（计算数学专业论文）非结构网格上解hamiltonjacobi方程的数值方法研究.pdf

。雪堕登堂垫查查鲎翌麴尘墼堂堡鲨兰 摘要 h a m i l t o n - j a c o b i 方程在最往控测、微分咒凭、诗葵壤墅影图像、尼秘光学、秘揍生 成等许多领域商着广泛的应用，众所周知，h a m i l t o n j a c o b i 方程的解是很难求得，而且 郅佼在耪篷投必潺的祷况下蒺解的导数氇会密聪润断。本文主要讨论了菲结构溺格簿 h a m i l t o n j a c o b i 方程的无振荡有限体积方法和局部自邋应加密方法。 本文共分五章，第一章简要的介绍了h a m i l t o n - j a c o b i 方程的应用发腠和基本理论， 以及数值方法研究的发展过程。 第二章介绍了结构网格上和非结构网格上解h a m i l t o n - j a c o b i 方程的数值方法，详细 斡会绥了具寅代表蛙鹣e n o 楱式秘w e n o 辏式。 第三章构造出了非结构网格上解h a m i l t o n 。j a c o b i 方程的一类有限体积方法。借助最 ，l 、平方鹣愚怒，褥羁了单元上的一个二次撬蓬多项式，棼裁蠲辍篷瓣理戆憨怒，在傈证 其解的导数不如现新的极值的情况下，构造出了非结构网格上解h a m i l t o n j a c o b i 方程的 无振荡数值格式。该数值方法的计算量要比e n o 方法小得多，而鼠仍具有高分辨率。 第暇章研究了在非结枣阙楱上鼹h a m i l t o n - j a c o b i 方程的囱适应孀部热寝方法。剥用 e n o 的思想，构造非结构网格一l z 的无振荡数值格式，通过单元上的光滑腱指标确定需 热密单元，共袋雳天振荡捶壤，实现了嚣踪阉凝藩叁遽瘦局部鸯蠢密方法。这耪热密方法 只需增加少量的节点和三危形单元，利用少量的计算量，提高了精度，改蒋了对间断的 分辨能力。薮德试验检验了魏细密方法的这些傀点。 最聪一章总结了前两章讨论的数值方法的优缺点，提出了今后的工作发展。 芙键词：h a m i l t o n j a c o b i 方程，最小平方，自适应加密方法，非结构网格 第l 舞 雪堕型篓鎏查奎鲎竺麴兰堡堂萱望兰 a b s t r a c t 硅eh a m i l t o n - j a c o b ie q u m i o n sa r i s e si nm a n ya p p l i c a t i o n ss u c h 鑫so p t i m a lc o n t r o l t h e o r y ，d i f f e r e n t i a lg a m e s ，i m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s i o n ，g e o m e t r i co p t i c s ，a n dm e s h g e n e r a t i o n + i ti s w e l lk n o w nt h a tt h es o l u t i o n so ft h eh a m i l t o n j a c o b i e q u a t i o n sa r e c o n t i n u o u sb u tw i t hd i s e o n t i n u o u sd e r i v a t i v e se v e nw h e nt h ei n i t i a lc o n d i t i o ni ss m o o t h t h i s t h e s i si sc o n c e r n e dw i t l lt h en o n - o s e i l t a t o r yn u m e r i c a lm e t h o df o rh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s o nu n s t r u c t u r e dm e s h e s f i n i t ev o l u m es c h e m e sa n dt h el o c a la d a p t i v er e f i n e m e n tm e t h o da r e i n c l u d e di nt h i sm e s i s 朝捻t h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p e r s 。i nc h a p t e rl 。w eb r i e f l yr e v i e wt h ea p p l i c a t i o n so n t h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e f i c a lm e t h o d sf o rt h eh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s i nc h a p t e r2 tw ep r e s e n tt h en u m e r i c a ls c h e m e sf o rr e s o l v i n gh a m i l t o n j a c o b ie q u a t i o n s o ns t r u c t u r e da n du n s t r u c t u r e dm e s h e s 、s u c ha se n oa n dw e n os c h e m e s i nc h a p t e r3 w ep r e s e n tt h ef i n i t ev o l u m em e t h o df o rt h eh a m i l t o n - j a e o b ie q u a t i o n so n u n s t r u c t u r e dm e s h e s 。w eg e tt h es e c o n d a r yi n t e r p o l a t i o nu s i n gt h el e a s ts q u a r em e t h o da n d e n s u r et h a tt h ed e r i v a t i v eo ft h es o l u t i o nw i l ln o tp r o d u c et h en e we x t r e m u mu s i n gt h e m a x i m u mp r i n c i p l e ，f i n a l l yw ec o n s t r u c tt h en u m e r i c a ls c h e m e l e s sc o m p u t a t a t i o ni s i n c r e a s e d t h em e t h o di m p r o v e sr e s o l v i n gp o w e ro ft h ed i s c o n t i n u o u sd o m a i n n u m e r i c a l e x a m p l e sa r es h o w n t od e m o n s t r a t et h ea c c u r a c ya n dr e s o l u t i o no f t h em e t h o d i n c h a p t e r4 ，w ep r e s e n ta na d a p t i v e m e t h o df o rh a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n so n u n s t r u c t u r e dm e s h e s w eg e tt h en o n - o s c i l l a t o r ys c h e m eb yu s i n gt h ee n op h i l o s o p h yo n u n s t r u c t u r e dm e s h e s 。w ec o n f o r mt h es u b d i v i s i b l et r i a n g l e sw i t hs m o o t hi n d i c a t o ra n du s ea n o n o s c i l l a t o r yi n t e r p o l a t i o no nt h en e wp o i n t s t h ea d v a n t a g e so ft h er e f i n e m e n tm e t h o da r e t h a tt h el o c a lr e f i n e m e n tm e s h e st r a c et h ed i s c o n t i n u e t i e sa n dw h e nl e s sc o m p u t a t i o ni s i n c r e a s e d ，t h ea c c u r a c ya n dr e s o l u t i o nc a nb ei m p r o v e d n u m e r i c a le x a m p l e sv e r i 够t h e s e a d v a n t a g e s i nt h ef i n a lc h a p t e r , w es u m m a r i z et h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e si nc h a p t e r 3 , 4 ，a n d s h o wo u rt a s ki nt h ef u t u r e k 姆w o r d s ：h a m i l t o n - j a c o b ie q u a t i o n s ，l e a s ts q u a r e ，s e l f - a d a p t i v er e f i n e m e n t ， u n s t r u c t u r e dm e s h e s 繁i i 贰 一。 里堕型兰垫查盔堂旦塞塞堕望垡篷苎 圈蠢录 匿2 1 三次捶僮多王烫式酶扩张横叛9 图3 1 节点i 及其角扇形+ 图3 2 三角形单元a 。的所需扩张模板 图3 3 铡3 。l 的一致网格剖分图，h = 0 ，2 一 墅3 4 镶3 。2 ( 1 ) 在# = l 。5 ，矿辩赘数馕释 图3 5 例3 2 ( 2 ) 在t = i 5 1 # 2 时的数傻解 图3 6 例3 3 的数值解结果一 图3 7 例3 3 的计算网格一 图3 ，8 穰3 , 4 的计算缝莱 圈3 9 铡3 5 静数德勰结采一 1 2 15 1 9 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 1 图4 1 节点i 及其周围的三角形区域2 4 图4 2 三蕉形单元s 的节点组成2 4 霭4 。3 擒逢三燕形攀元& 豹e n o 多矮式静壤摄，2 5 图4 4 一分为四豹硒部加密单元2 8 图4 5 交界处一分为二的加密单元2 8 图4 6 未使用加密方法的计算例4 1 ( 1 ) 3 0 萋4 。7 傻鼹燕密方滚嚣靛计算移l 碡，l f l ) 一3 0 圈4 8 铡4 1 f 1 ) 在f = 1 5 万2 时鹣加密网稽3 0 图4 9 例4 1 ( 2 ) 在，= 1 5 ，2 时的加密网格3 0 图4 1 0 末使用加密方法计算例4 ，l ( 2 ) 3 1 图4 。l1 使鳎加密滋藤键算铡4 。l f 2 ) 3l 圈4 1 2 未使霸熬密方法诗算镄4 。2 3 l 图4 1 3 使用加密方法计算例4 2 3 2 图4 1 4 例4 2 在忙1 5 万2 时的加密网格3 2 图4 1 5 末使用加密方法计算例4 3 结果3 3 t n4 1 6 镬雳翅密方法谤葬秘4 3 缀栗3 3 图4 ，1 7 例4 3 的加密网格3 4 图4 1 8 未使用加密方法计算例4 4 结果3 4 图4 1 9 使用加密方法计算例4 4 缩果3 4 图4 2 0 铡4 。4 鲍嬲密嘲穆3 5 里竖型羔垫查杰兰坚塞尘堕兰堕鎏苎 表3 1例3 1 的误燕分析 表目录 1 9 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 秘磅宠残果。尽我薪知，狳了文孛将爱如以标注孝致溪爨缝方姊，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育瓿麓魏学位或证书蜀绽鼹过簿材辩。与我一疑工作瓣懑志对本研究所强嚣任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并袋示谢意。 学位论文题目： 韭缝熬麴整圭筮h 燃i ! i ! 塾二! ! ! 然i 友蕉煎熬焦痘洼煎究 学位论文作者签名： 袅墨薹 日期：翻o f # - f f 月手。露 学位论文版权使舞授权书 本人完全了簿嚣防器掌技术大学有关像錾、袋用学位论文豹规定。本人授权 圈防科学技术大学可以保留井向国家有关部f 1 或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文搜查闽和偌阕；可吸将学位论文的全部或帮分内容鳊入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密厝适用本授权书。) 学位论文趱譬： 盎釜擒邂整圭整黧i ii ! ! ! 二鎏i 照i 煮莛鼗夔篷痘鎏丛塞 学位沦文作者签名 俘者撩导激簿签名 碧基箬 j 雌睁半 日期：a 舯，年) f 月；o 日 窭鹚：凇悔f 月诤馨 国防科学技术人学研究生院学位论文 第一牵绪论 1 1h a m i i t o n - j a c o b i 方程的基本理论 1 1 1h a m i l t o n - j a c o b i 方程的威用及发展 h a m i l t o n - j a c o b i 方程( 菠称h - j 方程) 密瑰予最臻撞裁、诗簿辍整形蚕豫、死旃光 学、晶体生长、化学反应等许多领域。j 鹱些年来，h - j 方程除了在上述领域中有潜广泛 的应用外，人们通过水平集方法又拓广了其应用领域。1 9 8 2 年物理研究员o t h a 、j a s n o w 鹚k a w a s a k i u 提出了求乎袋愚怒，用予处理寿辊界嚣磐适标度豹阉题，t 9 8 8 年o s h e r 鞠s e l h i a n 描遥；掰 - j 方程的理论籍求平巢愚想系统诧劳开始实际鞠与处理流体界蕊，随 厝0 s h e r 、s u s s m a n 、z l m o 、c h a n g 、p e n g 、s e t h i a n 和m u l d e r 深入研究了水平集理论并 将此方法应用于流体计算m 5 ，6 船9 1 、网格生成和网格搬密”0 , 1 1 , 1 2 , 1 3 l 、化学反应【1 4 1 5 峙生 产掇王”q 等安舔阀邃孛。越塞遮多翡学考对鞋一j 方程绘与了越来越多豹磺究与关注。 1 2 1h a m i l t o n - j a c o b i 方程钓慕本理论 h a m i l t o n - j a c o b i 方程豹疆论主要是l i o n s 等人建立瓣精控解理论。考虑如下影式戆 h j 方程的襁偾问题： ( x ，f ) r ”x ( 0 。) ，( 1 t ) 其中h c c ( r “r + r x r “) ( r “上的连续蕊数) ，楚h a m i l t o n 蕊数， b u c ( r ”) ( r ”上的存界且一致连续函数) ，d u = ( 甜”，矩，。) 是函数“的空 阍变量的梯度限量。h j 方穰的解析解怒很难求出的，解的性质报簸杂，丽且其弱解不 漆，蜒豹譬数露搜在耪馕冁( 玲窝番数攒蹩够光瀑戆澹嚣下，波露瞧会塞王凳闻颧，导 致解曲面( 线) 出现尖点或缌结，在界面问题还会出现界面的融入与分离等问题。1 9 8 3 年c r a n d a l l 和l i o n s 17 1 在研究h j 方程时酋先引入了粘性解的概念及粘性上下解的方法， 其髂定义妇下： 定义l ，l 令嚣e c ( r “x r + r x r “) ，h 。b u c ( r “) ，若存在一个溺数 “b u c ( r “【o 7 _ 】) ，hu ( x ，0 ) = u 0 ( x ) ，使得对任一黼数妒c ( r “x r ) f 式均成 赢： i ) 鲡莱x 0 ，t 。) 蹩# 一妒奁r “x 【o ，翻上翳两帮极大篷点，蠢 a ， ! 等( x o ，o ) + h ( x o ，靠，“( x o ，t o ) ，d q ( x o ，t o ) ) 0 第1 页 o | | 抛，纵0 啊| 吣 + k 虬 ，fil ，里堕型。芝：基奎查竺竺薹竺堕兰：生堕圣 i i ) 如果南，t 。) 是一妒在r ”【o ，t l 上的鼹熬极小蠖点，有 矗， 二兰( x o ，f 。) 十h ( x o ，o ，u ( x o ，k ) ，d t p ( x o ，o ) ) 0 则称u ( x ，f ) 为h a m i l t o n j a c o b i 的粘性解。 鑫铁糙牲解戆概念被鬟懑屠，已鼓瘸子葵德阏蘧豹磷究。 若 是h - j 方程的粘憾解，令s ( t ) 液示( 1 1 1 ) 的解算予，即s ( t ) u 。( x ) = u ( x ，) 。 | i f t | = s u p r n i f ( x i ，f + = m a x ( f , 0 ) ，藕毪解豹经矮如下： 定理1 1 若h c ( r “) ，b u c ( r “) ，s ( ，) 如上定义，且f 0 ，则 ( 1 ) 1 ( 双r ) - s ( t ) v o ) + k 茎胁一v o ) + k 2 ) l 降毒岛一；鞋蛾| | 。l | 嘞一l 。 ( 3 ) i n 气n g o 斌o + ：辩) u 0 s i l 繇wu o ( 4 ) i s ( t ) u 0 0 + y ) 一s ( t ) u 。( 叫s u p m 。l u o ( = + y ) - - 4 0 ( = ) i ，对任意的y r “。 ( d 摇鬃l 秀1 4 0 豹l i p s c h i t z 鬻数，那么氇是s ( t ) u o 豹l i p s c h i t z 鬻数，且 l i s o ) “。- s ( r ) v 。1 1 - o 使得c = s u p m 巾川l 槲( t f ，0 ，o ) 1 0 使褥对任意 f 啦r 】，i r l 蔓三以；受蔗，y , p n z r “，式l m ( 薯t ，p ) 一h ( y , t ， p m s c l ( 1 + l p 攥x 一叫 均成立； 则当供b u c ( r “) 时，方程( 1 1 1 ) 存在唯一的牯性解”b u c ( r ”x o ，】) 。 1 2h a m i l t o n - j a c o b i 方程鳃的数值方法研究发展 在偏微分方程的数值方法的发展过稷中，产生了许多针对不同方程类型的求解方 法，铡如有限麓分法、有限元方法等数值方法。其中解h j 方程的应用最广的是谁调差 分格式。睦l 于h a m i l t o n - j a c o b i 方程与守憾律方瑕有羲非常密切的关系，实辩上在维的 情况f ，它们怒等价的，对于多维的情况，虽然直接的对应关系消失了，不过我们仍司 以谈为h j 方程是守蜒律方程积分一次褥结果，因炮人们在蒌嚣完瓣- j 方程以及在姆造 纂2 爱 。：掣塑鲨垒尘垒鲨堡鲨堡兰墼垡童；：一 秘。j 方程媳数馕格式对，霉嚣诺鍪已有抟守鬯簿方程簿数值梅式酾擒造方法。1 9 8 4 年 c r a n d a l l 和l i o n s 1 8 1 构造了解h j 方程的单调差分格式，具体如下： 考惑二维h j 方程： 一十, u y ) 2o f 1 2 l 甜( x ，y ，o ) = “o ( x ，y ) 其中x , y 属于实数，t 2 0 。设a ，砖，起，分别表示时闽步长期空间步长，娃： d j u u = ( “+ l 一“u ) l h x ：噬叫= ( 甜叫一甜h ，) ， d ；拄。，= ( 赫，+ 一狂，) h y ：d y u 。，= 嵇，一稚，一1 ) ，是y 则方程( 1 2 1 ) 离散后的形式为： 槲等= “：，一国( 珥群0 ，d x u n 纠y “n ，d y u i n j ) ( 1 3 ) 羹孛费为数篷h a m i l t o n 殛数，是l i p s e h i t z 连续，瞧称为数镶邋曩，满是蕈谖牲帮 相容性。 褶容经爰攒：秀强，1 , 1 ，k 游= t l ( u ，约 单调性是搬：疗( “，v ，毗z ) 关于“，是单调下降的，关于v ，：是单调上升的n 膏可取l a x f r i 。d c h s 、g o d u n o v 、l o c a ll a x - f r i e d r i c h s 、r o e f i x 等类型的数值 艇虹l t o n 函数。各穆类型对波的具体鸯如下： ( 1 ) l a x f r i e d r i c h s ： 宣。， + ，甜- ，y t - ，y - ) ：戤鲨 篓，! ! ) 一丢国+ 一样一) 一导( v + 一v ) ( 1 4 ) 其中 2 剩豉( 勰，叫，2 劂堤如涮 ，0 ，) ，日：( ，v ) 分别为日对两个变量的偏导数，l a ，b 】与f c ，d 】分别怒矿与矿的敢德范围。 ( 2 ) g o d u n o v ： 羹8 魏+ ，嚣一，v + ，v ) = 川e 旷x t 。)刚e x t 。群( 稚，妒) ( 1 t 5 ) 口，lv，v， 其中 l ( a ，b ) = 【r a i n ( d ，6 ) ，m a x ( a ，6 ) 】 函数e x t 定义淹： f 鲤。 如果口g6 ， 。器朋2 1m a x如果a 6 “e ( 口，6 )l舛j 米 d - ( 3 ) l o c a ll 文x - f r i e d r i c h s ： 国防科学技术火学研究生院学位论文 番肼一，v - ) 喇半，蔓# ) 一l a z ( u + - u - ) 一- v _ ) ( 1 6 ) 奠中 d 一。墨黔皿 ，叫， e 主蜓b 1 ( 4 ) r o e - f i x 膏肛( 甜+ ，封一，v + ，v 一) = 髓k 。璺臻随( 叫 理，f v ，v ) 2 一 8 h ( u ，v ) 一( “，v ) ，圾( 取v 在“e i ( u - , 就+ 舅vl ( v - , v + ) 上不变号 搿( 鼍等，v + ) 委矿( 甜+ ，“一淞+ 可) 马( 砧，v ) 在“豳，b l vi ( v - , 1 ，+ ) 上不变号； ( 1 2 6 ) 辩试 ) 昙矿( v + ，v - x v + 百) h ( g l , v ) 在v 【c ，d 】甜 l ( u 一，“+ ) 上不变号； 蠢m 掰+ ，拓，v + ，v 一)以上均不成立 ；( 雄，v ) 0 拶，豁，v ) 0v + 书： 皿v ) 0 茸2 0 上述的格式均为单调麓分格式，c r a n d a l l 和l i o n s 证明了这种单调差分格式收敛到 粘性解，此格式的单调性决定了其最多只能是一阶精度的格式。i ； = l 于h j 方程的解导数 窭袋溺錾，麓终绫戆离泠方法爨窖磊产生磊i 卖振荡，已不逶合联0 方程。为搭戮裹除鹣 数值格式，正如上所说的由于h j 方獠和守恒律方穰有着密切的关系，人们缝常将已有 的解守恒律方程的数值格式应用到h - j 方程中戎，o s h e r 、s e t h i a n 、k u r g a n o v 和 l i o n s t 6 ：9 , 2 0 , 2 1 1 借鉴守恒律方程螅t v d 懋怒枣每造了孵睁j 方程的二玲差分格式。1 9 8 7 年 h a r t e n l 2 2 等入在勰一维守逛律方程辩凝裙提出了e n o ( e s s e m i o n a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 思 想，随后h a r t e n l 2 3 i 以及c a s p e r l 2 4 蠕它推广到了二维结构网格上懈守恒律方樱。1 9 8 8 年 o s h e r 和s e t h e n l 2o l 构造了e n o 格式，用来处理一一类 - j 方程和扰幼方程。1 9 9 1 年o s h e r 秘s h u 磅究了铃瓣h j 方程戆受般e n o 方法，捣逡了一维帮多维h - j 方程的e n o 搭 式。t 9 9 4 年l i u ，o s h e r 和c h a n 2 5 】在有限体积e n o 格式的基础上构造出了解一维守恒 律方程的w e n o 格式。随后j i a n g 和s h u l 2 6 】采用有限差分方法进步把w e n o 格式推广 到了多维的阀蘧一k 。2 0 0 0 年j i a n g 和p e n 9 1 2 h 在e n o 愚想静基础上，在矩形嘲捺一k 梅造 了解h j 方程的w e n o 格式。近来l i n 稻t a d m o r l 2 8 提出了解h - j 方程的中心离分辩格 式。 第4 页 + 摊 箨 ，：，l | | 。掰 中其 国防科学技术犬学研究生院学位论文 由于解h * j 方程的差分方法建立在结构网格上，因此很难应用于复杂的几何结构， 氇覆难实瑷嬲疆鹣耋逶波辍密。在这静谤嚣下菲终构嘲穆土解猕j 方程戆方法嚣既巍变 得有吸引力。非结构网格上解h j 方瑕的方法我们商1 9 9 6 年a b g r a l l l 2 构造的解 1 j 方 程的一阶精殿的有限体积格式，2 0 0 0 年a u g o u l a 和a b g r a l l l 3 0 提出的非结构网格卜解h j 方程的高除e n o 揍式。b a r t h 和s e t h i a n t m l 鲍连续褥羧元方法以及h u 蟊s h u 戆不连续 g a l e r k i n 方法等。2 0 0 3 年z h a n g 和s h u p 2 t 构造了菲结构黼格艺解非线性h j 方程的禹阶 w e n o 格式，该格式以文 2 9 1 中的单调的数值h a m i l t o n 函数为蒸础，通过低次多项式的 加权组合得剥高除数值邂逅。 当然瓣h - j 方程还煮其缝豹一些方法，我翻不孬详述。 1 3 本文的工作 耄予h 4 方程鳃豹笺杂淫，簿辑释缀难求出，委莛弱舞不壤一，解躲警数在捃篷帮 使很光滑的情况下也会粥现间断，导致在解曲面窖荔出现间断，因此寻求具有黼分辨率、 不振荡等良好性质的方法直是计算数学工作者大力研究的问题。由于h - j 方程来源于 流体力学、物理学等实豁复杂的问题，非结构鼹搐对复杂几何形状瓣网格生成鸯报大酶 灵活往，糖对予结稳弼格魄较的容荔豹实现潮格豹自适应麴密，在赣系擒秘袼上解鞋一j 方程容易处理边界复杂的问题。o s h e r 和s h u 提出的e n o 格式以及w e n o 格式随着精 度的提高，算法复杂，计算量加大，实施计算不是很方便，如何做到利用低阶格式和少 鼙魏点也霹渡撂到裹赣癀獒解，舞裹瓣润琴翁分辫搴，这载鬟要发嶷巍豹算法。赞对这 种情况，本文在非结构阐格上发展了类解h - j 方程的有限体积法和自适应算法，其主 要内容如下： 第一牵，主要介缓了h j 方程的纂本理论及蒸鳞瓣算法磷炎发震。分缁yh j 方程 粘性解斡概念以及结捣黼格上解h - j 方程的b u i l d i n gb l o c k 。 第二章，对结构网格和非结构剐格，介绍了数值求解h - j 方程的e n o 格式和w e n o 格式。 第三章，稳瘸最小乎方的愚想，发震了在菲氅搦瓣揍羔簿二维h - j 方器豹一类有陵 体积法。在构造数值算法中我们以文f 2 9 】中提出的非结构网格上的b u i l d i n gb l o c k 为基础， 应用最小平方和极值原理的思想，在保证解的导数不出现新的极值的前提下，构造出的 解h j 方程豹数僮格式，共有高分辨察。通过数值试验，我们考察了姥算法盼沽葵效率 和对闷断的分辨能力。 第四章，研究了非结构网格上解h j 方程的自适应局部加密法。我们用e n o 的思 想，构造了日e 结构网格上= 的非振荡数德格式，在此楚础上讨论了自适应局部加密数值方 法。魏方法灵震遥遭增麴少量鹣点秘少最趣诗算蘩，趣韪提裹诗纂薅凄彝对 。j 方程簿 的间断处的分辨能力。 第5 页 里堕登兰垫查查堂里! 壅生堕兰堡堕苎 第二章h a m i l t o n j a c o b i 方程解的数值方法发展 由前章我们知道h a m i l t o n j a e o b i 方程在最优控制、晶体生长、网格生成等众多的领 域中有着极其重要的应用，近十几年来，h j 方程解的数值方法有了很大的发展，结构 网格上的差分法，非结构网格上的有限体积法，有限元方法等。在众多的数值格式中， 解高维h j 方程的高分辨率高阶的格式有e n o 和w e n o 方法。由于h j 方程与守恒律 方程有着密切的关系，人们常常把已有的守恒律方程的数值方法推广应用于h j 方程上。 本章我们介绍几种比较有代表性的数值方法：结构网格上e n o 方法，非结构网格上的 e n o 和w e n o 方法，自适应加密方法。 2 1 结构网格上解h - j 方程的数值方法 对结构网格而言，有限差分法和已经有的解守恒律方程的方法相似，也很签易的构 造，在众多的数值方法中具有代表性的有：o s h e r 和s e d a n 2 i 的二二阶精度e n o 格式， o s h e r 和s h u 3 3 1 的高阶精度e n o 格式，j i a n g 和p e n 9 1 2 7 1 的高阶精度w e n o 格式，以及 l i n 和t a d m o r l 2 s l 的中心高分辨格式。 1 9 9 1 年o s h e r 和s h u 提出了e n o 格式，他们在文 3 3 1 0 0 具体的给t o , 了构造e n o 格 式的过程。具体的构造如下： 考虑二维h j 方程的初值问题： i 痧，+ h ( ，) = 0 1 矿( x ，y ，o ) = 。( x ，_ y ) ( 2 1 ) 设缸，分，分别表示离散时空间和时间的步长，彤表刀i 方程( 2 1 ) 粘性解 ( 工。，y ，f ”) 的数值近似，这里妒( z 。，y ，f ”) = q 6 ( i a x ，j a y ，n a t ) ，使用下面的记号： 丸= 石a t ，2 y = 石a t ，越丸= ( 识址，破。) ，丸= 渺，i 一一，) t ：l ( u ，甜，v ，1 ) = h ( u ，v ) 设f ( x ，) 表示在离散点x ，处的函数值，在每个区间【x ，x ，。l 上n 造r 阶精度的插值 多项式以存2 ( x ) ，过程如下： ( 1 ) j p ，；j2 ( x ) = f x j 】+ f i x ，x j + 1 】( x 一了j ) ，k 。= ； ( 2 ) 如果已求得后l - 1 ，和p 二；胃( x ) ，则令： 口n = f i x i - i ，x 鼬】， b “) = 他鼬，堍州 ， 第6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( i ) 如果i o t i b ( o l ，她令c ”= 矗“，黑= 嚣一1 ，否则c ”= 口，女黧= 女嬲1 ， 女鬟“一l ( i i )髟j ：( x ) = 铎f , l 2 l - i + c “h 扛一_ ) ，= ： 令”2 = 贮，v 2 = 砖，则 “；= f d p ， 类似的可以得到v ：。令： l f = 一a t h ( u ，( x ，)( 2 _ 2 ) 将方稷( 2 1 ) 离散为： = 彤t k ( a 舣4 + c a ；，等，等yn ，等y n ) 皿。， 商除酌e n o 格式在瓣阕上胡r u n g e k u t t a 方法采离教，潮： ) _ 【搿h + 几础】，k = 1 ，f ( 2 5 ) 鳄= 筹，蟛= 露q 随后2 0 0 0 年j i a n g 和p e n g 利用上述类似的方法又构造了w e n o 格式，此格式直接 利用某一节点周围的节点的差分加权缀合来逼近此节点处的导数德，具体的记号如上所 述，w e n o 揍式鞫造热下： 方程f 2 。1 ) 半离散w e n o 格式为： 等= 上( 觑= b ，乃 屯，毛，或护方“) ( 2 6 ) 这鼙 缸苦等+ 7 訾+ 等一警硝雅a 鱼r ，警，警，警， 羹孛多“”为热蔽缍台爨数，详凳文 2 7 1 。类觳鹣蜀褥翻眩，。 上述的e n o 格式和w e n o 格式大大提高了计算精度。般漉来w e n o 格式在光 滑区域是中心格式，但在h j 方程的间断处，由于权重因子的作用，w e n o 格式自动的 逡讫为e n o 揍式，l 鲑：方法夔熬撬点在予搜蠲与e n o 方法穗弼豹扩张模板，却戆餐到魄 e n o 方法离 = j 一阶精度麴格式，还可融避免了由于模板的漂移丽可能出现的线性= ；i i 稳 定性和计算精度降低等现藩。 此外2 0 0 0 年l i n 和t a d m o r 构造的解多维h 。j 方程的高盼糟液无振荡中心格式，他 # j 首先甄一缭一除耩凄入手，通过分羧连续豹线毪掇壤来褥弱蘩一嚼刻在菜个点处瓣数 值逼近，对予二阶精度则在每个求解区间采用分段连续的二次插傻，类似的推广到多维 第7 贞 国防科学技术人学研究生院学位论文 的情况。 豫j 逄之终结稼阏耩上解珏。j 方疆豹数篷方法还稷多，这毽不霉详述。 2 2 非结构网格上解h j 方程的数馓方法 对菲缭擒网接孬言，程梅造数篷掇式瓣会凄残一定豹垂难，铡魏对解守遮臻方露j 常有用的脊隈体积方法栩有限元方法。这是幽于薹 j 方程不能筲成守恒的形式，从而不 自b 通过分部积分来计算，而在非结构嘲上构造格式，分部积分却是有限体积方法和有限 元方法主要的一步。因鼗这样的数值方法，茏其是解鞋j 方程惑除精度的数傻楱式相对 来说寝少。 1 9 9 6 年a b g r a l l 2 9 】构造出了一阶和二阶精度有限体积格式，文 2 9 茸先讨论了两个 g o d u n o v t y e p e 型的h a m i l t o n 函数，其中个是b a r d i 和o s h e r 研究结果的推广，另 个彀叁予黪迩分解豹h a m i l t o n 螽数。在这个复杂分瓣豹墓磋上a b g r a l l 擒造瓣了一类重 要的l a x - f f i e d f i c h sh a m i l t o n 函数，这个h a m i l t o n 溺数是菲结构网格上解h - j 方程的重 要的b u i l d i n gb l o c k ，也鼹我们在第三章和第四章中构造数值格式的b u i l d i n gb l o c k 。 a b g r a u 在 g 较弱的限制条体下，证明了所构造的有限体积格式的数馕勰收敛予 一j 方程 於糨性解，疆螽氆韵于e n o 静思慧褥戮二簖精瘦豹格式。 1 9 9 8 年b a r t h 和s e t h i a n i 扪i 构造出了连续有限元方法。2 0 0 1 年李详贵在他的博= _ = 论文中，研究了非结构网格上解二维h j 方程的有照元方法，文 4 1 1 首先将有限元方法 疫矮予疆j 方程豹蕤瞧方程，镬雳不溺豹基磊数，雩鼙飘了三类爨蠢t v d 往鬟弱煮限元 数值格式。 此外，猩非结构网格上解h j 方稷的数值方法中具有代表性的是：2 0 0 3 年z h a n g 襁s h u 3 2 1 构遗的高除精发w e n o 数德格式，她们罄先考虑二维聪j 方程 | 妒：+ h 痧，妒。) = 0 l ( 工，y ，0 ) = 。( x ，y ) 、 对方程( 2 7 ) 进行半离敞得： 矗。 痧，f ) + h ( v ) 。，一，( v 痧) 女，) = 0( 2 ，8 ) a r 他们以a b r a l l 构造的h a m i l t o n 函数为b u i l d i n g b l o c k ，为得到所求函数的墨次插值 逼近采用二次插慎的热投嬷台的方法，具体的摄值多项式模板选择虫瑟图2 。l 蹶示。 第8 页 鬟糖科学技术大学研究生蔽学稼论文 8 7 6 图0 ，l 三次插傻移项式蟾扩张横板 设为三角形单元。上的插假多项式所用的大模檄。要求：( 1 ) 节点1 ，2 ，3 ，5 ， 8 ，l | 必蔟在蕊灏；稼瘸冀璃瓣繁熹4 ，6 ，7 ，9 ，1 0 ，1 2 餮三螽彩擎元懿中心鲢爨 离，并按从大剥小排列：( 3 ) 淑患前霹个点添加到黑，判断由这l o 个点组成的方糕缀怒 不楚瘸淼的，辫苓是潮& 嫩掰璃瀚最终模缀，否鄹蒜飘剩下驹点鞲漆期令翔蕊。然 鼹在最终躲扩张大模投& 里依据一定的规则簧确定5 个小模叛，每个小摸投确定个黪 簧鹣二二次插僖多颂式，遂过嚣线链粕毂缀合所搭二次禚疆多矮式，蹬终褥弱三麓形擎霭 瓯上的三次撼德多项式。 由予h j 方程的襁实际闷邀中柯着广溅的应用，而嶷环的阀题中的求解区域搬笈杂， e 绣擒鲻貉刘麓镶灵活蘸楚璎边赛菱杂瓣嚣域，主述嚣雅糖瓣疆上懿w e n o 格式大大 撼离了解的耩鹰，而熙利用e n o 格式褶间的扩张模擞通过加权组台1 i i ：掇篱t 一阶精度， 德娃；j 于精度的掇满，扩张穰缀的选择越泉越复杂，计豁爨也变褥越来越大，如何台理的 建耩扩强模摄，饕绞憾搬投辫子等这些阏激还鸯德予瓣决。 2 3 解h - j 方程的自适感加密方法 在螭h - jm 方程的传统的方法中，数值撼式均建立控遐定攀先设鼹好的网格一 = ，不论 怒缝梅溺橇还楚棼彗掬蕊嵇，毽奁嚣瑟稳鼯接主熬赢耩痰爨数蓬接式逶穰多。畿否利爱 爨逶应嘲格通避低除数值糨式或者是相辩米说比较筠鹧的格式，也黢得到高阶糖鹱的 解，种新的解洋线性h - j 方程的有效算法即a m r ( a d a p t i v em e s hr e d i s t r i b u t i o n ) 方法随 蔫产生了。 2 0 0 1 年李谱贵1 4 在其博士论文中发展了一蹙结褥网格t 熊 j 方程的自适应简豁 嬲辫方法，这辩潮密方法蓉先萋予e n o 鬻憨，对多躐滟麓怒褒接在臻掏瓣格e 鞠造+ i 元e n o 捶值多颂式，在对卿摄进行加鬻时，利用矩形啦，亡上四个节点的蕊息泵燃沿蒜 整标辘方海懿囱褥帮囱磊魂除筹巍滟耨，窳定义英竞瀣度据标，当蕈元秘竞游痰臻标天 藕9 贾 圈豺科学技术大学研究生院学位论文 予某一翅蜜阕薅时，瓣矩形罄元遂褥热密，连接矩形攀元熬对燕线，势三等分，颓次连 接等分点，这样得到了一个小的矩形和四个梯形，最后采用：二次无搬荡插值来得列新加 翁点豹邈数值，捩蔼实现了在结稳隅格上鼯踪闻断豹自适应翩密。 2 0 0 3 年z h a n g h o 等人发展了自适应网格修正算法，该方法大体分三步柬实现，1 给 出理论上的初始矩形网格，在上面构造h ，j 方程解的邋似；2 通邈g s 嫠代束实现网 掇修正，同时邋过a 守恒二除插值公式来修正毅网捂上的近似鳃；3 。在计葜区域，运过 解给定的p d e 来对所求函数进行时间上的修正。此方法可以很好的跟踪解的间断，提 嵩瓣豹分漤力，纛量遗瘸于离缝静润莲。 解h a m i l t o n j a c o b i 方程还有其他的方法，这些方法发展比较慢，这举不再详述。 繁l o 受 萄防科学技术大学研究生院学位论文 第三章非结构网格上解h a m i l t o n j a c o b i 方程的一类有限体积方法 这一章：我们姆撼最小平方黪思想应弼予二维h 1 方程，疆究焱a 结稳翳穆上袁蜒 二二维h j 方程的一+