（计算数学专业论文）d10等变非线性分歧问题的计算.pdf

摘要 随着科学技术的迅速发展，非线性问题大量出现在自然科学，工程技术乃至社会科学 的许多领域中，成为当前科学研究的焦点。分歧是一种常见的非线性现象，并与其他非 线性现象( 如混沌，湍流，突变，分形，拟序结构等) 密切相关，在非线性科学的研究 中占有重要地位。 本文主要研究d 。等变非线性分歧问题，这个模型其中的方程组比较复杂，而且分歧 现象较为丰富，是一个理想的模型。本文主要运用l i a p u n o v s c h m i d t 方法和对称破缺分歧 理论计算各类解枝及分歧点，并画出分歧图。 关键词；l i a p u n o v s c h m i d t 方法，分歧方程，扩张系统，对称破缺 第1 页 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , i n v e s t i g a t i o no fm o r ea n dm o r en o n l i n e a r p r o b l e m sf r o ms c i e n c e ，t e c h n o l o g y ，a n de v e nv a r i o u sf i e l d so fs o c i a ls c i e n c e , h a v eb e e nb e c o m i n g t h ef o c u so fs c i e n c es t u d y b i f u r c a t i o ni sac o m m o nn o n l i n e a rp h e n o m e n o na n dp l a y sa ni m p o r t a n t r o l ei nt h en o n l i n e a rs c i e n c e w ec h o o s ed l oe q u i v a r i a n tb r u s s l a t o rr e a c t i o np r o b l e ma st h er e s e a r c hm o d e lb e c a u s eo f i t sa b u n d a n tb i f u r c a t i o np h e n o m e n o na n dt h es y m m e t r y - b r e a k i n gb i f u r c a t i o nt h e o r ya r eu s e dt o c o m p u t i n gt h es o l u t i o nb r a n c h e sw i t hd i f f e r e n ts y m m e t r i e sa n db i f u r c a t i o np o i n t s ，t h en u m e r i c a l r e s u l t sa r ev j s u a l i z e d k e yw o r d s ：d l oe q u i v a r i a n c e ，l i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n , e x t e n d e ds y s t e m ， s y m m e t r y - b r e a k i n g 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引崩的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名 第2 l 页 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解e 海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 y 9 3 1 9 1 6 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，呵以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名：趣4 叁 日期：2 亚& ：土；l 导师签名： 日期： 第一章引言 。s 囔 应器中反应物的密度向量，则整个反应由以下方程描述 映照。 ( 1 2 ) ，l o ) 为第i 个反 专= ，( 勺) + a d i ( z + 1 一z j ) 十( z j 一1 一z j ) 】 j = 1 ，2 ，一，1 0 ( 1 3 ) 此处o o = z 1 0 ，z l l = z 1 ，d席“。”为扩散矩阵，( z ) 刻画了一个反应 器中的化学反应，分歧参数控制了反应器之间反应物的扩散。如果我 们设x = ( z 1 ，z 2 ，z l o ) ，并设g ( x ，a ) 为方程( 1 3 ) 右端，则9 显然满足等变 条件( 1 2 ) ，其中对称群r 同构于卜面体群d 】o ( 正十边形的对称群) 。r = ，r - ，r 。，r s ，r t ，r 5 ，风，r ，r 8 ，r 9 ，韪，s i l 田，卵，田，s 2 ，g ，髫霹，掣 ， 这里r 1 表示旋转3 6 度的变换，忍= 嗣，i = 2 ，3 , 4 9 ， ，岛，r 2 ，r 3 ，见，风，风，岛，风，r 9 ，岛，g ，田，s 扎s r ，g ，掣，掣，掣的表示为1 0 m 阶的 块置换矩阵，表示旋转和反射。很显然，r 的子群为 f = 亿r 1 ，r 2 ，r 3 ，r 4 。砥，1 r 7 1 r s ，r 9 ，s l ，s j ，s ：，s 乳s 乳s 2 ，s ，s g ，罐，s 字、。 r = ，r 1 ，r 2 ，r 3 ，r 4 ，r 5 ，风，r 7 ，风，凰) ，血= j ，r 2 ，凰，风，r 8 ，s l ，蜀，并，邓，s ，7 ) d = ，忌，r 4 ，r 6 ，r 8 ，岛，足，g ，蹬，夥) ，。= ，r 5 ，s l ，s 2 ) 第1 页 第一章引言 ：= j ，r 5 ，s ：，$ ：= j ，r 5 ，器，g ) ， 掣= ，r 5 ，s ! ，彤7 ) ， ：”= ，r 5 ，s ，7 ，是”) 。= j ，& ) ，i = l ，2 ， ：= j ，g ，i = 1 ，2 ? = ，彤) ，i = l ，2 ， = ，s ：， ，i = l ，2 ， y = j ，s _ y ，i = l ，2 ， ，= ，r 5 ) ， 。= j )p = j ，r 2 ，h ，风，r 8 定义1 2 ：定常解z 满足的对称性构成r 的子群，称为r 的迷向子群。记为 e = 。： 盯，o - x = 。) ， 易验证，咒，d 。，马不是迷向子群( 以下记如= d ) 定义1 3 ：的不动点空间为 z ：= z x ，o x = x ，v 盯) d ，o 等变分歧问题的定常解的迷向子群r ，。，d ，e 2 ，o 不动点空间分别为 x 。= z r 1 “ z 1 = z 2 一- = z l o x 2 a = 枷r 1 帆i z l = z 2 = 键= 御，z 3 = 岛= z 8 = z 1 0 ，z 4 = z g ) x 2 d = 。r 1 0 i z l = 。3 2 5 z 7z 9 ，z 2 = 施z 6 z 8 = z l o ) x l = k r 1 帆i z l 一钝，名3 = z l o ，施一为，砧= z 8 ，= 研 x 2 2 = x r 1 帆1 2 1 = z 7 ，z 2 = z 6 ，z 3 = z 5 ，z 8 = z 1 0 ) x r = z r 1 0 m k l = 铂，z 2 = 幻，钝= z 8 ，z 4 = 钓，z 5 = z 1 0 ) x 2 0 = r 1 “ ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 - 6 ) ( 1 - 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 9 ) ( 1 - 1 0 ) 定义1 4 ：称r 的子群为至的共轭子群，若存在，y r ，使得，y 1 1 = 宝 显然，共轭是一种等价关系，在d 1 0 等变的b n l s s l a t o r 反应问题中，。，：，：，：， 互为共轭子群e l ，j ，e ：，互为共轭子群e 2 ，：，毯，罗，e 影互为共轭子群 定义1 5 ：设e 为r 的子群，e 在f 中的正规子定义为 r ( e ) = 7 r ，y 7 1 = 称为r 的正规子群，如果【( e ) = r 定义1 6 ：子群e ( cr ) 称为r 在y ( cx ) 9 的分歧子群，如果 ( 1 ) 存在口y 1 y o ，e = e ”，( 2 ) d i m ( y n x 2 ) = 1 定理1 7 ：设为r 在y ( cx ) 中的分歧子群，则或者 ( 1 ) n r ( ) 皇历或者 第2 页 ( 2 ) r ( ) = ( 商群n r ( ) 包含了结集7 ，r ( ) ) 证明：令= e 口，y y o ) ，因为y 是r 不变子空问，x 。为r ( ) 的不变子空问，所以对 任意的一y r ( ) ，7 ynx 2 ，由于为y 中的分歧子群，因而ynx 2 = ( ) ，且对任意1 n r ( ) ，7 f = o e y ，这里o ( - 1 ，1 ) ( 因为fco ( ) ) ，所以或者对任意，y n r ( ) ，。= 1 ( 情 况( 2 ) ) ；或者对任意，y n r ( ) e ，n r ( e ) 且a = 一1 ( 情况( 1 ) ) 证毕。 第3 页 第二章列称破缺定常分歧和d 1 0 分歧图 第二章对称破缺定常分歧和d 1 0 分歧图 考虑定常问题 g ( x ， ) = o ( 2 - 1 ) 对f 的每一个子群，的不动点子空问x 2 关于9 ( z ，a ) ，a r 作用下不变，因而得到约化问 题 g e ( z e ，a ) = 0 z 2 x 2 ( 2 ，2 ) ( 2 2 ) 的解显然是( 2 1 ) 的解，曰至少具有对称性e 考虑重奇异点( z o ，a o ) ，g ( z o ，a o ) = 0 ，o = k e r n e l ( g x ( x o ，a o ) ) ，d i m n o = 1 ， 其中岛：= 假定以下条件成立： ( a 1 ) 肛= o 为啦( z o ，a o ) 的代数重特征值， ( a 2 ) n on x 2 0 = f o ) 条件( a ，) 通常成立，条件( a 2 ) 暗示了o 对称破缺分歧。 定义2 1 ：称o 在n o e e 非共轭分歧子群的个数d 为( z o ，a o ) 的分歧度，若o 在o 中的分歧 度为d ，则从( z o ，a o ) 至少分枝出d 根不同的解枝。 d 。等变非线性定常分歧问题的r 破缺分歧子群为： ( 1 ) 当七= 1 时，存在唯一的分歧子群d = j - ，r 2 ，见，r s ，岛，g ，罡，霹，彤”) ( 2 ) 当七= 2 时，分歧子群为：。，：，：，掣，e ：，l ，i ，r 4 , ，2 ，e ；，：， 爹， 定义2 2 ：若定理( 1 7 ) 中( 1 ) 成立，则称分歧子群为对称，否则称反对称。 定理2 3 ：r 一d ，f 一1 ，r 一2 ，。一l ，e 。一，1 一o ，2 一o ，一o 破缺分歧为 音叉式分歧，r 一。，d 一2 破缺分歧为横截式分歧。 证明：容易计算 n r ( d ) = r ，盹。( 2 ) = 芑2 ，盹。( 2 ) = 。， r ( 1 ) = 。，w e 。( 1 ) = 。，。( ，) = e 。， n r ( 2 ) = 。，e 。( e o ) = 1 ，盹：( o ) = e 2 ， i 、( 。) = 。，( e o ) = ， 因而由定理1 7 及定义1 5 、1 5 ，d 为r 的正规对称分歧子群。，：，：，掣，：”为r 的 非正规反对称分歧子群。1 ，i ，! ，f ，5 1 ，和2 ，g ，e 掣，r 为r 的非正规对称分歧子 群。再由定理4 8 ( 1 ) 即得。证毕。 d - o 分歧图包含了以下信息：矩形框内的子群为r 的迷向子群。用直线连接的两矩形 框下方的子群为上方子群。位置的高低表示了两个子群之间的包含关系，也暗示了对 称破缺还是增加，括号里的数字表示所有共轭的分歧子群的个数。从d 1 0 分歧图，可以看 出d l o 等变分歧问题的定常解共有7 种不同的对称( 1 1 ，d ，。，e l ，e 2 ，e o ) 和1 1 种不同的对 称破缺分歧点。 第4 页 第5 页 第三章对称破缺分歧点的计算方法 第三章对称破缺分歧点的计算方法 考虑约化问题( 2 2 ) ，计算o 一破缺定常分歧点的扩展方程为 m 叭= ( 掣j ) = 。 ( 3 一1 ) 其中。x 掣，妒x 2 ，a r ，讯为妒的第k 个分量( 在数值计算中取定妒的某一分量，并可 能做调整) 考虑d l o 等变b r u s s l a t o r 反应问题( 1 3 ) ，其中m = 2 ，。= ( x ，) f ( z ) = 此时n ( 1 4 卜_ ( 1 1 0 ) 式可得到 ( ab x 曼x 2 y 扣2 ”) ，。= ( 1 0 一 u 一o x 。垒r 2 = ( z 1 ，y x ) i x l ，y 1 r ) x 。4 兰r 6 = ( 茁1 ，y 1 ，x 3 ，y a ，x 4 ，y 4 ) l x l ，y l ，。3 ，y a ，x 4 ，y 4 r ) x e 8 望r 4 = ( z l ，y l ，。2 ，y 2 ) l x l ，y 1 ，2 7 2y 2 r ) ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) x e 会；r 1 k ( z 1 ，y l , 。2 ，y 2 ，x 3 ，y a ，。4 ，y 4 ，x 5 ，y 5 ) l x l ，y l i 。2 ，z 3 ，y a ，z 4 ，y 4 ，z 5 ，l 5 r 1 3 5 ) x 1 垒! r 1 0 = ( z 1 ，y 1 ，z 3 ，y a ，x 4 ，y 4 ，z 5 ，y 5 ，x 6 ，量，6 ) l x l ，y 1 ，x 3 , y a ，z 4 ，y 4 ，。5 ，拈，x 6 , ! ，6 r t 3 6 ) x e 2 垒! r 1 2 = ( 。1 ，掣1 ，x 2 可2 ，。3 ，斟3 ，。4 ，y 4 ，x 8 ，y s ，茁9 ，y g ) l x l ，y h z 2 ，3 2 ，z 3 ，y 3 ，z 4 ，j 阻， ( 3 7 ) x 8 ，y s ，x 9 ，y 9 埘 x e 。星r 2 0 = ( 。l ，y 1 ，- - - ，茁1 0 ，y l o ) i x l ，可1 ，茁l o ，y 1 0 r ) 容易写 丑d l o 等变b m s s l a t o r 反应问题( 1 _ 3 ) 限制在不动点空间x ，x 乳，x ，x 。，x 2 n x “，x 。上的约化方程组 第6 页 ( 3 - 8 ) g e 0 ( z e 。，a ) a 一( b + 1 ) x 1 十。i 可1 + a ( z 2 + x 1 0 2 x 1 ) b x l 一x ? y 1 + l o a ( 9 2 + 们。一2 y 1 ) a 一( 日+ 1 ) x 2 + 鸸伽+ a ( 如+ x l 一2 x 2 ) b x 2 一茁2 2 驰+ 1 0 ( 3 + y l 一2 2 ) a 一( b + 1 ) x 3 + 茹3 2 蜘+ a ( 飘+ 3 2 2 2 x 3 ) b x 3 一z 3 2 蜘+ 1 0 ) , ( 4 + 伽一2 3 ) a 一( b + 1 ) x 4 + z i 玑+ a ( x s + x 3 2 x a ) b x 4 一z i 驰+ 1 0 ) l ( y 5 + y 3 2 y 4 ) a 一( b + 1 ) x 5 + z i 蜘+ a ( x 6 + z 4 2 x 5 ) b x 5 一z ；蜘+ 1 0 a ( 蜘+ 玑一2 y 5 ) a 一( b + 1 ) x 6 十。；舶+ a ( x r + x 5 2 x 6 ) b x 6 一磊口6 + 1 0 a ( y 7 + 5 2 ”6 ) a 一( b + 1 ) x 7 + 霹价+ a ( 执+ x 6 2 x 7 ) b x 7 一z ；狮+ l o a ( y 8 + 舶一2 y t ) a 一( 口+ 1 ) x 8 + z ；如+ a ( x 9 + 茁7 2 x s ) b x s 一茁i 蜘+ 1 0 a ( 驷+ 斩一2 y 8 ) a 一( b + 1 ) x 9 + z 9 2 蜘+ a ( z l o + x 8 2 x 9 ) b x 9 一z 9 2 蜘+ 1 0 a ( y l o + 8 2 y 9 ) a 一( b + 1 ) x l o + 茁i 0 9 1 0 + a ( x l + x 9 2 x m ) b x l o z o y l o + l o a ( 可1 + 可3 2 y 1 0 ) 第7 页 o ( 3 - 9 ) 第三章对称破缺分歧点的计算方圭 。n = ( 茁1 y 1 ，z l o ，y l o ) x 。，a r g e 。( z e 2 ，a ) = a 一( b + 1 ) x l + z 可1 + a ( z 2 十x 8 2 x i ) b x 】一 剪l + 1 0 a ( y 2 + 掣8 2 ”1 ) a 一( b + 1 ) x 2 + 。；抛+ a 扛l + x 3 一x 2 ) b x 2 一z ；驰+ 1 0 a ( y l + y 3 一y 2 ) a 一( b + 1 ) x 3 + 。3 2 珈+ a ( z 2 + x 4 2 x 3 ) b x 3 一2 蜘+ 1 0 a ( y 2 + y 4 一y a ) a 一( b + 1 ) x 4 + z i 玑+ 2 a ( z 3 一x 4 ) b x 4 一z i 玑+ 2 0 a ( y 3 一y 4 ) a 一( b + 1 ) x s + 。i 骀+ a ( z 9 + 。l 一2 x s ) b x 8 一z ；8 十1 0 ；、( y 9 + y l 一2 y s ) a 一( b + 1 ) x 9 + 。9 2 拍+ 2 a ( x 8 一x 9 ) b x 9 一z 3 拍+ 2 0 ) , ( y 8 一f 9 ) z 2 = ( 茁1 ，y 1 ，x 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，z 4 ，y 4 ，z 8 ，y 8 ，z 9 ，y 9 ) x e 2 ，a r g e ，( z e 。，a ) = a 一( b + 1 ) x l + z 掣1 + a ( z 3 一z 1 ) b x l z i 口1 + 1 0 ) , ( y 3 一y 1 ) a 一( b + 1 ) x 3 + 。3 2 船4 - a ( 。4 + x l 一2 x a ) b x 3 一z 3 2 驰+ 1 0 a ( y 4 + y 1 2 y 3 ) a 一( b + 1 ) x a + 妇y 4 + a ( z 5 + 。3 2 x 4 ) b x 4 一z i 舶+ 1 0 ；、( y 5 + y 3 2 y a ) a 一( b + 1 ) z 5 + z 蜘+ a ( 铂+ x b 一2 x 5 ) b x 5 一z 5 2 驺+ 1 0 ) 、( y 4 + y 6 2 骗) a 一( b + 1 ) x 6 + 磊y 6 + a ( z 5 一。6 ) b x 6 一z ；舶+ 1 0 ) 、( y 5 一y 6 ) 第8 页 = 0( 3 - 1 0 ) ( 3 一1 1 ) 。1 = ( 茁1 ，9 l ，z 3 ，y 3 ，z 4 ，y 4 ，z 5 ，y 5 ，x 6 ，y 8 ) x 1 ，a r 9 r ( x e ，a ) a 一( 口+ 1 ) x l + z 可1 + a ( z 2 + x 5 2 x i ) b x l z i f l + 1 0 a ( y 2 十y 5 2 y 1 ) a 一( b + 1 ) x 2 + 茁l 驰+ a ( z 3 + z l 一2 x 2 ) b x 3 一z 3 2 蜘十1 0 a ( y 3 + y l 一2 y 2 ) a 一( b + 1 ) x 3 + 茹3 2 蜘+ a ( x 4 + x 2 2 x 3 ) b x a z i 舶+ 1 0 a ( y 4 + y 2 2 y a ) a 一( b + 1 ) x 4 + z i 驰+ a 扛5 + x 3 2 x 4 ) b x a z i 弘十l o a ( 蜘+ y 3 2 y 4 ) a 一( b + 1 ) x 5 + z 5 2 舶+ a ( x l + x 4 2 x s ) b x 5 一z 3 蜘+ 1 0 a ( y j + y 4 2 y 5 ) z e ，= ( x l ：y 1 ，z 2 ，y 2 ，茁3 ，y 3 , 茁4 ，玑，z 5 ，可5 ) x e ，a r 啦。( x e 。，a ) = a 一( b + 1 ) x l + z y l + a ( x 3 一x 1 ) b x l z 1 + 1 0 a ( y 3 一y 1 ) a 一( b + 1 ) x 3 + z ；讹+ a ( x l + x 4 2 x 3 ) b x 3 一茹3 2 9 3 + 1 0 a ( y l + y 4 2 y a ) a 一( b + 1 ) x 4 + i 玑+ 2 a ( x 3 一x 4 ) b x 4 一z i 玑+ 2 0 a ( y 3 一y 4 ) x e 。= ( z 1 ，y l ，。3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ) x e 。，a r f a 一( 日b z + ，一1 ) 。x l g + ，+ x 2 2 y 。l a + ( 9 2 。a 一( x 口2 ，) - z 1 9 d z e d 1 2 la-(bbz。+一1)。x；3船+x。y。3+。，2，a一(x驰l，-z。 x e d ：( z 1 ，y 1 ，x 2 ，y 2 ) x 。“，a 月 瓶炉( 譬笺一1 ) = 。 z r = ( z l ，y 1 ) x 。，a r 记。为二阶零矩阵 肚( 滤) ，耻( 一b 翟 o ( 3 - 1 2 ) = 0 r 3 1 3 ) 0 ( 3 1 4 ) 十2 x i y l 一 z ? 、 i 一1 ， 2 x t 玑一嚣i 一1 0 a 一- 第9 页 ( 3 一1 5 ) 第三章对称破缺分歧点的汁算方法 则相应的j a c o b i a n 矩阵分别为 。( ( z 1 ，y l ，x 1 0 ，y l o ) ，a ) m t dd dm 2 od 0o 00 o0 o0 oo 0o do 000 d d00 m 3 dd 0 d m 4 一dd 0d 地 o0d 000 00o 000 000 ( x l ，y 1 ，z l o ，y 1 0 ) x 2 。，a r 0oo 0oo 0 00 00o d d00 慨一dd 0 dm r dd 0dm 8 o0d o00 9 z e 2 ( ( l ，y l ，z 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，x 8 ，y s ，x 9 ，! f 9 ) ，a ) m 1 一d d 0 q i d m 2 一d d0 一l od蜗一dd l oo2 dm 4 一d l d000 0 000 ( 3 - 1 6 ) d0 00 i 。0。0 l c s 川， m 8 一dd j 2 dm 9 一d | ( z l ，y l ，2 7 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，3 7 8 ，y s ，x 9 ，y 9 ) x 8 2 ，a r f - 1 d000j l dm 3 一dd00 l g x e l ( ( x l ，y l ，x 3 ，y a ，y 4 ，x 5 胁x 6 ，舶) ，a ) = 1 0dm 4 一dd 0 | ( 3 - 1 8 ) l 00dm 5 一dd i 0 00d 慨 ( z 1 ，y l ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，x 5 ，y 5 ，x 6 ，y 6 ) x 2 1 ，a r g 2 ( ( z l ，y a ，z 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，z 5 ，y 5 ) 卜， ( x l ，y l ，x 2 ，耽，2 7 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，x 5 ，y 5 ) x 2 r ，a r 乳：。c 扛- ，玑，现，拈，孔，批，= ( 芎m 2 。d dm 4 墨。) c s z 。， d o o 0 0 0 0 o d o ， d a o o o o o o o d 妒d d 且 d a d o o d 缸 o 0 d r d：z。 。d卜d。 d m z 言。 卜d 。d “ 、 户 ( z l ，y 1 ，。3 ，y 3 ，z 4 ，y 4 ) x 。，a r 岷( ( x i , y l , x 2 , y = ) = ( m 1 。- 。2 d 一。) ( 。l ，y 1 ，z 2 ，y 2 ) x 2 d ， r 删也炉( 掣装曼；) ( 3 2 1 ) ( 3 - 2 2 ) ( 。l ，y 1 ) x 7 ，a r 计算d 一2 ，e 。一e 1 ，e 。一e ，e 。一2 ，1 一e o ，e 2 一o ，e ，一o 对称破缺分歧点的扩展方 程分别为 g cc 轧蚴妒，a ，= f c c z ， g z d ( ( z “y l y l ，x 2 ，y 2 ，嚣1 ，掣1 妒i ( x l ，y l ，x 2 ，y 2 ) x z d ，妒j 岛。，a r g ( ( 。1 ，1 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，s “) 妒，a ) ( h 1 ，z 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ) x z 。，妒x z l ，a r g ( ( z 1 ，y l ，x 3 ，3 ，x 4 ，玑) l p ， ) ( x l ，y l ，z 3 ，9 3 ，x 4 ，y 4 ) x z 。 x 2 ，耽) ，a ) x 2 ，2 ，x 2 ，驰，x l l y i ) ，a ) 妒i ( 3 ，2 3 ) 1 x黜3y 3xl y i ) 妒1 c 3 - 2 4 ， ，a ) 妒i () =(。；z，ccz慧l譬，1”y，l苫,x?31,y：3,zxt4，,sy“4，)z,s),，)s悖，a，妒)c。一zs， 妒x z ，a r g c c 札掘铀m ，玑，妒= 丘现 ( z 1 ，可l ，z 3 ，啦，轧，y 4 ) x z 。，妒x z 2 ，a r g ( ( z 1 ，y l ，3 7 3 ，y a ，x 4 ，y 4 ，x 5 ，蜘) 仍a ) = ( 。j 。c c z ，冀1 錾。1 ，童y 。l ，x a ，”3 7i i 兰：。i 嚣y 。s ，x 6 y l 2 ：1y lx 3y ay 4x 5y 5y 6 y 8 ，x 3 怕5 7 y 5 ：x 4 ，玑，铷，玑，a ，妒) c s z ， i 如。( ( z 1 ， ，童4 ，z 6 ，嚣6 ， ，玑，铷，玑) ，a ) 妒i ( 3 - 2 7 ) 一l ( x l ，y l ，x 3 ，y a ，z 4 ，y 4 ，x 5 ，y 5 ，x 6 ，舶) x z l ，妒x z o j a r g ( ( 。l ，y l ，x 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，茁4 ，y a ，x 8 ，y s 卸，9 ) 妒， ) = (如。(。，。g，e2驰(，(xl，,yl，,。x。2，,驰y2，,xa，,ya，,。x：4，,y4，,zs，,ys，,。x。g，,yg，)。,。,、，)yl x 3y ax 3y 3y 2x ly l y s ，。，x 8 ，u s ) ，a ) 妒1 ( s 2 8 ) i 目叠e 。( ( z 1 ， ，z 2 ，3 ，2 ，z 4 ，! 4 ，茁2 ，z 8 ，z 9 ，可9 ， ，a ) 妒i ( 3 一 机一1 蜘弘。 风旷 玑拈 旧铷 玑 g h眙玑 ， 6 艺 0 、 ” 如4 、心 一雏弛m 驰 o m 胁慨 玑z 可乳9 第三章对称破缺分歧点的计算方法 ：= ：! !：! ! ! ! ! = = = = ! = ! ! ! ! = = ! ! ! ! ! ! ! ! = = = e ! ! ! = ( z l ，y 1 ，z 2 ，y 2 ，z 3 ，y 3 ，嚣4 ，y 4 ，i f ：8 ，y 8 ，x 9 ，y 9 ) x e 2 ，妒x e 。， r g ( ( z 1 ，y l ，x 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，x 5 ，5 ) 咿， ) = g e ，( ( 1 ，y l ，x 2 ，可2 ，z 3 ，蜘，x 4 ，y 4 ，x 5 ，i 5 ) ，a ) 、 lg x = o ( ( y l , y 2 ，y a ，y 4 ，x 5 ，y 8 ，x l 朋，x 2 册，y 3 ，x 4 m x 5 ，蜘) ，a ) 妒i ( 3 _ 2 9 ) 讯l ( z 1 ，y i ，x 2 ，y 2 ，x 3 ，y 3 ，x 4 ，y 4 ，x 5 ，y s ) j 毛，妒。x o ，a r d ，。等变b r u s s l a t o r 反应问题呈现了非常复杂的分歧现象，给解枝的延拓造成了一定的困 难，利用局部参数法( 【2 】) 延拓分歧解枝，并注意调整步长，可计算出各类解枝和其上面的 分歧点。 第1 2 页 第四章数值结果 在数值计算中，选取a = 2 ，b = 5 9 以下所有的图都取横轴为a ，纵轴为z 3 t i ( 3 1 5 ) 式，易得。1 = 2 ，y l = 2 9 5 i n i i f 对称解为( 2 ，2 9 5 ) 由d e ( 如。( ( 2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ) ，a ) ) = o 得r 一。破缺分歧点为a 1 = 0 0 2 5 1 ，沁= 0 0 6 5 6 ，a 3 = 12 1 8 7 ，a 4 = 3 , 1 9 0 6v 辑d e t ( g x 。( ( 2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ) ，a ) ) = 0 得r 一d 破缺分歧点 为a l = 0 0 2 2 7 ，a 2 = 1 1 0 2 3 由d 甜( 蜘，( ( 2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ) ，a ) ) = o 得r e 1 破缺分歧点 为a 1 = 0 0 3 4 7 ，a 2 = 0 2 3 7 5 ，a 3 = 1 6 8 4 2 ，x 4 = 1 1 5 4 3 7 ( 方程的另两根k = 3 1 9 0 6 ，a 6 = 1 2 1 8 7 ，a 7 = 0 0 6 5 6 ，a 8 = 0 0 2 5 1 延拓出解枝与。解枝重合) m e e t ( g 。( ( 2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 ，2 9 5 ，2 、2 , 9 5 ，22 9 5 ) ，a ) ) = o 得r 一2 破缺 分歧点为a 1 = 0 0 3 4 7 ，a 2 = i i 5 4 3 7 ，a 3 1 6 8 4 2 ，a 4 = o 2 3 7 5 ( 方程的另四 根k = 3 1 9 0 6 ，a 6 = 1 2 1 8 7 ，a 7 = 0 0 6 5 6 ，a 8 = 0 0 2 5 1 延拓出解枝与e 。解枝重合) e 。一e 1 破缺分歧点为 l = 0 3 2 1 2 ，z 1 = ( 2 3 5 0 2 ，2 5 7 4 5 ，2 3 3 8 9 ，2 6 8 4 6 ，0 6 2 1 7 ，3 0 7 0 9 ) k = 0 1 1 3 8 ，z 2 = ( 1 5 4 4 1 ，3 6 7 8 0 ，0 5 3 3 4 ，3 3 7 8 3 ，5 8 4 5 0 ，1 1 5 7 3 ) a 3 = 0 0 3 5 4 ，护= ( 1 1 1 3 9 ，4 , 5 0 9 8 ，3 6 6 3 2 ，1 7 4 9 8 ，0 4 4 5 8 ，4 2 6 8 6 ) e 。一e ，破缺分歧点为 a 1 = 0 0 2 3 2 ，z 1 = ( 2 2 7 1 2 ，2 6 5 4 3 ，1 3 8 4 8 ，3 9 1 3 3 ，2 6 8 8 0 ，2 2 9 8 5 ) a 2 = 1 3 8 5 2 ，2 = ( o 6 2 6 0 ，2 2 6 0 8 ，1 6 6 0 8 ，2 0 5 8 2 ，5 4 2 6 4 ，1 5 5 7 9 ) e 。一2 破缺分歧点为 a l = 1 5 7 0 5 ，z 1 = ( 0 6 9 0 9 ，2 3 0 1 5 ，l7 5 3 3 ，2 1 1 1 9 ，5 1 1 1 6 ，1 , 6 7 7 0 ) a 2 = 0 9 2 0 5 ，z 2 = ( 0 8 9 6 3 ，2 6 7 0 0 ，3 1 1 2 0 ，2 3 2 8 6 ，1 9 8 3 4 ，2 4 4 2 3 ) h = o 1 1 4 6 ，茁3 = ( 1 6 9 7 4 ，3 4 1 7 6 ，0 5 2 2 4 ，3 2 7 1 0 ，5 , 5 6 0 4 ，1 2 1 3 6 ) e d 一棚缺分歧点为 a 1 = o 0 2 1 8 ，1 = ( 2 4 9 9 6 ，2 4 4 7 3 ，1 5 0 0 4 ，3 6 9 0 9 ) 2 = 1 0 7 3 6 ，z 2 = ( 2 2 1 0 0 ，2 6 7 0 6 ，1 7 9 0 0 ，2 9 4 9 1 ) a 3 = o 0 1 9 1 ，$ 3 = ( 3 3 0 0 0 ，1 9 1 6 4 ，o 7 0 0 0 ，5 5 7 2 4 ) 图1 和图2 实线部分为d 的解枝，虚线部分为。的解枝 图3 实线部分为d 的解枝，虚线部分为2 的解枝 图4 到图9 实线部分为e 。的解枝，虚线部分为z 的解枝 图1 0 到图1 4 实线部分为。的解枝，虚线部分为，的解枝 图1 5 到图1 9 实线部分为e 1 的解枝，虚线部分为2 的解枝 第1 3 页 第四章教值结果 第1 4 页 第1 5 页 第四章数值结果 第1 6 页 第1 7 页 参考文献 参考文献 【1 】m d e l l n i t z ，b w e m e r , c o m p u t i o n a lm e t h o d sf o rb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hs y m m e t r i e s w i t h s p e c i a la t t e n t i o nt os t e a d ys t a t ea n dh o p f b i f u r c a t i o np o i n t s ，j c o m p u t a n da p p l m a t h 2 6 ( 1 9 8 9 ) 9 7 1 2 3 【2 r s e y d e lp r a t i c a lb i f u r c a t i o na n ds t a b i l i t ya n a l y s i s ，f r o me q u i l i b r i u mt oc h a o s ，s e c o n d e d i t i o n ，s p f i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 9 【3 】m g o l u b i t s k y , d g ，s c h a e f f e r , s i n g u l a r i t i e s ，a n dg r o u p si nb i f u r c m i o nt h e o r y i ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 5 【4 】h b m z i sa n de b r o w d e r p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h e2 0 t hc e n t u r y ，a d v a n c e si n m a t h s1 3 5 ，7 6 - 1 4 4 ，a c a d e m i cp r e s s ，1 9 9 8 【5 】s n c h o w , a n dj ，k h a l e m e t h o d so fb i f u r c a t i o nt h e o r y s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k , 1 9 8 2 【6 】a d h o o g e ，w g o v a e t s a n dy u a k u z n e t s o v m a t c o n t ：am a t l a bp a c k a g ef o rm u m e r i c a l b i f u r c a t i o na n a l y s i so fo d e s ，a c mt r a n s a c t i o n so nm a t h e m a t i c a ls o f t w a r e ：2 9 ( 2 ) ，1 4 1 - 1 6 4 ，2 0 0 3 【7 】e c f i f e m a t h e m a t i c a la s p e c t so fr e a c t i o na n dd i f f u s i n gs y s t e m s l e c t u r e n o t e si