一2 ) 兰t r a 一1 一t r ( a + g ) 一1( 2 3 9 ) 由假设有a 、g 可同时相似对角化，再利用代数知识可知，( 2 3 9 ) 式等价于 盯2 ( 寿+ 磅1 + + 砑1 一_ p j ：研1 一+ 碍i ：研1 ) s 玉+ 苦+ 一十毒一_ 百宰裔i 一瓦干1 面i 即 耋喵一矗毋，耋c 麦一志， 所以定理2 3 3 得证 丕亘盘堂亟望些迨塞 1 5 2 4p c 准则下6 ( 2 相对于6 1 1 的优良性 p i t m a nc l o s e n e s s ( p c ) 准则是p i t m a n 于1 9 3 7 年提出的，这一方法被忽略了几 十年后，r a o 有关p c 准则论文的发表，引起了统计学界的重视和争论，使这一方 法得以复活 p c 准则的原理如下t 设l 和岛为参数p 的两个不同估计萤，z ( o ，0 ) 为损失 函数，著 p ( 三( 口l ，口) 工( 如，口) ) 0 5 对一切口o ( 2 4 0 ) 严格不等式“ ”至少对某0 e 成立( e 为参数空间) ，则称在p c 准则下d 1 优于 如 我们的目的是在p a 准则下比较混合模型( 2 9 ) 的线性极小极大估计b 相对于 甜j 的优良性问题本节中取损失函数为 ( ，e ) = ( 一8 ) ( 0 一e ) = l l 一0 l f 2( 2 4 1 ) 若记 w ( b c & b ( 2 ；卢) = l lb c 2 一芦1 1 2 一i jb ( ”一卢2( 2 4 2 ) 本节将基于混合模型( 2 9 ) 导出p ( ( 毋) ，水；口) o ) 0 5 的条件，此处假设 a g = g a 和g 0 ，并进一步假定模型( 2 1 ) 和( 2 6 ) 中随机误差 e 一( o ，口2 f )e n ( 0 ，口2 i ) ( 2 a 3 ) 记r = a 一1 + g ，由( 2 a o ) 式可知6 ( 2 可表为如下形式： 拶) = ( a + g ) 一1 ( 。y 7 ”+ h i u ) = 【a 一1 一a 一1 ( a 一1 + g 一1 ) 一1 a 一1 】( x 7 y + 日 ) = 醴1 + a 一1 t i u a _ l r i a i ￥掣一a 一1 r t a 一1 日“ = 6 1 1 ) 一a - 1 y 一1 ( 6 ：”一g 1 日u ) 上式推导中利用了矩阵求逆的公式 ( m + 且硝) 一1 = m 一m 一1 r ( 爿m 一1 r 十n 一1 ) 一1 爿m 一1 丕直盔堂堡圭坐些鲨塞 1 6 由( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 式可知a 。r 一1 = f - 1 a ，从而易见 i i5 1 2 ) 一酬2 = 【( 毋一芦) 一a - 1 r 一1 ( b c , 1 ) 一g - 1 h “) 】，【( b ( 1 ) 一卢) 一a 。r 一1 ( b 9 ) 一g - 1 叠“) 1 = f | b ( 1 一卢1 1 2 + ( 6 一g - a l l t ) r 一1 a 一2 r 一1 ( 6 1 ”一g - 1 h i u ) 一2 ( 6 ( 1 】一卢) a 一1 r 一1 ( 6 ( 1 ) 一g - * j r u ) 所以 矿( 6 1 1 曲乎；p ) = | ib 字) 一芦l 2 一l b 9 ) 一口 1 2 = ( b ! ”一g 一1 目t u ) ，r i a 一2 f 。1 ( b ! ”一g i h , u ) 一 2 ( b ! ”一卢) ，且一1 i 、一1 ( 6 【1 ) 一g t h , u ) 由上式可见( 毋) ，b 1 2 ；卢) 曼0 等价于 ( 毋一g - 1 h u ) r 一1 a 一2 r 一1 ( 6 ( 1 ) 一g - 。1 t t u ) 2 ( 毋) 一卢) ，a 一1 r 一1 ( 6 ) 一g 一1 h , “) ( 2 4 4 ) 由 a 一2 ( a 一1 十g 一1 ) 一1 = f a 一1 故( 2 4 4 ) 式成立的充分条件是 斜r a 一1 白一2 b i f a 一1 c 1s 0 ( 2 4 5 ) 其中c i = p - 1 6 1 一f - 1 g 一1 日，b 1 = f - 1 6 l 一p - 1 口 记z t = r “g 。f “一f - t 8 ，并将q = b l 一盈代入上式，整理得到 由假设( 2 4 3 ) 可知 所以 墨r a - 1 历丑i r a 一1 8 1 ( 2 4 6 ) e ( 历) = 刀( r 一1 g 一1 h u r 一1 卢) = r 一1 g 一1 凹h 8 一r 一1 卢= 0 ( 2 4 7 ) c o ( z 1 ) = c d ( r 一1 g 一1 日u r 一1 卢) = 仃2 r 一1 g 一1 日h g 一1 r 一1 = 矿r 一1 g 一1 r 一1 e ( b 1 ) = e ( r 一1 毋) 一r 一1 卢) = r 一1 a 一1 x x z r 一1 卢 c o v ( b 1 ) = c o v ( r 一1 毋) 一r 一1 芦) = 口2 r a a 一1 x 7 x a 一1 r l 蜀一p ( o ，口2 r 一1 g 一1 f 一1 ) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 壅塑盔堂亟圭坐些堡塞 1 7 b t 一坼( p 一1 ( a 一1 x x j ) 院矿r - 1 a 一1 x x a 一1 r - 1 ) 记e 1 ：口2 r 一1 g 一1 r ， e 2 ：口2 f - i a 一1 x x a 一1 r ，则若记忍：e 1i 1 历， 仍：e ； b 1 更r 知z 2 。n p ( 0 ，f ) ，b 2 。h ，i ) ，其中 ：e i 1 r 一1 ( a 一1 x ，x i ) 卢， 故( 2 4 6 ) 式变为 琶e r r l e 1 易茎琏；1 r a l b 2( 2 5 1 ) 由于e ( s e ) = o 且z 2 和b 2 为线性估计，因此易和b 2 不相关，即c o y ( z 2 ，马) = 0 由( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 式知 r = a 。+ g 。= q f 出叼“击+ 赤) ，( 壶+ 忐) ) q 所以 ，2 a 2 q d i 州瓦1 + 丽1 ) 而1 ，( 毒+ 志) 。2 去 e 1 _ “f 1 甜蛳酬( 击+ 赤) 丽1 ，( 毒+ 面1 广志) 。 e 2 = 盯2 r 一1 ( 且一l 一盯2 a 一2 ) r 一1 “驰耐c 击+ 赤) - 2c 击。耠，c 毒+ 忐广c 毒。扣 j l r a - 1 e i 2 蚴训击+ 静1c 毒。耖，c 毒+ 去) _ 1c 专。扣 若记a l 。矿击叼 ( 击+ 南) 丽1 ，( 毒+ 志) 嘶1 ) ，a 2 = a 2 d i n g ( ( 赤+ 赤) 一1 ( 六一i f 2 碍i ) ，( 毒+ 赤) 。1 ( 毒一a 2 毒) ) ，z = o 局，b = q 岛，z = ( z 1 ，印) 7 ，b = ( 6 1 ，) ，显见z 服从分布坼( o ，j ) ，b 服从分布( q q ，i ) ， 此时( 2 5 1 ) 式变为 z a 1 zsb a 2 四 ( 2 5 2 ) 分别记 r t 甜平“击+ 丽1 ) 丽1 ) 仡甜呻 ( 焘+ 静1 ( 毒。扣 贝0 此处z a i z n z z = n l f z i 2 ，而b a 2 b 也b 7 b = 吨0 b f 2 立的充分条件是 n0 彳1 1 2 0 5 的条件，需要下述引理 引理2 4 1 ：设j ：服从分布晶。( 靠) ，i = 1 ，2 ，f m ，。( f i ) 表示自由度分别为i l l ， n 非中心参数为矗的f 分布若f - 缸，则p ( f i ( y ) 口) p c f 2 ( y ) z ) ，对任给 的。0 成立 证明参见文献f 8 】 定理2 4 1 ：设6 1 1 和6 1 2 如上定义，a g = g a 且g 0 ，若记m o 5 表示自由 度为p ，p 的中心f 分布的中位数，若f l 丁2 0 5 证明记f o 一乃，p ( o ) ，即岛服从自由度为p p 的中一5 - f 分布由上述引理2 4 1 和( 2 5 4 ) 式可知，当n 乜 p ( 玛( ) r f ( l 5 ) = 0 5 至此定理2 4 1 证毕 若记m o 5 ( f ) 为昂常( f ) 的中位数，由上述引理2 4 1 可知m o 5 ( ) 为f 的增函数， 其最小值在f = 0 处达到令 矗= n ，僖：n n 0 ，且m 05sn 愚 0 ，若记伽5 i f ) 表示自 由度为p , p ，非中心参数为= i i71 1 2 的f 分布的中位数， o 由( 2 5 5 ) 式定义若 南 f ，则当n 胁 0 5 证明当岛 p ( 如( 9 ) f n , 0 5 ) ) = 0 5 定理证毕 2 5 椭球约束下混合模型的线性极小极大估计 我们再考虑模型( 2 9 ) ，在椭球约束7 邓sk 下，对于风险函数飓，卢，n ) 的线 性极小极大估计b ( 2 1 事实上，我们有 出2 ) = ( d + 日7 日) 一1 ( x 7 管+ 日u ) ( 2 5 s ) 其中 曰( 6 ( 2 ) ) 一卢= 一k - t 口2 ( d + 日日) 一1 邓( 2 5 7 ) g d ( 6 ( 2 ) ) = 盯2 ( d + t t h ) 一1 ( s + i t h ) ( d + 日7 日) 一1( 2 5 s ) 和极小极大风险 ! “pr a ( b ( 2 ) ，晟8 ) = 0 - 2 ( d4 - 日7 日) 一1 8( 2 5 9 ) 8 t 8 0 ，故可设d l 如啐 0 为d 的特征根，于是靠1 d - 1 0 为d - 1 的特征根故 i v 打( k 2 d 1 ) = 铲1 ( 2 6 1 ) = 1 另令百= d 一 g d 一 o ，故存在正交阵如，使得 召= 币威g ( g p ，9 1 ) 如 其中吼9 2 跏0 为召的特征根 则可仿照前面2 3 中寻求t r ( a + g ) 。) 上、下界的方法，得 ，p t r 0 为矩阵t 的特征根，则可利用e u m o n 不等式得 p 打 一 口2 t d 。2 一自a 2 南m ( 2 6 3 ) i = 1 丕童盍堂塑生些堡塞 2 1 利用引理2 3 1 ，可得a d ( v + g ) 一1 】酊1 ( 1 + 卯一l + 1 ) ，则有 打 口2 t ( d + g ) - 2 p k a 2 k + g ) 一2 】 i = 1 p = 矿岛- l + l m ( d + g ) - 2 】 i = 1 p = d 2 如一+ 【( d + g ) - 1 i = l p 口2 如一i + i 町2 ( 1 + 卯- i + 1 ) 一2 因此 p t r 口2 t ( d + g ) 一2 9 2 d f 2 赴( 1 + g o 一2( 2 6 4 ) i = 1 再利用n ( 卯) = r o 础( 卢侈) = 1 ，且芦与卢卢有相同的非零特征根，所以可 知卢 0 = 0 为卢侈的所有特征根故有 打。 仃2 f l 卢 t d 一2 t a 2 卢 n t d 一2 明= 盯2 卢h d 一2 t 2 】盯2 卢7 卢d f 2 t ； ( 2 6 5 ) 注t 上面最后一个不等式利用了引理2 3 1 因为州筇t ( d + g ) 一2 计= f f t ( d + g ) 一2 邛，所以不妨考虑t ( d + g ) 一2 邵 的上界 利用代数事实；任意对称矩阵c ，均有8 u p7 z c f x = a 。( 口) 则 o s u p 幽篙也一u 口pb t 5 t ( d 叫+ g 芦) - 2 t 。 t 5 f l = 。，。【t ( d + g ) 一2 t 幻 利用引理2 3 1 ，得 【+ g ) 一1 】哼1 ( 1 + 卸一州) - 。，再利用邓sk ，有 ? ( d + g ) 一2 t 卢危 。m p ( d 十g ) 一2 t = k 。m f ( d + g ) - 2 卅 船l a m ”【( d + g ) 一2 】 = t 1 磕。【( _ d 十g ) 一1 】 k t l 审2 ( 1 + 卯) 一2 丕重盔堂亟主坐些迨塞 2 2 因此 打 一矿芦t ( d 十g ) 一2 t ) 一盯2 舭l d ；2 ( 1 + 卸) 一2 ( 2 6 6 ) 由( 2 6 1 ) 一( 2 6 6 ) 可得，m s e ( b ( ”，卢) 一m s e ( b ( ”，卢) 0 成立的充分条件为 2 町1 一 2 町1 ( 1 + 肼) 一k 矿乜i 上1 + k a 2 d i 2 t i ( 1 + 仇) 一2 + a 2 , 8 卢d i 2 2 一a 2 k $ l d i 2 ( 1 + 9 p ) 一2 0 ( 2 6 z ) 综上，我们有 定理2 5 1 ：混合模型( 2 9 ) 在球约束卢，邓s 下，m s e ( b 1 1 ) ，卢) 一m 舳f ( 6 字) ，卢) 0 的一个充分条件为( 2 6 7 ) 式成立 第三章回归系数的混合估计与最小二乘估计的相对效率 3 1 引言 考察具有附加信息的线性回归模型t v = x 卢+ e ，e 一( 0 ，0 - 2 j )( 3 1 ) = 日| 8 + e ，e 一( 0 ，w )( 3 2 ) 其中t5 与e 不相关；y 为n 维观测向量；x 为n x p 设计阵，其秩r a n k ( x ) = p ( t 1 ) ； p 为p 维待定回归系数向量；e 为n 维误差向量；a 2 为已知常数u 为维可观测 的随机向量；h 为lx p 阶的已知矩阵，其秩r a n k ( h ) = i ；s 为f 维不可观测的误 差向量；w 为已知矩阵，r a n k ( w ) = z 把( 3 1 ) 和( 3 2 ) 合并在一起，得到混合模型 其中 e ) = 芦+ ( e ) 口( 9 = 。c 删= ( 髻1 品) 用广义最小二乘法，容易得到卢的b l u e 为 肛( 等+ 日f 旷耵1 ( 了x y + 嚣f w - t u ) 矿称为卢的混合估计模型( 3 1 ) 中芦的最小二乘估计( 工船。) 为 声= ( x x ) 一1 j r ， 显然与声均为卢的无偏估计，其协方差阵分别为： 因为 g o t j ) = ( f x + a 2 h w 一1 日) 一1 g o u ( 声) = 矿( x 7 x ) 一1 g ( ) = 1 7 2 ( 掣x + a 2 h w 一1 矾一1 = ( 7 2 ( x x ) 一1 一( 7 4 ( x x ) 一1 王r ( 盯2 日( j r x ) 一1 h + ) 一1 h ( x ，x ) 一l 2 3 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 壅蛊盔堂亟主生些迨塞 z 4 0 - 2 ( x 7 x ) = g ( 声)( 3 8 ) 所以可知在1 6 w h e t 。偏序”的意义下，混合估计比l s 估计有较小的协方差阵 为了度量和声之间的差异，人们引入相对效率的概念文献【9 】已定义矿和 卢的两种效率为t e - 一e 册) = 篱勰 ( 3 。) ”以印弘黼 ( 3 1 0 ) 其中d 以和打分别表示矩阵的行列式和迹 本文将文献【1 3 ，1 4 ，1 5 】的