（运筹学与控制论专业论文）迷向体的存在性唯一性及性质研究.pdf

摘要 凸体几何是现代几何学的一个重要分支迷向体是凸体几何的主要研究对象之 一 本硕士论文以迷向体的存在性，唯一性为主要研究内容，此外对p y t h a g o r s 在 j o h n 基上的情形也做了一定的研究全文共分四章首先在第一章第一节介绍了凸 体几何的发展历史和研究概况，以及国内外数学工作者在凸体方面和迷向体方面所 取得的主要研究成果其次介绍了我们所做的一些结果 第二章，利用对称算子和仿射变换的方法，对任一凸体kcr 竹直接证明了存 在的仿射变换象露，使得蟊是迷向体，即迷向体的存在性另外，作为方法的 应用，证明了迷向体的唯性 第三章，介绍了迷向体的迷向常数，以及与迷向体相关联的s y l v e s t e r 问题， b i n e t 惯量椭球问题和b u s e m a n n - p e t t y 问题 最后一章，我们建立了j o h n 基上的一组p y t h a g o r s 不等式1 9 6 0 年，f i n e yw j 在标准正交基上建立了一组关于凸体混合体积的p y t h a g o r s 不等式，我们把这组 不等式推广到了j o h n 基上，得到了j o h n 基上关于凸体的一组p y t h a g o r s 不等式， 并建立了l 一弦函数的p y t h a g o r s 不等式 作者的主要工作是：1 。用仿射变换的方法直接证明了迷向体的存在性与唯一 性；2 。建立了j o h n 基上的一组p y t h n g o r s 不等式 关键词：凸体，迷向体，迷向常数，仿射变换 a b s t r a c t i i c o n v e xg e o m e t r yi sa l li m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e mg e o m e t r y i s o t r o p i cb o d i e sa r e o n eo fm a i ns t u d yo b j e c t so fc o n v e xg e o m e t r y t h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o nm a i nr e s e a r c h e st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sp r o p e r t i e s o fi s o t r o p i cb o d i e s ，m o r e o v e r ，p y t h a g o r si n e q u a l i t i e sf o rc o n v e xb o d i e so nj o h nb a s i sa r e d i s c u s s e d t h ea r t i c l ef a l l si n t of o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r y o fc o n v e xg e o m e t r y , t h eg e n e r a la s p e c to ft h e8 t u d y , a n dt h ei m p o r t a n ta c h i e v e m e n ti nt h e 缸l do fc o n v e xg e o m e t r ya n di s o t r o p i cb o d i e sb yt h em a t h e m a t i c i a n sa l lo v e rt h ew o r l d f u r t h e r s o m er e s i l l t sa r ee s t a b l i s h e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ef i r s tu t i l i z et h em e t h o do fs y m m e t r i co p e r a t o ra n da f f i n e t r a n s f o r m a t i o n ，f o ra na r b i t r a r yc o n v e xb o d ykcr n ，i ti sp r o v e nd i r e c t l yt h a tt h e r e e x i s t sa 庙1 1 2 et r a n s f o r m a t i o ni m a g eko fki si s t r o p i c 。o rt h a ti ti 8i nt h ei s t r o p i cp o s i t i o n f u r t h e r ，a sa p p l i c a t i o n so fo u rm e t h o d s ，w ep r o v et h a tt h ei s o t r o p i cb o d yi su n i q u e i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h ei s o t r o p i cc o n s t a n to f i s o t r o p i cb o d i e s ，c o n n e c t i o n w i t hs y l v e s t e r sp r o b l e m b i n e te l l i p s o i do fi n e r t i aa n dc o n n e c t i o n 谢t hb u s e m a n n - p e t t y s p r o b l e m i nt h el a s tc h a p t e r ，w ee s t a b l i s hs o m ep y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e sf o rc o u v e xb o d i e s o nj o h nb a s i s i n1 9 6 0 ，w j f i r e ye s t a b l i s h e dp y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e sf o rt h em i x e d v o l u m e so fc o n v e xb o d i e so na no r t h o g o n a lb a s i s ，w ee s t a b l i s hp y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e s f o rc o n v e xb o d i e so nj o h nb a s i sa n dp y t h a g o r e a ni n e q u a l i t i e sf o rt h e - c h o r df u n c t i o n t h ea n t h e r sr e s u l t sm a i n l y ：1 。u t i l i z l i n gt h em e t h o do fa f f i n et r a n s f o r m a t i o n t h e e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sp r o p e r t i e so fi s o t r o p i cb o d i e sa r ep r o v e dd i r e c t l y ；2 。p y t h a g o r e a n i n e q u a l i t i e sf o rc o n v e xb o d i e so nj o h nb a s i sa r ee s t a b l i s h e d k e y w o r d s ：c o n v e xb o d i e s ，i s o t r o p i cb o d i e s ，i s o t r o p i cc o n s t a n t ，a f f i n et r a n s f o m m - t i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 繇粕蓐魄2 0 0 t 0 6 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名奶辱导师签 期：2 0 0 7 0 6 矽 第一章绪论 1 1 学科综述 本硕士论文的选题源自于导师何斌吾教授主持的国家自然科学基金项目：“超 球截函数与b o u r g a i n 问题”( 批准号，1 0 6 7 1 1 1 9 ) 它的研究对象是迷向体，属于 凸体几何这个领域凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个 重要分支，它是以微分几何、泛函分析，偏微分方程，点集拓扑为基础的现代几何 学 凸体几何起源于1 9 世纪末和2 0 世纪初，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出 的奠基者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和 w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 在随后的几十年中，凸体几何理论发展迅速，一些经典的古老问题陆续得以解决， 新的富于挑战性的问题大量产生在这个过程中，它与数学的其他学科，如泛函分 析，群论、代数拓扑结合，产生了许多新的富于魅力的数学分支，其中最引入注目 的是它与泛函分析结合的产物一b a n a c h 空间的局部理论，这被认为是现代国际数 学研究的主流方向之一j b o u r g a i n 运用几何分析的局部研究理论，彻底解决了凸 体几何的一些经典难题，并因此获得了1 9 9 4 年的f i e l d s 奖1 9 9 9 年国际数学家大 会报告者m i l m a n 运用凸体渐近理论研究凸体之间的逼近问题，成绩斐然 国内，2 0 世纪8 0 年代，杨路教授，张景中院士借用距离几何方法和计算机辅 助证明，在凸体几何的高维几何不等式与几何极值、初等图形的嵌入等方面作了许 多开创性的工作( 见【7 5 ，7 6 ，7 7 ，刚) ，获得了国际数学界的广泛好评9 0 年代，冷岗松 教授取得了一系列有意义的结果( 见 4 0 ，4 1 ，4 2 ，4 4 】) ，其中彻底解决了单纯形内的最大 超平行体的体积估计问题，被著名数学家v k l e e 教授评价为是对“这领域的实质 性的贡献” 经典凸性的核心在于包括m i n k o w s k i 混合体积理论的b r u n n - m i n k o w s k i 理论成 为理想的研究体系b r u n n - m i n k o w s k i 理论起源于1 8 8 7 年hb r u n n 的论文和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集 了当时已出版的主要结果它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何，主 要是由s t e i n e r ，b r u n n ，m i n k o w s k i ，a l e x s a n d r o v ! h a d w i g e r 3 1 ，p e t t y 5 8 ，5 9 ，6 0 ，6 1 ，6 2 】和 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文2 s c h n e i d e r 6 9 ，7 0 ，7 1 】等著名数学家逐渐发展起来的一个学科它的主要内容是：等周 问题【6 5 ，6 6 ，混合体积理论，表面积测度【4 3 j ，投影体理论和均质积分【2 9 1 最核心的 定理是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式：设a 和b 是舻中的紧集，则 v ( o a ) a + a b ) ：( 1 一a ) y ( a ) ：+ a y ( b ) ：，v a 【0 ，1 】 由于它基本的几何内涵，它被认为是b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，最经典的参考 书是r s c h n e i d e r 的专著【6 8 】b r u n n - m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加 ( 通常称为m i n k o w s b 加) 和体积联系起来，使得它渗透到各个数学领域，它是处理 各类涉及体积、表面积、宽度等度量关系难题的有力工具 经典理论的第一位代表人物是h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 - 1 9 0 9 ) ，出生于立陶宛 ( l i t h u a n i a ) ，后来在哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基 础上，证明了b r u n n - m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s l 【i 存在定理的凸体构造性 定理 经典理论的第二位代表人物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ， 他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h d 不等式和找到了一种研究椭 圆型偏微分方程新的几何方法【1 】此外还有w f e n c h e l ，b j e s s e n ，h l w y , 等等 随着对b a n a c h 空间( 尤其是它的几何理论) 研究的深入，上世纪末形成了个 被称为”b a n a c h 空间局部理论”的分支它是凸几何与泛函分析结合的最引人注目 的产物，通常也称为巴拿赫空间几何学，这一理论已成为现代国际数学研究的一个 活跃领域或主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法，并在后继的论文中运用 球面调和分析对孓维空间的凸体证明了类似的不等式，随后，h m i n k o w s k i 用球 面调和分析的方法证明了3 _ 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟了运用球面调和分 析研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 是 该方向的代表人物，他们开创了凸体渐近理论的研究，在凸体逼近研究中获得了大 量深刻的结果【5 3 ，5 4 ，他们合作的一篇关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名 论文 1o 是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p i s i e r 6 3 ，l i n d e n s t r a u s s 等在 该领域也作出了创造性的贡献它区别于经典的泛函分析理论，主要研究： ( a ) n 维赋范空间的几何量当n 趋于无穷时的情形 ( b ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空间的关系 b o u r g a i n 问题是b a n a c h 空间局部理论中最主要的公开问题，研究凸体迷向常 数上界的b o u r g a i n 问题一方面是当前国际几何泛函分析领域的热点问题之一，近 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 3 年来许多数学家( 包括何斌吾教授) 作了大量的工作；另一方面它作为“几何断层学 ”( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 的研究对象之一，在体视学( s t e r e o l o g y ) ，机器人学中的几何 探索( g e o m e t r i cp r o b i n gi nr o b o t i c s ) ，访晶学( c r y s t a l l o g r a p h y ) 和信息论等领域有着广 泛的应用此外，它也是力学迷向超弹性体( 如航空、航天器件) 结构、性能稳定性 研究的数学基础 1 2 研究课题和主要工作 本硕士论文共分四章，以迷向体的存在和唯性为重点研究内容，下面对各章 内容作一简要介绍 第一章，介绍本学科领域的发展概况和本文的主要工作 第二章，主要内容是介绍迷向体，给出了迷向体存在性，唯一性的相关证明 设耳是舯中个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = 丘7 如= 0 ) 的凸体( 具有 非空内点的紧的凸子集) 一个熟知的事实是( 见【5 2 】) ：存在唯一的线性变换具有 d e t ( ) = 1 ，使得对任意的单位向量t 铲，有 f c k ( z ，让) 2 出= l 奄 通常把数三k 称为k 的迷向常数，若变换是恒同映射，则称k 为迷向体，或者称 耳处于迷向位置 关于迷向体的存在性，通常是根据力学熟知的事实，利用惯量椭球予以说明 本章利用对称算子和仿射变换的方法，对任一凸体kcr n 直接证明了存在k 的 仿射变换象牙，使得露是迷向体，即迷向体的存在性另外，作为方法的应用， 证明了迷向体的唯性即有 定理1假设耳是r ”中一个体积为1 质量中心在原点的凸体，那么存在一个 可逆线性变换t g l ( n ) ，使得t ( k ) 是迷向的 定理2 假设k 是形中一个体积为1 质量中心在原点的凸体，定义： b ( k ) = i n f 二k 蚓2 d x ：t e s l ( n ) ， 那么，当且仅当 吲2 d x = b ( ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 4 时，硒是k 的一个迷向位置如果硒，配都是耳的迷向位置，则存在u d ( n ) 使得k 2 = v ( k 1 ) 注：此结果已被计算数学与应用数学学报录用 第三章，主要介绍了迷向体的迷向常数，以及与迷向体相关联的s y l v e s t e r 问 题，b i n e t 惯量椭球问题和b u s e m a n n - p e t t y 问题 第四章，建立了j o h n 基上的一组p y t h a g o r s 不等式1 9 6 0 年，w j f i n e y 在 标准正交基上建立了一组关于凸体混合体积的p y t h a g o r s 不等式，我们把这组不等 式推广到了j o h n 基上，得到了j o h n 基上关于凸体的一组p y t h a g o r s 不等式，并建 立了i 一弦函数的p y t h a g o r s 不等式 定理a 假设k = ，i ，e 1 ，e t i 是贮上的一组正交基，e 是单位向量那么 n u ( e ) 2 u 耳( e ) 2 ， ( 4 1 1 ) i = 1 这里w k ( e ) 表示耳在方向e 上的宽度 事实上，f i r e yw j 在 3 0 中建立了关于凸体混合体积的个更广义的p y t h a g o r s 不等式 定理b 假设置尼n ，i = 1 ，仃一1 ，e 1 ，是r n 上的一组正交基，e 是 单位向量那么 n v ( k 1 ，“【e 】) 2s v ( k t ， t = 1 这里【e 】表示方向e 上的单位线段 本章的首要任务是对f i r e y 不等式( 4 1 2 ) 的推广其结果是 定理1 ：假设尬”，i = 1 ，馆一1 ，若“1 ，是舻中的单位向量列， 。1 ，是正实数列且满足 c u o = 厶 ( 4 1 3 ) = 1 则对任何伊- 1 有 m v ( k t ，一1 ，m ) 2 q v ( k 1 ，厩- l ) 2 ( 4 1 4 ) i = 1 其中 “】表示在u 方向上的单位线段，等号成立当且仅当 ! 兰：兰! ! y ( 硒，一1 ， u 1 )：一 y ( 硒， 札。u n ，玩一1 ，【u n l ) 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文5 另外，作为方法的应用，本章建立了关于凸体的i 弦函数的一组毕达哥拉斯不 等式，其结果是 定理2 假设玩舻，若 e 1 ，e 。) 是舻上的一组正交基，且e 是单位向 量那么 p - x ，k ( e ) 2 p 一1 k ( q ) 2 ，( 4 1 5 ) i = l 这里p - 1 ，k ( e ) = p k ( e ) - 1 + p k ( 一e ) 一1 表示彤在方向e 上的一1 弦函数，p k ( e ) 表示 k 的径向函数 注：此结果已投m a t h i n q a p p l 杂志 第二章迷向体的存在性唯一性 本章中利用对称算子和仿射变换的方法，对任一凸体kcr “直接证明了存在 k 的仿射变换象面，使得i 是迷向体，即迷向体的存在性另外，作为方法的应 用，证明了迷向体的唯一性 2 1 引言 设耳是r “中一个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = f k - 才d x = 0 ) 的凸体( 具有 非空内点的紧的凸子集) 一个熟知的事实是( 见【5 2 1 ) ：存在唯一的线性变换西具有 d e t ( 咖) = 1 ，使得对任意的单位向量t 扩，有 厶p ，u ) 2 出= 工莨 通常把数l k 称为k 的迷向常数，若变换是恒同映射，则称为迷向体，或者称耳处 于迷向位置关于凸体的迷向位置，或迷向体的各种研究是b a n a c h 空间局部理论( 现 代几何分析) 中的重要课题之一，它与凸几何中的“超平面猜想。( h y p e r p l a n ec o n - j e c t u r e ) ，。单形猜想。( s i m p l e xc o n j e c t u r e ) ，力学中的惯量椭球及各种优化问题密切相 关近年来关于迷向体的研究许多科学家做了大量的工作( 见 1 1 ，1 3 ，1 6 ，2 2 ，2 7 ，3 3 ，4 9 ) 而关于迷向体的存在性，通常是根据力学熟知的事实，利用惯量椭球予以说明本 章利用对称算子和仿射变换的方法，对任一凸体kc 舯直接证明了存在k 的仿 射变换象牙，使得露是迷向体，即迷向体的存在性另外，作为方法的应用，证 明了迷向体的唯性我们有 定理1假设是r ”中一个体积为1 质量中心在原点的凸体，那么存在一个 可逆线性变换t g l ( n ) ，使得t ( k ) 是迷向的 定理2 假设k 是r ”中一个体积为1 质量中心在原点的凸体，定义： 那么，当且仅当 b ( ) = i 州二2 如：t s l ( n ) ) fi x l 2 d x ：酞卧 j k l 6 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 7 时，硒是k 的一个迷向位置如果所，鲍都是k 的迷向位置，则存在u o ( n ) 使得鲍= u ( 甄) 2 2 记号与背景材料 在这一节中我们约定通章中要用的一些记号我们的论域为一个具有规范内 积，记为( ，) ，和范数，记为h 2 = l z ，。) 1 2 = 蚓2z = ( 以) 警。r n 的n 维欧氏 空间，占雪= 伽眇i 川1 ，r 磁= 扣r “i r ) 分别表示n 维欧氏单位球和 半径为r 的n 维欧氏球t 7 如表示n 维l e b e s g u e 规范体积形式，使得 = v o l 。b 譬= 矿2 i r ( i + n 2 ) 值得注意的是；我们通常省略下标，假如维数n 通过上下文是清楚的，b 置和r b 分别简记为b ，和r b 我们分别用铲- 1 = o b 和r 铲一1 ；o ( r b ) 表示欧氏单位球面 和半经为r 的球面，用一1 ( = 口) 表示球面扩_ 1 上的l e b e s g u e 测度g l ( r “) 表示 酣中的可逆线性变换全体，表示向量z 的转置，岛0 = 1 ，2 ，n ) 表示标准正 交基，e 表示单位矩阵 在力学中一个经典的事实可陈述为：对r ”中任何一个紧子集蜀，存在唯一的 椭球，记为c = c ( k ) ，使得对任一轴“，k 与c 有相同的惯量矩椭球c 通常称为 k 的l e g e n d r e 椭球，因此，它被定义为满足下列等式的椭球 厶( 奶“) 2 如。丘( 茁，“) 2 d x 对任意的e r n ( 2 2 1 ) l e g e n d r e 椭球也可以由一个实对称正定矩阵引入，即在舻中一个nx 礼阶实对称 正定矩阵a 生成一个椭球，记为占( a ) ，它被定为 ( a ) = $ r1 ( z ，a x ) 1 ) ， 这里( z ，a x ) 表示舭中欧氏空间中的标准内积 对于一个星形集( 关于原点) kcr “它所产生的l e g e n d r e 椭球c ( k ) 由矩阵 【m i j ( k ) 一生成这里 m 巧( k ) 2 赢瓦上( e l z ) ( e j , x ) d z ， ( 2 。2 2 ) e 1 ，e 。表示础的标准正交基 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文8 一个舻中的凸体k 被称为迷向体，或处于迷向位置，这意味着k 的质心在原 点体积为1 ，且存在正常数l k ，被称为k 的迷向常数，使得对任一单位向量“扩一1 有 z ，t ) 2 d x = l 斋， j k 或者等价地，k 的l e g e n d r e 椭球c ( k ) 相似于一个欧氏球且v o l k = 1 一个明显事实是，对于任何一个体积为1 的凸体k ，都存在一个保体积的仿射 变换，使得它处于迷向位置因此l 是一个仿射不变量 一个重要事实【2 7 】是一个凸体耳是迷向体当且仅当对任一t s l ( n ) ，有 2 如j h h 2 出这里| - 1 是标准的欧氏范数 另一个重要的事实【1 6 是若是迷向的，则 n 磁2 厶卯c l x ( 2 删 注意到f 3 9 ，4 8 】若kcr n 是一个关于原点的星形，则对任一的咖e l ( n ) ，有 c ( 曲k ) = t i e ( k ) ， v o l 。( ( k ) ) v o l 。( k ) 2 3 迷向体的存在性 为了证明定理1 ，首先引入凸体迷向条件的等价性 定义设k c r ”是凸体且体积为1 ，其质量中心在原点若存在常数o t 0 ，对 任意的y r “，都有 r ，( 删) 2 d x = o t 2 l y l2 ， ( 2 3 1 ) j 则称k 为迷向体i 通常称等式( 2 3 1 ) 为凸体k 是迷向体的充要条件，简称( 2 3 1 ) 为凸体k 的迷 向条件，o t 称为迷向常数我们的主要结论是： 引理1 凸体k 的迷向条件( 2 3 1 ) 等价于下列3 个等式： ( i ) 上( z ，“) 2 如= a 2 ，v “酽- 1 ； 2 0 0 7 上海大学硬士学位论文 9 有 ( i i ) 设z 1 ，x 2 ，z 。为z 对应于某组标准正交基的坐标，对任意的i ，j = 1 ，2 ，n ( i i i ) 对任意的t l ( r ”) ，有 k x , x 3 d x = a 2 厶( z ，乳) 出= 以t 旧) ；， 这里t r t 是线性变换t 的矩阵的迹 陈巧云等【1 8 】给出了判定凸体k 是否为迷向体的上述4 个条件的等价性证明 注如果凸体k 满足上述迷向条件，那么 厶2 d x = 甜 下面给出定理1 的证明 定理1假设是”中一个体积为1 质量中心在原点的凸体，那么存在一个 可逆线性变换t g l ( n ) ，使得t ( k ) 是迷向的 证明首先定义线性算子如下t 任意的凸体kc 驴，vy 舯，线性算 子m ：r “一舯被定义为 ， m ( y ) 2 厶( 刚) z 如 ， 由于vy 】，y 2 秽，va 1 ，a 2 r 订( a 1y l + a 2y 2 ) = = ( 。，a 1y l + a 2y 2 ) x d x j 耳 = a z 上( 。，z 如+ a 。上( z ，抛) z 如 此说明m 是舯+ 舻的线性算子 m ( e i 、=( 而岛) z d x j k f z 滓妇 j 耳 = ( z i z l d x ， j k 令= & x i x j d x ( i ，j = 1 ，n ) f 磺妇 j k fw 。d x ) j k 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 则线性算子在标准正交基e 1 ，岛下的矩阵为： ，0 1 10 1 2 0 1 n ii m ：ln 2 1 吻i 1 l lj a n la n 2 a n n 又由于 | k 郴i 如= f k x # z 洳， 故m 为实对称矩阵 通常称矩阵m 为凸体k 的惯量矩阵 再证m 是正定的 事实上，vy = ( y l ，y n ) 0 ) y m y t = ( ，m y r ) = ( m t y ，y ) = ( m y ，y ) = ( 上( 舢) z 如，f ) = 上( 训) 2 如 o 由于m 是实对称正定矩阵，故由线性代数知，存在可逆矩阵p 使得 m ：p t p 即( p 一1 ) t m p 一1 = e 令霞；( p 一1 ) ? k ，缸= ( p 一1 ) t z ，则z = p t u ， x l = p l l u l + p 1 2 u 2 + + p l n u n x n 2 p n l “l + 鼽2 u 2 + + p n n 1 0 、，j m m m 一 鼽 m 砌 鼽 ，j。 = 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 从而得 1 妣d u n 2 【赤i 撕。d x n 厶胁 由定义，这说明面为迷向体 = f d e t p l - 1 ( ( p - 1 ) r $ ，们2 d x j k = i d e t p i _ 1 ( z ，p - 1 可) 2 d x = i d e t p l 一1 z ，p 一1 ) z 出，p 1 y ) j k = l d e t 引一1 ( m p y ，p 一1 口) = i 妣p i 一1 ( ，( p 一1 ) 7 m p 一1 y ) = i d e t p 一1l u l 2 迷向体的存在性得证 2 4 迷向体的唯一性 定理2 的证明 定理2 假设k 是豫“中一个体积为1 质心在原点的凸体，定义t b ( k ) _ i n f f t 汗出：t s l ( n ) ) ， 那么，当且仅当 上。2 妇= b ( 矾 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 时，所是的个迷向位置如果凰、鲍都是k 的迷向位置，则存在u o ( n ) 使得( 2 = u ( k 1 ) 证明( i ) 假设硒是k 的一个迷向位置，则由前面定理可知，存在n 0 ，对任 意的t l ( 舻) ，都有 厶。( z ，t x ) d z = 。2 ( 胛) ( 2 删 成立，这里t r t 是线性变换t 的矩阵的迹那么，对任意的t s l ( n ) ，我们有 2如=itxljtklj k l 2 如 ：，( z ，r t x ) d x j k l = a 2 t r ( t + t 1 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文1 2 这里显然有r t 是正定的，假设其特征值为a 1 ，a 2 ，k ，利用算术几何均值不等 式，得到 t r ( t t ) = a 1 + a 2 + + h 2n 够而忑 2n d e t ( t t ) 庐， ( 2 4 4 ) 所以，有 卯d x = a 2 t r ( t t ) j t k l 2n n 2 陋t ( 丁t ) 】； 2 2 2 上，i 。1 2 d x 即，如果甄是k 的个迷向位置，则有 厶。卯d x = b ( ) 成立特别地，在式子( 2 4 1 ) b ( k ) = i n f 二耳即d x ：t e s l ( n ) 中下确界就是最小值 ( i i ) 假设( 2 4 2 ) 厶。评d x = b ( k ) 成立，证明确是k 的一个迷向位置 如果式子( 2 4 4 ) 中取等号，即t r ( t t ) = n d e t ( t + t ) 一时，有r + t = ，那么 t 0 ( n ) 这就说明满足式子( 2 4 2 ) 的k 的另一个位置露是硒的一个正交象，因 此它是迷向的 ( i i i ) 最后，假设鲍是k 的另一个迷向位置，在证明( i ) 中蕴含恐满足式子 ( 2 4 2 ) 再由( i i ) ，对一些u o ( n ) ，我们就一定有鲍= 矿( 尬) 如果k 是上述最小值问题的一个解，我们还可用下面简单的变分论证k 是迷 向的 令t l ( r “) ，对任意小的e 0 ，i + e t 是可逆的，于是( i + s t ) d e t ( i + e t ) 1 “ 保持体积不变因而 肌2 “乞鼯k 2 如阻“h t r ) 1 1 ，“ 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文1 3 而 又 = 上l 瓣z 1 2 出 = f 1 ( i x 、+ e t x 2 c t ) 2 一n 出， 陋+ 打圳2 = 和+ t o ，$ + 砌) = 1 2 1 2 + 2 e 和，t x ) + o ( e 2 ) 【6 姚( ，+ 朗) 】2 加= 墨”d e t ( ；，+ r ) 】i = 矽【( ；) “一( ；) ”飞r ( 一t ) + - 】； = 【1 + t r t + o ( e 2 ) 停 = 1 + 黯等+ o ( 固， 所以我们令e o + ，得到 t r 。t ， k z 1 2 如t x ) d x j t l j kx j 由于t 是任意的，类似地有 tr(-t2kz12dx k x ，t z ) d x j k t l j k 从而得对任意的t 二( r ”) ，有 警加2 如= 心，t x ) d x j k 扎，k 显然满足凸体的迷向条件，所以说明凸体k 是迷向的 迷向体的唯性得证 说明：该童丰要内容已被计簋数学与廊用数学学榴录用 第三章迷向体的一些性质 3 1 引言 设是舯中一个体积为1 质心在原点( 即b ( k ) = f k 7 如= 0 ) 的凸体( 具有 非空内点的紧的凸子集) 一个熟知的事实是( 见【5 2 】) ：存在唯一的线性变换西具有 d e t ( 西) = 1 ，使得对任意的单位向量t 铲，有 ， 扛，u ) 2 d x = 工蠢 d d h 通常把数l k 称为耳的迷向常数，若变换是恒同映射，则称k 为迷向体，或者称 k 处于迷向位置 在国际上几乎每年都有这迷向体方面的学术交流会，例如2 0 0 3 年l o 月在波兰 华沙；2 0 0 4 年7 月在以色列t e l a v i v 大学；2 0 0 5 年4 月在加拿大a l b e r t a 大学美 国p r i n c e t o n 高等研究院有专门的人研究此问题例如近些年：1 9 9 5 年，s a l e s k e r 研究了迷向体的 p 2 一估计( 见【2 】) ，s d a r 给出了b o u r g a i n 结果的另个证明， 并第一次证明了b o u r g a i n 问题与截片问题的等价性( 见【2 2 j ) ；1 9 9 7 年，s d a r 研 究了非对称凸体迷向常数的问题并给出了迷向体的另外一个更一般性的定义，并讨 论了离散点集的情况( 见 2 1 】) ；1 9 9 8 年，s d a r 证明了：当是一个s c h a t t e n 类 空间( 维数n ，参数p ) 的单位球时，若p22 ，则结论成立( 见【2 0 】) ；1 9 9 9 年， j b o u r g a i n 研究了迷向体的随机点的极值问题( 见【1 5 】) ；a l i t v a k ，v d m i l m a n 和a p a j o r 用覆盖的方法研究了迷向常数的上界问题( 见f 4 5 】) ，m r u d e l s o n 引进 了凸体一迷向位置的概念并将其应用到快速算法的构造中( 见【6 7 】) ；2 0 0 0 年， g p a o u r i s 又给出了j b o u r g a i n 结果的另一个不同的证明( 见【5 6 】) ，e l u t w a k ， d y a n g 和g z h a n g 引进了个新椭球( 惯量椭球的对偶) 并给出了星体对偶迷向 常数的定义并得到了相应的上下界( 见 4 9 ，5 0 ) ，2 0 0 0 年有关迷向体和迷向常数上 界问题另外的研究成果还可见 2 6 ，2 7 ，3 8 ，7 2 】；2 0 0 1 年，a c a r b e r y 和j w r i g h t 研究 了岛空间中单位球的迷向常数问题( 见【1 7 ) ；2 0 0 2 年，u b r e h m ，p h i n o w ，h v o g t 和j v o i g t 研究了迷向体的中心极限性质和矩不等式( 见 1 6 ) ；2 0 0 3 年，j b o u r g a i n ，b k l a r t a g 和v d m i l m a n 又证明了当k 具有有限体积比率时，答案是 肯定的( 见 1 l 】) ，j b o u r g a i n 还证明了对具有常数b 的妒2 一体，l ksc bl o g b ( 见 1 4 2 0 0 7 上海大学硕士学位论文 1 5 【1 卅) ，2 0 0 3 年对迷向体和迷向常数的相关研究成果还可见( 【3 ，8 ，9 ，2 8 ，3 2 ，5 r ) ；2 0 0 4 年，j b o u r g a i n ，b k l a r t a g 和v d m i l m a n 研究s t e i n e r 型对称凸俸迷向常数的影 嘀，并揭示了b o u r g a i n 问题与凸体在迷向位置时与逆b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的关 系，并得刭了迷向常数关于空闻维数札的单调性的结论( 见 1 2 1 ) ；2 0 0 5 年，b k l a r t a g 用混合体积理论与a l e k s a n d r o v - f e n c h e t 不等式技巧证明了对n 维欧氏空间 中任意一个中心对称的凸体符，都存在一个中心对称的摄动( p e r t u r b a t i o n ) 体? 。 使得z 的迷向常数是一致有界的，并且和t 之间的b a n a c h m a z u r 距离与l o g n 同阶( 见降7 3 ) 2 0 0 6 年，e m i l m a n 用对偶混合体积的理论研究b o u r g a i n 问题， 得到一些有意义的结果( 见【5 1 】) 3 2 遂向体的迷向常数 在这一节中我们约定通章中要用的一些记号我们的论域为一个具有规范内 积，记为( ，和范数，记为2 = ( 而z ) 1 2 = 吲2z = ( x i ) 墨l 舻的n 维欧氏 空间，县譬= 缸酞忭l l ，r 霹= 扛舯l 嚣l r 分男q 表示n 维欧氏单位球和 半径为r 的n 维欧氏球v o t n 表示n 维l e b e s g u e 规范体积形式，使得 “= v o l 。砑一 r n l 2 r ( 1 + n 2 ) 值得注意的是；我们通常省略下标，假如维数n 通过上下文是清楚的，b 置和r b 譬 分别简记为曰，和r b 。我们分别用妒- 1 一o b 和r 铲_ 1 一o ( r b ) 表示欧氏单位球面 和半经为r 的球面，用一l 仁口) 表示球蠢铲- 1 上的l e b e s g u e 测度g l ( r “) 表示 r ”中的可逆线性变换全体 设耳是渺中个体积为1 质- l - 在原点( 即b ( k ) = & 曹如一0 ) 的凸体( 具有 菲空内点的紧的凸子集) 。个熟知的事实是( 觅f 5 2 】) ：存在唯一的线性变换曲具有 d 醯( 钟= 1 ，使得对任意的单位向量7 1 , 扩，有 ，忙，乱) z d 。：l 凳 j f p k 通常把数