（应用数学专业论文）非均方准则函数下的增长率预测.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 汇率决定理论和预测模型方面一直备受经济学家与研究学者关注在大量的汇率预 测文献中，所涉及的汇率预测模型主要可以概括为两大类：固有模型和非固有模型固有 模型只是根据汇率的历史值所提供的信息预测未来的现f e f e 率如广泛应用的时间序列 模型非固有模型则是依据汇率与其它基本的经济变量 日利率、通货膨胀率等) 的相互 关系预测未来的现汇汇率，如金融模型等本文在固有模型的框架下讨论了汇率增长率预 测的两个准则一个是对称熵准则函数，另一个是l i n e x 准则函数分别研究了在这两个 准则条件下，实际增长率是独立同分布的情况时估计值与真实值之比的极限情形本文旨 在基于非均方准则的条件，研究汇率增长率预测的极限比变化趋势 本文主要内容可概括如下： 1 简要地介绍了统计决策理论及熵的基本概念 2 介绍汇率增长率的基本模型及本论文用到的基本命题 3 分别给出满足对称熵准则和l i n e x 准则条件的预期增长率，并研究了汇率增长率预测 值与真实值的极限比变化趋势，给出了证明 关键词：汇率预测；增长率预测；对称熵准则函数；l i n e x 准则函数；j e n s e n 不等式 赵趣：非均方准则函数下的增长率预测 ap r e d i c t i o no fi n c r e a s eu n d e rc r i t e r i o n so f n o n - s q u a r el o s sf u n c t i o n s a b s t r a c t a m o n g l o t so fl i t e r a t u r e sa b o u tp r e d i c t i o no fe x c h a n g er a t e ，t h em o d e l sb e i n gc o n c e r n e da r e m a i n l yd i v i d e di n t ot w ok i n d s ：t h eu s u a lm o d e l sa n dt h eu n u s u a lo n e s t h eu s u a lm o d e l sp r e d i c t t h ef u t u r ee x c h a n g er a t eo n l yb a s e do nt h ei n f o r m a t i o np r o v i d e db yt h eh i s t o r yv a l u e ss u c ha s t i m es e r i e sm o d e l i n g t h eu n u s u a lm o d e l sf o r e c a s tt h ef u t u r ev a l u e sa c c o r d i n gt oc o r r e l a t i o n s b e t w e e ne x c h a n g er a t e sa n do t h e re c o n o m i ce l e m e n tv a r i a b l e s ( e g i n t e r e s tr a t e ，i n f l a t i o nr a t e e t c ) f o re x a m p l et h ef i n a n c i a lm o d e l sa n d s oo n ，i nt h i sp a p e rw ed i s c u s st w oc r i t e r i o n sb e l o n g t ot h eu s u a lm o d e l sf o rp r e d i c t i o no fg r o w t hr a t e o n ei ss y m m e t r i ce n t r o p yl o s sf u n c t i o n ，t h e o t h e ri sl i n e xl o s sf u n c t i o n t h el i m i t i n gd e v e l o p m e n to ft h et r e n do ft h ev a l u a t i o nc o m p a r e d w i t ht h er e a ld e v e l o p m e n ti ss t u d i e df o ri i dg r o w t hr a t e i nt h i sp a p e rv i ea i ma tt h et r e n d o ft h el i m i t a t i o nr a t i oo fp r e d i c t i o nv a l u et ot r u ev a l u eu n d e rt h ec r i t e r i o no fn o n - s q u a r el o s s f u n c t i o n s t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sc a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e rli n t r o d u c e st h ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n so f s t a t i s t i c a ld e d s i o nt h e o r ya n de n t r o p y c h a p t e r2i sa b o u tt h em o d e lf oi n c r e a s eo fe x c h a n g er a t ea n dd e s c r i b e ss o m ep r o p o s i t i o n s i np r e p a r a t i o n s c h a p t e r3r e s p e c t i v e l y 百v e st h ep r e d i c t i o ni n c r e a s es a t i s f i e dt h es y m m e t r i ce n t r o p yl o s s f u n c t i o na n dl i n e xl o s sf u n c t i o n ，a n dt h e ns t u d yt h el i m i t a t i o nt r e n do fr a t i oo fp r e d i c t i o n 、；m j u e t ot r u ev a l u ew i t hc o r r e s p o n d i n gp r o o f s k e y w o r d s ：p r e d i c t i o no fe x c h a n g er a t e ；p r e d i c t i o no fi n c r e a s e ；s y m m e t r i ce n t r o p y l o s sf u n c t i o n ；l i n e xl o s sf u n c t i o n ；j e n s e ni n e q u a l i t y i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的 研究工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也 不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材 料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明 确的说明并表示了谢意。 作者签名：日期： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：垫丝 口p 、 导师貅笙丛 丝年! ! 目翌日 大连理工大学硕士学位论文 引言 本研究课题所属的研究方向是统计决策理论统计决策理论是著名统计学家a w a l d 在2 0 世纪4 0 年代建立起来的，2 0 世纪后半叶贝叶斯分析被引入统计决策当中，它强调 先验信息与样本信息结合统计决策被广泛的应用于从样本数据出发寻找统计规律的研 究中，主要包括判别分析、回归估计、密度函数估计等因此，统计决策在时间序列分析， 风险分析，投资组合等研究领域都有重要的研究价值统计决策的方法，思想和模型技术 已经逐渐渗透到了各学科领域，一直以来都深受统计学家和经济学家的重视 本研究课题所属的研究领域是时间序列分析中汇率预测模型方向随着现代经济活 动国际化、国际贸易持续增长、国际经济一体化及资金调拨技术的迅速发展，汇率在国际 经济中已具有越来越重要的地位同时，在当今的国际金融体制下，浮动汇率的频繁波动 及由此带来的外汇风险对于国际金融、贸易和投资都具有关键性的影响作用因此，外汇 风险问题已引起人们的高度重视和广泛研究，其中如何准确地预测汇率变动的方向和程 度是外汇风险管理的基础在汇率决定理论和预测模型方面，国外学者取得了显著的进 展【9 】，已从不同角度并使用大量的数学模型和实证分析对外汇汇率和外汇市场进行了深 入的分析研究，形成了各自不同的观点和模型然而在结构化模型( s t r u c t u r a lm o d e l s ) 对 于随机游动模型( t h er a n d o mw a l km o d e l s ) 是否有效方面，存在着大量的争论和经验分析 m e e s e 和r o g o f f 在其经验分析中得出了结构化模型有效性低于随机游动模型的判断1 1 0 ， 随后s o m a n a t h 和m a c d o n a l d 等学者从不同角度对结构化模型相对于随机游动模型的有 效性进行了分析和实证研究 1 1 , 1 2 近来，国内学者从汇率波动的非线性出发建立了汇率 的神经网络预测模型【“但是还没有文章从非均方准则函数的角度研究汇率的增长率预 测值与真实值极限比的情形，因此对于这一领域的研究本文给出了一个研究的新思路 大连理工大学硕士学位论文 1 统计决策的基本问题及熵的基本概念 统计决策理论是著名统计学家a w a l d 在2 0 世纪4 0 年代建立起来的，它与经典统计 学的差别在于是否涉及后果经典统计学着重在于推断上，而统计决策理论引入损失函 数，用来度量效益大小和评价统计推断结果的优劣 1 1 统计决策的基本问题 1 1 1 问题的表示 统计决策问题的三个基本要素是可控参数统计结构、行动空间和损失函数，目的在 根据给定的样本数据获取统计信息，构造损失函数对系统输入输出之间依赖关系进行估 计，又使它能够对未知输出做出尽可能准确的预测 一般地，变量z 与y 存在一定的依赖关系，即遵循某一未知的联合概率f ( z ，g ) ，。和 问的确定性关系可视作其特例，统计决策问题可以表述为根据n 个独立同分布观测样 太 ( 。l ，y 1 ) ，( z 2 ，啦) ，( z 。，y n ) ( 1 1 ) 在一组函数_ ( f f ( w ，”) ) 中求一个最优函数r ( z ，”o ) 对y 与z 之间的依赖关系进行估计， 并使期望风险最小， r ) = l ( u ，( z ，w ) ) d f ( x ，y )( 1 2 ) j 其中， ，( z ，) 作预测函数集，”为函数的广义参数江( g ，( z ，”) ) 为由于用，( 为u ) 对进 行预测而造成的损失，不同类型的决策问题有不同形式的损失函数对判另分析而言，输 出y 是类别号在只有2 类的情况下如y = o ，1 ) 或 1 ，一1 ) ，其预测函数称作指示函数 ( 判别函数) ，而损失函数则可定义为： 工( 玑， ，。) ) ：o f 2 ，p ， ) 【l ，y ，( z ，u ) ( 1 3 ) 使风险最小就是使分类错误率最小 对回归估计面言，y 是连续变量( 这里假设为单值函数) ，一般采用最小平方误差准 则，其损失函数可定义为： l ( y ，忙，”) ) = 函一，扛，u ) 】2 ( 1 4 ) 对概率密度估计而言，我们的目的是根据样本来确定其概率密度，若估计的密度函 数为p ( z ，”) ，则损失函数可以定义为密度函数的自然对数，即： l ( p ( x ，u ) ) = 一l n p ( x ， ) 3 ( 1 5 ) 赵越：非均方准则函数下的增长率预测 1 1 2 经验风险最小化 在上面的问题表述中，统计决策的目标在于使期望风险最小化，但是由于可以利用 的信息只有样本( 1 1 ) 式，这样( 1 2 ) 式的期望风险无法计算，因此传统的统计决策方法 采用了所谓经验风险最小化( e m p i r i c a lr i s km i n i m i z a t i o n 简称e r m ) 准则，即用样本数据 来定义经验风险 1 三 凡。p ( ) = 二 ：工( 鼽，f ( x l ， ) ) ( 1 6 ) “置 作为对( 1 2 ) 式的估计，设计算法使它最小化，对损失函数( 1 3 ) ，经验风险就是降低样 本错误率；对损失函数( 1 4 ) ，经验风险就是均方误差极小( 最小二乘法) ；而对损失函数 ( 1 5 ) ，e r m 准则就等价于极大似然方法 事实上，用e r m 准则代替期望风险最小化并没有经过充分的理论论证，只是直观上 合理的想当然做法，但这种思想却在统计决策方法研究中占有重要地位人们多年来将 大部分注意力集中到如何更好地最小化经验风险上，而实际上，即使可以假定当n 趋向 于无穷大时，( 1 4 ) 式趋近于( 1 2 ) 式，在很多问题中的样本数目也离无穷大甚远那么在 有限样本下e r m 准则得到的结果就难说能使真实风险较小 1 2 熵与相对熵 熵的概念最早由c s h a n n o n 在信息论中提出，用以刻画一个离散值随机变量或一个 离散分布的不确定性的大小，或者说刻画知道此随机变量的取值所获得的信息量的大小， 先让我们从最简单的随机变量，一个随机事件a 的示性函数i ( u ) ( 它只有0 与1 两个取 值) 出发来分析知道i ( u ) = 1 ( 即a 发生) 所获取的信息应该是a 发生的概率p ( a ) 的 函数，将此信息记为h ) ，即有 h ( a ) = 妒( p c 固) ( 1 7 ) 如果有人告诉你t “美国梦幻队在奥运会胜了日本队”你会觉得他没有给你多少信息，甚 至认为他说了一句废话，反之，如果有人告诉你一个从未输过的名将在一次比赛中名落 孙山，这就使你觉得这一消息的信息量很大了原因是前一事件几乎概率为l 的发生，而 后一事件发生的概率极小由此，读者可以体会到：前面认为h ( a ) 是p ( a ) 的函数是十 分合理的c s h a n n o n 还对信息量作了如下规定： 1 ) h ( a ) 0 ，h ( n ) = o ； 2 ) 当直与b 独立，h ( a n b ) = 日似) + 日( 丑) ； ( 1 8 ) 3 ) 当p ( a n ) 一p 旧) ，h ( a 。) 一日( a ) 这三项规定都与直观很一致：知道一个必然发生的事发生了，当然没有获得信息；同时知 道两件不相干的事发生了，所获得的信息应是分别获得的信息之和；第3 项假定有一点认 为人为的技术因素，但也还是自然的用17 中的妒来改写( 1 8 ) 的1 ) 一3 ) 即有： 4 大连理工大学硕士学位论文 1 妒是 0 ，1 】区间( 概率0 茎p 1 ) 上的一个连续函数，妒( 1 ) = 0 ， 2 妒( p g ) = 妒( p ) + 妒( 窜) 3 妒连续 由此可见妒( p n ) ：n 妒( p ) ，也即妒( p ) = = 1 妒扫n ) ，于是妒罟) = 罟_ p ( p ) ，用妒的连续性就 得到对于0 o ( 江1 ，m ) i 于是知道试验结果是a 所获得信息量是一l o g p i ，知道不同的试验结果所获信息量是不同 的总的描述这一试验结果所获信息量日( ) 是知道不同试验结果所获得信息量按概率的 平均值( 数学期望) ： 日( ) = p i ( - l o g p _ i ) = 一p | fl o g p i i = 1 i = l s h a n n o n 把日( ) 定义为此时随机试验的熵，这个随机试验也可理解为n 的一个分割： m n = u a ，a t n 与= 咖“j ) 5 赵越：非均方准则函数下的增长率预测 定义1 2 1 ( 分割的熵，随机变量 a 1 ，a m ，p ( a ) = 鼽( i = 1 ，1 一，m ) ( 取可数个值) 之熵) 设q 有一个可数分割 则此分割f 的熵定义为 m 日( ) 皇一肼l o g 肌 ( m + o 。) t = 1 ( 1 9 ) ( 日( ) 可以取+ 。) ，具有可数个取值的随机变量( u ) 。l ，m ) 的熵定义为分割 似1 ，a m 之熵，其中 a = 如：( u ) = n ) ，= 1 r 一，m 定义1 2 2 ( 相对熵) 设有分布p = 伽i ：i = l ，2 ，) 与q = 如：扛1 ，2 ，) ，则分布 p 相对于口的相对熵定义为 垒 嚣崦q 洲= o f f 形, z - 枷叫蚴； 口删 命题1 2 1 ( p 0 ) 0 ，而且 ( p q ) = 0 当且仅当a5 吼0 = l ，) 证明：不妨设而( 只q ) o 0 ，1 ) 当t 1 当t 9 ( 1 ) = 0 0 1 ) 取t = 嚣，于是l o g 嚣嚣一1 ( 而且等号仅当肌= 吼时成立) - 从 而 莩肌b s 尝莩肌( - 一萎) 2 莩慨一曲= 。 而且上式中等号仅当轨= 吼o = 1 ，2 ，) 成立 口 命题1 2 2 设f ) 是具有m 个不同取值的随机变量， 取它们的概旱分别为p l ，p t z 则 日c 目= 一蚤m ，山s a 。g m ( = 一薹击。s 击) 日( ) = 一p i l 0 胁( 1 0 ( = 一击1 0 9 击 t 2 j， 即当以相同概率( 击) 取不同的m 个值时，的熵最大 仉吼， 仉 ( j f l i 1一t) 一 一 m ，-l，(，【 = ， 为因 大连理工大学硕士学位论文 证明 m 一p l l o g p i j 一灿s 呈 i = 1m m z p l o g i = 1 0 ( 由命题1 2 1 ) 命题1 2 1 还有一个重要意义，就是它说明相对熵表述出p 与q 的差别：当p = q 时， q ) = 0 而p f 与吼均十分接近时， ( p q ) 就很小从而 ( p i q ) 可以看成p 与q 之间的准距离我们之所以说是准距离，是因为它不对称，也不满足三角不等式所以不 能满足距离公理 对于有概率分布密度的随机变量) ，它取某一个定值的概率总是零，所以直接按 ( 1 1 0 ) 定义就无意义但是，我们可以按( 1 , 1 0 ) 的思想做一点变化，定义： 定义1 2 3 设f 扛) 是以p 0 ) 为概率分布密度的随机变量，其熵z _ x 2f 或称分布密 度p ( z ) 的熵) j h ( e ) 皇一p ( 。) l o g p ( x ) d x ( 1 1 1 ) 分布密度p 岛) 对g 扛) 的相对熵定义为f p ( z ) l o g 船d z 命题1 2 1 告诉我们有限的离散分布中以均匀情形的熵最大那么有限区间上具有密 度的分布何者熵最大呢? 非有限区间的情况如何呢? b o l t z m a n n 多年前曾给出解决这个问 题的思想 命题1 2 3 在具有有限的数学期望e = p 的条件下取值千 。1 ，z 2 ，2 ) 的各 种离散分布中，以分布为 p e = p 瞎c u ，= z m ，= c e 一警 ( c = ( 莩e 一誓) 一1 ) 的熵最大臼依赖于p ) ，其熵为 一l o g c 证明：h ( e 0 ) = 一c e 一鲁 o o g c 一警) 一 一l o g c 而且对任分布 m ) 有 畦莩硝鸭j c e - 。莩m l o g p , * + ；莩肿t 一。s g = ；一l o g c + 刖。g m 从而 日晦) = 一, o k b g p ；一l o g c 7 u 刊 一m 垤肼昭 落如 = 1 | 蜊 赵越：非均方准则函数下的增长率预测 分布 命题1 2 4 在均值为“，方差为口2 的取值于 z k ：= 1 ，2 ，) 的全部离散分布中以 ，。：c 。每掣 ( c = ( 莓e 铲) 。1 ) 的熵最大( ( 。，俨) 依赖于( p ，a 2 ) ) ，其熵为生乒z l o g c 命题1 _ 2 5 指数分布是在【o ，+ o 。) 上具有同均值的有密度的分布中熵最大的；( 口，矿) 是在r 1 ，具有均值。与方差一2 的具有密度的分布中熵最大的；而均匀分布是取值于有 限区问f 。，6 上的所有密度中，熵达最大的其最大熵分别为 1 一l 。g ，；( 1 + l 。9 2 霄) + l 。g q l 。g ( 6 一。) 证明：这里关键的问题是先建立不等式 如) k s 鬟蛇。 及利用- 厂p ( z ) 出= j p ( z ) d 。= 1 其他证明类似于命题12 1 1 2 ，4 口 8 大连理工大学硕士学位论文 2 增长率预测模型与基本假设 2 1 模型的描述 我们考虑对具有增幅不确定性的汇率进行估值用g o 表示。时刻某种汇率的初 值， 瓯，n 芝o ) 表示g 0 在时间 如，n o ( t o = o ) 时的随机实现值用磊表示该汇率在 时间段( t 。“t 。 内的增长率，那么瓯可以表示为 g 。= g o ( 1 + 历) ( 14 - 疡) ( 1 + 磊) ， 我们想找出合适的预期增长率 如，n 1 ) ，这样t 。时刻的估计值& 可写成 g 。= g o ( 1 + i 1 ) ( 1 + i 2 ) - ( 1 + i n ) 考虑基于如下两个准则给出这个合适的预期增长率 i 。，n 三1 ) ，一个是对称熵准则函数， 为 e ( 鬻) 凰l 倒+ i n h l z 忙) m t ， 另一个是l i n e x 准则函数，即 e i e 且( “一2 n ) 一( 碗一j ) 一l i 。一1 | ，n 1 ， 这里 凰，n 1 ) 是一常数列( 投资组合中称为风险水平) ， 舅。n 0 ) 是随机过程 ，n o 生成的自然a 一代数，即舅产o ( 磊，历，磊) ，岛= 珐啦，因此i 。在岛实现之前 应该是已知的，是舅；一1 可测的，也就是说当互，易，磊1 已知时i 。应该也知道了我 们通过寻找这两个准则函数的最小值点定出i 。，在此条件下讨论文与g 。比值的发展趋 势在下面的章节中，我们将得出i 氮比g 。增长的快，或慢于g 。，在对称熵准则下，这取 决于l n ( 14 - 磊) 的总体三阶中心矩的符号，这其中我们需要假设 磊，n2o ) 是独立同分 布的随机变量列，此时两个准则函数中关于只。一1 求条件期望即是无条件期望我们将就 矾恒等于一个常数r 及凰互不相等这两种情况展开讨论在l i n e x 准则条件下，我们 发现0 。与g 。比值的发展趋势与 凰，n o ) 的符号有关因此我们分别对 0 ，n 0 及凰 一1 ； 俐) 磊，n21 ) 是独立同分布的非退化随机变量列； i v ) 关于西及其函数的期望都是有限的 赵越：非均方准则函数下的增长率预测 2 2 需要的定理 定义2 2 1 设 靠) 为一随机序列，并且e ( 岛) 0 ， 即得结论 口 下面来讨论当 荫，n 兰1 ) 满足( 3 1 ) 式时，0 。与g 。比值的发展趋势 在计算过程中，我们需要对z l 的函数的期望求导，因此在这里假定，涉及的关于历 的函数均可积，满足l e b e s g u e 控制收敛定理的条件，所从求导可在积分符号下换序 命题3 1 2 吼；r ，i 。满足( 3 1 ) 式，n 1 则j5 0 ，当俐 0 ，当i r 命题3 1 3 。假定f 磊， l ，是独立同分布的非退化随机变量列，若 屯，n 1 ) 满足 ( 3 1 ) 式，则当凰一0 时有 由 证明：由 l i m 三l n 娶：o n _ o o n “” c - “归 器卜， h 妾= 喜n n ( t + 旗) 一- n ( - + z t ) 】， 1 3 型垫! j ! 望查壅型重塾! 塑堂量皇亟型 一 日j 1 导 ：n 爱= ：耋阻等豢岫c 倒 = ：薹 去n 器一e m ，+ 乃) + i 喜叫n c + 剐一邮+ 玩，】 令n 一。，可以得出 熙i 岫( 1 + 磊卜i n ( 1 + 磊) _ 虬 从而有 一l i r a 。! 。n 瓦v n = 撬：耋 去h 器一e ，岬+ 历) 一， = 熙：戮n 丽1 陋e ( 1 怕) r k _ e i n ( 1 + 历) r k + e i n ( 1 严叫n e ( 1 一矾 ) 记 h ( n k ) 垒m e ( 1 + z i ) 风一e k ( 1 十而) 咒k ，m ( r k ) 垒h ( r k ) 一日( 一r ) ，1 墨n ， 则上式可改写为 熙：h 爱= 熙薹掣m 一 对m ( r k ) ，由t a y l o r 展式，有 m ( 凰) = m ( 。) + ( 0 ) r k + 丝笋璃+ 丝鼍盟r 2 ，靠位于。与风之间， 进一步计算可得 m ( o ) = h ( 0 ) 一日( 0 ) = 0 ， m ，( o ) = 0 ， 这是因为 川磁) = 型桊铲- e l n ( 1 倒，从利( 0 ) - 0 ( o ) = h ”( o ) 一h ”( o ) = 0 ， 综上可得 热；n 瓦v n = 溉i 薹鬈协m 虬f n 位于。和风之吼 ( 。) 大连理工大学硕士学位论文 其中m ( 乳) = h ”7 限) + f ”( 一缸) ，这里 日) = f e ( 1 + 蜀) 缸 2 + e 1 n 3 ( 1 + 历) ( 1 + 互) “ 一3 e d + z 1 ) “e 1 n ( 1 + z 1 ) ( 1 + z 1 ) 5 t e 1 n 2 0 + z 1 ) ( 1 + z 1 ) 靠 + z e - n ( 十z ，) ( + 历) “ ) 2 ) e ( ，+ z ，) 缸 3 ， ”( 一 k ) 与h ”心k ) 类似 从而 若令r 一0 ，则有鬈”( 靠) 一0 ，再由t o p l i t z 引理，可得 三nk = l 璺1 2 m ( 靠) 一。， 一l i m 。1 。h 爱= 熙：喜鬈胪c 靠，= 。 3 2 l i n e x 准则f 的预期增长率 命题3 2 1 当 。，n 1 ) 满足 ( 1 “) 一击h e e “1 + 剐 ， 准则函数e e 风( k 一。1 ) 一尼。( 。一z 1 ) 一1 取得最小值 证明：记 ( t n ) 皇卟凡如喝一如( 卜z 1 ) 一1 ， 由i 。关于磊一1 可测，上式可写为 ( 如) = e p i c e ( e r , z 1 ) 一 。e ( 历) 一1 = e 届1 “e ( e - r z ) 一冗。_ 。一e ( k ) 一1 令 乍n ) = 0 ，解得 1 + = 去l n e ( e r ( 1 + z 1 ) ， 竹 算得 ”( ) = 磷e 8 梳e ( e - r i n ) 0 ，证毕 1 5 口 ( 3 4 ) 口 坚些! 韭塑查堡型重塑! 塑丝堡奎重型一 命题3 2 2 式，令n _ o 。 由 证明：令 若 ，n 三1 ) 是独立同分布的非退化随机变量，当 ，n 1 ) 满足( 3 - 4 ) 当心 o ( n 1 ) 的情形，是否会得到类似结论，即爱+ o ? 通过下面的演算我 们给出否定的答案 当如 o 1 ) 时，由于对数函数定义域只能在正半轴上，故 _ l n l 瓦6 = ：薹h 器 2 ： l 【也e ( 妖) 1 _ 1 n ( - 1 n k ) = ； l n 【- 】n e ( 砭) 1 一e 阻( 一l n 妖) 1 ) + ：堇姬 1 n ( 一h 妖) 】一1 n ( 一1 n 酥) ) ， = 1 r = 1 得 。 。l i r a _ i e 陋( 山k ) 】_ h ( 地托) ) = o ， 则 j i mi 11 n 是= ；塞 l n 【_ l n 聃) 卜斗( 乩圳) ，m 虬 再由： e n s e n 不等式，一1 n e 0 铀墨e 【一1 n 嘲，得 一t i m 。1 。i ng g - - - 。! 兽：窭 l n e ( 一l n 妖) 一e 陋( 一l n 醍) 1 ) = l i r a 兰歹二 1 n e p k ( 1 + z 1 ) 】一e 1 n ( r 。( 1 + z 1 ) ) n nu 、 。、7 = i n e ( 1 + 互) 一e i n ( 1 + z 1 ) = c 若有方法算出c 值，我们能得到当c 0 时，憝+ 0 ，而由j e n s e n 不等式可知，c 是一个 正常数，医此我们得不到想要的结果， 自1 9 7 3 年西方主要发达国家普遍实行浮动汇率制以来，汇率频繁且剧烈的波动引起 了人们高度重视和广泛研究在国际学术界，有关汇率问题的理论研究和实证分析已构 成- - i 独立的经济学分支：汇率经济学 1 3 】其核心与目的是试图通过建立各种模型，来 预测汇率未来的变化趋势或寻找其变化规律，近年来，国内学者也建立了汇率预测模型， 如文献【1 4 】下面对1 9 9 7 年1 月到2 0 0 0 年1 2 月美元兑日元汇率的3 6 0 个数据进行分析 验证本章命题的结论，观察丞的收敛速度，首先对数据作增长率变换，得到3 5 9 个数 据，作为z - ，磊，历s 9 ，由大数定律，用样本均值代替命题中涉及的期望进行计算以 n 坼= l ，4 0 0 ) 为横轴，赛= i ，3 5 9 ) 为纵轴画图，如图3 1 1 7 赵越：非均方准则函数下的增长率预测 图3 1 ：对称熵准则条件下与l i n e x 准则函数条件下比值的趋势 左图为对称熵准则条件下此比值的趋势，我们分别就取；r 和r + 0 两种情况进行模 拟从图上可以看出r 较小时，赛的整体趋势是趋于0 的右图为l i n e x 准则函数条件 下当吼 0 时得到的模拟图，赛的整体趋势是趋于o o ，与理论是符合的本文的研究有 助于对外汇市场远期走势的认识，并为汇率的中长期预测提供了新的工具 1 8 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 1 1 】n a nw a n g ，w a nk a ip a n g ，w e ik w a n gh u a “gad i s c u s s i o no nb u h l m a n n sc r i t e r i o nf o ra s s e tv a l u a - t i o n i j ii n s u r m a t h e c o n 3 0 ( 2 0 0 2 ) ，8 5 9 3 f 2 】程士宏，高等概率论i m 】，北京大学出版社，1 9 9 6 3 】汪嘉冈，现代概率论基础 硐，复旦大学出版社，上海，1 9 8 8 【4 | ( 苏) 佩特罗夫，独立随机变量之和的极限定理 m 】，中国科学技术大学出版社，1 9 9 1 1 5 】胡迪鹤，随机过程论p 田，武汉大学出版社，2 0 0 3 獬q t 0 7 1 8 1 7 ( 美j 费勒( 眦h 1 皿a 玛，概率论及其应用州，科学出版社，1 9 9 4 f 7 】b u h l m a n n ，h c o h e c t i v er i s kt h e o r yf o ra s s e t 8 【j 】n o r t ha m e r i c aa e t u r a lj o u r n a l1 ( 1 9 9 7 ) ，1 0 0 - 1 0 4 蚓陈希孺数理统计引论【m 】北京：科学出版社( 1 9 8 1 ) ，1 5 9 - 1 7 8 【9 】c o p e l a n d ，l s e x c h a n g er a t ea n di n t e r n a t i o n a lf i n a n c e j a d d i s o n w e s l e y , 1 9 8 9 【1 0 】m e e s e ，r s a n dr n g o f f ik t h eo u t - o f - s a m p l ef a i l u r eo fe m p i r i c a le x c h a n g er a t em o d e l s ：s a m p l i n g e r r o ro rm i s s p e c i f i c a t i o ni nf r e n k e lj ( e d ) ，e x c h a n g er a t e sa n di n t e r n a t i o n a lm a c r o e c o n o m i c s ， u n i v e r s i t yo fc h i c a g op r e s s ，1 9 8 3 1 1 】s o m a n a t h ，vse f f i c i e n te x c h a n g er a t ef o r e c a s t s ：l a g g e dm o d e l sb e t t e rt h a nt h er a n d o mw a u c ( j 】 j o u r n a lo fi n t e r n a t i o n a lm o n e ya n df i n a n c e ，5 ( 1 9 8 6 ) ：1 9 5 2 2 0 1 2 】魏巍贤，蒋正华汇率的神经网络预测模型及其实例分析 j 】预测，1 9 9 5 ( 6 ) 【1 3 jt a y l or mp t h ee c o n o m i c so fe x c h a n g er a t e s ，j o u r n a lo fe c o n o m i cl i t e r a t u r e x x xi i i ，1 9 9 5 ， 1 3 4 7 【1 4 唐小我，滕颖，曾勇汇率的组合预测模型及应用【j 1 预测，1 9 9 6 ( 3 ) 15 】李志强，陆晓兵小样本统计决策理论：统计学习理论 j 】统计教育，