（计算数学专业论文）带形状参数的bézier曲线曲面的研究.pdf

带形状参数的b 4 z i e r 曲线曲面的研究 摘要 本文对参数曲线曲面造型中的b 4 z ie r 曲线作了深入的研究，其中包括带形 状参数的代数三角t - b 6 z i e r 曲线和带形状参数的代数双曲的h b 4 z i e r 曲线 作者首先回顾了计算机辅助几何设计( c a g d ) 尤其是自由曲线曲面技术的发 展历程，并对b 6 z i e r 曲线作了介绍并且给出了论文的研究背景，着重叙述了带 形状参数的b e z i e r 曲线和代数三角，代数双曲的c b 6 z i e r 曲线，并对它们的优缺 点作了评述 然后，本文通过在代数三角函数和代数双曲函数上定义初始函数，运用积分 递归算法定义了n 阶带形状参数的t b 6 z i e r 基和h b 4 z i e r 基，这两组基具有 b e r n s t e i n 基相似的性质并根据这两组基定义了带形状参数的t b 4 z i e r 曲线 和h - b e z ie r 曲线形状参数可以在同一个控制多边形内调整曲线的形状随着 形状参数的增加，带形状参数的t - b 6 z i e r 曲线、h b 4 z i e r 将逼近控制多边形 带形状参数的t - b 4 z i e r 曲线、h - b 6 z i e r 具有b 6 z i e r 曲线许多良好的性质，能 够表示超越曲线，如悬链线，双曲线，螺旋线 此外，本文还得到带形状参数的t b 6 z i e r 曲线、h b 4 z i e r 曲线的升阶公式， 由此我们可以通过控制多边形的逐次升阶，最后逼近曲线同时还研究了这两类 曲线拼接时达到c 1 ，c 2 连续的条件，使这些形状参数在曲线的拼接时有着整体 和局部可调的作用进一步，作者把这两类基推广到张量积曲面，形状参数可以 很好的调整曲面的形状这些对计算机辅助几何设计有着重要的作用 作者相信给出的这两类带形状参数的b 6 z i e r 曲线为自由曲线曲面设计提供 了新的有力工具 关键词：自由曲线曲面，t b 4 z i e r 基，h - b 4 z i e r 曲线，曲线的升阶，形状参数 r e s e a r c h o nb 6 z i e rc u r v e sa n ds u r f a c e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r a b s t r a c t t h i st h e s i ss u m m a r i e so u rr e s e a r c h e s o nt h ep a r a m e t e rc u r v e sa n ds u r t a c e s m o d e l i n g t h et r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a lt - b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e ra n d t h eh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lh b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r a tf i r s t ，w er e v i e wt h eh i s t o r yo fc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，e s p e c i a l l y f r e ef o mc u r v e sa n ds u r f a c e s t h e nw ep r e s e n tt h eb 6 z i e rc u r v e si nb r i e fa n d t h e r e s e a r c hb a c k g r o u n do fa r t i c l e ，n a r r a t i n gb 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e ra n d t r i g o n o m e t r i ca n dh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lc - b 6 z i e r r e m a r k i n g o nt h e i re x c e 儿e n c e a n dd i s a d v a n t a g e a f t e r w a r d w eg e n e r a t et w oi n i t i a lf u n c t i o n so nt r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a ls p a c e a n dh y p e r b o l i cp o l y n o m i a ls p a c e t h eb a s i sf u n c t i o n so fn t ho r d e rt r i g o n o m e t r l c p o l y n o m i a lt - b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e rh y p e r b o l i cp o l y n o m i a lh - b 6 z i e r c u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e ra r ec o n s t r u c t e db ya ni n t e g r a la p p r o a c h t w on e w b a s i sf u n c t i o n sp r o v i d e sp r o p e r t i e sa n a l o g o u st ob e r n s t e i nb a s i s b a s e d o nt h e s e b a s i sf u n c t i o n s w ed e f i n et h et - b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r a n dt h e h b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r t h e nt h es h a p ep a r a m e t e rc a na d j u s t t n e c u r v e s ，s h a p ew i t ht h es a m ec o n t r o lp o l y g o n a st h ei n c r e a s eo ft h ep a r a m e t e r ，t h e t - b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r a n dt h eh - b 6 z i e rc u r v e s w i t hs h a p e p a r a m e t e ra p p r o x i m a t et ot h ec o n t r o lp o l y g o n ，t h et - b 6 z i e rc u r v e s w i t hs h a p e p a r 锄e t e ra n dt h eh b 6 z i e rc u r v e s w i t hs h a p ep a r a m e t e rh a v em a n yp r o p e r t l e s a n a l o g o u s t ob 6 z i e rc u r v e s ，a n dt h e y c a nr e p r e s e n tt r a n s c e n dc u r v e s ，s u c n a s c a t e n a r y 、h y p e r b o l aa n d h e l i x i na d d i t i o n ，t h i st h e s i sg a i nt h ee l e v a t i o nf o r m u l a eo ft h et - b 6 z i e rc u r v e sw l t h s h a p ep a r a m e t e ra n dt h eh b 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e r a c c o r d i n g t ot h e e l e v a t i o nf o r m u l a e ，w ep r o v et h ec o n v e r g e n c eo fc o n t r o lp o l y g o n sb ye l e v a t i o n a t t h es a m et i m ew er e s e a r c ho n c 1c 2c o n t i n u o u sc o n d i t i o n ，s ot h es h a p ep a r a m e t e 。 c a nh a v e1 0 c a lm o d i f i c a t i o n a n dh o l i s t i cm o d i f i c a t i o n o n c o n n e c t i n g t w o c u r v e s f u r t h e m o r e ，w eg e n e r a l i z et h e s et w oc u r v e s t ot h ec o r r e s p o n d i n gt e n s o r p r o d u c ts u r f a c e s s h a p ep a r a m e t e r c a na d j u s ts u r f a c ew e l l t h e s er e s e a r c h e s a r e i m p o r t a n ti nt h ec o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n w eb e l i e v et h a tn e wb 6 z i e rc u r v e sw i t hs h a p ep a r a m e t e rg i v e nw i l lb ean e w p o w e r f u lt o o lf o rf r e e f o r m c u r v e sa n ds u r f a c e s k e vw o r d s ：f r e ef b mc u r v e sa n ds u r f a c e s ；t - b 6 z i e rb a s i s ；h - b 6 z i e r c u r v e ；e l e v a t i o n o fc u r v e ；s h a p ep a r a m e t e r 插图清单 图1 1 带形状参数的三次b 6 z i e r 曲线4 图1 2 参数不同时的三次c b 6 z i e r 曲线5 图1 3 参数不同时三次h b 6 z i e r 曲线6 图2 1 两个初始函数( 22 一o 5 ) 8 图2 2n = 2 时的t - b 6 z i e r 基( 九2u 5 ) 9 图2 3n = 3 时的t - b 6 z i e r 基( 以2 2 ) 9 图2 4n = 4 时的t - b 6 z i e r 基( 以2 一1 ) 一9 图2 5n = 5 时的t - b 6 z i e r 基( 力2 一1 ) 1 0 图2 - 6n = 2 时的一簇t - b 6 z i e r 曲线1 2 图2 7凸包性13 图2 8曲线的升阶( 兄= 0 2 ) 1 4 图2 - 9( a ) 六个对称的闭控制多边形( b ) 六个对称的开控制多边形1 4 图2 1 0( a ) 椭圆弧( b ) 圆弧1 5 图2 1 1螺旋线。1 5 图2 12( a ) 参数相同时的曲线拼接( b )参数不同时的曲线拼接1 7 图2 1 3 名= o 5 时的曲线的c 2 拼接1 8 图2 1 4n = 2 ，五= 0 8 的二次曲面18 图3 1 两个初始函数( 彳= 一0 5 ，口= 1 ) 1 9 图3 2n = 2 时的h b 6 z i e r 基2 0 图3 3n = 2 时的h b 6 z i e r 基2 0 图3 4n = 3 时的h b 6 z i e r 基( 九2 1 , a t = 1 ) 2 0 图3 5n = 4 时的h b 6 z i e r 基( 以= - 1 , t r = 2 ) 2 1 图3 - 6咒2 2 ，口2 l ，名从1 到1h b 6 z i e r 曲线2 3 图3 7 2 z ，以2 - - 1 ，口从1 到9h b 6 z i e r 曲线2 3 图3 8凸包性2 4 图3 - 9曲线的升阶( 力= 一o 5 ，口= 1 ) 2 5 图3 1 0( a ) 六个对称的开控制多边形( b ) 六个对称的闭控制多边形2 6 图3 1 1( a ) 双曲线弧( 口21 ) ( b ) 双曲线弧( 口22 ) 2 7 图3 12悬链线2 7 图3 1 3( a ) 花瓶( 九2 一l ，口= 1 ) 2 8 图3 1 4 ( a ) 三段参数相同的拼接图3 1 4 ( b ) 三段参数不同的拼接2 8 图3 15c 2 连续曲线2 9 图3 1 6 口= 2 ，名= 1 时的二次曲面3 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得金坦王些太堂 或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学谴论文作者签名： 王乔兄l 虱 签字日期：) 甥年钿占日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒g 曼王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。 本人授权金目曼王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：王祝j 虱 签字目期：少8 年6 月8 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期啼6 电话； 邮编： 月y 日 致谢 本人在三年的硕士研究生课程学习和撰写学位论文的过程中，自始至终得 到了我的导师苏化明教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收 集资料、论文成稿，都倾注了苏化明老师的心血，由衷感谢苏化明老师在学业 指导及各方面所给予我的关心以及从言传身教中学到的为人品质和道德情操， 老师广博的学识、严谨的治学作风、诲人不倦的教育情怀和对事业的忠诚，必 将使我终身受益，并激励我勇往直前。 同时，真诚感谢数学系的全体老师，他们的教诲为本文的研究提供了理论 基础，并创造了许多必要条件和学习机会。 感谢所有的同学给予的帮助。 最后，要感谢审阅硕士论文和出席硕士论文答辩会的各位专家学者，感谢 他们在百忙中给予的批评指正。 作者：王耥凰 如曙年多月8 日 第一章绪论 1 - 1c a g d 概述 1 1 1c a d 技术 计算机辅助设计( c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ，c a d ) 是使用计算机系统协助产 生、修改、分析和优化设计的技术，包括二维绘图设计、三维几何造型设计、 有限元分析( f e a ) 及优化设计、数控加工编程( n c p ) 、仿真模拟及产品数据 管理等内容c a d 作为信息技术的一个重要组成部分，将计算机高速、海量数据 存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造思维能力结合起来，对加速工程 和产品的开发、缩短设计周期、提高质量、降低成本、增强企业竞争能力与创 新能力发挥着重要作用如果从美国麻省理工学院旋风l 号所配的图形系统算 起，c a d 的发展有5 0 年了经过5 0 年的发展，c a d 技术及系统的应用已经广泛深入 到国民经济的大多数设计和生产领域无论是军事工业还是民用工业，无论是建 筑行业还是制造加工业，无论是机械、电子、轻纺产品，还是文体、影视广告 制作都离不开c a d 技术可以说，c a d 技术是企业信息化的重要技术基础，是解放 和发展生产力的巨大推力 1 1 2c a d 的基础一一计算机辅助几何设计c a g d c a g d 是一门年轻而又迅速发展的新兴学科在1 9 7 4 年召开的u t a h 会议上， b a r n h i1 1 和r i e s e n f e l d 1 第一次使用了计算机辅助几何设计( c a g d ) 这个名词 从此，以几何造型方法为主体的c a g d 开始以一门独立的学科出现它的出现和发 展既是现代工业发展的需要，又对现代工业的发展起到巨大的推动作用它使几 何学从传统领域进入到数字化、标准化的信息时代，焕发出勃勃生机计算机辅 助几何设计以函数逼近论、计算数学、微分几何以及数据技术为理论基础 2 ， 主要研究在计算机图形图像环境下对曲线曲面的构造、逼近、插值、拟合、求 交和重建等原理和算法，核心问题是计算机表示，即既要能适合计算机处理， 又要方便有效地满足几何设计的需要内容主要分为三部分：( 1 ) 数字建模， 即如何构造、计算几何外形；( 2 ) 形状分析，包括曲面的奇性分析、凸性分析、 基于有限元的曲线曲面工程可用性分析等；( 3 ) 形状修正与变形，即在形状分 析的基础上修改模型，直至满足设计者的意图在c a g d 技术支持下，用户可以用 基本的数学知识，不必构造复杂的几何模型，快速而精确地完成二维甚至三维 几何图形的建构、修改与数据分析，得到需要的设计参数经过几十年的不断发 展，c a g d 理论不断深化，方法日益丰富，应用愈加广泛对c a d 技术来说，c a g d 是它的理论基础和关键技术之一，它的发展极大地影响者c a d 系统的技术水平 往往一种新的几何造型方法会引起c a d 技术的革命，如上世纪8 0 年代出现的参数 化实体造型方法，后来在9 0 年代几乎成为c a d 业界的标准 1 2 自由曲线曲面技术的发展及现状 曲线曲面的构造、表示和逼近是计算机辅助几何设计的主要任务要在计算 机内表示某工业产品的几何外形，其形状的描述应尽可能保持原产品的几何特 征，从计算机对形状处理、数据分析的角度来看，应满足以下条件 3 ： 1 唯一性：即由给定的条件确定的几何外形是唯一的，这是对形状数学描述 的首项要求： 2 易于定界：形状总是有界的，其数学描述应易于定界； 3 易于形状的修改和控制； 4 易于实现拼接，在某些节点或曲线段上要求连续； 5 几何直观； 6 算法简单易行： 7 统一性：能统一表示各种形状及处理各种情况，包括各种特殊情况 曲线曲面造型技术起源于二战时汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工 艺已知曲线曲面或能用数学方程表示出来的曲线曲面，我们称之为规则曲线曲 面，如圆、柱面、圆锥面，可以用隐函数或二次方程表示而不能用二次方程表 示出来的曲线曲面称之为自由曲线曲面实际上在日常生产生活中，我们碰到的 更多的是自由曲线曲面( f r e ef o r mc u r v e sa n ds u r f a c e s ) ，因此计算机辅助几 何设计的重要内容之一就是研究它们的几何形状与细分算法 自由曲线曲面造型技术诞生于5 0 年代最早由s c h o e n b e r g 4 于1 9 4 6 年提出 插值样条函数，以解决插值问题，构造参数连续的插值曲线曲面但真正奠定其 理论基础的是由c o o n s 、b 6 z i e r 等大师于二十世纪六十年代作出的如今经过四 十多年的发展，曲线曲面造型技术形成了以非均匀有理b 一样条 ( n u b s ：n o n - u n i f o r mr a t i o n a lb - s p l i n e ) 参数化特征设计( p a r a m e t e r i z e da n d c h a r a c t e r is t icd e s ig n ) 和隐式代数曲线曲面表示这两类方法为主体，以插值 ( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的 几何理论体系 5 现在就让我们回顾一下它的几个重要发展阶段： 1 9 6 3 年美国波音( b o e i n g ) 飞机公司的福格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线 曲面表示为参数的矢函数方法他最早引入参数三次曲线，使用( 1 ，t ，t 2 , t 3 ) 为基函 数，构造了由四个角点的位置和两个方向的切矢量定义的f e r g u s o n 双三次曲面 片( 6 、 7 ) 在此之前，曲线的描述一直是采用显式的函数y = y ( x ) 或隐方程 f ( x ，y ) = 0 的形式，曲面描述也是采用z = z ( x ，y ) 或f ( x ，y ，z ) = 0 形式福格森采用 的自由曲线曲面参数形式的表示方法具有几何不变性、易于坐标变换等优点 从此曲线曲面的参数形式成为形状数学描述的标准形式 1 9 6 4 年，美国麻省理工学院( m a s s a c h u s e t t si n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y ) 的机械工程教授孔斯( c o o n s ，1 9 1 2 - 1 9 7 9 ) 8 在给国防部的技术报告中引进了超 限插值这个全新的数学概念，按照一定的连续阶要求把若干个较小的曲面片拼 接成所要设计的曲面，其边界线可以是具有一定连续阶的任何曲线1 9 6 7 年，孔 斯进一步推广了他的思想 9 在计算机辅助几何设计实践中，应用最多的是 c o o n s 双三次曲面片它与f e r g u s o n 双三次曲面片都存在形状控制与拼接的问 题，区别仅在于它将角点扭矢由零矢量改为非零矢量 法国雷诺( r e n a u l t ) 汽车公司的工程师贝塞尔( b 6 z i e r ) 于1 9 7 1 年提出了一 种由控制多边形定义曲线的方法贝塞尔方法简单实用，设计员只要移动控制顶 点就可修改几何形状以此为基础，贝塞尔在雷诺公司建立了自由曲线曲面设计 系统( u n i s u r fc a d ) ( 1 0 、 1 1 、 1 2 ) 最初贝塞尔提出的曲线表达式是： p ( f ) ：主( 力o 1 ( 2 6 ) 其中4 吐剃= ( “f - l 沪。o 灿) 一( f = 1 ，2 ，n ) ，i = o ，i = 计1 时4 _ l 州= o ( 5 ) 线性无关性： 甜( f ) ，“。( f ) ，“删( f ) ) 线性无关 证明： 先给出一个线性组合。( f ) - - 0t e o ，争 ( 2 7 ) i - - 0 一 当t = 0 时，u o n ( f ) = 1 ，“( f ) = o ( i = 1 ，2 ，以) 故= 0 对( 2 7 ) 式求i 阶导数，i = 1 ，2 ，咒由性质( 3 ) 得= 0i = 1 ，2 ，n 1 0 即缸嘶( f ) ，。( f ) ，“。( f ) ) 线性无关 ( 6 ) 正性： u i , n ( f ) 0 ，0 o ，, n 0 ( i = 1 ，2 ，n 一2 ) n 2 “( n - 小1 ) 0 、，尸、a o 以“柚( 多n - 2 , n - l u o , l ( o ) n 2 州o ) = - g t + 1 ) 面s i n h a t “嬲( o ) = 4 ，1 4 2 皖2 。一2 色- 1 n - l u l ，1 ( o ) u l , 1 7 ( o ) = i ：= _ 忑- 1 ：“，。7 ( 口) = o ，= o ，1 ，2 ，行一f 一1 ( 3 4 ) ( 4 ) 求导公式： “蜜( f ) = 4 1 u ( k - i ! l ( 0 - 4 加le 飞( k 川- i ( f ) ，i = 0 , 1 2 ，咒，k 1 ( 3 5 ) 其中“。_ = ( h - 1 ，o 灿) 1 ( f = 1 ，2 ，行) ，i = 0 ，f = ，z + 耐“2 0 ( 5 ) 线性无关性： 。( f ) ，“。( f ) ，“ ( f ) ) 线性无关 证明：先给出一个线性组合 “咖( f ) = ot e o ，口】 ( 3 6 ) 当t = o 时，u o , n ( ) = 1 ，u i , n ( f ) = o ( i = 1 ，2 ，刀) 故a o = 0 然后对( 3 6 ) 式求i 阶导数，i = 1 ，2 ，挖由性质( 3 ) 得= 0 ， f = 1 ，2 ，z 即 “。，。( f ) ，“。( f ) ，“m ( f ) ) 线性无关 ( 6 ) 正性： u l n ( f ) o ，f 0 ，口 0 i ，z ，以2 证明：由公式( 3 2 ) ，u o “, n _ 1 ( f ) = ( 一1 ) ”n 8 0 加l a o 加2 a o ，l u o 1 ( f ) “。( n 。- d o ) = 皖- l , n - i 哦一2 。一2 4 1 1 ( f ) “譬”( f ) - a f “0 l ( t ) - b i u l 1 ( f ) a f 岛 0 ，i = 1 ，2 ，z 一1 a i , 匆是关于参数名，口的函数 2 1 ( i 。- - ”( f ) ，以：1 ( f ) 在f o ，口 上显然有一个零点 由于啦1 ) ( o ) 啦! ) ( 功= 嘲( 1 删2 s i n h a ! 云 o ( i = 1 ，2 ，n ) 从而u i 。( f ) o ，0 f k + l 时，即可计算满足c 连续的条件其中 3 5 带形状参数的h b 6 z i e r 曲面 宴义3 3 ：设有( m + 1 ) ( n + 1 ) 个点向量 p i 翟伽，u i , m ( j ) ，“伽( f ) 为带形状参数 的n b 6 z i e r 基，则与其相应的张量积曲面 p ( s ，f ) = 只j u l m ( 5 ) “加( f ) ，s ，f o ，刎，口( o ，) i = 0j = o 称为 o ，口】 0 ，a r _ k m n 次带形状参数的h b 6 z i e r 曲面，见，称为控制顶 点，坼用( j ) ，u j 。( f ) 为带形状参数的h b 6 z i e r 基 。 利用带形状参数的h b 6 z i e r 基的性质可推导出带形状参数的h b 6 z ie r 曲面 具有与带形状参数的h b 6 z i e r 曲线极其相似的几何性质 图3 16 口= 2 ，五= 1 时的二次曲面 3 6 小结 本章构造出了n 阶代数双曲多项式上的带形状参数的i t - b 6 zie r 基的一般公 式，并探讨了其性质在此基础上定义了带形状参数的i i - b 6 zie r 曲线，考察了它 的性质以及升阶与拼接条件它有着与b 6 z ie r 曲线类似的很多良好性质本文 方法还可以生成n 次b 6 zie r 曲线附近的不同曲线随着形状参数取值的改变，可 以调整曲线的形状带形状参数的h b 6 zje f 曲线还可以可以精确表示一些超越 曲线，因此它具有广泛的实际应用价值 第四章总结与展望 4 1 全文总结 本文通过给出满足如下条件的两个初始函数， ( 1 ) 1 ( 口) = 0 ，“】1 ( o ) = 0 ； ( 2 ) u u ，满足对称性 运用积分递归算法给出了n 阶带形状参数的类似b e r n s t e i n 基的t - b 6 z i e r 基和h b 6 z i e r 基由这些基构造出类似的b z i e r 曲线具有b 6 z i e r 曲线的诸多 性质还可以精确表示超越曲线形状参数的修改很大程度上调整了曲线的形状， 同时还给出了这类基函数的升阶公式和拼接公式，可以通过对控制多边形的逐 次的升阶，使之越来越接近曲线，给出了这类曲线的达到c 连续的一般条件并 推广到了张量形式的b 4 z i e r 曲面，得到了一定的曲面修改的效果 4 2 今后工作展望 从本文开展的研究内容和所取得的结果可以看出，还有一些问题有待于继 续深入研究 ( 1 ) 对本文所提出的t - b 6 z i e r 基和h b z i e r 基我们可以迸一步讨论其细分 公式，对这组基构造的t - b e z i e r 曲线和h b 6 z i e r 曲线，我们可以进一步 讨论其通过已知点的条件，对形状参数兄，口，可以讨论形状参数对这些基 和曲线的影响 ( 2 ) 本文提出的是带形状参数的代数三角和代数双曲上的类似b e r n s t e i n 基 的一般公式，能不能给出在1 3 阶三角空间和双曲空间中的带形状参数的 类似b e r n s t e i n 基的一般公式，有待于进一步探讨 参考文献 【1 b a m h i l l ，r e ，a n dr i e s e n f e l d ，r f ，c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i c d e s i g n ，a c a d e m i cp r e s s ，19 7 4 2 苏步青，计算几何的兴起 j 】自然杂志，1 9 7 8 ，7 ：4 0 9 - - 4 1 2 3 】m o r t e n s o n ，m e g e o m e t r i cm o d e l i n g ，j o h nw i l e y & s o n s ，1 9 8 5 4 】s c h o e n b e r g ，i j ，c o n t r i b u t i o n st ot h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t i o no fe q u i d i s t a n t d a t ab ya n a l y t i cf u n c t i o n j ，q u a r t ，a p p l i e d m a t h e m a t i c s ，4 ( 19 4 6 ) ，4 5 - 9 9 ，1 1 2 1 4 1 5 】王国瑾，汪国昭，郑建民，计算机辅助几何设计 m ，北京，高等教育出版 社，2 0 0 1 【6 f e r g u s o n ，j c ，m u l t i v a r i a b l ec u r v ei n t e r p o l a t i o n m ，r e p o r tn o d 2 2 2 5 0 4 ，t h e b o e i n gc o ，s e a t t l e ，w a s h i n g t o n ，19 6 3 7 f e r g u s o n ，j c ，m u l t i v a r i a b l ec u r v ei n t e r p o l a t i o n j ，j o u r n a l a c m ，11 ( 1 9 6 4 ) ，2 2 1 2 2 8 8 】c o o n s ，s a ，s u r f a c e sf o rc o m p u t e r a i d e dd e s i g no f s p a c e m ，f i g u r e s ，m i t p r o j e c tm a c t r 一2 5 5 ，j u n e ，19 6 4 9 c o o n s ，s a ，s u r f a c e sf o rc o m p u t e ra i d e dd e s i g no fs p a c ef o r m s j ，m i tp r o j e c t m a c t r 4 1 ，j u n e ，1 9 6 7 1 0 b6z i e r ，p ，n u m e r i c a lc o n t r o l ：m a t h e m a t i c sa n d a p p l i c a t i o n s m ，j o h n w i l e ya n ds o n s ，n e wy o r k ，1 9 7 2 1 1 】b 6 z i e r ，p ，m a t h e m a t i c a la n dp r a c t i c a lp o s s i b i l i t i e so f u n i s u r f j ，c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，i n ：b a r n h i l l ，r e a n d r i e s e n f e i d ，r e ，e d s ，a c a d e m i cp r e s s ，n e wy o r k ，1 9 7 4 ，1 2 7 - 1 5 2 1 2 b e z i e r ，p ，t h em a t h e m a t i c a lb a s i so ft h eu n i s u r fc a d s y s t e m ，b u t t e r w o r t h s ，e n g l a n d ，1 9 8 6 13 g o r d o n ，w j a n dr i e s e n f e l d ，r f b e r n s t e i nb e z i e rm e t h o d sf o r t h e c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g no ff r e e f o r mc u r v e sa n ds u r f a c e s j ，j o u r n a l o fa c m 1 9 7 42 1 ：2 9 3 3 1 0 14 f o r r e s t ，a r i n t e r a c t i v e i n t e r p o l a t i o n a n d a p p r o x i m a t i o nb y b e z i e r c u r v e j ，t h ec o m p u t e rj o u r n a l ，1 9 7 2 ，1 5 ( 1 ) ：7 1 - 7 9 15 f a r i n ，g a l g o r i t h m sf o rr a t i o n a lb e z i e rc u r v e s ，c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ， 19 8 3 ，15 ( 2 ) ：7 3 7 7 16 b a l l ，a a ，c o n s u r f ，p a r t1 ：i n t r o d u c t i o nt oc o n i cl o f t i n gt i t l e j ，c o m p u t e r a i d e dd e s i g n ，6 ( 19 7 4 ) ，2 4 3 2 4 9 17 】f o r r e s t ，a r ，t h et w i s t e dc u b i cc u r v e ：ac o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n 3 2 a p p r o a c h ，c o m p u t e ra i d e dd e s i g n ，1 2 ( 1 9 8 0 ) ，1 6 5 1 7 2 【18 】p i g e l ，l ，r e p r e s e n t a t i o no fq u a d r i cp r i m i t i v e sb yr a t i o n a lp o l y n o m i a l s j ， c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ，2 ( 1 9 8 5 ) ，1 5 1 1 5 5 1 9 】常庚哲、吴俊恒，贝齐尔曲线曲面的数学基础及其计算 m ，北京航空 学院科学研究报告，b h b 3 8 1 ，1 9 7 8 2 0 】c h a n g ，g z b e r n s t e i np o l y n o m i a l sv i at h es h i f t i n go p e r a t o r j ，a m e r i c a n m a t h e m a t i c a lm o n t h l y ，1 9 8 4 ，9 1 ：6 3 4 6 3 8 2 1 苏步青，论b e z i e r l 抽线的仿射不变量 j 】，计算数学，2 ( 1 9 8 0 ) 2 2 刘鼎元，平面n 次b e z i e r l 抽线的凸性定理 j 】，数学年刊，1 9 8 2 ，3 ( 1 ) ： 4 5 5 5 【2 3 】刘鼎元，胡康生，b e z i e r 曲面拟合 j 】，应用数学学报，1 9 8 4 ，7 ( 2 ) ：2 5 0 - 2 5 6 2 4 汪国昭，沈金福，有理b e z i e r 曲线的离散和几何性质 j 】，浙江大学学报， 19 ( 1 9 8 5 ) ，1 2 3 13 0 2 5 汪国昭，b e z i e r l i l j 线曲面的离散求交方法，浙江大学学报，计算几何专 辑，1 9 8 4 ，1 0 8 1 1 9 2 6 汪国昭，有理b e