（概率论与数理统计专业论文）风险理论中破产概率的研究.pdf

ab s t r a c t r i n t h i s p a p e r t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s i n t h e r i s k m o d e l a r e s t u d i e d . f i r s t l y , t w o- s i d e d b o u n d s o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s a b o u t t h e c l a s s i c a l r i s k m o d e l ( c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s ) a r e o b t a i n e d . wh e n t h e i n t e g r a t e d t a i l d i s t r i b u t i o n s o f t h e c l a i m s i z e s a r e i n t h e c l a s s o f n wu o r n b u , t h e u p p %r b o u n d s o r t h e l o w e r b o u n d s o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s 气 a r e g o t . s e c o n d l y , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c l a i m a r r i v a l p r o c e s s i s t h e r e n e w a l p r o- c e s s , t h e a s y m p t o t i c s o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s a r e o b t a i n e d , e s p e c i a l l y , i n t h e c a s e o f t h e n o n - p o i s s o n h e a v y - t a i l e d a n d l i g h t - t a i l e d c l a i m - a r r i v a l p r o c e s s e s , t h e a s y m p t o t i c r e s u l t s o f t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s a r e d i s c u s s e d b y t h e t e c h n i q u e s o f l a r g e d e v i a t i o n s . t h i r d ly , w e fi r s t i n t r o d u c e t h e m o d e l t h a t t h e r is k a r r i v a l p r o c e s s is t h e m i x e d - p o i s s o n p r o c e s s a n d t h e t o t a l c l a i m a m o u n t p r o c e s s i s p e r t u r b e d b y t h e wi e n e r p r o c e s s . i n t h i s mo d e l w e c o n s i d e r t w o c i r c u ms t a n c e s t h a t c o u l d a ff e c t t h e f i n a n c e o f t h e i n s u r - a n c e c o m p a n y , o n e i s t h e r a n d o m v a r y i n g o f t h e c l a i m i n t e n s i t y c a u s e d妙 t h e s e a s o n o r t h e p o l i c y e t c . , t h e o t h e r i s t h e u n c e r t a i n t y o f t h e i n t e r n a l m a n a g e m e n t o r o p e r a t i o n . t h e r i s k p r o c e s s i s a s f o l l o w i n g : ( 1 ( t ) =x +c t 一s ( t ) +4 1 厂 ( t ) , 闷阅甲、 w h e r e u ( t ) i s t h e r i s k p r e mi u m i n c o m e r a t e ; mi x e d p o i s s o n p r o c e s s o f s ( t ) . 认 h e n t h e c l a i m p r o c e s s ; x d e n o t e s t h e i n i t i a l c a p i t a l a n d c 0 s t a n d s f o r t h e s ( t ) is t h e t o t a l c la i m a m o u n t p r o c e s s w h i c h is t h e c o m p o u n d w( t ) is a wie n e r p r o c e s s w h ic h is i n d e p e n d e n t o f t h e p r o c e s s s i z e s a r e t h e s m a l l , i n t e r m e d i a t e a n d l a r g e v a l u e s i n t h e a b o v e 、 r i s k m o d e l s , t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s a r e t r e a t e d r e s p e c t i v e l y . o n e o f t h e m o s t i m p o r t a n t a n d d i ff i c u l t q u e s t i o n s i s h o w t o s o l v e t h e p r o b l e m s o f t h e i n s u r a n c e a c t u a r i e s i n a n a p p l i c a t i o n u s i n g t h e a b o v e m o d e l s , e s p e c i a l l y h o w t o e s t i m a t e t h e d i s t r i b u t i o n o f t h e r a n d o m v a r i a b l e a i n t h e mi x e d p o i s s o n p r o c e s s . f r o m t h e p o i n t o f v i e w o f t h e a c t u a r i a l m a t h e m a t i c s s o m e e x a m p l e s a r e g i v e n u n d e r t h e a b o v e c i r c u m s t a n c e s ， t h e s e r e s u l t s c a n b e u s e d f o r t h e i n s u r a n c e p r a c t i c e . i n t h e c a s e o f s m a l l c l a i m s , w e p r o v e t h a t t h e r u i n p r o b a b i l i t y i n c r e a s e s i n t h e v a r i a n c e o f t h e 1 4v i c n e r p r o c e s s . f o r t h e c a s e o f l a r g e c l a i m s , t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o u r o f t h e c o n v o l u t i o n t a i ls i s d i s c u s s e d i n t h e c l a s s o f s , t h e s e r e s u l t s a r e u s e d t o e s t i m a t e t h e r u i n p r o b a b i l i t i e s , a n d t h e n t h e i m p a c t o f t h e wi e n e r p r o c e s s c a n b e o m i t t e d . i n t h e e n d w e d e a l w i t h t h e a s y m p t o t i c b e h a v i o r o f 2 0 0 1 年 中 . 科 学 技 术 大 学 娜 士 攀 位 论 文 v i t theruin c o n v o l u t io n t a ils i n t h e c l a s s o f s ( 口 ) ， t h e s e r e s u l t s a r e u s e d i n t h e r e s e a r c h o f t h e p r o b a b i l i t i e s w h e n t h e i n t e r m e d i a t e c l a i m s a r e c o n s i d e r e d . ， 护 、 致 谢 本人博士期间的工作在我的导师缪柏其教授的 指导下得以 顺利完 成. 在统计 与金融系的三年中， 缪教授的研究风格和研究方法使我受益非浅， 他严谨的治学 态度， 循循善诱的教导， 更使我收获颇丰， 特别是缪老师在讨论班中和讨论班之 外与我就模型、 概念、 结论的一次次的讨论是我能顺利完成本篇论文的基础， 在 这里我要向我的导师表达我由 衷的 感激之情. 其次， 我想向所有在这三年中帮 助过我的老师和同学表达我深深的谢意. 正 是在赵林城教授、 方兆本教授、 苏淳教授、韦来生教授、 吴耀华教授、 胡太忠教 授等人的直接教导下， 我得以完成概率与统计专业的三年博士课程， 才得以步人 概率和统计的广阔天地 我要向谭智平博士( 香港大学) 、 范辛亭博士、 奚炜博士 等人 表示感谢， 是他们为我收集了许多宝贵的文献资料， 我还要向 彭衡博士、 陈 文志博士、 雷鸣博士、肖 婕小姐、 宁 静小姐表示感谢， 我也正是在这几位同 学的 经常鼓励和帮助下，我才能够克服这三年中的种种困难，完成学业. 我要感谢我的妻子和儿子以及我的父母， 是他们的鼓励和关怀化成了我前进 的动力. 最后，我要感谢帮助过我的同学和朋友. 第一章破产概率综述 简单地讲， 风险理论是保险数学( in s u r a n c e m a t h e m a t ic s ) 和排队 论的基础， 一直是数学工作者研究的热点， 本章 1 . 1 节简要介绍风险过程的产生和发展情 况. 在1 .2 节中， 我们对不同的风险模型作个介绍， 并引人破产概率的概念， 通过 例 子 介 绍 小 额理 赔( s m a ll c la i m ) ， 中 额 理 赔( in t e r m e d ia t e c la i m ) 和 大 额 理赔( la r g e c l a i m ) ， 并介绍破产概率的研究现状以及本文所做的主要工作. 肠 1 . 1 结论 聚合风险理论作为保险或精算数学( a c t u a r ia l m a t h e m a t i c s ) 或者说概率论的 一部分， 是处理保险业中的随机模型的. 在这种模型中， 保险公司拥有初始资产 大于。 ， 理赔发生过程由一个点过程来刻画，保险公司收到保费作为其收入， 保 险公司每次支付给客户的理赔额被看作是一列随机变量， 保费收入与理赔额的均 值的差额是” 安全负荷 ” . 在聚合风险理论中， 一个非常重要的间题是研究破产概率， 即保险公司的最 终资产为负时的概率. 破产概率一直是风险理论研究的重点， 它之所以 重要， 是 因 为它是保险精算师的基础工具， 是险种制定， 保费计算， 再保险策略， 代理人策 略 等 工 作的 基 础. 保险 风 险 模型 的 早 期的 研究 可以 追 述 到1 9 0 3 年f ili p l u n d b e r g 的 工作， 他的工作莫定了保险风险理论的基础，l u n d b e r g 意识到复合p o i s s o n 过程是非寿险模型( n o n - l i f e i n s u r a n c e m o d e ls ) 的关键所在， 在此 基础上，h a r a ld c r a 川 6 r ( 1 9 5 5 ) 和他的研究机构构筑了 非寿险数学模型的 概率基础， 使得风险理论 成为概率论和数理统计的一个非常活耀分支. 关于风险模型中破产概率的研究，可以依据风险模型的不同提法，在针对 保险公司运作中遇到的种种间题， 通过对概率或统计模型进行修正，附加种种 条件， 使得模型更接近保险公司的实际运作， 这使得破产概率的研究变得非常富 有挑战性， 所以破产概率的研究在国际上一直是人们关注的焦点， 但在国内， 从 事这方面研究的人员还比 较少.有关破产概率的发展和研究现状的综述性文献 和有 关破 产 概率的专著有:a s m u s s e n ( 1 9 9 7 ) ,d j e h ic h i ( 1 9 9 3 ) , e m b r e c h t s 等 人( 1 9 9 7 ) , g e r b e r ( 1 9 7 9 ) , g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 等. 正是l u n d b e r g 和c r a m e r 的 基 础工 作， 人们 把最 基本的 风 险 模 型也 就是经典 风险 模型称为c r a m e r - l u n d b e r g 模型， 简单地叙述如下: ( i ) 理赔点过程是 p o i s s o n 过程. ( i i ) 理贻额是一列独立同分布的随 机变量. ( i ii ) 理赔点 过程和表示理赔额的随机变a是独立的. 2 0 0 l 年 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 ( iv ) 单位时间保费收入是常数. 其风险过程定义为: i , ( t ) =x +c t 一s ( t ) , t 0 n( t 其中s ( t ) 二艺 t = 1 y , ， 表示总理赔量过程， 即到时刻t 时的总理赔额大小; ( 1 . 1 ) 走 厂 ( t ) 是t 时刻保险公司的盈余( 资产) ; .t 是保险公司的 初始资产;。 是单位时间保费 收入( 保费率) ， 常数;赔付额y i ，i 二1 , 2 , . . . ， 是2 . 1 .d . 非负随机变量， 服从分布 f ( r ) ;n ( t ) 是p o l s s o l 过程且与、 1 独立. 经典的风 险 理论在近百年来一直是 概率统计学家和其他数学家的 研究 热点， 例如:b e e k m a u ( 1 9 6 9 ) 给出了 著名的b e e k n n a r ， 卷积公式， 这是后人作破产概率估 计的基础，f e lle r ( 1 9 7 1 ) 证明了 与 破产 概率对应的生 存概率( s u r v i v a l p r o b a b i l i t y ) 满足亏损更新方程( d e f e c t i v e r e n e w a l e q u a t i o n ) , g u r e e v ( 1 9 9 8 ) 计算了 破产 概率的双 边界，li a la s h n i k o v ( 1 9 9 3 , 1 9 9 6 , 1 9 9 9 ) 考虑了 很多种情况下的破产概率的双边界. 经典风险模型已 在很多方面被推广， 首先风险到达的点过程不再是p o i s s o n 过程， 例如 推 广为更 新过程( r e n e w a l p r o c e s s ) 或 混合p o i s s o n : 过程( m ix e d p o is s o n p r o c e s s ) . 有关复合更新过程的风险模型， 即n ( t ) 被推广为更新过程， 有兴趣的读 者可参阅e m b r e c h t s 等人( 1 9 9 劝的著作， 该书讨论了 理赔为轻尾和重尾 分布时的 破产 概 率情况，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 详细 讨 论t 在普通( o r d i n a r y ) 和平 稳( s t a t io n a r y ) 更新过程时的破产概率，k i ii p p e l b e r g 和 n 3 i k o s c h ( 1 9 9 7 ) 给出t当点过程可以是 更新过程而理赔额为重尾时的破产概率大偏差表达形式. 关于混合p o i s s o n 过程 在风险理论中的应用，也就是当n ( t ) 是混合p o i s s o ” 过程时， 这种推广是有非 常深刻的应用背景的， 利用该模型， 可以顾及到由于季节或政治因素等所引起的 理赔到达过程中其强度在现实中不是常数的性质，g e r b e r ( 1 9 8 3 ) 介绍了 复合的 混合p o i . o i， 风 险 过程，g r a n d e l i ( 1 9 7 6 , 1 9 9 5 , 1 9 9 7 ) 较为细致的研究了复合的混合 p o i - o l， 过程及破产概率在理赔额分布分别为轻尾分布、重尾分布和s ( 力分布 族时的渐近情形. 对经典风险模型的另一推广是考 虑通货膨胀和利息的影响， 这方面的 工作见 u c l b a o i， 和i l a e e e n d o u c k ( 1 9 8 7 ) ， 该文 利用 较恤 l a r t i n g a le ) 方 法 得到了 破产 概 率的 描 述，k a la s h n i k o 、 和k o n s t a n t i n i d e s ( 2 0 0 0 ) 利用s u n d t 和t e u g e ls ( 1 9 9 5 ) 的结果获得 了 理赔额分布为 重尾分布时的破产概率，p a n k e r ( 1 9 9 2 ) 研究了 随机利率 在寿险中 的 应用，s t川 d t 和t e u g e ls ( 1 9 9 .5 , 1 9 9 7 ) 利 用 更新方程 研究了当 理赔额分布 为轻尾 分布时的破产概率. 对经典风险模型的另一种推广是当 经典风险 模型中的总理赔量 过程受 到wi c n c l 2 0 0 1 年 中 . 科 举 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 过程或其它过程的干扰， 而干扰可以 被视为保险公司管理或经营的偏差对其财务 的影响，风险过程为 n( t ) u ( t ) = z + c t - 艺y , + w (t ) , t 0 , ( 1 . 2 ) 其中n ( t ) 是p o i s s o n 过程，w ( t ) 是w i e n e r 过程， 其它 符号的 定 义同( 1 . 1 ) 式， 这种推广是 g e r b e r ( 1 9 7 0 ) 首先提出， 直到 1 9 9 0 年以后才被重视， d u f r e s n e 和 g e r b e r ( 1 9 9 1 ) 发现该模型中生存概率满足亏损更新方程，v e r a v e r b e k e ( 1 9 9 3 ) 研究 了 理赔额分布为重尾分布时的破产概率，s c h le g e l ( 1 9 9 8 ) 讨论了 经典风险过程在 有不同的 干扰时的破产概率的上( 或下) 界间 题. 本文作者对以上模型作了 如下推广，即把上述风险模型( 1 .2 ) 中的p o i s s o n 过程n ( t ) 推广为混合p o i s s o n 过程.该模型考虑了 季节或政治等外部因素所引 起的 理赔到达过程中其强度的 变化对保险公司财务的影响， 也考虑了 其内 部管理 或经营的偏差对其财务的影响， 我们的系列结果可以包含文献中的很多结果. 1 . 2 风险 模 型与 破产 概率 令( n , ) , p ) 是一个完备的概率空间， 下列独立的过程或随机变量定义在其 上: ( l ) 点过程n ( t ) =i n ( t ) ; t 。 ， 其中n ( 0 ) =0 ( 1) ( 1 1 ( ie n ) 为 独 立同 分布( i .i .d .) 随 机 变 量， 服 从 公 共 分布f , f ( 0 ) = 。 ， 均 值为p , 方 差 为。 2 . 定义1 . 2 . 1经典风险模型满足以下条件: ( 1 ) 理 赔 领 过 程: 理 赔领 大 小 y i ( ie n ) 是 非负i .i .d 随 机变 蚤 ， 服 从 公 共 分布f 均值为i t ， 才差为 ( 2 ) 理赔到达过程: 0 2 1 : 几 0 其中 ，t 为第。次理赔发生的时，j ) ， 记s u p 0= ( 3 ) 理 赔 时问 问隔 : 理 赔到 达 时问 问隔 z i ie n i . i .d . 随机变t， o . 是服从参数为 入的指数分布的 z , 二t i , z k =t k 一t k _ , , k=2 , 3 ， 二 其中e z , = 1 / a . ( 3 ) 序列 y ; 与 z i 相互独立. . 2 0 0 1年 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 人们 对这个风险 模型的研究一直持续到现在. 该模型的风险过程定义如下: 定义 1 .2 .2经典风险过程为: u ( t ) =x +c t 一s ( t ) , t 0 ,( 1 . 3 ) 共中之 仪 t ) 为t 时 刻保险奋司的盈余，x 表示保险公司的初始资 产;c 是单位时 问 保费 收入( * f. 率 夕 ， 正的 常数;s ( t ) 是总 理赔全 过程， 是复合p o i s s o n 过程 显然， 一般情况下总理赔量过程应为: 定义 1 . 2 . 3总理赔贵过程: n( 心 ) s ( t ) = 艺i t , n ( t ) 0 , ( 1 . 4 ) 其中n ( t ) 为.点 过程，当n ( t ) =0 时，s ( t ) =0 . 当保险公司初始资产为x ， 在经典风险过程中破产概率为 定义 1 . 2 .4经典风险过程中破产概率 t c ( x ) =p ( u ( t ) 0 由于总理赔量过程在破产概率的计算中居于非常重要的位置， 我们 有必要再 给出总理赔量分布的概念:令: g , ( x ) =p s ( t ) 0 使 得 。 () 一 关 一 (一)d f (z) 2 精算数学中 常用的 轻尾分布有指数分布， g a m m 。 分布， 常用的重尾分布有p a r e t o 分布，l o g n o r m a l 分布等. 一般地， 如果 理赔额分布的积分尾概率属于s族， 则 称该理赔为大额理赔. 中 . 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 显然在经典风险模型中， p n( t ) 二n ) =e 一 * : ( a t ) n ! n=0 , 1 , 2 , g , ( x ) =p 丈 s ( t ) n .” ， 之 “ 其中，f * ( x ) =p ( e r ; 0 使得c r a m e r 条件成立，即( 1 一 。 ) e e x p ( r , ) 二1 ， 则 t c ( x ) ” 这里及以后， f ( x ) 、9 ( x )表示 l i m c e - ， 当x - + o 0 , hi -sx = ( 3 ) e m b r e c h t s - v e r a v e r b e k e 渐近表 达式 ( 见e m b r e c h t s 等 人 ( 1 9 9 7 ) )如果f , es 族，有 t c ( x )、 竺 f t (x ) ， 当 二 一 00 . 其 中 ( 1 ) ,(2 ) ,(3 ) 中。 = 一 智 ， f t (x ) = 去 f o f (z ) d z . 对经典风险模型中破产概率的研究现在主要集中在对破产概率双边界的估 计， 人们 的目 标是建立对特定的 分布族， 找到较好的 界， 这样的界， 对于确定保费 的 特点 和计算以及计算再保险和代理人策略有非常重要的意义. 这方面的结果， 读 者可 参阅g u r e e v ( 1 9 9 8 ) , h a la s h n i k o v ( 1 9 9 3 , 1 9 9 6 , 1 9 9 7 , 1 9 9 9 ) , w i l l m o t 和l i n ( 1 9 9 4 ) 等 文献. 对经典风险过程的推广主要在以下几个方面: i s 对n ( t ) 的 假 定 最常见的假定就是把n ( t ) 推广为更新过程， 在经典风险模型中的( 3 ) 改为 ( 3 ) 理 赔 时 间 间 隔 : 理赔 到 达时 间 间 隔( z i h ie n ) 是i .i .d的 随 机 变 量 ， z , =t i , z k 二t k 一t k _ , , k =2 , 3 , ， 2 0 0 1 年 中 国 科 学 技 术 大 学 仲 士 学 位 论 文 其中e z i =1 / a . 其余 条件不 变， 这种风险 模型又 被称 为 复合 更新风险 模型， 有 兴趣的读者可从e m b r e c h t s 等人( 1 9 9 7 ) 的 著作和g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 的专著中找到破 产概率的详细论述， 在理赔额分布是轻尾或重尾时， 破产概率是经典风险过程的 自 然推广.事实上当n ( t ) 是p o i s s o n 过程或更新过程时， 破产概率的极限形式 基本上没有变化， 例如在一定的条件下并且当理赔额分布为轻尾时有 lim e iy ( x ) = c 。 ， 其余条件与经典风险模型相同，则 s u n d t 和 t e u g e ls ( 1 9 9 .5 ) 给出 的风险 过程见下 式: d u ( t ) =u ( t ) b d t +c d t 一d s ( t ) , 其 中 u (t ) , 。 的 定 义 同 ( 1 .1 ) 式 ， 二 为 初 始 资 产 ， ， (: ) 二 签 i y i,n (t ) 是 p o is s o 。 过 i = 1 程.上式对应的随机积分方程为: u ( t ) = x e a r + c e a t 一1 o f t 一，“ “ “ ， 有利率的风险模型的破产概率为 t j ( x ) = p f u u ( t ) 0 ) 对轻尾理赔分布，s u n d t 和t e u g e ls ( 1 9 9 7 ) 证明了 破产概率存在l u n d b e r g 型 上界: ， ， 。 。 ) 0 , 其中， 1 1 ( t ) 是wi e n e r 过程， 均值为。 ， 方差为2 d . 该风险过程的破产概率为 4 rg (x ) = p u u (t ) 0 , ( 1 . 9 ) 其中川 ， 是保险公司的初 始资产，c 0 是保费 率; ( z ) 1 , 是 i .i .d 非负随机变量， 表示理赔额大小， 服从分布f， 有限期望为 1 一 : ， 、 ， 、 (， ) 一 n (t)e 1 ; 为 总 理 赔 量 过 程 ; i =( ( 3 ) n ( t ) 表示理赔额到 达过程， 是混合p o i s s o n 过程， 其结构分布为u ( r ) , 简 称 a i p p ( u ) ; 2 0 0 1 年 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 ( 4 ) w( t ) 是与s ( t ) 独立的w e i n e r 过程: 均值为。 ， 方差为2 d 我们需要研究以上模型的最终破产概率. 定义: (1l0j 甲r ip (x ) = p ini 乙 u (t ) 。 本文有一 半左右的篇幅将讨论此模型在小额理赔， 中等 理赔， 大额理赔情况 下的破产概率. 一般称理赔为小额理赔或中等理赔是指理赔额分布是轻尾分布. 这类分布较 广， 属于小额理赔的分布有正态分布， 指数分布， 混合指数分布，g a m m a 分布 等. 大 额 理 赔 是 指 如 果f 1 。 ， 其 中f l ( 二 ) = 去 f ox f ( z ) d z 大 额 理 赔 有p a r e t “ 分 布，l o g n o r m a l 分布等. 相对而言， 小额理赔给保险公司带来的风险较大额理赔带来的风险小的多， 中 等理赔带来的风险是界于这两种风险之间，中 等理赔常用s ( /3 ) 族对其进行刻 画， 典型 的 中 等理 赔 分布 是广 义 逆g a u s s i a n 分 布( g i g d ) ( -y 0 , t ( 0 ) =1 . 在r函数族下，我们有 定理 1 : 若t ( x ) e t ， 且( 1 一 y ) e t ( x ) 1 ， 则 ip c (x ) 下f 1万 (0 t (不 万 丁 y )d f i (y ) 0- 0 ， 若( 1 一 q ) e e k x 1 ， 则 w c ( x ) 兰e - k s( 1 . 1 2 ) 作 产 推 论2 : f , ( x ) 是n w u 分 布 ， 即 f i ( x ) 满 足瓦( x ) 可( y ) _ 0 , 令t ( x ) = 才 面 ) a .0( f1 (x ) ) y 则 当 0 1 ， 则 (1la) y c ( x ) 全 0 1 ， 则 (lls) t c ( x ) e k s . 推论d f f ( x ) 是n b c 分布， 即 耳( : ) 满足不( x ) 耳( y ) _ 兀( x + y ) , x , y _ 0 , (ll0) 令t ( x ) =兀( = ) l 0 , o 2 e f ( r * ) 1 是i .i .d . 指 数 型 随 机 变 量 ， 其 均 值 为u 0 , ( i i ) 理 赔 间 隔 时 间 z i 1 是 “ d . 随 机 变 量 ， 有 公 共 分 布b , b ( z ) = 一 ( 赤) “ ， 其中: 0 , a 0 , /3 。 . ( i i i ) 乙 。 : ， 和 y 1独立， 记为 并且 e x i =e y l 一c e z i 。 则以下方程有唯一解， r _ _ _d z 口 “i e - , ,= 1 一r a t , j o l p十z ) 一 ( 1 . 2 0 ) 且有( 1 . 1 7 ) 式成立. 命题 2 : ( i ) 理 赔 额 大 小仆 水: ， 是i .i .d . 随 机 变 量， 有 公 共非 格 点 分布f ， 使 得e e ; 独立 ， 并 且e ,二 e y ; 一 c e z i 0 是保费率; ? ( ) 0 l 年 中 国 科 学 技 术 大 学 博 士 学 位 论 文 ( 2 ) y , 是 “二e y 1 , i . i .d 非负随机变量， 表示理赔额大小， 服从分布 f ( x ) ， 有限期望为 s ( t ) . 丫 沪 y ; 为总理赔量过程; ( 3 ) n ( t ) 表示理赔额到达过程， 是混合p o i s s o n 过程， 其结构分布为u ( a ) , a i p p ( u ) ; ( 4 ) w ( t ) 是与s ( t ) 独立的 v e i n n e r 过程， 均值为。 ， 方差为2 d . 我们需要研究以上模型的最终破产概率.定义: t ( x ) = p in f u ( t )c o 0 和任意的n 2 , n l i ( x ) ， 当x - 1 0 0 . 则一定存在一常数 c e ， 仅依赖。使得对任 b * r (x )ii (x ) “ c l( 十 ，“ x 0( 1 . 2 d ) 定理 6 : 令 分布函 数b定义 在0 , 0 0 ) ， 若f e s ( /3 ) 并 且b ( x ) = 0 ( f ( x ) ) ， 则 ( 1 ) b+ f -c s ( q ) 并且 厂 ( x )、- ( h ( 0 ) ) ” 一 ( ( x )e d b ( z ) ， 当二 -4 0 0 .( 1 . 2 5 ) 2 0 0 1 年 中 . 科 举 技 术 大 学 娜 士 举 位 论 文 ( 2 ) 任意给定 。 ， 存在d e 0 ;