（计算数学专业论文）多孔介质渗流问题的对称有限体积方法.pdf

山东大学博士学位论文 多孔介质渗流问题的对称有限体积方法 尹哲 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) 指导教师：芮洪兴教授 中文摘要 有限体积元( f v e ) 作为求解偏微分方程的一种重要数值方法，能够保持质量、 动量、能量等物理量的守恒f v e 方法( 也称为广义差分法 1 0 】或b o xm e t h o df 2 】) 利用在对偶剖分体积单元积分原始方程，并将近似解限制于某一有限元空间而得到 离散方程f 3 5 】因此，它在局部区域保持了原始方程的物理守恒性和其他重要特 性，从而被广泛地应用于数值求解数学物理方程，特别是计算流体力学和热传导问 题f 9 1 9 7 8 年，李荣华利用有限元空间和对偶单元上特征函数的推广一局部t a y l o r 展式的公项，将积分插值法改写成广义g a l e r k i n 法形式，从而将不规则网格差分法 推广为广义差分法，见专著【1 0 】十余年来，李荣华及其同行对广义差分法的理论 和应用作了系统研究这些研究包括了对椭圆、抛物、双曲方程构造一次和高次元 广义差分格式，他们对所研究问题给出了最优h 1 模误差估计 1 7 】对于重心对偶 剖分，在 i t h 3 ( q ) 假定下。得到了最优二2 模误差估计理论研究和实际计算表 明，有限体积法既最大限度的保持了差分法的简单性，又兼有有限元法的精确性 f v e 方法还有其他很多性质，参见文献【2 5 ，1 1 】 然而一般情况下，由f v e 形成的线性系统中系数矩阵却是非对称的，这就在 实际应用中带来一些困难，适用于求解对称线性系统的方法在此就不能应用，因此 将系数对称化是一项非常重要的工作【1 2 】对椭圆问题和抛物问题提出了对称有限 体积方法。并给出最优能量模估计关于对称有限体积方法的其他一些性质参见文 献f 1 3 ，1 4 】 本篇论文对几类发展型方程提出了几种对称有限体积方法，都得到了最优阶的 误差估计由于有限体积法在科学研究和工程技术中有着极其重要应用和广泛的实 山东大学博士学位论文 用性，对有限体积法的研究和发展就具有十分重要的实际意义。本文的创新点有以 下几个方面： ( 1 ) 对非线性抛物方程提出一种对称有限体积方法。我们将系统的系数矩阵对 称化，因此可以应用任何求解对称系统的方法，对问题的解决带来极大的方便。我 们给出最优阶能量模误差估计，并证明对称有限体积方法的解相对一般的有限体积 方法的解是一个更高阶项。 ( 2 ) 对复杂的渗流耦合问题提出新算法一特征对称有限体积方法。耦合问题包 括多孔介质不可压缩及可压缩混溶驱动问题，在不可压混溶驱动问题中，我们对饱 和度方程提出特征对称有限体积方法，结合对压力方程应用混合元方法，并得到最 优日1 模和l 2 模误差估计。对可压缩混溶驱动问题，我们结合应用对称有限体积方 法和特征对称有限体积方法，并得到最优日1 模误差估计 ( 3 ) 对二维抛物型积分微分方程提出一种对称有限体积方法由于积分微分方 程在多孔介质非局部反应流问题、流动流体核衰变问题、带记忆的热传导问题以及 生物技术等实际问题中有着广泛的应用。，因此对此类方程的研究也有非常重要的意 义我们针对该方程建立了全离散的对称有限体积格式，引入r i t z v o l t c r r a 投影算 子，证明了格式的收敛性，并给出了铲模误差估计。 全文共分六章 第一章是引言，第一节主要是介绍有限体积方法在第二节中，建立对椭圆问 题的对称有限体积方法，我们只需对同样的对称系统进行一次预估和一次迭代在 第三节中，我们建立对抛物问题的对称有限体积方法，在每一时间层，我们只需求 解一次对称系统 第二章对非线性抛物方程提出了对称有限体积方法在第一章的一个重要的引 理的基础上，我们将对称有限体积方法推广到非线性抛物方程，在第二节建立了非 线性抛物方程全离散的对称有限体积格式在第三节给出了本篇论文所需要的大部 分辅助引理在第四节，我们主要进行收敛性分析，给出最优阶能量模误差估计， 并证明对称有限体积方法的解相对一般的有限体积方法的解是一个更高阶项 第三章对多孔介质不可压混溶驱动问题提出了特征对称有限体积方法多孔介 质不可压混溶驱动问题的数值模拟对于油田的合理开发、了解地下油水流动规律是 十分重要的该问题通常由两个非线性偏微分方程耦合而成，一个是椭圆型方程， 山东大学博士学位论文 习称压力方程，另一个是抛物型对流占优的扩散方程，习称饱和度方程对单独的 对流占优的对流扩散方程，d o u g l a s 等 2 3 引入了特征线修正方法，用有限差分和 有限元离散对不可压混溶驱动这个耦合问题，r u s s e l l 2 4 】提出对饱和度方程的 特征有限元格式结合对压力方程标准伽略金方法，d o u g l a s 和e w i n g 等 2 5 ，2 6 引入 r a v i a r t t h o m a s 空间，给出了对压力方程的混合有限元方法，e w i n g 等 2 7 】对饱和 度方程应用特征有限元方法，对压力方程应用混合元方法，并做了收敛性分析在 第二节，我们对饱和度方程提出一种特征对称有限体积方法，结合对压力方程应用 混合元方法，在第三节给出辅助引理，在第四节进行收敛性分析，得到最优h 1 模 和l 2 模误差估计。 第四章对多孔介质可压缩混溶驱动问题提出了特征对称有限体积方法。对可压 缩可混溶驱动问题， 3 7 ，3 8 提出其数学模型并研究了半离散化方法 4 1 ，4 2 对此 模型分别提出并分析了特征有限元方法和差分法可压缩情况，压力方程和饱和度 方程均是具有强烈非线性的抛物方程在第二节，我们对饱和度方程提出一种特征 对称有限体积方法，结合对压力方程应用对称有限体积方法，在第三节给出辅助引 理，在第四节进行收敛性分析，最后得到了最优日1 模误差估计。 第五章对基于二维抛物型积分微分方程的多孔介质非局部反应流问题提出了一 种对称有限体积方法我们考虑一类抛物型积分微分方程初边值问题，此类模型在 液态中反应和污染运移问题的研究中起着非常重要的作用，是数学、工程学以及生 命科学多学科交叉研究的一个活跃领域文献【4 5 ，4 6 】提供了数学模型的出处以及 准确的假设和分析这类数学公式也出现在各种工程模型中，如在多孔介质中地下 水非局部反应运移【4 7 】，热传导问题，在流动流体放射性核衰变【4 8 】，非牛顿流动 流体，带记忆的粘弹性变形材料( 特殊聚合物) 【4 9 】，半导体建模【5 0 】，以及生物技 术所有这些模型一个非常重要的特征就是它们都表达某一物理量在任一时刻任一 子域的守恒( 质量、动量、热量等) 在许多应用中将涉及到相应的初边值问题的数 值解，这是近似方法的最重要的特性 此类型方程用有限元、有限差分以及配置法，已经得到广泛的研究【5 1 - 5 6 有 限元方法近似地保持通量。因此在渐进极限( 也就是当网格步长趋于零) 下，它能得 到足够精确的计算结果，然而，在应用相对较粗网格的时候则存在一些不利因素 有限体积方法的最重要的特性就是在每一个计算单元精确的保持近似通量( 热量， 山东大学博士学位论文 质量等) 守恒由于有限体积方法有这个重要的性质，并盛有足够的精度以及方法 易于实行，这使得近来人们对其有了更新的研究兴趣。对该非局部反应流问题，在 文献f 5 9 中，给出r 有限俸积元近似。然藤一般情况f ，由它形成的绕睦系统中系 数矩阵是非对称的。在第二节，我们对二维抛物独积分微分方程提出了对称有限体 稷方法。在第三节绘出若干辅助弓i 理，在第四节我们弓l 入r i t z v o l t e r r a 投影算子， 证明了格式的收敛性，并给出了驴模误差估计。 第六章我们做个弹往地基梁振动闯题的数值试验。汽车行驶在桥梁上，使桥 梁产生振动，带来很丈隐患；随着我国铁路列车的提速，对铁轨地基和周边沿线建 筑物熬强动问题弓 起了入船豹罄遗注意国际上已把振动捌为七大筇境公害之一， 并开始着手研究振动的污染规律、产生原因、传播途径和控制方法等。许多科学研 究者甩有限元来研究，如文献f 6 0 1 ，从理论上对弹性地慕粱振动问题进行了基础研 究文献【6 1 】用有限元方法求解此类问题，具有嘲格剐分灵活，适用区域广泛，计 算精度高等诸多优点文献 6 2 ) 采用格林函数计算了连续地基梁上移动荷载沿轴向 运动情况下的轨道饿移，但计算量太，解决高速问题有一定的局限文献f 6 3 从工 程学角度对高速列车驶过桥梁这一问蹶进行了模拟试验。我们提出了用h e r m i t c 元 研究移动荷簸作薅下撵性建基粱的振动，并对实锈进行数值模拟，得到数壤结果。 关键词t 有限髂积法，对嚣系数矩阵，菲线性，特征线，混溶驱动，糯露疗程， 抛物方程积分微分方程，全离散，误差估计，收敛阶 山东大学博士学位论文 s y m m e m e t h o d s t r i cf i n i t ev o lu m ee l e m e n t f o rf l o wp r o b l e m si np o r o u s m e d i a y i nz h e ( s c h o o lo fm a t h s y s s c i ，s h a n d o n gu n i v ，j i n a n2 5 01 0 0 ，p r c h i n a ) a b s t r a c t t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d ( f v e ) i sad i s c r e t i z a t i o nt e c h n i q u ef o rp a r t i md i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，e s p e c i a l l yf o rt h o s et h a ta r i s ef r o mp h y s i c a lc o n s e r v a t i o n l a w si n c l u d i n gm a s s ，m o m e n t u m ，a n de n e r g y f v e ( a l s oc a l l e dg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c e m e t h o df 1 0 o rb o xm e t h o df 2 】) u s e sav o l u m ei n t e g r a lf o r m u l a t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b - l e ma n daf i n i t ep a r t i t i o n i n gs e to fc o v o l u m e st od i s c r e t i z et h ee q u a t i o n s m e a n w h i l e ， t h ea p p r o x i m a t es o l u t i o ni sc h o s e no u to faf i n i t ee l e m e n ts p a c e ( 3 5 j i tp o s s e s s e st h e i m p o r t a n tp r o p e r t yo fi n h e r i t i n gt h ep h y s i c a lc o n s e r v a t i o nl a w so ft h eo r i g i n a lp r o b - l e ml o c a l l y t h u si tc a l lb ee x p e c t e dt oc a p t u r es h o c k s ，t op r o d u c es i m p l es t e n c i l s ， o rt os t u d yo t h e rp h y s i c a lp h e n o m e n am o r ee f f e c t i v e l y f v eh a sb e e nw i d e l yu s e di n c o m p u t a t i o n a lf l u i dm e c h a n i c sa n dh e a tt r a n s f e rp r o b l e m s 【9 1 i n1 9 7 8 ，r h l if 1 0 u t i l i z e df i n i t ee l e m e n ts p a c e sa n dg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i c f u n c t i o n so nd u a le l e m e n t s ，i e ，t h ec o m m o nt e r m so ft h el o c a lt a y l o re x p a n s i o n s ，t o r e w r i t ei n t e g r a li n t e r p o l a t i o nm e t h o d si naf o r mo fg e n e r a l i z e dg a l e r k i nm e t h o d s ，a n d t h u so b t a i n e dag e n e r a l i z a t i o no fd i f f e r e n c em e t h o d so ni r r e g u l a rn e t w o r k s ，t h a ti s ，t h e s o - c a l l e dg e n e r a l i z e dd i f f e r e n c em e t h o d s ( g d mf o rs h o r t ) s i n c et h e n ，e x t e n s i v er d s e a r c hh a sb e e nc a r r i e do u to nt h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fg d m ，s u c ha 8c o n s t r u c t i n g l i n e a ra n dh i g ho r d e rd i f f e r e n c es c h e m e sf o re l l i p t i c ，p a r a b o l i ca n dh y p e r b o l i ce q u a t i o n s f o rn u m e r i c a la n a l y s i s ，t h e yh a v eg i v e nt h eo p t i m a lo r d e rh 1 ( q ) e r r o re s t i m a t e s ，u n - d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tu 3 ( q ) ，c h o ua n dl i 【17 】h a v eg i v e nt h eo p t i m a ll 2n o r m e r r o re s t i m a t e sf o ras p e c i a ld u a lg r i do b t a i n e db yc o n n e c t i n gb a r y c e n t e r sa n dm e d i a n s b o t ht h et h e o r e t i c a lo b s e r v a t i o n sa n dt h ec o m p u t a t i o n a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tf v e h a sn o to n l yt h es i m p l i c i t yo fd i f f e r e n c em e t h o d sb u ta l s ot h ea c c u r a c yo ff i n i t ee l e m e n t v 山东大学博士学位论文 m e t h o d s f v ea l s oh a ss o m eo t h e rv i r t u e s ；s c e 2 - 5 ，11 】f o rm o r e d e t a i l s h o w e v e r ，i ng e n e r a lc a s et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h el i n e a rs y s t e mo b t a i n e df r o m t h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sn o ts y m m e t r i c t h i si n t r o d u c e ss o m ed i f f i c u l t i e s i nr e a li m p l e m e n t a t i o n s ；t h em e t h o ds u i t a b l et os y m m e t r i cl i n e a rs y s t e m sc a n n o tb e u s e di nt h i sc a s e r u i 1 2 1h a sg i v e ns y m m e t r i cm o d i f i e df i n i t ev o l u m ec l e m e n tm e t h o d s f o rg e n e r a ls e l f - a d j o i n te l l i p t i ca n dp a r a b o l i cp r o b l e m sw i t ho p t i m a le n e r g yn o r me r r o r e s t i m a t e f o rs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m em e t h o d ，w cc a ng e tm o r ep r o p e r t i e si n 【1 3 ，1 4 】 i nt h i st h e s i s ，w ep r o p o s es e v e r a lk i n d so fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h - o d sf o rs e v e r a lt i m e - d e p e n d e n te q u a t i o n s ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ec a nb eo b t a i n e d f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sw i d e l ya p p l i e di ns c i e n t i f i cr e s e a r c ha n de n g i n e e r i n gt e c h n i q u e ，s ot h ed e v e l o p m e n to ft h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dh a si m p o r t a n t s i g n i f i c a n c e t h ei n n o v a t i v ea s p e c t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) w ep u tf o r w a r dak i n do fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rn o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m s w es y m m e t r i z et h ec o e f f i c i e n tm a t r i xo fs y s t e m ，s ow ec a n u s ea n ym e t h o dw h i c hi ss u i t a b l ef o rs o l v i n gs y m m e t r i cs y s t e m w eg i v et h eo p t i m a l o r d e re n e r g yn o r me r r o re s t i m a t e sf o rf u l ld i s c r e t es c h e m e s w ea l s op r o v et h a tt h e d i f f e r e n c eb e t w e e nt h es o l u t i o n so ft h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o da n dt h es o l u t i o n s o fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sah i g ho r d e rt e r m ( 2 ) w ep r o p o s et h es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sf o r c o m p l i c a t e dc o u p l e dm i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a t h ep r o b l e m si n c l u d et h e i n c o m p r e s s i b l ea n dc o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a f o ri n c o m - p r e s s i b l ec a s e ，as e q u e n t i a lt i m e - s t e p p i n gp r o c e d u r ei sd e f i n e d ，i nw h i c ht h ep r e s s u r e a n dd a r c yv e l o c i t yo ft h em i x t u r ea r ea p p r o x i m a t e db yam i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d a n dt h ec o n c e n t r a t i o ni sa p p r o x i m a t e db yac o m b i n a t i o no fas y m m e t r i cf i n i t ev o l u m e e l e m e n tm e t h o da n dt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s o p t i m a lo r d e rc o n v e r g e n c ei nt l 1 a n di nl 2a r ep r o v e df o rf u l ld i s c r e t es c h e m e s f o rc o m p r e s s i b l ec a s e ，w eu s es y m m e t r i c f i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rp r e s s u r ee q u a t i o n ，a n dt h es e c o n dc o n c e n t r a t i o nc q u a - t i o ni sa p p r o x i m a t e db yac o m b i n a t i o no fas y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d a n dt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s o p t i m a lo r d e rc o n v e r g e n c ei nh 1i sp r o v e df o rf u l l d i s c r e t ! s c h c m c s 山东大学博士学位论文 ( 3 ) w ep u tf o r w a r dak i n do fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n td i s c r c t i z a t i o n sf o r a l li n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep a r a b o l i ci n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sk i n do fe q u a t i o n i sw i d e l yu s e di nv a r i o u se n g i n e e r i n gm o d e l s s u c ha sn o n l o c a lr e a c t i v ef l o w si np o r o u s m e d i a ，h e a tc o n d u c t i o n ，r a d i o a c t i v en u c l e a rd e c a yi nf l u i df l o w s ，o rv i s c o e l a s t i cd e f e r m a t i o n so fm a t c r i a l sw i t hm e m o r ya n db i o t e c h n o l o g y w ei n t r o d u c et h ef i n i t ev o l u m e e l e m e n tr i t z v o l t e r r ap r o j e c t i o n i ti sp r o v e dt h a ts y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n t a p p r o x i m a t i o n sa r cc o n v c r g e n tw i t ho p t i m a lo r d e ri nl n o r m t h i sd i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，i n 1 1 ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ef i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o d i n 1 2 ，t h es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e mi sf o r m u l a t e d ， w h i c hi so b t a i n e db ya d d i n gah i g ho r d e rt e r mt ot h et r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d i t sc o e f f i c i e n tm a t r i xi ss y m m e t r i c ，s ow ec a nu s ea n yo ft h em e t h o d sf o rs o l v i n gs y m - m e t r i cl i n e a rs y s t e m ，a n dw en e e do n ep r e d i c t i o na n do n ec o r r e c t i o nw i t ht h es a m e s y m m e t r i cs y s t e m i n l - 3 ，w ei n t r o d u c es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o r p a r a b o l i cp r o b l e m a te a c ht i m es t e p ，w eo n l yn e e dt os o l v et h es y m m e t r i cs y s t e mo n e t i m e i nc h a p t e r2 ，w ep u tf o r w a r dak i n do fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o r n o n l i n e a rp a r a b o l i cp r o b l e m s i n 2 2 ，o nt h eb a s i co fa ni m p o r t a n tl e m m ao fc h a p t e r 1 ，w ee x t e n ds y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o dt on o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n s i n 2 3 ，w eg i v es o m ea u x i l i a r yr e s u l t s i n 2 4 ，w ea n a l y z ec o n v e r g e n c eo ft h em e t h o d g i v et h eo p t i m a lo r d e re n e r g yn o r me r r o re s t i m a t e sf o rf u l ld i s c r e t es c h e m e s w ea l s o p r o v et h a tt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h es o l u t i o n so ft h ef i n i t ev o l u m ec l e m e n tm e t h o d a n dt h es o l u t i o n so fs y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o di sa h i g ho r d e rt e r m i nc h a p t e r3 ，w ep r o p o s es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o ri n c o m p r e s s - i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a n u m c r i c a ls i m u l a t i o nf o ri n c o m p r e s s i b l e f l o wi np o r o u sm e d i ai se x t r e m e l yi m p o r t a n tf o rd e v e l o p i n go i lf i e l d sr e a s o n a b l ya n d u n d e r s t a n d i n gf l u i dd y n a m i c so fo i la n dw a t e ru n d e rt h eg r o u n d m i s e i b l ed i s p l a c e - m e n to fo n ei n c o m p r e s s i b l ef l u i db ya n o t h e ri np o r o u sm e d i ai sm o d e l e db yan o n l i n e a r s y s t e mo ft w oc o u p l e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e l l i p t i ce q u a t i o n ，h e r e a f t e rc a l l e d t h ep r e s s u r ee q u a t i o n e m b o d i e sm a s sc o n s e r v a t i o nf o rt h es y s t e ma n du s e st h ee m p i r v l l 山东大学博士学位论文 i c a ld a r c yl a wo ff l u i dm e c h a n i c s i ta c c o u n t sf o rc o n v e c t i o na n de x t e r n a l l yi m p o s e d f l o w s p a r a b o l i ce q u a t i o n ，t h ec o n c e n t r a t i o ne q u a t i o n ，c o n s e r v e sm a s sf o rt h ei n j c c t c d f l u i da n da l l o w sf o rc o n v e c t i o n ：d i f f u s i o n ，d i s p e r s i o n ，a n de x t e r n a l l yi m p o s e df l o w s a m o d i f i e dm e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c sw a si n t r o d u c e da n da n a l y z e df o ras i n g l ep a r a b o l i c e q u a t i o nb yd o u g l a sa n dr u s s e l l 【2 3 ，u s i n ge i t h e rf i n i t ed i f f e r e n c e so rf i n i t ee l e m e n t t od i s c r e t i z ei ns p a c e f o ri n c o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n tp r o b l e m ，as e q u c n t i a l b a c k w a r d - d i f f e r e n c et i m e - s t e p p i n gs c h e m ei sd e f i n e di n 【2 4 】：i ta p p r o x i m a t et h ep r c s - s u r eb yas t a n d a r dg a l e r k i np r o c e d u r ea n dt h ec o n c e n t r a t i o nb yac o m b i n a t i o no fa g a l e r k i nm e t h o da n dt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s f o rp r e s s u r ee q u a t i o n ，t h er a v i a r t t h o m a ss p a c ea n dt h em i x e dm e t h o dw a si n t r o d u c e da n da n a l y z e di nc o m b i n a t i o nw i t h as t a n d a r dg a l e r k i np r o c e d u r ef o rc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni n 2 5 ，2 6 i n 2 7 ，t h ea u t h o ru s e dam i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rp r e s s u r ee q u a t i o na n dag a l e r k i nf i n i t e e l e m e n tm e t h o da n dt h em e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s o p t i m a l - o r d e rc o n v e r g e n c ei nl 2i s p r o v e d t h eo r g a n i z a t i o no ft h er e s to ft h i sc h a p t e ri sa sf o l l o w s ：i n 3 2 ，as e q u e n t i a l t i m e - s t e p p i n gp r o c e d u r e i sd e f i n e d ，i nw h i c ht h et h ep r e s s u r ea n dd a r c yv e l o c i t yo ft h e m i x t u r ea r ea p p r o x i m a t e db yam i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o da n dt h ec o n c e n t r a t i o ni s a p p r o x i m a t e db yac o m b i n a t i o no fas y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o da n dt h e m e t h o do fc h a r a c t e r i s t i c s i n 3 3 ，w eg i v es o m ea u x i l i a r yl e m m a s i n 3 4 ，o p t i m a l o r d e rc o n v e r g e n c ei nh 1a n di nl 2a r ep r o v e df o rf u l ld i s c ie t es c h e m e s i nc h a p t e r4 ，w ep r o p o s es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rc o m p r e s s i b l e m i s c i b l ed i s p l a c e m e n ti np o r o u sm e d i a d o u g l a sa n dr o b e r t 【3 7 ，3 8 】h a v ef o r m u l a t e da n d a n a l y z e dn u m e r i c a ls c h e m e sf o ra p p r o x i m a t i n gt h es o l u t i o no ft h es y s t e m y u a n 4 1 ，4 2 】 h a sp r e s e n ta n da n a l y z e dt i m es t e p p i n ga l o n gc h a r a c t e r i s t i c so ft h ef i n i t ee l e m e n ta p - p r o x i m a t i o na n df i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t i o no fc o m p r e s s i b l em i s c i b l ed i s p l a c e m e n t i np o r o u sm e d i ar e s p e c t i v e l y t h eo r g a n i z a t i o no ft h er e s to ft h i sc h a p t e ri sa sf o l l o w s ： i n 4 2 ，w eu s es y m m e t r i cf i n i t ev o l u m ee l e m e n tm e t h o df o rp r e s s u r ee q u a t i o n ia n d t h es e c o n dc o n c e n t r a t i o ne q u a t i o ni sa p p r o x i m a t e db yac