（概率论与数理统计专业论文）集值与模糊集值随机变量序列加权和的大数定律及渐近鞅.pdf

摘要 本文主要研究了三部分内容第一部分内容是关于集值与模糊集值随机 序列加权和的大数定律首先给出了相互独立的紧一致可积的模糊集值随机 变量加权和的弱大数定律成立的充要条件，然后证明了紧一致可积的模糊集 值随机变量加权和的强大数定律所涉及到的收敛是在拓广的强h a u s d o r f f 距 离d 胃意义下的收敛，而非以往研究中较弱的距离砧意义下的收敛，并且这 里随机变量要求是相互独立，并不要求同分布的条件我们所做的这都分工作 是对t a y l o r 和i n o u e 在1 9 8 5 年和1 9 9 7 年的文章中关于紧一致可积的集值随 机变量加权和的大数定律的结果的推广，并且也是对a d l e r1 9 8 1 和1 9 8 9 年的 文章，a h m e a1 9 9 4 年的文章，c o l u b i1 9 9 9 年的文章，以及l i 和o g u r a2 0 0 3 年的文章的推广我们在定理的证明过程中巧妙地使用了“化无限为有限” 方法和“两边夹”方法这两种方法主要源自l i 和o g u r a 的2 0 0 3 年的文章 我们又研究了r a d e m a c h e rp 型b a n a c h 空间集值随机变量加权和的强大数定 律，这里的权比前面研究中的三角阵权更一般我们首先证明了b a n a c h 空间 笺的紧子集空闻k k ( 芏) 的r a d e m a c h e rp 型性质，以及集值情形的k r o n e c k e r 引理，然后得到了集值随机变量加权和在妇距离意义下的强大数定律在研 究了以上两类独立集值或模糊集值随机序列的加权和大数定律的基础上，我 们还对没有相互独立条件但按行可交换的模糊集值随机变量序列加权和的大 数定律进行了研究 第二部分是关于集值、模糊集值渐近鞅的研究由于集值、模糊集值渐近 鞅是对通常的实值或b a n a c h 值鞅、上鞅、下鞅理论的推广，因此有着广泛的 研究意义我们首先给出了集值拟鞅、渐近鞅及一致渐近鞅的定义，然后讨 论了它们之间的相互关系，在此基础上证明了集值渐近鞅的最优抽样定理与 北京工业大学理学博士学位论文 拟g i e s z 分解定理，讨论了集值渐近鞅的选择存在性问题，并给出了集值渐近 鞅的选择表示定理最后给出了模糊集值一致渐近鞅在d 。意义下的收敛定 理，以及模糊集值渐近鞅在拓广的h a u s d o r f f 距离曙意义下的收敛定理 第三部分是集值随机过程关于有限变差过程的积分的研究首先给出了 两集合间的h u k u h a r a 差的概念，并对其性质进行了讨论，基于h u k a h a r a 差给 出了集值增过程以及集值有限变差过程的概念，进而给出了集值随机变量关 于实值有限变差过程的积分定义，并讨论了这种随机积分的性质最后又将上 面的结果推广到模糊集值随机过程情形这部分积分方面的内容对以后继续 研究集值随机积分，以及进一步研究集值随机微分方程，随机微分包含起到 了铺垫作用，因此值得深入研究下去 关键词；集值随机变量；大数定律；h a u s d o r f f 距离如；集值渐近鞅；随机积分 一一 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h r e ep a r t s t h ef i r s tp a r ti sa b o u tt h el a w s o f l a r g en u m b e r s ( l l n 曲f o rw e i g h t e ds u m so f f o z z ys e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s a tf i r s t , w eg i v et h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ew e a kl a w so fl a r g e n u m b e r sf o r w e i g h t e ds l i m so f i n d e p e n d e n t , c o m p a c t e l y u n i f o r m l yi n t e g r a b l ef u z z y s e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s a n dw ea l s op r o v et h es t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r s f o r w e i i g h t e ds u m s o f f 抛ys e t - v a l u e d r a n d o m v a r i a b l e s t h e c o n v e r g e n c e i s r e s p e c t t ot h ee x t e n d e dh a u s d o r f f m e t r i cd 胃，n o ti nt h es e l l s eo f t h ew e a k e rm e t r i c 踢t h e f u z z ys e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e sa r ei n d e p e n d e n t , b u tt h ec o n d i t i o no fi d e n t i c a l d i s t r i b u t i o n si sn o tn e c e s s a r y o u rr e s u l t se x t e n dt h er e s u l t so f c o m p a c t l yu n i f o r m l y i n t e g r a b l es e t v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e so b t a i n e db yt a y l o ra n dl n o u ei n1 9 8 5a n d 1 9 9 7 o u rr e s u l t sa r ea l s ot h eg e n e r a l i z a t i o no ft h o s eb ya d l e ri n1 9 81a n d1 9 8 9 ， a h m e di n1 9 9 4 ，c o l u b ii n1 9 9 9 ，a n dl i ，o g u r ai n2 0 0 3 w eu s e t r a n s f o r mi n f i n i t y i n t of m i t y a n d “s a n d w i c h m e t h o d st op r o v eo u rr e s u l t s t h e s et w om e t h o d sw e r e f i r s t l yi n t r o d u c e db yl ia n do g u r ai n2 0 0 3 s e c o n d l y , w es t u d yt h es t r o n gl a w so f l a r g en u m b e r sf o rw e i g h t e ds u m 8o fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e si nr a d e m a c h e r t y p epb a n a c hs p a c e w ep r o v et h er a d e m a c h e rt y p epp r o p e r t yo fk k ( x ) ，t h e s p a c eo fa l lc o m p a c ts u b s e t so f 芏a n dw ea l s op r o v et h ek r o n e c k e rl e m m af o r s e t - v a l u e dc a s e t h e nw eo b t a i nt h es t r o n gl a w so fl a r g en u m b e r sf o rw e i g h t e d s u m so fs e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e si nt h es e n s eo f 妇ma d d i t i o n , b e s i d e st h e a b o v et w ok i n d so f l a w so fl a r g en u m b e r sf o ri n d e p e n d e n ts e t - v a l u e do rf u z z ys e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s ，w ea l s od i s c u s st h el a w so fl a r g en u m b e r sf o rr o w w i s e e x c h a n g e a b l ef u z z ys e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e s - i l l - 北京工业大学理学博士学位论文 t h es e c o n dp a r ti sa b o u ts e t v a l u e da n df u z z ys e t - v a l u e da s y m p t o t i cm a r t i n - g a l e s i n c et h et h e o r yo fs e t v a l u e da n da t z z ys e t - v a l u e da s y m p t o t i cm a r t i n g a l ei s t h ee x t e n t i o no f t h a to f u s u a lr e a l v a l u e do rb a n a c hv a l u e dm a r t i n g a l e ，s u p e r m a r t i n - g a l ea n ds u b m a r t i n g a l e ，i ti si m p o r t a n tt or e s e a r c h w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e f m i t i o n so f s e t v a l u e dq u a s i m a r t i n g a l e ，a s y m p t o t i cm a r t i n g a l ea n du n i f o r ma s y m p t o t i c m a r t i n g a l e t h e nw ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e m w eg e tt h eo p t i o n a l s a m p l i n gt h e o r e ma n dq u a s ir i e s zd e c o m p o s i t i o no f s e t - v a l u e da s y m p t o t i cm a r t i n - g a l e ，d i s c u s st h es e l e c t i o np r o b l e mo fs e t - v a l u e da y m p t o t i cm a r t i n g a l e ，a n dp r o v e t h es e l e c t i o nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r e mo fs e t - v a l u e da s y m p t o t i cm a r t i n g a l e a tl a s t w eo b t a i nac o n v e g e n c et h e o r e mo ff u z z ys e t v a l u e du n i f o r ma s y m p t o t i cm a r t i n - g a l ei nt h es e n s eo f d o o ，a n dac o n v e r g e n c et h e o r e mo f f u z z ys e t - v a l u e da s y m p t o t i c m a r t i n g a l ei nt h es e n s eo f t h ee x t e n d e dh a u s d o r f f m e t r i c 曙 t h et h e s i se n d sw i t ht h es t o c h a s t i ci n t e g r a lo fs e t - v a l u e dr a n d o mp r o c e s s e s w i t hr e s p e c tt of i n i t ev a r i a t i o np r o c e s s e s w ef i r s t l yi n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no f h u k u h a r ad i f f e r e n c eb e t w e e nt w os e t s ，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e s t h e nw eg i v e t h ed e f i n i t o n so fas e t - v a l u e di n c r e a s i n gp r o c e s sa n das e t - v a l u e df i n i t ev a r i a t i o n p r o c e s sb a s e do nh u k u h a r ad i f f e r e n c e f u r t h e r m o r e ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fi n - t e g r a lf o ras e t - v a l u e dr a n d o mp r o c e s sw i t hr e s p e c tt oar e a l - v a l u e df i n i t ev a r i a t i o n p r o c e s s ，a n dd i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h i sk i n do fi n t e g r a l f i n a l l yw ee x t e n d t h ei n t e g r a lt ot h ec a s eo ff u z z ys e t - v a l u e dr a n d o mp r o c e s s t h i sp a r ti st h eb a s i c w o r kt og oo nt h er e s e a r c ho ns e t - v a l u e ds t o c h a s t i ci n t e g r a l ，a n di ti sa l s ou s e f u l t oc o n t i n u et od or e s e a r c ho ns e t - v a l u e ds t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n , s t o c h a s t i c d i 疵r e n t i a li n c l u s i o n k e y w o r d s ：s e t - v a l u e dr a n d o mv a r i a b l e ；l a w so fl a r g en u m b e r s ；h a u s d o r f f m e t r i cd 日；s e t - v a l u e da s y m p t o t i cm a r t i n g a l e ；s t o c h a s t i ci n t e g r a l 一一 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名 关i i i l 日期 w 0 0 7 0 ； 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：叁叠导师签名： 表泰栖 日期：型! ：! 第1 章绪论 第1 章绪论 本文主要有三部分的研究内容，首先研究b a n a c h 空间中相互独立的 紧一致可积的模糊集值随机变量加权和在拓广的h a u s d o r f f 距离d 胃意义 下的弱大数定律与强大数定律，以及r a d e m a c h e r p 型b a n a c h 空间上的集 值随机变量加权和在h a u s d o r f l 距离如意义下的强大数定律，然后证明 了按行可交换不要求独立的模糊集值随机变量加权和的大数定律其次 研究了集值，模糊集值渐近鞅的性质，最优抽样定理，拟r i e s z 分解定 理，表现定理及收敛定理由于集值，模糊集值渐近鞅理论是对经典的 渐近鞅理论的推广，因此有着广泛的研究意义最后我们研究集值随机 过程关于实值有限变差过程的随机积分 在阐述本论文的思想和方法之前，首先回顾一下集值与模糊集值随 机变量的概念，大数定律的发展，鞅以及渐近鞅的发展，随机积分的现 有研究成果 1 1 b a n a c h 空间上的集值与模糊集值随机变量 集值随机变量不是通常的取值为数值，而是取值为n 维欧氏空间或 b a n a e h 空间上的集合为值的随机变量，它既描述了客观事物所具有的随 机性，又描述了事物状态的多值性以集值随机变量为基础建立起来的集 值随机分析是现代应用概率的一个具有活力的新分支，有其深刻的实际 背景二十世纪中叶，以g d e b r e u 等为代表的一大批经济学家研究了经 济中的不确定性这不仅是经济问题数量化研究的一次重大突破，也为 现代概率的研究提出了新的课题这里的不确定性包括两个方面，即市 场经济中客观上影响经济因素变化的随机性和具有一定资产的投资者投 资方式的多样性这一现象反映到数学上为一般集值随机变量问题由 北京工业大学理学博士学位论文 于d e b r e u 把这两种不确定性用量化形式描述出来，应用现代数学手段， 建立了经济模型的一般理论，使他在1 9 8 3 年获得了诺贝尔经济学奖值 得一提的是d e b r e u 所提出的相关数学概念与使用的方法洳【2 3 】) 和后来 的i l j a u m a n n 引进的a u m a n n 积分( 参见【8 ) 推动了集值随机变量理论 的发展近4 0 多年来许多数学工作者进行了深入的研究，得到了一批非 常精彩的结果例如，法国学者b v a n c u s t e m 在1 9 6 9 年提出了紧凸集值 鞅的概念；日本的h i a i 与u m e g a k i 在1 9 7 7 年给出了一般的集值随机变量 的条件期望的概念；7 0 至9 0 年代法国的n e v e u 、h e s s ，越南的l u u ，美国 的p a p a g e o r g i o u , l i 与o g u r a 分别在不同的条件下讨论了集值鞅、上鞅与下 鞅的收敛性西安交通大学的张文修教授、华东师大的汪荣明教授分别 在一般集值随机过程的表示定理与集值平稳过程的研究中得到精彩的结 果美国的t a y l o r 与日本的i n o u e 等人研究了集值随机变量序列的大数定 律与中心极限定理 在现实生活中，我们经常也会遇到模糊现象，比如说；李明很胖，他 是老年人，他的个子比较高。很胖”、“老年人”、。比较高”等等都是 具有模糊性的语言这些数据结果不是明确的数值，而是用不确定的语 言来进行描述的对于这类特殊的数据，我们引进模糊集来进行刻画 1 9 6 5 年，美国c a l i f o r n i a 大学的控制论专家l a z a d e h 教授在i n f o r m a t i o n a n d c o n t r o l 上发表了。f u z z ys e t s ”( 参见 1 2 2 ) 一文，标志了模糊集理 论的诞生在该文中他提出了隶属度、隶属函数、模糊集合的运算等概 念这些基本理论是对经典集合论的拓广经过近4 0 年的发展，到目前 为止，模糊集理论得到了迅猛发展，国内外许多学者在这个领域作了大 量卓有成效的工作 模糊集值随机变量是美国的p u r l 和r a l e s e u 于1 9 8 6 年结合集值随机 变量理论与模糊集的思想提出的，同年他们还证明了独立同分布的模糊 2 第1 章绪论 集值随机变量序列的大数定律与中心极限定理在此基础上许多研究者 都做了大量的研究，例如；l i 和o g u r a 在b a n a c h 空间上证明了模糊集值 鞅的收敛定理；t a y l o r , i n o u e ，l i 和o g u r a 等在不同的假设下研究了独立不 必同分布随机变量序列的大致定律；吴让泉、冯玉瑚、吴丛忻、李洪兴 教授等人及其研究组对模糊集值随机序列的收敛性、模糊集值映射及模 糊随机控制进行了研究，得到很好的结果 下面我们介绍跟本论文相关的集值与模糊集值随机变量的相关概 念 在本文中我们始终假设( q ，a ，z ) 是完备的概率空间， ，”i i ) 是实 值可分的b a n a c h 空间( 王) 表示芏的所有非空子集的全体，k ( 匐是芏 的所有非空闭子集的全体，k ( 芏) 是芏所有非空紧子集的全体，并且假 设磁。( 王) 是王的所有非空紧凸子集的全体，k 6 ( 芏) 是z 的所有非空有界 闭子集的全体，k k ( ) 是芏的所有非空有界闭凸子集的全体 设a ，b 是王的两个非空子集，分别定义加法和数乘为 a + b = o + b ：口a ，b b a a = a s ：o a ，a r 定义1 1 1a ，b k k ( 篁) ，定义a 和b 的h a u s d o r f f 距离为： 妇( a ，b ) = m 缸吆蛐i n f i l a - b 峰s u 日p 聪i l a - b 忱 在 6 8 】中给出了h a u s d o r f f 距离的等价定义； d x ( a ，b ) = m a x i a ：bc0 ( a ，a ) ) ，m f a ：ac0 ( b ，a ) ，( 1 - 1 ) 其中0 ( a ，a ) = z ：d ( o ，a ) a ) 3 北京工业大学理学博士学位论文 对a k d x ) ，令i i a i k = 如( o ) ，a ) 距离空间( k b ( 芏) ，d ) 是完备 的，k 6 c ( 芏) ，k k ( 王) 和k k 。( 笺) 都是( k d x ) ，妇) 的闭子集，且k k ( 3 c ) 和k k 。( 芏) 都是可分的，但是k b ( 3 c ) 和k 6 c ( 笺) 都是不可分的( 参见 6 8 ，定理1 1 2 和 定理1 1 3 ) 更多的关于h a u s d o r f f 距离的性质，读者可参见 6 8 ， 1 1 0 称集值映射f ：q k ( x ) 是集值随机变量( 或可测的) ，如果对每个 开集o k ( 芏) ，f - 1 ( 0 ) = 如q ：f p ) n o 毋) 一4 这里定义的可测性 也称为是弱可测如果对每个闭集b ，有：f - 1 但) = 扣q ：f p ) n b 毋 一4 ，贝0 我们称f 是强可测的 c a s t a i n g 和v a l a d i e r 在文章【18 】中应用开集给出了弱可测的定义， r o c k a f e l l a r 在文章 1 0 9 】中应用闭集给出了强可测性的定义除了强可测 和弱可测的定义，我们也还有一些其他的可测性的定义下面的定理给 出了各种可测性之间的关系 定理1 1 2 ( 参见【6 8 ，【3 9 】) 令( q ，4 ) 是可测空间，芏是可分的距离空 间，f ：q k ( 芏) 是集值映射，考虑下面的条件： ( i ) 对每个b o r e l 集bc 笺，f 以( b ) a ( i i ) 对每个闭集ac 芏，f 一1 ( 口) 一4 ； ( i i i ) 对每个开集oc 王，f - 1 ( 0 ) 4 ； ( i v ) 对每个z 芏，u d ( z ，f p ) ) 是可测函数； ( v ) a ( f ) = 0 ，z ) q x 芏：z f ) ) 是a x b ( x ) 可测的，其中层( 芏) 是的b o r e l 域； 则我们有下面的结论； ( 1 ) ( 1 ) = 0 - ( 托) 兮( i i i ) 铮) 辛( t ，) ： ( 2 ) 如果芏是完备的，4 关于某个盯有限测度是完备的，则上面的所 有条件均是相互等价的 4 第1 章绪论 对每个集值随机变量f ，f 的期望表示为e 旧，定义如下： e 【f 】= 上，钆：f 昂) ， 其中厶f d # 是l 1 【q ，矧中通常意义下的b o e h n e r分，l 1 【q ，习表示所有 可积的 值随机变量的全体，且昂= ，l 1 【q ；矧：，p ) f ) ，a e 这种积分也称为是a u m a n n 积分e 参见 8 】) 如果矗l t f ( w ) l l k d 肛 o ) c 这里 c 表示集合的闭包) 容易验证，对任意的模糊集口，它的水平截集具有下面的性质： ( 1 ) v 0 = ； 5 北京工业大学理学博士学位论文 ( 2 ) o t o ) 是紧的 对于任意的两个模糊集口1 ， 2 k ( 芏) ，我们称口1 口2 当且仅当v 口 【o ，1 】，畦c 记 定义1 1 7 称模糊集 乳( 芏) 是凸的，如果它满足对任意的z ，y 芏，a 【0 ，1 】， ( a z + ( 1 一a ) 可) m i n v ( x ) ，口( s ，) 这种定义首先是在文章【1 2 2 】中被引进的u 是凸的当且仅当对任意的 口( 0 ，1 】，水平截集是凸集( 参见 2 1 ，定理3 2 1 ) 记取。( 芏) 表示风( ， 中所有凸模糊集的全体对于任意的u 巩( 芏) ，口的闭凸包砌f k 。( 芏) 是指满足对任意的o l ( 0 ，1 】，( 劢k = 历 对任意的两个模糊集1 ，v 2 ，定义； ( 1 + 1 , 2 ) ( $ ) = s u p c e ( 0 ，1 】：z 以+ 堙) ，v z 芏 类似地，对于模糊集1 和实数a ，定义 ( a ) ( 。) = s u p a ( 0 ，1 】：。a l 么 ，v z 芏 下面的两个距离是对h a u s d o r f f 距离妇的拓广 对于任意的u 1 ， 2 巩( 芏) ，定义 曙( 口1 ，钞2 ) = s u p 妇( 畦，) ， a e ( o ，1 】 略( 一呐= z 1 始( 记，) 如) ，r 1 7 北京工业大学理学博士学位论文 记i f = ：蝎( ，如) = s u p 。，o l i i i k ，其中而表示在0 点取值为l ，其 它点均为0 的模糊集，则( 巩( 芏) ，曙) 是完备的距离空间( 参见【6 8 】，定理 5 1 6 ) 但不是可分的( 参见 6 8 ，注5 1 7 ) 对于任意的口( 0 ，1 】，有= n 口。啪，但一般地蚝u 口 a 记 + = d ( u 口，。印) 显然 0 0 + 是口的支撑集由于( f k ( x ) ，d 胃) 是完备的， 因此每一个c a u c h y 列 矿：n n ) 都有极限口，且此极限在f k ( x ) 中并 且有下面的结论 引理1 1 8 ( 参见 7 2 ) 假设序列 矿：n 娜f k ( x ) 在曙距离意义 下收敛于 f k ( x ) ，则对每个a 【0 ，1 ) ，序列 咯：礼娜在幽距离意 义下收敛于+ k k ( x ) 称x ：q f ( 芏) 为模糊集值随机变量或模糊随机集，如果对每个 o ( 0 ，1 】，托0 ) = 扛王：x ) ( z ) q 是集值随机变量称模糊集值 随机变量x 是可积的，如果s k ，是非空的从 6 8 】中的定理1 3 1 可知， x 可积当且仅当d ( 0 ，x z ) ) l 1 【q ，【0 ，o o ) 】若实值随机变量i i 蕊川k 是 可积的，则称模糊集值随机变量x 是可积有界的 称模糊集值随机变量列 x n ，k ：t , 1 ) 是一致可积有界的当且仅当 存在一p - 可积函数，：q 一敷，使得i l 硌恢，) 对几乎处处所有的 u q 以及n n 都成立 记l 1 【q ，一4 ，p ；r ( 笼) 】表示所有可积有界的取( 戈) 值随机变量的全体， l 1 p ，一4 ，川f k 。( 笺) 1 表示所有可积有界的f k 。( 芏) - 值随机变量的全体称两 个f ( 王) 一值随机变量x ，y l 1 m ，一4 ，p ；风( 芏) 】是相等的，如果对任意的 口( 0 ，1 】，有k ( u ) = 圪( u ) 口e ( p ) 称民( 动一值随机变量序列 x ”：n n ) 在曙意义下收敛于一个 8 第1 章绪论 巩( ) 一值随机变量置如果 d 曙( x ”) ，x ) ) 一0a e ( 肛) n 0 0 巩( 芏) 一值随机变量x 的期望表示为昱】，是f k ( x ) 中满足下面条件的随 机元；对每个o t6 ( 0 ，l 】， ， ( e 【x 】) 。= c f7 五审= c l e ( f ) ：，6 跣) j n 其中闭包在王中取，s k = ，l 1 【q ；芏】：，) p ) ，a e ) ) 由期望 的存在性定理( 参见【6 5 ，【6 8 】) ，我们也有如下的等价定义， e 】( z ) = s u p o r ( 0 ，1 】：z e 【x 0 】 进而也有，对任意的o ( 0 ，1 】， 拟】) 。= e 【- 】 1 2 大数定律的发展简介 ( 1 ) 取值于b a n a c h 空间的随机序列的大数定律 对于随机变量序列墨，兄，概率论中，把描述其平均值：五在 什么条件下呈现出稳定性的定理称为大数定律我们一般用下面的数学 语言来描述大数定律 定义1 2 1 若蜀，恐，是实值随机变量序列，如果存在常数列 口l ，锄，使得 1 忭 妾五一a n on 怎( 或依概率p 收敛) ， i = i 则称 五：i 1 ) 服从强( 弱) 大数定律 上面的大数定律中每个咒的权数都是i 1 ，即每个随机变量所起的作 用是相同的但是有些时候，各个随机变量所起的作用大小不一，对于 这种情况我们用下面的加权和大数定律进行描述 9 北京工业大学理学博士学位论文 定义1 2 2 设五，x 2 ，是实值随机变量序列，如果存在常数列 b 1 ，6 2 ，使得 n f i 五一k 0o ( 或依概率p 收敛) ， i = 1 则称 五：i 21 ) 服从加权和的强( 弱) 大数定律，其中 ，1 i 几，n 1 ) 是三角阵列，称8 m 为五的权数 显然，定义1 2 1 是定义1 2 2 的特例，取权数为1 即可并且由辛 钦大数定律我们知当e 【五】 0 ( 3 时，独立同分布的随机变量在n 次观察 中的算术平均值：五依概率收敛于q 五】 1 9 5 3 年，m o u r i e r v 7 1 首次将独立同分布随机变量的大数定律推广到随 机变量取值于b a n a c h 空间的情形；1 9 6 3 年，b e c k i 研究了取值于b a n a c h 空间的随机变量的k o l m o g o r o v 强大数定律；1 9 7 5 年，t a y l o r 和p a d g e r t “” 得出了取值于b a n a e h 空间，独立同分布随机变量加权和弱大数定律成立 的充要条件；1 9 8 7 年，a d l e r 和r o s a l s k y t ”研究了带有随机控制条件的随 机变量加权和的强大数定律 ( 2 ) 集值随机变量序列的大数定律 1 9 7 5 年，a r t s t e i n 和v i t a l e t ”首次证明了有限维e u c l i d e a n 空间刑中独 立同分布的紧集值随机变量序列的强大数定律；1 9 8 3 年，p u r i 和r a l e s c u ”州证明了取值于b a n a e h 空间的独立同分布的紧凸集值随机变量序列的 强大数定律 随机变量序列的加权和大数定律是重要的概率理论，并且常常在实 际中应用到t a y l o r 在文章 1 1 1 】中对赋范线性空间中不同类型随机变量 序列的大数定律进行了讨论；1 9 8 5 年，t a y l o r 和i n o u e 在其文章 11 6 】中 证明了相互独立的集值随机变量加权和的强大数定律，他们文章中所涉 1 0 第1 章绪论 及到的权是三角阵列这类问题的结果是否可以推广到模糊集值随机变 量序列的情形是本论文第二章首要讨论的问题 由于权数的变化行为会影响到加权和的收敛性，并且有时候权数并 不总是三角阵列，因此有必要研究带有更一般的权数的加权和的大数定 律一般的，若没有同分布的条件，我们常常需要对分布或空间结构附 加条件，才能够得到大数定律在文章 3 】中，a d l e r 等人证明了当3 e 为 r a d e m a c h e r p 型b a n a c h 空间时，相互独立的笺- 值随机变量加权和的强大 数定律，他们的工作是给空间芏附加了条件，使得空间芏满足r a d e m a c h e r p 型性质，然后得到了大数定律这促使我们去思考：在同样的空间结构 下，是否可以得到集值随机变量情形的相应结果? 这是我们本论文第三 章要讨论的问题 在非参数统计0 2 9 1 中，我们经常使用如下的u 统计量对参数进行估 计， = 巩( 蜀，葛) 2 而i 可- i i 两口暑，m ，巍) 其中， 风，屏) 是对 1 ，n ) 中任选r 个数的任一排列，是对所 有这样所有排列的求和那么称为以危( ) 为核的，基于样本五，k 的矿统计量，简称u 统计量 t a y l o r 在其文章 1 1 2 】中，证明当随机变量在函数空间取值，其核密 度估计为下面的形式： = f ， 且当窗宽是常数时，鼠一致收敛于某个密度函数；当窗宽可以变化时， 权数 ) 是随机变量，那么这个时侯每一行的随机变量不再具有独立 性 北京工业大学理学博士学位论文 在实际应用中，我们往往需要处理类似上面的不独立的随机变量 序列问题此时，如果对于每一个置换丌，( 五，) 的联合分布和 ( 墨1 ，) 的联合分布相同( 1 z p 关于分布具有置换不变性) ，依然可以 构造上述的u 统计量c 厂统计量是h o e f f d i n g 在其1 9 4 8 年的工作中所引 进的( 参见【4 l 】) ，这个统计量现已成为非参数统计中应用很广的一个重要 统计量对于由u 统计量所给出的参数估计，我们常常要讨论它的相合 性，渐近正态性等极限性质因此我们有必要研究它的极限理论 上面提到的关于分布的置换不变性称为是随机变量列的可交换性 可交换的随机变量在统计中常常用到t a y l o r 等人在其文章 1 1 3 】中应用 d e f i n e t t i 定理得到了按行可交换的随机变量序列的强大数定律p a t t e r s o n 和t a y l o r 在文章 1 0 3 】中用倒鞅的技巧也得到了强大数定律在文章 4 4 】 和 4 5 】中，i n o u e 证明了可交换模糊集值随机变量的加权和在诒距离或 蠕距离意义下的强大数定律本文第四章对可交换的模糊集值随机变量 序列在更强的距离d 管意义下的大数定律进行了讨论 1 3 集值渐进鞅的发展简介 众所周知，经典的鞅理论在概率论及其应用方面起了很重要的作用 对集值鞅理论的研究，很多好的结果已经得到例如，h i a i 和u m e g a k i 在 文章【3 9 】中给出了集值条件期望以及集值鞅的定义，并证明了集值鞅在 距离和妇距离意义下的收敛定理；l 舢在其文章 7 5 】中应用鞅选择方 法证明了集值鞅的表现定理；有关集值鞅，集值下鞅、集值上鞅的收敛 定理，h e s s 在【3 7 】中，k o r v i n 和k l e y l e 在文章【5 9 】中，“和o g u r a 在文 章 6 6 】， 6 7 】中，p a p a g e o r g i o u 在文章 1 0 0 】， 1 0 1 】中，w a n g 和x u e 在文 章【1 2 0 】中，在不同的假设下得到了不同的收敛结果，例如tl i 和o g u r a 在文章 6 7 】中证明了闭凸集值下鞅、上鞅在k u r a t o w s k i m o s c o 距离意义下 1 2 第1 章绪论 的收敛定理；l i 和o g u r a 在文章【7 0 】中应用嵌入的方法证明了模糊集值 鞅在拓广的h a u s d o r f f 距离d 管意义下的收敛定理 随着停时技术的发展”，对鞅理论的推广也成了可能，这使得人们 开始研究向量值渐进鞅( 简称a m a r t ) ，一致渐进鞅( u n i f o r ma m a r t ) 等鞅型 过程对于渐进鞅的研究，第一篇有关这方面研究的文章可能是m e y e r 的 9 5 】关于向量值渐近鞅的研究，读者可以参见文献【2 9 】j 也可以参考 b e l l o w 的【1 0 ，【1 l 】，o h a e o n 和s u c h e s t o n 的 1 9 ，e d g a r - s u c h e s t o n 的【2 6 】一 2 8 】 等文章来了解这方面的知识其中e d g a r 和s u c h e s t o n 在其文章【2 6 】，【2 8 】 中讨论了向量值渐近鞅的性质，几乎处处收敛定理和r i e s z 分解定理 集值一致渐近鞅的概念首先由l u u 在其文章 7 7 1 中给出，并且它得 到了集值一致渐近鞅的表现定理l u u 在文章【7 6 】和 7 8 】中，也给出了 集值l 1 渐近鞅的概念，并且证明了集值三1 渐近鞅的表现定理和收敛 定理；p a p a g e o r g i o u 在文章【1 0 2 】中对集值一致渐近鞅在k u r a t o w s k i m o s c o 距离意义下的收敛性给予了讨论，并且也得到了集值渐近鞅的弱收敛定 理，以及被紧凸一致有界随机变量控制的集值渐近鞅在h a u s d o d f 距离d h 意义下的收敛定理；在【1 2 7 】中，z h a a g 等人讨论了集值渐近鞅的等价定 义；关于渐近鞅和一致渐近鞅的结果，h u 和p a p a g e o r g i o u 在其文章【4 2 的第八章第二节中给出了总结性的描述但是他们的研究工作都没有考 虑集值渐近鞅的表现定理和r i e s z 分解定理，并且也没有考虑模糊集值 渐近鞅方面的相应结论，这便是本论文第五章所要讨论的问题 1 4集值随机变量随机积分的发展简介 集值随机变量的积分概念是集值理论及应用领域里非常重要的理 论渗见【8 】，【2 3 ，【3 2 ，【5 7 ，【6 s ) 目前广泛应用的集值随机变量的积分 有两种，第一种是a u m a a n 积分集值随机变量的a u m a n n 积分首先是由 1 3 北京工业大学理学博士学位论文 a u m a n n ”1 在1 9 6 5 年提出的h i a i 和u m e g a k i 在文章【3 9 ，l i 和o g u r a 在 6 8 】 中都对这种类型的积分进行了进一步的研究另外一种积分是b o c l m e r 积 分，集值随机变量的b o c h n e r 积分首先是由d e b r u 在文章【2 3 】中提出的， 他的工作可以使得集值随机变量的积分理论简化为抽象空