（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的正解.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题的正解 摘要 非线性泛函分析是数学中的一个重要分支，它能够很好的解释自然界中的 各种各样的自然现象，因而受到了国内外数学界和自然科学界的广泛关注非 线性边值问题源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科，是目前分析数学 中研究最为活跃的领域之一其中，多点边值问题来源于应用数学的各个领域 以及物理学中的模型，特别的在弹性和稳定性理论当中有着广泛的应用，具有 重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论等方 法，研究了几类非线性微分方程边值问题解的情况，得到了一些新成果 根据内容本文分为以下三章： 在第一章中，我们利用l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，研究了半无穷区间边 值问题 i ( p ( t ) z 7 ( t ) ) 7 - 4 - o ( t ) f ( t ，z ( ) ，z ( t ) ) = 0 ，t 【0 ，。o ) ， 2a l z ( o ) 一卢11 i m p ( t ) x ( t ) = a l ， i h ” lo r 2 1 i 理z ( t ) + 励1 i mp ( t ) z ( t ) = a 2 ， 、 。，u u。7 - j 并在一定条件下，得到其多个正解的存在性 在第二章中，我们利用著名的不动点指数定理，得到了带有变号非线性项 的奇异二阶三点边值问题 一t i ( z ) = o ( ) ，( u ( ) ) + 6 ( t ) q ( t ) ，0 t l ， u ( o ) 一u ( 1 ) = o ，以o ) 一u ，( 1 ) = 让( 圭) 的对称正解其中a ：( 0 ，1 ) - 【0 ，0 0 ) 连续，在( 0 , 1 ) 上对称，并且n ( ) 在t = 0 和 t = 1 点可以是奇异的；，：【0 ，0 0 ) 一【0 ，) 连续；q ：( 0 ，1 ) _ ( 一，+ o o ) 对称并且 连续，g ( t ) 在t = 0 和t = 1 点可以是奇异的；b ( t ) 在【o ，1 】上对称并且连续 曲阜师范大学硕士学位论文 在第三章中j 我们研究了二阶常微分方程组两点边值问题 fz ”( z ) 一k 2 z ( t ) + a ，( t ，z ( t ) ，一( ) ) = 0 ，0 t ， ”( ) 一k 2 u ( t ) + 幻( ，y ( z ) ，y l ( t ) ) = 0 ，0 0 ，并在一定条件下，我们得到其正解的存在性 关键词：正解；不动点；边值问题；锥；混合单调算子 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm a t h e m a t i c s ，a n d i tc a ne x p l a i ns e v e r a lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，s om o r ea n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ( b v p ) f o rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s ei nav a r i e t yo fa r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c s ，p h y s i c sa n dv a r i a t i o n a lp r o b l e m so fc o n t r o lt h e o r y ，i ti sa tp r e s e n to n e o ft h em o s ta c t i v ef i e l d si na n a l y s i sm a t h e m a t i c s a m o n gt h e m ，m u l i t i p o i n t b v pc o m ef r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，a n di ti s v e r ym e a n i n g f u li nb o t hp r a c t i c a la n dt h e o r e t i c a la s p e c t s t h ep r e s e n tp a p e r e m p l o y st h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n tt h e o r y ，t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n ds o o n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n st ob v po fs o m ek i n d so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dh a v eo b t a i n e ds o m en e wr e s u l t s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w eu s et h el e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es h o w t h ee x i s t e n c eo fa tl e a s tt h r e es o l u t i o n sf o rac l a s so fs e c o n do r d e rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so nt h eh a l f - l i n ea sf o l l o w i n g i ( t ) z 心) ) + 垂( t ) ，( 亡，z ( t ) ，。( t ) ) = 0 ，t 【0 ，) ， q - z ( o ) 一p - ! 觋p ( ) z ( ) = 口t ， 【q 2 舰。( ) + 仍1 + i m p ( t ) z ) = 0 2 ， i nc h a p t e r2 ，b ye m p l o y i n gt h ew e l l k n o w nf i x e dp o i n ti n d e xt h e o r e m ，w e s h o wt h ee x i s t e n c eo fs y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o nf o ra s i n g u l a rs e c o n d o r d e r t h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t hs i g n c h a n g i n gn o n l i n e a rt e r m s - - t t ( ) = 口( t ) ，( u ( t ) ) + 6 ( t ) g ( t ) ，0 0 u n d e rs o m ec o n d i t i o n s ，w es h o wt h e e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ea b o v ep r o b l e m k e y w o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n ；f i x e dp o i n t ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ； c o n e ；m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r q 锄 锄 “ “ 虬 爱缸 日期：砌箩 导师签名：俐萏日期：矽d 墨，六2 第一章半无穷区间广义s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的多个正解存在性 近来，人们对s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的研究产生了浓厚的兴趣，并取得 了优秀的成果( 见 1 5 】) 在文【2 】中，王利用s c h a u d e r 不动点定理，上下解 方法和l e r a y s c h a u d e r 映射度理论，研究下述s t u r m l i o u v i l l e 边值问题： 一( p ( t ) 让( t ) ) = ，( 扎( z ) ，t q u ( ) 一p ! i m p ( t ) u 7 ( ) = _ r 7 u ( n ) + 6j i m p ( t ) u ( ) = c + t 1 f t 叩， 得出其解的存在性和多重性在文【3 1 中，姚应用锥压缩与锥拉伸型的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究下述s t u r m l i o u v i l l e 边值问题： ， i ( p ( t ) w 印) ) 7 + a f ( t ，叫( ) ) = 0 ，0 t 0 ，t 【o ，) ，伊高d s 0 0 ； 记 x ( t ) = p - 1 【1 + a ( t ) b ( t ) y l ( t ) ，z 7 ( 亡) = 2 ( 亡) ，f ( t ，z ，z 7 ) = g ( t ，y l ，y 2 ) ， 其中 z 椭z 高d s ，冰) = 岛怕l ! 高d s p 锄邮m 1 6 ( 牡啪讹卢i + a t a 2 z 。高瓠 记 ， a ( o o ) 2 l i r a 口( 。) = 罗l + 口1z 高幽 。o ，口( o ) = l m i m 8 ( 2 ) = 声l ， 6 ( ) 2 。l i m 。6 ( 。) = 岛，6 ( o ) = l i m 。6 ( t ) = 尻+ q 2z 病d s 。o ( 凰) g ( t ，y l ，y 2 ) 口( ) q ( y l ，沈) ，q ( t ) c ( ( o ，o o ) ，【0 ，o o ) ) ，且存在t o f 0 ，) ，q ( t o ) 0 ，q ( y l ，y 2 ) c ( o ，0 0 ) r ，f 0 ，。o ) ) ，俨圣( s ) g ( s ) d s 。 2 1 2 预备知识 议 肚xec ： o , c x ) ) s u p ，) 丽i ix ( t ) 痢i ( d o , f s u 。州p f 。o ， 定义范数 蚓j l = m a x l l x l l o ，拶i i ， 其中忪 0 - - 吲s u 。，p o o ) 歹渤， 忙l l = 【s u 。，p o o ) z ( 芒) ，易知( e | i 1 l 。) 是 一个b a n a c h 空间 定义函数如下： g s ) - p - i a o 弘( s ) 1 0 坯s 呱 i - p l n ( s ) 6 ( t ) ，0 s t o o 引理1 2 1 【1 1 1 设任意常数o 。，b + ，满足0 o b 。o ，则存在常数 0 矿 c i 燕，蚓一川一艇【o 阱( 1 2 1 ) 证明由a ( t ，s ) 的定义知， 。 ，蒜鬻 1 v 铀 o 删， ( 1 2 2 ) 当t 【n ，b 】时，根据o ( t ) ，b ( t ) 的单调性知 盟l ，篇座s ， 矿1 f 1 + 以幻联磅1 一l 篇屯 3 第一章半无穷区问广义s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的多个正解存在性 焉p-1 羹竺 【1 + o ( t ) 6 ( t ) r1 p 1 6 ( 6 + ) 。+ 研p - 1 1 ，v u s 【0 ，毗 【1 + o ( 乱) 6 ( u ) r 一叫 同时，对任意t 【a ，6 】， q ( ) a ( a + ) 1 + a ( t ) b ( t ) 二1 + a ( b + ) 6 ( o + ) 6 ( t )、6 ( 矿) 1 + a ( t ) b ( t ) ：1 + o ( 沪) 6 ( n + ) 因而有 故取 羔丽1瓦11 a ( u ) b ( u ， + ) 。6 ( 让) 一应 熹1 a ( u ) b ( u 高去， + ) 一o ( 札) 一声l c 铷i n 舞蒜 b ( b ) 卢1 ) 1 + a ( b + ) 6 ( n 4 ) 可得( 1 2 1 ) 式成立，从而定理结论得证 令 p = z e ix ( t ) 0 ，t 【0 ，) ； 。掣i 】丽篇丽y 而【0 ，o 。) ) ， 4 曲阜师范大学硕士学位论文 则p 是e 中的一个正锥若泛函q ：p - - 4 ( 0 ，) ，对任意z ，y p 和 o a 1 ，有 q ( 入z + ( 1 一a ) 可) s a ( z ) + ( 1 一入) a ( 可) ， 则称o 是p 上非负连续凹泛函，令常数0 a 0 ，其中p 和q 定义 如上，并定义 f k = z p li i x l l l m ) ，p ( a ，a ，b ) = z p ia q ( z ) ，l i x l l , 6 ) 下面介绍本文所要用到的l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理 定理1 2 1 【1 7 】设尸是b a n a c h 空间e 上的一个锥，q 是p 上的非负连 续凹泛函，t ：p c - - 4 p c 是全连续的，假设存在正数0 8 b b ， 则t 在p 。中至少有三个不动点z l ，z 2 和z 3 ，满足 z 11 1 1 a ，b a ，a ( x 3 ) b 1 3 主要结果 在p 上定义算子t ：p - - 4 只使得 ) = 厂0 0g ( z ， ，z ( s ) ，z ，( s ) ) 幽+ 粤6 ( ) + 了a 2 t z ( t s ) v ( s ) f ( s d 0p 。( t ) ，vz p ) = g ( z ， ，z ( s ) ，z ，( s ) ) 幽+ ；6 ( ) + o ( t ) ，vz p 则算子t 的不动点z ( ) 就是b v p ( 1 1 1 ) 的解令 g ( 0 o o ) ，冗) = o ，存在常 数( e ) 0 ，当t n 时，有 x ( t ) 一z ( o 。) l e ，vz m t ：p - - + p 是连续算子 证明( 1 ) 由，及n ( t ) ，b ( t ) 的非负性知( t x ) ( t ) 0 ，vz p 并且对任 意z p 有 ( t x ) ( t ) p - 1 【1 + n ( t ) 6 ( t ) 】= e而罂郇s 州一( s ) ) d s 。a 2 a ( t ) 。a l b ( t ) pp - i 【1 + n ( ) 6 ( z ) 】。pp - 1 14 - o ( 啪( t ) 】 0 0 圣( s ) ，( s ，z ( s ) ，( s ) ) d s + 瑞 a l b ( t ) 1 + a ( t ) b ( t ) s f i p q ( l ，耽) 圣( s ) g ( s ) d s o y l | | z i l l ，i 暑，2 i s l f z l l l，0 + 再赢恸( ) + a l b ( o ) 】， 6 曲阜师范大学硕士学位论文 l ( 乳) ) l + g 纯啪( s ) 饰一s ) ，z ，( s ) ) d s + 万a 2 q + 詈6 ( t ) ) 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) d s ) 郇) m ，蹴荆) d s + 器 - o e 2 a ( s ) o t l b ( 8 )圣( 吲s u 岫p ，丽1 旷 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s s u p 去i q ( y l , y 2 ) s u p 器) 丽嘞驯l l 腓m q 由( 飓) ，( 凰) ，( 凰) 知 篇p-l o 。， 【1 + n ( t ) 6 ( ) 】 所以( t x ) ( t ) e ( 2 ) 下证t ：p - p 对vt 【a 4 ，6 】，有 ( t x ) ( t ) 一 p - 1 【1 + 口( t ) 6 ( t ) 】 q 2 a 1 | 1 9 + 西( s ) g ( s ) d s + 等+ ( t x ) ) l o o ，t 【0 ，) 厂蒜酬h 小n ，( s 肿s a l b ( t ) 。a 2 a ( t ) 。j dp 一1 【1 + 8 ( ) 6 ( ) 】pp - 1 【1 + o ( t ) 6 ( ) 】 f i 0 0 0 蒜鬻 c 蒜黜， 7 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，x i ( s ) ) d s + 詈而 v u 【0 ，。) 器 曲 b 厂厶“，6 吨 ，伐 -二i z厂“ 赫 一 赫 一、t，一i 邢 0 ，使得l i z n i l l m ， 从而有 p - 1 = j ( p - 1 蹁圣( s ) ，( s ，z n ( s ) ，z ：l ( s ) ) d s 一= o f v is ijl 一：f ：m - n i ：f ：i i 工一 1 + o ( t ) 6 ( t ) 】o【1 + o ( ) 6 ( z ) 】u 叫u 叫n 叫一叭叫p 。 f ( 8 ，x n ( s ) ，z ：i ( s ) ) 由控制收敛定理可知 i a lb ( t ) a 2 十万矛矿酝丽丽十万 s u pq ( 可l ，可2 ) p o o o y l m ，i 2 i s m j o a ( t ) p - 1 【1 + o ( t ) 6 ( ) 】 d 2 ( s ) q ( s ) d s + 嬲+ 瑞 0 ，对任意z q ，满 足忙i i l m 所以对任意2 q ， 熙( t 洲= l i r a ( ，：g ( 如) 郇) ，( s ，碱荆) d s + 考琊) + 万a 2 ) ) 。熙l 上p - l a ( s ) 6 ( t ) 西( s ) m ，z ( s ) ，z ，( s ) ) d s +p一1。(t)6(s)西(s)，(s，z(s)，z，(s)ds+詈b(t)+_a2jtp 。( t ) 1p 2 。1 + i r a p - l b ( 。) j o 8 ( s ) 西( s ) m ，z ( s ( s ) ) 如 + 。i _ i m 。p - l a ( 亡) b ( s ) 圣( s ) ，( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) d s + 恕( 弘) + 万a 2 ) ) ， 由n ( t ) ，b ( t ) 的单调性知 熙( t z ) ( ) 0 ，当l t l t 2 l 印时， 有 l ( t x ) ( t 1 ) 一( t x ) ( t 2 ) l e ， 所以t q 在 o ，】上等度连续，由n 的任意性知t f l 在 0 ，) 上局部等度连 续 ( 3 ) 下证t f l 一致有界 任意z q ， t x l l 0 = s u p t e o ，o o ) ( t x ) 川 厂0 。= j j ! 西( s ) 厂( s ，z ( s ) ，z ，( s ) ) d s 协j d 一1 1 + o ( ) 6 ( ) u 叫q u 叫一p 川 a l b ( t ) a 2 a ( ) l pp - 1 【1 + n ( t ) 6 ( ) 】pp - 1 【1 + o ( ) m ) 1j ss u p q ( 可1 ，y 2 ) 圣( s ) q ( s ) d s 吲s u 。川p 高b s u p 幽 ) 丽。s m 删s m + 唑p + 丝p j n 时， i ( t z ) ( ) 一( t x ) ( o o ) l = 1 ：。( g ( ，s ) _ _ p - i 如n ( s ) ) 圣( s ) ，( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) d s + 詈( 6 ( 亡) 一侥) + 詈( 。一。( o o ) ) i p 一1 0 ( s ) 6 ( ) 一p 一1 屁a ( s ) i 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s + 扩1 a ( t ) b ( s ) 一p - 1 尾a ( s ) l o ( s ) f ( s ，z ( s ) ，z ( s ) ) d s + 弘垆仍i + 舢旷n ( o o ) l = p _ 11 6 ( ) 一历i n ( s ) 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，z ，( s ) ) d s + p - , l a ( t ) ( b ( s ) 一危) + 如( o ( z ) 一o ( s ) ) l 西( s ) ，( s ，z ( s ) ，z 7 ( s ) ) d s + a - 2 p - 1i b ( 旷如l + 舢旷n ( o o ) l p 一11 6 ( 舌) 一庞 o ( )s u pq ( y l ，y 2 ) 圣( s ) 口( s ) d s - i - s u p q ( y l ，y 2 ) p 。1 【a ( o o ) l b ( s ) 一疡l o s 掣ls m ，l y 2 l 肘 j t + 仍l n ( t ) 一。( s ) l 】西( s ) 口( s ) d s + 詈1 6 ( ) 一仍i + 万a 2 i 。( t ) 一。( o o ) 1 ， 由o ( t ) ，b ( t ) 的定义及连续性知，任意e 0 ，存在常数n ，当8 t n 时， 有 l ( t z ) ( t ) 一( t x ) ( o o ) e ， 所以t f l 在t = o o 处等度收敛 由引理1 3 1 及( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 和( 4 ) 知，丁q 是相对紧的引理结论得证 令 。 川端( 小d s ) ， 第一章半无穷区间广义s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的多个正解存在性 出 = r a p i n ，而篙瓣，v xep 定理1 3 1 设( 日1 ) 一( 凰) 成立，且存在正常数0 a b 2 c ，其中 ，fb z = m a x ( 一， 【矿7 使得 ( 风) 当0 可l c ，l y 2 isc 时， q ( y l , y 2 ) _ m i n 。器，高爿 c 一糕器画意焉一业p 一学 譬c b ( s ) q ( s ) d s j 薅c h ( s ) q ( s ) d s ( 风) g ( t ，y l ，y 2 ) 苫b ，t 【o ，6 】，b y l c ，l y 2 l c ； ( 胁) 当0sy l a ，l y 2 i a 时， q ( 可1 ，y 2 ) f m i n 【 。一黜器瓦意焉竽一警 铲圣( s ) q ( s ) d s 伊圣( s ) g ( s ) d s 则b v p ( i 1 1 ) 至少有三个正解z l ，x 2 和x 3 ，满足 f z l l l l a ，b q ( z 2 ) ，a i l z 3 l i l ，a ( x 3 ) b 证明算子t 如前定义不难验证算子丁的不动点是b v p ( 1 1 1 ) 的解， 由引理1 3 2 和1 3 3 知，t ：p _ p 是全连续的，可以验证q 是非负连续凹泛 函由q 的定义可得，q ( z ) i i x l l , ，vx 尸 下面验证算子t 满足定理1 2 1 中的条件 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 设z - c ，则f i x l l l c 由( - 5 ) 可得 坚趔尘 p - 1 【1 + o ( t ) 6 ( ) 】 = z 揣喇( s 小n ，( s ) ) d s5 以万面碉屯m 【s z i s ) z 如 c ， ( t x ) 7 ( t ) i a 2 a ( t ) pp - 1 【1 + 口( ) 6 ( t ) 】 西( s ) g ( s ) d s + a 2 a ( o o ) a lb ( o ) 1 + 8 l 8 21 + 8 1 8 i s u p 熹l ( y l , y 2 ) s u pqy l ，y 2 。器) 而k 。 c ，| c ( + 唑+ 咝i ppj b ，v 。p ( 0 f ，b ，2 ) 。从而满足定理1 2 1 中条件( c 1 ) 下证定理1 2 1 中条件( c 3 ) 满足 设任意z p ( a ，b ，c ) ，若i i t x l l l l ，由( 6 ) 知 q ( 7 加蝌m ! n 】褊南巾瑚f ) 搿删s ：6 ， 所以，对任意z p ( q ，b ，c ) ，满足i i t x l l l f 时，仍有o r ( t x ) b 因而定理 1 2 1 中条件( c 3 ) 成立 从而，据l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理知，丁在【0 ，) 上有三个不动点，因 而，b v p ( 1 1 1 ) 在【0 ，o o ) 上至少有三个解 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 例1 4 1 考虑边值问题 在b v p ( 1 4 1 ) 中，令 因此 1 4应用 x i ( t ) ) = 0 ，t 【0 ，c o ) ， 0 1 ， ( t ) = a 2 a l = a 222 ，o l l50 1 2 2p l2 仍= 1 ； 圣( t ) = e - 2 t ；p ( t ) = ( 1 + z ) 2 ； = l + 雨1 ；。( ) = 2 一雨1 ；p = 3 ； f ( t ，z ，z 7 ) = 1 + y l ( t ) 3 ( 1 + ) 2 x ( t ) ( 1 + t ) 2 + ( 2 t + 1 ) ( 2 + t ) 3 ( 1 + ) 2 x ( t ) ( 1 + ) 2 + ( 2 t + 1 ) ( 2 + t ) 夕( z ，可。，2 ) = ，( ，z ，z ) = 1 + 兰! ，- ( ) 取q ( t ) 三1 ，q ( y l ，y 2 ) = 1 + ；剪l ( t ) ，从而 z 0 。毗( s ) d s _ 互1 则有条件( h 1 ) 一( h 4 ) 成立此时， )dsj0。( z ) + 詈6 ( t ) 1 8 ，就有 q ( y 1 ，y 2 ) = l + 互3 可l ( t ) 1 + 耋c 1 8 ，就有 q ( y 1 ，可2 ) = l + 互3 秒1 ( ) 1 + 兰n 2 。一8 对v0 a b + ；，只要b 燕即可 由上面的讨论知，只要取1 8 o b f 而2 5 ，可知定理1 3 1 中的条件满足，因此由定理1 3 1 知，b v p ( 1 4 1 ) 至少存在三个正解 1 6 第二章带有变号非线性项的奇异二阶三点边值问题 的对称正解 2 1 引言 在本章中，我们考虑带有变号非线性项的奇异二阶三点边值问题的对称正 解的存在性， 一t ( t ) = o ( t ) ，( u ( t ) ) + 6 ( t ) g ( t ) ，0 t 1 ，( 2 1 1 ) 1 u ( o ) 一乜( 1 ) = 0 ， 锃( o ) 一u ，( 1 ) = 札( 言) 。 ( 2 。1 2 ) 二 其中a ：( 0 ，1 ) - 【0 ，o 。) 连续，在( o ，1 ) 上对称，并且n ( z ) 在t = 0 和t = 1 点 可以是奇异的；f ：f 0 ，。o ) _ 0 ，。) 连续；口：( 0 ，1 ) 一( 一o o ，+ o 。) 对称并且连 续，g ( 幻在t ：0 和t = 1 点可以是奇异的；b ( t ) 在【o ，1 】上对称且连续 常微分方程的三点边值问题来源于应用数学和应用物理学的多个不同领 域在文【2 l 】中，g u p t a 提出了特殊的非线性微分方程的三点边值问题此后， 越来越多的人开始研究此问题( 见【2 0 ，2 2 ，2 3 ，2 5 ，2 8 3 4 1 ) ，并且得到了许多优 秀的成果近来，在文【3 5 】中，孙研究了奇异二阶三点边值问题 “( t ) + o ( ) ，( 让( ) ) = 0 ，0 t 0 ，可推出入z p ； ( b ) 若z 只一z 尸，可推出z = 0 则称p 是e 中的一个锥 定义2 2 2如果一个算子是连续的，并且将有界集映到预紧集则称该 算子为全连续算子 定义2 2 3 如果函数w ( t ) 满足 w ( t ) = w ( 1 一t ) ，t 【0 ，1 】 则称函数w ( t ) 是对称的 定义2 2 4 如果函数u + 在 o ，1 】上是正对称的，并且满足微分方程( 2 1 1 ) 及边值条件( 2 1 2 ) 则称u + 是边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的对称正解 定义2 2 5 若泛函w ( t ) 满足 w ( r t l + ( 1 一r ) t 2 ) r w ( t 1 ) + ( 1 一r ) t u ( t 2 ) ，r ，t l ，t 2 【0 ，1 】 则称w ( t ) 是【0 , 1 上的凹泛函 在本章中，我们将在b a n a c h 空间x = c o ，1 】( 其范数定义为| | 2 捶m l o a x ，j1 2 z ( 舌) 1 ) 中研究边值问题( 2 。1 1 ) ，( 2 ，1 2 ) 的对称正解令 c + 【o ，1 】_ w c o ，1 1 1w ( t ) 0 ，t 0 ，l 】 p = w ec + 0 ，1 】f 伽( t ) 在【0 1 】是凹的对称函数，并且硎x 】叫( 1 ) 割加胁 引理2 2 1 3 5 】设y c o ，1 】则三点边值问题： 一( ) = 可( ) ，0 t 1 ， u ( o ) 一u ( 1 ) = o ，u ( o ) 一钆，( 1 ) = ( 丢) 1 8 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 ， g 1 ，s ) = s ( 1 一幻 o s 。1 吲泸滢舞： 引理2 2 2 【3 5 】设t ，8 【0 ，1 】则有 引理2 2 3 f 3 5 】设y c + 【o ，1 】则边值问题( 2 2 1 ) ，( 2 2 。2 ) 有唯一解t ( t ) ， 蚓m o ，l i n i u ( t ) 三i l u l l 引理2 2 4 f 3 5 】若y ( t ) 在【o ，1 】上对称则边值问题( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 的唯一 z 1g 啪“s ) d s = r o ；z 1g ( s s ) 【小) m ) 州s ) “s ) 】d s 而南可 c a l ，( u ) ，( c 乱) c a z ，( 让) ，v0 c 1 1 9 第二章带有变号非线性项的 奇异二阶三点边值问题的对称正解 引理2 2 5 【1 3 】设x 是一个实b a n a c h 空间，q 是x 中的一个有界开集， 护q ，a ：qnp _ p 是一个全连续算子，其中p 是x 中的一个锥 ( i ) 设a u a u ，vu a qn 只a 1 则i ( a ，qn 只p ) = 1 ( i i ) 设a u 羞u ，v 让a qnp - 则i ( a ，qnp jp ) = 0 设p 定义如前显然，p 是x 中的一个锥令叫( t ) = 片g ( t ，s ) a ( s ) q 一( s ) d s ， 则w ( t ) 是边值问题( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 关于y ( t ) = a ( t ) q 一( t ) 的唯一解，且w ( t ) 在 i o ，l 】上是对称的 下面我们考虑奇异二阶三点边值问题： 一0 ) = 8 ( ) ，( m ) 一划( t ) 】) + b ( t ) q + ( ) ，0 t l ，( 2 2 5 ) 1 u ( o ) 一让( 1 ) = 0 ，u r ( o ) 一u ”) = u ( 去) ，( 2 2 6 ) 其中【u ( 亡) 一加( t ) 1 + = m a x u ( t ) 一叫( t ) ，o ) 我们可得如下引理， 引理2 2 6 如果奇异二阶三点边值问题( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 有唯一正对称解 珏( ) ，并且对任意t f 0 ，1 】，有乱( ) 叫( z ) 那么奇异二阶三点边值问题( 2 1 】) ， ( 2 1 2 ) 有唯一解y ( t ) = 珏( ) 一叫( 啦 证明事实上，如果u ( t ) 是边值问题( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) 的正对称解，并且 对任意t 【0 ，1 】，有 u ( t ) 2 加( t ) 令可( t ) = u ( t ) 一叫( z ) ，则y ( t ) 0 ，任意t 【0 ，l 】因为叫( t ) 是边值问题( 2 2 1 ) ， ( 2 2 2 ) 在【0 ，1 】上关于y ( t ) = a ( t ) q ( z ) 的正对称解，我们有 - ( y ( t ) + 叫( ) ) = o ( ) ，( 可( ) ) + f ) ( ) q + ( ) ， 曲阜师范大学硕士学位论文 - y ( t ) 一w ( t ) = a ( t ) ，( 可( t ) ) + b ( t ) q + ( ) ， 因而 - y ( ) + b ( t ) q 一( t ) = o ( t ) 厂( 可( ) ) 十b ( t ) q + ( 亡) 故 - y ( ) = o ( ) 厂( 可( ) ) + 6 ( ) g ( ) 因此，v ( t ) = 乱( z ) 一w ( t ) 边值问题( 2 1 1 ) ，( 2 1 2 ) 的正对称解从而引理2 2 6 结论得证 注2 2 1 据文 3 6 】我们知，如果f ( u ) 满足条件( a 2 ) ，那么f ( u ) 在【o ，0 0 ) 上关于u 是增的，并且 l i m 型：。o 定义一个算子t ：x 。x ，使得 ，i i t u ( t ) = g ( ，s ) o ( s ) ，( 让( s ) ) + 6 ( s ) “( s ) 】d s ，0 因此，对任意让x ，取0 c 1 ，使c l l 钆l i 1 ，则有c u ( t ) 一训( ) 】+ c u ( t ) c i l u l i 1 因而，根据条件( a 2 ) 和注2 2 1 ，我们有 ，( 心( 1 ) 一叫( ) r ) ( 丢) a 1 ，( c 阻( t ) 一伽( ) 】+ ) c x 2 - x 1l i u i i a 2 ，( 1 ) 引理2 2 7 设条件( a 1 ) ，( a 2 ) 成立则t 是全连续算子，并且t ( p ) cp 证明对任意t 【0 ，1 1 ，t u ( ) = 一o ( t ) ，( 札( ) ) b ( t ) q + ( ) so 故t 让是 凹的据引理2 2 2 ，2 2 3 和2 2 4 ，我们知 一 捌暑t邮)主litll 训， 一 挺 o ， 一4 因而t ( p ) cp 2 1 第二章带有变号非线性项的 奇异二阶三点边值问题的对称正解 下证算子t 是全连续的 对任意n 2 ，定义a n ，q n + 使得 a n ( ) q n + ( ) 定义死：p - 尸使得 i n f 口( s ) ， o s s s 吉 o ( ) ， i n f o ( s ) ， 1 一i 1s s s l i n f 一( s ) ， o s s s 百1 q + ( ) ， i n f + ( s ) ， 1 一i 1 s l 1 0 t 一， n 0 t 茎三， n 瓦札( t ) = lg ( t ，s ) 【。n (