（运筹学与控制论专业论文）偏微分方程支配控制系统的能控性与正则性.pdf

中文摘要 本文研究了几类偏微分方程支配的系统的能控性和正则性问题 我们讨论了两类重要的拟线性退化抛物方程的能控性一类是牛顿渗流方程，另一类是 非牛顿渗流方程，即发展的；- l a p l a c e 方程对于牛顿渗流方程，首先我们讨论了在控制具 有非负约束条件时的逼近能控性当控制施加在整个区域时，在任意给定的时刻t 0 ，我 们刻画了能够实现逼近能控的目标集合，并且指出对于任意的非负目标，都存在一个时刻 t o 及非负控制，使得此目标在时刻t 是逼近能控的但当控制施加在局部区域时，目标 集合中有一些且标在短时间不再是逼近能控的。接下来我们讨论了牛顿渗流方程的零能控 性我们证明了在任意给定的时刻，对于一类适当的初值，存在施加在局部区域的控制，使 得系统是零能控的对于非牛顿渗流方程，我们也证明了其零能控性 我们也讨论了两类耦合系统在单个控制作用下的能控性首先我们考虑了一类线性退 化抛物方程的不灵敏控制的存在性问题众所周知，这等价于两个线性退化抛物方程构成 的耦合系统在单个控制作用下的零能控问题；接下来我们又考虑了一类半线性退化抛物方 程与半线性热方程构成的耦合系统的零能控问题我们分别证明了这两类系统在一定条件 下于任意时刻都是零能控的 最后，我们讨论了一类具边界耗散的线性双曲型方程生成的算子半群的最终可微性。并 利用这个结果得到了方程的解具有最终e 贝, j 性以及半群满足谱决定增长条件我们知道这 在系统稳定性的分析中是很重要的 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t ya n dr e g u l a r i t yf o rs o m ec o n t r o ls y s t e m s g o v e r n e db yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w es t u d yt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft w oc l a s s e so fi m p o r t a n tq u a s i l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n s ( n e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n sa n dn o n - n e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n s ，w h i c h a r ea l s oc a u e de v o l u t i o np - l a p l a c i a ne q u a t i o n s ) f o rn e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n ，f i r s t l y ， w ed i s c u s st h ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l l t yw i t ht h en o n n e g a t i v ec o n s t r a i n to nt h ec o n t r o l s 、v h e nt h ec o n t r o li so nt h ew h o l ed o m a i n w ec h a r a c t e r i z et h es e to fn o n n e g a t i v et a r g e t s w h i c ha r ea p p r o x i m a t e l yc o n t r o l l a b l ea ta n yt i m et 0 ，m o r e o v e r w ec o n c l u d et h a ta n y n o a n e g a t i v et a r g e ti sa p p r o x i m a t e l yc o n t r o l l a b l ef o ral o n gt i m e m i l et h ec o n t r o li so n t h el o c a ld o m a i n ，w eg e tt h en o n c o n t r o l l a b i l i t y n e x t ，w ed i s c u s st h en u l lc o n t r o l l a b i l i t y o fn e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n w jp r o v et h a tf o rs u i t a b l ei n i t i a lv a l u e s ，s y s t e mi sn u l l c o n t r o l l a b l eu n d e ral o c a lc o n t r o la ta n yt i m et 0 f o rn o n n e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n w ea l s op r o v et h en u l lc o n t r o l l a b i l i t y w ea l s os t u d yt h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft w oc l a s s e so fc a s c a d es y s t e m s f i r s t l y , w ed i s c u s s t h ee x i s t e n c eo fi n s e n s i t i z i n gc o n t r o l sf o rac l a s so fh n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o h ce q u a t i o n s a sw ea uk n o w i ti se q u i v a l e n tt ot h en u l lc o n t r o l l a b i h t yo fac a s c a d es y s t e mg o v e r n e d b yt w oh n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s n e x t ，w es t u d yt h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yo fa c a s c a d es y s t e mg o v e r n e db yas e m i l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o h ce q u a t i o na n das e m i l i n e a rh e a t e q u a t i o n u n d e r8 0 m ec o n d i t i o n s ，t h e s es y s t e m sa r en u l lc o n t r o l l a b l ea ta n yt i m e f i n d l y ) w es t u d yt h ee v e n t u a ld i f f e r e n t i a b i h t yo fac o s e m i g r o u pa s s o c i a t e dt oaw a v e e q u a t i o nw i t hb o u n d a r yd i s s i p a t i o n ，f u r t h e r m o r e ，w eg e tt h a tt h es o l u t i o nh a st h ep r o p e r t y o f e v e n t u a lr e g u l a r i t ya n dt h i ss e m i g r o u ps a t i s f i e st h es p e c t r u m - d e t e r m i n e dg r o w t hc o n d i t i o n ， w h i c hi si m p o r t a n ti nt h es t a b i l i t ya n a l y s i s i i 中文简介 能控性作为现代控制理论中最重要的基本概念之一，首先是由k a l m a n 于上个世纪6 0 年 代初针对有限维线性系统提出的之后，许多学者将其推广到更为一般的系统，例如：无限 维系统以及非线性系统本文首先讨论了几类退化抛物方程支配的控制系统的能控性问题 同时，对于无限维线性系统，正则性是另一个重要的基本概念已经有相当多的文献讨论了 无限维线性系统的解析性，可微性，紧性以及范数连续性在这里我们也将讨论一类具边界 耗散的波动方程生成的算子半群的最终可微性，并由此得到解的最终正则性 本文共分五章在第2 章中我们将给出在后面几章我们所需要的一些定义及定理；在 第3 章中，我们讨论了两类重要的拟线性退化抛物方程( 牛顿渗流方程，非牛顿渗流方程) 的 能控性；在第4 章中，我们讨论了两类耦合抛物系统在单个控制作用下的零能控问题；在 第5 章中，我们考虑一类具边界耗散的波动方程的正则性 下面指出本文主要解决的问题以及相应的结论由于能控性是控制理论最基本的概念之 一，迄今为止，已有相当多的文献讨论它在l e e 及m a r k u s 的书中( 见 4 3 1 ) ，作者详细地介绍 了有限维系统能控性的相关结果后将其推广到分布参数系统，始于y u v e g o r o v ( 见【2 6 】) 1 9 7 8 年，d l r u s s e l l 在s i a mr e v i e w 上发表的综述文章【6 2 】，总结了当时该领域的主要工 作正如d l r u s s e l l 在这篇文章中所述，和有限维系统的能控性相比，发展偏微分方程支 配系统的能控性有着本质的区别有限维系统的能控性有k a l m a n 条件完全刻画，但对于发 展偏微分方程却没有这样的理论1 9 8 8 年，j l l i o n s 在他的综述文章【4 8 】以及专著【4 9 】中介 绍了h u m 方法，可以把能控性转化为对偶系统的唯一性这种方法引起了诸多的关注及兴 趣，也成为了处理许多能控性问题的有效方法在过去几十年里，能控性问题得到了深入而 广泛的讨论( 见【2 5 】，【2 9 ，【3 3 】，【3 7 】， 4 5 】， 4 7 ， 6 4 】， 6 9 】， 7 1 x f i 【其中的参考文献) 由抛物方程 支配系统的能控性取得了巨大的进展对于一个线性抛物方程支配的系统，其逼近能控性等 价于对偶系统的唯一延拓性；其零能控性等价于对偶系统的能观性不等式 对于半线性抛物方程，在文献 2 5 1 中，作者深入讨论了如下形式系统的能控性 y：,凄-：苫ay三+乙f。(zy，,v们2“季莩(：z i v 其中，q 尼1 是具光滑边界撕2 的有界区域，地表示q 的一个非空开子集u 上的特征函数， ：r 册一月是局部l i p s c h i t z 连续函数作者证明了如果函数f ( y ，p ) 在自变量趋于无穷 时，增长得比l y l l o 矿2 ( 1 + l y l + 圳) 4 - i p l l 0 9 1 2 ( 1 + i y l + l p l ) 慢，则如上系统在任意时刻都是 逼近能控并且零能控的但是，如果其在自变量趋于无穷时增长速度为i v l l o g ( 1 + i u l ) ，其 中n 2 ，那么一定存在着一个局部l i p s c h i t z 连续函数，使得相应的系统既不是逼近能控 的，也不是零能控的同时，对于3 2 q 2 的情形，系统的能控性仍是一个公开问题 在文章【1 9 】和 2 0 1 , ，作者讨论了类线性退化抛物方程的零能控性作者使用的方法主 要是先对扰动系统( 一列非退化系统) 建立一致的能观性不等式，然后通过取极限得到原系 统的能观性不等式，进而得到零能控的结果在文章 1 4 1 中，作者讨论了一类一维拟线性抛 物方程的局部零能控性，就我们所知道的，迄今为止讨论拟线性退化抛物系统能控性的文 章不是很多在文章 3 4 】和 3 5 中，作者讨论了一类重要的拟线性退化抛物方程一非牛顿渗 流方程的逼近能控性，并利用解的有限传播速度说明了如果对系统施加局部控制，即限制 控制的作用在我们考虑区域的一个非空真开子集上，那么对于任何初值，系统在短时间都 不是逼近能控的在第3 章中我们将讨论这类方程在局部控制下的零能控住利用有限时间 熄灭性质以及解的有限传播速度，我们证明了对于一类适当的初值，在任意时刻都能找到反 馈形式的局部控制，使得系统是零能控的我们知道对于线性系统，零能控性蕴含着逼近能 控性而我们得到的结果说明了对于拟线性系统此结论不再成立了利用类似的方法，我们 也得到了另一类重要的拟线性退化抛物方程一牛顿渗流方程的零能控性 在第3 章中我们也讨论了牛顿渗流方程在控制具非负约束条件时的逼近能控性到目前 为止我们还没有发现在控制具有约束条件时研究拟线性系统能控性的文章控制具有约束 条件会给能控性问题的讨论带来困难，我们不能直接利用原有的线性情形的结果并结合不 动点方法在这里我们首先讨论扰动系统的线性化系统，通过使用f e n c h e l _ r o c k a f e u a r 理论。 设法将使得线性系统实现逼近能控同时又具有最小能量的非负控制函数刻画清楚：然后通 过不动点定理我们可以得到扰动系统的逼近能控性；晟后取极限，就得到了原退化系统的能 控性，即在任意时刻我们刻画了牛顿渗流方程在控制具非负约束时能实现逼近能控的目标 集合同时由于拟线性退化方程本身的特性，通过做局部估计我们可以得到局部的l m 一障 碍现象，这说明如果对系统施加局部控制，那么目标集里一些目标在短时间不再是逼近能控 的由此我们可以看出局部和全局控制对系统有本质的影响最后，对于牛顿渗流方程，利 用前面得到的结果并结合能量估计，我们还可以得到对于任意的非负目标，在长时间后其一 定是可以逼近能控的 v 上面提到的两类拟线性退化抛物方程都是来自于自然界中广泛存在的扩散现象渗流理 论，相变理论，生物化学以及生物群体动力学等领域都提出了这两类方程与线性抛物方程 以及不具退化的拟线性抛物方程相比，这两类方程在一定程度上更能反映物理的实际背景 例如：众所周知，热传导方程的解具有无限传播速度，即对于任意非负的初值，解在初始时 刻后全部取为正值，而我们上面所讨论的两类方程的解都是具有有限传播速度的，所以它 们更能较为准确地反映客观实际对于牛顿渗流方程及非牛顿渗流方程的研究，在过去几十 年里己经取得了很大的进展( 见 3 】，【2 4 ，【7 0 】及其中的参考文献) 在第3 章中，我们将讨论它 们的能控性问题我们得到的主要结果如下 ( 一) 考虑下面一类牛顿渗流方程 ， l 玑( z ，t ) 一( y m ) 。( z ，t ) = ) 。缸( z ，t ) ( z ，t ) q ， 掣( 一1 ，f ) = y ( 1 ，t ) = 0 t ( o ，印， ( 0 0 1 ) l ( 毛0 ) = y o ( x ) z ( 一1 ，1 ) ， 其中，q = ( 一1 ，1 ) x ( o ，1 0 ，y o l 。( 一1 ，1 ) ，y o o 以及 饥l 车( 1 ，1 ) ，都存在时刻t o 及非负控制“雎( q ) ，使得系统( o 0 1 ) 相应于u 的解满 足 似，t ；u ) 一训伊( 一1 ，1 ) o 及目标y ，l i ( - t ，1 ) + y 2 ，存在非负控制 让l 2 ( q ) ，使得相应于这个控制的系统( o 0 2 ) 的解y 满足 怙( ，t ；u ) 一! ，1 怯( 一1 ，1 1 0 ，珈l 。( - 1 ，1 ) ，珈o 以及矿l i ( 一1 ，1 ) ，都存在一个非负控制 1 ks 瑶( q ) ，使得系统( o 0 4 ) 相应于的解弧满足 l 鲰( ，t ；u k ) 一暑，一讥( ，t ；o ) 怯( 一1 ，1 ) 0 ，y l l 2 ( 一1 ，1 ) v a 及充分光滑 的珈，存在两个光滑函数y 和v 满足 ， i 轨( z ，t ) 一可。( z ，t ) = t j ( z ，t ) ( z ，t ) q ， y ( - - 1 ，t ) = y ( 1 ，t ) = 0 t ( 0 ，t ) ， i 掣( z ，0 ) = y o ( x ) z ( - - 1 ，1 ) 及 恬( ，t ) 一玑怯( - 1 , 1 ) 0 ，如果b 2 n ( x o ) = ( z o 一2 r ，x 0 + 2 r ) ( 一1 ，1 ) 口，那么 叭，0 i l l 。( 口r ( ) ) ，y 1 ( 1 + r e ) r 2 ( m - 1 x 1 圳， ( o 0 8 ) 其中，0 t 0 ，都存在常数七 0 ，使得系 统( o 0 1 0 ) 的解。满足 z ( z ，t ) = 0a e z q 同时，利用系统 篆善 刨篱i t ， i 伽( z ，o ) = 珈( z ) z q ， 的解w 具有限传播速度，可以证明存在时刻t 0 ，使得 s u p p 叫( ，t ) u ，0 t o 于( o ，1 】，我们首先考虑下述系统不灵 敏控制的存在性 i 轨一 ( z ) 掣。) 。= + x 。“ 扛，) q ， ：l i 枷m o ( z ) ( 毛z ) = 0 ，v ( 1 ，幻= 0 t ( o ，刃，( 0 o 0 1 2 ) 【耖( z ，0 ) = z f o ( z ) + r 痂( z ) z ( 0 ，1 ) ， 其中，q = ( 0 ，1 ) x ( o ，t ) ，u = ( o ，q ) ，0 0 ls1 ，表示u 上的特征函数，f l 2 ( q ) ，“是控 制函数，如l 2 ( o ，1 ) 同时，蜘是满足f f 痂f k ( o ，1 ) = l 的函数，r 是实参数 定义 地) = ；以圳2 d x 氓 其中，0 = ( 0 ，卢) ，0 卢s1 ，姗表示系统( o 0 1 2 ) 相应于参数7 _ 的解我们称函数u 为j 的不灵 敏控制当且仅当对任一满足0 如l i l ：( o ，1 ) = l 的函数痂都有 掣j 删：0 ( 0 0 1 3 ) 打“。 、 不灵敏控制问题首先是由“o 璐于文章 5 0 】中提出的在文章 1 6 】中，作者得到了较弱些的 结果，对类半线性热方程证明了逼近不灵敏控制的存在性文章 6 5 】讨论了如下系统不灵 敏控制的存在性 = + x 。u ，t ) q ， ( z ，t ) a n ( 0 ，即 + 下痂( 。) z q ， 其中，：r 一兄是全局l i p s c h i t z 连续函数一方面，作者证明了当= 0 时，存在初 值y o l 2 ( f 1 ) ，使得不灵敏控制是不存在的；另一方面，当un0 0 时，对y o = o 以及一些 假设之下的，作者证明了不灵敏控制的存在性对于更一般的非线性系统的相关结论，参 见【17 】及其中的参考文献 在第4 章中我们将首先考虑系统( 0 0 1 2 ) 不灵敏控制的存在性注意到这是一个退化的线 性抛物方程，目前为止我们还没有发现有关退化方程不灵敏控制问题的结论实际上，这个 们 0吲。嘶 扩 = = d 一 z z 仇“ ，-_-clli_【 x l 问题可以转化为下面两个线性退化抛物方程构成的耦合系统的零能控问题，即讨论是否存 在控制函数u ，使得系统 i w t 一( ( z ) t ) 。= + ) 山u ( z ，t ) q ， 觋o ( z ) ( z ，) = 0 ，w ( 1 ，t ) = 0 f ( o ，t ) ， ( 0 0 01 4 ) i 伽( z ，0 ) = y o ( x ) z ( 0 ，1 ) ， i 施+ ( o ( z ) k = x 。 9 0 ，t ) q ， 觋o ( z ) ( z ，t ) = 0 ，z ( 1 ，) = 0 t c o ，t ) ， ( o 0 1 5 ) iz ( z ，t ) = 0 z ( 0 ，1 ) ， 满足z ( z ，0 ) = 0a e z ( 0 ，1 ) 为了得到上述零能控结果，我们对于对偶系统 l 慨一( n ( z ) ) 。= 0 ( z ，t ) q ， 躲o ( z ) ( z ，t ) = 0 ，妒( 1 ，t ) = 0 t ( o ，t ) ， ( o 0 1 6 ) i 妒( z ，0 ) = 铀( z ) z ( 0 ，1 ) ， i1 ；f ，+ ( o ( z ) 也k = 】妒 ，z ) q ， 觋o ( z ) 也( z ，t ) = 0 ，媳t ) = 0 t ( o ，d ，( o 0 1 7 ) i 妒c x ，t ) = 0 z ( 0 ，1 ) ， 建立了适当的能观性不等式，即存在不依赖于妒。的正常数岛与c 使得 儿e 谝媚x , t ) d x d t _ cz z 坝x , t ) d x 以( 0 0 1 8 ) 所以我们证明了在一定条件下，系统( 0 0 1 4 ) 一( 0 0 1 5 ) 是零能控的 定理4 1 2 对于珈= o 以及满足条件l i e 尚l l 纠纠 + o o 的函数l 2 ( q ) ，存在控制函 数缸，使得系统c o 0 1 4 ) 一( o 0 1 5 ) 相应于u 的解满足z ( z ，0 ) = 0a e z ( 0 ，1 ) 从而也得到了此定理条件下系统( 0 0 1 2 ) 不灵敏控制的存在性如上所述我们实质是讨 论了两个线性退化抛物方程构成的耦合系统在单个控制下作用下的零能控性 ( 二) 我们也将考虑一类半线性退化抛物方程和半线性热方程构成的耦合系统的零能控问 题对于如下系统 ly t 一( z 。啦) 。+ f ( y ) = + x , o h0 ，t ) q ， 觋( z 。妇) ( 。，t ) = ( ) = 0 t ( o ，t ) ， ( o 0 1 9 ) i ( 。，0 ) = y o ( x ) z ( 0 ，1 ) ， x i i ( z ，t ) q ， t ( 0 ，即， ( 0 0 2 0 ) z ( 0 ，1 ) ， 其中，o ；，2 ) ，q = ( 0 ，1 ) x ( 0 ，t ) ，u 和d 是( o ，1 ) 的非空连通开子集，和x o 分别表 示u 和d 上的特征函数，l 2 ( q ) ， 是控制函数，y o l 2 ( 0 ，1 ) ，p o l 2 ( 0 ，1 ) ，我们能够得到 下面的结论 定理4 2 1 如果f g c 1 ( 冗) 是全局l i p s c h i t z 连续函数，f ( 0 ) = o 并且uno 0 ，那么存在 正常数m ，对于任意的f l 2 ( e m ) 及任意的珈，p o l 2 ( o ，1 ) ，系统( o 0 1 9 ) ( o 0 2 0 ) 都是零能 控的，即存在h l 2 ( q ) ，使得系统( o 0 1 9 ) 一( 0 0 2 0 ) 的解满足 可( z ，t ) = 0 ，p ( z ，t ) = 0a e x ( 0 ，1 ) ， 这里，工2 ( 啊) = 三2 ( q ) ；乜f 2 ( z ，咖枷捌t + o 。) 这类耦合系统能控性的实际背景是：假设h 是热源，由系统( o 0 1 9 ) 我们可以确定温度分 布y ，同时，再把。上的温度分布作为系统( o 0 2 0 ) 热源，我们也能够确定出系统( o 0 2 0 ) 的 温度分布我们的问题是能否找到热源h ，使得两个系统的温度于某一给定时刻同时消失 定理4 2 1 证明思路：首先考虑系统( o 0 1 9 ) 一( o 0 2 0 ) 的线性化方程，通过对一类线性退化方 程建立适当的c a r l e m a n 估计，得到如下对偶系统 l 口t + 啦。一b ( z ，t h = 0 ( z ，t ) q ， q ( o ，t ) = q ( 1 ，t ) = 0 t ( 0 ，t ) ， ( 0 0 2 1 ) l 口( z ，t ) = q t ( x ) z ( 0 ，1 ) ， i 磊+ ( z 。磊) 。一0 0 ，t ) z = x 。q p ，t ) q ， 觋( z 。磊) ( 而t ) = z ( 1 ，t ) = 0 t ( o ，? ) ， ( o 0 2 2 ) iz ( z ，丁) = z t ( x ) z ( 0 ，1 ) ， 适当的能观性不等式，即存在不依赖于q t 和z t 的正常数m 与c 使得 儿攻州) e - 尚揪c 屁z 2 牡d t 及 f 0 1 q 2 ( 圳) ( 删血c z z 讯牡出， 彬 x 0 = = 搿喇 = = m 力 一 q 毛 a “ 其中，a ，b l ”旧) 由此可推得线性化系统的零能控性然后利用不动点定理，就- jp a 得 到原问题的零能控性 在第5 章中，我们考虑一类具边界耗散的双曲型方程的正则性问题对于无限维线性系 统，正则性是一个重要的基本概念，已有相当多的文献讨论了无限维线性系统的解析性，紧 性以及范数连续性( 见 2 7 】，【3 8 ，【5 2 ，【5 4 ，【5 6 】及其中的参考文献) 然而有关可微性的工作 相对少一些在文章 5 1 1 中，作者讨论了一类时滞系统的最终可微性在文章【2 8 】中，作者讨 论了相应于一类积分偏微分方程的算子半群的可微性作者在文章i t 4 ，【7 5 】中讨论了几类 人口方程支配系统的可微性这里我们将首先证明一类具边界耗散的双曲型方程生成半群 的最终可微性，然后利用此结果得到解的正则性以及半群满足谱决定增长条件，我们知道 这在系统稳定性的分析中非常重要考查方程 i 一c 2 t + d ( z ) 饥= 0 0 o ， ( o o 2 3 ) 1 ( 1 ，t ) + 饥( 1 ，功= 0 t 0 ， iu ( z ，0 ) = o ( z ) ，毗( z ，0 ) = u l ( x ) 0 0 ，定义 e = a cir e a 2 口一k l l l l i m a l ) 其中，8 是某个充分大的正常数且k = i 毛 对任意的( ，g ) 日及a 。，我们将证明存在唯一的( 让，口) d ( 一4 ) 满足 a ( u ， ) 一4 ( u ，t ，) = ( ，g ) 同时，存在不依赖于a 的常数g 0 ，使得对于满足r e a o 的a 。以及满足i l ( ，g ) 1 1 = 1 的( ， g ) h ，成立着 j i ( u ，v ) 1 1 c li m a1 从而我们得到了t ( ) 于t 芒= ；( 2 + s ) 是可微的e h e o 的任意性，t ( t ) 于t ：是可微 的进而我们得到了定理5 1 1 的结论 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a so n eo ft h em o s tb a s i cn o t i o n si nc o n t r o lt h e o r y , c o n t r o l l a b i h t y , w a si n t r o d u c e db y k a l m a ni n1 9 6 0 s s i n c et h e n ，m a n yr e s e a r c h e r sh a v ed e v o t e dt os o m eg e n e r a l i z a t i o no f t h i sn o t i o nt om o r eg e n e r a ls y s t e m s ，s u c ha si n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m sa n dn o n l i n e a r s y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w es h a l lf i r s ts t u d yt h ec o n t r o l l a b i l i t yo fs y s t e m sg o v e r n e d b ys o m ed e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s a tt h es a i l et i m e ，f o ri n f i n i t ed i m e n s i o n a ll i n e a r s y s t e m s ，r e g u l a r i t yi sa n o t h e ri m p o r t a n tc o n c e p t t h e r ei sc o n s i d e r a b l el i t e r a t u r ec o n c e r n i n g t h ea n a l y t i c i t y , d i f f e r e n t i a b i l i t y , c o m p a c t n e s sa n dn o r mc o n t i n u i t yo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l l i n e a rs y s t e m s h e r e ，w es h a l la l s od i s c u s 8t h ee v e n t u a ld i f f e r e n t i a b i l i t yo fac o s e m i g r o u p a s s o c i a t e dt oaw a v ee q u a t i o nw i t hb o u n d a r yd i s s i p a t i o na n dg e tt h ee v e n t u a lr e g u l a r i t yo f t h es o l u t i o n t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s c h a p t e r2i sp r e l i m i n a r yi nw h i c hw es t a t et h e d e f i n i t i o n sa n dt h eb a s i ct h e o r e m su s e di nc h a p t e r3 ，c h a p t e r4a n dc h a p t e r5 i nc h a p t e r 3 ，w ed i s c u s st h ec o n t r o l l a b i h t yo ft w oc l a s s e so fq u a s i h n e a rd e g e n e r a t ep a r 8 b o u ce q u a t i o n s c h a p t e r4i sd e v o t e dt ot h en u l lc o n t r o l l a b i l i t yo ft w oc l a s s e so fc a s c a d ep a r a b o l i cs y s t e m s c h a p t e r5i s c o n c e r n e dw i t ht h ee v e n t u a lr e g u l a r i t yo faw a v ee q u a t i o nw i t hb o u n d a r y d i s s i p a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s st h ec o n t r o n a b i h t yo ft w oc l a s s e so fi m p o r t a n tq u a s i l i n e a rd e - g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s ( n e w t o n i a nf i l t r a t i o ne q u a t i o n sa n dn o n - n e w t o n i a nf i l t r a t i o n 1 2 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n e q u a t i o n s ) c o n t r o l l a b i l i t yi sa c l a s s i c a lp r o b l e mi nc o n t r o lt h e o r ya n dt h e r ei sal a r g el i t - e r a t u r eo ni t w er e f e rf o ri n s t a n c et ot h eb o o ko fl e ea n dm a r k n s 4 3 】f o ra l li n t r o d u c t i o n t ot h i st o p i ci nt h ec o n t e x to ff i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s c o n t r o l l a b i h t yi so r i g i n a l l yg e n - e r a l i z e dt oi n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m sb yy u v e g o r o v 【2 6 】w ea l s or e f e rt ot h es u r v e y p a p e r 6 2 】b yr u s s e l la n d t ot h es i a mr e v i e wa r t i c l e 【4 8 】a n db o o k 4 9 b yj l l i o n sf o r a ni n t r o d u c t i o nt ot h ee a s eo fi n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s i nt h el a s tt w od e c a d ，r e s e a t c h i nt h i sa r e ah a sb e e nv e r yi n t e n s i v e w eo n l ym e n t i o na ni n c o m p l e t el i s to fr e l a t e dw o r k s ( c 【2 5 】，【2 9 】， 3 3 】，【3 7 】，【4 5 】， 4 7 ， 6 4 ，【6 9 】，【7 1 】a n dt h er i c hr e f e r e n c e sc i t e dt h e r e i n ) f o r t h ec o n t r o ls y s t e m sg o v e r n e db yp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，g r e a tp r o g r e s sh a sb e e ni n a d e f o ra l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，a p p r o x i m a t ec o n t r o u a b i l i t yi se q u i v a l e n tt ot h eu n i q u ec o n t i n u a - t i o np r i n c i p l eo fa d j o i n te q u a t i o na n dn u l lc o n t r o l l a b i l i t yi se q u i v a l e n tt ot h eo b s e r v a b i l i t y i n e q u a l i t yo fa d j o i n te q u a t i o n i n 2 5 】，t h ea u t h o r sd i s c u s st h ec o n t r o l l a b i l i t yo ft h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a rp a r a b o l i ce q u a - t i o n ， l y t 一掣+ ，( g ，v 掣) = x 。t i nq ( 0 ，t ) ， ! ，( z ，t ) = 0 o na q ( o ，t ) ， i 掣( z ，0 ) = y o ( z ) i nq ， w h e r en 毋i sab o u n d e dd o m a i nw i t hs u i t a b l es m o o t hb o u n d a r y 御，d e n o t e st h e c h a r a c t e r i s