（运筹学与控制论专业论文）周期切换线性系统的稳定与镇定问题.pdf

摘要 混杂系统是一类复杂系统，由相互作用的连续动态和离散动态组成， 是当今控制领域研究的热点问题之一而切换系统作为一类重要的、比较常 见的混杂系统，近十年来随着计算机技术的迅速发展得到了广泛的应用 本文研究了线性周期切换系统在一定条件下的稳定和镇定问题利用 f l o q u e t 定理，得到了周期切换线性定常系统可镇定的充分条件，并且给出 在一定条件下系统存在着慢切换律和快切换律使周期切换线性定常系统可 镇定最后给出了周期线性时变切换系统指数稳定的充分必要条件；并且 通过在松弛变量条件约束下的线性矩阵不等式给出了在任意切换律下线性 周期时变切换系统的静态输出反馈镇定的充分条件 关键词：周期切换系统，镇定，指数稳定，f i o q u e t 定理 a b s t r a c t t h eh y b r i ds y s t e mi sac l a s so fac o m p l e xs y s t e m s ，i ti sc o m p o s e db yc o n t i - i l o u sd y n a m i ca n dd i s c r e t ed y n a m i cw h i c he f f e c te a c ho t h e r r e c e n t l y , i tb e c o m e st h e o n eh o t s p o ti s s u e so fc o n t r o lf i e l d a sa ni m p o r t a n ta n df a m i l i a rh y b r i ds y s t e m ，t h e s w i t c h e ds y s t e mg a i n st h em o r ee x t e n t i v ea p p l i c a t i o nw i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to f t h ec o m p u t e rt e c h n i q u e i nt h i sp a p e r ，t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n ds t a b i l i z a t i o no fl i n e a rs w i t c h e ds y s - t e r nu n d e rc e r t a i na s s u m p t i o n sa r em a i n l ys t u d i e d b a s e do nt h ef l o q u e tt h e o r y , s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rs t a b i l i z a t i o n t h e ni t i ss h o w e dt h a tt h e r ee x i s t s as l o ws w i t c h i n gr u l ea n df a s ts w i t c h i n gr u l et h a ts t a b i l i z et h ep e r i o d i c a l l ys w i t c h e d l i n e a rt i m e - i n v a r i a n ts y s t e m su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s a tl a s t ，n e c e s s a r ya n ds u f f i - c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o re x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi ft h ep e r i o d i ct i m e - v a r y i n gs y s t e m s a t i f i e sc e r t a i nc o n d i t i o n s i tp r o v i d e ss u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fs t a t i co u t p u tf e e d b a c k s t a b i l i z a t i o nf o rp e r i o d i c a l l ys w i t c h e dl i n e a rt i m e v a r y i n gs y s t e m sa c c o r d i n gt oan e w l i n e a rm a t r i xi n q u a l i t yw h i c hi sc o n s t r a i n t e dt oas l a c kv a r i a b l ec o n d i t i o n k e yw o r d s ：p e r i o d i cs w i t c h e ds y s t e m s ；s t a b i l i z a t i o n ；e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ； f l o q u e tt h e o r e m 第一章概论 本章主要综述线性周期定常和时变切换系统的发展及研究状况，分别 从两个方面介绍相应的预备知识并简要介绍了本文的主要工作和结构。 1 1周期切换线性定常系统的镇定 切换系统是一类极为重要的控制系统，它是由一系列连续时间子系统 利用一定的切换信号将它们联结而成的混杂动力系统许多系统在实际上 都是由几个依赖于各种环境因素的子系统通过切换得以实现，其应用非常 广泛这些子系统可以是连续的，也可以是离散的；切换律可能依赖于子 系统的时间或者状态近年来，切换系统这一领域受到广泛关注，也得到 了长足的发展1 1 - # 1 周期切换系统是切换系统的一类重要组成部分，关于它 的研究比较多。如文献【7 - 1 5 ，【1 8 - 2 0 】和( 2 3 - 2 4 镇定问题是切换系统的一个 重要课题，关于它的文献有很多，如文献【8 】利用离散化方法给出周期时变 切换线性系统全局镇定的充分条件文献【9 】9 利用公共二次l y a p u n o v 函数 给出了平面切换控制系统二次镇定的充分必要条件文献【1 2 】在能控性假 设下利用r i c c a t i 周期方程的解来研究周期系统的镇定问题但是，切换系 统的镇定问题仍然是一个未解决的问题，可直接检验的条件很少，所以在 以往很多文献中大都是假定所有子系统可镇定，能控等等一些条件 本章运用f l o q u e t 定理讨论了周期切换线性定常系统的镇定问题 考虑如下周期切换线性定常系统 x ( t o ) = x o a , x ( t ) + b l u , ， a 2 x ( t ) + b 2 乱2 ， a 。z ( ) + 毋钍，t 口一l + 1 t t 一 f2lo i | f z e f + + “如 一 一 t 丁 f f + + 如 “ 其中t ，= t o + t ，z 0 ) r “，啦r m ，a r n 。”恳r - 。”8 = 1 ，2 ，盯) 均为 常数矩阵a t 产t 。一t 为第i 个子系统的活动区间 定义2 1 2 2 1 矩阵a 称为稳定的，若a 的所有特征值都具有负实部 定义2 2 1 2 7 】矩阵4 称为s c h u r 稳定的，若a 的所有特征值都在单位圆 内 定义2 3 系统( 1 1 ) 称为可镇定的，如果存在一组常数矩阵琏0 = 1 ，2 ，仃) 使得切换系统在状态反馈控制地= k z 下是渐近稳定的 本文主要的工具是f l o q u e t 定理 1 0 l ，下面简要介绍该定理的内容 考虑线性时变系统 荆= 地。 ( 1 2 ) x ( t o ) = x o 其中z ( t ) 础，a ( t ) 舯。”是分段连续的有界函数，且以t 为周期，即 a ( t ) = a ( t + t ) 令m ( t ，t o ) 是系统( 1 2 ) 的状态转移矩阵，则有 ( a ) 垂0 + z t o + t ) = 西 ，t o ) ( b ) 存在满足p ( t + t ，t o ) = p ( t ，t o ) 的非奇异矩阵p ( ，t o ) 和常数矩阵q 使 得 烈，t o ) = p ( t ，t o ) e q ( 。一t o ) ( c ) l y a p u n o v 变换 4 t ) = p _ 1 ( t ，t o ) x ( t ) 把系统( 1 2 ) 变成线性定常系统 荆= q z ( 。) ，。t o ( 1 3 ) z ( t o ) = ：c o f l o q u e t 定理主要是通过l y a p t m o v 变换把一个周期线性时变系统转化为 周期线性定常系统因此，系统( 1 2 ) 的稳定性与系统( 1 3 ) 的稳定性是等价 的 2 令r = 币( o + t o ) 贝4 由( b ) r = p ( t o4 - 瓦t o ) e 印，即r = e q y 设k ，鲰( 后= 1 ，2 ，n ) 分别是矩阵q 和r 的特征根，则有肌= e 1 ”因 此若q 是稳定矩阵，则r 是s c h u r 稳定矩阵 由f l o q u e t 定理系统( 1 2 ) 指数稳定当且仅当q 是稳定矩阵或者说系 统( 1 2 ) 指数稳定当且仅当矩阵兄是s c h u r 稳定矩阵 注2 1 ：上述矩阵q 不一定是实矩阵若证明q 是复矩阵，则可以取 q 2 寺1 n 。+ 2 t ，。) 1 = 互z l n ( r 2 ) 使得q 为实矩阵这时a ( t ) 是以2 t 为周期 定理2 1 若存在增益矩阵k ，k r m 一( 待1 ，2 ，盯) ，使矩阵 q = i n 【血e ( + 且尬) 出 】 = l n e ( a ，+ b f ) b e ( 如一1 + 毋一1 k a 一1 ) t 口e ( a * + b i k x ) 1 】 是稳定矩阵，则系统( 1 1 ) 是可镇定的，且在状态反馈控制撕= 琢z 下是指 数稳定的 注2 2 ：定理中的k 可以取满足定理条件的任意矩阵，其中也可能是相 同的矩阵 推论2 1 若存在增益矩阵k ，k r m m ( i = 1 ，2 ，盯) ，使得矩阵 r ：而e ( + b i k e ) a t ， 一1 ( 1 4 ) =e ( a d + 毋虬) 一e ( j 4 a l + 岛一l 髓一, ) a t e - , e ( a , + b i k x ) a t , 是s c h u r 稳定矩阵，则系统( 1 1 ) 是可镇定的，且在状态反馈控制u ；= g , z 下，系统( 1 1 ) 是指数稳定的 定理2 2 若系统( 1 1 ) 至少有一个子系统可镇定，则存在充分大的t 和 相应的可镇定子系统的活动区间t ，使得切该换系统( 1 1 ) 可镇定，且在状 态反馈控制下是指数稳定的。 注2 3 线性定常系统的渐近稳定和指数稳定是等价的因此线性定常 系统可镇定，可以说存在增益矩阵k ( 常数矩阵) ，在状态反馈= k x 下， 系统是指数稳定的 3 定理2 3 若存在增益矩阵憋r ”( 常数矩阵) ，使( a ，+ b ，耳，) 砚+ ( a 。+ b 2 k 2 ) 0 2 + + ( 厶+ 毋昭h 是稳定矩阵，其中讯0 ( 江1 ，2 ，口) ，壹琅：i ， i = 1 则存在充分小的丁和每一个子系统的活动区间“，使得切该换系统( 1 1 ) 可 镇定，且在状态反馈控制地= 弼z 下是指数稳定的。 1 2周期切换线性时变系统的稳定与镇定 首先考虑如下线性时变切换系统 a ( 加：( ) ， a 2 ( t ) x ( t ) ， a ，( t ) z ( ) ， x ( t 0 1 = x 0 其中t 。= t o + t ，x ( t ) r “，a 。( ) r n “0 = 1 ，2 ，盯) 是连续可微函数 定义3 1 【2 2 l 系统( 1 5 ) 是指数稳定的，若存在正常数c ，y ，使得 f z ) f 一 2 仉 i l l 盯 盯 + + + 0 “ 幻 0 “ “ 一 一 一 t 玎 玎 十 + + o 幻 “ 缸 是s c h u r 稳定矩阵 定理3 2 在定理3 1 的条件下，若对任意的k = 1 ，2 ，盯，j = 1 ，2 ，盯 e ，似丁) d rf t l t ：ia j ( 枘= ：嘶) d rf t l k za k ( 州r 则系统( 1 5 ) 指数稳定当且仅当矩阵q 是稳定矩阵，其中 q = ；娄。俐打 ( 1 8 ) 另外若有a t 。= a t 。_ = a t 。= 吾，则系统( 1 5 ) 指数稳定当且仅当矩 阵 q = ；砉每酬打 。， 是稳定矩阵。 其次考虑如下线性周期时变切换系统 粥= 础) z ( 。) + b ( 洲。) 0 1 y ( t ) = c i ( t ) x ( t ) 其中状态变量x ( t ) r n ，输入变量u ( t ) r 一，输出变量v ( t ) r p a i ( t ) ，鼠( t ) ， a ( t ) 为相应维数的且以t 为周期的连续函数即对任意k z + ，t r + ( a 0 + k t ) ，鼠( + k t ) ，a 0 十k t ) ) = ( a i ( t ) ，b i 0 ) ，a ) ) 切换信号i ( t ) ：r + 一j ，其中有限集，= 1 ，2 ，) 假设4 ：c f ( k t ) = g ( o ) ：= c 孙均为行满秩矩阵 定义3 2 8 1 若存在一个正定函数y ( ，z ) ：r + r n r ，对系统任意的 z ( t ) ，存在一个切换信号i 和控制u ( t ) = 甄( t ) 秒( t ) 使得 型o t + 鼍( 幻+ 鼠( ) k ( t ) a ( t ) 】m ) o ，v 托脏川 则v ( k ，z ( 后) ) ：矿( 七) ( e n 文( 后) 野1 ) z ( 七) 定义为系统( 1 1 2 ) 的切换l y a p u n o v 函 数。 引理。d 2 6 jc s c h u r 补性质，对给定的对称矩阵s = ( 兰：兰：) ，其中研t 为方阵。以下三个条件是等价的： ( i ) 8 o ； ( i i ) & 1 0 ，s 2 2 s 墨s 膏s 1 2 o ； ( i i i ) 岛2 o ，v 瓴胙z 。， k g o = g o g i ，v i i 则在静态输出状态反馈下系统( 1 i 0 ) 是渐近稳定的，其中 k i = 巩k 。 8 ( 1 2 2 ) 咂嘶口鸣鲐秘 ，jliii- 第二章周期切换线性定常系统的镇定 本章主要运用f l o q u e t 定理讨论了周期切换线性定常系统的镇定问题 在系统满足一定条件时，得到了周期切换线性定常系统可镇定的充分条件 进一步的，给出在至少一个子系统可镇定的条件下存在着慢切换律使周期 线性切换系统可镇定最后证明了在一定条件下存在快切换律，使得周期 切换线性系统可镇定 2 1引言 切换系统是一类极为重要的控制系统，它是由一系列连续时间子系统 利用一定的切换信号将他们联结而成的混杂动力系统许多系统在实际上 都是由几个依赖于各种环境因素的子系统通过切换得以实现，其应用非常 广泛近年来，切换系统这一领域受到广泛关注，也得到了长足的发展1 1 - 6 i 周期切换系统是切换系统的一类重要组成部分，关于它的研究比较多。如 文献 a o - 1 2 ，f 1 8 - 2 0 和f 2 3 - 2 4 】镇定问题是切换系统的一个重要课题，关于 它的文献有很多，如文献【9 利用共同二次l y a p u n o v 函数给出了平面切换控 制系统二次镇定的充分必要条件文献【8 利用离散化方法给出周期时变切 换线性系统全局镇定的充分条件文献f 1 2 】在能控性假设下利用r i c c a t i 周 期方程的解来研究周期系统的镇定问题但是，切换系统的镇定问题仍然 是一个未解决的问题，可直接检验的条件很少，所以在以往很多文献中大 都是假定所有子系统可镇定，能控等等一些条件 本章的结构如下：第二节提出问题，第三节是主要结论。在系统满足一 定条件时，得到了周期切换线性定常系统可镇定的充分条件进一步的， 给出在至少一个子系统可镇定的条件下存在着慢切换律使周期线性切换系 统可镇定最后给出了在一定条件下存在快切换律使周期切换线性系统可 镇定 9 2 2问题的提法及基本概念 考虑如下周期切换线性定常系统 圣( ) = a l x ( t ) + b l u l ， a 2 x ( t ) + b 2 u 2 ， a ，x ( t ) + 0 “， z ( t o ) = x o 其中如= t o + t ，x ( t ) r n ，啦r m ，a r n 。n 鼠础m 0 = 1 ，2 ，口) 均为 常数矩阵a t 严t ；一t i - 1 为第i 个子系统的活动区间 定义2 1 1 2 2 l 矩阵a 称为稳定的，若a 的所有特征值都具有负实部 定义2 2 1 2 7 1 矩阵a 称为s c h u r 稳定的，若a 的所有特征值都在单位圆 内 定义2 3 系统( 2 1 ) 称为可镇定的，如果存在一组常数矩阵甄，使得切 换系统在状态反馈控制= 甄z 下是渐近稳定的 本文主要的工具是f l o q u e t 定理1 1 0 l ，下面简要介绍该定理的内容 考虑线性时变系统 荆= 删撕2 。 ( 2 2 ) x ( t o ) = x o 其中x ( t ) ，a ( t ) 础n 是分段连续的有界函数，且以? 为周期，即 a ( t ) = a ( t + t ) 令西( ，t o ) 是系统( 2 2 ) 的状态转移矩阵，则有 ( a ) 圣+ t o + t ) = 西( ，t o ) ( b ) 存在满足p 0 + z t o ) = p ( t ，t o ) 的非奇异矩阵p ( t ，t 。) 和常数矩阵q 使 得 圣也t o ) = p ( t ，t o ) e q ( t - t o ) 1 0 但 如 一 2 q = t e z + 卜 0 “ 幻 o “ “ 一 一 一 盯 盯 盯 + + + o 幻 n 缸 ( e ) l y a p u n o v 变换 z ( t ) = p 1 ( t ，t o ) x ( t ) 把系统( 2 2 ) 变成线性定常系统 荆= q z ( ) ，。 ( 2 3 ) z ( t o 、= x o f l o q u e t 定理主要是通过l y a p u n o v 变换把一个周期线性时变系统转化为 一个周期线性定常系统因此，系统( 2 2 ) 的稳定性与系统( 2 3 ) 的稳定性是 等价的 令r = 由( t o + l t o ) 则由( b ) r = p ( t o + t ，t o ) e 凹，即r = e q t 设k ，m ( 七= 1 ，2 ，礼) 分别是矩阵q 和r 的特征根，则有舰= e h t 因 此若q 是稳定矩阵，则r 是s c h u r 稳定矩阵 由f l o q u e t 定理系统( 2 2 ) 指数稳定当且仅当q 是稳定矩阵或者说系 统( 2 2 ) 指数稳定当且仅当矩阵r 是s c h u r 稳定矩阵 注2 1 ：上述矩阵q 不一定是实矩阵若证明q 是复矩阵，则可以取 q = 行1l n 眺。十2 t 山) 】- 刍l n ( 砰) 使得q 为实矩阵这时a ( t ) 以2 t 为周期 2 3主要结果 定理2 1 若存在增益矩阵弼，琏r m m 0 = 1 ，2 ，盯) ，使矩阵 q ：亍1 叫l a ie ( a + b i k t ) a t 4 】 = l n e ( 一十如) a t , e ( a 州+ 风一1 如一1 ) t e ( a 1 + 口1 k 1 ) 址1 】 是稳定矩阵，则系统( 2 1 ) 是可镇定的，且在状态反馈控制啦= k i z 下是指 数稳定的 证明：在状态反馈地= 尥z 下，系统( 2 1 ) 变成 ( a 1 + b 1 k 1 ) z ( ) ，t o + i t t t l + l t ， ( a 2 + b 2 k 2 ) 碱t l + i t k t 2 + i t , f - o ，1 ，2 ，t t 。 ( a ，+ b ，) z ) ，g - 1 + l t t t 。+ l t , 则对系统( 2 1 ) 镇定性的讨论转化为系统( 2 4 ) 的稳定性的讨论 对任意i = 1 ，2 ，盯，定义函数 鼽c 。= ：其t _ i - 它i + ，f t z 屯+ f t z = 。，z ， 令 a ( t ) = ( a 1 + b 1 k 1 ) p l ( t ) + ( a 2 + b 2 k 2 ) p 2 ( ) + + ( a ，+ b ，k j ) p 。( ) 则系统( 2 4 ) 可以写成 圣( ) = a ( ) 正( t ) ，t t o x ( t o ) = x 0 显然a ( 0 分段连续有界且以t 为周期，满足f l o q u e t 定理的假设条件 当t o t t 1 时，圣( ) = ( a 1 + b 1 k 1 ) x ( t ) ，此时 x ( t ) = e ( 1 + 口1j 研) o t o ) z o 当t 1 t t 2 时，2 ( t ) = ( a 2 + b 2 鲍) z ( ) ，此时 茁( ) = e ( a 2 + b 2 k 2 ) x ( t 1 ) = e ( a 2 十历鲍) ( t - - t 1 ) e ( a 1 + b 1 k t ) 1 x o 类似的，当t ，一- t t ，时，圣( t ) = ( a ，+ 毋虬) z ( t ) ，此时 e ( a a + b 一) ( t 一。一1 ) z ( t 。一1 ) e ( a 一十如) ( 一b - d e ( a 州+ 如一1 1 ) a tl e ( a l + 口1 凰) t 1 跏 1 2 ( 2 4 ) 则系统( 2 4 ) 状态转移矩阵 中( ，t o ) = e ( a 一+ b ，) o b 1 ) e ( a 一一1 + o 一1 。一1 ) 。a l e ( a i + b i k l ) 。l 由f l o q u e t 定理 q = = 于1i n 【圣( t o + z t o ) 】 ；l n 也e ( a i + b i k i ) a t i l n e ( 口+ b 口k o ) 一e ( 一一1 + 毋一1 一1 ) d 一1 e ( a 1 + 日1 k 1 ) 1 】 若q 是稳定矩阵，则系统( 2 4 ) 是指数稳定的也即若q 是稳定矩阵， 则系统( 2 1 ) 是可镇定的，且在状态反馈控制u i = 咒z 下是指数稳定的 口 注2 2 ：定理中的甄可以取满足定理条件的任意矩阵，其中也可能是相 同的矩阵 由r = e q ? ，上述定理等价为： 推论2 1 若存在增益矩阵托，甄r m 0 = l ，2 ，盯) ，使得矩阵 r ：f ie ( a ；+ b i k e ) a t - 仁1 ( 2 5 ) =e ( a ，+ 晶) 拓e ( 州+ 易一1 岛一1 ) t 州e ( a i + b i k l ) t l 是s c h u r 稳定矩阵，则系统( 2 ，1 ) 是可镇定的，且在状态反馈控制u 。= 甄z 下，系统( 2 1 ) 是指数稳定的 定理2 2 若系统( 2 1 ) 至少有一个子系统可镇定，则存在充分大的t 和 相应的可镇定子系统的活动区间& ，使得切该换系统( 2 1 ) 可镇定，且在状 态反馈控制下是指数稳定的 证明：分两种情况证明： ( i ) 若只有一个子系统可镇定，不妨假设第j 个子系统能镇定 则存在存在增益矩阵蟛( k j r m 。”是常数矩阵) ，在状态反馈吻= 巧z 下， 使第j 个子系统指数稳定，即矩阵如+ 易巧是稳定矩阵 1 3 对系统( 2 1 ) 取状态反馈= k j x ( i 一1 ，2 ，盯) ，则系统( 2 1 ) 变成 e ( t ) = ( a 1 + b l 心) 。0 ) ，t o + l t t t l + 1 t , ( a 2 + b 2 k j ) 碱。1 + f t 2 + f = o ，1 ，2 ，t 如 ： ( a 一十目蟛) z ( t ) ，t a - 1 + i t t t ，+ l t , x ( t o 、= x 0 ( 2 6 ) 由定理2 2 ，若r = e ( a 一+ 晶) 一e ( a + 岛一i k j ) a t e ( a i + b 1 k j ) a 。1 是s c h u r 稳 定矩阵，则系统( 2 6 ) 指数稳定，进而系统( 2 1 ) 可镇定 设矩阵a + 鼠巧的特征根是a m a 幽，a 讯g = 1 ，2 ，盯) 定义啦2 糊m a x ，。r e ，显然哟 0 对任意i = 1 ，2 ，仃，存在一个多项式风( t ；) ，使得 e ( 俩n j ) a t ij j 屈( 岛) e 啦“ 对一非负整数r ，考虑 i i r i i = l l e ( a - + b k i ) b e ( a a - l + 既一1 岣) a t e _ 1 e ( a l + b l 吩) 1 矿 j e ( a - + b o k j ) b 州i e ( 如一l + 岛一1 玛) 。1 旷l e ( a i + b i k j ) 2 1 旷 则j i 形| | i i 刷奴( z x t l ) f 1 2 ( a t 2 ) 艮( z x t 。垮e ( a l a t - 扣：a i z a - , 十。一址一p 由于唧 0 ，只要选择t 和吩充分的大就能使 兔( a t l ) 国( t 2 ) 艮( f ，) 】e ( n 1 。+ 。：z + + 。，b 1( 2 7 ) 因此。l i m 。= 0 即r 是s c h u r 稳定矩阵从而系统( 2 1 ) 是可镇定的 ( i i ) 若有两个以上的子系统可镇定，记为k 。，1 一 乏 l 仉 = e e “ + + 0 “ 如 t t v l 一 一 丁 四 盯 + + + d 幻 “ “ 本节讨论周期切换线性时变系统的稳定性在系统满足一定的条件时， 得到了周期切换线性时变系统指数稳定的充分必要条件，进一步的，给出 可交换和等时周期切换下周期切换时变线性系统指数稳定的充要条件 考虑如下线性时变切换系统 圣( 印= a t ( t ) z ( t ) ， a 2 ( t ) x ( t ) ， a ，( t ) z ( t ) ， x ( t o ) = x o 其中t 。= t o + t ，z ( t ) 础，a ( ) 舻“o = 1 ，2 ，盯) 是连续可微函数 定义3 1 【2 2 l 系统( 3 2 ) 是指数稳定的，若存在正常数c ，y ，使得 i z ( t ) l c i z o l e 一7 ( 一幻) ， v x o r ”， v t2t o 对于任意的i = 1 ，2 ，a ，对系统( 3 2 ) 作如下假设： 假设1 ：i l - 也( t ) lj k ( k 为常数) 假设2 ：a t o + t ) = a ( t ) 假设3 ：a ( t ) 与e 一，a i ( r ) a r ( t “) 可交换 定理3 1 在假设1 ，假设2 和假设3 条件下，系统( 3 2 ) 指数稳定当且仅 当矩阵 q ：i 。l n 【。j 乏，a 口( 下) 打e ：2a 口一一( r ) d r e j 0a - ( f ) 打】 ( 3 3 ) 是稳定矩阵 证明：对任意江1 ，2 ，o r ，定义函数 a ( 印： 1 岛一1 + 。t 一 乏 l 吼 i f l 皿珥 “ + + 0 “如 t “ “ 一 一v i t 盯 盯 + + + o 如“ 0 系统( 3 2 ) 可以写成如下系统 荆= 删碱“ f 3 4 ) z ( t o ) = z o 显然，a ( ) 是分段连续函数，假设1 保证a ( t ) 以t 为周期，而假设2 保证了a ( ) 的有界性因此系统( 3 6 ) 满足f l o q u e t 定理的条件 当t o t t 1 时，圣( f ) ：a 1 ( ) z ( t ) ，此时z ( ) ：e 丘 ，( r 胁 当t l t t 2 时，圣( ) = a 2 ( ) z ( t ) ，此时 z ( t ) ：e 丘a 2 ( r ) d r x ( t 1 ) ：e 丘a 2 ( r ) d r 。j ：一t 。la i ( r ) 打蛳 类似的，当t o _ 1 t t ，时，圣( ) = a ，( t ) z ( t ) ，此时 则 e 丘一。 ，一沙z ( “) e 一。a a ( d r e f 4 一- ，* a 一( r 陟e 启 ( r ) 打z 。 q = 扣西( t 山) 】= 1 n 【e 最- 圳打e 船划枷e 磨a l ( r ) d r 因此，由f l o q u e t 定理，结论得证 口 上述定理等价为： 推论3 1 在假设1 假设2 和假设3 条件下，系统( 3 2 ) 指数稳定当且仅 当矩阵 r ：e j 爱。a 一( r ) 打e 上2 一z ( r ) d r e a ，打) 打 f 3 5 1 是s c h u r 稳定矩阵 证明：由r = e q t 即得证口 对切换系统( 3 2 ) 并不要求每一个子系统都是稳定的，甚至可以要求每 一个子系统都不稳定，只要在上述假设条件下，适当选取t ；使q 是稳定矩 阵或r 是s c h u r 稳定矩阵，就能使系统( 3 2 ) 指数稳定 1 8 定理3 2 在定理3 1 的条件f ，看对任葸的k = 1 ，2 ，盯，j = 1 ，2 ，口 z ：。a t ( 丁) d r 。如( r ) 打= 。如( 下) d tf t i 1a k ( r ) d r 则系统( 3 2 ) 指数稳定当且仅当矩阵q 是稳定矩阵，其中 q = ；薹。酬打 ( 3 。) 另外若有a t l a t 2 一a t ，= 吾，则系统( 3 2 ) 指数稳定当且仅当矩 阵 q = ；薹z 每酬打 ， 是稳定矩阵 证明：因j 乏。a k ( r ) d r 与j 基。a t ( r ) d t 两两可交换，则( 3 5 ) 式可以写成 ( 3 6 ) 式；若a t 严等，则( 3 6 ) 式又可以写成( 3 7 ) 式由定理3 2 即得证 口 1 9 3 2线性周期时变切换系统的静态输出反馈控制 周期切换系统是切换系统的一类重要组成部分，关于它的研究比较多。 如文献【1 0 - 1 2 ，【1 8 - 2 0 】和【2 3 2 4 1 文献【1o 】利用f l o q u e t 定理给出了周期线性 定常切换系统指数稳定的充分必要条件控制问题是切换系统研究的一个 重要课题如文献 8 】在离散化的基础上，通过矩阵不等式研究周期时变切 换系统的全局镇定问题，并且给出切换律。文献【1 3 】通过切换l y a p u n o v 函 数分析了离散切换系统的反馈控制问题但是对于线性周期时变切换系统 的输出反馈控制研究却很少见到本节在文献【1 3 】的基础上，在一定条件 下通过松弛变量条件约束下的线性矩阵不等式来研究线性周期时变切换系 统的静态输出反馈镇定。 考虑如下线性周期时变切换系统 荆= 雠) 口( ) + 鼠( 州t ) y ( t ) = g ( t ) z ( t ) 其中状态变量x ( t ) r n ，输入变量x ( t ) r ”，输出变量v ( t ) r p a t ( ) ，蜀( ) ， a ( ) 为相应维数的且以t 为周期的连续函数即对任意k z + ，t r + ( a + k t ) ，鼠 + k t ) ，a o + k t ) ) = ( a ( t ) ，肠( ) ，a ( ) ) 切换信号 ( ) ：r + 一f ，其中有限集，= f l ，2 ，研 假设4 ：c ；( k t ) g ( o ) ：= c 孙均为行满秩矩阵 定义3 2 1 s 1 若存在一个正定函数v ( t ，z ) ：r 十r n r ，对系统任意的 z ( t ) ，存在一个切换信号i 和控制u ( t ) = k d t ) y ( t ) 使得 面o v + 瓦o v 【a ( t ) + 届( ) r i d t ) q ( 啦( t ) 州胙 慨均 则y ( 七，茹( 七) ) ：z t ( ) ( n 也( 七) 耳1 ) z ( 七) 定义为系统( 3 1 1 ) 的切换l y a p u n o v 函 引理s 纠冽c s c t m 补性质，对给定的对称矩阵s = s n 主i1 ，其中研- 为方阵。以下三个条件是等价的： ( i ) s 0 ； ( i i ) & 1 0 ，一观s 5 1 $ 1 2 o ； ( i i i ) 如 。 由引理3 2 ，可知 岛一( 五+ i g i c i o ) t 丐1 ( 五+ b d c i c i o ) s i 0 ( 3 2 2 ) 左右同乘s 1 野1 一( 五十豆i g i c i o ) r 写1 ( a i + & g i v i o ) 0 ( 3 2 3 ) 令只= 宵1 ，只= 耳1 ，则( 3 2 3 ) 式变成 只一( 五+ b i k i c i o ) t b ( a + b i k i g o ) 0 h 池+ t ) 。 由引理3 1 ，取v ( k ，z ( 七) ) = x t ( 奄) s 1 姒是) ) z ( 七) 作为系统( 3 2 0 ) 的切换l y a - p u n o v 函数，即闭环系统( 3 2 1 ) 是渐近稳定的，从而系统( 3 2 0 ) 在反馈控制 下是状态输出反馈可镇定的因此，当后一o 。时，x ( k t ) 一0 对系统( 3 8 ) ，在( k t , k t + 习上用c a u c h y 表达式表示以x ( k t ) 为初值的 系统的解对任意t ( k t ，( k + 1 ) t ) ，存在8 ( 0 ，t ) 使t = k t + s ，则有 x ( t ) = 巧1 ( t