（运筹学与控制论专业论文）关于lq随机最优控制问题的riccati矩阵微分方程.pdf

摘要 摘要 最优控制理论是现代控制论中的一个重要分支。 r e k a l m a n 3 首先提出对 线性系统采用积分二次型最优评价指标，从而形成线性二次最优控制( l q r ) 问 题。根据数学模型不同，又可以将最优控制问题分为确定性最优控制问题和随机 最优控制问题。前者是指控制对象的运动规律可以用确定的数学模型来描述，其 核心内容是在控制对象性能指标最优的条件下，求系统输入变量( 控制变量) 的 变化规律，或求控制变量与状态变量之间的关系。随机最优控制问题的特点是控 制对象具有不确定性，而且输入与输出中均存在随机的变量，同时以随机评价指 标的数! 学期望为最优性评判标的。 无论是确定型线性二次最优控制问题还是随机线性二次最优控制问题都可 以分为有限时间系统问题和无限时间系统问题两种类型。本文主要涉及有限时间 系统的随机线性二次最优控制问题和倒向随机线性二次最优控制问题，这两类问 题的求解在一定的条件下可以归结为r i c c a t i 矩阵微分方程的求解问题。 本文共分三章。 在第一章中，主要介绍了确定型线性二次最优控制问题和随机线性二次最优 控制问题的相关理论和基本性质，并给出与此相关的r i c c a t i 矩阵微分方程 ( 【1 1 ，【2 】，【3 】) 。 在第二章中涉及s c h e n 等人在 1 o e 给出的一类随机线性二次最优控制问 题，此问题的解取决于以下r i c c a t i 矩阵微分方程： 户+ f 以+ 彳p 一尸曰( r + d 2 ，d ) 一1 b p + q = 0 p 口) 一h k + d f p d q 对于求解上述r i c c a t i 矩阵微分方程，j z h u 在 2 1 d 0 提出了一个算法，该算法从第 二步起通过求解线性的矩阵微分方程，得到迭代序列，收敛到原方程的解。然而 陔算法的第一步是求解一个非线性的常规r i c c a t i 矩阵微分方程而得到初始的迭 代解，这样就限制了该算法的计算效果。而将j z h u 算法加以改进较为困难( 【2 】) 。 在这一章里我们给出了能够用线性矩阵微分方程求得初始迭代解的方法，其后的 每一步则可以继续按照【2 】中的算法进行。这样得到的序列也收敛到原方程的解。 由于我们所选择的初始步骤b g 2 l d 0 的算法简单，这样就使得我们的算法比【2 】中 的算法具有更好的计算效果。在这一章里我们给出了实例以验证这一点。 本文第三章涉及x y z h o u 在【8 】中给出的一类在倒向随机微分方程下的线性 二次最优控制问题，该问题的求解取决于一类混合型的r i c c a t i 矩阵微分方程。 本章构造了一个线性迭代算法以求解这类r i c c a t i 矩阵微分方程。 摘要 关键词：最优控制，线性二次最优控制，随机线性二次最优控制，r i c c a t i 矩阵微 分方程，倒向随机微分方程 a bs t r a c t t h i st h e s i sf o c u so no p t i m a lc o n t r o lt h e o r yw h i c hi sa ni m p o r t a n ta s p e c to f m o d e i t ic o n t r o lt h e o r y k e k a l m a n 1 】i n t r o d u c e dt h el i n e a rs y s t e mw i t hq u a d r a t i c i n d i c a t o r s ，c o m i n gi n t ol i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r ( l q r ) p r o b l e m s b a s e d o nt h e v a r i e dm a t h e m a t i c a lm o d e l s ，t h eo p t i m a lc o n t r o lt h e o r ys t u d i e sb o t hd e t e r m i n i s t i c p r o b l e m sa n ds t o c h a s t i cp r o b l e m s t h i sw o r ki sm a i n l yo n s t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i c r e g u l a t o rp r o b l e ma n db a c k w a r d s t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o rp r o b l e m u n d e r c e r t a i nc o n d i t i o n s ，s o l v i n gt h e s ep r o b l e m sc a nb ea t t r i b u t e dt oc l a s s i c a lr i c c a t im a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h et h e s i sh a st r e ec h a p t e r s 1 nt h ef i r s tc h a p t e r , t h e r ei si n t r o d u c e dr e l e v a n tt h e o r ya n db a s i ca s p e c t sa b o u t d e t e r m i n el i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o rp r o b l e ma n ds t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o r p r o b l e m ( 【1 】，【2 】，【3 】) ，w i t hp r e s e n t i n gt h e a s s o c i a t e dr i c c a t im a t r i xd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h es e c o n dp a r tc o n s i d e r ss t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i cr e g u l a t o rp r o b l e mi n a c c o r d a n c ew i t h 【1 】t h es o l u t i o no ft h i si s s u ei sc l o s e l yr e l a t e dw i t ht h ef o l l o w i n g s t o c h a s t i cr i c c a t id i f f e r e n t i a le q u a t i o n p + p a + a 7 p p b ( r + d p d ) 1b p + ql 0 尸( 丁) - h k + d | p d o j z h u ( 【2 】) d e v e l o p s a ni t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h ea b o v er i c c a t im a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e r ei so b t a i n e das e q u e n c eo fs o l u t i o no fl i n e a rm a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hc o n v e r g e su n i f o r m l yt ot h es o l u t i o n so ft h es o l u t i o n so f t h er i c c a t id i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，b u tt h i sa l g o r i t h mg a i nt h ei n i t i a l i z a t i o nb yn o n l i n e a r c l a s s i c a lr i c c a t ie q u a t i o n i nt h i sc h a p t e r , an e wa l g o r i t h mi sd e v e l o p e df o r o b t a i n i n gt h ei n i t i a l i z a t i o nb yl i n e a r d i f f e r e n t i a lm a t r i xe q u a t i o n ，a n dc r e a t e s t h e s e q u e n c eo fs o l u t i o na l s oc o n v e r g e su n i f o r m l yt ot h es o l u t i o no ft h er i c c a t im a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t a k i n gt h ea d v a n t a g eo ft h ei n i t i a l i z a t i o ni nt h ef i r s ts t e p ，t h e n e wa l g o r i t h mh a sb e t t e rc o m p u t a t i o n a la p p e a r a n c et h a nj z h u sa l g o r i t h m ( 【2 】) 1 nt h el a s tc h a p t e r , t h e r ei sc o n s i d e r e dab a c k w a r ds t o c h a s t i cl i n e a rq u a d r a t i c r e g u l a t o rp r o b l e mi n 【8 】w i t hs o l u t i o nd e p e n d i n go na m i x e dt y p eo fr i c c a t im a t r i x d i f f e r e n t i a le q u a t i o n b ym e a n so ft h et e c h n i q u eg o ti nc h a p t e rt w o ，t h e r ee s t a b l i s h e s a ni t e r a t i v em e t h o dt os o l v es u c hak i n do fe q u a t i o n s i i i a b s t r a c t k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o l ；l i n e a r - q u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o l ； s t o c h a s t i c l i n e a rq u a d r a t i co p t i m a lc o n t r o l ；s t o c h a s t i cr i c c a t id i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；b a c k w a r d s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n i v 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规 定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和 电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影 印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目 录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权 按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子 版：在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分 或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 第1 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 第l 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 本章介绍，有限时变确定性系统的l q 问题及相应的r i c c a t i 矩阵微分方程， 在随机系统下的线性二次调节器问题( l q r ) 问题及相应的r i c c a t i 矩阵微分方 程，以及在倒向随机系统下的线性二次最优控制问题。 1 1 有限时变l q 最优控制问题 m i n - ，z o 。妞o 。) + 知【x 丁( r ) q m o ) + u t ( 似f ) 】班 s t d x = a ( t ) x + b ( t ) u ( t ) te o ，t 1 】 x ( o ) tx o 其中a ，b ，q = q r 之0 ，r ；r r o ，s r s 苫0 ，均可为时变矩阵， r i c c a t i 矩阵微分方程为 。 户+ a r p + f z + a p b r 一1 b 丁p 一0 p ( t 1 ) = s ( t 。) 最优控制问题( 1 1 1 ) 的最优反馈控制u 为 u - 一r 以b r p o ) x o ) ， 1 2 在随机系统下的线性二次调节器( l q r ) 问题 ( 1 1 1 ) 与其相对应 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) c h e n 在【1 】中讨论了有限时间段上的随机l q r 问题，即 m i n j ，e 饵扣愀) 删“) 体+ 扣丁) m ( 丁) s t 出o ) 一【彳o 如( f ) + b ( t ) u ( t ) a t + 【d o mo ) m o ) x ( 0 ) 一y 及其对应的r i c c a t i 矩阵微分方程： ( 1 2 1 ) 第l 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 尸+ f + a 尸一p b ( r + d p d ) 一1 b p + q 一0 e f t ) 一h 尺+ d 彻 0 ( 1 2 2 ) 其中a f f ：r ”，b ，de r ，r j ? ，q ，h s ：。w ( t ) 是定义于概率空间( q ，e ，p ) 上的标准一维布朗运动，f 是由生成的自然滤波。 c h e n 在f 1 1 中给出了( 1 2 2 ) 的解的存在唯一性的充分必要条件。介绍如下： 由经典微分方程理论，下面的r i c c a t i 矩阵微分方程( q 0 ，h o ，k o ) z + z 4 + 彳1z z b k 一1 b z + q ；0 ，z ( 丁) ；h ( 1 2 3 ) 有唯一正定解z ，定义zl i r a 妒似) 。 r i c c a t i 矩阵微分方程解的存在唯一性定理： r i c c a t i 方程( 1 2 2 ) 有唯一正定解的充分必要条件是存在 k + ，k 一c ( o ，丁；雪? ) ，使得下式成立 k + r + d 7 妒( k + ) d 之r + d 妒( k 。) d k 一( 1 2 4 ) 1 3 随机r i c c a t i 方程的一个算法的介绍 求解随机r i c c a t i 微分方程( 1 2 2 ) 非常困难，z h u 在【2 】中，在r i c c a t i 方程( 1 2 2 ) 有唯一正定解的情形，对于r i c c a t i 矩阵微分方程( 1 2 2 ) 提出了一个算法，我 们首先对其做一个简要的介绍。 1 3 1 算法描述 算法1 3 1 s t e p l取充分大的正实数z 和小实数 0 。k + 一z i ，定义冗一r o ，只；丘， p o 一妒( k + ) ，只一v e ( a + d p o d ) s t e p 2 对于f 苫1 ，假设我们已获得正定矩阵只一。o ) ，只( f ) ，且满足 只1 之只p ，即有 尺+ d 它一l d 苫r + d 弩d 乏r + d p d ( 1 3 1 ) 定义 k i ( f ) 一- ( r + d 仁一。o ) d ) 。1 ( b t ) 和 2 第1 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 彬o ，；( ，七j ) ( 等尺+ 。0 鸳一，。) ( 磊) ； s t e p 3 解下列的线性矩阵常微分方程( o d e ) 膏+ x ( a + b k j ) + ( 彳+ b k f ) x + 彬一0 ，x ( 丁) 一h ，v f 【o ，丁】 鼻+ l x ，若忙+ 1 - p , i is f ，则跳至s t e p 4 ，否则令f i + 1 ，转至s t e p 2 ； s t e p 4 输出+ l ，结束。 1 3 2 关于算法收敛性 z h u 在【2 】中证明了以下结果。 定理a ：在条件( 1 3 1 ) 下，由算法( 1 3 1 ) 所产生的序列，对于t 【0 ，t 】，i 乏2 ， 以下的不等式成立 o ) 之只+ 。o ) 2p 乏0 其中p 是微分方程( 1 2 2 ) 的解。 定理b ：由算法( 1 3 1 ) 所产生的序列忆 在【o ，t 】上一致收敛到r i c c a t i 矩阵 微分方程( 1 2 2 ) 的唯一正定解p 。 注意到算法1 3 1 的特点在于用线性矩阵微分方程的解逼近r i c c a t i 矩阵微分 方程( 1 2 2 ) 的解，而不足之处在于算法1 3 1 的第一步依然要解经典的r i c c a t i 矩阵微分方程( 1 2 3 ) 。 本篇论文的第二章主要是对迭代算法1 3 1 进行改进， 把算法1 3 1 的第一步改为解线性矩阵微分方程。具体安排如下：给出解r i c c a t i 矩阵微分方程( 1 2 2 ) 的一个全线性的新算法，给出该算法收敛性的证明和算法 精度的分析，最后给出了两个例子用来说明算法的应用。 1 4 在倒向随机系统下的线性二次最优控制问题 1 4 1 倒向随机微分方程的介绍 j 下向随机微分方程的研究已有近半个世纪的历史了，取得了辉煌的成果， 3 第1 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 它与其他数学分支如测度论，偏微分方程，微分几何，势论有着非常紧密的联 系。它们相互促进，相应生辉，所以在这一领域有了丰硕的成果。关于倒向随 机微分方程的研究才刚刚丌始，其线性情况由b i s m i t 在 1 0 1 中提出，而非线性 情况下的基本框架是由彭实戈与p a r d o u x 在1 9 9 0 年 1 2 1 提出并证明了其存在唯 一性的。 倒向随机微分方程的理论研究历史较短，但进展迅速，应用前景显著。著 名经济学家d u f f e 和e p s t e i n 1 9 发现可以用它来描述不确定经济环境下的消费 偏好，彭实戈口通过倒向随机微分方程获得了非线性f e y n m a n k a c 公式，从而 可以用来处理诸如反应扩散方程和n a v i e r s t o k e s 方程等众所周知的重要非线性 偏微分方程。e i k a r o u i 和q u e n e z 发现金融市场的许多重要的派生证券的理论价 格可以用倒向随机微分方程解出。 随着倒向随机微分方程理论的发展，人们开始研究在倒向随机微分方程这 个系统下的最优控制问题，最典型的就是在该系统下的线性二次最优控制问题 ( 简称b l q 问题) 。 1 4 2 在倒向随机微分方程下线性二次最优控制问题的r i c c a t i 矩阵微分 方程 文献【8 】考虑以下的倒向随机微分方程( b s d e ) p ( ) ；翻o ) z o ) + b o ) “( ) + c o ) z o ) 渺+ z q ) d w ( 1 4 1 ) 卜( 2 ) 2 亭 。 其中“( ) e u = ；( q ；尺”) 是允许控制集。对于参数彳( ) ，b ( ) ，c ( ) 和终端状态占假 设同文献【8 】，从而保证对于每一个允许控制，( 1 4 1 ) 都有唯一的解o ( ) ，z ( ) ) ， 因而我们可给出这样一个允许三维数组 ( ) ，z ( ) ，“( ) ) ，对于这样的允许三维数 组我们给出相关的值函数 j ( 亭；“( ) ) ：；e 寺i x ( o ) h x ( o ) 十| = o ( f ) 7 q ( t ) x ( t ) + z o ) 7 s q ) z q ) + “( f ) r ( t ) u ( t ) ) d t 】 这时b l q 控制问题可以描述成下面的形式 联e u 雾黧巧灿( ) 胀( 1 4 41 ) ( 1 4 2 ) l “( ) ， ( ) ，z ( 。) ；“( 。) ) 满足( 1 1 ) 、 。 文献【8 】得到了b l q 控制问题的最优反馈控制，其推导过程主要依赖于以下的 4 第1 章线性二次最优控制问题与相应的r i c c a t i 方程 r i c a a t i 矩阵微分方程，其中m 0 p ( t ) + p ( t ) a ( t ) + 彳o ) 7 p ( t ) 一p o ) ( b o ) 尺p ) - 1 b ( t ) + c o ) ( s 0 ) + p o ) ) 1 c o ) ) 尸o ) + q ( t ) = 0( 1 4 3 ) p ( t ) 一m 以 定理c ：假设m 0 是一个给定的对称n n 矩阵，此时r i c c a t i 方程( 1 4 3 ) 有一个唯一的解尸c ( o ，t ；s ”) ，而且有p ( ) 0 证明：参见 8 中定理4 4 。 本篇论文的第三章我们建立迭代算法求解r i c a a t i 矩阵微分方程( 1 4 3 ) 。 第三章的安排如下：给出一个此类r i c a a t i 矩阵微分方程的迭代算法，并对算法 收敛性进行了证明；最后给出实例说明该算法的应用。 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个 新算法 2 1 引言 考虑下面的随机线性二次( l q r ) 最优控制问题问题 m i n ，；e w ) 圳棚删啪忱+ 扣r ) h x ( r ) ( 2 1 1 ) s t d x ( t ) ；【4 0 ) x o ) + b ( t ) u ( t ) d t + 【c ( t ) x q ) + d o ) “o ) 】d o ) x ( 0 ) ；y( 2 1 2 ) 这罩w ( t ) 是一个布朗运动，控制“( f ) 取值于一个欧几里得空间。在确定性的情 形( c 葛d 暑0 ) ，我们知道矩阵r ( t ) 必需为j 下定的( 对于所有的t ) ，否则以上 的最优问题将不是w e l l p o s e d ( 【1 】，【2 4 】) 。长期来，许多学者一直都在研究随 机l q r 问题( 【1 6 】，【1 8 】，【2 1 ，【2 2 ，【2 3 】) ，但是在他们的工作中都是把尺o ) 0 作为前提条件的。近年来，c h e n 等人( 【1 】) 于1 9 9 8 年发现当d 一0 时，一些随 机l q r 问题，在r ( f ) 0 ( 2 1 5 ) 有一个解，则随机l q r 问题是w e l l - p o s e d ( 参见【1 】中定理3 1 ，定理4 1 ，引理 4 4 ) 。 【1 】中定理4 1 指出，若s r e ( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) 有解，则解是唯一的，且是 6 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的个新算法 非负定的。 与此同时，在【1 】中不仅给出了s r e ( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 解的存在唯一性的充要条件， 而且给出了一个迭代的算法去逼近这个s r e 的解，但是这个迭代法的每一步， 都要去解一个经典的r i c a a t i 矩阵微分方程( 【1 】，【7 】) 。对( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) ， z h u ( 【2 】) 于2 0 0 3 年给出了一种迭代算法，迭代的每一步只要求解一个线性 l y a p u n o v 矩阵微分方程，但是该算法的迭代初始矩阵函数的选取依于一个非线 性的常规r i c c a t i 方程。本章我们将对【2 】中的算法加以改进，利用一个线性 l y a p u n o v 矩阵微分方程得到迭代初始矩阵函数。 2 2 一个新算法及相关理论 本文我们采用以下记号： s “：，l n 对称矩阵全体； 熨：非负定的厅，l 对称矩阵全体； s ：正定的n n 对称矩阵全体； c ( o ，t ，x ) ：在【0 ，t 】连续的x 一值函数所成的b a n a c h 空间 本文假设：在随机二次最优控制问题( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 中的a ，b ，d ，r ，a ，h 是 确定性的矩阵函数且满足下式： 4 ，c c ( 0 ，t ；r “”) ， b ，d e c ( o ，t ；r “”) ， r c ( 0 ，t ；s ”) ， q e c ( o ，丁；s ：) ， h s 2 对固定的q c ( o ，r ；s ：) 。对于k c ( o ，丁；霹) ，彳，b ，h 满足以上要求，考 虑矩阵微分方程 2 + z ，4 + 彳z z b k 一1 b z + a 。0 z ( r ) = h 7 叫 啪 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 由r i c a a t i 矩阵微分方程理论，可知上式有唯一的解z c ( o ，r ；掣) 。在第 一章中我们定义了一个映射妒：c ( o ，t ；r “) 一c ( o ，t ；r ”“) ，z 一妒( k ) 。 定理d ( s e c h e n ) ：r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 有唯一非负定解的充分必 要条件是存在k + ，k 一c ( o ，丁；j ? ) ，有下式成立 k + 2r + d 妒( k + ) d 苫r + d 缈( k 一) d 乏k 一 ( 2 2 3 ) 证明：参见【1 】中引理4 4 。 另外，考察下面的方程，其中v c ( o ，r ；s ：) ，s ：，k c ( o ，r ；囊) ， 有以下结果： q + q 4 + 爿q - q b k 以b q + 矿- 0 ，q ( t ) 一h ( 2 2 4 ) 定理e0 h z h u ) ：假设v e c ( o ，r ；s ? ) ，h e s 2 ，和k c ( o ，z ；s a + n ) ，i g a 为 ( 2 2 4 ) 的唯一非负定解，对于给定的连续矩阵函数k ( t ) e c ( o ，丁】，r “”) ，设q 是 以下线性矩阵微分方程的解 a + q ( 彳+ b k ) ，( 彳+ 胤) o + 叱一0 ，q ( 丁) 一h ( 2 2 5 ) 其中 州叫，捌忌0 ) ) 则对于每一个f 【0 ，t 】， 级p ) 乏q ( f ) 证明：参见【2 】。 定理f ( s e c h e n ) 映射妒是单调递增且连续的。 证明：参见 1 q 畦j i n4 2 。 在r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 5 ) 有唯一非负定解的情形下，对于求解s r e ( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 我们给出以下新算法。 算法2 i ： 8 第2 章求解随机l o r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 s t e p l 取小实数 0 。令i = o ；定义只，置，其中昂为下式的解 f 尸+ p a + 彳尸+ a ；0 i 尸仃) 一h 只为下式的解 f 户+ 尸似+ b u o ) + ( 爿+ b u o ) p + c ，“j ，( 售尺+ 。0 ，r 。八“i 。) 2 。 l 尸( 丁) = h 其中“o = 一( 尺+ d 晶d ) 一1 ( b e o ) s t e p 2 对于f 1 ，假设我们已经获得正定矩阵函数只一，o ) ，只( r ) 满足 只一1 只2p r + d 霉一1 d 乏r + d 乞d r + d p d 定义 u io ) ；- ( g + d 它一。o ) d ) - 1 ( b 乞) 彬o ，一c j ，“d ( 苫尺+ 三乞。) ( 乏) s t e p 3 然后解下面的线性矩阵微分方程 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 苎二_ 彳地z ) + o 砌j ) ，x + 彬= o ( 2 2 1 2 ) lx 仃) = h 、 获得其唯一的解，记为+ ，。若忙+ 。一只忙f ，则跳至s t e p 4 ，否则令f f + 1 ， 转至s t e p 2 ； s t e p 4 输出+ l ，结束。 下面的几个定理是本章的主要结果，证明了由算法2 1 产生的序列是单调 下降，且一致收敛于s r e ( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 的唯一解，从而可知利用算法2 1 迭代求 解s r e ( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 是行之有效的。 定理2 1 ：设p 为r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 的解。在算法2 1 中，有 e o 乏鼻最乏p 。 证明：首先我们证明 9 第2 章求解随机l q ri u 题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 p o 最苫p( 2 2 a 3 ) 因p 为r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) 一( 2 1 5 ) 的解，所以满足约束条件( 2 1 5 ) j r + dr p d q o 从表达式( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) ，我们易知p o ，墨c ( o ，r ；f ) 。由于昂满足( 2 2 6 ) ， 而尸满足( 2 1 3 ) ， 汜户= p o p ，两方程式相减，易见户满足下式 p + ，h + 彳尸+ p b ( r + d p d ) 一1 b p = o ，p ( t ) 一0( 2 2 1 4 ) 由于p b ( r + d p d ) 。1 b ，尸0 ，方程( 2 2 1 4 ) 的解是非负的，可知户乏0 ，即有 只苫p 。从而有r + d r d r + d p d 0 。 考察以下方程 p + 尸爿+ 彳7 p - p b ( r + d r d ) 一1 b p + a = o ，p ( r ) 一h( 2 2 1 5 ) 记其正定解为户。通过方程( 2 2 7 ) y 0 方程( 2 2 1 5 ) ，由定理e ，得到 p l ( t ) 之尸( f ) 由于尸满足方程( 2 2 1 5 ) ，p 满足方程( 2 1 3 ) ，再由定理f ，有 声o ) 尸) 因此得出，置苫尸。 以下再证明 p o 丘 类似前而的证明方法，记乒zp o 一只，由于只满足( 2 2 6 ) ，而只满足( 2 2 7 ) ，两 方程式相减，得到下面的方程 尸+ f z + 彳p + p 1 b ( r + d p o d ) 1 b p o + p o b ( r + d p o d ) 。1 b 鸳一p o b ( r + d p o d ) b p o o p 仃) 一0 ( 2 2 1 6 ) 进而改写成 f 户+ 勘+ 彳p + p o b ( r + d p o d ) - 1 b 霉一p b ( r + d p o d ) q 召鸳 ip b ( r + d p o d ) _ 1 b e o + p b ( r + d r d ) - 1 b t ；0 【p ( t ) ；0 从而有 乒十勘+ 彳一p p b ( r + d p o d ) 一1 b p + p 1 b ( r + d p o d ) 一1 b 七一o ，户( 丁) 一0 ( 2 2 1 7 ) 由于互b ( r + d r d ) 。1 b 置乏0 ，r + d r d 0 ，易知方程( 2 2 1 7 ) 是一个经 典r i c a a t i 矩阵微分方程，而乒0 ) 是( 2 2 1 7 ) 的解，从而有乒( f ) 芝0 ， 即晶之只 下面证明只乏只。 1 0 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 定义 c 1 0 ，x ) 一工鼻o ) z 和 龇训，= 掣+ 掣c 出拙川x 叫苫尺oo ) ( x o t 4 - 1 3 3 u ) 旺2 邶? 批 iu 瓜j 由( 2 2 7 ) 和( 2 2 1 8 ) 式，可知当 u u o ( f ) x 一一( 尺+ d r d ) 。( b r 弦 ( 2 2 1 8 ) 右边为零，即有下式成立 h 1 0 ，z ，u o o ) 石) = 0 ( 2 2 1 9 ) 另一方面，经过简单计算，我们知道，当且仅当 u u 1 0 ) x 一一( r + d r d ) - 1 ( b 鼻) z 时 同时看到 从而有 由( 2 2 1 8 ) 即有 o h l ( t , x , u ) 。0 o u 等叫r + 。 。 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) h 1o ，石，u 1o ) 工) sh 1 ( f ，工，u o0 ) z ) 一0 ( 2 2 2 2 ) 日l ( f ，训1 ( f ) x ) ：o c l ( _ t , x ) + 堕望+ b “1 ( t ) x ) + o t批 1 1 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 o ，x 么o ，( 售尺+ 。0 r 。) ( “。盂，x ) s 。 c 2 2 2 3 ， 义已知最为。f 式的解 户+ p ( a + b u l ) + ( a + b u l ) p + 形一o ，p ( t ) 一h ( 2 2 2 4 ) 对于v t 【o ，r l ，v x o r ”，记x l ( s ，z o ) 是下列线性系统的解 戈；g 4 + b u l ) x ，x ( t ) zx o ，se t ，丁】 f l ：t ( 2 2 2 3 ) ，( 2 2 2 4 ) ，并注意到尺+ d p o d r + d p l d 0 ，有下面的不等式成 立 工：只o ) x 。= ， ，( s ) 7 ，( “。o ) 工，( s ) ) ) ( 售尺+ 。0 t 。) ( “，盂茧：s ) ) 出+ 工( t ) h x t ( 丁) s ，删“呦) 曙0 r 地淼) 卜搬慨( 丁) s x ：只o 讧。 ( 2 2 2 5 ) 根新! ；x 。的任意性，由不等式( 2 2 2 5 ) ，有 只o ) 罡o ) ( 2 2 2 6 ) 另一方面设p ( t ) 为下列经典r i c a a t i 矩阵微分方程的解 户+ 刚+ 4 p p b ( r + d 仁d ) 。1 b ，p + q ；0 ，p ( t ) = h ( 2 2 2 7 ) 由式( 2 2 2 4 ) 和式( 2 2 2 7 ) ，由定理e 可得 同时我们知道尸o ) 为下式的解 最o ) 乏尸o ) 1 2 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 户+ 以+ 彳p p b ( r + d p d ) 一1 b ，尸+ q 一0 ，p ( 丁) 一h( 2 2 2 8 ) 注意到尺+ d t d r + d p d 0 ，由式( 2 2 2 7 ) 采1 式( 2 2 2 8 ) ，仿( 2 2 2 3 ) 至 ( 2 2 2 6 ) 的同样推导方法，可得 从而我们有 汪明完成。 j p ) 2 尸o ) 最( t ) 乏只( f ) 昱o ) 2p o ) ，v t 【0 ，t 】 定理2 2 ：设p 为r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) - ( 2 1 5 ) 的正定解。记由算法2 1 所产生 的序列为 曰) ，f o ，1 ，2 ，。此时，对于任意的f 【o ，丁】，i 0 ，以下的不等式成 立 只o ) + 。o ) p 0 。 证明：利用数学归纳法。由定理2 1 ，我们可知有咒之只苫最2p 0 和 尺+ d 仁d r + d p l d 之r + d e d r + d p d 0 。对于f 2 ，我们假设有下式 成立， 只一。o ) 2 只o ) 尸o ) 从而有 ( 2 2 2 9 ) r + d 乞一1 d r + d t d 之r + d p d( 2 2 3 0 ) 现在我们定义 和 c f ( f ，x ) 一z 乞( t ) x( 2 2 31 ) 帅川；掣+ 掣蛾m 7 “一尺+ 品洲：) ( 2 2 勉： 因为只是下式的解( 由算法2 1 ) ， p + p ( a + b u f 1 ) + ( a + b u f 一1 ) p + w i l o ，尸( 丁) 一h( 2 2 3 3 ) 从( 2 2 3 2 ) 可知当“= “( f 皿一一( 尺+ d p 一2 ( f ) d ) 。1 ( b 仁一。扯时，我们得到 h ，( f ，x ，“) = 0( 2 2 3 4 ) 另一方面，只有当“。u i ( f 弦- - ( r + d 霉，d ) 。1 p 乞如 第2 章求解随机l q r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 掣。o ( 2 2 - 3 5 ) 注意到 等1 2 ( 尺+ 啤。咖。 ( 2 2 3 6 ) 闵此我们能够推出 h f o ，石，u f o ) ) s0 由表达式( 2 2 3 2 ) ，有 h i ( t , x , u i ) x ) ；_ o q ( t , x ) + 掣+ b “；o ) 石) + d t批 吣”0 剖1 x ) s 0 仁2 ， 另一方面，由算法2 1 ，鼻+ 。为下式的解 户+ p ( a + b u j ) + ( 彳+ b u f ) p + 嘭一0 ，尸( 丁) th ，( 2 2 3 8 ) 对每一个f 【o ，丁】，v x 。尺“，记t ( s ，) 为下列线性系统的解 戈一( 彳+ b u f ) 石，x ( t ) 一x o ，s e t ，t 】( 2 2 3 9 ) 由( 2 2 3 7 ) ，( 2 2 3 8 ) ，( 2 2 3 9 ) 式，对于每- - + t o ，t 】，p a t i 挤等式成立 工o e i + l x 0 = ；扎小) ，州尺+ 三t 玑揣卜( t ) h x ， s ，俐删姒呦拶尺+ 品洲“，篙沙叫 s x o p , o 弦o( 2 2 4 0 ) 因为x 。为任意的，因此，对于每个t 【0 ，t 】， p + 。o ) s 只o ) ( 2 2 4 1 ) 我们还需要证明，对于每一个f 【0 ，t 】 号+ 。o ) 乏p o ) ( 2 2 4 2 ) 对r i c c a t i 方程( 2 1 3 ) ( 2 1 5 ) 的正定解p ，定义 嘶川叫售尺+ 三彻 仁2 粥， 第2 章求解随机l o r 问题的r i c c a t i 矩阵微分方程的一个新算法 记霉+ ，为下式的解 尸+ p ( a + b u f ) + ( 彳+ b u f ) p + 彬一0 ，p ( 丁) 一h ，( 2 2 4 4 ) 由定理e 叮知有 只+ 12 p ( 2 2