（应用数学专业论文）联合xlet和变分的图像恢复模型及其算法研究.pdf

摘要 i 摘要 x 1 e t 是所有经典的小波及其新进展，甚至将来被定义的小波的总称，涵盖 了本文所涉及到的高维连续小波、脊波、第二代曲线波、波原子、l o g g a b o r d x 波等。其理论框架已经比较成熟，将其应用于图像处理是当前研究的热点问 题。数学图像处理的另外一个重要方法是变分偏微分方程方法，它已被成功地 应用于图像处理和计算机视觉的许多方面，并且取得了很好的效果。 图像恢复是图像处理的一个基本问题，这类问题在h a d a m a r d 意义下一般是 不适定的反问题。解决这类病态问题的关键是如何利用先验信息，建立相应的 数学模型，从而获得恢复问题的适定解。 本论文结合x 1 e t 和变分思想，对图像恢复问题进行探讨和研究，得到了一 系列有意义的结果。主要工作如下： l 、以高维连续小波和脊波框架为研究背景，得到两个理论结果。首先从理 论上分析高维连续小波阈值和伪微分方程的关系，利用高维f o u r i e r 变换的性质 和高维连续小波的算子表示结论，得到新的高阶非线性扩散方程。其次，基于 曲线波型紧框架的构造思想，给出脊波型结构覆盖，结合f o u r i e r 基得到了脊波 型紧框架；进一步，针对c a n d e s 的脊波框架没有显式对偶框架的不足，组合正 交脊波和所构造的脊波型覆盖，构造了三种新的框架。 2 、以第二代曲线波为主线，从理论和算法上给出新的变分图像去噪模型和 去模糊模型。首先提出曲线波型分解空间光滑性约束的变分正则化图像去噪模 型，利用曲线波型分解空间半范和第二代曲线波加权系数的等价模关系，得到 依赖于曲线波分解尺度和光滑参数的图像阈值算法；进一步，从图像分解的角 度出发，证明了采用负指数的曲线波型分解空间约束的分解模型和采用l 2 范数 约束的去噪模型在满足相应的条件下是等价的，然而偏微分方程的分解模型却 不具有这样的结论。其次利用b r e g m a n 距离提出曲线波迭代正则化模型和逆尺 度空间方法。最后提出曲线波型分解空间光滑性约束的图像去模糊模型，利用 广义条件梯度法，给出迭代阈值算法和自适应的迭代停止准则。上述模型和算 法拓宽和发展了小波b e s o v 空间方法，并且实验结果验证了将结构丰富的图像约 束在曲线波型分解空间用曲线波来刻画是恰当的。 3 、以波原子为研究对象，提出几种新的模型和算法。首先基于波原子的构 造特点，利用b e s o v 空间，得到了新的依赖于波原子尺度和光滑性指标的纹理图 像去噪模型和阈值算法。其次，利用波原子对纹理图像表示的稀疏性，给出了 联合x 1 e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 完全离散的波原子迭代正则化模型和逆尺度空间模型。最后，利用波原子阈值 代替通常高斯卷积的运算，推广p e r o n a m a l i l 【模型，得到了波原子正则化的非线 性扩散模型。 4 、分别以相位一致性和主成份分析为工具，提出新的张量扩散模型和变 分去模糊模型。首先利用相位信息的重要性和相位一致性对图像特征检测的优 势，设计了一种新的散度矩阵，提出基于相位一致性的张量扩散模型。其次， 提出基于主成份分析的变分图像去模糊模型，并通过替代泛函的思想给出主成 份分析域的迭代学习算法；进一步，针对该算法收敛速度慢的缺陷，给出一种 快速算法。 关键词：变分脊波曲线波波原子图像恢复模型算法偏微分方程 阈值扩散相位一致性主成份分析 a b s t r a c ti i i a b s t r a c t x l e ti sag e n e r a ld e f i n i t i o no fw a v e l e t s i n c l u d i n ga l lt h ec l a s s i c a lw a v e l e t sa n d t h e i rn e wp r o g r e s s ，e v e nt h o s ed e f i n e di nf u t u r e ，w h i c hc o v e r st h eh i g h - d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u sw a v e l e t s ，r i d g e l e t s ，t h es e c o n d - g e n e r a t i o nc u r v e l e t s ，w a v ea t o m sa n dl o g g a b o rw a v e l e t se ta lr e l a t e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h et h e o r yf r a m e w o r ko fx l e ti s r e l a t i v e l ym a t u r ea n di t sa p p l i c a t i o nt oi m a g ep r o c e s s i n gi st h eh i g h l i g h to fc u r r e n t r e s e a r c h a n o t h e ri m p o r t a n tm e t h o di nm a t h e m a t i c a li m a g ep r o c e s s i n gi sv a r i a t i o n a l p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h i c hh a sb e e na p p l i e dt om a n yf i e l d si ni m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s i o nw i t hg o o dr e s u l t s i m a g er e s t o r a t i o ni sak i n do ff u n d a m e n t a lp r o b l e mi ni m a g ep r o c e s s i n g ，w h i c hi s a l li l l p o s e di n v e r s ep r o b l e mi nt h es e n s eo fh a d a m a r d t h ek e yp o i n to fs o l v i n gt h i s p r o b l e mi sh o wt ou s et h ep r i o r ik n o w l e d g et oe s t a b l i s ht h ec o r r e s p o n d i n gm a t h e m a t i - c a lm o d e l ，a n do b t a i nt h ew e l l p o s e ds o l u t i o n i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o m b i n ex l e tw i t hv a r i a t i o n a li d e at oe x p l o r ea n ds t u d y p r o b l e mo fi m a g er e s t o r a t i o n ，a n do b t a i n as e r i e so fm e a n i n g f u lr e s u l t s t h em a i nw o r k c a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： it w ot h e o r e t i c a lr e s u l t sr e l a t e dt oh i g h d i m e n s i o n a lc o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s - f o r ma n dr i d g e l e tf r a m ea r eo b t a i n e d f i r s t l y ，t h er e l a t i o n s h i po fh i g h d i m e n s i o n a l c o n t i n u o u sw a v e l e tt h r e s h o l d i n gw i t hp s e u d o - - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni st h e o r e t i c a l l ya n a - l y z e d w h i c hr e s u l t si nan e wh i g h o r d e rn o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o nb yu s i n gb o t l lt h e p r o p e r t i e so f f o u r i e rt r a n s f o r ma n do p e r a t o rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r yi nh i g h d i m e n s i o n a l c a s e s e c o n d l y , ar i d g e l e t t y p cs t r u c t u r e da d m i s s i b l ec o v e r i n ga n da s s o c i a t e df r a m e s u s i n gf o u r i e rb a s i sa r ed e s i g n e db a s e do nt h ei d e o l o g yo fc o n s t r u c t i n gc u r v e l e t 一谚p e f r a m e m o r e o v e r , w eo b t a i nt h r e en o v e lr i d g e l e t - t y p ef r a m e sb ya s s o c i a t i n go n h o n o r - r e a lr i d g e l e tw i lt h er i d g e l e t - t y p ec o v e r i n g 2t h en o v e lv a r i a t i o n a lm o d e l sa n da l g o r i t h m sf o rb o t hi m a g ed e n o i s i n ga n dd e b l u r r i n ga l eg i v e nw i t ht h es e c o n d - g e n e r a t i o nc u r v e l e t s f i r s t l y , w ea p p l yc o n s t r a i n t o fc u r v e l e t - t y p ed e c o m p o s i t i o ns p a c e sa sar e g u l a r i z i n gt e r mt ov a r i a t i o n a lm o d e lf o r i m a g ed e n o i s i n g b a s e do nt h ee q u i v a l e n tm o d u l u sr e l a t i o n s h i pb e t w e e ns e m i - n o r m o f c u r v e l e t t y p ed e c o m p o s i t i o ns p a c e sa n dt h ew e i g h t e dc u r v e l e tc o e f f i c i e n t s ，s o l u t i o no f t h ep r o p o s e dm o d e le q u a l st od i f f e r e n tc u r v e l e ts h r i n k a g e s m o r e o v e lw ep r o v et h a t 联合x l e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 t h ed e c o m p o s i t i o nm o d e lw i t hc o n s t r a i n to fs e m i - n o l - mo fc u r v e l e t t y p ed e c o m p o s i t i o n s p a c e sw i t hn e g a t i v ed e g r e eo fd i f f e r e n t i a b i l i t yi se q u i v a l e n tt oad e n o i s i n g m o d e lw i t h c o n s t r a i n to fl 2n o r mt ot h ef i d e l i t yt e r mo n ag i v e nc o n d i t i o n s e c o n d l y , a l li t e r a t i v e r e g u l a r i z a t i o nm e t h o da n di n v e r s es c a l es p a c em e t h o do fc u r v e l e t sa r ei n t r o d u c e db y a p p l y i n gb r e g m a nd i s t a n c e f i n a l l y , am o d e lf o ri m a g ed e b l u r r i n gi s c o n s i d e r e db y 一一一一 e m p l o y i n gt h es p a r s ec o n s t r a i n to fc u r v e l e t - t y p ed e c o m p o s i t i o ns p a c e s e s p e c i a l l y , a n i t e r a t i v eh a r ds h r i n k a g ea l g o r i t h ma n da l la d a p t i v es t o p p i n gc r i t e r i o na r eo b t a i n e db y t h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a lg r a d i e n tm e t h o d t h e s em o d e l sa n da l g o r i t h m sd e s c r i b e d a b o v ee x t e n dt h ew a v e l e tm e t h o di nb e s o vs p a c e s m o r e o v e r e x p e r i m e n t a lr e s u l t s s h o wt h a tt h eu s eo fc u r v e l e t si nc u r v e l e t t y p ed e c o m p o s i t i o ns p a c e si sa p p r o p r i a t ef o r c h a r a c t e r i z i n gi m a g ew i t hr i c hs t r u c t u r e s 3s e v e r a lm o d e l sa n da l g o r i t h m sa r ep r e s e n t e dw i t hw a v ea t o m s f i r s t l y , an o v e l d e n o i s i n gm o d e lf o rt e x t u r ei m a g e si sp r o p o s e db yu s i n gb e s o vs p a c e s ，w h i c h r e s u l t si n as o f tt h r e s h o l d i n ga l g o r i t h md e p e n d i n go nb o t ht h es c a l eo fw a v ea t o m sa n ds m o o t h i n g p a r a m e t e r s e c o n d l y , c o n s i d e r i n gt h es p a r s er e p r e s e n t a t i o no f w a v ea t o m sf o rt e x t u r a l i m a g e ，a ni t e r a t i v er e g u l a r i z a t i o nm o e t h o da n da ni n v e r s e s c a l es p a c e sm e t h o df o rf u l l y d i s c r e t ew a v ea t o mc o e f f i c i e n t sa r ed e s i g n e d f i n a l l y , a sa ne x t e n s i o no fp e r o n a - m a l i k m o d e l ，w ed e v e l o pan o n l i n e a rd i f f u s i o nm o d e lb yr e p l a c i n gg a u s s i a nr e g u l a r i z a t i o n w i t hw a v ea t o m sr e g u l a r i z a t i o n 4an o v e lt e n s o rd i f f u s i o nm o d e la n dav a r i a t i o n a ld e b l u r r i n gm o d e la r e p r e s e n t e dw i t ht w ot o o l s o fp h a s ec o n g r u e n c ya n dp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s f i r s t l y ，t a k i n ga d v a n t a g eo fb o t ht h ei m p o r t a n c eo fp h a s ea n d t h em e r i to fp h a s ec o n - g r u e n c yf o ri m a g ef e a t u r ed e t e c t i o n ，w ed e s i g nan e ws c a t t e rm a t r i x ，t h e np r o p o s ea t e n s o rd i f f u s i o nm o d e lb a s e do np h a s ec o n g r u e n c y s e c o n d l y , am o d e lf o ri m a g ed e - b l u r r i n gu s i n gp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i si sg i v e n t h e na ni t e r a t i v es h r i n k a g ea l - g o r i t h mi so b t a i n e di np r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i sd o m a i nb ye m p l o y i n gt h ei d e ao f s u r r o g a t ef u n c t i o n a l d u et ot h es l o ws p e e do fc o n v e r g e n c e ，w ef u r t h e ro f f e ran e w a c c e l e r a t e da l g o r i t h m k e yw o r d s ： v a r i a t i o n a l r i d g e l e t s c u r v e l e t sw a v ea t o m s i m a g er e s t o r a t i o n m o d e la l g o r i t h mp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h r e s h o l d i n gd i f f u s i o np h a s e c o n g r u e n c yp r i n c i p a lc o m p o n e n ta n a l y s i s 独创性( 或创新性) 声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技 大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 作者签名：二鹕 日期： 加l o 、岁、i i 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保 证毕业离校后，发表论文或使用论文( 与学位论文相关) 工作成果时署名单位 仍然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅 论文；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它 复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 作者签名： 导师签名： 日期：丛、0 、主- 、1日期：丝! ：主：! ! 日期：2 lq 、享：! l 第一章绪论 第一章绪论 正如a u b e r t 和k o m p r o b s t t l 】所说的那样：o u rs o c i e t yi so f t e nd e s i g n a t e da sb e i n g a n “i n f o r m a t i o ns o c i e t y ”i tc o u l da l s ov e r yw e l lb ed e f i n e da sa n “i m a g es o c i e t y ”， 图像已成为人们认识客观世界的主要信息来源。科学研究表明，人类所获得的 外界信息有7 0 是利用视觉系统通过图像获得的，如照片、图画、书报、医学 图像和卫星遥感图像等。 图像通常是通过传感器来获取的，有时还需要被转换成可视信息，然后进 行记录、储存和再现。由于传感器本身的缺陷或不足、周围环境的变化以及其 他一些人为因素的影响会使图像降质或退化，典型的问题包括图像含有噪声、 模糊、失真、损坏等。而在实际的应用领域中，往往又需要清晰的、高质量的 图像。因此图像处理成为一门发展非常迅速的学科，并被广泛地应用于科学研 究、工业生产、医疗卫生、教育、管理和通信等领域【2 1 。 图像处理的发展得益于图像数字化和图像设备的普及，以及计算机科学的 飞速发展。图像处理领域的一个基本问题【3 】就是如何以观测图像为已知数据来 恢复反映客观世界真实场景的原始图像。解决该问题的关键是利用导致图像退 化的先验信息，建立相应的数学模型，然后沿着图像退化的逆过程进行恢复， 以获得清晰的原始图像。上述问题就是通常所说的图像复原( 包括图像去噪、图 像去模糊) ，其他的图像处理任务包括图像压缩、图像增强、图像放大、图像融 合、图像分解、图像修补、图像检测和识别等。 另一方面，数学及其理论的发展在图像处理的发展历程中始终扮演着十分 重要的角色，并几乎渗透到了图像处理的所有分支之中。从数学上讲，图像 处理的研究方法大体可以分成三类，分别是基于m a r k o v 场理论的随机统计方 法、基于物理世界的偏微分方程方法、源于f o u r i e r 分析并逐步发展起来的小波 分析及其新进展方法。 本论文重点研究x 1 e t ( 特指所有经典的小波及其新进展，甚至将来被定义 的小波的总称) 在图像恢复方面的理论探讨和应用。下面首先简要地回顾一 下x 一1 e t ，然后从四个方面阐述与本文有关的当前国内外图像处理的一些研究现 状，最后阐述本文的主要工作。 1 1x 1 e t 小波最早是f l 了m o r l e t 和g r o s s m a n 在1 9 8 4 年提出的，指法语词汇 o n d e l e t t e ”。 2联合x 1 e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 后来在英语里，“o n d e ”被改为“w a v e ”而变成了w a v e l e t 。从此以后，l e t 几乎成了 基( b a s i s ) ，多尺度( m u l t i s c a l e ) ，多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) ，应用计算调 和分析( a p p f i e da n dc o m p u t a t i o n a lh a r m o n i ca n a l y s i s ) ，多尺度几何分析( m u l t i s c a l e g e o m e t r i ca n a l y s i s ) ，稀疏表示( s p a r s er e p r e s e n t a t i o n ) 等方面的代名词。迄今为 止，许多科研工作者和工程领域的专家已经构造了7 0 多种小波，详见网页： h t t p ：l c d s i v a f r e e f r s i v a w i t s w h e r e i s t h e s t a r l e t h t m 。d o 和v e t t e r l i t 4 首次指出：所 有这些小波，甚至将来被定义的新的小波统称为x 1 e t 。 x 1 e t 根据其发展历程和构造方法的差异，可以简单地分为四类： 一类是经典的以m a l l a t 和m e y e r 合作提出的多分辨分析为框架，从尺度函数 出发，依赖于f o u r i e r 变换而构造出的小波。理论上已经证明了存在着一些特殊 的小波，它们不能和任何的多分辨分析所对应。但是由于实际中有用的小波都 具有一些好的性质，如对称性、正交性、紧支撑性、消失矩和正则性等，而好 的小波一定是由多分辨分析生成的【5 】。因此由多分辨分析思想得到的小波统称 为第一代小波，例如h a a r d x 波，m e y e r d 、波，d a u b l e t ，s y m l e t ，c o i f l e t ，m o r e l e t ，以 及发展得到的小波包、多小波和多函数小波等。 第一代小波分析在数学上的主要来源包括：s t r 6 m b e r g 等在构造调和分析、 偏微分方程、b a n a c h 空间等常用空间的无条件基方面的研究；m e y e r 和c o i f m a n 等在伪微分算子的原子分解和分子分解理论方面的工作；c h u i 和w a n g 等在样条 理论、逼近论方面的工作；g r o s s m a n ，m o d e t c - 和b a t t l e 等在数学物理方面的工作 等。有关更多小波的构造和理论，见文献 6 - 1 0 和专著1 1l 一1 5 。 第二类是1 9 9 5 年s w e l d e n s t l 6 通过“提升方法”( l i f f i n gs c h e m e ) 构造的第二代 小波。这种方法摆脱了对f o u r i e r 变换的依赖性，它不再是某个特定函数的伸缩 和平移。 第三类是以c a n d e s t l 7 】所提出的脊波框架为先河的多尺度几何分析工具。 实现函数的稀疏或最优表示一直是函数逼近、科学计算、信号图像处理、 数据压缩、模式识别、计算机视觉等领域中一个非常核心的问题。例如，从函 数逼近的角度来讲，对于一维函数而言，f o u r i e r 基和小波基都是表示s o b o l e v 函数类的最优基。对于具有点奇异性的s o b o l e v 函数类，小波基仍然能达到相同 的非线性逼近效果，f o u r i e r 基则不然。小波分析比f o u r i e r 分析能更稀疏地表示 一维有界变差函数【15 1 。但对于高维奇异函数类而言，张量形式的高维小波将不 再是最优的。对于一个具有c 2 曲线奇异的二维c 2 光滑函数，小波的项非线性 逼近阶仅仅只能达至j j o ( n 一1 ) ，其理论最优逼近阶为o ( n _ 2 ) 【1 8 】。把上述思想平 第一章绪论 3 移到图像处理的框架上，也就是说小波基和f o u r i e r 基在表示图像的边缘时，即 图像的奇异部分，效果并不是很好，这主要是因为二维可分离小波基在捕捉方 向信息方面的不足，限制了对图像几何正则性信息的利用。 多尺度几何分析旨在检测、表示、处理某些高维空间中的数据，而这些 数据的某些重要特征又集中于低维子空间中。比如，一维信号的奇异性主 要表现为点奇异性，二维图像的主要特征集中于边缘，三维图像的重要特征 集中于丝状物和管状物。这方面的工作包括脊波框架( r i d g e l e tf r a m e ) 1 7 1 ，正交 脊波( o r t h o n o r m a lr i d g e l e t ) 1 9 1 ，单尺度脊波( m o n o s c a l er i d g e l e t ) t 2 0 1 ，第一代曲线 波( c u r v e l e t s9 9 ) t 2 ，楔形波( w e d g e l e t ) t 2 2 1 ，子束波( b e a m l e t ) 2 3 1 ，第二代曲线波( t h e s e c o n d g e n e r a t i o nc u r v e l e t s ) t 2 4 1 ，条带波( b a n d e l e t ) t 2 5 1 ，轮廓波( c o n t o u r l e t ) ( 2 6 1 ，剪切 波( s h e a r l e t ) t 2 7 1 ，波原子( w a v ea t o m s ) 2 8 】等。有关这方面的详细阐述见文献【2 9 】。 第四类是其它一些有关小波的特殊应用或与小波有关的1 e t 。如用于研究广 义加性非线性非参数模型的a m l e t ，r a m l e t c - g l g a m l e t t 3 0 1 ，研究热方程小波基本 解的h e a t l e t l 3 1 】等。 从上面不太精确的x 1 e t 分类可以看出，小波的发展非常迅速，其理论构造 已经比较成熟，当前研究的热点集中在多尺度几何分析工具在实际图像处理问 题中的应用。本论文涉及到了多种特殊的x 1 e t ，例如高维连续小波、脊波、曲 线波、波原子、l o g g a b o r d , 波等，因此得名“联合x 1 e t 和变分的图像处理模型 及其算法研究”。下面将重点阐述本文所涉及到的三种具体的x 1 e t ，即脊波、曲 线波、波原子，以及它们的研究现状。 1 2 1 脊波 1 2 脊波和曲线波 脊波的理论框架工作是由c a n d e s 和d o n o h o 完成的。人们通常意义上的脊 波( r i d g e l e t ) 包括：脊波框架【1 7 1 和正交脊波【1 9 l 。从神经网络的角度来看，理论 上可以保证存在这样的脊( r i d g e ) j 函数，它们的有限项叠加对于某些特定的多 元函数类能达到最优的非线性逼近阶【3 2 1 。脊波从理论上给出了对于特定含直 线奇异性的光滑函数能达到最优的非线性逼近阶，而对于这样的函数，通常 的f o u r i e r 分析和小波分析是达不到的。因此，也可以说，脊波开创了多尺度几 何分析研究的新纪元。 下面首先给出二维连续脊波框架和正交脊波的定义并分析二者的差异，然 4联合x 1 e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 后阐述后续的一些进展和当前的研究现状。 对于o 0 ，b r ，p 【0 ，2 7 r ) ，z = ( x l ，x 2 ) r 2 脊波框架定义为 吡，即( z ) = a - 1 2 矽( ( z l c d s 目+ x 2 s i n o 一6 ) n ) ， ( 1 - 1 ) 并满足z l c o s o + x 2 s i n o = c o n s t ，这里砂：r _ r 具有一定的衰减性并且在频域 中满足下面的容许条件 闷1 2 蚓2 0 ) 。文献 8 8 】利用波原子给出了平坦区域波散 射的有效表示。 波原子在图像处理中也得到了一些应用。例如，m a t 6 2 联合曲线波和各向异 性对流扩散方程给出了较好的纹理图像去噪；m a 8 9 】结合全变差范数给出了纹理 表面的特征刻画；f e d e r i c o 和k a u f m a n n l 9 0 1 用于数字散斑干涉的图像去噪。 本论文的第四章将详细介绍波原子的构造和快速离散算法，然后给出其在 图像恢复中的应用。 1 4 变分法 变分法所研究的是泛函的极大值和极小值问题。图像处理的很多问题，例 如去噪、去模糊、修补或插值、分割、分解等问题都可以根据图像的先验模型 与数据模型，建立能量泛函，利用变分原理得到泛函的极值，也就是期望得到 的理想图像。下面首先介绍变分的一些基本概念和基本引理【9 l 】，然后分别从变 分法与偏微分方程图像处理和x 1 e t 图像处理的角度阐述当前的研究现状，进一 步引出了本文相关的一些工作。 1 4 1 变分基本定义和结论 定义1 4 1 设j 陟( z ) 是定义在函数集合】，= y 扛) 上的泛函，称可 ) 为j 阿 ) 】的 宗量，y 为，阿( z ) 】的定义域( 或称容许曲线类( 簇) ) 。 定义1 4 2 泛函j b ) 】的宗l v ( x ) - 与另一宗量v o ( z ) 之差称为宗量可( z ) 的变 分，记为而。 定义1 4 3 如果西7 ( o ) = 击，b + a j 纠l 归。存在，则称西7 ( o ) 为泛函，阿( z ) 】的变 1 0 联合x 一1 e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 分。 定理1 4 1 若具有变分的泛函，阿( z ) 在y = 珈( z ) 达到极值，则6 j l 珈( z ) = 0 。 由定理1 4 1 可知，探求泛函极值的变分过程可以归结为求解微分方程解的 问题，这也成为解变分问题的一种途径。通常图像至少是二维的，故下面给出 一个含两个自变量变分问题的欧拉拉格朗日方程的求解过程。 变分预备定理1 4 2 设o d 为平面区域d 的边界，函数f ( x ，y ) c ( d ) ，如 果对任意函数叼( z ，y ) c ( d ) ，且刀( z ，秒) i 阳= 0 ，都有j r 厶，( z ，可) 7 7 ( z ，y ) d x d y = o ，那么在区域d 上，( z ，y ) 三0 。 探求泛函：v z ( x ，可) 】= - 厶f ( x ，y ，z ，爱，赛) 出咖的极值。函数名( z ，y ) 在区 域d 的边界o d 上的值己给定，并且所有容许曲面都要经过它，即属于不动边界 的变分问题。 假定函数f - - 阶可微，使极值实现的曲面z = z ( x ，可) 为二阶可微。又 设乏= 乏( z ，可) 是与极值曲面接近的容许曲面，把z = z ( x ，y ) 和乏= 乏( z ，y ) 归并于 含一个小参数q 的曲面族z ( x ，y ，q ) = z ( x ，y ) + 5 z ，从而利用变分的定义1 4 3 和定 理1 4 1 有 5 v = 未y 【z ( z ，y ，q ) i a ：o = 蕊0 上州删“刚，笔掣，毪产脚洲删- o ( 1 - l o ) 令p = p ( z ，秒) = 掣，q = q ( x ，) = 掣，则有 p = p ( z ，可，q ) = o z ( 石z , r y , a ) = p ( z ，可) + q 勋， 口= 口( z ，可，q ) = 皇兰! 掣= 口( z ，秒) + q 6 口 借助变分运算，式( 1 1 0 ) 变为 6 y = 未，厶f i x ，y ，z ( x ，y ，q ) ，p ( x ，y ，q ) ，q ( x ，y ，q ) d z d y f a ：o ( 1 1 1 ) ( 1 - 1 2 ) = 上 e 如+ b 殛+ b 曲 d x d y = 。 ( 1 1 3 ) 第一章绪论 将式( 1 1 3 ) 的后两项利用导数乘法公式，以及格林公式可化简为 6 y = 上限一未昂一南日】6 z 如匆+ z 。b 6 z 匆一日6 z 酬= 。( ，一，4 ) 由于所有容许曲面都通过同一空间围线( 包括z ( z ，可) ) ，因而在围线a d 上的变 ( f f s z = 0 ，r pf o d 【昂6 z 匆一f q s z d x 】= 0 。代入式( 1 1 4 ) 有 上限一嘉昂一南列6 z 如咖= 。 ( ，彤， 由于变分6 z 的任意性，利用变分基本定理1 4 2 ，可得欧拉一拉格朗日方程 疋一未b 一南日- 0 ( 1 - 1 6 ) 因此z ( z ，可) 就是方程( 1 1 6 ) l 均解。 1 4 1 2 变分法与偏微分方程图像处理 自2 0 世纪9 0 年代以来，使用偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，p d e ) 方 法进行图像处理获得了较大的进展，己成为图像处理领域一个十分具有吸引力 的研究方向。 通过第1 4 1 节的分析可知，获得p d e 的一个重要途径就是通过变分法，求 解能量泛函的欧拉拉格朗日方程。由于图像处理的问题大多数都是反问题，一 般是病态的。因此，恰当合理的先验信息和正则化约束是必不可少的，是图像 处理好坏的关键所在。 与其它方法相比，无论在理论上还是在计算上，变分p d e 方法不但继承 了p d e 的优势，还具有如下显著的特点【9 2 1 ：( 1 ) 它可以直接处理视觉上重要的几 何特征，如梯度、切线、曲率和水平集等；( 2 ) 它可以有效地模拟具有视觉意义 的动态过程，如各向同性扩散、各向异性扩散以及信息的传输机制；( 3 ) 基于能 量函数的变分方法，它既可以采取成熟的数值计算方法，也可以采取智能优化 算法如模拟退火、遗传算法等。 下面以经典的图像去噪问题为例，给出相应的变分模型，从而进一步阐述 变分正则化的图像恢复模型和偏微分方程图像处理方法之间的联系和研究现 状。 1 2 联合x l e t 和变分的图像恢复模型及其算法研究 令u ( x ，可) ，( z ，y ) g tcr 2 为原始的干净图像，f ( x ，可) 为被零均值、方差 为仃2 的高斯白噪声污染的图像，即 f ( x ，y ) = u ( z ，y ) + n ( x ，秒) ( 1 - 1 7 ) 我们从两个方面来分析这个问题。首先如果在l 2 度量约束下来求解上述问题， 其变分模型嚼n 厶i 乱( 。，可) 一f ( x ，y ) 1 2 如句是病态的。假定约束干净图像让( z ，妙) 属 于特定的i e 贝o 化函数空间，比如有界变差( b o u n d e dv a r i a t i o n ，b v ) 函数空间，那 么上述问题可以表述为经典i 拘r o f 模型或全变差( t o t a lv a r i a t i o n ，t v ) 模型f 9 3 】 哑n 上m z ，夕) 一，( z ，驯2 如由+ 2 q 川b y ， ( 1 1 8 ) 这里第一项为忠诚项或保真项，l u l b v = ，厶i v u ( z ，可) l 如匆表示b v 空间的半范， o l o 为正则化参数，其中b y ( q ) = u ：乱l 1 ( q ) 并且川b y 0 ) ，就得到了著名的p e r o n a m a l i l ( 模型【9 4 1 警= 执( 州v | 2 ) v u ) ( 1 2 5 ) 虽然这些方法已经被证明能够在去除噪声的同时保持图像的边缘，但是去噪后 的图像经常都是分片常数的，因此不能很好地恢复原始图像的细节，一些区域 常常出现块效应。 针对上述问题，y o u 和k a v e h ( 9 5 提出了一族四阶偏微分方程，它们是图像 灰度值函数的二阶导数模值增函数的欧拉拉格朗日方程。如果图像支撑趋于无 穷大，这族四阶偏微分方程将图像进化为一个平面图像，但四阶偏微分方程得 到的去噪图像通常会出现斑效应。b a i 和f e n g 【9 6 】进一步提出了一族新的分数阶扩 唏=)黎划 一训k 1 4联合x 1 e 铘变分的图像恢复模型及其算法研究 散模型，得到的拟三阶偏微分方程避免了块效应并且不会产生斑现象。 p e r o n a m a l i k 模型另一个本质的发展是w e i c k e r t 9 7 1 的张量扩散模型，即扩散 不再受图像的梯度模值控制，而是利用张量矩阵来控制以获取更丰富的局部结