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对流扩散方程的一种新型紧致差分方法 摘要 对流扩散方程足流体力学的基本方程之一现阶段对于该类方程大部分难以求得精确 解，因此数值解法的研究成为人们关注的焦点常见的数值方法有t 有限差分法，有限体积 法和有限单元法其中有限差分法以其构造差分格式简单，计算方便等优点应用更为广泛 有限差分法又涉及到网格剖分，解的边界层处理及精度等重点问题 本文给出了一类对流扩散方程的非等距紧致差分格式，该方法以某一网格节点为中心， 通过对其临点泰勒展开，但与传统的有限差分法不同的足，泰勒展开式不是截取有限项， 而足取无穷多项( 但这些项构成收敛级数) ，从而得到一类非等距差分格式在步长一致的情 况下，相应的得到其等距差分格式格式的构造过程中力图使得最后的差分格式具有更好 的计算精度 本文在第一节首先简单介绍了问题的来源，对流扩散方程的背景以及最近几年处理对 流扩散方程所取得的成就及进展 在第二节第一部分通过一维对流扩散方程的等价问题，详细推导了处理该问题的等距 差分格式，并给出了该格式的截断误差及收敛性分析本节第二部分针对一维扩散方程，从 方程本身出发构造了非等距差分格式，并给出了几种常用的非等距网格处理方法第三部 分通过相应的数值实验，表明本文格式具有较好的计算效果，与第一节中的分析结果相吻 合 第三节将一维二阶基本格式的构造思路应用到二维情形，得到一种二阶五点差分格式， 并将其与五点中心差分格式进行了比较数值算例揭示出本格式也有较好的计算效果 关键词：有限差分法；对流扩散问题；泰勒展开；菲等距差分格式 n o n u n i f o r mf i n i t ed i 能r e n c es c h e m em e t h o d f o rc o n v e c t i o n - d i 肌s i o ne q u a t i o n a b s t r a c t c o n v e c t i o n d i 妊h s i o ne q u a t i o ni so n eo ft h eb a s i ce q u a t i o 璐i nt h e6 e l d0 f 丑u i dm e c h a n i c s ht h ep r 岱辩i i ts t a g e ，t h e r e 甜es t ms o i n ed 啦i c u l t i 铭t os e a r c ht h ee x a c t 烈u t i o no fm o s tp a r to f s u c l le q u a t i o n s ，s ot h es t u d i e so fn u m e r i c a ls o l u t i o nb e c o m eaf o l c u so fa t t e n t i o n t h ec o m m o n n u m e f i c a lm e t h o d si n d u d e s ：丘n j t ed i 妇e r e n c em e t j 】o d 五n j t ev 胡u m em e t b o da n d 缸i t ee j 创n e n t l n 砒o ( 1 a i n o n gt h e m ，缸i t ed i 任确n c em e t h o t li sa p p l i e ( 1m o r ew i 抛yf o ri t s 或h 1 p l ed i 如r e n c e s c h 锄ea n dt h ea d v a m t a g 嘴o fe 鹕yc a l c u l a t i o n ，t h ef i n i t ed i f l e r e n c em e t h o d ，i ta l s oi n v d v e 8t h e m e s h i n g ，s o l u t i o no ft h eb o u n d a 叮l a y 盯t r e a t m e n t ，p r e c i s i o na n do t h e rk e yp r o b l e m s t h i sp a p e rw ec o 璐i d e rt h en e wc o m p a c ts c h e m eo fc 删t i o n - d i 珏恼i o i ie q u a t i o n ，b r e a 妇n gt h e t r a d i t i o n a lm e t h o do fi i l t e a ls u b d i 们s i o nt h r o u g l lac e n t r a ip o i n t b yt h y l o re x p a n s i o nt oc o n s t r u c t a 丘l l i t ed i f f e r e n c eo fn o n u n i f o n ns c h e m e ，b u ta l s ot a k ei n t oa c c o u n tt l l es i t u a t 如吸o fe q l l i d i s t a n c e t h e ni n t e r c e p tt h el i m i t e de n t r y b u tr a t h e rt a l 汜锄i n 五n h en u m _ b e r ( t h e s ei 蛔sc o n s t i t u t ea n v e r g e n ts e r i 髂) ，t r 妒n gt om m 孵t h ef i n a ld i f f 打e n c es c b 锄eh a s8b e t t e ra c c u r a c y i l lt h i sp a p e r ，i nt h ei i r s t c t i o n ，i ti sab r i e fi n t r o d u c t i o na b o u tt h es o u r o ft h ep r o b l e m ， t h eb a c k g r o u n do fc o i l v e c t i o n - d i 胍s i d ne q u a t i o n 硒w e l la st h ea c h i e v e m e n t sa n dp r o 伊e s s0 ft h e l a t e s tp h a s et od e a lw i t hc o n v e c t i ( ) n - d i m l s i o ne q l i a t i o n i ns e c t i o ni i ，t h e 矗r s tp a r td e r i v e di nd e t a i lt oa d d r e 镐t h ep r o b l e me q u i d i s t a n td i 舵r e n c e s c h e m eb ya ne q u i v 越e n tp r o b l e m ，a n d 垂v e st h ef 葫m a to fc h ee r r o ra n dc o n v e r g e n c e 锄a 王y s i s t h e s e c o n dp a r to ft h i ss e c t i o nf o rt h eo n 融d i m p n s i o n a ld i 硒1 s i o ne q u a t i o n ，s t a r t i n g 丘o mt h ee q u a t i o n j t s e l fi sc o n s t r u c t e d0 fn o 眦q u i d i s t a n td i 行e r e n c es c h e m e ，a i l dg i v e ss e v e r a lc o m m o nn o n u n i f o r m 伊i d 印p r o a c l l t h et h i r dp a r tt h r o u g ht h en u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e6 n i t ed i 仃e r e n c e o fs c h e m eh a sb e t t e rc a l c u l a t i o nr e s u l t s ，a n dc o i n c i d e sw i t ht h ea i l a l y s i so ft h ef i r s tp a r t i ns e c t i o ni i i ，w bh a v ea c c e 鼹t oa 丘v e p o i n td i f f e r e n c es c h 锄eb yu s i n g 幽e 如i n k i n go fo n 争 d i m e n s i o i l a lc a s e ：a n da j s oc o m p a r ew i t ht h ef i v 争p o i n tc e n t r a ld i f r e r e n c es c h e m e b yn u m e r i c a l t 、x a l l l p l e ，w cr c v c a j st l l cc a l c u l a t i o ni i ld i r c l l ts i t u a t i o i l s k e yw o r d s ： 6 n i t ed i 髓r e n c em e t h o d ；c o l m 梵t i o n d i 肋s i o np r o b i e m ；t a y l o re x p a l l s i o n ；6 n i t e d i h b r e n c eo fl l o n u n i f o n l ls ( m e i n e 独创性声明 本人声明所早交的论文是我个人在导师指导下进行的研究_ i ：作及取得的研究成果。尽我 所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得苤盗竖整盘鲎或其它教育机构的学僚或证书而使用过的材料。 与我同：t ：作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：蓖互晦 日期：丝2 ：乡 学位论文版权使用授权书 本人完全了解天津师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇 编以供夯阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：! 夔王盗导师签名： 1引言 对于物理问题或工程问题，利用基本的物理定律抽象成简单的模型后需要建立和求解 方程，然后通过对方程解的分析和比较，得出对物理现象的规律性认识然而对于绝大多数 问题来说足得不到其精确解的，为得到这些方程解的一些信息，人们对一些稳定性好的高 精度数值解法进行了大量的探索与研究 对流扩散问题广泛应用于物理领域，例如电磁场理论、流体力学、弹性力学、量子力 学、电子器件模拟、化学反应、控制理论及其它同类领域其一般模型的形式为t 一( n ( z ) ) 7 + 6 ( z ) t = ，( z ) ，z ( 8 ，6 ( 1 1 ) it ( 口) = n ，t ( 6 ) = p 、7 其中t l = t ( z ) 为待求量，为正常数，并设口( z ) 、6 ( z ) 、，( z ) 充分光滑，d ，p 为边界值 若假设o ( z ) 6 ( z ) 满足n ( z ) 叼 o ，6 ( z ) o 则( 1 1 ) 可写为形式更一般的非齐次常微分方程 边值问题： j 一牡”+ p ( z ) t l + q ( z ) u = f ( z ) ，z ( 口， ( 1 2 1 lt l ( 口) = a ，t t ( = p 、7 其中 即，= 掣俐= 黔州= 器 文献f 1 】通过变换仳( z ) = u ( z ) y ( z ) ，将( 1 2 ) 变换成另一种形式： 一矿。+ 形( z ) y = z ( z ) ，z ( n 6 ( 1 3 ) iy ( n ) = ，y ，y ( 6 ) ：( 、。 其中 ( z ) = 一e 【q ( 。) 一去尸，( z ) 一去( p ( z ) ) ? 】，z ( z ) = 一f ( z ) e ；j 孑p 任) 蟛 相应的二维问题为： 卜象+ 剐删n 加s 2 ( 1 4 ) iu i r = 砂( z ，掣) 对于上述问题数值求解的研究一直在进行，其中有限差分方法因其构造格式简捷、形成 线代数方程组较为容易而研究最为广泛目前文献较多给出的足等距网格剖分情形，例如文 献【2 5 1 给出的差分格式文献f 6 】介绍了一种非等距网格剖分方法文献【7 】由s c h a i l d t a s e k h a r ar a o 等人给出了指数b 样条构造方法等，来处理这类两点边值问题 本课题组【9 1 0 1 l 】针对对流扩散问题，从方程本身出发，反复求导并利用t a y l o r 公式 推导出了一类紧致差分格式，并通过与大量差分格式的数值比较验证了差分格式计算有较 高的精确性但这些研究都足在等距情形下的，本文继续延用以前的思想，从( 1 3 ) 式出发 构造出了一种等距二阶差分格式，该格式同时也可以在非等距剖分下进行计算，最后利用 所推导格式进行了数值算例求解 对于二维问题，由于其计算区域及由微分方程差分离散得到的差分方程组相对复杂， 因此数值方法在处理二维或高维问题时存在一定的困难，为了克服这些困难，已有学者针对 不同的情况提出了相应的处理方法，例如对不规则边界区域进行近似处理或坐标变换等 文献【2 3 】给出的有限解析法，根据局部单元边界函数逼近而构造出了差分格式，文献 2 4 】给 出的通过在曲线网格局部单元内假设满足二维扩散方程的近似解，提出的一种曲线网格的 5 点差分格式，该格式既可以用于求解规则区域矩形网格的扩散问题，又可用于求解非规则 区域曲线网格的扩散问题另外还有块a d i 法f 3 ，欧拉一拉格朗日分裂格式【3 2 】以及格子 b o l t z m a n n 法【3 3 j 等多种方法 本研究对二维问题的处理是直接将一维二阶基本格式的构造思路应用到二维情形，得 到一种二阶五点差分格式，将其与五点中心差分格式进行了比较，并通过数值算例揭示出 两种差分格式在不同剖分情况下的计算效果 2一维两点边值问题的差分格式 2 1 基本二阶差分格式 考虑两点边值问题 l ：l _ 一e u ”_ ：冀z ：2 ，( z ) ，z ( 0 6 ) ( 2 1 ) 【，u ( n ) = n ，u ( 厶) = p 、 其中乱= ( z ) 为待求量，为正常数，系数a ( z ) o ，( z ) 充分光滑，仃，p 为边界值将区 问j = 【n 6 】等距剖分为等分，节点集为；厶= n = 知，z - ，z = 6 步长| l = 与，记 ，t o 1 1 1 ，t t j v 为方程( 2 1 ) 在剖分节点的准确值，阢，为要采用的离散差分格式 在剖分节点的计算值由t a y l o r 公式易知： 啦一薹掣锄“ + 乳宁n 一 - = 薹掣毯叫 + 拉宁肌 其中萨u 表示尝以下类似记号同理，不再说明 “z 2 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 由方程( 2 1 ) 知t ”= a 让肛一，居，反复利用此式，可得 d 2 t = a t i 詹一，肛； d 3 t 上= 4 + a 7 让e 一，7 ； d 4 u = ( 2 a 7 e ) t 7 + ( a 2 2 + a ”e ) 乱一( a ，2 + ，e ) ； ( 2 4 ) d 5 t = ( a 2 e 2 + 3 a ”e ) t 1 7 + ( 4 a a 2 + a e ) “一( 3 a 7 ，e 2 + a ，e 2 + ，肌e ) 若记 d 七t ( z ) = k ( z ) ( z ) + 吼( z ) t l ( z ) 一o 幻忙) ，( z ) ( 2 5 ) j = 0 且简记眩( z ) 为k ，( z ) 为，o 幻( z ) 为j 对( 2 5 ) 式求导并由组式( 2 4 ) ，易知序列k ( 后= l ，2 ，) 满足通项公式； 乏，地邝氦) ( 2 6 ) 【k = 铅一l + 畋一l ( 七= 2 ，3 ，) p 7 序列吼( 七= 1 ，2 ，) 满足通项公式： 三三乏。+ 。a ，6 七一。奄：2 ，3 ， 序列。o ( 七= 2 ，3 ，) 满足通项公式： 慨三芝，肛“乩栅， 序列j u = l ，2 ，) 满足通项公式： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 茗j 笺妒，嵋“幅川，) ( 2 9 ) 【七j= n 奄一1 j l + ：一1 f ( 岛= + 3 ，j + 4 ，) 、7 将( 2 5 ) 式分别代入( 2 2 ) 、( 2 3 ) ，有： t t + l = t i + t ：6 七( z ) l 后! + u i c k ( z i ) 七l i ：! 一七，( z t ) ，( 上t ) 1 = ! 学 ， 舡宅 七鼍。一。( 2 1 0 ) 。o o o 。o、“1 ”， = ( 1 + - c k ( 戤) 詹七! ) + t ：6 k ( ) 七詹! z 厂( 毛) 【o 缸，j ( & ) 七南! 】 t 正 一l = 毗+ u ：e6 k ( 奶) ( 一 ) 奄矗! + t k c 奄( ) ( 一i 1 ) 七后! 一n 七j ( ) 厂( 奶) ( ) 七后! 片= l 七= l七= zj = u = ( 1 + 。ec ( ) ( 一 ) 七! ) + t ：6 七( ) ( 一 ) 七麒2 ，( ) 【n ，j ( 以) ( 一 ) 七詹1 1 ( 2 1 1 ) 3 为方便下文推导，引入以下记号： o o s ( z ) = k ( z ) 胪七! 七= l 岛( z ) = 一k ( z ) ( 一九) 七后! 七= l 噩( z ) = 铅( z ) 胪七! 七= l 死( z ) = 一( z ) ( 一 ) 詹七! ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 如( z ) = 口幻( z ) 胪七! ( 2 1 6 ) 七= j + 2 勺( z ) = n ( z ) ( 一 ) 詹詹! ( 2 1 7 ) 七句+ 2 g l ( z ) = 【o 幻( z ) 胪肚! j ，( z ) = 呜( z ) ，( z ) ( 2 1 8 ) j = o ：巧+ 2j = o o o g 2 ( z ) = 【n 幻( z ) ( 一九) 七肛l 】，( z ) = 勺( z ) ，( z ) ( 2 1 9 ) 歹= 0 七= 巧+ 2j = o 则( 2 1 0 ) ，( 2 1 1 ) 式为： t l + l = h t ( 1 + 正i ) + t ：s n g 1 i( 2 2 0 ) 一l = t ( 1 + 7 幺) 一t ：岛i g 2 i( 2 2 1 ) 其中 s 1 l = & ( ) f = 是( ) ，孔t = 死( ) ? 死t = 死( 规) ，g 1 = g l ( 黝) ，g 2 i = g 2 ( ) 上两式( 2 2 0 ) 一( 2 2 1 ) 联立消去“：，即得到在点处的准确差分方程： 一曲i t l 一l + f ( 1 + 呢) 岛i + ( 1 + 乃t ) 境刁t 上一如牡件1 = s l i g 捌+ 境t g l ( i = 1 ，2 ，一1 ) ( 2 2 2 ) 将上式两端同除以& t ，可等价于t 一 一l + ( 1 + 死 ) + ( 1 + 乃i ) 】q t q t ? l i + l = g 2 t + q g “( i = 1 ，2 ，一1 )( 2 2 3 ) 其中 耻囊 4 序列k ，以及。幻等可以根据通项公式( 2 6 ) 一( 2 8 ) ，利用m a t h e m a t i c a 符号推演能力， 计算得出其中，序列k ( 七= l ，2 ，) 为； 序列( 后= 1 ，2 ，) 为： 6 1 = 1 6 2 = 0 6 3 = a 肛 6 4 = 2 a 7 店 6 5 = a 2 胎2 + 3 a 6 6 = 6 a a 7 2 + 4 a 州e ( 2 2 4 ) c 1 = o c 2 = a f c 3 = a 忙 c 4 = a 2 + a ( 2 2 5 ) 魄= 趣a & | 0 七文饥| e g b = a 3 一+ 4 ( a 7 ) 2 2 + 7 a a 2 + a ( 4 ) 序列n 七，o ( 七= 2 ，3 ，) ，口七，1 ( 七= 3 ，4 ，) ，口七，2 ( = 4 ，5 ，) 分别为： 口2 ，o = l 肛 n 3 o2o n 4 o = a 居2 口5 ，o = 3 a 7 2 q 6 ，o = a 2 + 6 a 2 口3 1 = 1 占 4 1 = 0 口5 1 = a 2 6 1 = 4 4 7 e 2 7 。l = a 2 3 + l o a a 肛2 5 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 8 4 2 = 1 e n 5 2 2 o n 6 2 = a e 2 口7 2 = 5 a 2 口8 2 = a 2 3 + 1 5 a a e 2 ( 2 2 8 ) 口七3 ，o 七4 ，计算同理 为方便先引入一些记号记占( z ) = 孤可万，简记为6 ，记氏= 6 ( ) 我们先通过常数 化处理，即认为问题( 2 1 ) 中系数a ( z ) 和右端函数，( z ) 为常数，推导出一种差分格式，不妨 称作基本差分格式将系数a ( z ) 看作常数，即认为其各阶导数为o ，因此从( 2 1 2 ) 与( 2 2 4 ) 可以得到； 巍= k 胪后! = ( a 店) 七 漱+ 1 ( 2 詹+ 1 ) ! = j l s i n h 石 ( 2 2 9 ) 七= l 詹= l 同理，从( 2 1 3 ) 与( 2 2 4 ) 得到： 岛= k ( 一 ) 膏肚! = ( a 5 ) 七( 一i 1 ) ( 绌+ 1 ( 2 七+ 1 ) ! = ，ls i i l l l6 6 ( 2 3 0 ) 七= l七= l 从( 2 1 4 ) 与( 2 2 5 ) 得到； 矗= 胪七i - ( a 店) 七 ( 2 七( 2 七) ! = 砌6 1 ( 2 3 1 ) 七= l七= l 从( 2 1 5 ) 与( 2 2 5 ) 得到： 。o 磊= ( 一 ) 七斛= ( 4 ) 七( 一垆七( 2 七) ! = e o s h6 1 ( 2 3 2 ) 后= l七= 1 将右端函数，( z ) 看作常数，即认为其各项导数为o ，则从( 2 1 8 ) 、( 2 1 6 ) 与( 2 2 6 ) 可以得到： 。l ：d o ，：量n 卸胪倒，：妻( a ) 懈( 川【2 ( 南+ 1 ) 】i _ 2 ( c o s h 6 1 ) 6 2 ( 2 1 3 3 ) o l = d o ，= n 卸胪后! ，= 考( a ) 奄 2 川【2 ( 南+ 1 ) 】i _ 专 2 ( c o s h6 1 ) 6 2 ( 2 3 3 ) 七= 2七= 2 同理，从( 2 1 7 ) 、( 2 1 9 ) 与( 2 2 6 ) 得到： 口2 ：e o ，：妻n 如( 一 ) 七詹! ，：委妻( a 肛) 知( 一 ) 2 ( 七+ 1 ) 【2 ( 后+ 1 ) 】! ：丢 2 ( c o s h6 1 ) 6 2 ( 2 3 4 )口2 = e o ，= n 如( 一 ) 七詹! ，= 考( a 肛) 知( 一 ) 2 七+ 1 【2 ( 后+ 1 ) 】! = 考 2 ( c o s h6 1 ) 6 2 ( 2 3 4 ) 七= 2一七= 2 事实上，系数a ( z ) 和右端函数，( z ) 可以不是常数，这时有 函一岛= d ( 2 ) ，岛一岛= d ( 2 ) 丑一矗= d ( 2 ) ，乃一磊= o ( 2 ) 6 g 1 一向= d ( j i l 2 ) ，g 2 一岛= d ( 2 ) 将袅，岛，磊，磊，萌，岛分别代入( 2 1 7 ) 式，即可得到基本差分格式： 一函t 巩一l + f ( 1 + 死 ) 岛i + ( 1 + 丑t ) 】阮) 阢一岛i 氓+ l = s l i g 2 + 昆g l ( = l ，2 ，一1 ) ( 2 3 5 ) 记 拈囊 此时袁= 1 ，若( 2 3 5 ) 式两端同时除以两i ，并结合上式，有； 一职一l + 2 c o s h 最阢一阢+ l = 塑竺掣 ( 2 3 6 ) 说明1 ：当反应项系数a ( z ) 和右端函数，( z ) 为常数时，差分格式( 2 3 6 ) 将给出准确解 在节点处的值 说明2 ：将( 2 3 6 ) 式中c o s h 尻进行i a y l o r 展开，保留两项，即c d s 施l + 要，即可得到 中心差分格式： 一玩一l + ( 2 + 垒苎) 阢一c 7 ；i + l ：譬，i ( 2 3 7 ) 可见中心差分格式可以看作是在基本差分格式的基础上对系数进行截断得到的，基本 差分格式与中心差分格式相比，保留了更多的项，可以预见其计算效果将优于中心差分格 式，数值算例的计算结果也证实了这一点 说明3 ：为避免当6 过大时，计算发生溢出，计算时我们利用格式( 2 3 6 ) 的等价形 式： 一e 一魂魄一1 + ( 1 + e 一旗) 以一e 一文以+ 1 = 掣 ( 2 3 8 ) 即( 2 3 6 ) 式两端同乘以e 一蠡 基本差分格式的截断误差； 从( 2 3 6 ) 式出发，将啦+ 1 ，一1 分别在点进行t a y l e r 展开，即利用( 2 2 ) 、( 2 3 ) 式， 有 r ：飞一l + 2 c o s h 也t t 一1 一塑掣五 = 七一 等牡) + 2 c o s h 也乙h 啦“ + 等n 卜掣 将c o s 慨= 1 + 等十箬+ 代入上式，有 砬：撕+ 等n 宁n ) + 2 ( + 署+ 争) 札；一盟霉型五 一缈怖；一署 - 2 【( 宁n 宁n ) - ( 筹+ 争+ 毕 】 = 川“竽啦二譬，i 锄4 【宁一箍 ；+ 叁肿m t ) 从而知： 一嘉t t + 堑等堕嘶去u m 一垫铲五= ( 一u ? + 譬u t 拿) + c 2 + 。( 2 )一万t i l + 矿1 k 萨u 件l 一_ 五r ，3t u 十了t l 孑j 十u 几十u l ， 可见基本差分格式具有二阶精度这里给出的截断误差分析仍是传统分析，即误差形 如c 1 2 + 岛 3 + ，则表示该格式具有二阶精度，而不具体分析g 的大小以及与解析解函 数及其导数的关系 基本差分格式的稳定性收敛性： 引理l ：设两点边值问题的离散差分格式为 “吻= 一q 一l + 岛玛一叻+ l ，歹= 1 ，2 ，一1 其中 o ，岛 o ，竹 o ，且岛芝叼+ ，则当k 0 ( “之o ) 时，有= 写缎= m n z ，) 罢受吩= m i n ，吩 ) 且除非在网格靠上为常数，否则最大值( 最小值) 仅在边界达到 证明：仅证“so 情形。 = 考一- + 薏+ + 专“考一- + 考+ - 假设最大值在某内点达到，如果+ l ，一l 其一严格“ 1 时，剖分节点逐渐稀疏，当， o ，取值可以根据计算需要预先给定，则有 l = z 一知= ( z 一z 一1 ) + ( z 一l z 一2 ) + + ( z l 一跏) = 一l + 一l + + 7 玷 = ( 1 + r o + r o r l + + r o r l r 一2 ) o 因此 o = l ( 1 + r o + 珊r 1 + + r o r l r 一2 ) ， l = r o o ，垃= r lj 1 1 ， 当“相同时，子区间长度成等比数列，回到上述情况 ( 3 ) 拉仲或压缩网格法 借助辅助函数由等距节点产生新的节点具体做法足先将区间，= o ，l 】等距剖分为等 份，步长 = 1 ，节点为o = z o ，z 1 ，z = 1 例如利用函数剪= t a l l 三z ( 或! ，= 要a u r c t 锄z ) 等，计算耽= t a n 三，得到新的节点：o = t ，o ，l 一，3 【= 1 ，新节点是非等距且逐渐稀疏 的，同理利用秒= 昙a r e t a i z 可得到逐渐稠密的网格节点该方法在二维问题中应用比较广 泛，它可以将不规则的求解区域通过适当的函数变换变为规则的计算区域 2 3 数值算例 例1两点边值问题 i 一t 工+ 2 t = l ， o z 1 【u ( o ) = o ， ( 1 ) = o 该问题的精确解为： “( z ) = 虻兰尘专凳喾凳产 表2 2 ：数值算例1 两种差分格式最大误差比较 说明：最大误差的计算为躺i 一i ，本文等距格式指格式( 2 3 6 ) 式( 下同) 表格 给出了数值算例1 在不同及不同步长 时两种方法的最大误差，由于数值算例1 中系数 a ( z ) 和右端函数，( 。) 均为常数，因此此时等距差分格式给出的计算结果实际上为精确解， 表格中体现的误差仅仅是机器误差 例2 奇异扰动边值问题 f 一t i + 【1 + z ( 1 一z ) 扣= 1 + z ( 1 一z ) + 【2 以一z ( 1 一z ) 2 】e 一嘉 一z 2 ( 1 一z ) e 一7 ， o z 1 【t ( o ) = o ， 札( 1 ) = o 该问题的精确解为： ( z ) = 1 一( 1 一z ) e 一霉诟一z e ( z 1 ) 撕 表2 3 ：数值算例2 在不同e 取值下的最大误差比较( = 3 2 ) 说明：数值算例2 两种等距差分格式的计算足在将【o ，1 】区间3 2 等分，取不同值的情 况下进行的结果表明在等据剖分情况下，本研究推导的格式计算精度高于中心差分格式 例3 两点边值问题 f 一t l + ( z + 1 ) t i = 一l + z e 一菩以一z ( z + 1 ) e 一1 以，o z o ，s = s ( z ，芗) ，妒= 矽( 毛翟) 本文考虑剖分区域q 为矩形网格： q= ( z ，可) i 口 z 6 ，c 2 c 去+ 忐，m 一毒e m + m ，一忐t m + m ，= 。 这与已知条件矛盾定理证毕 系数关联式( 3 2 7 ) 满足引理2 的条件，因此差分格式存在唯一解，进而稳定性、收敛性 成立( 文献【1 5 1 ) 3 3 数值算例 例1 二维扩散方程 一象一雾+ u 一确( 训 准确解为 t ( z ，妒) = e 互s i l l ( 7 r 剪) 计算域为o z 1 ，o ! ，1 ，边界为 it ( z ，o ) = o ， t l ( z ，1 ) = o lt ( o ，秽) = s i n ( 7 r ) ， u ( 1 ，暑，) = es i n ( 7 r 曼，) 下面计算数值算例l 两种格式在不同剖分情况下的最大误差 表3 1 二维扩散方程两种差分格式的误差比较 说明：五点中心差分代表差分格式( 3 3 ) ，新五点差分代表差分格式( 3 2 8 ) ，最大误差的计 算为。骂i 吩一i 数值算例1 中系数a ( z ) 为常数，表中的计算采用等距剖分的方式， 分别足对【o ，1 】【o ，1 】区域进行等距8 8 等分、1 6 1 6 等分、3 2 3 2 等分的计算结果从 表中可以看出：两种差分格式具有相同的误差阶，与前文的分析吻合 例2 变系数扩散方程 一象一象切“- 6 ( 啪m 出。) a z 2a t ，2 一了u 、_ f7 拶、押。f7 满足边界条件 fu ( z ，o ) = ，t l ( z ，1 ) = 1 + z 3 ，os zs1 ij u ( o ，暑，) = y 3 ， “( 1 ：暑，) = l + 暑，3 ：o ! ，l 准确解为 u ( z ，毫，) = z 3 + 3 ，3 下面我们对数值算例2 两种差分格式的计算效果进行比较： 2 1 表3 2 变系数扩散方程两种差分格式不同刮分下的误差比较 说明：本例分别给出了z 方向的步长与可方向的步长相等和不相等时的计算误差情况 从表中可以看出当z 方向的步长与! ，方向的步长相等时计算效果要明显好于不相等时的情 形例如虽然对【o ，l 】【o ，1 】区域进行8 l o 等分要比8 8 等分网格更细，但最大误差反 而更大由于问题( 3 1 ) 中变量z 与箩的位置关系足完全对等的，因此对于计算区域为正方 形区域的问题在实际计算时宜取z 方向与y 方向等步长 例3二维变系数扩散方程 一象一象拙舻( z 刊。s 嘞) 准确解为 牡( z ，可) = s i n ( z y ) 计算域为o z 1 ，o y 7 r ，边界为 lt ( z ，o ) = o ， t ( z ，7 r ) = s i n ( 7 r z ) i “( o ，可) = o ，牡( 1 ，秒) = s i n ! ， 下面计算数值算例3 两种格式的最大误差： 表3 3 变系数扩散方程两种差分格式不同剖分下的误差比较 说明：本例给出的计算区域为矩形区域，z 方向的步长与y 方向的步长分别为 = 音，后= 未从表中可以看出两种差分格式具有相当的计算效果随着网格的逐渐加密最大 误差都有减小的趋势，但考虑到计算存储及机器误差对计算结果的影响，实际计算时也不 宜把计算区域剖分得过细 综上：本文所构造的基本二阶格式和新五点差分格式与前人给出的中心差分格式具有 同等的计算效果，特别足一维情形，在含有扰动项的情况下能很好的逼近精确解对于本文 构造的新五点差分格式，当满足收敛性成立的条件时，计算效果也比较好 参考文献 【1 】m o h a nk k a d a i b a j o o ，d f v e n d r ak u m a r g e o m e t r i cm e s hf d mf o rs e l f a d j o 呲s i n g i l l a rp e r t u r b 扣 t i o nb o u n d a 珂、，a l u ep r o b l e m s 【j 】s p r i n g e 卜v 打l a g ，a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o l p u t a t i o n ，2 0 07 ：，p a g 1 6 4 昏1 6 5 6 【2 1m 1 e n o s o g l u ，s s o m a l i l e a s ts q u a r e sm e t h o d s 蠡 s o l 啊n gs i n g u l a r l yp e r t u r b e dt 0 一p o i n tb o 咖d - a r y 、，a l u ep r o b l e m su s i n gb e z i e rc o n 乞r o lp o i n t s 【j 】a p p l i e dm a t h e m a t 砖l e t t e r s ，v b l 啪e2 1 ，i s s l l el o ， o c t o b e r2 0 0 8 ，p a g 1 0 2 9 _ 1 0 3 2 f 3 】i b 砌a t i 珊i z i ，f 锄l - i h a q ，s i r a j u l i s l 锄n - p o 帅o m i a ls p l i n es o l u t i o no fs i l l g l l l a r l yp e r t l l r b e d b o u n d a 日，v a l u ep r o b l e h l s 【j 】a p p l i e dm a t h e m a t i c s 柚dc o m p u t a t i o n v o l u m e1 9 6 ，l s s l l e1 ，2 0 0 8 ，p a g 阳 6 - 1 6 【4 lj j a y a k u m a r ，n 砒岫a i l u j a m ac o m p u t a t i o i l a lm e t h o d 五d r 酬、r i n gs i n g i l l 甜p e r t u r b a t i o np r o b l 髓塔【j 1 a p p l m a t h c o m p u t ，5 5 ( 1 9 9 3 ) 3 1 4 8 【5 】j f h i d i n i a ，m g h 笛e m ia n dz m a h