（理论物理专业论文）量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略.pdf

摘要 二十世纪八十年代以后发展起来的量子信息学是量子力学和信息科 学结合的产物，量子信息理论可以解决许多经典信息所不能够完成的信 息处理功能随着量子计算与量子通信领域研究的深入，量子信息技术 已经成为对计算机科学、信息技术以及国家安全、国防科技和商业都具 有潜在重大影响的领域量子信息技术的核心在于控制量子信息，而一切 信息都存在于物理载体之中，所以量子控制技术是使量子通信和量子计 算成为现实的核心支撑技术本文利用量子熵来量度二能级量子反馈控 制系统受噪声的影响情况，并根据讨论结果给出一个合理的反馈策略 第一章简要回顾了量子系统控制的提出和发展历程，介绍了量子反 馈系统的基本理论、反馈控制的可行控制方案目前关于这方面的研究 动态以及量子控制系统的实验进展及其在实际领域中的应用，为研究利 用量子控制系统和量子熵来选择合适的控制方案打下基础 第二章首先对量子熵概念产生的历史背景作了简单回顾，接着阐述 了量子熵的基本理论，然后给出了量子熵的定义，并和经典熵理论做了 比较，简要介绍了量子熵在信息领域中的应用，为下面章节的研究工作 做理论准备 第三章研究量子反馈控制系统中的控制策略问题我们通过引入v o n n e u m a n n 熵来作为系统中受噪声影响程度的度量，研究了不同情况的系 统态在演化过程中的熵受不同控制策略的影响，给出了一个系统的指导 方案，使我们能够实时地观察到系统受噪声的影响程度，从而选择出合 理的反馈方案 第四章简单总结了本文的主要内容，并对量子反馈控制系统的研究 i 进行了展望 关键词：量子熵，量子反馈 i i a b s t r a c t t h eq u a n t u mi n f o r m a i c 8i st h ee o m b i t i o n o f q u n n t u mm e e h a n l c sa n dt h ei n f o r m t i o nt h e o r y , w h i c hi sf o r m a l i z e di nt h e1 9 8 0 s , a n di t 咖s o l v em 8 n yi n f o r m a t i o np r o e s i n g p r o b l e m sw h i c hc a n n o tb ea c h i e v e db yt h ee l s 自i c a li n f o r m a t i o nt h e o r y a st h ed e v e l o p - t o q u a n _ l ；t t mi n f o r m a t i o na n de o m p u t , a t i o n , q u o r u mi n f o r m a t i o n t e d m o l o g yw i l lp i 够 咀i m t x r r r o l ei nt h e 矗e l d 8o fc o m p u t a t i o n , 虹蠡o n 瑚啦o n ，n a t i o n a l 氍a l r j _ t ya n d m m e r - e i a l t h ec o l e0 ft h et e c h n o l o g yi sh o wt oc o n t r o li n f o r m 卫土i o l a w h i l ea l lt h ei z a f o r m a t i o n e x i s ti nt h ep h y s l e a le n t 呶t h ec o n t r o l l i n gm e t h o di st h ek e r 嫱i nt h er e a l i z a t i o n o fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dc o m p u t a t i o n 硼l j s 州m a i n l ys t u d i e dt h ee f f e c tc t n o i s e j nt h eq u a n t u mf e e d b a c ke o n t r o u 战ls y s t e m 蚵叫l i n gv o nn a l m 啪a l t 】嘲m l dg i v e8 s i m p l es y s t e m a t i ca l r p r o hw h i mc h e i pt om a k er e a s o a z a i 】i ed a o i e eo fc o n t r o ls t r a t e g y t op r o d u c ei d e a ln 鞫u l t i ne l m p t , d 1 ，t h es i m p l eo v e l - v i e wi sp r e d a t e df o rt h eb r i n gh i s t o r yb a e k g r o t m da n d t h e d e v e l o p m e n t o f q t t r m t t m a f e e d b a c k c o n t r o l 留曲哪w e i m r o d t t e e d t h e b a s l e t h e o r i 蕾， t h ef e a s i b i l i t yo ff e e d b a c kc o n t r o ls t r a t e g y r e c e n tr e s e a a d at r e n do nt h i bf i e l da n dt h e a p p l i e a t i o t zp r 0 6 p e e t 8 i l lo ft h e s eh yt h ef o t m c l a t i o nf o rt h es t u d yo fg e t t i n gam u e l a b e t t e rf e e d b a c kc o n t r o ld z o i c e i nc h a p t e r2 ，a t 血骞t 。as i m p l eo v e r v i e wj bp l e a t , e d 妇t h eb r i n gh i s t o r yb a e k t 乒 o u n d o fq u a n t u me n t r o l 搿, “t h e nt h ei l l b i et l a e o r i e so fq u a n t u me l x t r o l p yh ee x p l i c a t e d w e a l s og i v et h ed e f i n i o r , o fq u a n t u me n t r o p y , m l d p a dw i t ht h ee l 蝴i e a le n t r o p y t h e 曲蒯i m p l e m e n t a t i o no f m a n i p u l a t i o no f q u 础u me l a t r o l ：氇, w h i e l af o r mt h et h e o r e t i c a l b 嘲co ft h ew o r k si nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s 8 d i s e l e di nd e t a i l i ne h n p t e r3 ，w ef o c u s e do nt h ei n v 耐i g n t i o no tt h em u o n i n gs t r a t 蝌i nt h eq u a r t - t t t mf e e d b a c ks y s t e m b yi n t r o d u c i n gt h ev o ni q e l a m a 皿e n t r o p ya 8an 螗曩尉l r eo fn o i s e m e x t e n t w ec ms e et ow h a td e g r e et h es y s t e mw a sa f f e c t e db yt h ei l o i s e ，w es t u d i e ds o m e d i 伍删s i t u a t i o n so ft h es y s t e m be n t r o p yi nt h ep r o c e s so fs t a t e sd y n a m i ce v o l u t i o n i n i t i a ls t a t et oat a r g e to n e t h ee v o l u t i o no f e n t r o p y c a np r o v i d eu sw i t hac l e a r r e a lt i m en o i 鼬o b s e r v a t i o no ft h es y s t e m ，a n das i m p l es y s t e m a t i ca p p r o a c hw h i c hc a n h e 】nt om a k er e a s o n a b l ec h o i c eo fc o n t r o ls t r a t e g yt op r o d u c ei d e a lr e s u l t s i nc h a p t e r4 s u m m 3 x i z e dt h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e r ，a n dd i s c u s s e dt h e p r o s p e c t s0 fq u a n t t u nf e e d b a c kc o n t r o l l e ds y s t 2 8 1 k e y w o r d s ：q u a n t u me n t r o p y , q u a n t u mf e e d b a c k w 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到 本声明的法律结果由本人承担 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在一年解密后适用本授权书。 2 、不保密衫 e e o 猡 1 心胁 q 严砖柙 七丁 j t _ r t眦稻、日 渊霜锨 型甚穷 竺一 慵作导 第一章量子控制论的基本理论 近年来，量子力学和信息科学的不断融合，使得量子信息学成为当今 世界各国学术界的研究热点之一，其研究主要集中在量子通信与量子计 算两大领域，涉及到量子克隆，量子纠错，纠缠态制备与纯化、量子信 息存储等方面【1 | 1 与经典信息技术相比，量子信息在保密通信，并行计 算等方面具有许多潜在优点我国在量子信息研究方面已在国际上占有 一席之地，特别是在量子概率克隆、量子避错编码、新型量子处理器件 等方面取得了多项国际公认的原始创新性成果作为量子力学与信息科 学相结合的新兴边缘学科的量子信息学，涉及数学物理，计算机等众 多领域f 2 1 量子信息科学采用量子态作为信息单元，被称为量子比特， 量子比特的物理载体是任何两态的量子系统，如两能级的原子，自旋为 l 2 的粒子、具有两个偏振方向的光子等用量子位来存储和处理信息则 称为量子信息，信息的过程就必须遵从量子力学原理例如信息传输是 指量子态在通道中的传送，信息处理便是指对量子态实行相应的幺正变 换，而信息提取则是对量子信息系统实施量子测量量子信息的基体是 经典信息和量子纠缠，两者具有截然不同的特性。经典信息可以克隆， 但只能沿着时间箭头方向传播，而量子纠缠不可克隆，但却能把时空中 的任意两点联系起来量子纠缠使得对复合量子系统的测量结果无法独 立于对其它子系统的测量参数，对处于纠缠态的任一量子态的测量都会 引起其它关联量子态的坍缩，即量子纠缠具有局域关联性 3 1 ，因此，提取 量子信息与获得经典信息有本质区别目前，量子信息的研究主要包括 量子计算、量子通讯及量子信息论等三大发展方向 4 】【5 | ，近年来在理论 和实验上都取得重大的突破量子信息科学特别是量子通信与量子计算 的发展，使得对量子态的操纵和控制变得越来越重要，对量子信息的处 理实质上是对量子态的操纵由于量子纠缠现象的存在，对量子态的测 硕士学位论文 量会导致关联量子态的坍缩 6 ，量子不可克隆定理使得量子态无法精确 复制忉，加上环境不可避免的破坏量子相干性，因而对量子态的观测与 控制就变得尤为重要由于量子信息与经典信息有着本质的区别，传统 的系统科学中的控制理论已无法胜任这一工作，- - f 新的边缘学科一一 一量子控制论也就应运而生 1 1 量子系统控制的提出和发展 量子信息科学的发展推动了信息科学和量子力学的发展，它使我们 从一个崭新的视角去研究现实生活中的一些奇妙现象特别是量子通信 和量子计算机的发展，使得对量子态的控制和操纵变得越来越重要，对 量子信息的处理实质上是对量子态的操纵，由于量子纠缠现象的存在， 对量子态的测量会导致关联量子态的塌缩，量子不可克隆定理使得量子 态无法精确复制，加上环境不可避免的破坏量子相干性，因而对量子态 的观测与控制就变得尤为重要了由于量子信息与经典信息有着本质的 区别，传统的控制理论已无法胜任这一工作，故为了适应量子信息科学 的发展，有必要用系统的方法把量子控制论【8 】作为- - f 学科来研究 最早提出量子系统控制的是美国华盛顿大学的h u a u g 和t a n ，他们在 1 9 8 3 年6 月发表了名为。o n t h ec o n t r o l l a b i l i t yo f q u a n t u m - m e c h a n i c a ls y s t e m s ”的 论文 9 】这篇文章从最基本的系统控制概念出发，在理论上详细地对线 性量子系统的可控性进行了讨论同年，o n g 等具体研究了量子力学控 制系统的可逆性f 1 0 】1 9 8 4 年，c l a r k 等分析了量子系统的可观性| 1 1 1 在 对量子系统从可控、可逆、可观的角度进行了理论上的建模和分析后， 世界各国对量子控制系统的研究纷纷开展起来，量子控制的思想和概念 得到了不断的发展通常人们认为，量子控制应包括以下三个方面的内 容【1 2 ：( a ) 依据量子力学规律，对量子力学系统或粒子量子态进行控 2 量子反馈控制系统中噪声影响的熵羞度与反馈策略 制的理论和方法；( b ) 将量子化思想融入经典控制论所产生的新的理 论和方法；( c ) 与( a ) 、( b ) 密切关联的，解决其观测、优化鲁棒性 等同题的理论和方法量子控制的主要目标是根据人们的要求，在预先 选定的时间t 内，操纵系统从观测的初始量子态霍( o ) 到达目标态霍( 研 量子控制的被控对象主要是微观领域的量子系统，遵循的是量子力学定 律，因而具有 1 ) 微观性；由于量子力学系统具有量子效应，因此产生的一系列的 区别于经典力学系统的现象无法直接用经典控制论的理论和方法解决， 必须用量子控制的理论和方法来操纵微观系统的量子态 2 ) 相干性：量子态之间可以发生相干，量子计算、量子通信的许多 优越性都源于量子系统的相干性，但量子系统具有超快特性，对量子系 统的观测不可避免的带来扰动，这种扰动将影响系统的量子态，同时， 环境的影响也随时可能导致系统的消相予f 1 3 j 因此，在量子控制中，相 干性是我们必须认真对待的同题 3 ) 不确定性：在经典控制中，一般物理量原理上都能独立精确地获 得，而量子控制中必须满足海森伯不确定性原理，如位置和动量无法同 时精确得到，因而具有不确定性的特点同时，量子纠缠现象的存在， 使得对系统中某个对象量子态的观测会影响到关联对象量子态，带来了 实际操作中的不确定性 一，量子系统开环控制 量子控制系统在发展过程中主要利用了经典控制论中的开环控制， 闭环控制等方案，我们这里先简要地了解一下开环控制策略【1 4 1 在对宏观物体的控制中，中心任务是寻找合适的控制方法来使系统 由初态达到人们所期望的状态在量子领域，无论其在应用方向上有多 大差别，对其控制的中心任务也是相似的，即选择一个合适的控制策略 3 磺士学位论文 及函数，以使量子从一个特定的初始态皿( o ) 在时刻t 达到人们所期望的 状态皿( t ) 【1 5 1 量子系统开环控制主要利用开环最优设计来寻找合适的控制函数e ( t ) ， 并直接作用在量子系统上，使量子系统按人们预期的设想达到一定的期 望状态这是一种简单并且直观的方法，但只适合一些极简单的量子系 统1 9 8 8 年p e i r o e 和d a h l e h 通过分析实验室中生成分子双极子的客观限 制，具体讨论了分子波包的可控性【1 6 】1 9 8 9 年s h i 和r a b i t z 提出了一种 在和谐分子系统中通过选择合适的最优设计场来有选择的激发特定分子 的方法 1 7 j 这种最优设计场结合了分子系统的力学特性，并通过控制 分子内部能量交换来最终实现分子系统局部激发的目标这是量子控制 从理论研究向实际应用的重要发展1 9 9 3 年，w a r r e n 等人在s c i e n c e 上发 表文章，对已有的量子开环控制方法进行了总结，并结合当时在激光产 生方面的突破，提出了利用激光对量子系统进行开环控制的一些具体方 法f 1 8 】但是，对于比较复杂的强时变系统，开环控制很难满足人们的要 求，而且要成功地设计开环控制函数s ( t ) ，需要基于以下条件：( 1 ) 为 了准确的描述量子系统的状态，系统的哈密顿量必须要被极为准确地测 量出来( 2 ) 为了求出系统的控制函数s ( t ) ，多维薛定谔方程必须被极 为准确地求解( 3 ) 系统的控制场函数e ( t ) 必须可以在实验室的条件下 被精确的实现这三条假设实际上很难满足因此，用开环设计量子控 制系统存在着很大的困难 = 、量子系统闭环控制 量子系统闭环控制主要可以分为学习控制和反馈控制两种在对量 子闭环控制研究的初期，由于当时对量子状态进行无干扰测量理论上是 空白，所以人们把研究的重点放在了对其进行学习控制的方向 1 、量子系统闭环学习控制 4 量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 在利用学习策略对量子系统控制的过程中，人们最早提出了遗传算 法s j u d 啪和r s b l t 2 在1 9 9 2 年提出了量子系统的遗传控制算法1 1 9 】，分 析了算法中应该利用。遗传压力”来阻止控制场中出现对控制输出结果 没有影响的量子控制转化，并建立模型具体说明“遗传压力。对具体控 制系统的影响1 9 9 7 年，b 矗出n 等利用大约1 0 0 代5 0 个种群对一个具体 的量子系统进行学习控制，最终获得了很好的结果 继遗传算法后，g 一等提出了量子的梯度学习控制算法础文章 中通过对所有量子的代价梯度钌如( 幻求平均，成功的抑制了原先存在于 j 中的噪声，从而得到较精确的梯度文章对梯度学习过程进行了建模， 并从模型中观测到了很好的鲁棒性 1 9 鲫年p l u m 和p n b i t z 提出了利用线性匹配原则来对量子系统进行控 制的算法文章对非线性的量子参量进行了线性量子化近似，并给出 了对其进行匹配迭代的具体算法，最后还通过实验证明，利用线性匹配 的方法，量子控制系统可以成功的实现对量子系统模型的控制 上面所述三种方法均为线性算法。但实际上量子系统高度的非线性 化，所以要对量子系统进行精确控制必须利用一种非线性的学习算法 在2 0 0 0 年第3 9 届m e e 决策与控制会议上r a b i t z 提出了一种非线性学习 控制算法f 2 3 】，这种算法克服了前面三种线性控制算法的缺点，利用非线 性匹配原则来对量子系统的非线性特征进行了匹配，以达到对非线性的 量子系统进行精确学习的效果 由以上可看出，量子学习控制由于具有群体控制、高速控制场转换等 一系列优点而被人们广泛研究，其发展过程总体上经历了一个从理论研 究到线性控制，再到非线性学习控制的发展过程 2 、量子系统反馈控制 量子系统反馈控制的基本思想主要是利用经典反馈控制理论对量子 5 硬士学位论文 系统状态进行实时、及时的调整，即在量子系统的控制过程中，控制系 统不断地检测量子系统的状态，并将其反馈到控制器中，控制器再根据 量子的状态及时的寻找并调整控制函数，作用在量子系统中并始终保持 在期望的状态上，量子反馈系统可以实时地对量子系统进行监控，进而 作出反映，对其调整，在理论上和经典反馈控制方法结合起来 量子反馈控制早期的理论探索可以追溯到1 9 9 4 年h w i s e m a n 和m i l b u r n 所提出的量子反馈限定原理( q u a n t u m - l i m i t e df e e d b a c kt h e o r y ) ，这是一种描述 系统动态性能的理论，该理论通过实时反馈的度量信号( 当时采用的是 光电流) 来控制一个量子系统的哈密顿量我们知道，反馈控制是经典控 制理论的一个重要组成部分，它通过对观测得来的系统状态参量实际值 和期望值的比较，选择合适的控制函数，从而使系统按照人们的期望进 行动态变化其中一个重要环节就是对其状态进行观测和正确的反馈 对于宏观系统可以通过反馈回路很容易实现，但是由于量子系统具有不 可观测性，对其状态的任何测量必将在某种程度上破坏其现有的状态， 因此，对量子系统进行实时反馈所得到的量子状态值并不等同于测量后 的状态值所以量子反馈系统啥密顿量的获得和量子系统的测量问题紧 密的联系起来随着量子克隆和量子状态估算理论的突破，量子系统反 馈控制日益成为研究的重点h w i s e m a n 在1 9 9 4 年进一步发展了连续反馈 的量子理论，该反馈策略在理论上假设反馈回来的只是系统当前瞬时的 测量信息，又称之为m a r k o v i a n 反馈删a ，c d o h e r t y 在1 9 9 9 年提出了基 于量子状态估算的反馈策略【2 5 】，具体提出了一种对量子状态进行连续 观测以及估算的方法由于这种反馈策略使用了当前时刻以前的测量信 息，故这种反馈被称之为b a y e s i a n 反馈策略【2 6 】 由于量子反馈理论已经在许多领域得到成功应用，例如制备压缩态 ( s q u e e m ds t a t e ) 吲、保持量子相干性【2 8 】、用于量子纠错例，冷却原子， 产生量子混沌、减少量子噪声【3 1 】等，科学家已经提出多种反馈方案，已 6 量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 有的量子反馈控制主要有马尔可夫量子反馈( m a r k o v i a n ) ，贝叶斯量子反 馈( b a y e s i a n ) 、含时延非马尔可夫量子反馈和相干量子反馈 a ，马尔可夫量子反馈 d i a g r a mo f t h ee x p e r i m e n t a la p p a r a t u s t h el mb e a mi ss p l i tt op r o d u c eb o t ht h e l o c a lo s c i l l a t o r 卢a n dt h ef i e l d 知w h i c hi sm o d u l a t e du s i n gt h eh o m o d 3 m ec u r r e n ti ( t ) d e r i v e df r o mt h ed a m p e dc a v i t y 在量子反馈控制中，需要控制的是系统的量子态在量子力学中，对 任意封闭系统的量子态，可以用希尔伯特( 嘲b e r t ) 空间的矢量霍( t ) 表示， 它必须满足薛定谔方程 t 6 赢皿( t ) = 宜霍( t ) ( 1 1 ) 理论上，薛定谔方程完全决定了系统状态的演化而对被控制的量子系 统，由于有外界干扰的引入，使它成为一个开放的系统开放量子系统 7 硬士学位论文 的状态演化通常用约化密度算符p 描述，它可以通过跟踪环境上的自由 度而从整个系统的密度算符获得，该密度算符的演化可以近似为一个微 分方程，通常我们称之为主方程( m * t e re q u a t i o n ) ，即被控系统的状态演化 可以用主方程来描述 在经典反馈理论中，对于一个给定的控制系统，用控制传感器执行在 系统上的测量，从系统的状态抽取信息，让控制器处理这些信息，并反 馈作用到控制系统上来改变系统的行为，反馈的目的是为了补偿不可测 量的干扰对被控制系统的影响，或者在控制系统初始状态未知的情况下 使系统的自动控制成为可能为了达到反馈控制的目的，必须通过对系 统的测量抽取信息并改善对系统状态的估计通常情况下，测量本身并 不影响系统状态，测量过程所带来的滞后也可以忽略但是，在量子力 学系统中，测量变得奇妙而且复杂对一个封闭量子系统的哈密顿算符 0 表示的力学量q 进行测量，o 的本征值q n 是测量这个物理量的一系列 的可能结果，它们可构成一组正交归一基对于一次测量，事先我们只 能知道测量结果为啦的概率，并不能确定测量结果会是哪个特征值测 量过程会把量子系统的状态投影到与测量相对应的状态子空间中去，测 量本身会破坏系统的量子态对一个波函数为雪的系统，第一次测量结 果为啦，此时系统相应的塌缩到哦对应的特征态也如果立即做第二次 测量，获得舷值的概率为1 这种由测量引起的波函数改变过程称为波 函数约化波函数约化使得对处于同一量子态的系统进行相同测量获得 的结果并不一定相同对开放量子系统的测量还会造成非正交的投影分 解，也不可避免的改变系统状态，而且影响过程变得更复杂而且由于 系统状态自演化的快速性，量子控制中的测量滞后也大大增加了量子反 馈控制的复杂性【3 2 1 w i s e m a n 和m i l b u r u 于1 9 9 3 年首先提出了一个经由零差探测( h o m o d y a e d e t e c t i o n ) 的光学反馈量子理论【3 5 l ，通过零差探测所获得光电流邢) 反 8 量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 馈到光腔来改变原腔的动力学行为，在这个量子反馈理论中，假设反馈 的强度与所测光电流呈线性关系，且测量所得光电流被立即反馈用来改 变腔系统的状态，然后反馈信息被遗忘，因而系统动力学具有马尔可夫 ( 眦) 性，其原理图如上所示：激光被分成两柬用来生成本机振荡器 口和场咖，且场锄被电流j 8 ) 调整被调节后的光束的幅度可以描述为 a + ( t ) ，它驱动位于抛物柱镜面中心的原子装置中原子的衰变率为1 ，对 于一个二能级原子，其能级表示为i 口) 和| e ) 时，我们记一= i z ) ( e i 原子辐 射的荧光被收集并汇聚成柬，在忽略场的真空涨落时，这个光束的湮灭算 符可以表示为厢，归一化后单位时间内光束的平均光子数为，y ( a q ， 然后这个光束被送入一个5 0 t 5 0 分束器的一个端口，本机振荡器的光束 进入分束器的另一个端口为确保本机振荡器与测量中所用的驱动激光 有固定的相位关系，我们在驱动过程中所用光源以及零差探测器中的本 机振荡器光束均为相干光场 在忽视真空涨落的情况下，由分柬器的两个输出端口算符 q 耐= 口蚺o o s o + 6 缸s i n g ( 1 2 ) = 一8 i n # + 瞄口 ( 1 3 ) 我们可以得到算符如和6 2 的表达式为t 6 k = 【、和一( 一1 ) 用 ( 1 4 ) 当从分束器出来的光被探测后，产生的光电流平均值为 五寄k 域= ( i 口1 2 一( 一1 ) 知( 、育；+ 、丐矗矿) + ，口) 2 ( 1 j ) 当本机振荡器的幅值趋近于无限大即泖l r 时，零差探测达到理想 极限在这个极限情况下，光电探测器的频率也趋近于无穷，因此每个 光电探测器产生一个含自噪声的连续光电流在这个装置中，、与我们讨 9 硕士学位论文 论方案相关的量是这两柬光电流的差别，其大小在归一化后可以用下式 表述 = 哗齑绁= 佛吲+ ( t ) 州t ) ( 1 6 ) 上式中本机振荡器的相位= a r g 卢，为方便起见，后文中我们均设置= 0 ，最后一项f ( t ) 。代表高斯自噪声，故有 f ( t ) 出= , w c ( t ) ( 1 7 ) 于是零差探测下的光电流 1 ( 0 = 衍( e - 埘o - t + 砷( t ) + 1 a w 广( t ) ( 1 8 ) 在下一章中，我们将主要讨论这种情况下的量子反馈控制策略的选择 零差探测下的量子反馈控制主方程为： p = 昂+ 霞+ p a 十) + 赤舻p ( 1 9 ) 式中p 为约化密度算符，三是光腔的l i o u v i l l e 超算符( s u p e r o p e r a t o r ) ，露也是 l k ) u v u l e 算符，”为探测系统的效率，a 为湮灭算符，a + 为产生算符 b ，贝叶斯量子反馈 马尔可夫量子反馈采用直接反馈方式，所用反馈信息是当前测量所 得结果，并立即用于反馈来改变系统的哈密顿量，对系统以前的知识没有 加以应用而在经典的反馈控制中，通常是把反馈控制过程分为状态估 计和反馈控制两步状态估计是根据测量结果和已有知识估计系统当前 最好的状态函数，反馈控制是应用状态估计信息，计算选择合适的输入 来影响系统的行为同样，在量子系统中，也可以考虑利用测量记录所提 供的详细信息，将量子反馈控制过程分成状态估计和反馈控制两步( 2 5 j 1 9 9 9 年，d o h e r t y 和j a c o b s 提出了用连续状态估计的量子反馈思想，其主要 1 0 量子反馈控翻系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 思想为：首先充分利用特定测量记录所提供的详细信息，对量子控制系 统的动力学变量进行最佳估计，通常涉及到描述系统状态演化的随机主 方程的实时解，以这些解作为系统状态的估计，然后用这些实时状态估 计来调节系统的哈密顿量，进而获得对被控系统动力学期望的控髑在 经典控制理论中，总是试图获得每一时间点系统状态可能的最好估计， 然后用反馈环中产生的状态估计信息来控制系统动力学测量过程不涉 及到系统哈密顿的变化，而反馈过程不提供系统状态的信息在量子反 馈控制中，由于系统状态变量的分布具有随机特征，因而定义系统变量 的连续测量作为一个过程更合理，通过这过程来获得变量在每一时间 点的状态估计由于最好的状态估计需要用到所有以前的测量结果，不 仅仅是当前的测量记录，故这可以看作是基于新数据更新观测者对系统 的知识的经典贝叶斯推理的量子版本 2 研所以称基于状态估计的量子 反馈控制为贝叶斯量子反馈( b 嘲u ) 贝叶斯量子反馈方法已经应用到许多领域，如冷却光腔中原子，改 变双势阱( d o u b l e - w e np o t 删) 中离子状态、稳定二能级原子内部态等 k o r o t l t o v 等还将它用到固态量子比特的消相千方面【3 嘲t 考虑密度矩阵 0 j - - 1 ，2 ) 描述的一个量子比特的量子态，它的两个特征态为1 1 ) 和1 2 ) ，舶 代表一次测量发现量子比特在状态l i ) 的概率，有p 1 1 + p 2 2 = 1 ，而m 。和恕 ( 加= 癌) 代表量子相干，采用贝叶斯反馈形式，有状态演化方程【跏 r o r 店l = p 面= 一2 等b 靴+ p l l p 丝= 菩三p ( t ) 一捌 ( l t 0 ) ，u ot 4 a r 砌= i 量舳+ i 等( p l l 一勉) 一( p l l p 2 2 ) 豢i t ( t ) 一捌加+ 触 ( 1 1 1 ) m 其中，为探测器输出电流，h 为哈密顿量，j 为两量子点之间的电流 差，s 是表征两量子点能量不对称的量，岛为探测器的- v - - 均噪声，为 消相干率量子比特连续地被一个弱相互作用的探测器测量，测量值被 代入方程组来监视量子比特密度矩阵脚( 幻的演化，这一演化与期望演化 1 1 硬士学位论文 比较，其中的误差被用来产生反馈信号控制量子比特参数日和e ，目的 是减小与期望量子比特状态之间的差异研究发现贝叶斯量子反馈能有 效的控制固态量子比特中的消相干 c ，含时延非马尔可夫量子反馈 马尔可夫量子反馈和贝叶斯量子反馈都没有考虑反馈时间延迟的影 响，即假设反馈时延r 趋近于0 ，这很大程度上简化了问题的处理，反馈 的影响能通过有效的主方程加以表达但是在很多情况下，时延的影响 不容忽略，非零反馈时延可能对系统的动力学产生极其重要的影响，这 时系统演化的动力学表现出强的非马尔可夫性g i o v a u a e t t i 等通过考虑被 测量场转象差( q u a d r a t t t r e ) 和特征函数的概率分布的时间演化f 勰】，完全 解决了存在非零时延情况下的非马尔可夫动力学w a n g 等也研究了含反 馈时延的马尔可夫量子反馈辂9 l ，他们用到稳定一个两能级原子的量子 态以防止消相干，并采用量子曲线处理( q u a n t u mt r a j e c t o r yt r e a t m e n t ) 办法对 这一非马尔可夫量子反馈进行了简单的数字仿真他们也通过适当的处 理获得了一些解析解，将其与仿真结果比较发现，即使在二能级原子那 样的非线性系统中，一个不太大的时延r 不会对控制消相干产生致命影 响 d 、相干量子反馈控制 相干控制是量子控制中的一个极强大的控制方法【l8 1 ，其中心任务是 利用量子领域的相干效应，转换激光固有的相干到量子系统，其中制备 一个终态的过程是构造性和破坏性相干涉的结果相干控制的迅速发展 也应用到量子反馈控制中前面所述的马尔可夫量子反馈、贝叶斯量子 反馈含时延非马尔可夫量子反馈都用到了来自测量结果的反馈信息， 由于测量破坏了反馈信息的相干性，测量后所得信息已是经典信息故 控制器处理的是经典信息，虽然它们控制的是量子系统，甚至可以有效 量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 的防止系统发生消相干保持量子系统的相干性，但反馈环中量子信息 的相干性已被测量所破坏，控制器与量子系统之间并不发生相干作用， 控制器处理的是经典信息，可以看作是带经典反馈环的量子相干控翩 l l o y d 为量子反馈控制提供了一个新的方法1 4 0 】，在这种方法中，传感 器、控制器和激励器是与被控系统相干作用的量子系统控制器获得量 子信息，携带量子相位，并用量子逻辑处理，相干的反馈这些量子信息 到被控系统因为控制器处理和反馈的是量子信息，故反馈环保持了量 子相干，于是可以称这种方法为相干量子反馈控制由于量子测量具有 本质的随机性，测量导致控制过程中系统的初始未知量子态不可避免地 被破坏，故带经典反馈环的量子相干控制具有随机性和破坏性的特征 相比之下，相干量子反馈控制中，量子反馈环中的每一步都是可逆的， 系统的初始未知量子态能通过重复另一次反馈环进行重建，故它是确定 性的和非破坏性的 1 2 量子控制的实验研究现状 量子控制作为一门新兴的边缘学科，已经引起许多科技工作者的注 意在量子控制实验方面，已取得不少成果，成功对一些对象进行了量 子控制量子控制技术最早始于1 9 3 8 年的辐射频率共振技术，但其迅速 发展是在二十世纪7 0 年代末激光法用于量子相干状态控制之后1 8 】到目 前为止，在实验方面科学家们主要以激光、电场，磁场为手段展开对量 子控制的研究 一、激光用于量子控铬的实验研究 激光脉冲具有瞬时功率高、聚焦能力强、易操作等特性，且能够与一 些量子系统发生量子相干，是目前研究量子控制最强大，最理想的工具 它已经被广泛甩于量子力学系统的捕捉、冷却、观测和控制中，在对物质 1 3 硕士学位论文 量子态进行控制时，它能促使物质性质发生积极变化，从而获得期望的 量子态根据光与物质相互作用的原理不同，激光量子控制大体可以分 为两类【4 1 】【4 2 l ，激光相干量子控制法和激光时间分辨量子控制法激光 相干量子控制法的原理是利用一定位相的多束连续发射的激光激发被控 对象，通过调节激光束的相对位相变化来控制被控对象的量子态激光 时间分辨量子控制法则是利用具有高速时间分辨机能的激光脉冲激发分 子，由激光与系统相互作用产生的局域能量来控制被控对象的量子态 二，电场用于量子控制的实验研究 电场也可以用于量子控制中，它通过与一些被控对象发生相互作用 来达到控制的目的t a m b o r e n e a 和m e t i u 用与时间关联的均匀电场研究了 半导体纳米结构中电子的量子控制 4 3 】基本目标是通过操纵电子的波 函数来控制所关心的概率主要有三个研究成果：用高频脉冲对具有多 个亚波段波包进行相干控制；用两个相互作用的电子进行单电子旋转建 模；对双量子点中的两个相互作用电子进行动力学约束这三个研究的 共同特点是都用均匀电场执行对波函数的控制，即利用了电偶极子的近 似哈密顿量h d e l e ( t ) 实验结果表明，以电偶极子的近似哈密顿量 为基础的电子控制方法有望用于高频转换技术、单电子装置、量子信息 处理中，还可以与纳米技术相结合，以达到对纳米材料进行量子控制的 目的【6 】 三、磁场用于量子控制的实验研究 在量子控莉的实验中，磁场既可以作为辅助工具迸行偏转、选择，也 可以作为控制工具直接操纵被控对象的量子态h a y c o c k 等在研究中性铯 原子的量子控制实验中用磁场来约束原子【蚓；b o r s a 等用磁场力显微镜 来对分子磁体进行实验观测和量子动力学控制f 4 5 j ；p u 等研究了钠凝聚 态对外部磁场的动力学反应【4 6 】，结果显示，不同的外部磁场可以使凝 1 4 量子反馈控制系统中噪声影响的熵量度与反馈策略 聚体系统构成不同的激发模式，适当的弱磁场可以驱使系统状态发生变 化，也说明玻色凝聚体在旋量空间的动力学约束能够通过与时间关联的 磁场实现；m e s c h e d e 等通过微粒与电磁场的相互作用对多原子进行了量 子控制【4 7 1 在许多领域被广泛使用的核磁共振法也是以磁场作为基本 工具，在量子控制的研究中也被用到 在量子控制的研究中，除了激光、电场、磁场外，科学家们还对其他 一些实验手段进行了尝试，如利用微波辐射、原子碰撞来进行量子控制 第二章量子熵的基本概念和理论 量子力学是人类二十世纪最重要的发现之一，它是在人们的生产实 践和科学实验深入到微观世界物质领域的情况下建立起来的，是人们对 于自然界认识的深化，已经成为我们认识和改造自然界所不可或缺的工 具而自上世纪中叶以来，信息科学获得了长足的发展，人们开始思考 将信息学与量子系统结合起来，于是，与之相关的信息熵等新概念也应 运而生，这些新概念受到了物理学工作者的青睐并取碍了一定成果本 章简要阐述与量子系统和信息熵相关的量子熵的基本理论 2 1 量子熵概念产生的历史回顾 物理学概念及理论的深入都是逐步的，量子熵的概念和理论也不 例外熵的概念最初是德国物理学家克劳修斯于1 髓5 年定义并命名的一 个热力学系统的状态函数，它严格应用于系统的热运动，是一个与热力 学过程中的能量变化有关的量1 8 丌年，奥地利物理学家玻尔兹曼提出 了玻尔兹曼关系式，建立了熵与系统微观性质的联系，赋予了熵统计学 的意义1 9 2 9 年，匈牙利物理学家西拉德又阐述了熵与信息的关系，揭 示了熵的新意义在统计物理学中，熵是衡量微观系统无序程度的量； 信息论中，熵成为信息的量度目前，熵的概念已渗入到科技领域、社会 科学甚至是入文科学领域，尤其是在量子光学领域，熵理论的应用受到 人们的广泛关注，并取得了重大进展 1 9 3 2 年，v o an e u m a m 首先将b o l t 黜“m 的经典熵推广到量子熵【娼】， s h a n n o n 于1 9 4 8 年在经典熵的基础上建立了信息理论f 4 9 | 1 9 明年，p h o e n i x 和k n i 曲t ( p - k ) 首先用v o nn e u m a a l n 量子熵研究了光场与原子相互作用时两 者之间纠缠的动力学性质删；1 9 船年o h y s 等提出的量子互熵理论 5 1 】，把 1 7 硕士学位论文 经典通讯理论推广到量子领域，是量子通讯领域研究量子力学通道传递 信息能力的有力工具随着量子信息学的迅速发展，1 9 9 6 年c e r f 和a d a m i 等人提出了量子条件熵 5 2 l ，扩展经典信息熵理论到量子信息熵理论， 为理解和解决量子计算、量子通信、量子隐形传态、量子测量等问题提 供了理论基础当系统处于纠缠态时，量子条件熵是负的，这是经典情 况下不允许的负值条件熵是量子纠缠现象最显著的熵特征它对经典 关联和量子纠缠给予了一致的描述另一方面，随着量子力学的发展， 量子信息学的建立，人们对量子纠缠现象给予了高度关注量子纠缠现 象作为量子力学所特有的现象最早为e i n s t e i n - p o d o l s y - r o s e n 和s c h r s d i n g e r 所 注意到，它除了有助于证实量子力学的有效性外，目前，它作为一种重 要的资源已广泛应用于量子信息处理和量子通信而量子熵在这个领域 的一个重