（理论物理专业论文）原子与kerr介质相互作用的动力学研究.pdf

! ：，0 t暂，讳 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学位论文作者签名： 圣i 笸垂 日期： 1 0 1 0 罗2 岁 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东h lw j i 面范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：硒 日 期：2 a l 旦：茎：z 乡 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：鐾墨三堕三 日期：州d 。f 矽 电话： 邮编： - 一 摘要 在量子光学的研究中，k e r r 介质物质相互作用是一个非常常用的理论和实 验系统，这个相互作用体系的动力学导致非常丰富的典型效应。同时近年k e r r 介质还被大量作为量子信息研究中的数据线( d a t ab u s ) 。当k e r r 介质与多原子 相互作用时，在满足一定条件情况下，光场自由度可以被消除，从而得到原子的 有效相互作用。在进行这样的处理时，f r 6 h l i c h 变换是非常常用的方法，它与微 扰论的结果完全相同，同时具有表达清晰等优点。推广来说，一个力光系统也能 够等价成非线性k e r r 介质与原子作用的形式。 本论文研究了原子与非线性k e r r 介质相互作用的动力学过程。将f r 6 h l i c h 变换运用到量子光学体系中来，通过消除光场自由度，得到原子的有效演化。对 单模大失谐光场来说，很明显动力学具有自发对称性破缺发生。本文还重点讨论 了双原子与k e r r 介质的相互作用，计算了原子的纠缠特性。在二阶相变理论基 础上，分析了介质稳态的移动，详细讨论了介质非零稳态的出现对纠缠的影响。 关键词：k e r r 介质；f r s h l i c h 变换；c o n c u r r e n c e 纠缠度；自发对称性破缺 a b s t r a c t h 1n l ef i e l do fq u a n t u mo p t i c s ，k e r rm e d i u m m a t e r i a li n t e r a c t i o ni so n eo ft h e u s e f u ls y s t e m si ne x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a ls t u d y m o r es p e c i f i c e f f e c t sc o u l db e b r o u g h ta b o u ti ns u c hs y s t e m m e a n w h i l ek e r rm e d i u mc o u l da c t 邪t h ed a t ab u s i n t h es t u d yo fq u a n t u mi n f o r m a t i o n f o rt h ei n t e r a c t i o ns y s t e mb e t w e e na t o m sa n d k e r r m e d i u m t h ed e g r e eo ff r e e d o mo fl i g h tf i e l dc a nb ee l i m i n a t e di nag i v e nc o n d i t i o n t h e r e f o r e 也ee f f e c t i v ei n t e r a c t i o no n l yb e t w e e na t o m sc a nb er e a c h e d f o rt h e a c h i e v e m e n to fe f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ，t h ef r s h l i c ht r a n s f o r m a t i o ni st h em o r eh e l p f u l t h er e s u l tg o t t e nb yu s i n gf r s h l i c h t r a n s f o r m a t i o ni ss i m i l a rt ot h eo n eb y p e r t u r b a t i o nt h e o r y a n dr a t h e r , t h eo r d e r so ff r 6 h l i c ht r a n s f o r m a t i o ni sm o r e c l e a r o n eo p t i c 。m e c h a n i c a ls y s t e mc a nb ee q u i v a l e n tt ot h ei n t e r a c t i o no fk e r rm e d i u m w i t ha t o m s t h i sp a p e rs t u d i e dt h ed y n a m i c a lp r o c e s so fa t o mi n t e r a c t i n gw i t ht h ek e r r m e d i u m b yu s i n gt h ef r 6 h l i c ht r a n s f o r m a t i o n , t h ee f f e c t i v ed y n a m i c si s d e r i v e db y e l i m i n a t i n gt h ed e g r e eo ff r e e d o mo ft h ec a v i t yf i e l d a st h el i g h tf i e l d i sd e t u n i n g ，i t c o u l db es e e n t h a t s p o n t a n e o u ss y m m e t r yb r e a k i n go c c u r r i n g t h e a t o m i c e n t a n 酉e m e n ti st h e na n a l y z e d a l s o ，w ed i s c u s st h ed i s p l a c e m e n t o ft h es t e a d ys t a t e o fm em e d i u mb a s e do nt h et h e o r yo fs e c o n do r d e rp h a s et r a n s i t i o n , a n ds t u d yt h e a f f e c tt ot h ee n t a n g l e m e n ti nd e t a i l k e yw o r d s ：k e r rm e d i u m ；f r s h l i c hw a n s f o r m a t i o n ；c o n c u r r e n c e ；s p o n t a n e o u s s y m m e t r yb r e a k i n g 一 1 t l 了i石 目录 第一章k e r r 介质和正则变换理论。2 1 1k e r r 介质的量子力学描述2 1 2f r 6 h l i c h 变换3 1 3f r 6 h l i c h 变换在力光系统中的应用及k e r r 介质的实现4 第二章单原子与k e r r 介质相互作用的动力学7 2 1 单原子与线性介质的相互作用一7 2 2 单原子与k e r r 介质的相互作用8 第三章双原子与k e r r 介质相互作用的动力学 3 1 双原子与线性介质的相互作用1 1 3 2 线性介质中双原子的纠缠演化1 2 3 3 双原子与k e r r 介质的相互作用1 4 第四章总结和展望 参考文献 致谢。 i i i 2 3 2 4 n 乳眦氯摘曲目 东北师范大学硕士学位论文 己l言 ji口 纠缠【”是经典物理和量子物理的本质区别之一。纠缠态也是量子信息和量子 计算的重要资源。不同体系或自由度之间的直接和间接的相互作用都会产生纠 缠。无论在实验上还是在理论上，纠缠都是研究的热点之一。理论上，w o o t t e r s 等人提出了纠缠的量度方法【2 一】；实验上，纠缠态已经在谐振腔【5 1 、离子阱【叫、 磁共振【7 】及量子点【8 j 等系统中实现，但在很多系统中，量子信息过程的实现存在 着瓶颈，因此，寻找新的系统来完成量子信息过程具有深刻的理论和现实意义。 上个世纪，超导理论【9 】是凝聚态物理理论中的前沿，人们对超导现象有着各 种各样的理论解释。直到同位素效应的发现才使大家公认，超导机制和电子与晶 格的相互作用密切相关。弗烈里希采用f r 6 h l i c h 变换【1o 】消除了晶格的自由度，得 到了两个电子之间的有效的相互作用。结果表明，在于晶格相互作用过程中，两 电子通过交换虚声子，产生净的相互吸引作用，形成c o o p e r 对，进而形成超导 电流。在费米面上自旋相反，动量相反的的电子形成c o o p e r 对的几率最大。 近些年，这种变换被应用到量子光学【1 1 _ 1 3 】中来，在原子与光场相互作用体 系中，通过f r 6 h l i c h 变换，消除了光场的自由度，得到了原子之间的有效耦合， 并以此为基础，构造出了量子逻辑门和纠缠态1 1 4 】，实现了量子隐形传态，为量 子信息过程提供了必备的资源。同时，用这种方法，学者们探究了大失谐条件下 原子的干涉现象和横向动量衍射效应【1 5 , 1 6 。2 0 0 7 年，原始的f r 6 h l i c h 变换被推广 到含时体系中，研究了依次进入谐振腔的两个原子之间的量子纠缠特性【1 7 】。同 样的方法被应用在费米系统中，研究了四个费米子之间的相互作用【1 8 】。 在量子光学的研究中，原子的压缩效应一直受到广泛的关注。近些年来，在 k e r r 介剧1 蝴】中原子压缩相关的研究得到了很大的发展。k e r r 介质实际上为原 子之间的相互作用提供了一个非线性的中间媒质，同时它自身的特点也给系统带 来了新的特性，它所导致的双光子过程【2 h 6 】在激光科学中有着特殊的应用，如 参量下转换等过程。因此，k e r r 介质的相关研究也成为量子电动力学和激光科学 的交叉点所在。 本论文的内容分为下面三个部分：第一章简要介绍k e r r 介质的相关量子理 论和f r 6 h l i c h 变换的基本方法，并将f r 6 h l i c h 变换应用在力光系统中从而实现了 k e r r 介质。第二章研究单原子与k e r r 介质之间的相互作用，重点研究了原子的 退相干效应。第三章研究双原子与k e r r 介质的相互作用，重点研究了介质的非 线性性给体系带来的量子特性，在第二、三章中，我们将要分析介质的相变特性 给系统带来的量子效应。 东北师范大学硕士学位论文 第一章k e r r 介质和正则变换理论 1 1k e r r 介质的量子力学描述 j a y n e s - - - c u m m i n g ( j - - - c ) 模型描述了二能级原子与光场之间的相互作用，该模型 不仅是量子光学中能够精确求解的少数模型之一，而且还展示了丰富的量子效应。近 些年来，人们把j 一c 模型推广到二能级原子与非线性介质的相互作用中，计算了原 子的压缩效应【2 7 1 ，以及系统的b e r r y 相位2 明随时间的演化等一系列问题。 k e r r 效应又称为二阶非线性电光效应，即外加电场引起的晶体折射率的改变正比 于电场强度的平方，在任何晶体中都会发生这种k e r r 效应。在量子力学中，发生这种 效应的介质即可以被称为k e r r 介质。当两束光射到k e r r 介质中时，由于k e r r 效应的 存在，这两束光之间将产生相互作用。对于单模光场而言，这种相互作用可用下面的 哈密顿量来描述 h = 孝( 口t 口) ( 1 1 ) 对于双模光场通过k e r r 介质的情况而言，这种相互作用则可以写成 h = 孝z 口l 远口2 ( 1 2 ) 在上面两个式子中，孝表示k e r r 效应的强度，a 是光场的产生算符。在式子( 1 2 ) 中，包含了两种模式之间的相互作用。为处理问题简单考虑，在本文的以下章节，我 们将限于讨论单模光场的情况。 这样，在我们所考虑的单模光场情况下，非线性谐振腔的哈密顿量可以写成下面 的形式： 日，= o ) a 口+ 善( 口口) ( 1 3 ) 目前很多关于k e r r 介质的相关理论工作都是从这个哈密顿量出发的。 我们考虑谐振腔处于相干态i 时的情形。这时，谐振腔的自由能可以写成哈密 顿量在该相干态上的平均值，即 e = ( 1 日i = 国i 叫2 + 纠训4 ( 1 4 ) 我们看到，这是平均粒子数i 圳的四次函数，这与金兹堡朗道二阶相变理论 的自由能具有相同的形式( 以平均粒子数为序参量) 。这种二阶相变与自发对称性破 2 缺紧 章做 发生 论的 间产 大失谐条件下，实现了多个量子逻辑门。在共振条件下，理论上计算了原子动量的横 向衍射。在电路量子电动力学中，也通过f r 6 h l i c h 变换设计了基于超导量子比特的量 子计算方案。 f r 6 h l i c h 变换的具体办法如下： 假定有一微扰系统的哈密顿量为 h = - o + 五日 ( 1 6 ) 这里微扰为日，名称为微扰参数，用它来标定微扰的阶数，最后令其为1 。 引入f r 6 h l i c h 变换的首要问题是选择一个适当的幺正变换，令变换 u = e 船( 1 7 ) 这里s 是一个反厄米算符( s t = s ) ，由所讨论的微扰决定。 这样， 巩= e - a s h e 船 ( 1 8 ) 利用g l a u b e r 公式 e = b + 【伽】+ 击m 伽】 + 击m 彳，】 + ( 1 9 ) 这里a = 2 8 ，b = h = h o + 弛于是我们得到 【彳，b 】= - 旯【s ，- o 】- 名2 【s ，h t 】 ( 1 1 0 ) 东北师范大学硕士学位论文 为了取到二阶近似，我们要求一阶项为零，即 马“h o ，s 】- o ( 1 1 1 ) 于是得到 彳， 彳，曰】 = 名2 i s ，h 小五3r s ，i s ，日，】 ( 1 1 2 ) 把以上两式代入到( 1 9 ) 式中，我们得到有效哈密顿量为 = 风+ 挈( 一) 州等匦兰坠四 下面，我们从式( 1 1 1 ) 出发，来求出变换母函数s 的具体形式。为简明起见， 我们假定未微扰的哈密顿量h o 是非简并的，并设它的本征态l 川) ，相应的本征值为 瓦，即风i 彤) = e i 聊) 。我们取( 1 1 1 ) 的矩阵元得到： ( 聊i h 。，s l l o , ( 聊l h 加) = o ( 1 1 4 ) 即 ( e e ) ( m l s l n ) + ( m l h 肋) = o ( 1 1 5 ) ( 聊i 蚋i = 黜 ( 1 1 6 ) 再利用完备性关系，我们得到矩阵s 的表达式为 s = 蕃黜协i m 从而得到二阶有效哈密顿量 = 风+ 去【珥，s 】 ：驯州刀i + 毛挚一 n j 8 由匕式可见，f r 6 h l i c h 变换与二阶微扰理论给出相同的结果。 1 3f r 6 h l i c h 变换在力光系统中的应用及k e r r 介质的实现 近些年来，力光系统的研究3 0 3 1 】吸引了一大批学者和专家，也取得了丰硕的研 究成果。在力光系统中，已经实现了电磁诱导透吲3 2 1 和边带冷却以及光压冷却，大 幅度减小了原子的质心动量，从而为原子的操纵和控制创造了有利的条件。 力光系统可以用图1 1 来描述，图中a 为一个固定的谐振腔腔壁，b 为完全反 射的镜面，它与一根轻弹簧相连。在a 和b 之间为谐振腔，其中充满了电磁场。 4 第二项代表光压的贡献。 巩= 嘉+ 三枷2 量2 ( 1 2 0 ) 代表可移动小镜子的哈密顿量。互为共轭的动量和坐标满足对易关系【主，多】= i h 。 驱动激光与系统的相互耦合为 马= 1 a t 矿蚴+ a e 蚶 其中五为耦合系数，为驱动光的频率。 ( 1 2 1 ) 假设镜子绝热的移动，此时腔场的电磁场具有驻波的形式。在b o r n o p p e n h e i m e r 近似【3 3 】下，人们得到，由于光压的存在，电磁场呈现出k e r r 介质的相关特性。 我们的研究表明，同样的系统中，我们利用前面提到的f r 6 h l i c h 变换会得到同 样的结果。详细的计算如下： 对于哈密顿量( 1 1 9 ) 一( 1 2 1 ) ，我们在旋转坐标系下处理问题是简便的。为 此，我们定义一个幺正变换形( f ) = e x p ( 一i o g d a a t ) ，在此变换下，我们得到不含时的 哈密顿量形式为h = h o + 日，其中，对角部分 东北师范大学硕士学位论文 日o = 砒+ 丢t 聊眺2 ( 1 2 2 ) 其中a 为失谐量，= 鳓一。 非对角部分 h ，= 旯( 口+ 口) 一g 口a x ( 1 2 3 ) 把小镜子的动量和坐标用粒子数表示出来，则体系的哈密顿量还可以写成更工 整的形式： h 日o ：= 掣a a t a + + 口f 2 ) b 一* b 酬舳) 1 2 4 ) 日= 名( 口+ 口) 一弘口( 6 + 6 ) 从上式出发，我们进行f r 6 h l i c h 变换。为此，我们首先确定变换母函数为 s = 去l o - o ) 一五ga t a ( 6 一矿) ( 1 2 5 ) 进一步，我们假设镜子运动的振幅较小，在这种情况下，考虑镜子处于真空态 是合理的，在此条件下 ( o l t - , ，s 】1 0 ) = 一百2 2 = 一百2 9 ：( 矿口) 2 ( 1 2 6 ) 于是我们得到支配腔场演化的有效哈密顿量为： = 血口+ 寺( o i 珥，s 1 0 ) = f _ 乳挚口) 2 q 2 7 至此为止，我们很清楚的看到，一方面，f r 6 h l i c h 变换和b o r n - o p p e n h e i m e r 近 似【3 3 】给出相同的结果，另一方面，在力光系统中，光压的存在使得谐振腔内的电磁 场展示出了非线性的k e r r 效应。在接下来的章节中，我们将讨论这种k e r r 介质与 原子相互作用的动力学过程，研究其中的量子效应。 6 东北师范大学硕士学位论文 一 第二章 单原子与k e r r 介质相互作用的动力学 2 1 单原子与线性介质的相互作用 众所剧知，在腔量子电动力学中，我们一般用j 二c 模型来描述谐振腔和二 能级原子的相互作用，其哈密顿量具有如下形式： 日= q + 纰a + g ( a s + + a t s )( 2 1 ) 在非共振大失谐条件下，用前文提到的f r 6 h l i c h 变换可以得到有效的哈密顿 量。具体做法如下： 我们考虑哈密顿量( 2 1 ) ，s = s o + i - , 其中 h o 26 0 。s ：+ 缈口t a h ，= g ( 口s + + 口s 一) 2 2 在基 f e ，玛，i 马刀+ 1 ) 】下，我们求得凰的本征值分别为 忍一= 三1 + 缈( ，z 1 ) ，乓，。= 一三+ 细 ( 2 3 ) 将上述结果代入变换母函数的表达式中，我们得到 s = 丢( 矿墨一墨口) ( 2 4 ) 其中= 铊一缈为腔场和原子之间的失谐量。最后我们得到系统的有效哈密顿量 为 = 风+ 丢 懈a a t - a t a g ) ( g 口 ( 2 5 ) 在相互作用表象下，有效哈密顿量 日万= 等 愀p a a t - a t ai g ) ( g 口 ( 2 6 ) 从上式中看到，当满足大失谐条件时，原子在演化过程中内部能级几乎不发 生跃迁。这时原子的质心运动对系统的演化起主要作用。 7 东北师范大学硕士学位论文 2 2 单原子与k e r r 介质的相互作用 我们在2 1 节的基础上继续研究单原子与非线性的k e r r 介质相互作用的动力 学过程。 我们不考虑外加驱动光场与系统的相互作用，则系统可以用下图来表示。 图2 1 ：二能级单原子与k e r r 介质相互作用示意图 上述系统可以用下面的哈密顿量h = i - i o + 马来描述，其中 h o = 国。s ：+ a a 口+ 舌( 口口) 2 ( 2 7 ) h i = g ( 啦+ 口最) ( 2 8 ) 这里我们取赝自旋算符足= ( 1 e ) ( e l - l g ) ( 9 1 ) 2 ，墨= l e ) ( g l ，s = i g ) ( p i ( 下 同) ，以上两个式子与( 2 2 ) 比较，我们发现( 2 7 ) 的第三项是原来所没有的， 这一项代表了腔场的非线性性。这一项的存在代表谐振腔中充满着k e r r 介质， 系数善表示k e r r 效应的强度大小。为了得到大失谐条件下的有效哈密顿量，我 们仍然运用f r 6 h l i c h 变换来处理问题。 受到式( 2 4 ) 的启发，我们假设新的变换母函数s 具有下面的形式： s = 丢，( 五) ( 口t s 一墨口) ( 2 9 ) 其中f ( 而1 为待定的算符函数，它的具体形式由式( 1 1 1 ) 决定。下面我们具体 东北师范大学硕士学位论文 计算。由( 2 7 ) 和( 2 9 ) 我们得到 h o ，s 】- 丢( 一+ 2 h + 1 ) ( 啦+ 口受) ( 2 1 0 ) 再与式( 1 1 1 ) 对比我们得到 刖= 丽a ( 2 1 1 ) 到此为止，我们可以确定变换母函数 。s ：出! ：兰二墨塑( 2 1 2 )。 a 一善( 2 五+ 1 ) 为了计算有效哈密顿量，我们首先证明一组对易关系。对于任意一个粒子数 算符的函数尸( 五) ，我们有 口，f ( 而) = ( f ( 疗+ 1 ) 一，( 而) ) 口 ( 2 1 3 ) 口，f ( 五) = a t ( f ( 而) 一，( 南牟1 ) ) ( 2 1 4 ) 式( 2 1 3 ) 证明如下： f ( 而) = x k h k = 0 ( 2 1 5 a ) 口，f ( 而) = 黾口，( 口t 口) ：以k - 1 ( 口t 口) 。口( 口t 口) 1 ：效k - i ( 口t 口) 。a t a + 1 ) 口( 2 1 5 b ) = 五- ( 卉+ 1 ) k - 而 = ( ，( 卉+ 1 ) 一f ( 而) ) 口 ( 2 1 3 ) 式得证。同理可以证得式( 2 1 4 ) 。 应用( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 对易恒等式 彳，b c 】_ 【彳，8 c + e a ，c 】， 【a b ，c 】= 【彳，c 】b + 彳【占，c 】，我们计算对易关系【日，s 】得到 【珥，s 】- 2 9 2 ( 、f ( 五+ 州( p i 一，( 洲g ) ( 9 1 ) ( 2 1 6 ) 于是我们得到系统的有效哈密顿量为： 9 东北师范大学硕士学位论文 = h o + 爿珥，s 】 = 伽t 口+ 孝( 口t 口) 2 + 要( f ( 而+ 1 ) ( 五+ 1 ) i d p l f ( 而) 而l g ) ( g i ) ( 2 1 7 ) = 髓切t 口+ 孝( 口t 口) 2 + 黜l 。( p i 一高i g ) ( g i 在有效哈密顿量( 2 1 7 ) 中，我们已经忽略了与腔场自由度无关的原子的自 由演化部分。 在相互作用表象下，我们得到的有效哈密顿量为 码= a - 善塑( 2 h 生+ 3 ) m i 一卫a - 孝( 2 h + 1 ) i g ) ( 刮 ( 2 1 8 ) 我们注意到，当不存在k e r r 介质，即善= 0 时，( 2 1 8 ) 和( 2 6 ) 给出同样 的结果。这是合理的，同时也说明了我们所用的方法具有普遍的实用性。 从式子( 2 1 8 ) 我们看到，同线性介质中的结果相似，在大失谐条件下，原 子内部能级通过吸收或放出光子的跃迁过程可以忽略，能量交换很小，我们能够 得到二分量的哈密顿量： 皿= 高端( 2 1 9 a ) 以2 一石蓊9 2 h 而 2 1 9 b ) 这时，对应于不同的原子内部状态，腔场的运动将分离开来，其动力学演化 是彼此独立的。这将引起腔场与原子之间的量子退相千效应。 1 0 符。 为了得到两个原子之间的有效耦合，我们依然采用f r 6 h l i c h 变换来处理问 题。受到式( 2 4 ) 的启发，我们选择变换母函数为 s = 丢 口( 四+ 西) - - 0 7 ( 町+ 啄) ( 3 3 ) 上式中a = 国一吃，为腔场与原子之间的失谐量。通过与前两章相同的计算 过程我们可以得到在相互作用表象下体系的有效哈密顿量为 一g 2 ：、a + a 。- + 西町) ( 3 4 ) 结果表明，两原子同时与腔场相互作用时，通过交换虚光子，两个原子间接 的相互耦合。式子( 3 4 ) 式表明，两个原子之间的有效耦合方式为其中一个原 子由激发态向基态跃迁，另一个原子由基态向激发态跃迁，由下图表示。 东北师范大学硕士学位论文 马 1 r lo l 原子2 图3 1 ：原子与腔场相互作用示意图 我们发现，由由激发态向基态跃迁的原子向光场发射一个光子，由基态向激 发态跃迁的原子从光场中吸收一个光子，从净相互作用来看，两个原子作为一个 整体，既不向光场发射光子也不从光场中吸收光子，光场只起到了一个媒介的作 用。这个过程与b c s 理论中的两个动量相反，自旋相反的电子通过与晶格相互 作用交换虚声子形成c o o p e r 对的过程是完全相同的。 3 2 线性介质中双原子的纠缠演化 从( 3 1 ) 节我们看到，谐振腔作为中间媒介，使两个原子之间产生了净相互 作用，从而使两个原子产生量子纠缠。接下来，我们将研究这种纠缠随时间的演 化特性。 在相互作用表象下，系统的演化由薛定谔方程 z 妄) = 日) 决定。 ( 3 5 ) 我们假设某一时刻系统所处的状态用态矢量 l v ( o ) - 口o ) l 动+ 6 ( z ) i 昭) + c ( f ) l 科+ d ( t ) l g g ) ( 3 6 ) 来描述。式子中口( f ) ，6 ( f ) ，c ( f ) ，d ( t ) 由系统的初始状态决定。 把( 3 6 ) 代入( 3 5 ) 中，并利用态矢量的正交性，我们得到如下的微分方 程组： 谊( f ) = o ( 3 7 a ) i b ( t ) = 一百9 2c ( f ) 话( f ) = 一百9 2 1 2 ( 3 7 b ) ( 3 7 c ) 东北师范大学硕士学位论文 i d ( t ) = o ( 3 7 d ) 求解方程组我们得到，a ( t ) = 口( o ) ，d ( f ) = d ( o ) 。同时 坼) = i c ( o ) s i n ( 丢- r ) + b ( o ) c o s 8 a ， c c r ，= c c 。，c 。s ( 壬f ) + 西c 。，s i n ( 壬r c 3 8 b ， 结果表明，基矢 i 昭) ，i 护) ) 构成了一个封闭子空间。 我们首先假设初始时刻，两个原子制备的状态为i e g ) ，即方程组( 3 7 ) 的 初始条件为a ( o ) = c ( o ) = d ( o ) = o ，b ( o ) = 1 。于是由( 3 8 a ，3 8 b ) 我们得到f 时刻系 统的状态演化为： 愀磅= c 。s ( 譬劫昭) + ，s 谊( 譬劫科 c 3 很显然，两个原孚的内部自由度产生了量子纠缠。对于两个二能级体系纠缠 的问题，用纠缠熵来量度纠缠是容易的。纠缠熵的定义为 e ( 1 妒( t ) ) ) = - t r ( p , l o g ：n ) ( 3 1 0 ) 在上边的定义中，a 是第一个原子的约化密度矩阵，它是由总的密度矩阵对第 二个原子求迹得到的。定义式( 3 1 0 ) 中的求迹运算是对第一个原子进行的。纠 缠熵的范围是0 e 1 ，e = 0 意味着原子处于可分离态，e = 1 则意味着原子处于 最大纠缠态。我们选第二个原子 1 0 ，i g ) 】为一组基矢，我们求得第一个原子的约 化密度矩阵为 届= c o s 2 ( 专 r ) j g ) ( g l + s i n 2 ( 专 r ) j 刁( p i c 3 ， 从而我们得到纠缠熵为： 上 c r ：o o s 2 ( 壬r ) , 0 9 2 o o s 2 r s 证2 ( 妄，：) 。g ：s m 2 ( j r c 3 2 ， 纠缠熵随时间的演化如图3所示。2 1 3 东北师范大学硕士学位论文 g t 图3 2 ：两原子纠缠熵随时间的演化图像( 以舒为横坐标) 。 从图中不难看到，纠缠熵随着时间演化，并达到最大纠缠。达到最大纠缠的 时间随着失谐量的增大而减小。由此我们得出结论，原子与谐振腔之间的失谐量 越大，原子之间达到最大纠缠所需要的时间就越长。 y i - - 7 亨n ，我们考虑两个原子初始处于l 嘲时，简单的计算表明，两个原子 将不会随着时间的演化而纠缠在一起，这意味着纠缠熵将永远为零。 3 3 双原子与k e r r 介质的相互作用 下面我们考虑两个全同的二能级原子与k e r r 介质相互作用的动力学过程。我 们所考虑的模型如图3 3 所示，两个原子被囚禁在单模的谐振腔里，腔中充满了 非线性的k e r r 介质。 黝日嘶圈日- 图3 3 - ( a ) 两个全同的原子与非线性的k e r r 介质相互作用 ( b ) 消除腔场的自由度后，两个原子发生间接相互作用 1 4 东北师范大学硕士学位论文 描述系统的哈密顿量可以分为以下三个部分： 谐振腔的自由部分 h i = o ) a l a + 孝( 口口) 2 ( 3 1 3 ) 与式( 2 7 ) 相类似，我们看到上式第二项代表介质的非线性。系数孝表示了谐振 腔中k e r r 效应的强度大小。 原子的自由演化部分 以= 魄( 听+ ) ( 3 1 4 ) 式中纯为原子两个能级之间的能级差，也被定义为原子的共振频率。 原子与腔场之间的耦合部分 日j = 弘( 吖+ 西) + j l z c ( 3 1 5 ) 显然我们应用了旋转波近似。 为了得到两个原子之间的有效耦合，我们依然采用f r 6 h l i c h 变换来处理。为 此，我们把哈密顿量分为不含微扰部分h o = 兄+ 日，和微扰部分h i 。依照( 2 9 ) ( 2 1 2 ) ，我们可以确定幺正变换母函数 s = 一石丽g 丽 ( 口0 7 + 口引也 ( 3 1 6 ) 经过与第二章类似的复杂运算，我们最终得到的有效哈密顿量 h 谚= h 零+ h 誓+ h 譬，其寺 矽= 锄t 口+ 孝( 口t 口) 2 + 日( 而) 为腔场的自由演化部分。与腔场原始的哈密顿量( 3 1 3 ) 比较， 原子的耦合给腔场带来了能量的修正日( 而) 。计算给出 即) = 躲 这个修正的大小与介质的非线性有关。 ( 3 1 7 ) 我们看到与 ( 3 1 8 ) 砰= ( 心+ 彳) ( 听+ ) ( 3 1 9 ) 为原子的自由演化部分，系数a 为相互作用的能量修正。其表达式为 彳：盟萼坐生掣鼻塑 2 0 ， 2 l ( 一2 而孝) 2 一孝2l 东北师范大学硕士学位论文 最后，两个原子的有效相互作用 日罗= b a 2 霄西+ c 酊啄+ 办c ( 3 2 1 ) 显然，原子之间存在着两种类型的有效耦合，耦合强度分别为 肚一丽丽疏南 2 2 ， c = 塑墼 ( 3 2 3 ) ( a 一2 五孝2 一孝2 。 下面几个小节的内容，我们将从有效哈密顿量( 3 1 8 ) 一( 3 2 3 ) 出发讨论 这个耦合系统中的量子效应。 ( 一)原子的耦合特性 由式( 3 2 1 ) 我们看到，两个原子之间的耦合有两种方式，分别第一项和第 二项代表。其中第二项所表示的过程与线性介质的情况是相同的，( 见3 4 ) 式。 第一项则是k e r r 介质中所特有的。这一项所代表的过程可以描述如下：两个原 子同时由基态向激发态跃迁，同时从腔场中吸收两个光子，同样的，其共轭过程 则为两个原子同时从激发态跃迁到基态，同时向腔场辐射两个光子，这种同时吸 收或辐射两个光子的过程叫做双光子过程。由此可见，k e r r 介质的非线性性使两 个原子之间的耦合出现了双光子过程。通过上面的分析，我们可以用图3 4 来表 示在与k e r r 相互耦合的过程中，两个原子之间的有效相互作用。 e ， l ， i2 原子 | i l ， r r ip 、 j - l t ，r 原子 ig ) 1 ， 1 r 图3 4 ：在k e r r 介质中，两原子之间的相互作用示意图。 1 6 东北师范大学硕士学位论文 图中所示的双光予过程在许多理论中尤其是激光理论中有着广泛的应用。 ( 二) k e r r 介质稳态分析 通过以上苹节的分析，我们已经看到，两个原子与介质的相互作用带来了自 身能量的修正。我们得到修正后的腔场自由能为 e(1叫)=国i叫2+善i叫4+蒜2a l ( 3 2 4 ) i 一l i f 2 这里我们已经假设腔场处于相干态l ，此时( 3 2 4 ) 式中的i 叫2 即为相干 态的粒子数平均值。我们发现腔场的自由能是序参量的非线性函数，为了从金兹 堡朗道理论出发讨论由于自发对称性破缺所带来的类量子相变机致，我们把 平均粒子数作为序参量，把( 3 2 4 ) 式做泰勒展开到序参量的二阶项( 即i 圳的四 次方项) ，我们可以得到 e ( 1 叫) = i 叫2 + 岛l 叫4 ( 3 2 5 ) 式中为相互作用修正的本征频率， 呦翎+ 羔 2 6 ， 岛为相互作用修正的k e r r 相互作用强度。 岛币黼 2 7 ， 系统的稳态对应于自由能的最小值，即满足a e a l 刮= o 时序参量的取值。我 们首先讨论金兹堡朗道二阶相变的一般理论。为保持一致性，我们仍然假设 序参量为l 叫，当不考虑相互作用带来的修正时，腔场的自由能可以写成 e ( i 叫) = 彩l 叫2 + 纠叫4 ( 3 2 8 ) 在孝 0 的前提下，当缈0 时，系统的稳态对应的序参量为i 叫= 0 。当缈 0 ，则可以用同样的方法讨论系统的稳态问 题。此时，当0 时，系统只有一个零点稳态，当o - 矗r o ) 随序参量变化图像 ( 三)原子的纠缠特性 前面我们已经看到，当两个原子同时与充满k e r r 介质的谐振腔相互作用时， 两个原子通过交换虚声子，产生间接的相互耦合，而腔场只充当了媒介的作用。 原子之间的耦合产生了原子的纠缠态，纠缠态作为一种资源在量子信息和量子计 算中得到广泛的应用。为了刻画原子的纠缠程度，我们曾经在3 2 中引入了纠缠 熵的概念，并讨论了双原子与线性介质相互作用时的原子纠缠，为了进一步说明 介质的非线性性给纠缠带来的新的特征，在这一节我们采用由w o o t e r s 定义的 c o n c u r r e n c e 来量度纠缠。 对于一个由两个二能级体系构成的纯态系统，c o n c u r r e n c e 被定义为 c o n c u 玎e n c e ( 1 y ) ) = | y l 动i ，其中，i 力为系统所处的量子态，i 磅= q i 功。和纠 1 8 东北师范大学硕士学位论文 缠熵相i 司，c o n c u r r e n c e 的取值介于0 和l 之间，取0 表不系统处于可分离态， 取1 则表示系统处于最大纠缠态。 为求出系统的c o n c u r r e n c e ，我们首先要求出系统的量子态随时间的演化。 在相互作用表象下，我们假设f 时刻系统的状态为 l 缈( t ) ) = a ( t ) l e e ) + b ( t ) l e g ) + c ( t ) l g e ) + d ( t ) l g g ) ( 3 2 9 ) 体系的哈密顿量已经由( 3 2 1 ) 式在相互作用表象下的形式给出。于是，根 据薛定谔方程，我们得到如下的方程组 i ? t ( t ) = b d ( t ) e 。2 “ ( 3 3 0 a ) i b ( t ) = c c ( f ) ( 3 3 0 b ) 配( f ) = c b ( t ) ( 3 3 0 c ) 力( f ) = b a ( t ) e 2 鲫 ( 3 3 0 d ) 微分方程组的解由下式给出 一粕 口( o ) c o s ( 叫+ 釉叫卜掣s i nc ) ( 3 3 1 a ) b ( t ) = b ( 0 ) e o s ( c t ) - i c ( 0 ) s i n ( c t ) ( 3 3 1 b ) c ( t ) = - i b ( o ) s i n ( c t ) + c ( o ) c o s ( c t ) ( 3 3 1 c ) 摩国 c o s ( 一釉 掣s mc ) ( 3 3 1 d ) 在以上各式中，夺吧+ 八豆= bj 叫2 ，q 2 厶2 + 豆2 。 我们不难发现，基矢 i e g ) ，i g e ) 和 l p 力，i g g ) 】分别构成系统的两个独立的不 变子空间。下面我们讨论在给定初态条件下，原子纠缠随时间的演化情况。 首先，假设系统在t = o 时刻处在态i e g ) 上，即初始条件为 a ( o ) = c ( o ) = d ( o ) = o ，b ( o ) = 1 。则由( 3 3 0a - d ) 可知，t 时刻，系统的状态演化 为 i 缈( i ) ) = c o s ( o ) i 曙) 一f s i n ( c f ) i g 力 ( 3 3 2 ) 上式中的c 的表达式已由( 3 2 3 ) 式给出。它与介质k e r r 效应的强度有关。 根据二能级系统纠缠的c o n c u r r e n c e 定义式可以得到： 1 9 东北师范大学硕士学位论文 c o n c u r r e n c e = s i n ( 2 c t ) ( 3 3 3 ) 显然，这是一个时间的周期函数。我们选择参数a = - 1 0 0 ) , g = o 1 缈，在这样 的参数下，发生自发对称性破缺的临界点为孝= 一1 0 4 5 0 ) 。为揭示k e r r 效应的强 度对纠缠的影响，我们在图3 6 中分别画出了发生这种由自发对称性破缺引起的 类量子相变前后，纠缠随时间的演化。从图中我们看到，系统将最终演化到最大 纠缠态，更进一步，类量子相变延长了系统达到最到最大纠缠所需要的时间。换 言之，类量子相变减慢了原子间的纠缠。 考虑到c o n c u r r e n c e 的周期性，我们考察这种类量子相变对函数周期的影响。 我们注意到，发生相变后，腔场具有两个稳态，对称的分布在零点两侧，这时 c o n c u r r e n c e 的周期为 艺= 万 一万( 一2 ( 而) 孝) 2 一孝2 - _ - - _ - 一= = ：一二_ _ - - - - - - - 二- - - 二- - - - 二- - - - - - - 一 c ( 五) 9 2+ 善 ( 3 3 4 ) 没有发生相变时，腔场的稳态对应的粒子数平均值为零。这时，c o n c u r r e n c e 的周期为 瓦2 南2 手( 埘) ( 3 3 5 ) o u o ：一_ - o o 尸 o u 图3 6 ：纠缠随时间的演化。( 点划线代表善= 一1 0 2 0 9 ，实线代表 东北师范大学硕士学位论文 孝= 一1 0 4 5 m ，虚线代表孝= 一1 0 6 c o ) 由以上两式，我们可以得出相变发生前后，c o n c u r r e n c e 的周期差 丁= l 一乃= 耋兰王学 c 3 3 6 ， 这里，( 五) = i 呸1 2 = 一呦2 岛为发生量子相变前腔场的稳态对应的平均粒子数。 在图3 7 中，我们画出了上述周期随k e r r 效应强度的变化关系。 3 专 o c 厶 矽飞 nq 一1 n71 01 1 n