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两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 摘要 人工神经网络是目前国内外关注的一个非常活跃的研究领域，它在智能控 制、模式识别、图像处理、非线性优化计算、传感技术、机器人等众多领域都有 广泛的应用。在实际应用中，人们通过电子电路来实现神经网络的功能，由于受 人为因素以及神经元放大器有限转化速度和技术水平等客观因素的影响，时滞现 象是不可避免的。时滞现象不但会降低网络的传输速度而且常常会导致网络的不 稳定，所以，具有时滞的神经网络系统的动力行为就尤为重要。 在神经网络的动力学模型的研究中，细胞神经网络是目前最流行的人工神经 网络之一，特别是带有时滞的模型被广泛应用于模式识别，信号与图象处理， 人工智能与控制，对这类模型本文第二章中作了相应研究；另外，近年来，带有 反应扩散的时滞神经网络的稳定性研究已经引起了广泛的关注，但对带有反应扩 散的静态时滞神经网络的稳定性研究还比较少，本文第三章就考虑了这样一类具 有反应扩散的时滞静态细胞神经网络。 本文的安排如下：第一章简单介绍了人工神经网络模型，涉及本文将要用到 的定义及定理；第二章利用李雅普诺夫泛函和不等式技巧讨论了一类时滞细胞神 经网络的稳定性，给出了细胞神经网络在有时滞情况下的全局渐近稳定性及全局 指数稳定性的判据。第三章的内容是通过拓扑度理论及李雅普诺夫函数，将时滞 静态细胞神经网络进一步推广，考虑了一类具有反应扩散项的神经网络的全局指 数稳定性，给出了判定平衡点的惟一性及全局指数稳定性的一个充分条件。第四 章讨论了一类非线性二阶时滞微分方程在非自治情况下解的有界性，得到关于方 程有界的两个新的判别准则。 关键词：细胞神经网络；静态神经网络；反应扩散因子；全局指数稳定性； 全局渐近稳定性 d y n a m ic aib e h a vio ro ft w ocia s s e so f n e u r aln e t w o r k swit htim ed eia y s a b s t r a c t a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r ki sav e r ya c t i v er e s e a r c ha r e ai nt h e s e y e a r s ，i ti sa p p l i e di np a t t e r nr e c o g n i t i o n 、a u t o m a t i c c o n t r o ls y s t e m s 、 o p t i m i z a t i o n ，i m a g ep r o c e s s i n g ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，a s s o c i a t i v em e m o r i e s a n ds oo n i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s ，p e o p l ec a r r yo u tt h ef u n c t i o n so f t h ea n nb yu s i n ge l e c t r o n i c t i m ed e l a y sa r ei n e v i t a b l ye n c o u n t e r e di n n e u r a ln e t w o r k sb e c a u s eo ft h ea r t i f i c i a lf a c t o r s 、t h ef i n i t es w i t c h i n g s p e e do fa m p li f i e r sa n dt e c h n i c a ll e v e l ，a n ds oo n t i m ed e l a y sn o to n l y r e d u c et h ev e l o c i t yo ft r a n s m i s s i o n ，b u ta l s oc a u s ei n s t a b i li t ya n dp o o r p e r f o r m a n c eo fn e u r a ln e t w o r k s s oi ti si m p o r t a n tt or e s e a r c hd y n a m i c a l b e h a v i o ro fn e u r a ln e t w o r kw i t ht i m ed e l a y s b a s i n go nt h ed i f f e r e n tb a s i cv a r i a b l e s ，t h em a t h e m a t i c a lm o d e lo f n e u r a ln e t w o r k sc a l lb ed i v i d e di n t ot w ot y p e s m l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k s m o d e la n ds t a t i cn e u r a ln e t w o r k sm o d e l 1 0 c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k sm o d e l r e s e a r c ho ni n t e rs t a t eo f t h en e u r o n ，h o p f i e l dn e t w o r k sa n dc e l l u l a r n e u r a ln e t w o r k sa r et h et y p i c a lr e p r e s e n t a t i v e s ：s t a t i cn e u r a ln e t w o r k s m o d e lr e s e a r c ho u t e rs t a t eo ft h en e u r o na n di t i sa p p ll e di ns e v e r a l r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ，f o ri n s t a n c er e c u r r e n tb a c k p r o p a g a ti o n n e t w o r k s 、b r a i n - s t a t e - i n - a - b o xt y p en e t w o r k s ，a n ds oo n i nt h er e s e a r c ho fd y n a m i c a lb e h a v i o ro fn e u r a ln e t w o r k s ，c e ll u l a r n e u r a ln e t w o r ki so n eo ft h em o s tp o p u l a ra n n ( a r t i f i c i a ln e u r a l n e t w o r k ) ，e s p e c i a l l yf o rt h em o d e l sw i t ht i m ed e l a y s t h e ya r ea p p l i e d b r o a d l yo nt h ep a t t e r nr e c o g n i t i o n 、s i g n a l i m a g ep r o c e s s i n g 、a s s o c i a t i v e m e m o r i e s 、a u t o m a t i c c o n t r o ls y s t e m s ，a n dt h i sk i n do fm o d e lw i l lb e r e s e a r c h e di nc h a p t e r2 i na d d i t i o n ，t h es t a b i l i t ya n a l y s i si s s u ef o r r e a c t i o n - d i f f u s i o nn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y sh a sb e e na 1 1 a t t r a c t i v es u b j e c to fr e s e a r c h ，b u tt h es t a b i l i t ya n a l y s i sp r o b l e mf o r s t a t i cn e u r a ln e t w o r k sw i t hr e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m sh a so n l yr e c e i v e d v e r yl i t t l er e s e a r c ha t t e n t i o n ，w ew i l ld i s c u s st h eg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yf o rt h ef o l l o w i n gd e l a y e ds t a t i cc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t h r e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m si nc h a p t e r3 t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eg e n e r a l k n o w l e d g eb r i e f l ya n dp r e s e n t ss e v e r a li m p o r t a n td e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m ev a r y i n gd e l a y sa r e c o n s i d e r e d ：s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rg l o b a l a s y m p t o t i cs t a b i l i t ya n de x p o n e n t i a ls t a b i l i t yb yu s i n gt h el y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r e m i nc h a p t e r3 ，e m p l o y i n gt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n d l y a p u n o vf u n c t i o n a lm e t h o d s ，w ea n a ly z et h eg lo b a le x p o n e n t i a ls t a b ili t y o fac l a s so fr e a c t i o n d i f f u s i o ns t a t i cc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t h t i m e v a r y i n gd e l a y s s o m en e w c r i t e r i ar e l a t e dt ot h ee x i s t e n c eo fu n i q u e e q u i l i b r i u mp o i n ta n di t sg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y i so b t a i n e d i n c h a p t e r4 ，w ed is c u s st h eb o u n d e d n e s so fs ol u ti o n sf o racl a s so fs e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y s ，s o m en e w c r i t e r i aa b o u tt h eb o u n d e d n e s sa r ed e r i v e d k e y w o r d s ：c e l l u l a rn e u r a l n e t w o r k ；s t a t i c n e u r a l n e t w o r k ； r e a c t i o n d i f f u s i o nt e r m s ；g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y 独创声明 ，本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得或其他教育机构的学位或证 书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示谢意。 学位论文作孝签名：寺且夔 签字日期：x g 年月w 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 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生物的和人工的神经元 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 生物神经系统人工神经系统 神经元，神经细胞处理元件，人工神经元 树突连接函数 细胞体传递函数，作用函数 轴突元件输出 突触连接权重 1 2 人工神经网络的产生与发展 人工神经网络的产生与发展经历了一个曲折艰难的过程。早在1 9 4 3 年，心 理学家w a r r e nm c c u l l o c h 和数理逻辑学家w a l t e rp i t t s 从信息处理的角度出发， 采用数学模型的方法，对生物神经细胞的行为进行研究，提出了形式神经元模型， 称为m p 模型。通过n i p 模型提出了神经元的形式化数学描述和网络构造方法， 证明了单个神经元能够执行逻辑功能，从而开创了人工神经网络研究的时代。这 是第一个用数理语言描述脑的信息处理过程的模型，虽然神经元的功能比较弱， 但它为以后的研究工作提供了依据。1 9 4 9 年，心理学家d o n a l dh e b b 在行为 科学( t h eo r g a n i z a t i o no fb e h a v i o r ) 一书，明确提出了突触联系强度可变假设， 认为突触联系强度是随前后神经元的活动而变化，从而说明了神经元连接强度是 可以修正的，为神经网络的学习算法奠定了基础。1 9 5 7 年f r a n kr o s e b l a t t 首次 引入感知器( p e r c e p t r o n ) 的概念，它由阈值型神经元组成，。试图模拟动物和人 脑的感知和学习能力。1 9 6 2 年，美国斯坦福大学教授b e r h a r dw i d r o w t i 提出了自 适应线性神经元( a d a p t i v el i n e a rn e u r o n ，简称a d a l i n e ) ，并与m a r c i a nh o f f 一起提出了一个新的学习规则，称为w i d r o w h o f f 学习规则。此规则可减少训练 过程中神经网络输出的误差平方和。自适应线性神经元及其扩展而来的多自适应 线性神经元( m u l t i p l ea d a l i n e ，简称m a d a l i n e ) ，早期主要应用于模式识别、 天气预报和自适应控制。人工神经网络第一个成功应用的实例是消除通讯中的回 波。 但是，在1 9 6 9 年m a r v i nm i n s k y 和s e y m o u rp a p c r t 出版了感知器 ( p e r c e p t r o n ) 一书，该书指出：简单的感知器只能局限于处理线性问题，对于 2 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 像x o r ( 异或) 这样简单的非线性问题都无能为力。他们提出了构造含有隐层 的多层感知器的方案，但对隐层神经元的学习规则并不清楚，并对此持悲观态度。 加之当时v o nn e u m a n n 数字计算机和人工智能正处于发展的黄金时期，暂时掩 盖了发展新型计算机和人工智能新前途的必要性和迫切性，在这之后近1 0 年， 神经网络研究进入了一个缓慢发展的萧条期。这期间，芬兰学者t k o h o n e n 提 出了自组织映射理论，反映了大脑神经细胞的自组织特性、记忆方式以及神经细 胞兴奋刺激的规律；美国学者s a g r o s s b e r g 的自适应共振理论( a r t ) ；日本 学者k f u k u s h i m a 提出了认知机模型；s h u n i c h i m a x i 则致力于神经网络有关数学 理论的研究等，这些研究成果对以后的神经网络的发展产生了重要影响。 美国加州工学院生物物理学家j j h o p f i e l d 于1 9 8 2 年提出了一个新的神经网 络模型h o p f i e l d 网络模型。他在这种网络模型的研究中，首次引入了网络能 量函数的概念，并给出了网络稳定性的判定依据。 1 9 8 4 年h i n t o n 等人将模拟退火算法引入到神经网络中，提出了b o l t z m a n n 机网络模型，b m 网络算法为神经网络优化计算提供了一个有效的方法。1 9 8 6 年，d e r u m e h a r t 和j l m c c l e u a n d 提出多层网络学习的误差反传播算法，实现 了m i n s k y 引入隐层的设想。这为多层感知机找到了一个有效的学习算法，从而 把人工神经网络的研究进一步推向深入。 “ 1 9 8 7 年6 月电气和电子工程师协会( m e e ) 在美国加州举行了第一届人工 神经网络( a n n ) 国际会议，并成立了国际神经网络学会，此后，每年召开两 次国际联合神经网络大会( u c n n ) 。1 9 8 8 年l o c h u a 等人提出了细胞神经网络 模型，它在视觉初级加工上得到了广泛应用。为适应人工神经网络的发展，1 9 8 7 年成立了国际神经网络学会，并决定定期召开国际神经网络学术会议。1 9 8 8 年1 月n e u r a ln e t w o r k 创刊。19 9 0 年3 月i e e et r a n s a c t i o no nn e u r a ln e t w o r k 问世。 我国于1 9 9 0 年1 2 月在北京召开了首届神经网络学术大会，并决定以后每年召开 一次。1 9 9 1 年在南京成立了中国神经网络学会。i e e e 与i n n s 联合召开的 u c n n 9 2 已在北京召开。这些为神经网络的研究和发展起了推波助澜的作用， 人工神经网络步入了稳步发展的时期。 9 0 年代初，诺贝尔奖获得者e d e l m a n 提出了d a r w i n i s m 模型，建立了神经 网络系统理论。同年，a i h a r a 等在前人推导和实验的基础上，给出了一个混沌神 3 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 经元模型，该模型已成为一种经典的混沌神经网络模型，该模型可用于联想记忆。 w u n s c h 在9 0 0 s a 年会上提出了一种a n n u a l m e e t i n g ，用光电执行a r t ，学习 过程有自适应滤波和推理功能，具有快速和稳定的学习特点。1 9 9 1 年，h e r t z 探 讨了神经计算理论，对神经网络的计算复杂性分析具有重要意义；i n o u e 等提 出用耦合的混沌振荡子作为某个神经元，构造混沌神经网络模型，为它的广泛应 用前景指明了道路。1 9 9 2 年，h o l l a n d 用模拟生物进化的方式提出了遗传算法， 用来求解复杂优化问题。1 9 9 3 年方建安等采用遗传算法学习，研究神经网络控 制器获得了一些结果。1 9 9 4 年a n g e l i n e 等在前人进化策略理论的基础上，提出 一种进化算法来建立反馈神经网络，成功地应用到模式识别，自动控制等方面； 廖晓昕对细胞神经网络建立了新的数学理论和方法，得到了一系列结果。 h a y a s h l y 根据动物大脑中出现的振荡现象，提出了振荡神经网络。1 9 9 5 年m i t r a 把人工神经网络与模糊逻辑理论、生物细胞学说以及概率论相结合提出了模糊 神经网络，使得神经网络的研究取得了突破性进展。j e n k i n s 等人研究光学神经 网络，建立了光学二维并行互连与电子学混合的光学神经网络，它能避免网络 陷入局部最小值，并最后可达到或接近最理想的解；s o l e r v 等提出流体神经网 络，用来研究昆虫社会，机器人集体免疫系统，启发人们用混沌理论分析社会大 系统。1 9 9 6 年，s h u a i j w 等模拟人脑的自发展行为，在讨论混沌神经网络的基 础上提出了自发展神经网络。1 9 9 7 、1 9 9 8 年董聪等创立和完善了广义遗传算法， 解决了多层前向网络的最简拓朴构造问题和全局最优逼近问题。 人工神经网络是一个快速发展着的- - f q 新兴学科，它作为一种数学算法体 系，已经解决了许多实际问题，而它的生命力也恰恰在于其广泛的实用价值。 1 3 人工神经网络的特性 人工神经网络具有以下特性： 1 并行分布处理 神经网络具有高度的并行结构和并行实现能力，因而能够有较好的耐故障能 力和较快的总体处理能力。这特别适用于实时控制和动态控制。 2 非线性映射 4 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 神经网络具有固有的非线性特征，这源于其近似任意非线性映射( 变换) 能 力。这一特性给非线性控制问题带来新的希望。 3 通过训练进行学习 ， 神经网络是通过研究系统过去的数据记录进行训练的。一个经过适当训练的 神经网络具有归纳全部数据的能力。因此，神经网络能够解决那些由数字模型或 描述规则难以处理的控制过程问题。 4 适应与集成 神经网络能够适应在线运行，并能同时进行定量和定性操作。神经网络的强 适应和信息融合能力使得网络过程可以同时输入大量不同的控制信号，解决输入 信息间的互补和冗余问题，并实现信息集成和融合处理。这些特征特别适于复杂、 大规模和多变量系统的控制。 5 硬件实现 神经网络不仅能够通过软件而且可以借助软件实现并行处理。近年来，一些 超大规模集成电路实现硬件已经问世，而且可以从市场上购到。这使得神经网络 具有快速和大规模处理能力的实现网络。 1 4 人工神经网络的应用 随着理论工作的发展，神经网络的应用研究也取得了突破性进展，涉及面非 常广泛，就应用的技术领域而言有计算机视觉，语言的识别、理解与合成，优化 计算，智能控制及复杂系统分析，模式识别，神经计算机研制，知识推理专家系 统与人工智能。自从1 9 9 0 年批准了南开大学的光学神经计算机等3 项课题以来， 国家自然科学基金与国防预研基金也都为神经网络的研究提供资助。另外，许多 国际著名公司也纷纷卷入对神经网络的研究，如i n t e l 、m m 、s i e m e n s 、h n c 。 神经计算机产品开始走向商用阶段，被国防、企业和科研部门选用。在举世瞩目 的海湾战争中，美国空军采用了神经网络来进行决策与控制。自1 9 5 8 年第一个 神经网络诞生以来，其理论与应用成果不胜枚举。将其应用综合起来主要有以下 方面。 1 模式识别 在模式识别方面的主要应用有：非线性系统识别、动态系统识别、图形和文 5 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 字识别、卫星遥感图像识别、声音识别、模糊系统识别、化学过程的仿真和识别、 医疗疾病的诊断等。 2 预测和预报 在预测和预报方面的主要应用有：经济发展预测、银行汇率预测、股市行情 预测、市场需求预测、天气预报、江水径流预报、洪水预报、电力负荷预报、交 通状况预报等。 3 优化问题 电力输送的优化、大型混合问题的解决、能源的优化利用、水资源优化配置、 水库优化调度等。 4 神经控制 基于神经网络的智能控制有：工程过程控制、运载工具控制、机器人的智能 控制、冰箱温度智能控制、机械振动系统的智能减震控制等。 5 智能决策和专家系统 人力物力优化分配与调度、智能数据库系统、专家系智能学习和判断分析系 统等 1 5 神经网络分类 神经网络根据网络结构( 神经元间连接方式) 的不同，可以分为：前馈网络 ( f e e d f o r w a r dn e t w o r k s ) 和反馈网络( f e e d b a c kn e t w o r k s ) ，反馈网络又称递归 网络( r e c u r r e n tn e t w o r k s ) 。 4 递归神经网络可分为离散型和连续型，其模型分别对应了离散动力系统和连 续动力系统。 离散型h o p f i e l d 神经网络模型 r 卜+ 1 ) = 荟啪) _ 包 2 【毛0 + 1 ) = s g n u i o + 1 ) 】， 是典型的离散型反馈神经网络。 连续型递归神经网络以模拟量作为网络的输入输出量，各神经元采用并行方 式工作，更易于由简单的电子网路实现，许多模型被相继提出。例如，h o p f i e l d 6 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 将他的离散型模型推广为连续型模型，提出了可以由电子网路实现的连续型 h o p f i e l d 网络模型 c 鲁一咄唼啉m ， ， 根据基本变量的不同选择，连续型递归神经网络的数学模型可以分为局域神 经网络模型( l o c a lf i e l dn e u r a ln e t w o r k sm o d e l s ) 和静态神经网络模型( s t a t i c n e u r a ln e t w o r k sm o d e l s ) 两类。 局域神经网络模型将神经元内部状态作为基本变量，其基本形式为 f 警一托) 嘻h ， 2 ， 常见局域神经网络模型有：双向联想记忆( b a m ) 模型，细胞神经网络( c n n s ) 模型，h o p f i e l d 神经网络模型。 静态神经网络模型将神经元的外部状态作为基本变量，其基本形式为 f 警一啪m 喜喇f ) + n 2 常见静态神经网络模型有：递归b p 网络( r e b p t y p en n s ) 模型，脑中盒( b s b ) 模型。 1 6 预备知识 定理1 1 李雅普诺夫定理( l y a p u n o vt h e o r e m ) ：- 一 考虑动力系统 j ( f ) = 厂( 工( f ) ) ， ( 1 1 ) 其中，f ：w 专r “是开集wcr “上的c 1 影射 设i w 是( 1 1 ) 的一个平衡点若v ：u 专r 是定义在i 的邻域ucw 上的一个 连续函数，在u i 上可微，且使得 ( a )y ( 习= 0 ，v ( x ) 0 当工i ； ( b )矿( 工) 0 ，当x u i 时； 则i 是稳定的此外，若还满足 7 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 ( c )矿( 对 0 ( 正定对角阵) ，a = ( ) 椰和b = ( ) 脚分 别是 连接权矩阵及 时滞连接权矩阵 ， 厂( 工( f ) ) = 正( j c l ( f ) ) ，f 2 ( x 2 ( t ) ) ，五( 矗( f ) ) r 】r 4 ， f ( x ( t f ( f ) ) ) = 【五( 五( f 一_ ( f ) ) ) ，f 2 c x 2 c t - r 2 ( t ) ) ) ，五( 毛0 一l ( f ) ) ) 】r r 4 表示神经元在t 时刻的输出， j = ( ，1 2 ，j 。) r r 4 是外部输入常向量。 为了证明结论，我们给出下列假定： ( 日1 ) z ，( 江1 ，2 ，厅) 是有界的，且满足下列条件 i z ( 舌) 一z ( 磊) l 厶i 缶一彘i ，v 缶，参r ( 日2 ) r j ( t ) 是有界而且非负的，满足0 乃( f ) 盯；在r + 上连续可导，并满足 i n fe 置+ 1 - r i ( t ) 0 ， 其中r ( f ) 是乃( f ) 的导数。 系统( 1 ) 的初始条件为毛( s ) = q ( s ) ，je - o ，o l ，i = 1 ，2 ，刀。假定 石= ( 毛，屯，矗) r 是系统( 1 ) 的平衡点，我们做如下变换 y ( f ) = 工( f ) 一工，y ( t - r i ( t ) ) = 工0 一乃( f ) ) 一工 则系统( 1 ) 简化成如下形式 y ；( f ) = 一c ，y ，( f ) + g 如，( f ) ) + g ，( y j ( f o ( f ) ) ) ，( 江l ，2 ，忍) ( 2 3 ) 9 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 其中g ，( ) ，( f ) ) = 乃( ) ，( f ) + 工，) - f j ( x j ) 。 进一步，由( h 1 ) 得： g j 2 吣l 亏i 则 峄郴k r g ，( o ) = 0 ， d + l y e ( t ) = s g n ( y f i t ) ) y , ( d = s g n ( 咒( f ) ) ( 吖，y l ( f ) + g ，( ) ，( f ) ) + g ，( y ， 一乃( f ) ) ) ) 0 及m 1 满足： ) 一而 _ 0 互l 其中范数定义如下： 卜工f f ：l 器1 【善) 一毛| 】l ，2 且对于对称矩阵a 来说，a 0 ( o ) 意味着a 是正定的( 负定的) 。 2 2 1 全局指数稳定 定理2 1 系统( 1 ) 的平衡点工。= ( 毛，而，毛) r 是全局指数稳定的，如果存在 实常数，岛，岛，嘞，f ，= 1 ，2 ，万，满足： 1 0 也+ 窆( 蚶气- 2 岛+ 2 阱埘jr 办) + 窆( 烘+ 二i l ：一2 白互，2 一：珊) 0 ，满足： g 一弛+ 窆( 阱知l 2 岛+ 2 m 捌厶2 以办) + 妻( 避p 明t 町如”+ 2 i 1 2 2 白。：五协) 。 i = t 1 一力【奶【f 考虑李雅普诺夫泛函 悱扩订+ 甜白l 2 ，i y 析( s ) 沁e ( 1 + ，( 糊( 2 5 ) 沿着系统( 3 ) 的解轨迹计算坐兽，得到： _ d r f ( t ) ：窆 2 已甜y i o ) - - c l y 。( f ) + 窆g j ( ) ，( f ) ) + 窆g j ( ) ，o r j ( f ) ) ) 】 “ l = i j = t = t + 韶甜y ；：+ 主蚶白毛z 锄【竖2 s ( t i + r j ( w t t ( t ) ) ) ：( f 一。) 纠 j - l 。 1 7 ，( ，。1 ( f ) ) p 甜喜 ( s 一2 ) ，。2 ( d + 2 喜k i i ) ，) l l g ，( ) ，( f ) ) i + 2 喜m i 咒( d 忙，( y ，。一- ( 嘞) l + 鲥白岛：珊 氅- y 1 2 ( t - ： j ( t ) ) l ，- l 。 1 一f ，( ，- 1 ( f ) ) p s t 窆 ( s 一2 c ；) m 2 ( f ) + 2 主( k r 岛i ) ，。( r ) ( k i l 嘞1 l y ，( r ) 1 ) i = 1 j i l 也喜( ”驴一俐i 删矿i 姒力 + 主阱白2 啦【 j - t 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 ) ，2 ( ) p q 咖 l 一丁j ( 一1 ( f ) ) 一y ，2 0 一乃( 删 利用不等式面圭a 2 + 扫2 来估算( 6 ) 的右边 掣秘剖z 2 + 纠2 勺- 2 锹) + 2 喜l 嘞1 2 。2 一2 - 2 白y ( d + 喜b 1 2 白毛2 嘞) ，2 ( r 一巧( r ) ) + 2 皇b 1 2 。2 岛与2 - 2 嘶咒2 ( r ) + 窆b 1 2 白0 2 渤 ，一lj = l 矗 + j = l 于是可得 由于 其中 l 一死( 一1 ( f ) ) y j 2 ( f 弦q 盯1 嘞 1 一f ，( 一1 ( r ) ) + 2 蚶以白l j 2 锄胼( f ) o y ( f ) y ( 0 ) ，t 0 矗y i 2 0 ) s y ( f ) ，f o i = 1 ( 2 6 ) 一y ，2 ( t - r j c t ) ) =扣c+鼽2白lj2thjl一1 u - - j ， ，d ，l l ” 一f ，f f j l l = 喜，2 c + 喜喜k l 啕弓勖j 舯，署， j i i f d 卢l 1 一r ：，1 ，口、 1 1 1 1 2 + 盟( 斟2 白- 2 强) k j 舢, j 彻喜。广出 l + 黪( 善n 2 白l ，2 嘶) 酬i 1 1 2 ( 2 7 ) ( 2 8 ) 办 2扣 厶 ， 功扣 声 口 。皿 2+ 舀 0 驴 地 驴 口 。闩 + 、， 幻 一g ，l 。汹 甜 p = 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 于是可得 y i 2 ( f ) m e 卅 i - i 也就是 l- - f f b l l - g i 已一 对于所有的t 0 ，m 1 是一个常数，由此得证系统( 1 ) 的平衡点是全局指数 稳定的。 推论2 1 系统( 1 ) 的平衡点工= ( j c l ，屯，毛) r 是全局指数稳定的，如果存在 实常数岛，嘞，f ，j = 1 ，2 ，n ，满足 砌。+ 窆( m _ 2 丹+ 2 川厶2 - 2 乃) + 窆( 蝗+ 2 i i 岛z 惭) 。 ( 2 9 ) j 越1 - r t ( q q ( f ) ) 证明：令嘞= 岛= o 5 ，z ，j = l ，2 ，力，则可以得到推论1 。 2 2 2 全局渐近稳定 定理2 2 系统( 1 ) 的平衡点工。= ( ，而，) r 是全局渐近稳定的，如果存在 实常数，f ，= 1 ，2 ，n ，满足： - 2 c z 1 + ( a + a r ) + q 0 ( 2 1 0 ) 冥中 q ：蜊姒z 蜂) j 越 1 一死( 1 ( f ) ) 证明：对于系统( 3 ) ，考虑如下李雅普诺夫泛函 y c 。= 喜c 2 r “s ，出- 2 喜k 1 2 ( 1 呻c 吵，糟， c 2 1 1 ， 沿着系统( 3 ) 的解轨迹计算坐掣，得到 1 3 箫 两类时滞细胞神经网络的稳定性分析 _ d v f ( t ) = 窆i - i 2 “y f ( 嘞卜q m ( 力+ 喜g ，( y ) ) + 嘉g ，( ) ，一乃( 嘞) 】 + 2 主”1 。唧【士垒 飞z ( y 一。) ) 】) ，= l 。 1 一f j ( f ，1 ( f ) ) n _ 2 q m ( f ) 毋( m ( f ) ) + 艺2 & ( y i ( f ) ) g ，( ) ，( r ) ) + 窆2 ( i rl 岛( 咒( f ) ) 1 ) ( k r 啄i g ，( ) ，o 一乃( 力) ) p + 2 主阮1 2 【l 唧【j 唑一g ，z ( y 一乃( 啪) 】 j 嘲 1 一r a v j 。u 】) 利用不等式动丢a 2 + 易2 ，我们得到 了d v ( t ) n 卜等& 2 ( 们) ) + 窆2 驭们) ) 吩占，( y j ) “ i = l 工咋i = i + 窆陆j 2 唧& 2 ( 咒( f ) ) ) + 2 窆阮1 2 - 2 唧g ( y ， 一。( f ) ) ) + 2 1 蚶卜叫【薹塑竺喝z ( ) ，叫嘞) 】 闩。 1 一f ，( ，。1 ( f ) ) = 一窆争& z ( 咒( 呦+ 窆主2 “咒( 啪9 7 ( ) ，夕) ) + 窆宝k f 2 叼z ( 咒( 功) + 2 主窆1 2 2 唧唑 i i ，_ l 。 i - lj = l l 一彳j (