（计算数学专业论文）求解时连续代数riccati方程的不变子空间方法研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 物理和工程中的许多问题，如线性二次最优控制、k a l m a n 滤波、垃控制、完全最 小二乘问题及两点边值问题等，最终会归结为一类特殊方程代数r i c c a t i 方程的求解问 题，不变子空间方法是求解这类方程的一种有效方法，这涉及到数值求解矩阵的特征问 题。本文研究讨论的重点是基于不变子空间方法的h a m i l t o n 矩阵特征问题，该问题对求 矩阵的实或复的稳定半径、计算传输矩阵的丝。范数、计算化学中的线性响应理论要求按 模极大找到h a m i l t o n 矩阵的部分特征值及对应的特征向量等问题具有重要的理论意义和 实用价值。针对这个问题，寻求一种在数值上稳定并保持h a m i l t o n 结构的有效的算法在 数值界一直悬而未决。本文在前人的经验和结果的基础上改进了计算h a m i l t o n 矩阵的( 近 似) 特征值方法。首先介绍了h a m i l t o n 矩阵特征问题的来源，解决这类问题的基本方法 以及各方法的优缺点，通过比较，确定了计算h a m i l t o n 矩阵特征值及不变予空间这研 究方向。通过对辛几何中一些概念的介绍及其代数结构的性质分析导出了辛矩阵的概念， 并指明了在辛几何的框架下以辛矩阵为工具对h a m i l t o n 矩阵特征值问题进行研究。然后 给出了求解h a m i l t o n 矩阵特征问题的一些理论结果及常见的标准形式，并对歙算法的 框架作了粗略地介绍。在接下来的章节中将辛l a n e z o s 过程展开为计算h a m i l t o n 矩阵的 全部或部分极特征值的辛l a n c z o s 算法，并对其终止条件和误差估值作了分析和说明； 最后在原有的s r 算法的基础上引入了平方化策略从而节省了运算量，并对隐式和显式版 本的衄方法作了比较分析，对其数值性质作了有益的探索。 关键词：代数r i c c a t i 方程：h a m i l t o n 矩阵；辛矩阵：辛l a n c z o s 算法 求解时连续代数r i c c a t i 方程的不变子空间方法研究 a b s t r a c t t h e r ea r eal o to f p r o b l e m si np h y s i c sa n d p r o j e c t ss u c ha sl i n e a ro p t i m a lc o n t r o l ，k a l m a n f i l t e r ，巩c o n t r o l ，t h et o t a il e a s ts q u a r e sp r o b l e m , t h ed e u c eb o r d e rv a l u ep r o b l e m ，w h i c hb o i l d o w nt os o l v eas o r to f s p e c i a le q u a t i o n - - - a i g e b r a i cr i c e , a f te q u a t i o n ，t h ei n v a r i a n ts u b s p a c e m e t h o di sa l le f f e c tm e a n s ，w h i c hc o m e sd o w nt on u m e r i c a l l ys o l v et h em a t r i xe i g e n p r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，t h eh a m i l t o n i a nm a t r i xe i g e n p r o b l e mi st h ee m p h a s i sw ed i s c u s sa n dr e s e a t c h , i t i si m p o r t a n ta n dv a l u a b l et oc o m p u t et h er e a lo fc o m p l e xs t a b l em a t r i xr a d i u s , c a l c u l a t et h e h 。- n o r mo f t h e t r a n s f e rm a t r i xa n ds e e k p a r to f e i g e n v a l u e sa n d t h e i re i g e n v e c t o r sa c c o r d i n g t ot h em a x i m u mm o d e li nl i n e a rr e s p o n s et h e o r yo f t h ec o m p u t a t i o n a lc h e m i s t r y i na l l u s i o nt o t h i sp r o b l e m ，i ti s h a n gi n d o u b ti nn u m e r i c a ld o m a i nt os e e ka ne f f e c ta l g o r i t h mt h a ti s n u m e r i c a ls t a b i l i t ya n dp r e s e r v et h eh a m i l t o n i a ns t r u c t u r e h e r ew ep r e s e n ts e v e r a la v a i l a b l e a l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n g e x a c to r a p p r o x i m a t ee i g e n v a l u e s o f h a m i l t o u l a nm a t r i x a tf i r s tw ei n t r o d u c et h eo f i g i no ft h eh a m i l t o n i a nm a t r i xe i g e n p r o b l e ma n ds o m eb a s i s m e t h o d sa b o u tt h i sp r o b l e ma l o n gw i t ht h e i ra d v a n t a g ea n dd i s a d v a n t a g e ，t h e m b yc h o o s ei ta s m y r e s e a r c h f i dt h e m e t h e nw ei n t r o d u c es o m ec o l l c e p t i o n sa b o u ts y m p l e c t i cg e o m e t r y ，a n d e x p o r tt h ec o n c e p t i o no fs y m p l e c t i cm a t r i xt h r o u g ha n a l y z i n gt h ea l g e b r a i c s t r u c t u r eo f s y m p l e c t i cg e o m e t r y i t i si nr e a s o nt ou s es y m p l e c t i cm a r xa st o o lt or e s e a r c ht h e h a n f i l t o n i a nm a t r i xe i g e n p m b l e mu n d e rt h es y m p l e o t i cg e o m e t r yf r a n l e n l et h i r da n df o u r t h c h a p t e rw ep r e s e n ts o m e a c a d e m i cr e s u l ta n df a m i l i a rs t a n d a r df o r mo fh a m i l t o n i a nm a t r i x ，a t t h es a m et i m ei n t r o d u c ec u r s o r i l yt h es ra l g o r i t h m n ef o l l o w i n ge m p h a s i si st h el a n c e s p r o c e s sa n d l a n c e s a l g o r i t h mc o m p u t i n g a l lo rp a p a l e i g e n v a l u e so f h a m i l t o n i a nm a t r i x ，i t s s t o pc o n d i f i o n sa n de l * f o re s t i m a t ea l s oa r ea n a l y z e da n de x p l a i n e d f i n a l l yw e i n t r o d u c et h e s q u a r es t r a t e g yi n t o 吐圮s ra l g o r i t h m t h a tr e d l l c eo p e r a t i o n s ，a n dt h e na n a l y z ea n dc o n t r a s tt h e i m p l i c i ta n de x p l i c i ts ra l g o r i t h m 1 h em o s ti m p o r t a n t i sw e e x p l o r e t h e i rn u m e r i c a l p r o p e r t y - k e yw o r d s ：a l g e b r a i cr i c e a f te q u a t i o n ：h a m i l t o nm a t r i x ；s y m p l e c t i cm a t r i x ；s y m p l e c t i c l a n c z o s a l g o r i t h m l 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 一一奎垄墼塑堡圭堂垒堡兰 1 绪论 1 1 问题背景及来源 物理和工程中的许多问题，如线性二次最优控制、k r l m a n 滤波、h 。控制、完全最 小二乘问题、两点边值问题等，最终会归结为一类特殊方程代数r i c c a f i 方程的求解问 题。h a m i l t o n 矩阵的特征问题首先出现在最优控制问题中。在线性二次型最优控制以及 滤波问题中导出的时连续代数戳c c a f i 方程的求解可通过求解h a m i l t o n 矩阵的稳定的 l a g r a n g e 不变子空间的来解决。 在最优控制系统的设计中，着状态方程为 i 0 ) ；a x ( r ) + 戳o ) y ( ，) = 凸( ，) 工瓴) = x 0 其中a r “”，日r ，c 尺“”，则在( 4 b ) 可稳， j ：f 【) ，7o o ) + “r ( f 妞“和咖o ) 最小化的最优控肯4 蓓在且唯一，可表示成 群。( ，) = 一只。暑7 敬t ) a , c ) 可测的条件下，使目标函数 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 这里z 是如下代数醍c c a t i 方程的唯一对称正定解： 彳7 r + 翻一j 刀发1 口7 z + c 7 c = 0 ( 1 4 ) 上述的代数r i c c 舐方程是t 程领域中一类非常重要的方程，包括时连续和时离散两 种情形，是指在对时连续或时离散的动态系统进行研究时所遇至0 关于矩阵的对称或非对 称形式的二次代数( 微分或差分) 方程。时连续的酏c a t i 方程的一般形式为： , 4 r x + x a x g x + f = 0 ( 1 5 ) 时离散的代数r i c a a t i 方程的一般形式为： a r 剧一x 一( 爿7 船+ s ) ( 月+ 矿肋) ( 矿x a + s 7 ) + f - - - 0 ( 1 6 ) 其中b ，s r 一，r e r ”“且是对称正定的，4 ，f r ，f 7 = f ，g 7 = g ，前者盼系数矩 阵可构造出一个2 n x 2 n 阶的龇矩阵m = 【三二，) ，后者的系数矩阵可构造出一 1 卜2 n 。2 n 阶的s y n l p l e c t i c ( 辛) 矩阵柬。实际上对于蛐矩阵( 善三， ，设i 三 为 其不好空间，刘存在a ，使得曙三，旧= 弘，可以证明x ：鄂为方戳1 5 ) 的解。 1 2 问题意义 该问题隶属矩阵计算领域，涉及到矩阵特征值、特征向量及不变予空间的计算。 厂f 、 h a m i l t o n 矩阵有着形如 二1 ， 的特殊结构，其中g 7 = g ，f 7 = f ，经过二三十年的发 u - - a 展，关于其特征问题的算法已经出现了许多，大多是对已有的古典特征问题算法的改进 和完善，如h a m i l t o n - q r 算法田1 、辛l a i l c z o s 算测) 1 ，4 3 - 等。由于h a m i l t o n 矩阵的结构比 较特殊，所以，如何在计算和变换的过程中保持它的结构是寻求有效算法的数学工作者 必须酋先考虑的阔题，而这在辛几何的框架下进行才是会理的，也就是说利用辛矩阵作 为变换的工具才能保持h a m i l t o n 矩阵的结构不变，且以这一思想为基础的算法也有一些， 而令人遗憾的是，理想的既能够有效利用其特殊结构又数值十分稳定的算法还没有，应 是将来研究的一个方向。另外，与计算机硬件发展相适应，只有设计出适合现代计算机 结构的高性能计算方法，才能有效求解大系统导出的大规模矩阵问题，反映出这个研究 领域的理论发展水平，从而适应现代应用中实时计算的需要。 本课题的最终目的在于为开发算法做理论铺垫，理论研究最终是为算法的开发服务 的。理论基础保证了算法的存在性和可行性。课题来源于工程和科学计算，因此，快速 和稳定的算法一旦形成，它必定可以直接应用到实际问题当中，因此本课题除了有重要 的理论意义外，更有重要的应用价值。 如前所述，物理和工程领域中的许多问题都会涉及到代数m c c a t i 方程的求解- 故 h a i f l i l t o n 矩阵特征问题的求解有着广泛的实际意义。随着标准特征值领域理论和算法的 不断完善和发展，会有越来越多的人投入至该问题的研究当中，不可否认该领域将成为 矩阵计算领域的一个重要方向，有着广阔的发展前景。 1 3 解代数r i c c a t i 方程常用的方法 在过去的三十多年中，代数m c c a t i 方程的数值求解一赢是数值代数界和控制论界关 注的重要课题。 随着冯康先生提出了h a m f l t o n 系统的h a m i l t o n 算法口1 1 以来，钟万勰院士等将这种思 想运用到了力学问题中，并将最优控制与计算结构力学结合起来，在计算力学领域中开 大连理工大学硕士学位论文 辟了一片新的天地。他还在一系列的文章中将一些力学系统导向了h a m i l t o n 形式，并且 得到了针对h a m i l t o n 系统的分离变量法 z z 2 3 ，使原问题转化为h a m i l t o n 矩阵微分算子的 特征问题，大大简化了原算法繁杂冗长的求解过程。对这类微分算予的离散化处理， 般会导出大型稀疏h a m i l t o n 矩阵的特征问题，而这仅仅求部分极特征值及对应的特征向 量就足够了。 最初，人们乖i 用q r 算法来求h a m i l t o n 矩阵的特征问题，计算过程是稳定的，但是 原问题的特征值及特征向量之间的对偶性常常会变的模糊不清，其原因是没有利用 h a m i l t o n 矩阵的结构特点，而这只有在辛几何的框架下进行研究才是恰当合理的，利用 辛矩阵作相似变换矩阵保持h a m i l t o n 矩阵的结构不变，从而使计算结果保持对偶性。辛 几何即相空间的几何学，反对称的面积度量是其基本特点，它是除欧氏几何和黎曼几何 之外的第三种几何形态。在辛几何的框架下，递过对关于h a m i l t o n 矩阵特征阔题酶辛算 法的构思、推导进行分析、评估，证明这条途径是正确的，卓有成效的，并且已有一系 列的算法问世。一般地，一种算法提出后，其有效性和稳定性是衡量其优劣的重要指标， 而在很多情况下，这两种指标之间的关系就好象鱼和熊掌通常不能两方面都能很好的兼 顾，运行的高效率往往伴随着稳定性的丧失。薅稳定性得到保证却以牺牲有效性为代价， h a m i l t o n 矩阵问题也不例外。长久以来，寻求一种数值上稳定有效、结构上得到保持的 算法一直是数值工作者奁斗的目标。 由于h a m i l t o n 矩阵的结构比较特殊，目前的方法着重于保持矩阵的特殊结构，多基 于辛相似变换是保h a m i l t o n 结构的事实。1 9 8 4 年c ，v a nl o a n 提出了一个快速计算实 h a m i l t o n 矩阵的所有特征值的算法嘲，该算法计算出的特征值是膨+ 层的精确特征值， 其中五4 ，= o k “2 8 掰4 l ，占为机器精度，计算出的特征值不仅与条 牛数有关，丽且与其 范数有关。另外一种计算实h a m i l t o n 矩阵特征值和不变予空间的类似于q r 型盼算法 ( s r 算法1 1 ) ，使用了三种辛相似变换把原矩阵硝约化为辛三对角h a m i l t o n 矩阵，其中 有一种变换不是辛正交变换，所以稳定性得不到保证。1 9 8 9 年a b u n s e g e r s t n e r ， v m e h r m a n n 和d w a t k i n s 提出了另种艘算法 8 j 它完全基于非正交辛g a u s s 消元，使 用了类似于选主元的策略，部分的缓解了严重失稳的现象，但没有从根本上解决失稳问 题。p a t c l , l i n 和m i s r a 利用h a m i l t o n 矩阵特征值啬勺性质，借助正交相似变换提出了两种 计算h a m i l t o n 阵的稳定的不变予空间的方法【旧，但没有利用矩阵的特殊结构a 对于大型 稀疏h a m i l t o n 矩阵的特征值闽题的求解，p b e r m e r 和h f a s s b e n d e r 提出了一个隐式重新 一 塑堕垄堡垡墼型! 型查堡堕至銮王室塑塑壅 开始的辛l a n c z o s 算法【9 】，运用隐式重新开始的策略，一定程度上缓解了r i t z 向量间辛 正交性的丧失。 r b y e r 于1 9 8 6 年对类比较特殊的h a m i l t o n 矩阵提出了一个h a m i l t o n o r ( h q r ) 算法1 ，使用的是辛正交相似交换，从而是数值稳定的、保结构的，其运算赣和需要的 工作空间也是可以接受的，主要缺点是适用的范围较窄，仅适用于，的秩为l 的情形， 也就是说该算法只对单输入输出系统有效，这在实际应用中受到了很大的限制。为了去 掉这一限制，人们做出了很多的努力。a b u n s e g c r s m e r 和v m e h n m n n 于i 9 8 6 年提出 的一种适用于任意可测和可控闯题的实代数r i c e a f t 方程的q r 型算法【1 l ，它是保结构的， 且运算量比h q r 算法更少，不过在计算的过程中使用了非正交辛相似变换，故数值上是 不稳定的，且有可能发生中断。 高梅等 1 川从平方h a m i l t o n 矩阵出发给出了一个双步拟l a n c z o $ 过程将平方h a m i l t o n 矩阵约化成一个三对角矩阵，由此来求原矩阵的特征值，并通过解一个矩阵方程来求特 征向量。该方法的稳定性较差，特征向量的计算结果不理想且只适用于中小型的满阵。 钟万勰针对大型h a m i l t o n 矩阵绘出了一个共轭辛子空间迭代法，其子空间中2 ，个 初始向量的选取的不均匀性影响了算法的逼近程度，当原问题有密集态特征向量柬时， 初始向量的个数直接影响着特征向量的计算糟度。 综观代数r i c c a t i 方程解法的研究历程，常见的方法归纳起来有：二次公式法、迭代 法、矩阵符号函数法、嵌入参数法、r i c c a f i 微分方程法、标准型法、不变子空间法等。 下面简要介绍一下几种有代表性的数值方法。 1 3 1 迭代法 这类方法的研究较早，其想法是把r i c e a f i 方程看成关于石的非线性代数方程组，用 代数方程缎韵迭代法予以解决。分为简单迭代法和n e w t o n 迭代法。 i 简单迭代法4 7 墨+ ，+ 。k + l a = 托g x k - f = o s l ， ( 1 7 ) 如果4 是稳定的( 特征值皆位于左半平面) 则取x 。= 0 时讧女 收敛于r i c c a f i 方程的对 称半正定解嘲。 这种方法的优点是形式简单，有全局收敛性。但不足之处也是明显的，即每步耍解 一个l y a p u n o v 方程，而该类方程的数值解法尚待完善，且收敛是线性的，速度也不快a i i n e w t o n 迭代法记r ( ) g a x + j “一愆2 r + f = 0 则： n e w c o n 迭代x 川= 以一r 何) 1 胄伍。) ( 1 8 ) 即：x 女“( 爿一g x d + ( 彳一g 甄) x i “= x f g 一f ( 1 9 ) 大连理工大学硕士学位论文 如果g 半正定，( 彳，g ) 可稳，矗口) 蔓。有对称解，那么口。) 收敛于r i c c a t i 方程的 极大对称解爿。，此外如果彳一g x 。是稳定的，则迭代是二阶收敛的。文献刚中作了 更充分的分析。 该算法具有全局二次牧敛性( n e w t o n 法用于非线性方程一般只有局部收敛陛) ，运 算量大约为5 6 n 3 。本算法要求初始矩阵x o 较接近方程的准确解，如果初始矩阵x o 选取 不当，可能不收敛或收敛得很慢，因此本算法适合和别的算法结合使用。其不足是每次 迭代要求解一个变系数l y a p u n o v 方程。如果该方程是病态的，也可能收敛到不稳定解。 1 3 2 矩阵符号函数法 有关矩阵符号函数的论述有很多，可参阅参考文献 4 3 1 。用该方法求解代数r i c c a f i 方 程的思想源予：代数r i c e a t 方程( 1 5 ) 等价于 a g r 三 = z 一争 - 。一0 锹。一- 倒g ， 妻一， - l n ， x 是( 1 5 ) 的可稳解等价于( 1 1 0 ) 成立，且r c 盯( 一一q x ) 0 。保持内积( 即 长度) 不变，也即满足a 7l 4 = ，的线性算予爿组成一个群o ( 行) ，即正交群，它是一个典 型的李群，它的李代数口( 力由满足一7 + 一= o 条件的反对称变换组成，即无穷小的正交 变换。 而辛几何则是相空闯中的几何学，辛空间即相空间具有特定的辛结构，它取决于一 个双线性反对称的非退化内积一辛内积： 【石，y 】= ( t 沙) 州。= 台 当n = 1 时， z ，y 】= 隆芰f ，它是以向量x ，y 为边的平行四边形的面积a 一般地，辛内积 是面积度量，由于辛内积的反对称性，对于任意向量x 恒有 x ，_ x 】= o ，因此不能由辛结 构导出长度的概念，这是辛几何与欧氏几何的根本区别。保持辛内积不变的线性变换满 一奎堡堡三查堂婴主鲎堡篓苎 足z a r j a = j , 它们组成一个群印( 2 h ) ，称做辛群( s y m p l e c t i cg r o u p ) ，它也是一个典型的 李群，其李代数由无穷小辛变换b ( 目p n n b 7 j + 历= 0 ) 组成。由于不存在奇数维的 非退化反对称矩阵，故辛空间一定是偶数维的，相空间也是如此。 概括起来说，欧氏几何是研究长度的几何学，而辛几何是研究面积的几何学。 表2 1 欧几里得几何与辛几何对比关系表 t a b2 1c o n t r a s t t a b l eo f e u c l i d g e o m e t r y a n d s y m p l e c t i cg e o m e t r y i欧几里得几何辛几何 z = 0 l ，x 2 ，一，x 。) r ”x = g 1 ，x n ，x 。+ l ，- - ，x 2 。) r 2 ” 内积( x ，y ) = 一m = x y辛内积k y 】- ( x , y n r x n + 。m ) = x r j 2 。y 其帆锻0 ) 黼。l o01j 双线性内积g ，y )双线性内积b ，y 】 对称性扛，y ) = ，x )反对称性辟，y l = 【y ，x 】 褪化= 壬e t ，x ，y “ 非退j 圣d 。，墨r ”型二y ：r ：。 正定性( x ，x ) = l l x l l o ，觇r ”零化k ，x 】= o , v x r 2 ” 对称性= 爿反对称性m 7 = 一m 扛，z ，表不长厦 ， 而柏 t x , y t z - x ：y l2 l 乏y ： 表示面积 正交补vc r ”斜正交补v c r 2 “ 矿7 = & r ”f g ，y ) = o ，v y 矿v 7 = 仁r 2 ”i k ，y l = o ，砂矿 d i m v 7 = n d i m vd i m v 7 = 2 n d i m v 矿c u j c ，7c 矿7矿c u j u 7 亡v 7 o ，n u ) 1 = u 1 十v 1妒n u r = u 1 + 矿1 + u ) 。= v 1 c a u l o ，+ u ) 1 = v n u l 求解时连续代数r i c c a t i 方程的不变子空间方法研究 表2 1 欧几里得几何与辛几何对比关系表( 续表) t a b2 c o n t r a s tt a b l eo f e u c l i d g e o m e t r y a n d s y m p l e c t i cg e o m e t r y ( c o n t i n u e d ) y “：矿矿上上：y y n y ； o ) y n y l 不；0 正交基( e 。，e ：，氏)辛共轭正交基，工，厶。， 。) ( 小州嚣：劣 ， = 五。工+ 。 = o ， z ，+ ， = 乃，厶， ；毛 q = ( o ，0 ，l j 1 一，o ) f = 1 ，2 ，盯为单位向量 f ，j 。1 , 2 ，” 2 3 辛空间及其子空间 对于2 ”维的向量空间r ”，i x ，y ) = ( x ，砂) = ( 墨儿+ 厂x n + l y 。) = x 7 a t 其中 ，= ( 三台 眨。 满足 l ，2 = 一j ，7 = j = 一j ( 2 2 ) 定义2 3 1 对v 卢r 2 n 若p ，声】= o ，则称口，辛正交。 设矿是定义在实数域r 上的向量空间，在矿矿上定义一个双线性函数，我们称 它为辛的，如果满足下列性质： 非退化 v x v s t 0 9 ( x ，y ) = o ，v y v j x = 0 斜对称v x ，y y国( z ，y ) = 蝴( y ，x ) 双线性v x ，y ，妒y( 口x + 卢_ y ，妒) = 口甜( x ，p ) + 勋( y ，伊) 我们称( 矿，) 为辛空间，称为其辛结构a w 是辛空间矿的子空间，则w o = w c 、w 7 0 ，称矽为退化子空间且矽的维数 是奇数； w c w 7 ，称w 为迷向予空间 。：矽n 7 = 营在矽上【墨_ y 】= 0 d i m 矽力 铮 7 为余迷向予空间 仁d i m w = 1 ： 若形7c ，称为余迷向子空间 彤o = w n 7 = w r 学e w 7 上【z ，y - - 0 d i m 矽n 铮矽7 为迷向子空间 仁d i m 缈= 2 n 一1 ： 若w = 渺7 ，称矿为l a g r a n g c 子空间。 形为迷向子空间且d i m w = 栉 营 为余迷向予空间且d i m w = 订 为最大的迷向子空间 耸 矿为最小的余迷向子空间： 若矿n 矿7 = f 0 ，我们称矿为矿的辛予空间，矽是非退化的，且+ 矽7 = p ，d i m w 是偶数。 辛空间v 可分解为它的若干个子空间的“和”或者“直和”。 定义2 3 2 h c v ，e c v 是两个子空间，h n e = 0 ，如果坛v ，存在“e ，v h ， 使x = + v 并且，v 是唯一的，那么就称v = 片十e 是v 的一个和分解，( 或d 称为 e ( 或h ) 的一个补予空间，记为置= 日( 或疗= e ) ，如果日，e 均为辛子空间，那么 豆= h = e 1 ，厅= e = h 1 ，v = e e 日称为y 的一个直和分解。 显然辛子空间的辛正交子空间是其补子空间。我们给出欧几里得空间与辛空间的对 比关系表，以便能更好的了解辛空间的有关概念和性质。 表2 2 欧几里得空阅与辛空间的对比关系表 t a b2 2c o n t r a s tt a b l eo f e u c l i ds p a c ea n d s y m p l c c t i cs p a c e 欧几里得空间辛空间 内积p ，p ) 为长度度量辛内积f 口，纠为面积度量 单位矩阵j单位辛矩阵j 正交( 五y ) = ，l y = x 7 y = o辛正交【x ，y 】= ，母= o 求解时连续代数r i c c a t i 方程的不变子空间方法研究 表2 2 欧几里得空间与辛空间的对比关系表( 续表) t a b2 2c o n t r a s tt a b l eo f e u c l i d s p a c ea n ds y m p l e c t i cs p a c e ( c o n t i n u e d ) ( 标准) 正交基t 称准，羊灭挑止父巷 正交矩阵q 7 q = q 7 堙= j 辛矩阵s 7 j s = j 对称变换( d ，j 卢) = ( 肛叠口) h a m i l t o n 变换 口，雷卢 = ，曰口 对称矩阵a 7 = ah a m i l t o n 矩阵日7 = i ，珊 实对称矩阵的特征值均为实数h a m i l t o n 矩阵的特征值正负成对出现 实对称矩阵不同特征值的特征向量必正h a m i l t o n 矩阵非辛共轭特征值的特征向量必辛 交正交 由实对称矩阵特征向量可组成一组标准有h a m i l t o n 矩阵特征向量可组成一组标准共 正交基轭辛正交基 现在给出辛空间中的辛正交基底、基底变换等概念并导出度量矩阵，= ( 三 2 4 辛变换及其矩阵表示 定义2 4 1 称蜀，乞，e ；0 1 岛，只是矿的一组辛正交基底向量，如果它们满足： ( 1 ) ( ，勺) = ( 包，q ) - - o ( 2 3 ) ( 2 ) 国( 鹋) 一( ) = 芝纷抖2 ，一) ( 2 a ) 与欧氏空间中基底概念不同的是，辛正交基底是特指定义中的那种排列次序而言的， 因为这涉及到利用度量矩阵的方便性。 辛空间v 中的一组辛正交基底向量岛，岛，岛；岛，岛，已当然也是作为向量空间看 待的矿的一组基底向量因此有：对垤矿，存在q ，；届，屐，尼f ( f 表 示r 或c ，下同) ，使： 工= ( q 量+ 届屏) ( 2 5 ) 由辛正交性可知：( 1 ) 口，= 一圆( 只，善) ( 2 ) 屈= 口( 弓，z ) 大连理工大学硕士学位论文 显然，q 和屈( f = 1 ，2 ，n ) 是被t ，q 和x 唯一确定的，于是有如下定理： 定理2 4 1 辛空间v 中每一个元素都可以被矿的一组辛正交基底向量唯一的表示。 记吼= ( ，吒，吒；届，屈，鼠) 。为x 在毛，岛，毛；b ，如，或上的坐标向量。 定理2 4 2wc v 是一个辛子空间，则在形和矽1 中分别存在一组辛正交向 毛，吒，q ；岛，岛，吼和占n 。，：，毛；幺+ l ，：，只构成矿的一组辛正交基底向量。 定理2 4 3 c v 是l a g r a n g e 子空间，则在矿和矿中存在无关向量组 毛，屯，e n w ，鼠，最，幺w 使得： 毛，毛，毛；岛，岛，幺是y 的一个辛正交基底。 向量空间上定义辛内积后，构成辛空间。类似于酉空间里的酉阵和斜h e r m i _ c e 阵， 可以定义s y m p l e c t i c 矩阵( 简称辛矩阵) 和h 缀曲矩阵。 设，y v 在辛正交基底毛，岛，毛；q ，岛，幺上的坐标为： 吼= ( q ，q ，霸；岛，如，瓦) 2 ，巩= ( q ，白，矗；啊，盔，反) 1 ， 即x = ( 口。t + 岛最) ，y = ( q 日+ 吐只) ( 2 6 ) 于是 ( 础) = 喜喜 ( q 瑚岍+ 鹕) 剐啦惦划捌( z = ( q ，吗，岛，岛 ( 三台 仉 ( q ，1 国慨，毛) j c ” 吐 ( 2 7 ) 、，、j 毛岛；靠 ，j、，l 口 出 ，。 、j 壤 求解时连续代数r i c c a t i 方程的不变子空间方法研究 定义2 4 2 由q ，岛，；b ，0 2 ，眈所确定的2 疗2 珂阶矩阵 j = 匕名 眩s ， 称为辛度量矩阵。 于是国( z ，y ) 可采用如下的坐标表示：出( 工，y ) 。谚规，在y 中定义自同构万：v 辛矿 满足：k ( x ) ，石( _ y ) ) = 国( x ，y ) ，称万为y 到矿上的辛变换，该变换是正则变换，显然 在万的作用下y 的一组辛正交基底向量将变成y 的另一组辛正交基底向量。对v x v ， 它在辛正交基底向量毛，岛，岛；q ，岛，幺上的坐标向量为 仇= ( 口。，岛，；岛，) 。 则 万( 工) = 石( ( 嚷岛+ 包岛) ) = ( 弛十6 j 碣) ( 2 9 ) = ( 观，觋，碱；码，鸩，织) 玑 因此只要知道了万对毛，岛，日；b ，岛，吼的作用，就能知道石对觇矿的作用。 设码= ( q + 6 _ ，f q ) ，确= ( 巳，o + 办已) 于是 ( 碣，砚，吗；确，码，碱) ：( 毛而弗岛以，纯) f ：三 ( 2 1 。) 其中：彳= ( 吩) 。，占= ( 毛) 。，。，c = ( 勺) 。，d = ( 毛) 。 由于码，碱；碣，鸩，碱和q ，龟，& 巩，b 的度薰矩阵都是，所以 f ( 码，鹕) m ( 碣，碱) 1 ，= l ； ； f l ( 矾，碣) ( 碱，礁) j = ( 2 1 1 ) 、1， c d4 曰 ，。l 、， 、，、j 岛 矗 ， ， t i ；幺 ，l，l 、，、， 毛 气 ， ， 毛包 ，l，j、 ，。，l 、l， c d 大连理工大学硕士学位论文 也即 ( a 口州暑 满足上式的矩阵( 三 ( 2 1 2 ) 称为辛矩阵( s y m p l e c t i cm a t r i x ) 它在h a m i l t o n 矩阵的研究中扮演着很重要的角色。 2 5 辛矩阵的性质 定义2 5 1s r 2 “，满足s , i s = j 时，称s 为辛矩阵。并记 r = s 艘2 “2 ”j s r j s = j ( 2 1 3 ) 等价性定义：s = f 三三 ，爿，e c ，。胄”h ，则有下列关系成立： a b 7 = b a tc d 7 = d c 7 a d 7 一b c 7 = ， 或a 7 c = c 7 a ，b 7 d = d 7 b ，a 7 d c 7 b = ， 上述定义的等价性是容易验证的。复数域上也有类似定义。 如果q c 2 “2 4 既是辛矩阵又是酉矩阵，则存在q l c “”，q 2 c ，q 有形式 ( 墨势显然辛矩阵是可逆膊且 一= s 丢 = 瞄_ 爿c 刁h 隰 s 对矩阵乘积运算和逆运算以及转置运算显然都是封闭的。容易证明所有实辛矩阵 构成的集合在矩阵乘法运算下构成一个群。 性质2 5 1 设s r ，则s 的前雄列和后以列张成的向量空间都是l a 鄹眦g e 子空间。 定理2 。5 1 仃( s ) 表示s 的谱，对于五仃( s ) ，有石，i l ，砉盯( s ) ，并且，1 时，它 们的代数重数和几何重数相同。 定义2 5 2o ( s ) 中的肺毒称为s 的对偶特征值，相应的不变子空间称为对偶不变子 空间。 阵矩的要重常非类 一 ， 一 是 c d c d 求解时连续代数r i e c a t i 方程的不变子空间方法研究 定义岂5 3 实多项式只( x ) = 口0 x ”+ 口i x p l + + ，如果满足只( x ) = ，只( ，则称 巴( x ) 为自反多项式。易见己( x ) 是自反多项式，当且仅当q = 一。( f - 0 , 1 ，m ) 。 定理2 5 2 ( 谱对称性) 设s r 2 n 。2 n 是辛矩阵，则其特征多项式p ( 丑) = d e t ( s 一五厶。) 是 自反多项式。 定理2 5 - 3 设 ，乃是辛矩阵的两个相异特征值，t ，是对应的特征向量，如果a i 1 ， 那么z ? 出，= o 。 定理2 5 4 如果s f 2 ”2 “是辛矩阵，那么存在辛酉阵q f 2 ”。对称矩阵，f “1 ， 上三角形矩阵f “”，使得： 洲( 砑s ； 仫 证明：首先我们将s 的前厅列作施密特正交化，得 ( 宣，玢”，s n ) x = ( s l ，s ：，) ( 2 1 6 ) 是上三角矩阵。 令( 。s ：) = ( j 。，五。，i ：。) ，于是有： s = 毒( ：0 c z - ， 显然s 是辛矩阵。 又由辛向量基的性质知：存在辛正交基底向量托，；2 ，矗；礁，埘：，焉) ，令 侔玢一，幺；，最。，是。) = 嘛珏- - ，龟；坞，属，砖) 譬丢) 显然有丑= o ，a = d = ，于是c 一定是对称矩阵，记为r 。另记 q = ( j l s 2 嘛风缸蚓舢= a ( 暖娄卜。 _ q = ( j l ，毫；瓜，j ；：，砖) ，有：s = iijh ；毒! 得证。 _ 定理2 5 5s y m p l e c t i cs c i 附d l 。哪p o s i 硒n ( s s d ) 如果s f 2 m “，没有模为1 的特征值， 那么，存在辛酉阵u ，使 吣u = ( 薏f s 2 大连理工大学硕士学位论文 其中s 是( 拟) 上三角阵，盯 ) u 盯( 耳) = d ) 。 下面是在矩阵计算中常用到的辛矩阵的几种形式： z ( ：辩槲，一可逆 眩 玑( 台驰：) ，s h = s , t h = t ) c z m ( ：岩。 ， 三二。 ，( + b ) + = 彳+ b c z z 。， j a c o b i 附他 ) = 仨耋 眩z ， 其中：c = ，。+ ( c 一1 ) e t t ，s = s p i t 。 a l o g r i t h 面：给定忌( 1 茎七s 刀x x r “，下面的算法确定c ，s ，使得： s ( k ，c ，s ) x = y ， y 。+ = 0 b e g i n 口：= k + x ：+ 。p i f 口= 0 t h e nc _ 1 & & s ：= 0 e l s e c ：= & s ：= x n + k 彳2 e n d v 辛蝴雠耶州吲纰( o ) 汜z z ， 其中：p = j h + i 一2 w w 7 w 7 w 。若w = o ，日0 ，w ) = ，2 。 a b 舒也m h ：给定七( 1 七月) ，x r 知，下面的算法确定w = 一，) 7 ，使得 h ，w ：) x = _ y ，_ y ；= o ( f = 七十1 ，2 珂) b e ：出 口- _ b ：+ ，x ：严 w ：= 坼+ j 劬g l b f o r ( i = k + 1 ，一，”) 一1 9 - 求解时连续代数p d e c a f i 方程的不变子空间方法研究 e n d 设女 1 ，2 ，n 一1 ，定义 g v ) _ 瞄妄。 隰z s ， 其中 矿2 志( + t ，) ， 。= + ( 赤一，卜+ 编) 。 易知g w ) - 】= ( 甜 如