（计算数学专业论文）梯度功能材料的多尺度建模.pdf

中国科学技术大学颇ij 学能论义摘婴 摘要 梯度功能材料具有许多实际应用，比如航天飞行器的外壳，既要求其耐高温 的特性，又要求其具有高强度。本文研究的足梯度功能材料的多尺度建模l 、廿j 题。 为了得到多尺度问题解的宏观性质，很多多尺度方法需要在一系列局部区域上求 解微观问题。局部问题上人工边界条件的添加会与原始问题的微结构产生一个错 位，从而产生模型误差。在本文中，我们用异质多尺度法( h m m ) 对系数剧烈震 荡的热弹性方程进行宏观建模，并估汁模型误差。 在第一章中，我们介绍一下梯度功能材料的背景。第二章中我们给出热弹性 基本方程，并推导其均匀化方程。第三章我们给出多尺度建模的过程。第四章是 本文的重点，我们对建立的模型做 h 误芹估计。 关键词：多尺度建模，热弹性，梯度功能材料，异质多尺度法，均匀化 中国科学技术大学硕i ：学化论文 英文摘要 a b s t r a c t f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l sh a v em a n ya p p l i c a t i o n s ，f o re x a m p l e ，t h es h e l l o fs p a c es h i p s w h i c hr e q u i r e st h ec h a r a c t e r 研b o t hh i g ht e m p e r a t u r er e s i s t a l i c e a n dh i g hd e g r e eo fh a r d n e s s i nt h i sp a p e r ，w ew i l lb u i l dt i l em u l t i s c a l em o d e l o ff u n c t i o n a l l yg r d e dm a t e r i a l s i no r d e rt oo b t a i nt h em a c r oc h a r a c t e ro ft h e s o l u t i o n so ft h em u l t i s c a l ep r o b l e m ，m a n ym u l t i s c a l em e t h o d sn e e dt os o l v ea l l a r r a yo fn f i c r o s c a l em o d e l so v e rs m a l ld o m a i n s m o d e l i n ge r r o ra r i s e sd u et ot i l e n f i s m a t c hb e t w e e nt h el o c a lm i c r o s t r u c t u r e sa n dt h ea r t i f i c i a lb o u n d a d c o n d i t i o n o v e rt h ed o m a i n sf o rs o l v i n gt h em i c r o s c a l ep r o b l e m i l lt h i sp a p e r ：w ew i l lu s e h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o dt om o d e lt l m r m o e l a s t i c i t ye q u a t i o n sw i t hh i g h l y o s c i l l a t i n gc o e 伍c i e n t s ，a l l de s t i m a t et h ee r r o ro ft h em o d e l i n g i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ff u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s i nc h a p t e r2 ，w eg i v et i l eb a s i ce q u a t i o n so ft h e r m o e l a s t i c i t y ，a n dd e r i v ei t sh o m o g - e n i z e de q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h em u l t i s c a l em o d e lo ft h e r m o e l a s t i c i t y e q u a t i o n s i nc h a p t e r4 ，w em a i n l yd i s c u s st h em o d e l i n ge r r o r k e yw o r d s ：m u l t i s c a l em o d e l i n g ，t h e r m o e l a s t i c i t y ，f u n c t i o n a l l y g r a d e d m a t e r i a l s ，h e t e r o g e n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ，h o m o g e n i z a t i o n 一1 1 5 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的 成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或 撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作 了明确的说明。 作者签名：盔三熏 签字日期：一2 里! 呈：! 夕j 墨 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学 拥有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构 送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入中 国学位论文全文数据库等有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编学位论文。本人提交的电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 洒公开 口保密( 年) 作者签名：粥一 签字日期：纠生1 6 膳 导师签名塞凌饬导师签名：堡：= 煞空r 如1 力加f f ， 签字一期：丝! ! ! ：! 竺 中国科学技术大学硕i j 学 c 7 ：论义第一章背景 第一章背景 1 1 f g m 概念的提出 当代航天飞机等高新技术的发展，对材料性能的要求越来越苛刻。例如 1 1 1 ： 当航= 人匕机往返人气层，飞行速度超过2 5 个马赫数，其表面温度高达2 0 0 0 。 而其燃烧室内燃烧气体温度可超过2 0 0 0 9 c ，燃烧室的热流景大丁5 m w m 2 ，其 空气入口的前端热通量达5 1 l w m 2 。对于如此大的热量必须采取冷却措施，一 般将用作燃料的液氢作为强制冷却的冷却剂，此时燃烧室内外要承受高达1 0 0 0 k 以上的温差传统的甲干目均匀材料已无能为力。若采用多相复合材料，如金属基陶 瓷涂层材料，由于各相的热胀系数和热应力的差别较大，很容易在相界处出现涂 层剥落或龟裂现缘，其关键存十基底和涂层问存在有一个物理性能突变的界面。 为解决此类极端条件下常规耐热材料的不足，口本学者于1 9 8 7 年首次提出了梯 度功能材料的概念f 1 3 】，即以连续变化的组分梯度来代替突变界面，消除物理性 能的突变，使热应力降至最小。随着研究的不断深入，梯度功能材料的概念也得到 了发展。目前梯度功能材料( f u n c t i o n a l l yg r a d e dm a t e r i a l s 简称f g m ) 是指以 计算机辅助材料设计为基础，采用先进复合技术，使构成材料的要素( 组成、结 陶) 沿厚度方向由一侧向另一侧呈连续变化，从而使材料的性质和功能呈梯度变 化的新型材料 1 2 1 。 1 2f g m 的特性 由于f g m 的材料组分是在一定的空间方向上连续变化的特点，因此它能有效 地克服传统复合材料的不足。它与传统复合材料相比f g m 有如下优势 1 l 】： 1 将f g m 用作界面层来连接不相容的两种材料，可以大大地提高粘结强度； 2 将f g m 用作涂层和界面层可以减小残余应力和热应力； 3 将f g m 用作涂层和界面层可以消除连接材料中界面交叉点以及应力自由端 点的应力奇异性； 4 刚f g m 代替传统的均匀材料涂层，既口j 以增强连接强度也可以减小裂纹驱 动力。 1 中国科学技术大学颁j j 学位论文 1 3f g m 的j 衄厂 1 3f g m 的应用 f g m 最初足从航天领域发展起来的。随着f g m 研究的不断深入，人们发现利 用组分、结构、性能梯度的变化，可制备出具有声、光、电、磁等特性的f g m ，并 川望应用于许多领域。比如航天飞机的超耐热材料，陶瓷引擎，耐磨耗损性机械 部件，耐热性机械部件，耐蚀性机械部件，原了炉构造材料，核融合炉内壁材料， 放射性遮避材料等。 1 4f g m 的设计 设计问题：由于在冷却过程中各部分材料的热膨胀率不i j ，导致残余应力的 存在，这对复合材料具有不好的影响，我们需要设计f g m 使其残余应力尽量小， 其设计与制备并非易事。制备方法 1 l 】： 1 自蔓延高温合成法； 2 激光加热合成法： 3 干式喷涂+ 温度梯度烧结法； 4 颗粒共沉降法。 一2 一 中国科学技术大学颁j j 学t c i 论义第二章热弹性米木办柙与均匀化理论 第二章热弹性基本方程与均匀化理论 要研究f g m 材料，就需要研究材料的热弹性性质，在数学上要研究的基础 的东西就是热弹性方程。本章我们介绍一下热弹性方程组，并由经典的渐进展丌 法得到其稳态方程的均匀化方程。 偏微分方程的均匀化方法在很长一段时问里是被物理学家或材料学家运用 的方法，它被用来“平均”些非均匀材料的性质，以得到等效的宏观材料系数。 而在微观是非均匀介质的数学模犁中，许多局部性质由彤如n ( e _ = l ? ) 的函数表示， 其中是极小的参数。计算这种微观非均匀介质的性质是一件十分困难的事，原 因在于这类介质对应的偏微分方程的系数是剧烈振荡的，这类方程经常产生在复 合材料和多孔介质流问题当中。因此运用渐进分析来处理这类l 日j 题就变得很必要 了，这也直接导致了均匀化的概念。 在本章及以后的章节中遇到重复指标时使用e i n s t e i n 求和约定，而s o b l e t t l iu i l 知，q = ( 上l a i 、 ki 。u 尸) v 2 ，l u k q = ( 上i 吾三i 。u 1 2 ) “2 我们说明一下张量积，设c 为四阶张量，其元素为g 他 ，a 与b 为二阶张量，其 元素分别为a t ，和魄，则 o ：c ：b = c o ma k hb i j 2 1 热弹性基本方程 ， i i 千i 工苎苎正、j 仕 耦合的热弹性方程组为 1 】 其本构方程是 = 一五， i nqcr d 一蜀誓一莎筹一曲q 噶= me ；h 一荡俨 一3 一 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 警匐 矿 e ” 1 q 一 堕旦慨，、_， 中国科学技术大学颂+ f ：学化论义 2 2 热掸件斤祝的均匀化 其r f l 督吲= 丢( 罄+ 筹) ( 2 3 ) 方程组( 2 工) 中各个符号的意义为：口0 一应力，e 毛一应变，6 l e 一温庶u ：一位移，五 一体力，r 一热源，t o 一绝对参考温度，c 与m 一弹性系数，伤一热膨胀系数，q 易一热 传导系数，1 ：t 热，矿一密度。 而且 与成i 具有对称忭和有界性： 地= g 洲。= 从= 暌蜘，焉= 琢 ( 2 4 ) 仔在与无火的正常数g ：已，o 使得： c 口s i js t j c 乞k s t js k h c 口s i js t j ， 露 ) 饥g r p 仇v i 对任意对称张量和向量矾成立。 2 2 热弹性方程的均匀化 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 我们研究的是稳态的情况，对于稳态的热弹性方程，应力，应变与温度都不 随时间变化，此时原方程变为 f 誓一五， 舳 差( q 易篝) 一棚 7 【= 0 ，俨= 0 ， 帆讹 由于c 嚣七，l = c i j k h ( x ，詈) ( 其他系数类似) ，令可= 詈，设c 5 关于x 和y 均充 分光滑，并且关于y 是周期的( 其他系数类似) ，周期为一个单位立方体y = 0 ，1 】d 。设c e 是整个q 上的周期函数，即 删= e ( 詈) 同样，对于其它的系数有 ( z ) = 助( 詈) ，( z ) = q u ( 詈) 4 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 中国科学技术大学颁ij 学似论义第二章热掸忭皋本力程与均匀化理论 为了得剑热弹忭方程的均匀化方程，对u ；，0 8 和e 易做渐进展开有： i “5 ( z ) = 7 1 0 ( z ) + eu 1 ( z ，y ) + p 5 ( z ) = o o ( z ，y ) + 口1 ( z ，y ) + 【e 毛= e l j ( u 5 ) = e 易( z ，y ) + e e i j ( x ，y ) + 这样，当我们对形如妒( z ，x e ) 的函数求微分就变为 aa1a -一-4- a 上ja z t 。- co y i 所以 e i j ( u ) 互1 ( 筹+ ；1 面c ) u i + 差+ ；1 面0 u i ) 互1 ( 瓦r g u i + 差) + 磊1 e u 。( “) + 兰e 旬，( 珏) 令u = u o + - - c u l + e 2t 正2 + 得 且 其中 ( 券+ 瓦o u j ) e 易= e 巧。( 乱。) + ee i j z ( u 1 ) + 三e 玎( u 。) + e i j y ( u 1 ) + ee i j y ( u 2 ) + = ( e 巧。( u o ) + e 巧( u 1 ) ) + g ( e i j ：r ( u 1 ) + e i j 掣( u 2 ) ) + 全e i o + ee 0 + 屹= o o ( z ，y ) + 盯丢( z ，y ) + 唱( z ，矽) = m ( 可) e 2 h ( z ，可) 一岛( y ) 俨( z ，秒) 吗( z ，y ) = g 批 ( 可) e k ( 。，可) 一如( 可) 秒1 ( z ，可) 2 2 1 宏观运动平衡方程 将( 2 1 0 ) 与( 2 1 1 ) 带入方程( 2 7 ) 第一个式子有 矗( 口o o ) + 三杀( o + 略卜五 5 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 中国科学技术大学硕l ：学位论义 2 2 热弹忭厅柙的均匀化 比孜寺瓦两边e 1 趵糸数口j 得 孥：o( 2 1 2 ) 而g o 的系数为 婺十婺：一，f 0 j j 8 蛩j ” 令( ) y2 二i y il 咖，对上式积分有 挲：一五 ( 2 1 3 ) 此即宏观运动平衡方程。 2 2 2 宏观热传导方程 把( 2 1 0 ) 带入方程( 2 7 ) 第二个式子有 ( 去+ 孑1 瓦0 ) 三筹+ 筹+ 薏+ ( 筹+ 鼍) + = 一坤“， 由上式中e _ 2 的系数可得 杀( 酬瓦0 0 0 ) = 。 所以我们看到p o 与y 无关，即6 y 0 = 伊( z ) 。而由- 1 的系数可得 杀b m ( 筹+ 筹) = 。 c 2 舫， 即 一杀( 删筹) = 筹鬻 所以若令 = ( ) y + ( 钆( 可) 筹) y ( 2 1 6 ) 其中是下面问题的解 胁 ) o 刚jo 妒可= 上等纳，v 妒蹦y ) ( 2 - 1 7 ) 中国科学技术大学颁+ i ：学化论义 2 f ! ：二章热掸件皋本力程与均匀化理论 而u 艰，( y ) ，且( 7 ) - = 0a 则 ( q f j ( y ) ( 筹十筹) ) y = 瓦0 0 0 则由o 的系数知宏观热传导方程是 2 2 3 宏观本构方程 把盯吕展开有 杀( 唰筹) 一r 矿0 ( z ， ，) = m ( ! ，) e 2 ，。一南( ) p o 再由( 2 1 2 ) 式可得 = c l j h ( y ) ( e i j x ( t f o ) + e i j y ( 钍1 ) ) 一助( 可) 0 0 u a - 驯- “咖啪f ) ) = e k h x ( 掣卅等 上面方程的弱形式为 上c ；f j 以咖啪( e “u ) 咖 z 掣v t d y - 0 。z 盟o y j ， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) v v 黩，( y ) ( 2 2 1 ) 其中u 1 艰，( y ) 。定义u 胁艰，( y ) 与0 艰，( y ) 分别为下面两个弱形式 的解 嘶叫帆“州y = 上警删y c 0 削e m n y ( e ) e i j ( u ) d y =z 铷匆 且( u 七 ) y = ( o ) y = 0 。所以( 2 2 1 ) 的解u 1 可以表示为 所以 乱1 ( z ，y ) = e k h x ( u o ) u 地p 0 0 e m n y ( u 1 ) = e k t 啊( o ) e m a y ( u u ) 一0 0e m p ( e ) 7 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 上二 中国科学技术大学硕i ：学 移论文2 3 本章小绵 从而略司以写作 碍= ( m + g j m e r n n y ( u 埘。) ) e k l 。( ，“o ) 一( 3 u + c i y m ne m n _ ! t ( e ) ) o o ( 2 2 6 ) 对上式作用( ) y ，蔸注意到( e o k ) l - = ( e k l 。( “o ) + e k h 口( u 1 ) ) y = e k h x ( 1 1 , o ) ，可得 ( 仃0 ) y = 吒柚( e 2 ，。) y 一荡0 0 ( 2 2 7 ) 这就是宏观木构方程，其巾 2 ( c u l + c u m r te r , , u ( 0 3 k h ) ) l ( 2 2 8 ) l = ( 如+ ，”，。e m n u ( e ) ) 这样，热弹性方程绀的均匀化方程日j 以写为 i 凡q i nq ( 2 2 9 ) o n0 q 2 3 本章小结 本章我们介绍了热弹性方程组，并利用渐进展开的方法得到了均匀化方程以 及均匀化系数。对于具有周期性微观结构的材料，用均匀化方法来得到材料的宏 观等效性质是非常有效和必要的。下一章我们将对稳态热弹性方程做多尺度建 模。 一8 一 一j ) a 一如， 枷 盟9划 a呖翌啮虬 一 厶r 厶r 叽 a一a一孰肚 中国科学技术大学硕i j 学位论文第三章多尺度建模 第三章多尺度建模 儿乎工程中的所有问题都具有多尺度性质。在原子尺度上物质是南原子和中 子构成的，但同时其几何特性又表现在大得多的尺度卜。对+ - j ：不同的问题，我们 所说的宏观尺度是指我们所感兴趣的特定的尺度，其它更小的尺度都叫微观尺 度。对于许多问题这种多尺度性质并不是那么重要，我们可以建立精度满足需要 的等效模型来替代微观上的影响。实际上，大多数的科学模型都是这种类型的。 比如对于经典分子动力学，我们感兴趣的是原子核的位置与动量，而相对于原子 核存微观尺度上的中子的影响，我们川经验势能来描述。再比如流体力学中，我 们需要的是流体的密度与速度场，其分了j 迂度上的影响用状态力程和本构火系米 描述。这些等效模型中的大部分都是南经验给出的，当然也有许多用分析方法得 到等效模型的工作f 3 1 。 尽管这种方法有巨大的成就，等效模型也有其局限性。其主要局限性之一就 是精度问题，对于复杂系统这个问题尤为严重，比如复杂流体。当模型误差比解 的误差大时，我们就不得不考虑这个模型的可用性了。另一个局限性就是完全忽 略了微观机制的影响，而这种影响有时是有用的。比如聚合流体，在很多情况下 我们不仅需要知道宏观流场的信息，微观的结构信息也是很有用的，如聚合物的 结构。第三个局限性在于很多等效模型没有坚实的理论基础。所以由于这些原因 许多人也许会完全转向研究具有高精度，具有更好的物理基础的微观模型。但这 却不是最好的选择，不仅因为微观模型通常来说过于复杂，也在于可能我们得到 的解含有太多的无用的信息。这样，多尺度建模就发展了起来。我们希望能结合 宏观与微观模型，各取所长，既有宏观模型的简单有效性，又具有微观模型高精 度的特点。 多尺度建模的方法有许多，如b a b u s k a 和o s b o r n 在1 9 8 3 年提出的g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( g f e m 方法) 【6 1 ，其主要思想是通过引入与问题本质 相关的b u b b l e 函数去更改有限元空间，使其符合微观信息。b r e z z i 等人在1 9 9 4 年 提出的r e s i d u a l f r e eb u b b l em e t h o d ( r f b 方法) ，其主要思想是将有限元空问 分解成宏观部分和b u b b l e 函数空间。h u g h e s 等人在1 9 9 5 年提出的v a r i a t i o n a l m u l t i s c a l em e t h o d ( v m s 方法) f 7 1 7 ，其主要思想是将有限元空间分解成宏观和微 观部分。h o u 等人在1 9 9 7 年提出了m u l t i s c a l ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( m s f e m 方 法) 8 1 ，其主要思想是在微观上重构多尺度基函数组成有限元空间。而h e t e r o g e - 9 中囝科学技术大学硕l j 学化论义3 1 多尺_ | j ：建模 n e o u sm u l t i s c a l em e t h o d ( h m m 方法) 9 1 是由e 和e n g q u i s t 在2 0 0 3 年提出的，总 体上说，此方法是要把宏观与微观模型耦合起来，使得用宏观模型为微观模型提 供限制，而微观模型给宏观模型提供所需要的奉构信息。 对丁稳态热弹性方程组运用h m m 法进行多尺度建模，首先注意到方程 组( 2 7 ) 的第二个方程是独立的椭圆方程，对此类方程的h m m 多尺度建模 在 9 】已经完成了，所以我们假设已经得到了( 2 7 ) 的第二个方程的h m m 解0 h ， 凶此我们只对( 2 7 ) 的第一个力。稃做h m m 多尺度建模。 h m m 法由两部分组成： 1 选择宏观求解器 3 1 多尺度建模 2 通过解局部问题来估计缺失的宏观信息 宏观求解器我们选择对区域进行三角剖分的有限元法，首先我们重写( 2 7 ) 的第 一个方程 l 矗( 触甏) 一瓦0 ( 伤泸) + 五= 。硇q lu 5 = 0 ，= 0 ， o na q ( 3 1 ) v = ，( z ) h 1 ( q ) ：f ( x ) p 1 ( t ) ，v t 1 1 h ，f l o n = 0 其中假设q 为一凸多边形有界区域，对其进行三角剖分的单元为t ，直径不超过 h ( h ) ，单元全体记为r h ，并令风= ( 取) d 。则( 3 1 ) 的有限元格式为， 找u & ，使得对讯s h ，有 口( u ，u ) 全ze ( “) ：酽：e ( u ) 如一上伊：e ( 功如 = f u 出 ( 3 2 ) 一1 0 中国科学技术大学硕：l j 学位论义第三章多尺度建模 在实际的计算巾需要把积分转化为数值格式，所以把( r ( 地”) 写成数值积分的形 式有 咖川2 ；从小 c 5 ：e ( u ) 一伊：e ( u ) ) d x ( e ( t c ) ( z z ) ：c 6 ( 却) 丁 ：e ( ) ( z f ) 0 h ( z f ) p 5 ( z z ) ：e ( u ) ( z ) ) 其巾为数值积分的权，现为数值积分点。然后，令 即 a h ( z t h , u h ) = 岫( ( e ( 萨) ：c 5 ：e ( 矿) ) 厅一 o h ( z 加5 ：e ( 矿) ) 厅) tl 全a h ( t | 日，t ，j = r ) + b e ( 口f h )( 3 3 ) ( 3 4 ) 其中，厶为厶( 轨) = 甄+ 一害，妻 ，即以幻为中心，边长为6 的立方体。而萨为 下面局部问题的解： 妻引) - 0 毗i n l 6 ( 3 5 ) 俨满足类似的方程。讲是对u 耳在厶上的重构，而u z 是对u h 在却处的线性逼 近，即 u = u 日( z 1 ) + ( z z z ) e ( u 日) ( z z ) 这样我们可以定义如下的问题，找u 耳鼠，使得v v 日瓯有 a h ( u hu h ) = l 、l 一妇 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 这就是我们的h m m 模型，我们可以看到a h ( u 日，u h ) 只是把a ( u ，u ) 的数值格 式中的e ( u ) ( 现) ：c 5 ( 幻) ：e ( u ) ( z f ) 和p h ( 勋) 伊( 觑) ：e ( 口) ( z f ) 换成了( e ( 矿) ：c 6 ： e ( 哥6 ) ) 厶和( 0 h ( z 1 ) 伊：e ( 面5 ) ) 厶。 1 1 厶k 萨 忙 “ 俨 加 铲 驰 心 劬 翼 = = 中国科学技术大学颂i j 学f 口论文3 2 本章小结 3 2本章小结 本幸我们得到了h m m 模型的具体形式( 3 7 ) 。h m m 法的第j ：部分一通过解 局部问题来估计缺失的宏观信息，表现在用在厶上的平均积分来代替数值积分 点的值。我们i 丰意到在每个单元t 上都口j 以建市一个局部问题，这说明h m m 法 对于微观结构具有任意性的材料或介质都能建模。那么当材料的微观结构具有周 期性的时候，h m m 方法的解与均匀化方法的解之间的误差是怎么样的呢? 卜 章我们将估计“日与u o 之间的误差。0 0 与0 h 之间的误差存9 1 中已经给出。 1 2 中国科学技术大学硕l 学化论义 第p q 章误船估计 第四章误差估计 4 1误差分析 这章我们对卜一帝的h m m 模型做误差估计，即估计f l u o u 日l | 1 ，q 。假设俨 与伊为全局周期函数，l l pc 5 = c ( 詈) ，胪= 口( 詈) ，此时c + 与矿为常数。设 c ( y ) ，z ( y ) c 1 ( y ) ，q 为有界凸多边形区域，则我们有以下定理 定理4 1 设u o 与甘分别为力。程( 2 2 9 ) 与( 3 7 ) 的解，则二者满足 u 0 _ _ u h c ( 日+ 6 + 砉) ( 咿+ 憎) 对十均匀化方程( 2 2 9 ) 的第一式，其有限元彤式为，找矗& ，使得对v u s h ，有 并且令 a 。( 面，口) 全 莩小班伊 l = | l v d x ，q e ( v ) 一6 y o p + ：e ( v ) ) d x o + ( 函， ) = eb ( e ( 矗) ：c ：e ( u ) ) d x r 6 + ( 伊，u ) = 一事鼻( 口。：e ( u ) ) 如 取上式中的u 为v h 并与( 3 7 ) 比较有 口+ ( 面乱日，勘日) = a 1 - i ( u hv 日) 一o 。( 乱日，勘阿) ) + ( 6 日( u 圩，u 日) 一以( 矿，u 日) ) 取v 日为面一u h 有 而 o 。( 豆一牡日，豇让日) =a l l ( 让i i 豇也日) 一口。( 让h ，面一心口) ) + ( 6 月( 札日，矗一乱日) 6 。( 口o ，豇一u 日) ) 。( 面- - u h , f i - - u h ) 芝莓知矗) c + e ( 汕日) ) 如 1 3 - ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) 中国科学技术大学侦f j 学化论义 4 1 误篪分析 e ( 证一) 惦t cj | v ( 云一u h ) 眩q c i lv ( 矗一u h ) l l ：。n cl i 面一| f ；n 注意上式r f l 用到了模l le ( “) 1 1 0 q 与模| | v “q 等价，p o i n c a r e 不等式和( 2 5 ) 式，而c 是与和日无关的常数( 后而的c 也是这样) 。这样，由( 4 3 ) 式有 c 怕一u h | | 1 q i “h ( u 矗一u h ) 一n + u 日，豆一让) 矗一u hl ( b h ( 1 l h , 矗一札h ) 一6 + ( p o ，匹一u 日) l l 豆一u hi i l n s u p v i l e 乳 a h ( u h ，u h ) 一n + u 圩，u h ) + s u p t ，月s = e 1 + 易 口h 忆q 6 h ( u 日，u ) 6 + ( 口o ，u ) u 日l i i , n 注意到这里我们是对| i 豆一t 日l i i , n 做的估计，其实由于 u 0 一u h 1 1 ，q i i 雹一l , 01 1 1 ，q + | | 也一牡圩i l l ，n( 4 4 ) 而右端第一项是u o 的有限元误差，根据 4 】有i i 豇一“o | l l t n c h ，所以我们只需 要估计右端第二项的误差。这样我们的误差估计就归结为对日和局的估计。我 们先对蜀做进一步的处理 e 1 s u p v i l e 甄 n 。( 让日，u 日) 一丘。u 日，u h ) = e l 铆+ 局m o d l l | 1 1 q + s u p v u s h 其中瓦u 日，) 表示仉( “日，u 日) 的数值格式 a 。( ，u 日) = 丁 吣( u 日) ( z z ) 1 4 a 。u 日，v 日) 一a h ( u 日，秒日) u 胃i i i , f , ：c + ( 勋) ：e ( v h ) ( 鼢) c r 中国科学技术大学硕ij 学位论义 笫p u 章洪芥估计 对岛可以做同样的处理，即 易s u p 口圩乳 6 + ( 口o ，u h ) 一5 。( 护o ，口h ) = e 2 n u 竹l - t - 易吖d d u hi i i , n 其中b , ( e o ，u h ) 表示以( 口0u h ) 的数值格式 5 + ( 以u 日) = 一 + s u p u h 靠 k ( p o ，t ，) 一b h ( 口，t j h ) hf | 1 q w l0 。( 训p + ( z f ) e ( t ，h ) ( 觑) 2 如果我们只取一个数值积分点，并令研( ，) = bf ( x ) ( 1 x i 丁l ，( f ，) ，在 1 0 】中 有如下引理 引理4 1 设a ( x ) w 1 ，”( t ) ，v ( x ) p 1 ( 丁) ，q ( x ) p 1 ( t ) ，则存在不依 赖于r 和日的常数c 使得 e 乃( o ( z ) p ( z ) g ( z ) ) i ch l la | i l ，tl ipi i o ，丁l iqi i o ，t 所以由此引理可得 a h ( u 月，u 日) 一五。( “hv h ) l c h l iv u h i i o ，ti iv h 怕 t chlu 珂hi 泸b chi lu hl i i , n | iu 片f 1 1 ，n ( 4 5 ) 所以可得e 1 “m c hl | 牡日忆q ，完全类似的可得到易帆chl lo o 忆q 。 现在剩下的是对e l m 0 d 与岛 ，o d 的估计。在对砌0 d 做估计之前，我们先对 a h ( u 日，可日) 和岵( 萨，u 日) 做些处理， 令u 班是下面方程的解 首先重写一下a h ( u h ，口日) 和6 h ( 口日，u 日) 髫1 ) _ 0 毗i n l a 1 5 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 丁 h e c h ue 研 t 矿 “ ：= ) 湘 铲 盼 忙 以 u f-、i：p 弭氍 = 1 1 日 v 中国科学技术大学硕i j 学化论义 其中瑶为向量，其第k 个元素为q 氏f ，而且容易验证 牡机5 幽三( 警+ 由于我们的有限元空间是分片线性的，所以 所以 这样可得 若定义 = e ( u i j e ) 丢 ( e ( 矿) ：e ( 9 6 ) ) 如 + + 砒夕( z ，) a t f 夕( z ，) e 嵇( 让丑) ( 锄) e ( u 班) ：俨：e ( v k ) e h ( v 日) ( z z ) d z e 巧( t 正日) ( 魏) ( e ( u i j 5 ) ：c ：e ( v 七艇) ) 如e k h ( v h ) ( 耽) 则上式等于e ( 秕日) ( z ) 若定义 曝全( e ( u 游) ：俨：e ( v m 6 ) ) 如 ：c 日( 魏) ：e ( v h ) ( z ) 。同样 ( 0 h ( z 1 ) 矿：e ( 矿) ) 厶= 4 1 误后分析 0 h ( z 1 ) 旷：e ( d j 5 ) e 巧v h ) ( 。1 ) d z 口h ( 甄) ( p 5 ：e ( u 拈) ) 如e 巧( u h ) ( z 1 ) 鳄全( 旷：e ( v 诳) ) 如 1 6 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 、1、咝觑 、一 盟呐 a 一 l 一2 i | 、l一、盟弘丝奶 丝奶 a 一 厂厶上 厶h l 中国科学技术大学硕：卜学位论义筇p q 章误砖估计 则上式等于p h ( 现) p 日：e ( v 日) ( 觑) 。这样a h ( u h ，v 日) 与珏( 俨，t t h ) - lv a 写作 所以 而 a 。u h ， ) 一a h ( “日，v 片) ( 4 1 2 ) = e ( u 日) ( 觋) ：( c + 一c h ) ：e ( t ，月) ( r ，) ( 4 1 3 ) t 5 + ( 口o ，u 月) 一b h ( 9 h ，u 日) = 岫( 吼q ) p 一p ( 靓) 俨) ：e ( v 日) ( 吼) 丁f = ( ( 俨( 现) 一( 劫) ) p + 丁l ( 4 1 4 ) ：e ( v 日) ( z f ) + 9 h ( 翰) ( p + 一p h ) ：e ( v h ) ( z f ) ) 所以我们可以看到，为了估计e 1 m o d 和e 2 m o d ，我们需要先估计i 削一哚z 和f 伤一鳄i 。 4 2 模型系数误差估计 我们先估计l 伤一鳄i 。为此，给出( 4 7 ) 的均匀化方程，为 曼) - 0 ：乞 所以u i j s 的多尺度展开为 t 正玎8 = + “，轧e k l 。( 钆玎) + e g i j 8 其巾矿5 为边界校j 卜项，满足下面的方程 - v ( c e ：e ( 严) ) = 0 ， = 一u 埘e “。( 札) ， 1 7 溉厶 o n 8 1 6 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) 们 腑 嚣 中圉科学技术大学硕l j 学化论文4 2 模型系数误謦仙计 容易看到( 4 1 5 ) 的解就是u t j = 瑶，所以 所以 所以 u 巧e = 瑶+ e 巧( 詈) + e 9 i j e e ( u 郴) e ( 窖+ u u ( 孝) ) + e ( 夕啦) = 勺( 蜚+ u u ( y ) ) + e e ( g 5 ) 鳄= ( 旷：e v ( 矿) + e e ( g u 5 ) ) ) 如 = ( 伊：e y ( p u ) ) 如+ 旷：e ( u u8 ) ) 几 其中( y ) = 譬+ u o ( 耖) 。而利埘( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 町以得到 =( 如+ m n e m n y ( e m ，= 上 = 上熙亳i j ) ( 焉+ 。鲁d y d y = ( 伊：e y ( 矿) ) y 容易验证le y ( u 玎) ：俨：勺0 “) d y = 0 ，从而有 瞄 = ( 触+ c 矗。ne 。n y ( u 鼽) ) y ( w 十o y , ， 、d y 勺( 乎) ：俨；白( 骘2 + “，越) 咖 e 口( 亭+ u 巧) ：俨：( 骘+ 削) d y e ( p 玎) ：俨：e 分( p 捌) 句 = ( e 掣0 玎) ：俨：白 斛) ) y 此式我们留待后而用。比较伤与鳄的形式可得 鳄一= ( ( p 5 ：e y 0 9 2 3 ) ) 如一( 旷：e ( ) ) y ) + ( 伊：e ( 矿6 ) ) 如 = 1 1 + 如 1 8 ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) 上丘上z 中国科学技术大学硕l j 学化论文笫p q 章误篪占汁 对于，l ，先看 2 】的引理4 9 ，即 引理4 2 给定区域k ，其直径d i a m ( k ) = h ，令虫( y ) l x ( y ) 是对y 的 周期函数，周期为单位立方体y ，则有 l 丽1 上蛐) d y 一( 吣m ) k l c 丢 向伊：勺( p u ) 满足卜面引理的条件，则有 c 吾 为估计如，先估计l le ( j 5 ) 如。( 4 1 6 ) 的变分形式为 z e ( 扩) ：俨叫州z = 。 ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) 对v z 硪( 厶) 。令z = 严f + ( 1 一r ) w i j 。其中丁为截断函数，r ( x ) c 护( 厶) ，i ev 丁l c ，0 f 1 ，且当z 厶厶时， 丁= 1 ，其中 l = z ：z 1 6 ， z a 厶i 。且注意至0 ；机 1 e k l ( t t d ) 5 互 + 警) = 糍+ 瓦o r 牡丁筹+ 丁- 埘s k 。) = 丁( o a i j ) + 磁 其中b 巧为二阶张量，b 2 = j l ( 0 v f 挈+ 瓦o ru 尹) 。把z 带入( 4 2 。) 可得 所以 厂e ( e ) j 1 6 ：俨：e ( 夕”8 + ( 1 7 ) u ”) d x = 0 么如拈) ：c ( g i j ) 如 e ( 5 ) ：c 6 ：e ( ( 1 一t ) c a 。) d x e ( 扩) ：c ( ) 厶如啦) 形吒( 砌刁( f z 1 9 p a a 一 厂厶厂几 中国科学技术大学颂l ：学化论文 4 2 模型系数误船估计 而 所以 = 么( 1 一丁) e ( g i j 5 ) - c e ：e 巧) 出+ z e ( g i j ) ：e ( j e 7 玎) 如 厂le ( g 巧5 ) ：俨：e ( j e 7 巧) l 如cf l e ( t j i j = ) i f o 厶| lv r 。 ji 。 e ( g ”) l i o ，如cl fe ( u u ) l l o 厶+ c | lv 7 | i o 厶 而ie e ( w u ) i c ，ic v ri c ，i 厶i = ，所以 2l | e ( g 扯) 慨。cl 厶i = c6 e ( 4 2 1 ) 为了估计易，我们还需要做进一步的处理，令矿和靖分别为下面两个与程的解 一v ( 俨： 扩= 0 ， - v ( 伊： 露= e ( 兰) c 鳕) r 8 e ，i n l 5 a n c g l 6 0 ，讥厶 o n a 6 ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 则容易验证6 = e ( 詈) 一鲔，且e ( 扩) 2 勺( e ( 3 ，) ) 一ge ( 赡) 。而 l 嗲1 e ：e ( g j e = 石e ( e ( 蝴：e ( 5 ) 妇一z e ( 夕) ：俨：e ( 夕拈) 出 由于鲳在a 厶为e ( 詈) ，所以上式为零a 而如= ( 伊：e ( 6 ) ) 厶，并注意到 么矿e ( 9 啦) 出 = 么咿+ e ( 扩) ：俨) ：e ( 9 拈) 出 = z ( 伊+ e v ( e ( 蝴：g 5 ) ：e ( g i i e ) d x - e 。e ( 站