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广 i l 两类时滞递归神经网络的全局稳定性分析 学位论文完成日期： 指导教师签字： 答辩委员会成员签字： i i i i v 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 ( 注；垒旦遗直甚他霞要挂剔座踢数：奎拦亘窒2 或其他教育机构的学位或证书使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 一二二兰兰三竺三兰三二型堡登一兰三三竺二二! 三二! 竺三 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，并同意以下 事项： 1 、学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。 2 、学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同时授权清华大学“中 国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社用于出版和编入c n k i 中国知识资源总库， 授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) v 导师签字：2 ，乒 导师签字： z 牙矿 签字日期：矽，d 年多月心f _ i 彳 碧 寸 日 莉 心 轻 明 雠 歹 者 年 作 d 文 优 做 舢 位 期 学 日字签 v i 两类时滞递归神经网络的全局稳定性分析 摘要 时滞递归神经网络作为一种非线性信息处理系统，已成功地应用于模式识 别、信号处理、联想记忆、优化计算等领域。研究时滞递归神经网络动力学行为， 如稳定性、周期性、混沌等，对人工神经网的实际应用有重要的指导意义。本文 主要研究s 分布时滞静态递归神经网络的全局指数稳定性和变时滞随机细胞神 经网络概周期解的存在性和全局均方稳定性。 全文分为五章： 第一章为概述部分，简单介绍人工神经网络的概况和本文的主要工作及基本 定义和定理。 第二章中运用l y a p u n o v 泛函，m - 矩阵以及同胚映射方法讨论了s 分布时滞 静态递归神经网络模型平衡点的存在唯一性和指数稳定性，给出了若干充分条 件，举例说明所得结果的有效性。 第三章中利用迭合度理论和推广的h a l a n a y 矩阵时滞微分不等式讨论了s 一 分布时滞静态递归神经网络模型的周期解，给出了周期解存在性和全局指数稳定 性的充分条件。 第四章研究了变时滞随机细胞神经网络模型，运用h o l d e r 不等式和不动点 定理讨论了变时滞随机细胞神经网络的概周期解，给出了概周期解存在唯一性和 全局均方稳定性的充分条件。推广了有关文献的结果。 第五章展望未来的研究方向。 关键词：s 一分布时滞；静态递归神经网络；全局指数稳定性；概周期解；全局 均方稳定性 v i i v l g l o b a ls t a b i l i t ya n a l y s i sf o rt w oc l a s s e so fr e c u r r e n tn e u r a l n e t w o r k sw i t hd e l a y s a b s t r a c t r e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s ，w h i c hh a v eb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di n t h ef i e l do fp a t t e r nr e c o g n i t i o n ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，a s s o c i a t i v em e m o r y , o p t i m i z a t i o n p r o b l e ma n ds oo n ，a r en o n l i n e a ri n f o r m a t i o np r o c e s s i n gs y s t e m s s t u d y i n gt h e d y n a m i cb e h a v i o ro ft h er e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hd e l a y s ，f o re x a m p l e ，s t a b i l i t y , p e r i o d i c ，c h a o sa n ds oo n ，h a si m p o r t a n ti n s t r u c t i o nm e a n i n g sf o r t h ep r a c t i c a l a p p l i c a t i o n so ft h en e u r a ln e t w o r k s i nt h i sp a p e r , w em a i n l ys t u d yt h e g l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rt h es t a t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hs - t y p ed i s t r i b u t e d d e l a y sa n dt h eg l o b a lm e a ns q u a r es t a b i l i t yo ft h ea l m o s tp e r i o d i cs o l m i o nf o rt h e s t o c h a s t i cc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t o5c h a p t e r s ： c h a p t e r1i n t r o d u c e st h es u r v e yo ft h en e u r a ln e t w o r k s ，t h em a i nw o r k s ，s o m e b a s i cd e f i n i t i o n sa n dt h e o r e m s i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，m - m a t r i xa n dh o m e o m o r p h i c m a p p i n ga p p r o a c h ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n tf o rt h es t a t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hs - t y p e d i s t r i b u t e dd e l a y s ，a n dg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s a n dg l o b a le x p o n e n t i ms t a b i l i t y f i n a l l y , an u m b e re x a m p l ei s g i v e nt os h o wt h e e f f e c t i v e n e s so ft h er e s u l t s i nc h a p t e r3 ，b yu s i n gm a w h i n sc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n d h a l a n a ym a t r i x d e l a y sd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t y , w es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y o fp e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h es t a t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k sw i t hs - t y p ed i s t r i b u t e d d e l a y s ，a n dg i v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a l s t a b i l i t y i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gh o l d e ri n e q u a l i t ya n df i x e dp o i n tt h e o r y , w es t u d yt h e m o d e lo ft h es t o c h a s t i cc e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s 嘶mt i m e v a r y i n gd e l a y s ，a n dg i v e t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dt h eg l o b a lm e a ns q u a r e s t a b i l i t yo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n t h er e s u l t so fr e l a t e dr e f e r e n c e sa r ee x t e n d e d i nc h a p t e r5 ，w el o o kf o r w a r dt ot h ef u t u r er e s e a r c hd i r e c t i o n s k e y w o r d s ：s - t y p ed i s t r i b u t e dd e l a y s ；t h es t a t i cr e c u r r e n tn e u r a ln e t w o r k s ；g l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ；g l o b a lm e a ns q u a r es t a b i l i t y x 目录 第一章概述1 1 1 神经网络的概况1 1 2 时滞递归神经网络的稳定性2 1 3 关于静态神经网络2 1 4 时滞随机递归神经网络的动力学行为4 1 5 预备知识4 第二章s 分布时滞静态递归神经网络模型的指数稳定性7 2 1 预备知识7 2 2 平衡点的存在唯一性9 2 3 平衡点的全局指数稳定性1 2 2 41 列子1 5 第三章s 一分布时滞静态递归神经网络周期解的存在性与全局指数 稳定性1 7 3 1 预备知识1 7 3 2 周期解的存在性1 9 3 3 周期解的唯一性和全局指数稳定性。2 2 第四章变时滞随机细胞神经网络概周期解的存在性与均方稳定 性2 5 3 1 预备知识2 5 3 2 概周期解的存在唯一性和均方稳定性2 8 第五章课题展望3 7 参考文献3 9 致谓 4 3 i x l i 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 1 1神经网络的概况 第一章概述 神经网络是人类对大脑的组织结构和工作机理认识理解的基础之上，人工模 拟其结构和智能行为而建立起来的一种信息处理系统，它由大量处理单元通过 适当的方式互联起来，是大规模的非线性自适应系统，具有很强的学习能力、联 想能力和容错能力。 神经网络的研究可以追溯到2 0 世纪4 0 年代。1 9 4 3 年神经生物学家m c c u l l o c h 和数学家p i r s 首先提出了一种人工神经元模型，简称m p 模型，从而迈出了人 类研究神经网络的第一步【l l 。1 9 5 8 年，计算机科学家r o s e n b l a r 提出了第一个智 能型人工神经网络系统，即感知器模型网络，掀起了研究神经网络的第一次高潮。 但m i n s k y 和p a r p e r t 在1 9 6 9 年出版的感知器1 2 】一书中提出了感知器网络的 局限性，从而使神经网络的研究陷入低谷。真正带来神经网络研究兴盛的是生物 物理专家h o p f i e l d 于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表的两篇举世瞩目的论文1 3 , 4 ，他提出 了一种新的神经网络模型h o p f i e l d 神经网络。h o p f i e l d 在该网络中引入了“能 量函数 ( l y a p u n o v 函数) 的概念，阐明了神经网络与动力学的关系，并用非线 性动力系统学的方法对网络的特性进行了分析，给出了网络稳定性的条件，从而 开启了神经网络动力行为的研究。另外，他还将神经网络成功地运用于联想记忆 和最优化计算，特别是将这种网络成功地运用于著名的“旅行商 ( t s p ) 问题 的求解，成为神经网络发展过程中里程碑式的事件。 h o p f i e l d 神经网络的出现拉开了神经网络研究的第二次高潮的序幕，吸引了 许多优秀科研工作者加入到神经网络研究的队伍中来，提出了许多新的神经网络 模型，如：1 9 8 3 年，c o h e n 和g r o s s b e r y 提出了c o h e n g r o s s b e r y 神经网络模型1 5 1 ； 1 9 8 8 年，k o s k o 提出了双向联想记忆神经网络模型1 6 1 ；在同一时期，c h u a 和y a n g 提出了细胞神经网络模型1 7 , 8 1 。 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 经过多年的研究，神经网络的理论研究不断成熟，其应用也日臻广泛。2 0 世纪 9 0 年代，神经网络作为新学科、新方法和新技术，在自然和社会科学各个领域 得到了广泛的应用，它的理论和方法已经成功地应用于模式识别、信号处理、联 想记忆、优化计算以及神经控制诸多领域。 神经网络作为一种数学算法体系，已经解决了许多实际问题，它的生命力也 恰恰在于其广泛的实用价值。 1 2时滞递归神经网络的稳定性 根据神经元之间的连接方式的不同，神经网络大致可以分为两类：一类是前 馈神经网络，这类网络中的信息从输入层开始依次被传递到下一层，直到输出层。 在这种情况下，网络的输入直接影响着第一层，而第一层又影响着第二层，以此 类推：另一类是递归神经网络，与前者相比，这类网络的信息除了从输入端开始， 逐渐传到输出端之外，神经元之间还存在信息反馈。信息反馈使得网络在某一时 刻的输出状态不仅与该时刻的输入状态有关，与该时刻以前的信号也有关系，从 而表现出网络系统的动态特征。因此，反馈的引入使得递归神经网络模型构成动 力学系统。常见的递归神经网络模型包括：h o p f i e l d 神经网络、细胞神经网络、 双向联想记忆神经网络和最优化神经网络等。 由于递归神经网络是一种复杂的动力学系统，所以在设计递归神经网络时， 根据实际应用需要递归神经网络系统必须具备某种基本的特性，如稳定性、收敛 性、周期性等。由于信号在神经网络中的传递需要时间，加之在神经网络的硬件 实现时放大器的转换速度的影响，因此不可避免地存在时滞，时滞往往使递归神 经网络产生震荡和不稳定，造成网络失去处理信息的能力。因此，研究时滞递归 神经网络的稳定性是非常重要的。本文分别考虑了两类时滞神经网络的稳定性问 题。 1 3 关于静态神经网络 文献 9 】根据变量的不同选取，将递归神经网络分为两类： 2 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 一类是局域递归神经网络模型，它将神经元内部状态作为变量研究，其典型的数 学模型为 d x 。, f ( t ) = - a , x j ( f ) + 喜坳乃( 啪) ) 川 2 ，。一 ( i ) 另一类是静态递归神经网络模型它将神经元外部状态作为变量研究，其典型的数 学模型为 d x 甜i ( t ) = - a , x , ( f ) + z ( 喜啪h ) i - 1 2 ，m ( i i ) h o p f i e l d 递归神经网络模型( i ) 已被深入研究，另一方面，某些递归神经网络， 女口r e b p ( r e c u r r e n tb a c k - p r o p a g a t i o n ) 神经网络、b s b ( b r a i n s t a t e - i n a - b o x ) 、o p - t y p e ( o p t i m i z a t i o n - t y p e ) 递归神经网络等都是模型( i i ) 的形式。因此，静态递归神 经网络有很强的应用背景，对其深入研究在理论和应用上都有深远的意义。而目 前静态递归神经网络模型的动力学性质讨论相对较少，特别是含有s 型分布时“ 滞的静态递归神经网络模型的动力学性质的研究更少，在本文的第二章和第三 章，作者考虑了s 型分布时滞静态神经网络平衡点和周期解的稳定性。 ，；， 在本文的第二章，作者考虑了如下形式的静态递归神经网络 警= 一枇z ( 嘉州卅伊舅( 喜小删吣啪协。 i = i ，2 ，忍。 ( i i i ) 在不要求激活函数有界、单调和可微的条件下，首先运用同胚映射、m 矩阵和 s c h w a r t z 不等式讨论了( i i i ) 平衡点的存在唯一性，然后运用l y a p u n o v 泛函方 法证明了其平衡点全局指数稳定性，最后通过具体的例子说明所得结果的有效 性。 由于从生物神经网络系统的观点看，人的大脑时刻处在周期和混沌状态，因 此，对神经网络周期震荡和混沌现象的研究有着十分重要的现实意义o o l 。本文 在第三章，作者考虑了如下神经网络 挈心m 堋喜e 班圳吲啪m ) ，j = 1 ，2 m ( i v ) 的周期解。利用迭合度理论以及拓扑度的相关知识研究了( i v ) 的周期解的存在 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 性，随后利用h a l a n a y 矩阵时滞微分不等式证明了周期解的全局指数稳定性和唯 一性。h a l a n a y 矩阵时滞微分不等式的运用，克服了l y a p u n o v 方法中l y a p u n o v 泛函构造的困难性，所得到的结果也比l y a p u n o v 方法获得的结果减少了保守性。 1 4 时滞随机递归神经网络的动力学行为 随着神经网络应用技术的发展，越来越多的研究表明，一个真实的系统常常 受到随机因素的影响，随机因素往往影响网络的稳定性。因此，随机神经网络系 统的动力学行为是目前国内外学者研究的热点问题。 华中科技大学的廖晓昕教授和英国s t r a t h c l y d e 大学的毛学荣教授在i t o 型时滞系统的稳定性方面做了很多有益的工作。特别是2 0 世纪9 0 年代，他们在 国际上率先研究了随机神经网络的稳定性。 1 9 9 5 年，廖晓昕和毛学荣首次考虑了随机神经网络【1 1 1 出( ) = ( 一b x ( f ) + 如( x ( 7 ) ) ) 出+ 盯( x ( ) ) d 矽( ) ，r o ，( v ) l x ( o ) = x o 得到了( v ) 的几乎必然指数稳定性和几乎指数不稳定的充分条件。 1 9 9 7 年，廖晓听和毛学荣考虑了具有时滞的随机h o p f i e l d 神经网络【1 2 1 d x ( t ) = ( - b x ( ) + 彳g ( ( ) ) ) 出+ 仃( ( ) ) d 形( ) ， ( v i ) i x ( s ) = ( s ) ，( - r s 0 ，f o ) 得到了( v i ) 的均方指数稳定性的充分条件，引起了广泛的关注，经过众多学者 的努力，随机神经网络稳定性问题取得了重大进展。 在本文第四章，作者考虑了如下随机变时滞细胞神经网络 d x ( t ) = 【- a x ( t ) + b f ( t ，x ( f ) ) + c f ( t ，x ( t f ( f ) ) ) 】d f + g ( t ，x o ) ，x ( t - r ( t ) ) ) d w ( t ) ，( v i i ) 运用不动点定理和h o l d e r 不等式讨论了( v i i ) 概周期解的存在性和全局均方稳 定性，推广了有关文献的结果。 ， 1 5 预备知识 4 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 ( 1 ) s 一积分 定义1 5 1 0 0 设厂( x ) 和g ( x ) 是在【口，6 】上有定义的两个有界函数。在【口，6 】中插 入分点a = x o 而 x 2 o ( i ：1 ，2 ，”) ， o i la 1 2 n | i ( i ) 彳是m - 矩阵； ( i i ) a 的所有特征值具有负实部； ( i i i ) 存在向量7 7 0 ，使得砌 0 ； ( i v ) 存在向量 0 ，使得考r a 0 ； ( v ) 存在正定的对角矩阵d 满足a d + d a r 是正定的； ( v i ) 存在p = ( 毋，b ，只) 0 ，使得p r 0 。 ( 3 ) 文献 1 3 中关于随机过程的基本定义 定义1 5 3 称随机过程x ：r l p ( p ，b ) 是连续的，如果 l i m e l x ( t ) 一x ( ) l l ，= o 。 定义1 5 4 称随机过程x ：r 一( p ，b ) 是随机有界的，如果 5 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 l i ms 砌u p p x ( t ) 一x ( o l l ) = o 。 ( 4 ) 概周期函数 一 定义1 5 5 b o 称函数厂( f ) ：r r 是概周期函数，如果v s 0 ，集合 t ( f ，s ) = 扣：l 厂o + r ) 一( f ) i 0 ，3 1 = z ) 0 ， 使得在每个长度为z 的区间内至少有一个r = f ) t ( f ，) ，对一切v t r ，有 l f ( t + r ) - f ( t ) l g ， 成立。 集合r ( ，s ) 叫做厂( f ) 的s 移位数集或s 一概周期集；fd q 做f ( t ) 的s - 移位数 或e 一概周期；， ) 叫做t ( f ，) 的包含区间长度。 ( 5 ) b a n a c h 压缩映像原理 定理1 5 6 t 1 0 1设d 是b a n a c h 空间x 的一个非空闭子集，丁是d 到自身内的映 像，且在d 内满足：v x ，y d ，有 0 a 一矽0 - 0 ，m 0 ，使得 l y - u x l 刮, , o 掣y l ，m l ，- g 1 o 号f oi x li y x i 令= d i a g ( z a ，厶，厶) 0 ，m = d i a g ( m l ，鸠，鸠) 0 。 定义下列矩阵集合： q = d = 破口g ( 珥) 。：旦d 西，i e ，盔每乏，i = 1 ，2 ，玎) ， 4 = 么= ( 吩) ：4 彳互i e ，岛口f 瓦，i ，j = l ，2 ，豫 ， 局= b = ( 6 1 1 ，) 一。什：墨曰否，i e ，垒，瓦，i ，= l ，2 ，甩 。 定义1 2 0 1 称系统( 1 ) 是全局指数稳定的，如果对于任意给定的d q ，彳4 ， b 局，系统( i ) 存在平衡点x 和常数a 0 ，7 0 ，使得v 妒( f ) c o ( ( 咖，o 】，r 打) ， 有 0 x ( ，) 一x 8 7 70 咖一x 0 p 一知，v t _ o ， 成立。其中 8 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 x ( f ) = x ( f ，) ，i i - x l l = m 。自a 甜x s ，如u p 如l 咖( x ) 一一l 。 定义下列符号： 彳= ( ) 嗍，h = ( | 砒川x 尺”，i x i = ( 1 x ，i ，i x , i ，i x , i ) ，i l x l l = m 旧a ；x f l x , i ) 。 c o ( ( - o o ，0 ，r ”) 是 - r ，0 】上的九维有界连续向量函数空间。 2 2 平衡点的存在唯一性 为了证明平衡点的存在唯一性，引入同胚映射概念。 引理1 0 1 如果日( x ) c ( 尺”，r ”) ，日( 工) 是单射，且满足当i i x l i 寸时， i i h ( x ) l i 专，则日( x ) 是r ”上的同胚映射。 定理1若系统( 1 ) 满足条件( t 1 ) ，且a = d 一( 彳+ b ) 是一个m 一矩阵， 则对于任意的d d ，a 4 ，b 马和偏流，系统( 1 ) 存在唯一的平衡点x 。 其中d = d i a g ( g ：，亟，杰) ，彳= ( 口；) 脚，且口；：= m ，“a x 。f 、o ，瓦 ，呓= 的m “a x ， k i ，i 瓦i ( i - ) ，b = ( 。且= 鼢 酬础。 ，+ 证明对于任意的d q ，a 4 ，be 局，令卢= d - 舭il + i b i m v ) 。 由于口是m - 矩阵，由定理1 5 2 知，j 毒， 0 ( i = 1 ，2 ，刀) ，使得 所以有 咆毒，+ 考( 西+ 坞) o ( f = 1 ，2 ，2 ) 。 j i l z 毒+ n 考，( 1 i 口 i + i b o l m z , f ) 0 ( f = l ，2 ，玎) 。 - i 根据定理1 5 2 得到卢也是m - 矩阵。 定义非线性映射如下： ( 2 ) h ( x ) = 一d + f ( a x + ，) + g ( b v x + 1 ) 。 ( 3 ) 显然，h ( x ) = 0 的解是系统( 1 ) 的平衡点，如果能证明映射h ( x ) 是一个r ”上 9 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 的同胚映射，则存在一个唯一的平衡点x 使得h c x ) = 0 ，也即是系统( 1 ) 有一 个唯一的平衡点x 。 下面分两步证明h ( x ) 是r ”上的同胚映射。 。( 4 ) q i ，q 2 ，q ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 令矿( z ) = 考，i z , l ，计算y ( z ) 沿( 6 ) 的右上导数： 打n d + y ( z ) = 喜， s g n z , - d , z ，+ ( 巧+ g 磅】) 由( 7 ) 知，d + 矿( z ) 0 ，使得 j 1 ( p 尸+ 邱7 ) s e o ， 其中e 是单位矩阵。 又因为 a 】7 霄( x ) = 【 】7 卜d 戈+ ( 厂( 彳x + ，) 一厂( ，) ) + ( g ( b 融+ ，) 一g ( ，) ) 】 - - - - - - x 7 p d x + x ，p ( f ( a x + 1 ) 一厂( ，) ) + x r p ( g ( bv x + i ) 一g ( ，) ) ( 8 ) oz h g + 巧 l 乞 。川 + 芦j 、4 一 。 一 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 一i x l rp dx l + l x l rp l f ( a x + 1 ) f ( 1 ) l + l x l7 尸i g ( b 玩+ d - g ( o i 一i x l rp d i x l + l x i7 p l 彳ll i x l + l x l 7 p i b iv m i x i = l x l l p ( d + l a i z + l b i v m ) j i x i ：一拍r ( p e + 2 , p r ) l x i 。 由( 8 ) 式得， 】r 霄( x ) 一s 2 。 由s c h w a r t z 不等式得： s 2 - 0 ( f = 1 ，2 ，门) ，使得 一4 色+ 考，i 勺+ 1 6 1 f ，l 呜j ：f ，) o ( f = 1 ，2 ，丹) 。 设 互( j l l ) = 一毛( z p ) + 毒州口f l l + 2 1 1 7i l 呜) ( f = l ，2 ，甩) 。 则 f ( o ) = 一毛4 + 考( 1 嘞l l + h l 蚂) 0 使得 一毒，( 碣一a ) + 州口f ，i l + e ；t r i 气i 鸩1 j ：f ，) + 加加i m ( f ) i p 刀t c 一4 + a ，l y , o l + 1 万c 之j - i 乃。，l + l 蚕c 童j = 1 乃。+ 口，d 坳c p ，llll i 妒 ( 一4 圳嚆蚓，s u ：p ，g y j ( 咖。 0 ，i = l ，2 ，”) 和n ( z ) = 1 ，：0 v z ，z y ) 。 则存在某个 ( 1 2 ) 两类时滞递归神经网络的稳定性分析 l y l ( t ) l ，o e 一舢【( 1 + 6 ) 0 v ，0 毒m 联考m ；。 p 。舢- 7 1 1 v l l e 舢( f = 1 ，2 ，刀) ， 其中t 0 ，叩= ( 1 + 6 ) 毒m 戥考m i n o 所以系统( 9 ) 的零解是全局指数稳定的，也即系统( 1 ) 的平衡点x 是全局指数 稳定的，证毕。 2 4 例子 。= 言呈 ，彳= 妻 ，b = 喜喜 ，矿= 一 ， 石( x ) = x + s i n x ，石( x ) = ( x + c 。s x ) g l ( x ) = 2 s i i l x ，9 2 ( x ) = 2 x 。， 则i 石( x ) 一石( j ，) l = i x + s i n x - ( y + s i n y ) i = l x - y + ( s i n x s i n y ) i + 训2 c o s 半咖孚l f x - y + 2 s i n 孚i 卜俄孚陋一y l ， 鞋： 同理可得 i 石( x ) 一f 2 ( y ) - 2 i x y i ，i g l ( x ) - g 。( y ) l - o ，常向量，叉( o ) ，使 x ( t ) s y e 吨。 定义3 t 3 1 1称系统( 1 ) 的周期解y ( r ) 是全局指数稳定的，如果系统( 1 ) 存在唯一 的周期解y ( f ) ，并且存在常数a ，m 使得v 妒( f ) c o ( ( 一o o ，0 ，r ”) ，有 挑) 一y 训。m 裟舭p ) 一y ( o ) 1 1 , e - o , v f 仃， ， 其ml l y ( ) l l 。：( 窆i 儿( f ) 1 2 ) 2 ，y ( f ) = ( 乃( f ) ，y 2 ( t ) ，蚝( f ) ) r 是系统( 1 ) 的满足初始条件 ，l l ， 妒( 日) 的任意解。 定义如下符号： 现2 埘m 岫a x ，1 w , ，, ( t ) 1 ，w = ( i ”) ，2 厶硫，w = ( k ) ，f ，= 1 ，2 ，玎， c o ( ( - - o o ，0 1 ，r ”) 表示( 埘，0 1 上的n 维有界连续向量函数空间，c ( r ，r ”) 是r 上的 ，z 维连续向量函数空间，c 1 ( 尺，尺”) 是r 上的玎维一阶可微连续向量函数空间。 3 2 周期解的存在性 定理1 假设系统( 1 ) 满足如下条件： ( t 1