（计算数学专业论文）方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 摘要 由文献 2 9 1 得知若方程满足标度律，则方程的解支可以由标度变换相互联 系，进而可以简化解的计算，因此本文主要用标度律来研究对称性分岔问题。 本文对对称性分岔问题以及诸如等变隐函数定理等结论用表示的语言描述致使 李群在不同空间上的作用变得更加清晰。后本文沿用文献e 2 9 1 提出的标度律，并 在文献 3 1 1 的基础上推广到了一般情况下的标度律，进而用构造的方法提出一类 特殊情况下的标度律所满足的条件的求法，又将参数空间推广到n 维的情况， 并研究了推广后的标度律对解分岔问题的影响。由于对称性分岔问题经过l s 方 法约化后分岔方程依然满足对称性，因此本文讨论了满足标度律的分岔问题并 得出经过l s 方法约化后的分岔方程依然满足标度律这一良好的性质。最后将所 提出的用标度律来解分岔问题这一方法应用在一求2 兀周期解的问题上。首先分 析方程满足对称性，再得出方程满足的标度律，并且通过用l s 方法和奇异性理 论的识别问题得出分岔点处的分岔性态，再由满足标度律的分岔问题经过l s 方 法约化后的分岔方程依然满足标度律这一性质得出所有分岔点的分岔性态。 关键词：紧李群，李群的表示，对称性分岔问题，标度律，l s 约化方法，树枝 分岔 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 a b s 仃a c t f r o mr e f e r e n c e 2 9 i ft h ee q u a t i o n sw i t ht h ep r o p e r t yo fs c a l i n gl a w s ，t h e s o l u t i o n so ft h o s ee q u a t i o n sc a nb er e l a t e db yas i m p l er e s c a l i n g ，t h u ss a v i n gm u c h c o m p u t a t i o n a le f f o r t t h i sp a p e rs t u d i e st h eb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hs y m m e t r yb y s c a l i n gl a w sa n du s e st h es c a l i n gl a w so fr e f e r e n c e 2 9 】a n dp o p u l a r i z e si ti ng e n e r a l c a s e s ，w h i c ha l eb a s e do nt h er e f e r e n c e 【3 1 w es t i l la p p l yt h em e t h o dt oc o n s t r u c t t h ec o n d i t i o n so fas p e c i a lc a s ea n ds h o wh o wt h es c a l i n gl a wa f f e c t st h ep o p u l a r i z e d b i f u r c a t i o np r o b l e m s w ea l lk n o wt h er e d u c e db i f u r c a t i o n e q u a t i o nw i t h l i a p u n o v - s c h m i d tm e t h o dc a ni n h e r i t st h en a t u r eo fs y m m e t r y t h r o u g ht h ed e t a i l e d d i s c u s s i n g ，w ed e r i v et h a tt h er e d u c e db i f u r c a t i o ne q u a t i o nw i t hl i a p u n o v - s c h m i d t m e t h o dc a ni n h e r i t st h i sg o o dn a t u r eo fs c a l i n gl a w s f i n a l l y , w ee x p l o i tt h o s e d i s c u s s e si nt h ep r o b l e mo fs e e k i n gi t s 2 7 t p e r i o d i cs o l u t i o n s t h eb e h a v i o ro ft h e b i f u r c a t i o np o i n ti sf i r s ta n a l y z e db yt h ec o m b i n a t i o no fl sm e t h o da n dr e c o g n i t i o n p r o b l e mo fs i n g u l a r i t yt h e o r y t h e nf r o mt h es c a l i n gl a w sc a nk n o wt h eb e h a v i o r so f a i lt 1 1 eb i f u r c a t i o np o i n t s k e y w o r d ：c o m p a c tl i eg r o u p s ，r e p r e s e n t a t i o no f l i eg r o u p s ，b i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t h s y m m e t r y , s c a l i n gl a w s ，l i a p u n o v - s c h m i d tm e t h o d ，p i t c h f o r kb i f u r c a t i o n 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件，允 许论文被查阅和借阅，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 作者签名：垄至莶1 日期：! 堇! j ：丝 南京航空航天大学硕士学位论文 1 1 分岔概述 第一章 绪论 分岔是非线性科学的一个重要分支，它的近代发展有着深刻的数学和应用 背景，并且与非线性科学的其他分支如混沌、突变、分形、拟序结构等密切相 关。分岔问题不仅存在于数学中，也普遍存在于力学、物理、化学、经济学、 社会学、生态学、工程技术等各个学科中。例如，力学中的屈曲问题 1 】【2 】：非 线性振动的共振问题 1 】( 3 1 ；物理学中的相变；旋转流体系统【4 】；化学中的连续 搅拌槽反应器 5 中存在的耗散结构的多稳态和振荡现象、以及当一些自然条件 超越某些特定状态时引起的生态平衡被破坏或种群灭绝等都可以从分岔的角度 来研究。分岔的定义有很多 6 7 1 0 ，所谓分岔现象，是指依赖于参数的某一研 究对象当参数在一个特定值附近作微小变化时，它的某些性质所发生的本质变 化。分岔理论研究系统由于参数改变而引起的解的结构和稳定性的变化过程。 分岔问题起源于研究一些力学失稳现象。早在1 8 世纪中叶，伯努利( d a n f c l b e m o u l l i ) 和欧拉( l e u l e r ) 等人就已经研究过杆侔在纵向压力作用下的屈曲问 题。1 8 3 4 年，雅可比( c g j j a c o b i ) 在研究自引力介质的椭球形旋转液体星的 平衡图形时，首先引进分岔这个术语。1 8 8 5 年，庞加莱( h _ j p o i n c a r 6 ) 提出旋 转液体星平衡图形的演化过程的分岔理论。1 8 8 3 年，雷诺( o r e y n o l d s ) 发现 在临界雷诺数时层流转变为湍流的现象，从此开创了流动稳定性的研究，固体 力学的屈曲和流体力学的转捩一直是推动分岔研究的重要动力。【5 】 分岔分为局部分岔和全局分岔，也可分为静态分岔和动态分岔两类。局部 分岔研究在奇点( 平衡点) 附近动力系统拓扑结构的变化，即在它们的邻域内 局部向量场( 或微分同胚) 的分岔，如鞍结分岔、叉型分岔、跨临界分岔、h o p f 分岔等。如果分岔分析涉及向量场的大范围拓扑结构，则称为全局分岔，如同 宿或异宿分岔和p o i n c a r $ 分岔。静态分岔指只有平衡点的数目和稳定性发生变 化的分岔问题，如平衡点的鞍结分岔、跨临界分岔、叉型分岔等。动态分岔是 指系统在相空间运动的相轨线在非结构稳定时的拓扑变化，如h o p f 分岔、闭轨 分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔、拟周期分岔等 5 】。由于周期运动对应p o i n c a r 6 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 截面上的不动点，所以周期运动闭轨也会发生静态分岔【1 1 。 分岔问题的研究方法可分为理论方法和数值方法两大类，其中理论方法又 分为定性和定量方法。近代研究分岔问题的主要理论方法有奇异性方法、中心 流形方法、p b 规范性方法、幂级数方法等 1 2 。 奇异性理论 7 1 1 3 】【1 4 】是近代数学的重要分支，它研究可微映射的退化性 和分类等问题，并且成功应用到分岔研究中。在静态分岔问题中，该理论严格 解决了“有限确定性”问题，从而静态分岔可以用比较简单的戈鲁比茨基沙弗 ( d g s c h a e 髓r ) 范式进行识别和分类。我们还可以通过普适开折去研究在一般 扰动下可能出现的所有分岔形态，并给出分岔转迁集等，它是一种研究平衡点 分岔的统一且有效的方法。对于高维系统，通常先用李亚普诺夫施密特 ( e s c h m i d t ) 即l s 约化方法进行降维，然后用奇异性理论方法研究约化系统的 分岔。 中心流形方法 1 5 】 1 6 】也用来对高维问题进行降维。j c a r r 1 5 i 正明了系统奇 点的稳定性与中心流形上简化方程奇点的稳定性等价，若将参数看成独立的变 量，中心流形理论就可以用在分岔研究。 p b 范式方法 5 】【1 7 1 8 1 9 由庞加莱和伯克霍夫得出完整的理论，在平衡点 附近，用近似恒同的非线性变换将常微分方程化简，只保留共振项，便得到方 程的p b 范式。 还有后继函数法 2 0 ，次谐梅尔尼科夫函数法 1 7 】等方法都是定性研究的。 摄动法 1 1 1 2 1 1 2 1 1 司r 得定量结果，而分岔理论的数值研究方法有符号动力学方法 2 2 、胞映射法等。在分岔数值计算中包括稳定性条件的判别、分岔点的计算【3 6 】、 对称破缺分岔点的计算 4 1 1 、分岔解的追踪。季海波，武际可 2 3 】以及武际可， 周昆 1 0 】对分又问题及其数值方法进行了讲述。 对称性是自然界中的一个普遍属性，是指在某个群的作用下不变的性质。 分岔问题解的结构变化不仅同参数改变有关，而且还强烈地受到方程自身的对 称性的影晌，因此研究对称性分岔问题是具有很大意义的，它尤其在固体力学、 流体力学、物理学、化学、生物学及一些工程领域中都有重要应用。群分析是 唯一的寻找微分方程的对称性的严格数学方法。上世纪7 0 年代末以来， m g o l u b i t s k y 【1 等人将奇点理论同群论方法结合起来引进群的对称性后，通过 运用群表示论和不变理论工具将分岔理论的研究范围推广到具有对称形式的解 的结构变化并使计算过程简化。一旦知悉方程的对称性，就会有许多价值的结 南京航空航天大学硕士学位论文 果，对方程降阶，因而易获取完整积分；将非线性方程线性化，将线性微分方 程变成常系数微分方程，而最广泛的应用，是求得微分方程的自相似解，即标 度律。【2 4 】 1 2 标度律简述 标度律的雏形是自相似性的存在。自相似性是一种古老的思想，即几何对象 的一个局部放大后与其整体相似。约在1 7 0 0 年左右莱布尼兹和拉普拉斯的标度 变换将这种思想用在直线的情形，而后又把它推广到直线和平面以外。1 9 2 6 年 理查森( r i c h a r d s o nl f ) 指出湍流可以分解为自相似的涡旋。进而，这种思想 在力学中的引人注目的解析结论于1 9 4 1 年由k o l m o g o r o v 提出的串级过程的标 度律所描绘。在相变理论的应用中，标度律最早于上个世纪6 0 年代由w i d o m 和 k a d a n o f f 提出来并且发展成为标度理论【2 5 】。相变理论7 0 年代的发展使威尔逊 ( k w i l s o n ) 在1 9 8 2 年由标度理论进而提出重正化群方法而获得诺贝尔物理学奖， 无疑标度理论对相变理论的发展是一个不可磨灭的贡献。郝柏林【2 6 】在研究阵发 混沌的标度理论时对标度理论进行了简要介绍。 标度理论的一种表述方式，就是假定相变点附近物理系统的热力学量是广 义齐次函数。一个多变量函数9 0 ，y ，) ，如果把它的所有自变量都改变同一倍 数f ( 实行标度变换) ，而整个函数只增加一个因子，n ： g ( t x ，t y ，y = r g ( x ，y ，) ，( 1 2 1 ) 我们把这样的函数叫做m 阶齐次函数。特别地，如齐次多项式就是一个齐次函 数。 如果在( 1 2 1 ) 式左边必须用，的不同幂次来标度各个自变量，才能在右面挤 出同一个因子严，g 就是一个广义齐次函数 2 6 ，即有 g ( 1 9 x ，”j ，) = l m g ( x ，j ，) ( 1 _ 2 2 ) l e s t a n l e y 2 5 】曾称p ，v 为标度幂。广义齐次函数的微分、积分、傅里叶变换等 等，都是各种不同阶的广义齐次函数。在阵发混沌的标度理论【2 6 】、临界现象的 标度理论和渗流模型的标度理论中，它们都是首先进行参数变换，其目的是将 参量变换成在临界点处数值为零，然后进行标度假设，即得到广义齐次函数。 不过刘式达和刘式适 2 7 把这种情况称为满足标度对称性。 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 尽管标度律应用在不同的研究中，而在分岔中的应用却比较缓慢。1 9 5 8 1 9 6 3 年芬兰数学家麦博格( p j m y r b e r g ) 对倍周期分岔序列进行了研究，而 f e i g e n b a u m 2 8 和c o u l l e t 等人于上世纪7 0 年代末独立地发现倍周期分岔现象中 的参数空间和相空间都出现了标度性质。1 9 8 8 年s c o v e l 。k e v r e k i d i s 和 n i k o l a e n k o 2 9 对定态k u r a m o t o s i v a s h i n s h y ( k s ) 方程的分析证实了方程的解由 标度变换相联系的存在性，提出了标度律与系统模型构造中的分岔预测，将分岔 与标度律联系了起来。1 9 8 9 年b w e m e r 和a s p e n c e 3 0 也提出树枝分岔的二级 分岔虽然不对称但是可以由线性变换根联系，提出了不同于以往的解支由群作 用相联系的理论。而1 9 9 0 年p j a s t o n 3 1 1 以定态k s 方程为例给出了标度律与 分岔的理论知识，并讨论了标度律对分岔问题的影响，对于等变分叉问题的研 究又开辟了一条新的道路。1 9 9 7 年，刘式达和刘式适 2 7 1 总结了对动力系统作标 度变换可找出不变量及其在海岸线、湍流、临界相变、流体动力学方程和扩散 方程、序列和符号、混沌模型等方面的应用给出了详细的分析。在临界现象中 把临界指数之间满足的等式称为标度律，而s c o v c l 2 9 等人是把方程满足的经过 正交线性同胚的变换所满足的等式称为标度律。可见对于标度律的概念是不准 一的，但都是对标度对称性的反映。本文将沿用1 9 8 8 年s c o v e l ，k e v r e k i d i s 和 n i k o l a e n k o 2 9 】提出的标度律。 1 3 本文的研究背景 对于对称性分岔问题 g ：x r 斗y ，g ( x ，丑) = 0 ( 1 3 1 ) 其中x 和y 是b a n a c h 空间，g 是c f ( ， 1 ) 映射，r 和r 是紧李群r 分别在空 间x 和y 上的表示，g 又满足等变条件 t ( 7 ) g ( x ，五) = g ( t ( y ) x ，旯) ，v ，f ( 1 3 2 ) 从( 1 3 2 ) 我们可以看到，如果( 粕，勘) 是方程( 1 3 1 ) 的解，那么( 孔r ) x o ，凡) 也是 它的解，我们称这种情况为解满足对称性。 19 8 8 年s c o v e l ，k e v r e k i d i s 和n i k o l a e n k o 2 9 1 研究了k s 偏微分方程 虬+ 4 “j 埘+ 。o + ( 1 u l l ，= 0( 1 3 3 ) 的定态分岔图，其中方程有2 7 【周期边值条件，口是参数，“以2 7 c 为周期0 为 中点。文中考虑了k s 算子 南京航空航天人学硕士学位论文 c ( “) = 4 “一+ a ( u 。+ u b l 。) ， ( 1 3 , 4 ) 由变换r “( x ) ；妇( b ) 得出算子巴满足标度律二。( r k u ) = k 4 r 。e ( “) ，因此当 f o ( u ) = 0 时有。( r “) = 0 事实上，a = 4 ，a = 4 2 2 ，4 3 2 ，4 4 2 等处都有平 凡解u = 0 ，由此得出方程的解支由标度联系起来。1 9 9 0 年e j a s t o n 在文献 3 1 中研究了对称性分岔问题( 1 3 1 ) 中j ，：y ，芦丁的情况，提出了若存在正交线性同 胚h ：鼻寸= 和非零常数c b ，满足 c h g ( x ，五) = g ( b h x ，舰) = g 二( b h x ，1 2 ) ( 1 3 5 ) 则称分前方程满足标度律，其中f 是对于空间k 紧李群r 的子群的不动点子 空间。该论文还得出满足标度律的分岔问题的分岔解支之间可以由标度变换联 系起柬接着研究了原分衍点与重新标度后的分岔点的迷向子群、不变子空间 之间的联系。陔文分析证明了上述问题满足标度律时的等变分岔引理，最后将 这些讨论应用在了定态k u r a m o t o s i v a s h i n s h y ( k s ) 方程 g ( x 五) i 4 x ”。+ a ( x ”+ 麒) = 0( 1 _ 36 ) 中由标度变换h 。u t x ) ；u ( k x ) 得出( 1 3 6 ) 满足标度律 是3 h t g ( x 五) = g ( k h k x k 二a ) ，( 1 3 ，7 ) 并且该文对解支进行了分析，从标度律得出的解支之间由标度的相互联系和实 际的分篱图中解支之间的关系相符，因此简化了计算。鉴于利用满足标度律的 分岔方程可以简化分岔问题解的计算，而实际中大多是静一强丁的情况，因此 本文对p j a s t o n 3 1 的研究情况进行了扩展，并从不同的方面研究了满足标度律 的分甜问题对l s 方法简约后的分岔方程的影响。 1 4 本文的工作和内容 本文的创新点主要体现在以下几个方面： ( 1 ) 本文第三章中的命题3 4 4 和命题3 4 5 是对已有结论进行了推 广。 ( 2 j 在d 人的启发下于第四章将对称性闯题( 1 3 1 ) 推广到鼹y ，紧李 群r 在x 和r 上的表示不同的情况下，并分析了推广后的标度律对其分岔问题的 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 影响。 ( 3 ) 讨论了x 是y 的r 不变子空间这一特殊情况，并进一步将参数空 间扩展到n 维。 ( 4 ) 由于对称性分岔问题通过l s 简约后的分岔方程依然满足对称条 件，因此本文通过讨论满足标度律的分岔方程的l s 简约方法，得出经过简约后 的分岔方程依然满足标度律这一很好的性质。 ( 5 ) 最后将如上讨论应用到一求2 托周期解问题中，通过标度律与l s 方法，奇异性理论的识别问题相结合，得出分岔点处的分佾性态。 这样对于不是很好计算分俞解的分支之间关系但是又符合标度律的分岔问 题，就可以通过它的标度律知道解的分支可以由标度相互联系起来。 本文的结构安排如下： 第二章由于本文的研究基于等变分岔问题，借助群论、表示论的知识， 主要是紧李群在b a n a c h 空f b 上的作用，因此首先介绍紧李群、李群的表示、关 于群作用的不变积分即h a a r 积分以及在群表示论中占有重要地位的不可约性。 第三章首先介绍对称性分肃问题，并且对l s 方法以及满足对称性的分贫问 题的l s 方法做了详细介绍。由于常用奇异性理论和l s 方法相结合来讨论分翁 问题，所以在第三节中简要介绍了奇异性理论的识别问题。第四节介绍分俞的 对称破缺理论酸理论用来研究方程解的对称性变化，也是等变动力系统的分 箭理论要解决的一个基本问题。介绍迷向子群和不动点子空间，因为它们直接 反映在群作用下空间中一个点的所有对称性。 第四章引入对称性分岔中的标度律，将标度律推广到更一般的情况，进一 步研究标度律对解的对称分葫问题中的影响和联系，同时介绍满足标度律的分 岔方程在经过l s 方法简约后的性质。 第五章是应用部分，首先讨论方程的对称性性质，然后得出方程满足的标 度律，第三步用l s 方法求出简约后的分岔方程，最后通过对系数的计算得出与 某- 二g s 范式强等价，从而得知方程在分岔点处的分衍性态。 南京航空航天人学硕士学位论文 第二章群论基础 本章介绍的群论基础主要是介绍紧李群的一些知识，首先在2 1 中引入李 群的概念，并讲述李子群、李正规子群等一系列概念。在2 2 中简要介绍群论 几何方面的基本内容即紧李群的表示论，介绍表示以及子表示、限制表示、商 表示等概念，同时为了后面的需要提出一有用的命题。h a a r 积分是紧致群的一 个重要的性质，而不可约表示在群表示论中也占有相当重要的地位，因此分别 在2 3 和2 4 中介绍这两个内容。 2 1 紧李群 定义2 1 p 。李群是具有下列性质的集合r ： ( 1 ) f 是一个群： ( 2 ) r _ 是一个解析流形： ( 3 ) 乘积流形厂r 到r 中映射( ；功l _ 勃。解析。 李群r 是紧的，指作为可微流形r 是紧的。 g l ( n ) 是n n 的所有可逆矩阵组成的一般线性群。 本文所研究的紧李群为g l ( n ) 中的有界闭子群，即f 交群d ( n ) 及其闭子群。 定义2 1 2 。”设i _ 是李群，如果是流形r 的予流形，又是群r 的一个子 群，则称为r 的李子群。 定义2 1 f ”r 是李群，如果是流形r 的子流形，又是群i _ 的正规子群， 则称为r 的李正规子群。 定义21 4 。2 。是李群r 的闭子群，则在商空间v e 中可自然地引进流形结 陶，使自然映射玎：r 寸r 为解析映射，9 1 r j r z 称为群r 模的齐性空f n j ，若是 闭正规子群，则f e 为李群，称为r 模正规子群的商群。 例2 1 1 a ) n 维诈交群0 ( n ) ，由n x r l 的证交矩阵组成，即 o ( n ) = ，g l ( n ) i z y7 = l ， 互堡! 堕壁塑堡鏖堡垄茎坌垒塑望主塑窒旦 b ) 特殊正交群s o ( n ) 2 圬o ( n ) ld e t y = l ，可以由定义得出它是0 ( n ) 的李 子群。 制地泖) 中的元素可表成平面旋龇= 坶c o n s ；- 鲫s i n 毋8 j 应r o - - - 0 硼泖，与圆周利同构。记d ：三卜平面翻转 s o ( 2 ) 和x 生成的，因此有时也称s o ( n ) y jn 维旋转群。 这样通过对 则0 ( 2 ) 可由 c ) z 。为n 阶循环群，z ，可以看作是由2 x 2 矩阵r 2 。生成的群。 即z 。= r 2 。l k = o ，1 加 ( 有限群的阶为它所包含的元素的个数) d ) 2 n 阶二面体群d n 可以看成是由z ，和盯生成的。从几何上来看，它是 fn 边形的对称群，z 。是旋转对称子群。 e ) 任一有限群都同构于一李群。 f ) n 维环面r 司l s 1 s 。出护t ”- 毛0 0 r o , ：一 o0 o 0 得f 同构 于一个属y - g l ( 2 n ) 的李群。 在群的知识罩我们知道有群同态定理，对于李群同样可以得出李群中的同 态定理。 定义2 15 。2 j 若妒是李群i - l 到李群r 2 的群同态，又是连续映射，则称为 为李群的同态。若妒是李群广i 到李群r 2 的群同构，又是同胚映射，则称为舻为李 群的同构。 定理2 1p 2 1 设昵李群g 】到李群g 2 上的同态，则旷1 ( 8 2 ) 是g l 的闭正规 子群。又设刀为g i 到g o - 1 ( 8 2 ) 的自然同态，则有妒使得萨妒万，且口为g l 6 f f l ( e 2 ) 到g 2 的李群的同构，即g 2 - zg d 6 - 1 ( 8 2 ) 。 ， 盆 - ( 其中。二是李群g 2 的单位元) u 广2 具体证明见文献 3 2 。 丌f o g l 矿( e ! ) 8 图2i 车群h 态定理交换幽 南京航空航天大学硕士学位论文 例2 1 2 对于紧李群2 阶f 交群d ( 2 ) ( 由r 。盯生成) ，因为r 2 耐女t e = r r 2 枷因此k 阶 循环群z * ( 由只2 州 生成) 是f 交群0 ( 2 ) 的正规子群，对如下定义 胁：0 ( 2 ) _ 0 ( 2 ) ，口“r 。) = r 础， 我们可得 孱( 见尺口) = 鼠( 见- b ) = r k 。岫= 屯r k 口= 屏( 心) 成( 心) 因此胁是紧李群伙2 ) 到o ( 2 ) 上的同态，有o ( 2 ) z 。兰口钛o ( 2 ) ) 事实上，由于 尺。r 2 扩r 二“牌。= r l m 女) ，因此商群o ( 2 ) z t 也是李群。 而屏( z ) = 厥( r 2 ) = r 2 n = ，因此z 。是反的核。 由定理2 1 1 ，得o ( 2 ) z 女兰刷d ( 2 ) ) 2 2 李群表示和作用 定义2 2 1 李群r 在向量空间上的( 线性) 表示是指一个映r 到g l ( p 3 中的同冬 p r - + g l ( f 2 2 1 ) 记为( t ，矿) ，p 为表示空间，d i m v 称为表示的维数。此同态 使得( y z ) - - - - ) t ( z ) x ：r 矿斗v f 2 2 2 1 连续，其中g l ( v ) 是向量空间p 7 到自身的可逆线性变换集，此时称映射( 2 2 2 ) 为 r 在v 上的个作用。对v 圬r ，工v ，- 己肛= 玎7 归，据定义有： ( i ) 对每个胆r ，x 卜p x ：儿矿是线性的； ( i i ) ，l ( 托x ) = ( 一以) 工，v ，i ，n f ，工矿； ( i i i ) p x 可，v x v ，这晕e 是1 1 中的单位元。 例二2 1 a ) 标准作用r 在肛掣上的标准作用由矩阵乘法给出。 b ) 平凡作用r 在净癜7 上的平凡作用为弧豫”，挥lr 耥 c ) 圆周群s 1 在c 或鼹! 上的作用，可以把r ：等同于复平面c ，由 曰：= p 删二v 目es 1 ，k z 给出。由于( 2 ) ：s 1 ，因此s o ( 2 ) 在r 2 上的作用有 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的麻用 r o ：= e i k o z 当k = 1 时，这种作用与s 0 ( 2 ) 兰s 在r 2 上的标准作用是等同的。 d )0 ( 2 ) 对空间鼹2 的作用由c ) 定义的s o ( 2 ) 在酞：上的作用和如下定义的翻 转作用组成 k _ r = - - 手 e ) f a g l ( n ) 作用在r l n 矩阵空间a 上，r a = 雄，。v y e f 定义2 2 2 。“设7 1 是李群r 的表示，h 是r 的子群，显然含入映射 h _ + r ( 即肼) = a v h e h ) 是个群同态，于是t 。，是h 的表示，称它为丁在子群h 上 的限制表示，已为刀h 定义2 2 3 。”设r 是1 1 的表示， 矿的一个线性子空间u 称为r 的不变子 空间或者r 不变子空间，如果t ( y ) u u ，v y e f ，“u ，则对于v 腭r 和v 的可逆 线性变换订力可以限制到子空问 ，上成为己r 的可逆线性变换，记作玎y ) l u 令 7 _ u ( 力：2 ( y ) l u v y e f ， 显然，t ij 是群i 到群g l ( 的同态，从而称( r u ，u ) 是( 丁，功的子表示。 定义2 2 4 。3 “对于每个延r ，利用矿的可逆线性变换r f r ) 可以定义商空间 v , l 的一个变换如下： x + 乙f h t ( y ) x + u v x v ， 一 则上式是, 7 u 到自身的个映射( 利用c ，的不变性，得出上式右边不依赖于给 定陪集的代表x 的选择) ，易得此变换是可逆的，把这个变换记作t v u ( 力，于是 我们得到了群r j 到群g l ( v ) | 的一个映射：y t w u ( 力，容易验证这是一个同态， 因此凡刖是r 的具有表示空问纠u 的表示，称它为r 的商表示。 定义2 2 5 设乃，疋是李群r 在向量空间v l 和k 上的表示，若有满射 口：i _ _ r ，且存在一个线性同构爿：_ 屹 使得v y e f ，疋( 刖= a t i ( 厦力) ， 则称n 和乃是等价表示。 - 班 丁，( 麒力) il 疋( 力 士 h 1 斗圪一 幽2 2 等价表交换幽 特别的，如果爿是丁f 交的，则称爿是正交等价映射，称7 】与疋是正交等价的。 南京航空肮犬人学硕士学位论文 例2 2 2 s 0 ( 2 ) 作用在c 上，由于s 0 ( 2 ) s i , 作用定义为 吕芋e l 乞而( 2 ) 作用在r - 上定义为 蜀件瞄嚣) ， 则有爿：c 皿! 爿( ：) = 爿( “+ i 6 ) = f ：j ，贝4 因为 。4 ( 伊二) = 1 4 ( 一) = a ( a c o s o - b s i n 6 h - i ( a s i n s + b c o s 护) ) 2。acoso+-bsintg，=。c。o。nsas i n 0 b c o s 0 0 口一c 8 i o s n o 臼 ( 口b = r ( ： = 月伊c _ 二， i + j s mj ij一“l6j “” 因此这两个表示是等价表示。 定义2 2 6 。“李群i _ 的表示( t ，矿) 称为酉( 正交) 表示，如果在空i 可v 中存在一个内积使得对于这个内积所成的酉( 欧几罩德) 空间中，每一个7 t 力 ( 7 e r ) 都是酉( 正交) 变换，这样的内积称为【1 不变内积。 对于矿上的r 不变内积，有( ，x y y = v x y v ) ，f 文献 3 3 】中指出两个等价的酉表示是酉等价的，对于正交表示有如下命题： 命题2 2 1 两个等价的f 交表示是正交等价的。 证明：设，与于是作用在x 与y 上等价的正交表示，则存在同构爿奠与只 使得 a t ( z ) = 于( y ) 41 ) 由于t 与于是正交的，出1 ) 得 彳：一4 7 - 0 = 于( 彳7 ，一i a t = 0 ja t = 于， 即 黝：爿，于2 、 由1 ) 和2 ) 得爿爿于= a t a = 胁，由此可以看出于与4 爿可交换 由极园子分解我们知a ：( a a ，、i d ，其中9 是正交矩阵，因为a 是同构，因 此对应的矩阵( 爿爿一) 一i 存在，9 1 , i j q ：( a a ，) 一i 爿 则( 4 47 ) 一 - a t ：( a a ，) 一：勘：于( 州r ) 一j 爿， 即q 丁= 勉于= q r o 其中q 为f 交矩阵。 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 则7 1 与f 正交等价。 2 3 不变积分 任 司g ( n ) 中的紧孚群郡等同于0 ( n ) 中的于群，为觯罕群与lf - 芟表不之 削的这一联系我们还需要介绍一些不变积分的内容。不变积分也称为h a a r 积分。 这一小节我们先介绍紧李群上h a a r 积分的概念和基本性质。 定义2 3 p ”设c ( r ) 是紧李群r 上的连续实值函数的全体，r 上的h a ar 积分是一个线性泛函s r ：c ( r ) 一瓞一f 厂( 或者记为f 彤y ，f 厂( y ) 办) ，满 足 ( a ) 线性 f ( 五厂+ g ) = 五f 厂+ f g ，其中v fg c ( r ) ，z ，毪： ( b ) 非负性 如果，( 力o ，对v y e r ，则f r f d 7 o ： c ) 右不变性 f 。，1 ( m ) d r = f 。，。( z ) d z ，v 挺1 1 ： ( d ) 规范性l2 1 ，这里积分号中为常值1 函数。 定理2 3 1 ”4 1 设r 为紧李群，则r 上存在唯一的h a a r 积分i ：c ( i _ ) - + r ， 而且它还满足 ( e ) 正性 若厂非零且，( 力o ，对v 胆r ，则f y ) o ： ( f ) 左不变性 f 。，( 影) 影= f 。，f ( 7 ) d 7 ，v 6 e r ； ( g ) 逆不变性f 。f ( 7 ) d 7 = f e rf ( 7 “w ， 定理2 3 2 设紧李群r 作用于内积空间( n ) 上，则矿上存在与 等价的r 不变内积。 注：常弹2 3 的证明关镍果技到矿e f 不蛮内积，因此我们定义 南京航空航天人学硕士学位论文 r ：阪h 哩电，户r = 土 d 7 ，v x ，y v f 为r 上的h a a r 积分， r 是矿上的内积，而且是1 1 不变的。具体证明见 文献 3 4 】。 定理2 3 3 ”i _ 是作用在b a n a c h 空间矿上的紧李群，7 1 是旭r 的矩阵表示， 则存在一个v 上的内积，使得对v 挥r ，兀力是正交的。 证明：用h a a r 积分构造不变内积，即满足 ( t ( 1 3 ) v 丁( 万) w r = ( v w ) r ，v 涎r 定义( v w ) r = l ( 丁( y ) v t ( 7 ) w ) d 7，其中 是b a n a c h 空间v 上的内积。 利用h a a r 积分的左不变性得 ( 7 ( j ) n t ( d ) w ) ，= f ( 丁( j ) 7 ( y ) v ，t ( d ) t ( z ) w ) d y = f ( 丁( y ) v t ( y ) w ) d y = ( v w ) ， 因此在h a a r 积分下定义的内积使得h n 是正交的。 二 佰i i2 3 1 1 ) r 是有限群，州是r 的阶，则 f 厂= 厅i 旧z ，厂( y ) 2 j 1 7 = s o ( 2 ) ，连续函数_ 厂：s o ( 2 ) - - - 爬唯一确定一个连续2 7 【周期函数 ，广：r _ + 碾，使得尹( 剀= ，( r 曲 作用在s d ( 2 ) 上的h a a r 积分是f 1 = 去r 。于( 占) d 矽 2 4 不可约性 定义2 41 ” 设fr _ + g ( ”是李群r 在向量空间p 7 上的表示，若矿的i 不变子空间只有( 0 j 和矿，则称1 1 作用在v 上是不可约的，称( r ，”是不可约表示 否则称为可约表示。 定义2 4 ，2 。”如果对矿的任一不变子空间v i 存在不变子空间心，使 = o 吒，此时记r = 凡1 0 v 2 ，称为子表示凡】与凡2 的直和，这时称表示 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 ( t ，矿) 为完全可约的。 设表示是矩阵表示，用矩阵的语言来说，如果群的表示是可约的，则v 至 少有一个非平凡的r 不变子空间u 设e h e 2 ，即是u 的基，可扩充到v 上，则 ( 力表示具有形式 正了孑； v y e f , 其中主对角线上的子矩阵是方阵。 反之，如果( 力在矿的某一个基下提供的矩阵表示具有如上形式，则矿有非平 凡的r 不变子空问，从而取力可约。 例2 4 1 1 )矿：c ：瓜! ，s 1 作用在矿上，口三= p “皇( 妊o ) ，该作用是不可约的。 2 ) 2 阶循环群z ：= ，! ，r ： ，在豫! 上的标准作用使得每条过原点的直线不 变，因而不是不可约的。z ：= l ，一l 在直线骢上的作用为1 x = x ，( 一1 ) 。x ：一苴 是不可约的。z ! = 1 2 r 在戚! 上翻转作用，! ：= ：盯：= ：，不是不可约的。 命题2 4p ”r 是作用在h i l b c r t 空间v 上的紧李群，w c v 是r 不变子空 间则存在v 的r 不变补空旧j z c v 使得p 7 = w o z 证明：由定理2 3 ，1 ，存在作用在矿上的r _ 不变内积 r ， 令z = w - 阡n = v 川 c = o ，v w 明 首先证玎n 也是r 不变子空削。 设可蠢胪，对v w w ，因为w 是r 不变子空i 剐，则y “w e 矿 由h a a r 积分的第三个条件平移不变性得( w ，胯) ，= ( ，w ，善) ，= 0 ，所以硝胪 而由于p 7 是h u b e r t 空间，可知矿= o 矿一，因此得出结论v = o z 由此命题，我们可以直接得出y 可分解成不可约子空间的直和。 定理2 4 p ”( 完全可约定理) r 1 是作用在向量空问p 7 上的紧李群，则存在r 不可约子空间，琏，喙 使得 净o i 2 0 o 瞻 具体证明见参考文献f 1 3 1 。 例2 4 2 设0 ( 2 ) 作用在4 维空间v 上由矩阵表示，a = y 。a ，( 胆0 ( 2 ) - a 昀，则 南京航空航大人学硕士学位论文 肛k 。如。以其中k = ： ，吒= 罡苫 ) ，k = ；三 是。c ：， 不变子空间，且是不可约的。 定义2 4 3 设r 是作用在向量空间v ，w 上的紧李群，设7 l ，乃是r 在y ， 上的表示，称映射f ：p o 渺与r 交换或r 等变映射，如果 f ( 五( y ) v ) = t 2 ( 7 ) f ( v ) ，v 炸r v 矿 记所有p 7 到自身的r 等变线性映射为l r ( n 定义24 4 设紧李群r 作用在向量空间v 上，7 是r 在矿上的表示，f ：瓜 称为不变函数，若 f ( v ) = f ( 7 1 ( y ) v ) v 阼r ，v p i 定义2 4 5 。“紧李群i _ 在向量空间矿上的作用( 表示) 是绝对不可约的， 指v 到自身的i _ 等变线性变换只有肽，是v 上的恒等映射。 定理2 4 2 设紧李群1 1 作用在向量空间矿上，若r 的作用是绝对不可约的， 则它是不可约的，f 证明见参考文献 1 3 ) 例2 4 3 i - i ；s o ( 2 ) f 2 = d ( 2 ) 分别在爬! 上的标准作用都是不可约的，但 ，e 腿二，= f ! ： l 口扫鼹 因为( ( 篡；篙心：；葛) ( 蝴瑚州咖嵋 因而i _ i 的作用不是绝对不可约的。 ：她州( 三： 则b = 0 ，进而l r , ( r 2 ) = 酞 ， ，故r 2 的作用是绝对不可约的。 方程中隐藏的标度律在其分岔问题中的应用 第三章对称性分岔问题 设群r 在b a n a c h 空间上的作用y x = t ( y ) x 。( 力为r 在x 上的表示，在文 献 1 7 1 3 4 中提出的r 等变映射，等变分岔问题等都是用”来直接表示r 在空 1 瑚上的作用，而r 在不同空间上的作用或表示是不同的，为了不至于混淆。 本章我们用表示的语言将李群在不同空间的作用用不同的符号表示。首先在3 1 中引入对称性分箭问题的概念，由于l s 约化方法和奇异性方法是研究分贫问题 的方法中较为普遍的两种方法，因此分别在3 2 和3 _ 3 中介绍这两个方法，最 后简要介绍分岔中的对称破缺理论。 3 1 对称性分岔 定义3 1 一设x ，为b a n a c h 空间，a 是某b a n a c h 空间中的开集， f ：般a 寸r 为可微映射，设( x o ，如) x x a ，满足方程 f ( x ，五) = 0( 3 11 ) 如果在( 嗣。厶) 的任意邻域u 内( 至少) 有两个不同的解( x