（运筹学与控制论专业论文）一类双曲与椭圆耦合系统的适定性和松弛极限.pdf

摘要 本文考虑了一类任意间断始值u o 的双曲与椭圆耦合系统的初值问题研究了系统的 解的适定性，并进一步利用所得的估计深入讨论了两种松弛极限，即双曲一双曲型，双曲一 抛物型的松弛极限研究解的适定性时采用了粘性消失法，通过粘性逼近方程的解的种种 好的性质，利用强收敛过渡到系统的初值问题。对松弛极限的讨论利用了现在广泛使用的 伸缩技术，双曲型伸缩t ( $ ，t ) _ ( ，) 和抛物型伸缩技术：矿( 。，t ) = ；u ( ；，占) ，旷( z ，t ) = 专q ( ；，占) 关键词：守恒律方程；松弛极限；粘性消失法 a b 8 t r a c t i nt h i 8p 印e r ，w e8 t u d yt h ei n i t i a lv a l u ep r o b i e mf o rah y p e r b o l i c - e l l i p t i cc o u p l e ds y s t e mw i t ha r b i t r a r yl a r g e 出s c o n t i n u o u si n i t i a ld a t a ks t u d yt h ew e l l p o s e d n e ；sf o rt h a t m o d e l ss o l u t i o s ，t h e nf h r t h e rs t u d yt w ok i n d so fr e l a x a t i o nl i m i t sb ym e a n so fo b t a i n e d e s t i m a t e si nf r o n ts e c t i o n s ，w h i c ha r eh y p e r b o l i 昏h y p e r b o l i ca n dh y p e r b 0 1 i c p a r a b o l i cr e l a x a t i o n1 l m i t s w h e nw es t u d yt h ew e l l p o s e d n e s so fs 0 1 u t i o n s ，w eu s et h ec l a s s i c a lv a n i s h i n gv i s c o s i t ya so u rt o o l s b yv i s c o s i t ya p p r o x i m a t i o n se q u a t i o n ss o l u t i o n sg o o dp r o p e r t i e sa n ds t r o n gc o n v e r g e n c e sw em a yt u r nt ot h em o d e l si n i t i a lv a l u r ep r 。b l e m d i s s c u s s i n gr e l a x a t i o nl i m i t s ，w eu s et h ec l a s s i c a ls c a l i n gh y p e r b o l i c t y p es c a n n g ：( 。，t ) ( ；，；) p a r a b o l i c t y p es c a l i n g ：旷扛，t ) = u ( ；，孝) ，旷0 ，t ) = 言q ( ，矗) k e y w o r d s ：s c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s ；r e l a x a t i o nl i m i t s ；t h ev a n i s h i n gv i s c o s i t ym e t h o d i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意 学位论文作者签名：抽函日期，趁! ：兰 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文 被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名 日期 趣园 趔iz2 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：罐隹弱区盎隧1 通讯地址：巡咝罅劂哟 指导教师签名 撕蕊j2 日期：压碰! 冱二 电话：兰垒2 i 继 邮编：2 地2 1 ，引言 在研究放射性流体动力学的物理过程中出现了一类双曲和椭圆耦合系统的数学模 型，它是描述放射性气体运动的欧拉方程的简化k * h i m a 和n i 8 h i b a t a 先生在文献 【3 】【4 1 【5 】 6 】 8 l 【1 2 】中都对这类耦合系统进行了研究特别在文献 12 1 6 】中两位作者对一般的 高维情况下的这类耦合系统的初值问题进行了细致的研究 本文考虑下列一类双曲椭圆耦合系统的初值问题系统为： 芝掣t 篙? n ， 初僵条件为 其中( “，口) ( z ，t ) 为未知函数，( “) 是属于。口的光滑函数，且，( o ) = o ) ( r ，胁+ o 。) ) 第一个方程是双曲守恒律方程，第二个方程是个椭圆方程。这样系统( 11 ) 即为 双曲一椭圆耦合系统 第二个方程是线性椭圆方程，所以表达口用u ： g = 一k u z ， 其中蜀是算子( 岳+ 1 ) 的逆算子，并且满足表达： ( 硎= ：e e 斗刊m 汹 把g = 一f u 。微分，则= 一k ；。= u k u ，因而( 1 1 ) 等价于 iu t + ，( u ) 。+ “一k u = = o 1 日= 一t b 若0 = ；e 一则 口 ，= ( ，) ( ) ， 这样( 1 1 ) 被转化成： 撕+ ，( “) 。= 0 + “一“ ( 13 ) 在文献 6 1 中k a m s h i 1 a 和n i s h i b 砒a 处理了比( 1 1 ) 更为一般的双曲t 椭圆耦合的 系统假定此系统赋予了熵函数和满足稳定性条件，在这个结构上的假设之下证明了小 初值问题解的整体存在性和渐进衰减，更进一步地显示了大时间形态下，解被相应的双 曲抛物耦合系统的解很好地逼近从文献【3 4 】【5 】1 1 2 中同样也可以知道这个逼近系统 的获得可以通过忽略掉( i 1 ) 中第二个方程的主要项恤来得到这样系统( 1 1 ) 是 可以被带粘性项的双曲方程 可以被带粘性项的双曲方程 m + ，汹k = “：( 14 ) 来遥近 1 而在文献【1 3 1 中可以知道这一粘性守恒律方程存在行波解，它连结守恒律方程 的冲激状态的，l a x 总结出( 1 5 ) 的冲激波解在适当条件下可以被认为是( 1 4 ) 行波 解的极限而( 1 4 ) ( 1 5 ) 方程的解具有三1 压缩性、单调性、和b v 有界性等特点， 这些都为研究讨论原系统( 1 1 ) 的解提供了信息。 本文针对一类更为简单的双曲椭圆耦合系统的模型展开讨论，这样先通过适当的 变形将系统化为非齐次的守恒律方程( 1 3 ) 接下来在第二部分中首先证明了( 1 3 ) 加粘性项后的方程 地+ ，( u ) 。= q u t 上+ p u 。2( 1 6 ) 解的局部存在性在第三部分中利用粘性系数消失法作为工具，得到( 1 3 ) 初值问题弱 熵解的存在性和唯一性，并利用方程局部解的估计从而得出解的整体存在性，其中初值 在l 1 ( r ) n l ”( r ) ，l o 。( r ) 两种条件下证明过程中利用了源项的耗散性质证出了系统解 的三1 压缩性和比较原则因为系统的简化，证明方法也相对简单灵活受文献 6 中渐 近性结果的启发，本文第四部分利用已证得的估计接下来又分析了双曲一双曲型和双曲 一抛物型的松弛极限，分别利用到了伸缩技术( 。，t ) _ ( ；，) ，证得( 1 1 ) 伸缩后的解强 收敛到下列方程的解： 毗+ ，【u j z = u 利用伸缩技术； 以州) = ；c ，( ；喜) “州) = q ( ；，考) ， 证得( 1 1 ) 伸缩后的方程解强收敛到下列方程的解： 啦+ ；，”( 0 ) ( u ：) 。= 2 2 粘性逼近方程局部解的存在性 考虑系统： “f 十，( u ) z = q t 上一仳+ p u 黜f 初值条件： ( 2 1 0 ) 其中u o ( z ) 工1 ( r ) n l 。( 且) ，g 2 的光滑函数且，( o ) = o 。粘性系数肛o 现在考虑用不动点定理来证明方程( 2 ，1 ) 的解的存在性( 参照文献【10 ) 考虑巴拿赫空间g ( 【o ，列；二1 ( r ) n 工o 。( 矗) ) ，且赋予模 定义它的闭子集 u = s 婶o s t 如m o 让( ，t ) 忆1 ，( ，圳舻) 卢= u g ( 【o ，如】；工1 ( r ) n 工o 。( r ) ) ，t 一g 。 u o u o ) 其中g 。= 南e 一番 我们知遭对于热方程地= p u 。初值条件为t ( 。，o ) = u o ( z ) 的解为 心，厶“。( ”) 南e 一譬句 根据上面的规定可以知道g 。+ u o 是热方程的解。 引理2 1 由g u o u o ，可推知 川2 乱。 定义算子皿在p 中： r + 0 0r t ，+ 皿“2 - 。g “忙一g ，2 ) “。( ”) 旬+ 上- 。g p o 一，t s ) ，( u ) z 由幽j 一j i ij 一 一二- o o g o 一玑。一8 ) f ( 弘s ) 一( q + 让) ( 轨s ) 】曲如 = i i + 1 2 + i 这里需要注意的是 = g p 扛一玑t ) u o ( ) d f = g p 咖 可以将把( 2 1 ) 的解作为算子霍在卢中的不动点，所以( 2 1 ) 解的局部存在性可 由下列定理得到 定理2 。2 在上述展妒定义下，我们知存在 o 使得算子雪：卢+ 声是一个压缩 映射，即存在一个唯一解t g ( 【0 ，蜀】江1 ( 冠) n l o o ( r ) ) 对应( 2 1 ) 的解 3 证明：要证明皿是一个压缩映射就需要找到常数 0 和岛 o f 十l u p ( 。+ ，t ) 一u 肛( z ，) l d 茁s u ( 1 1 ) ， v h r ( 3 9 ) l u p ( 。+ ，t ) 一u 肛( z ，) l d 茁s u ( 1 1 ) ， v h r ( 3 9 ) ，+ 。l p ( z ，t 十七) 一u ”( 茁，) l d 茁( 七+ 七 + p 七 ) 1 l u o l i l t ( r ) + 4 u 佧 ) ， v 舟 o ( 3 1 0 ) l p 扛，t 十七) 一u ”( 茁，) l d 茁( 七+ 七i + p 七i ) 1 l u o l i l l ( r ) + 4 u ( 七5 ) ， v 舟 o ( 3 l u j 证明：由定理3 1 ，令豇( z ，t ) = + ，t ) 易得( 3 9 ) 固定k o ，i p ( z ) 是光滑有界函数，z r 在( 3 2 ) 两端同乘以妒并且由分部积 分公式得到； j ：等妒( $ ) 【钍扛，t + k ) 一u 扛，t ) d = 丘+ j = 詈【( $ ) ，) + p 一7 ( 。) t l ，t ) ( 3 1 1 ) + 妒( z ) ( 一+ q t ( 茁，t ) ) 】d b d r 其中令 妒( ) ：，佃k 一 p ( 每堇) 娜( “( f ，) 一t ( 洲) 碰 j o 。雇3 8 把p 称为软化子，满足- p 为非负光滑韵函数，8 p t p c 卜1 ，l 】，且j 0p ( z ) 如= 1 故i l p ( 圳s1 ，i ( $ ) i a 一，l ( 刮国k 一， 由定理3 ，1 知忆t 冬i l u o l i l t 且，g 2 ，( o ) = o 知i i ，( “) i b 曼c i l u o i i l - 所以由( 3 1 1 ) 得到 ，十o 。， 妒( z ) 【u ( 正，t + 七) 一“( ，t ) 】d 。g ( 南+ 七+ p 七i ) | | u o l t ( r ) ， ( 3 1 2 ) 其中g 仅依赖于i l u o l f p ( 砷 若令 ( ) = u ( z ，t + 七) 一“( ，t ) ， 则有 i u ( ) i u ( 。) s 9 n ( u ( z ) )= l u ( 。) i l u ( 名) l + p ( 。) 一u ( z ) 】s 9 n u ( z ) 2 i 钉( z ) 一 ( z ) 1 最后再由( 3 9 ) 可以得到 ) | - 驴( 咖( z ) = 戊付p ( 学) m z ) 卜”( z ) s 9 礼”( ) 】联 2 璧；p ( 学) ) u ( ) l 武 4 u ( 七 ) 再关于x 在r 上积分后移项即得( 3 。1 0 ) 证毕 由引理3 2 知序列u “在l k 具有紧性，当p o 时 啼t 1 ( r 【o ，q ) n 五( r x o ，引) 由序列强收敛的性质和工o 。的有界性可知u 是( 3 1 ) 的解，即有下述定理 定理3 3 设“p 是( 3 2 ) 的解，初值条件u o l 1 ( r ) n l ”( r ) 那么当p + o 时 v t o ， _ “ 在l & ( 只 0 ，明) ，p + o 。强收敛，“工1 ( r o ，司) n l ”【o ，卅) 且u 满足方程 ( 3 1 ) 。对应的初始条件是口o 下面转向研究系统( 3 1 ) 的弱熵解的唯一性。 定理3 4 设t ，豇l 。( 0 ，列；l 1 ) n l 0 0 ( r ) ) 是( 3 1 ) 的弱熵解，对应初值“o ，_ 0 工1 ( r ) n l 。( 兄) 则v t 【o ，t 】有 f + o 。( 。协) 一西( 文) ) + 出s 厂+ o 。( o ( 动一一。( 。) ) + 如， ( 3 。1 3 ) j 一 ，一o 。 i i u ( - ，t ) 一面( ，t ) l i l - ( 赶) i i t o ( ) 一面o ( ) i i l - ( 冗) ( 3 1 4 ) 若“o ( $ ) _ 0 ( 。) 则 u ( z ，t ) s 面( ，t ) ，( ，t ) r 【o ，列 且 u ，面卜口，口】 其中o = m l i u o l i 垆( 丑) ，i i _ o l i 驴( 置) ) t 9 证明：参考文献【1 我们首先利用k r u z k o v 唯性定理得到不等式 詹j ! 善洳t ( u 一_ ) + + 以3 9 n ( “一_ ) + ( ，( u ) ，( 司) 】d 。d t + 麝地o ) ( u 。一- 0 ) + 如 f 3 1 5 1 矗。，：土嚣妒 ( u 一豇) + 一s 9 n ( “一面) + 0 + ( u 豇) 1 d 茹d t 设妒是任意非负的检验函数，且妒( z ，t ) c 铲( r 【o ，t 】) ，令砂( z ，r ) ：x ( 。，) 日( ，) f 1 o 兰r t ，osi z i 兄+ s ( t r ) x o ，丁) = 【r + s o 下) 一i 茹| 】十1 o f t ，r + s ( t 一下) sl z i r + s o r ) 十e i o o f t ，k f 兰丑+ s o f ) + ， 0 r t tsr t + e ( 3 1 6 ) t + e r t ， s2 m n z t ，( ) 一，( 豇) 代入计算关系式得 ；f 托 。| 冠( u 一_ ) + 如打茎j i 。r 埘( u o 一砺) + 出 一j 孑厶+ 。( e 一，) i 。l 。r + 。( 一，) + ：【s ( “一西) + + 南8 州“一) + ( m ) 一，( - ) ) j 出d r ( 3 1 1 7 ) 一岳，+ ( 詈x ( 。，r ) 目( r ) ( u 面) + 一s 9 n ( “一西) + q + ( u 一豇) 如d ，+ o 忙) j 1 刊 r + s ( u o 一西o ) + d t j + o ( e ) 其中 r t ，+ 。o 7 2 五_ 。x ( 。，r ) 口( r ) 【( u 一面) + 一s 9 n ( u 一面) + q ( “一豇) 】出打 2 2 2 兀i 。脚( 。) f ( u 一_ ) + 一哪( u 一_ ) + q 小一训d 曲+ 。( s ) 当i0 时有 j j 刮( 凡( u 一- ) + d z 。j r + “( t o 一日j ) + d z j ： ：f r 申其 利用了前面的结果t ，西l o 。( 【o ，州；l 1 ( r ) ) 另有 s 9 n ( “一程) + q + ( t | 一_ ) d z d r = 上e 帅_ _ ) 弓e e 书刊( u - _ ) 由揪 z 。e ；e e 巾q - _ ) 飞) 咖揪 = ( u 一面) + ( ”) 由d 丁， 故得到 ( t 上( 。，t ) 一面( ，t ) ) + d z ( u o ( 嚣) 一i 一0 ( z ) ) 十d z 即( 3 1 3 ) 依次可得( 3 1 4 ) 和单调性的结果。类似与定理3 1 的证明，利用口模的估计可以 得到u 的l 。估计证毕 同样由解的l 1 压缩性即得以下的推论 推论3 5 ( 解的唯一性) 方程 3 1 府在最多个弱熵解u ，其中u l 。( 【o ，t ；l 1 ( r ) n 工。o ( r ) ) 对应初值u o l 1 ( r ) nl o o ( r ) ) ， 推论3 6 由解的唯一性知，方程( 3 1 ) 的任意熵解“l o 。( 【o ，卸；工1 ( r ) n l 。( r ) ) 满 足估计式： r 十o 。，1 i “( 。，t + 膏) 一u ( z ，t ) l d 。sg ( 七+ 七) i i u o l t ( r ) + 4 u ( 七) u 代表初值的二1 连续模，且u g ( 【0 ，司；工1 ( r ) ) ，其中t o 下面把初值u o l 1 ( r ) n l 。( r ) 扩展到u o ”( r ) 首先赋予新的范数，令 l l l u = t ) 5 ( 。) 1 “( z ) i 如， ( 3 2 0 ) 其中币( z ) o ，庐( 。) g o 。( r ) 满足： 似，= f il 譬 如果定义( 3 1 ) 的解算子s ( ) ： o l 1 ( r ) n l ( r ) 斗工1 ( r ) n l 。d ( 冗) 这样( 3 ，1 ) 的解“( z ，t ) 在初值u o ( z ) 条件下可以表达为： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) t 等 札( 嚣，t ) = = s ( ) 让o ( z ) 总结上述关于( 3 1 ) 解的一系列性质可以知道解算子s ( t ) 满足下面性质 s ( 0 ) = j s 0 + r ) = s ( t ) s ( 下) ，下 o 如果“o 一百o 工1 ( r ) ，则 s ( t ) t 工。一s ( t ) i 硒l 1 ( 矗) 1 1 且 i | s ( ) u o s ( t ) 西o i l l 1 i “o 一豇o l l l - ( 4 ) 如果u 。_ o 忱r 则 s ( t ) u o s ( ) i _ 0 v 0 ( 5 )s ( t ) u o g ( 0 ，+ o 。) ；工1 ( r ) ) 这样解算子s ( t ) 在空间工1 ( 冠) nl 。( r ) 中形成了工1 的压缩半群，为把这个半群的定义 空间扩大至l 。( r ) 并且赋予( 3 2 0 ) 所定义的范数，就需要证明s ( t ) 在空间工1 ( r ) n l 。o ( r ) 中按范数- 是连续的，为此给出下列定理： 定理3 7 设，西l o 。( o ，卸江1 ( r ) n 三。( r ) ) 是方程( 3 1 ) 的解，初值u o ，- o l 1 ( r ) n l 。( r ) 贝4 对v t 【0 ，卸 i | i t ( ，) 一面( ，t ) e g 。| l i u o t _ o | | i ( 3 2 1 ) 其中c 与咖，i l ”o l i p ，1 l _ 0 i l p 有关 证明：由前面知西可看作是其粘性逼近方程( 3 2 ) 的解u “和铲的极限，关于 ( “一铲) 的( 3 2 ) 方程两端同乘以检验函数p 妒( u “一z 一) + 【妒( ，( u p ) 一，( t ) ) 。= 一妒阻“一i 严一q ( u p z 一) 圳m “) 一，( 铲) ) + p 坩一观。 ( 3 2 2 ) 类似于定理3 1 的证明，在( 3 2 2 ) 两端同乘以啦( 一秽) ，其中啦( ) 是蚓的一 个正则逼近得到： 妒碓，t + 妒叼( ，( u “) 一，( ) ) 。=一妒堪【“一t 一一q ( “肛一i ) 1 + 妒( ，( t 肛) 一，( i ) ) ( “肛一z ) 。 + 妒畦( ，( u “) 一，( t 一) ) + 肛【妒堪( u p t 矿) 。 。一芦妒堪( “一面“) 。 一芦t 妒【( u “一i 严) 。】2 当e + o 对x 和t 进行积分得到： ，篡l p ( 。) i u 一一l 如si ：譬妒( 。) i u o 一_ 0 l 出 + c ：+ c 詈詹“妒7 ( g ) i + i 妒”( 嚣) i ) i “p 一：秒i d s d ( 3 2 3 1 ( 3 2 4 ) 因为( 矽( 口) i + i 一( z ) 1 ) 曼q 妒且由( 3 - 2 0 ) 和应用g r on _ w a l l 引理当肛 o 时可以得到 ( 3 2 1 ) 证毕 在此性质下对于初值u o l 。( r ) 在( 3 2 0 ) 所定义的范数下同样有类似定理3 4 的 结果 】2 4 松弛极限 4 ，1 。双曲一双曲型的松弛极限 利用伸缩技术 ju 5 ( z ，) = u ( ；，；) 【旷( z ，f ) = 0 ( i ，；) ， 可以把系统( 1 1 ) j 玩十，( 矽) 9 + q g = o l 一0 ，v + q + 一。 转化为 卜j y ) 一q ：= “ i e 2 鲑。+ 旷+ e 选= o ， ” 当0o 时由( 4 1 ) 的第二个方程知q = o 此时( 4 1 ) 可以写作： “+ ，心j z = o ， ( 4 2 ) 其中，( u ) 是属于c 2 的光滑函数。且，( o ) = o 这样系统的极限方程变为了一个双曲守恒律方程式为了对这一极限过程进行严格 的证明，首先对( 4 1 ) 进行改写( 类似于( 1 1 ) 改写为( 1 3 ) ) 得到： 啦+ ，( 矿) 。= 一三( 矿q 5 u ) ，( 4 3 ) o 其申q 6 = 去e 一詈且 国6 l l ，= l q l t = l 所以对( 4 3 ) 可以得到类似于前面的一系列定理和推论 定理4 1 设u 5 ，矿”( 【o ，t 】；工1 ( r ) n l 。( r ) ) 是( 4 3 ) 方程的弱熵解，初值条件为 “o ，- 0 l ( r ) n 工。( r ) 则对于 o 有 ，十o o，+ 。 ( 矿( 蜀) 一铲t ) ) + 出 ( “o ( z ) 一- 0 ( t ) ) + 如 j 一j o 。 l l “8 ( ，t ) 一矿( ，t ) l i l t ( r ) l i “o ( ) 一西o ( - ) 1 1 l t ( 删 此外，若u o ( z ) _ 0 ( ) 则有 5 ( 。，) s 铲( z ，) ( 。，t ) r ! o ，列 且 “5 ，吞c 卜岛8 其中o = m “删u o | | p ( r ) ，i i i l * ( m ) 弓l 理4 2 设矿三”( f o ，江1 ( 励n 三”( 固) 为4 ，3 ) 的弱熵解。初值钍8 工1 f 目n l o 。( 月) 且 ，十o 。 i t o ( 童十投) 一t 旬i 茁) l 幻u ( i i ) ， ，一 v h 矗，其中u ( r ) 上o ，r o ，r 【o ，+ o 。) 那么了a 它依赖于i u o 忆叫m 使得饥 o i u 5 ( z + ，t ) 一t 5 ( 。，t ) i d z u “ j ) ，v r ( 4 4 ) i 矿( z ，t + 岛) 一矿( 茁，) l 出c 七1 l o 忆- ( 司十4 ( 南 ) ， v 后 o ， ( 4 5 ) 证明，类似于引理3 2 ，( 4 4 ) 可由定理4 ，1 直接得到。对( 4 5 ) 简单的证明为： i p ( 嚣) 【u ( 卫，+ 七) 一“5 ( z ，t ) 】d 嚣 = ff ( z ) ，( 铲) + ! 孳丝( 一“s 扣，r ) + ( q e + u s ) 扛，r ) 】如打 1 p 的规定如前，在引理3 2 中e = 1 ，这并不影响源项的耗散性，仍可以对它进行控制 一e 删扩娴捌r = 去z ”。【：妒( 。) f ：；o e 叫f | ( 矿( e f + z ，r ) 一u 5 ( z ，r ) ) 如a r = 去”2 e e 叭沪删e 咄i 叫”胁蛾 一划e e 吨慨谳饫捌磷 g 七i i “o 1 f 剐 其中c 不依赖于 与引理3 2 的证明类似再作差并移项可以得到结论( 4 5 ) 证毕 由引理4 2 的结果知旷在l 。上一致有界且在三2 。是紧的，这样有下列双曲双瞳 型松弛定理： 定理4 3 设矿工。o ( f o ，巩l 1 ( r ) n l ”( r ) ) 是方程( 4 3 ) 的弱熵解，对应初值条件 “o 工1 ( 月) n 工。( r ) 那么当_ o 时b t o ， 在l 。( r i o ，引) ，p o _ 在三己。( r 【o ，即) ，尸 + o 。强收敛，且u 是( 4 7 ) 的唯一解，对应初值为u o 1 6 参考文献 1 】cm ，d a f e r m o s ，h y p 咧b 。l | cc o n s e r v a t i 0 l a w si nc 锄t i u 眦p h y s i c s ，g r u n d l e h r e nd e rm a t h e m a t 珏 c h e nw 遗b e n s c h 如n 【m 1v 0 13 2 5 ，s p r i n g 小v e r l a g ，b e 订i n ，2 0 0 0 2 1k h a m e r ，n 0 n l m e a r e 疗e c t so nt h e p r o p a g a t i o n 。fs 0 | d 8w a v e si na r a d i a t i n gg a s i j 】q u a r t 帆j o u m m e 出a p p l m a l h 2 4 ( 1 9 7 1 ) ，1 5 5 一1 6 8 【3 】sk a 聊a s l l i m aa n dsn i s h i b a t a ，w e a ks o l u t l o n sw i t ha s h o c kt 0am o d 酊8 y b t e t r 】o ft h er a d j a t l n g g 踞【j 】s c i b i i l l j 0 s a iu n i vs p e c l d 诂g u en 5 ( 1 9 0 8 ) ，1 1 0 - 1 3 0 【4 sk a w 粥h i m a 邪dsn l s h t b a t a ， s h o 矗w a 唧f o rar n o d e l s y s t e m o fa r a d l a t i n e s 拍f j 】s i a mj m a t h a n a l3 0 ( 1 9 9 9 ) ，9 5 _ 1 1 7 刮s k a w a s h i m aa n ds n i 吕h i b 乱a ，s h o c k ，c a u c h yp r o b l e m 如rai n u d e ls y s t e i i lo fm er a d i a t l “gg a s ： w e 晶ks o l u 垣0 n 8 w i t ha j u m pa i l d d a s s | c a ls o l u t i o n s 【j m a t hm o d e l s m e t h o d s a p p i s c i ：9 ( 1 9 9 9 ) ，6 9 _ 9 1 6 1 sk a w a s h i m a ，yn i l 【l c u n i ，a 1 1 dsn i s h i b a t a ，t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e mf o rh y p e r b 0 1 i ce l l p t i cc 。u p l e ds y b t e m sa n da p p l l c a t i o n st or a d i a t i 。nh y d r o d y i l a n l i c s a n a l y s i s 。rs y s t e m so fc o n s e r v a t l 。n l a w s j m o n o g r a p h s 柚ds u r v e y si np u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t i c sv 0 1 9 9 ，1 9 9 8 【7 】sk r u z k o v ，f 1 r s to r d e q u a s 洲n e a re q l l a t j o n sw i t hs e v e r ms p a c ev a r i a b l e s 【m 1 m a t s b1 2 3 ( 1 9 7 0 ) ，2 1 7 2 4 3 8 1s n i s b i b a t a ，a s y m p t o t i c b e h “i o ro fs o l u t l o n s t oa m o d e l8 y s t e n l0 f f a d l a t i “g g a s w i t hd i s c o n t j n u o u s i i l i t l a ld 诅，ij 】m a t h m o d e l s i e t h o d sa pp 1s c i1 0 ( 2 0 0 0 ) ，1 2 0 0 1 2 3 1 9 d s e r r e i s t 曲呲y 工1d e sc h o c se td ed e u xt y p e sd ep r o 矗1 s ， p o u rd e sl 。i s d ec o n s e r v a t i 。n s c a l a i r e