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高阶差分方程及时标上二阶动力方程 的振动性理论研究 摘要 随着科学技术的进步与发展，在物理学种群动力学、自动控制、生物 学、医学和经济学等许多自然科学和边缘学科领域中提出了大量的由微分 方程和差分方程描述的具体数学模型微分方程和差分方程，以及近年来兴 起的时标上的动力方程是用来描述自然现象变化规律的有力工具由于求 其通解非常困难，故从理论上探讨解的性态一直是近年来研究的热点 本文根据内容分为以下三章： 第一章绪论，介绍差分方程及时标上动力方程的研究背景及国内、外 的发展状况 第二章讨论了具有非线性中立型项的奇数阶差分方程的振动性及非振 动解的存在性，给出了一些新的判定准则，而且列举了一些相关例题来说 明这些结论 第三章研究了时标上具有“求积小”系数的一类二阶自共轭动力方程 的振动性，利用r i c c a t i 变换，给出了方程解的振动性判定准则 关键词：振动性，非线性中立型项，离散的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理， 时标，4 求积小”系数 t h e s t u d yo fo s c i l l a t o r yt h e o r yo fh i g h e r - o r d e rd i f f e r e n c e e q u a t i o n sa n ds e c o n d - o r d e rd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m a n ym a t h e m a t i c a l m o d e l sw h i c ha r ed e s c r i b e db yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n sa l e a p p l i e di nb o t hn m u r ms c i e n c ea n de d g i n gf i e l d ss u c ha sp h y s i c s ，p o p u l a t i o nd y n a m i c s ，t h e o r yo fc o n t r o l ，b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e t c d y n a m i ce q u a t i o n s o ns c a l e sw h i c hh a v er e c e i v e dc l o s e da t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s a sw e l la sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，a l ep o w e r f u lt o o l si nd e s c r i b i n gt h ep h e n o m e n a a n dl a w so ft h en a t u r e s i n c ei ti st o od i f f i c u l tt o # v et h eg e n e r a ls o l u t i o n so ft h e e q u a t i o n s ，t h e r eh a sb e e na ni n c r e a s i n gi n t e r e s ti nt h ei n v e s t m e n to ft h ep r o p e r t i e s o ft h es o l u t i o n s a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t s ，t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，w ei n t r o d u c eas u r v e yt ot h eb a c k g r o u n da n dt h ec u r r e n td e v e l o p m e n to ft h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dd y n a m i ce q u a t i o n so nt i m es c a l e s i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o na n dt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n so fo d d o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t hn o n l i n e a rn e u t r a lt e r m s s o m e n e wc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e d f u r t h e r m o r e ，s o m ee x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h e a d v a n c eo ft h er e s u l t s i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t o r yc r i t e r i af o rs e c o n d - o r d e rs e l f - a d j o i n td y n a m i ce q u a t i o n sw i t h “i n t e g r a ls m a l l ”c o e f f i c i e n t ，b yu s i n gr i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ，s o m ec r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e d k e yw o r d s ：o s c i l l a t i o n ，n o n l i n e a rn e u t r a lt e r m s ，d i s c r e t ek r a s n o s e l s k i i sf i x e d p o i n tt h e o r e m ，t i m es c a l e ，“i n t e g r a ls m a l l ”c o e f f i c i e n t 1 i 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文高阶差分方程及时标上二阶动力方程的 振动性理论研究，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的 原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：彻瑗军 硎7 年f 月加日 学位论文原创性确认书 学生杨爱军所提交的学位论文高阶差分方程及时标上二阶动力 方程的振动性理论研究，是在本人的指导下，由其独立进行研究工 作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，该论文不包 含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果。 指导教师( 签名) ：懒 卯了年，月勿日 。 第一章绪论 随着科学技术的进步与发展，在经济学、物理学、化学、天文学、生物学 和医学、统计学、概率，组合分析等自然科学与社会科学领域中，许多问题 必须通过建立连续的或离散的动力学模型来实现因此，用微分方程、差分 方程来描述实际问题的模型变得越来越重要，诸多应用实例已在【2 1 ，2 2 ，2 3 等国内外学者的专著中进行了详细的阐述 时标上的动力方程，作为对纯连续的微分方程和纯离散的差分方程的 结合与推广，以及其本身在解决特定问题中的重要性，自s t e f a nh i l g e r 于 1 9 8 8 年在其博士毕业论文中提出之后，得到了迅猛的发展 1 1 差分方程的研究背景及发展状况 随着数学在人口理论、金融证券等各经济领域的广泛应用和计算机技 术的迅速发展，在很多实际问题中出现了大量的差分方程模型尽管差分方 程有些性质可以通过微分方程的性质离散化得到，但差分方程本身还具有 许多独特的性质例如，一个一阶常微分方程的离散化形式的差分方程可以 产生混沌，但对微分方程而言，只有高阶的方程才有这种可能再比如，一 阶微分方程( t ) + p ( t ) z ( t ) = o ，它的通解为z ( t ) = x ( t o ) e s p ( 一j ：p ( 8 ) d s ) ，显 然是非振动的，而其对应的一阶差分方程z ( n + 1 ) = ( 1 一p ( n ) ) 。( n ) 的解为 卫( n ) = z ( 咖) 兀= 。( 1 一p ( j ) ) ，若1 一p ( j ) 0 而“0 ，那么存在整数k ，使得0 k m 且( m + k ) 为奇数，当 视l n o 充分大时，有 鲰 0 ，n 扎1 ，j = 0 ，1 ，k ( 1 ) “卅+ 1 o o ，竹n l ，j = k + 1 ，m ( 2 5 ) 引理2 2 。2 设锹为定义在n c n o ) = n o ，n o + l ， 上的实值函数。若巍 0 而9 n 0 ，且 是有界的，那么存在充分大的整数7 5 1 n o ，使得 ( 一1 ) m + j + 1 坍。 0 ，n 作l ，j = 1 ，2 ，m ( 2 6 ) 5 河北师范大学硕士学位论文 并且 ! i ma j y n = 0 ，j = 1 ，2 ，m 一1 ( 2 7 ) ，0 0 证明假设( 2 6 ) 不成立。即存在j n ，使得什1 蜘 0 ，易得 l i m 。y n = o 。，i = 0 ，1 ，j 一1j 如果( 2 7 ) 不成立，则存在j n ，使 得l i m j y 。：f 0 ，同样可得l i m y n = o o ，i = 0 ，1 ，j 一1 这都与 ) 有界矛盾 - 引理2 2 3 n 假设p ( 0 ，1 ，q ( 0 ，o 。) ，r 是正整毵口是非负整数，m 为奇 数，且方程 ”( z 。一p 岱。一，) + q x 。一，= 0( 2 8 ) 的每个解都是振动的那么存在e 0 0 使得对任意( 0 ，e 0 ，方程 ”( 一扫一e ) 鼽一，) + ( q 一) 蜘一，= 0( 2 9 ) 的每个解都是振动的 证明若否即假设对任意o 0 ，存在s ( 0 ，o 】，使得( 2 9 ) 有一个最终正 解那么( 2 9 ) 的特征方程 ，( a ) = ( a 1 ) ”【1 一( p 一) a 一7 j + 国一) 天一9 = 0 ( 2 1 0 ) 有一个实根k ( 0 ，1 】而另一方面由假设，( 2 8 ) 的特征方程 f ( a ) = ( a 一1 ) ”( 1 一p 天一7 ) + q a 一4 = 0( 2 1 1 ) 在( o ，1 】上无实棍由于 l i r a 。f ( a ) = + o o ，f ( 1 ) 2q o ，那么f ( a ) 在( o ，l 】 上有正的下冕即存在1 0 使碍对任意a ( 0 ，1 】，f q ) 21 o 令 g ( a ) = ( a 一1 ) m ( 1 一；a 一7 ) + ；a 一， a ( o ，1 ) 6 河北师范大学硕士学位论文 由于 l i + m 。g ( a ) = 十o 。，那么存在a l ( o ，1 ) ，使得对任意a ( o ，a 1 】，g ( a ) o 选取e 。 o 使得p 一。：，q 一印；，并且 s 。、；s u p ，1 1 【( 1 一a ) ”a 一7 + a 一4 】s ； ( l ，】 这棒对( 0 ，o 】，若a ( 0 ，ax ，有 ，( a ) = ( a 一1 ) ”【1 一( p 一) a 一7 】+ 国一) a 一“ ( a - 1 ) ”( 1 一p 互a 一7 ) + ；a 一口= g ( a ) o 若a ( a l ，l 】，有 ，( a ) = ( a 一1 ) “【1 一( p e ) a 一7 】+ ( q e ) a 一9 f ( m - - 6 0 s u p a ，【( 1 一矿r + 】z 一；= 参o 6 ( a, ，1 l o。 即存在o 0 使得对任意( 0 ，e o 】，( 2 1 0 ) 在( 0 ，1 】上无实根出现矛盾一 引理2 2 4 假设m 为奇耗，c ( n ( n o ) r ，r ) 是非减函数，对z r x ( n ，$ ) 0 ，且盯是一个非负整耗那么方程 ”+ ( n ，z 。一，) = 0 ( 2 1 2 ) 的每个解都是振动的充要条件是 没有最终正解，且 ”蜘+ ( - ，z 。一，) 0 ( 2 1 3 ) ”+ ( n ，$ 。一，) 0 ( 2 1 4 ) 没有最终负解 证明充分性是显然的为了证明必要性，不失一般性我们假设( 2 1 3 ) 有一 个最终正解y n 那么有”y n 一( n ，y n 一，) 0 ， 类似于御中的证睨我们可以得到不等式( 2 1 7 ) 对应的方程 础一f 赢b 可薹( n - s + k - 2 严。) 础一矿可两可可之 r 8 ( 2 1 7 ) 河北师范大学硕士学位论文 ( “s + m k 一1 ) ( m - k - 1 ) f ( “，址。) 有一个最终正解z 。显然是( 2 1 2 ) 的一个最终正解产生矛盾 - 2 3 1 振动性判定准则 2 3 主要结果 定理2 3 1 假设 m 9 为非减函数，对童rz g ( z ) 0 ，且存在n ( 0 ，1 】使得 l i 。m 。i g i 。( x l 。) 趔= ；耋嚣嘉：三呈” f i i ) f ( n ，z ) 关于z 是非减的，对( r l , ，z ) n ( n o ) 兄z y ( n ，z ) 0 ，对任意非 零常数卢，有 s ( m - 1 ) m ，卢) = o 。s i g n f l ； s m n o r f 以存在正整数m ，使得方程 m y n + ，( 礼，y n 一，+ g ( 可。一，一，+ 夕( 蜘一，一2 r + + f ( 暑，。一，一m ，) ) ) ) = 0 ( 2 1 8 ) 的每个解都是振动的 那么方程( 2 1 ) 的每个解都是振动的 证明我们只证明条件f f j 中o ( 0 ，1 ) 这种情形乜= 1 的情形可以类似证 明采用反证法，设z 。是方程( 2 1 ) 的一个最终正鲰设 y n = z 。一9 ( 卫。一，) ( 2 1 9 ) 那么 “弘。= - - f ( n ，茁。一，) 0 ( 2 2 0 ) 9 河北师范大学硕士学位论文 最终成立因此蜘最终定号现在我们考虑以下两种情形? 铷 0 最终成立 r 印假设y n 0 同时 成立，那么y n 0 最终成觅矛盾若存在i 2 ，3 ，m 一1 ) ，使得 y n 0 和件1 y n 0 同时成立，那么蜘 0 最终成立若对任意 i 1 ，2 ，m 一1 ) ，有。i + 1 y n o ， 使得对礼n l 有房由于f ( n ，z ) 关于z 非臧我们有 m y n = 一，( 扎，z 。一，) 一，( 几，p ) ， n f 1 1 + 仃 ( 2 2 4 ) 1 0 河北师范大学硕士学位论文 对( 2 2 4 ) 两边同乘n ( m - - 1 ) ，并且对它从1 , i + 口到n 一1 求和，得到 f ( n ) 一f ( n t4 - 盯) 由( 2 ，2 3 ) 可以得到f ( 祀) q 因此 电条 警( 娃可祷 n l - f ( n l + 盯) 一s ( - 1 ) f ( s ，卢) 0 = m 十口 一f ( n l4 - 仃) _ 一0 0 ， n _ 0 0 出现矛盾 似j 假设 0 最终成立那么从( 2 1 9 ) 可得 茁。= 可。+ g ( z 。一，) = y n + g ( y n 一，+ g ( x 。一2 ，) ) 鲰+ 9 ( 翰一，4 - 夕( 鲰一2 r + 4 - 9 ( 弥一m ，) ) ) 将此替换到方程( 2 1 ) 可以得到 “y n4 - f ( n ，9 。，4 - g ( 一，一，4 - 驴( - - a 一2 ，4 - 4 - g ( 一，一m ，) ) ) ) 0 ， 由引理2 2 4 ，这与条件川f j 矛盾 采用同样的证明方法我们可以证明方程( 2 1 ) 没有最终负觫 一 例2 3 1 考虑方程 m ( z 。一；蠢一3 ) 2mle(一1)”1afl一2eznz：04-3 0 ( 2 2 5 )”( z n 一妄一3 )2 ”一1 e ( 一1 ) ”1 a f l 一2 e 。”一2 =( 2 ) 这里m 1 为奇甄r = 3 盯= 2 ，g ( z ) = ；z ，f ( n , x ) = 3 - 2 m - l e ( 一l r l 口e g 选取。= ；。可以验证这满足定理2 3 1 的所有条件故方程( 2 2 5 ) 的所有解 1 1 卢， 一m 州 + ：甍 一qm om n d 一 一枷 l | p 垦这 河北师范大学硕士学位论文 都是振动的特别地。= ( 一1 ) “是方程( 2 2 5 ) 的一个振动解 定理2 3 2 假设 t ) t n = i t f ，d r n = i t t r ； j 0 u 0 l i m 尝刊 o ，并且p n - - ) o o i - t - , o o 1 1 - - + 0 0q n - - r k 。 ( i i i ) 对z o ，卵扛) 0 ，当h 充分大时，i g ( z ) l h 并且躲掣= 1 i ( i v j 对z o ，曲。) 0 ，当h 充分大时，i h ( z ) i o 并g 。l i 。m 。笔竽= 1 7 f 以线性差分方程 “( 一p l y , , 一，) + q y n 一，= 0 ( 2 2 6 ) 的每个解都是振动的 那么方程( 2 2 ) 的每个解都是振动的 证明假设结论不成立，设z 。是方程( 2 2 ) 的一个最终正解设 f 。= 卫。一p g ( x 。一，) ( 2 2 7 ) 那么”= 一 ( z n 一。) 0 最终成立因此县恐”y n = l o ，0 p + e o q 并且熙尝= 1 ，可以验证这满 足定理2 3 2 的所有条件因此方程( 2 3 3 ) 的所有解都是振动的 2 3 2 非振动性准则 定理2 3 3 假设 f f j g 为非减函数，对z r x g ( z ) 0 ，存在d o ，使得9 ( d ) d ； f 纵i ( n ，z ) 关于z 是非减的，对( n ，z ) n ( n o ) r 有x j ( n ，茹) 0 ，并且 0 0 n ( m - 1 ) l i ( n ，c ) l 0 使得卢+ g ( d ) 0 ，并且存在卢( 0 ，1 ) ，使 得i ，( 佗，正) l l l x l 4 关于m 非增 那么方程( 2 1 ) 的所有解都振动的充要条件是 o o i f ( s ，c ) l = 。o ， c 0 ( 2 3 7 ) 证明必要性可由定理2 3 3 得到，充分性可由定理2 , 3 1 得到 一 例2 3 4 考虑方程 ( 一互1 一3 一霹1 3 ) + ( 3 e + 2 ) 1 2 = o ( 2 3 8 ) 这里m = 1 ，7 _ = 3 ，盯= 2 ，9 ( z ) = ；z + 石，( 仃，z ) = ( 3 e ；+ 2 ) z 选取p = 互1 ， 可以验证这满足推论2 3 4 的所有条件故方程( 2 3 8 ) 的所有解都是振动的 1 5 河北师范大学硕士学位论文 特别地= ( - 1 ) ”e 就是该方程的一个振动鼹 定理2 3 5 假设 f f j - 对z 0 ，有x g ( z ) 0 ，# 且- x tz ，y ( 0 ，1 】，有l g ( x ) 一9 ( ) l i z 一引； f i 吼对z o 有x h ( x ) 0 。h 是非减函数； ( i i i ) 0 n 一m ，这里m 为正的常数i f 叫存在a ，c ( 0 ，1 ) ，使得a 一( “一h sc 1 ，并且 p , z a - ( n - r - ) + 南薹( s - n + m - 1 ) ( 0 1 - 1 ) q 6 h 怔独 那么方程( 2 2 ) 有一个最终正解，且当n _ o o 时，z 。以指数形式趋于零 证明记n = r a i n 啦f ，啦f ，l = n + m n ，n o n 7 n 0 设b c 为定义在n n 上的有界序列构成的b a n a c h 空间，定义其上范数为 忙f | = s u p k l 设 q = t z = z 。) b c ：0s 卫。s1 ，n 易知q 为b c 上的非空有界闭凸子集 现在我们定义q 上的算子r z 和f 2 为 即n = 篙2 斟 仃1 嚣l r 2 ： 商量( s 叫+ m 。1 ) ( m - 1 ) q s h 白d “) ，吃l 【薪r 2 掣m ， n s 婶1 ( 2 3 9 ) 河北师范大学硕士学位论文 根据已知条件 对任意z ，y q ，有0 r 1 + f 2 f l , ：1 ，故f 1 z + f 2 y q ， 而且 ( f i x 。一r l 玑。) a ”i = l p 。i l g ( x 。a “) 一g ( y ra “) p n l x h a “一眠a “i = 鼽。a “一“a “i z h 一h i 秘1 支“一”a “l 岛h 一 c i z h a “一s k a “l 所以r ，z r 2 y lj c 峪一j l ，那么r l 在q 上是一个压缩映射由条件r 圳可 以得到 石南( s - - n - i - m 一1 ) ( m - o q , h ( y a a “) o 存在n 2 1 ，对任意q ， 有 r 2 斩l i a ”f 2 y n 2 a ”l e ，n l ，n 2 n 2 则r 2 q 是一致c a u c h y 的因此由离散的k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，存在y q ，使得f l y + f 2 y = g 易知，对礼飓，有0 t ) ；后跃算子p ：t - t 为，( t ) = s u p s t ：s t ，则t 是右疏的j 若p ( t ) 0 ，存在t 的邻域u ( 即u = ( t d ，t 十6 ) n t ，对 5 0 ) ，使得 i 【，( 盯( ) ) 一，( s ) 】一，o ) p ( f ) 一s se i 盯( t ) 一s i ，s u 成立这样，若f a ( t ) 对所有t t 都存在，我们称，在t 上是d e l t a 可微的 f 简称可微土 注：若t = z ，贝l lz 0 ) = a z ( t ) = x ( t - 4 - 1 ) 一x ( t ) ， 若t r ，则茁( t ) = 一( t ) 因此我们的结论包含了徽分方程和差分方程这两种特饥 引理3 1 3 假设f ，g ：t - r ，设t t ，那么有下列结论? 卧告 柱t 可叛琊么| 往t 连续； r 硼若，在t 可微，那么，p ( t ) ) = f ( t ) + g ( t ) f ( t ) ? ( i i i ) 假设，9 在t t k 可微，那么其乘积f g ：t - r 也在t 可微，且有 ( ，9 ) ( f ) = f a ( t ) 口( t ) + ，( 盯( t ) ) 9 ( t ) = ，( t ) g ( f ) + ，( t ) 9 ( 盯( t ) ) ； ， f m 假设，ga t t k 可钝若g ( t ) 9 p ( t ) ) 0 ，那么商古在t 可微，且有 ( 挣) = fa(t)g(t)-f(t)gz。(t) g ( t ) g ( c r ( t ) ) f v j 若f z 。( t ) 0 ，则f 是非减的 定义3 1 4 函数f ：t _ r 称为是右稠连续的，指，在t 上的每个右稠点都 是连续的，并且在每个左稠点f 的左极限都存在r 有限j 所有右稠连续函数 构成的集合记作g d 引理3 1 5 假设f ：t r 那么 河北师范大学硕士学位论文 m 告 连续烈f c 。d ： f i f j 前跃算子仃是右稠连续的i t m ) 若j c rd 帮么f o c r a ； f f v j ，假设，是连续的，若，：t 寸r 右稠连续，那么，o g 也是右稠连续的 函数f ：t 叶r 叫做函数，：t 一r 的原函数。是指对所有t 俨， f ( 磅= l ( t ) 成立 我们定义有限积分为l f ( t ) a t = f ( b ) 一f ( o ) ，v a ，b t ， 定义无限积分为j ，( t ) t2 觇f b f ( t ) a t 引理3 1 6 ( 毒负链法则) 假设：t - - - 4 - r 为严格单增函数，且t ：= i ，( t ) 为时标 设。：t 叶皿著对t t k , j a ( ) 和u ( ) 都存在，那么有 ( u 。) a = ( u o ) 户 定义集合d 为所有函数z ：卫_ r 的集合，并且满足一：t k - 4 r 是连续的， ( 产) ：t 2 2 _ r 是右稠连续的函数z d 称为是方程( 3 1 ) 的解，是指对 v t t k 2 ，z 满足方程( 3 1 ) 3 2 相关引理 为了得到我们的主要结果，需要引入下面的引理 引理3 2 , 1 假设条件( c 1 ) 和她) 成立若x ( t ) 为方程( 3 1 】的一个非振动解， 那么对充分大的t e 有z 幻( t ) ) z ( t ) 0 证明不妨设z ( ) 是方程( 3 1 ) 的一个最终正解，即存在t o t ，t o 0 ，使得 当t t o 时，x ( t ) 0 ，并且z ( 9 ( t ) ) 0 下面要证对t t o ，有庐( t ) 0 采用反证法假设存在t t2t o ，使得一( t ) 0 由( 3 1 ) 我们得到 ( a ( t ) x ( ) ) = 一p ( t ) x 9 ( g ( t ) ) 0 河北师范大学硕士学位论文 故8 庐是非增的，从而当t2t 1 时，口( ) z ( t ) a ( t 1 ) z ( i ) 由于p ( t ) 不 恒为零，易知存在t 2 t l ，使得一p ( t 2 ) ( 9 ( 2 ) ) 0 敌对所有t 盯( 如) ，有 a ( t ) x ( t ) a ( a ( t 2 ) ) z ( 盯( f 2 ) ) 0 最终成立 对于z ( t ) 最终为负的情形可以类似证明 _ 引理3 2 2 假设条件( c 1 ) 和( c 2 ) 成立，若z ( t ) 为方程( 3 1 ) 的一个非振动解 那么都) = 笔苗筹是如下形式的励c 缸型不等式 。( 曲+ p ( ) + 三生学。 ( 3 2 ) 的一个最终正解 证明由引理3 2 1 ，我们得到z ( t ) 0 ，结合引理3 1 6 可得 即得 户( t ) = ( a ( t ) x a ( t ) ) a x 瓦( g ( t 丽) ) - 瓦a ( 丽t ) x 丽a ( t ) x a ( g ( t 一) ) g a ( t ) 一p 0 ) z 4 ( 9 ( t ) ) z ( 9 ( ) )o ( f ) z ( t ) z ( 9 ( ) ) 9 ( 亡) 砷一 z ( 9 ( t ) ) 石( 夕( 仃 ) ) )z ( g ( t ) ) z ( g ( 盯0 ) ) ) = - p ( t 1 一 z ( t ) z ( 口( t ) ) 9 ( t ) x a ( 9 ( ) ) n ( g ( t ) ) 丽r 丽丽玎丽 a 邢) + 警麟= 。 河北9 f 范大学硕士学位论文 由十 ( a ( t ) x ( t ) ) = 一p ( t ) x 。0 ( t ) ) ，0 墨g ( t ) 冬t 若z ( t ) 为最终正解，则有( a ( t ) z ( t ) ) 0 即a ( t ) x ( t ) 非增，又g ( t ) t 口( f ) ，故 糍孔z ( 盯0 ) ) n ( ( t ) ) 一 z ( f ) 为最终负解的情形可以类似讨论从而 钗卅邢) + 警外 _ 引理3 2 3 假设条件( c 1 ) 和( c 2 ) 成立j 若x ( t ) 为方程( 3 1 ) 的一个非振动解， 那么z ( t ) = 罨崭满足下列不等式 z ( 2p ( t ) + j ：0 。型立铲y s ( 3 3 ) 、o ， 并且l i mz ( t ) = 0 t + o 。 证明对( 3 2 ) 的两边从t 到o o 积分，得到 z ”z ( s ) a s + p ( e ) + z ”三生堕铲s 。( 3 4 ) 由( 3 2 ) 我们知道 z ( 一p ( 印一兰堑学。 故z ( t ) 是单调非增的由于z ( t ) 0 ，所以l i mz ( t ) 存在假设j i mz ( t ) = 1 ，那 t - - o q + o o 么z o 若z o ，则对充分大的t t ，有孑( t ) ；，由( 3 4 ) ，可以得到 2 一。( + p ( t ) + ，t 。型窆学s s 。( 3 5 ) ，爿o ， 面另一方面，由于9 ( z ) 严格单增，那么户( ” 0 ，又_ l i i n9 ( ) = o o ，那么存在 c o 。 常数c ，使得g a ( f ) c 0 结合( e 1 ) 可得 0 。掣黼产协譬，0 。丽1 一。 河北师范大学硕士学位论文 这与( 3 5 ) 矛盾从而得到2 = 0 ，且由( 3 5 ) 得 z ( 曲p 。) + j f t 。型皇学s - u f 、o ， 引理3 2 4 假设条件( c 1 ) 和( c , 2 ) 成立，若x ( t ) 为方程( 3 1 ) 的一个非振动解 那么z ( t ) = 卷若铲满足如下昆c c 。t i 型不等式 烈卅础) + 鬻。 知 z ( 曲p ( 力+ z 。鬻s ( 3 , 6 ) ( 3 7 ) 证明从( 3 2 ) 我们得到护( t ) 一p ( t ) 一丛丛铲。，即z ( t ) 非增， 从而z p ( t ) ) z ( ) ，因此( 3 6 ) 与( 3 7 ) 分别由( 3 2 ) 与( 3 3 ) 得出 - 3 3 主要结果 为了讨论方程( 3 1 ) 的振动性质，我们对正整数扎构造如下序列 o 。( t ) ) o o 【t j2 ，【纠 0 ， 州牡j 厂t ”掣缸，、o ，j 吲归，”垃唑a 器( y 学业s ， ( 3 s ) j tl 5 ， j 啪) = ，0 。垃唑铲衄 ； 如果( 3 8 ) 中每个表达式都有定义，那么由数学归纳法可以得到n 。+ l ( t ) d 。( ) ，并且有j i ma 。( t ) = 0 1 ， 河北师范大学硕士学位论文 定理3 31 假设条件( c 1 ) 和c 2 ) 成立，若方程( 3 1 ) 有一个非振动鳃那么所 有o 。( ) ，咒= 1 ，2 ，都有定义，并且 l i mq 。( t ) = q ( t ) 。令z ( = 笔卷瓣，由引理3 - 2 4 我们得到 z o ) p ) + ，0 0 帮s z ( 。) p ( t ) + z 三专擀s 故 z ( t ) p ( t ) = a o ( t ) ，从而z 2 ( 盯( t ) ) 0 5 p ( t ) ) 那么 - c t ，= ，。0 竺警ss ，”帮s 故 z ( t ) a o ( t ) + n t ( t ) 通过数学归纳法我们得到z ( t ) o o ( ) + o t 。( t ) 从而 z ( t ) 2 ，。鱼旦鱼玉堕l 差若是掣s = + z ( 故序列 q 。( t ) ) 是有界的由 o n ( t ) ) 非减知( 3 8 ) 有定义并且 t 1 + i r a 。n ( t ) = ( ) o o 定理3 3 3 假设条件( c 1 ) 和( c 2 ) 成立，若存在正的常数，使得 f 0 0 面p 2 ( a ( s ) ) g a ( s ) 啦学p ( t ) ( 3 1 0 ) o ( 9 ( s ) ) 一4 。 河北师范大学硕士学位论文 风互，那么万程【5 j ) 走携研钾 证明由于存在k o o ，使得 0 1 ( 归”锵啦t 1 + k o 州班 即 n 1 ( t ) c o n 。( t ) ，其中c o = t 1 + k 0 五1 于是 8 z = z 。丛唑萨s ( ，+ c o ) 2 z 。! 紫s 其中c l = ( 1 + c o ) 2 c o 一般地容易得到 + 1 ( t ) ( 1 + c n 1 ) 2 c o o l o ( t ) = o o ( t ) ， n = 1 ，2 ， 其中c ，i = ( 1 + c n 一1 ) 2 c 0 由于c 0 五1 ，故 岛) 器l 为单调增加序列，且有 l ! mc ，i = o 。，从而l i mo l 。( t ) = o o 于是由定理3 3 2 ( 0 可知方程( 3 1 ) 是振动 参考文献 1 r pa g a r w a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n di n e q u a l i t i e s ，s e c o n de d i t i o n ，m a r c e l d e k k e r , n e wy o 成( 2 0 0 0 ) 2 r pa g a r w a la n dp j yw o n g a d v a n c e dt o p i c si nd i f f e r e n c ee q u a h o n 矗k l u w e r a c a d e m i c , d o r d r e c h t , ( 1 9 9 7 ) 3 r p a g a r w a l , e t h a n d a