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山东大学博士学位论文 倒向半线性随机发展方程的数值计算及收敛性分析 张桂昌 f 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文研究例向半线性随机发展方程的离散问题，为此我们先研究了 h i l b e r t 空间里信息族弱收敛的各种性质，得到了类似于r 空间里的一些 结论，利用这种信息族弱收敛的工具，我们得到对倒向半线性随机发展方 程进行时间离散后的解在经典意义下收敛到原方程的解。对空间进行离散 后，这种收敛性还保持。 对倒向随机微分方程离散化及其收敛性的研究最近几年发展很迅 速，其中多数可以通过p d e 求解b s d e ，而f c o q u e t v m a c k e v i e i u s 和 j m 4 m i n 1 71 8 利用信息族弱收敛的工具研究倒向随机微分方程的离散化 和收敛性，这时，不能依赖于：。后来p h b r i a n d bd e l y o n 和j m 6 m i n 8 】处 理了一般的情况，即，依赖于g ：，他n 证明了该离散形式的倒向随机方 程的解收敛到原方程的解。他们指出，信息族弱收敛的概念在处理这个问 题上是一个强有力的工具。 可以看出在有限维空间里，b s d e 的离散收敛性问题已经比较完善， 无穷维空间还没有这方面的研究。本文正是研究无穷维空间里倒向半线性 随机发展方程的离散收敛性问题，下面介绍一下我的主要工作。全文共分 五毒。 第一章交待了一下问题的研究背景和预备知识。在第二章中，处理信息 族弱收敛的问题。第一节是实数空间里的情况，结果是f c o q u e t ，j m 6 m i n 和ls t o i n i f i s k i 1 9 1 的。我的工作在二、三、四节。第二节给出一些h i l b e r t 空 间中的辅助结论，在处理h i l b e r t 空间时我们主要用到了有限维逼近的方 法。这些结论主要有： 命题25 ：让- f 工2 ( q ，p ；日) ，9 是一个o - 一代数，9c ，则有： e x i g f 备至e i x i 刍i g 舡s 山东大学博士学位论文 利用该命题，在推论2 6 中我们很容易得到下面的不等式，这将在后面起到 关键作用。给定两个随机变量x ，x l 2 ( q ，乃一，p ：h ) ，v e 0 ， 1 p fs u pie i x i j , 一e x j 五jl 斋 e ) s e f j _ 一x 7 1 日2 o t 墨 我们还给出了下面的命题： 命题2 7 ：( 五) o t t c 下是任意的信息族，让x 2 ( q 而p ：h ) ，则： e s u pl e x f 五】| 备j 4 e i 一瞎 o 三呸y 在第三节中研究了h i l b e r t 空间里信息族弱收敛的性质，得到了： 命题28 ：h 是可分的h i l b e r t 空间，p ，2 - 、，厂是信息族，让 一l 2 ( n y r | d ：h ) ，如果p 与厂，则： e 、- j f 乌e 陋i 尸 在j t 一拓扑下， ，z 专。c 注2 9 ：在命题2 ，8 的条件下，我们有下面更强的结果；( 为叙述简单 起见，我们认为厂是布朗运动生成的信息族。) e s u pi e x i 咒 一e v l j = t 1 嘲一0 ，1 一。c o 丁 命题2 1 0 ：h 是可分的h i l b e r t 空间，p 。n n ，是信息族，y “ 在2 ( n ，乃、p ：h ) 中2 收敛到一，如果，n 竺斗，则： e k - “i ，1 】与e x l s k 在j l 一拓扑下、n 进一步，如果，是布朗运动生成的，则我们有： e s i l pf e x “i 刀 一e x i 五 1 2 j o ，n 一。c 墨三 在第四节处理了过程序列在信息族弱收敛下的收敛性问题，结论是， 命题2 1 1 ：, t - “和7 - 由上面给出，满足，“与，。设( n t 0 ，t t ) 是 取值于h i l b e r t 空间日的具有有限变差的连续过程，戡【o ，】，是蜀可 测的，满足e s u pl 肌f 备】 + 。c ，那么： 0 曼茎， r t e ie m | ，? 一e 7 v ： l 五】i 备d t - - - - 4o ， n 斗。 山东大学博士学位论文 引理2 1 2 ：随机游走w ”= ? ) o 。 丁，n n 由( t 7 ) 式定义，w = f w ：) 。y 是标准的布朗运动， 尹和厂分别是他们生成的信息族， 日 足可分的h i l b e r t 空间。x “l 2 ( q 碍尸：日) ，x 上2 ( q 乃，尸；日) ，满足 一n 与一，通过下式定义一个鞅序列和一个鞅： j 嚣。皇e x “ j 7 ，j 磊皇e 一j 五 、t o ，丁 。 ，l n 则存在一个p 可料过程序列( q n ) 。jc ! r 和一个尸- 可料过程( l t ) o e 】e i x x | h 2j 0 f ( t 。 a n d ， p r o p o s i t i o n2 7 ：) o s ri sa n yf i l t r a t i o n ，l e tx l 2 ( f 2 ，厅，p ；日) ， t h e n e 【s u p | f 陋i 五 胁4 e x 1 2 h u 三c s l i ns e c t i o nt h r e e w es t u d yt h ew e a kc o n v e r g e n c eo ff i l t r a t i o n si nh i l b e r ts p a c e a n d g e t ， p r o p o s i t i o n2 8 ：hi s as e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e ， ，“n n ，i s f i l t r a t i o n s ，l e tx l 2 ( n 而p ；日) ，i f p 与，t t m n e x i - p 与e 【- y 尸】，u n d e rj 1 t o p o l 0 9 3 r n r e m a r k2 9 ：u n d e rt h ec o n d i t i o no fp r o p o s i t i o n2 8 w eh a v et h es t r o n g e r r e s u l t ( h e r ew es e t ，i sg e n e r a t e db yb m ) e s u pie x l 刀 一e xj t t 叫0 0 t p r o p o s i t i o n2 1 0 ：hi s as e p a r a b l eh i l b e r ts p a c e ，p ，n n ，i s f i l t r a t i o n s ，y “c o n v e r g et o yi nl 2 ( q ，疗p ：h ) i f 尹与，t h e n e 【_ y ” 尸1 与e 陋l 厂 在j l 一拓扑下，n _ 。 i na d d i t i o n ，i f ，i sg e n e r a t e db yb m ，t h e nw eh a v e e s u ple x ”f ，甲】一e 陋j 兀】 劲0 ，扎斗。g o s t s t i ns e c t i o nf o u r w es t u d yt h ec o n v e r g e n c eo ft h es e q u e n c e so fs t o c h a s t i cp r o c e s s e su n d e rt h ew e a kc o n v e r g e n c eo ff i l t r a t i o n si nh i l b e r t s p a c ea n dg e tt h e r e s u l t s ， v i i 山东大学博士学位论文 p r o p o s i t i o n2 1 1 ：pa n d ，g i v e n a sa b o v ea n d s a t i s f yp 与芦( 肌，t 0 ，t i ) i sa c o n t i n u o u sp r o c e s sv a l u e di nhw i t hf i n i t ev a r i a t i o na n d e s u pim 备 0 蔓蛭r 】 + 。c ，v t 0 ，r 】，mi s 厅m e a s u r a b l e ，t h e n p e e n t i 写 _ e n t l f t l 备d t 叫0 ，n _ 。 j 0 p r o p o s i t i o n2 1 2 t w ”= ( w ? ) o f 丁，n ni s d e f i n e db y ( 1 7 ) ，w = ( 眦) o s t i ss t a n d a r db m ，1a n d ，a r et h e i rf i l t r a t i o n s hi s as e p a r a b l e h i l b e r ts p a c e ，x n l 2 ( f l ，毋，p ；日) ，x 三2 ( n 而，p ：日) s a t i s f yx n 譬y ， d e f i n e ， a 掣。垒s i x “i 胃 ，m 皇e x i g ，t 0 ，丁 n n t h e nt h e r ee x i s tas e q u e n c eo f ? 一p r e d i c t a b l ep r o c e s s e s ( 曰) o s ! ta n daf p r e d i c t a b l ep r o c e s s ( l t ) o t s t v t 0 ，t ， a n d 1 2 = e 州+ z 州州胪( 目) 她= f x 】+ o 工( 目) d l r ( 目) e i 上“( p ) 一l ( o ) t 备d o _ o 扎一x j 0 i nc h a p t e rd l r e e w es t u d yt h ec o n v e r g e n c ea b o u tt h et i m e d i s e r e t i z a t i o no f b a c k w a r ds e m i l i n e a rs t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n i ns e c t i o nt h r e e w ef i r s tc o n s i d e ra s i m p l ev e r s i o n r r ”( t ) + e 4 ( “) ：( s ) 捌( s ) = e 。( t 一j 】 “( t ) + e a ( 3 一e t m 1 ) 扩( s ) d “( s ) = e a 【丁一! t h h ) y n j i t hj h l e m m a3 4 ：、a s s n m e ( h i ) l l 2 ( q 厅，p ；h ) ，y “l 2 ( q ，刀p ；日) ； 山东大学博士学位论文 ( h 2 ) p 马， h e r epi s g e n e r a t e db yw “，t h e n m l pj “( ) 一( t ) l 备+ 1 2 “( s ) 一z ( s ) l 斋d s o n 0 t j 0 a n d p t “( s ) 一( s ) i 刍+ f z n ( s ) 一。( s ) l 刍d s - - - + 0 ，n 。 jo t h e nw ec o n s i d e r ， 巾) + 1 十，tca(s-t)f(s)ds ea(s-t)z(z)dw(t 扣一t _ c ) ( t ) + 十 5 ) = 一t “ ，j t h e n l e m m a 3 5 ：a s s u m e1 1 s a t i s f 、，t h ec o n d i c t i o n ( h i ) ( h 2 ) o f l e m m a3 4 ，a n d e 和刊驯秘】训n _ 。c i ns i 、c t i o nf o u r w ed i v i d ef o rt w op a r t s f i r s t ( t ) + 水卅：( s ) 胁+ f e - 4 ( s - t ) z ( 8 ) 删( 8 ) = c a ( 丁_ c ) 】 ”( r ) + j i i he 。1 s 一 。7 “ “f ( k h , z ( s ) ) d a 2 + 正； e 1 s 一。7 6 “。“( s ) d t i + “【s ) ：e a ( 1 r 一 t h l h ) “ w en s ep i c a r dm e t h o da n dt h ew e a kc o n v e r g e n c eo ff i l t r a t i o n si nc h a p t e rt w o ， t h e o r e m3 6 ：l e tl7 ”，7 s a t i s f yt h ec o n d i c t i o n ( h 1 ) ( h 2 ) o fl e m m a3 4 ， s a t i s f i e s ( 3 2 7 ) ，t h e nw eh a v e ( y “，扩) 一( y 。) ，f o ra l m o s ta l lt 0 ，t 功) 一如) f 备+ e z t 妒( s ) 一小) i 备d s _ 。，n 一。 i x 弭d 曲 仆 丁v r u +dd ， 肚 廊帅 + ) 一 p 口 n | | _n0_如 2 h 0 一s，+ ，一h 一 b、圹 丁 ， e 山东大学博士学位论文 t h e nw ec o n s i d e rt h eg e n e r a ls i t u a t i o n ， y ( t ) + ，te a ( s - t ) ，( ( s ) 。( s ) ) d s + ( te 。5 一。( s ) d w ( s ) = e ( t t ) 1 7 f 奢1 1 s ep i c a r dm e t h o dt w i c ea n dg e to u rm a i nt h e o r e m t h e o r e m3 7 ：a s s u m el r ”，l 7 s a t i s f 、, t h ec o n d i c t i o n ( h 1 ) ( h 2 ) o fl e m m a 3 4 _ ，s a t i s f i e s ( 3a s ) t h e nw eh a v e ( 圹= “) ( ：) ，f o ra l m o s ta l lt 0 ，t p t e l “( t ) 一( t ) i 刍+ e l 。”( s ) 一。( s ) l 斋d s 0 1 1 1 c h a p t e rf o u rw ec o n s i d e rt h ed i s c r e t e b a c k w a r de q u a t i o n w ea d o p tt h e ( ! l a s s i c a lm e t h o do fh ua n dp e n g 4 a n dl e m m a 4 1g i v e s a i le s t i m a t i o nf i r s ti n s p c t i o i lt w o i ns e c t i o nt h r e e ，w eg e t , t h ec o n v e r g e l l c eo fp i c a r dm e t h o d i ne h a p t e r f i v e w ec o n s i d e rt i l et i m ea n ds p a c e d i s c r e t i z a t i o no fb a c k w a r ds e m i l i n e a rs t o c h a s 。 t i cn 、。o l u t i o ne q u a t i o n t h em a i nr e s u l ti s ： t h e o r e m5 2 ：fs a t i s f i e sl i p s e h i t zc o n d i t i o n ( 3 3 8 ) ，l 1 + s a t i s t ! ! y t h e c o u ( t i c t i o n ( h 1 ) ( h 2 ) o fl e m m a3 4 ，蛾。i = 0 ，4 - 1 士2 ，i sg i v e nb y ( 5 3 ) - t h e n ( 6 ，：“ 6 ) - ( ，：) ，f o ra l m o s ta l lt 0 ，t 】 t l 。i l r a 。l 。i 。r a 。e i y “5 ( t ) 一y ( t ) 5 + 2 i ：“6 ( s ) 一：( s ) 刍d s l = o k e y w o r d s ：b a c k w a r d s e m i l i n e a rs t o c h a s t i ce v o l u t i o ne q u a t i o n ；w e a k c o n v e r g e n c eo ff i l t r a t i o n s ：r a n d o i n i , h l k ；p i c a r dm e t h o d ；h i l b e r ts p a c e s n 彤ds n ： 肛 一 e 吖 + n 3 4d 扣 n 0s n ， 肚 一 e h n j 叫 + 、j 一 0 f n e | | 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：狴堡 日期： 塑! 茎至璺 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：i 墨耄疆 导师签名： 第一章引言 1 1 倒向随机微分方程 倒向随机微分方程( 简称b s d e ) 的线性情况开始于1 9 7 8 年b i s m u t 2 1 对 随机最优控制的研究，而一般非线性情况的基本框架是1 9 9 0 年p a r d o u x 和 p e n g 2 4 给出的，在 2 4 3 中他们证明了其解的存在唯一性。1 9 9 1 年p e n g 5 0 通过倒向随机微分方程获得了非线性f e y n m a n k a c 公式，推动了该理论 和偏微分方程理论的联系2 3 5 0 。1 9 9 7 年n e 1k a r o u i sp e n g ，a n dm - c q u e n e z 1 1 1 通过b s d e 获得了推广的b l a c k s c h o l e s 期权定价公式后，该理 论也逐渐应用于金融理论中f 1 1 5 3 5 9 ，6 l i ，促进了金融理论的发展。另一 方面，著名经济学家d u f f l e 和e p s t e i n 6 0 1 也独立地从经济学的背景出发在 1 9 9 2 年提出了该方程一个特别典型的情况。在接下来十年多的时间里，倒 向随机微分方程的理论得到了迅速发展_ 8 9 ，2 3 ，4 2 ，4 8 ，5 5 ，5 75 8 1 ，而且发现 该理论有非常重要的应用背景：很自然的，它和随机最优控制理论是相互 推进的 5 3 83 9 、1 0 4 3 4 6 ，4 74 9 】；而且p e n g 4 1 】从倒向随机微分方程出发提 出了一种非线性数学期望g 一期望盼概念。9 1 6 ，4 1 、5 61 ，发展了古典随机分 析；和随机傲分方程联系在一起，正倒向随机微分方程的理论得到很多发 展 3 - 1 0 2 1 2 8 4 4 。 p a r d o u x 和p e n g 在1 9 9 0 年提出的倒向随机微分方程有下面的典型形 式； ，r厂r k = + ，( s 坛互) d s 一乙d r g( 1 1 ) 这里( w d o ( e ! 了1 是标准的布朗运动。设五是( w ：) 的自然口一代数流， 方程( 1 1 ) 的解是关于只适应的一对随机过程( k ，五) 。s 蛭? 。这里 是关于 厅可测的平方可积的随机变量，厂是满足l i p s c h i t z 条件的一个映射，他们 在 2 4 中已经证明方程( 1 1 ) 解的存在唯一性。 1 2 倒向随机微分方程的离散 众所周知，倒向随机微分方程在应用中已经显示了越来越重要的作 1 山东大学博士学位论文 用，比如它可以很好的应用于金融市场中许多重要的衍生证券( 如期权期 货等) 的理论定价问题上f 6 4 1 。因此能够解出倒向随机微分方程就显得尤 其具有实际意义，和正向随机微分方程( 有很多的逼近方法) 不同，倒向 随机微分方程的时间离散问题看上去有些困难，在这方面，主要有下面一 些工作：v b a l l y 1 5 1 是第一个考虑这个问题的人，他引进了时间的随机离 散，即用p o i s s o n 过程的跳时间，这个方法理论上令人满意但看上去很难实 现；dc h e v a n c e 1 3 1 4 在函数，不依赖于z 时提出了一种新的离散方法。 在这种情况下，问题的关键点是b s d e ( 1 1 ) 的解由下面的方程给出： ，丁 k = e ( f + f ( e ) d s l 五) 0st t j 设步长h = t ：t ，这样就可以通过时间离散来倒向的解出下面的方程： = e ( y k + 1 + ，( + i ) l ? ) = n i - 0 设l p = 龇h ! ，在合理的假设下，d c h e v a n c e 证明了p 收敛到r ； 。j d o u g l a s ，j m a 和p h p r o t t e r 1 0 ，j m a 和j y o n g 2 1 1 提出了数值方法 来计算正倒向随机微分方程的解，这种方法依赖于正倒向随机微分方程和 拟线性偏微分方程之间的关系，后来j m a p h p r o t t e r 和，j t r o n g 2 0 1 把它称 为“四步方法”，它需要拟线性偏微分方程的数值解。 独立于d c h e v a n c e 1 3 1 4 1 的工作，而且不用考虑与偏微分方程的关系， fc ( ) t u e t v m a c k e v k i u s 和j m d m i n 1 7 ，1 8 1 从倒向随机微分方程本身出发利 用信息族弱收敛的工具得到了过程序列p 的收敛性，这时，不能依赖于 ：。后来p h b r i a n d b d e l y o n 和j m 6 m i n 8 1 处理了一般的情况，即，依赖 于，；，他们用随机游走u ”来代替布朗运动w ，从而对随机积分部分 五d l i ：进行离散，产生了一个离散时间形式的倒向随机方程。在 8 中，他 们证明了该离散形式的倒向随机方程的解收敛到原方程的解。更一般的， p h b r i a n d ，b d e l y o n 和jm 6 m i n 7 】研究了倒向随机微分方程( 11 ) 的解关于 布朗运动的稳定性，他们证明了，如果 妒是布朗运动w 的鞅逼近，那么由 鞅w ”驱动的倒向随机微分方程的解收敛到古典的倒向随机微分方程( 1 1 ) 的解，即由布朗运动驱动的倒向随机微分方程的解。他们还指出，信息 族弱收敛的概念在处理这个问题上是一个强有力的工具。 2 山东大学博士学位论文 本文正是基于他们的这种思想来处理h i l b e r t 空间中倒向半线性随机 发展方程的离散收敛问题，文章是这样安排的：在第二章中我们首先考虑 在h i l b e r t 空间中信息族弱收敛的情况，事实表明也有类似于实值空间的情 形，我们得到了信息族弱收敛的一些性质和随机过程序列在信息族弱收敛 条件下的收敛性；第三章我们处理倒向半线性随机发展方程的离散问题； 在第四章中我们处理了关于离散形式方程的一个稳定性引理。第五章对倒 向半线性随机发展方程进行完全离散，即对时间和空间都进行离散，得到 了收敛性结果。 1 3 倒向半线性随机发展方程 h u 和p e n g 在中研究了倒向半线性随机发展方程，得到了解的存 在唯一性。 设 r ，日是两个可分的h i l b e r t 空间，( 旺， 再 0 5 t 5 r p j 是一个概率 空问，f 。f ) t 0 t j 是取值于的圆柱形维纳过程( c y l i n d r i c a lw i e n e r p r o c e s s ) ，i 己 兀 为它的自然信息族流。 日的范数记为| h 它的内积记为( ) 。下面定义两个空问： 三；( ( ) 丁：爿】。所有取值于e i l b e r t 空间日的无一循序可测的过程全涔且满足： 这里 e 。) 箍。是h i l b e r t 空间k 的一个标准正交基 我们考虑方程： ( 妇( t ) + 4 y ( t ) d t = f ( t ，( nz ( t ) ) d t + 。( t ) d i j ( t ) ( 12 ) ( t ) = 这里j 是何上岛一半群 “) 的无穷小生成元。方程( 1 2 ) 的准确意义是： ( t ) + f 。7e l ( s 一”，( s 口( s ) ，z ( s ) ) d s + ，1e ( s 一) z ( s ) d l ( s ) = e ( t 一。) l ( 1 3 )( t ) + 一”。，( s 口( s ) ，+ e 。( ” ( s ) = e 4 ( t “l ( 1 3 ) fo 3 ： 0 使得： f ( t ，l ，：1 ) 一，( t 2 ：2 ) | c ( 1 y l y 2 h + 卜1 一。2 1 日) ( 1 - 5 ) h u 和p e n g 4 1 给出了下面的存在唯一性定理： 定理11 ：给定】l 2 ( q 厅p ：日) f 满足( 1 4 ) ( 1j ) ，则方程( 1 3 ) 存 在唯一的一对解( ：) 工多f o ，丁；h ) l 多( o 丁：c 2 ( k ：) ) 。 1 4 布朗运动和随机游走 在概率空间( q ，p ) 里，有一个标准的布朗运动f w ( ) ，t 0 ，丁】) ，在 本节以及本文下面中，始终假设 ( t ) ，t 0 ，t ) 是一维的。还有一列独立 同分布的随机序列 g 坠。如下： 尸= 1 i n p = 一一 记s 。= ：、g ，s o = 0 。 将区间 o t 分为n 等分，令h = 丁n ，即有下面的分法 f - 0 = o h 1 h - n = t 则我们可以得到r c l l 形式的随机游走： w 7 ( u ) = s r ( u ) 这里嘲表示不超过z 的最大整数。定义： 耳垒盯( w ? ，s 茎t ) ( 1 6 ) ( 1 8 ) d o n s k e i 3 3 和f k n i g h t 2 7 】分别证明了随机游走在一致收敛拓扑意义 下依分布收敛和几乎处处收敛于布朗运动。 l 1 一 ，f、 | | g 山东大学博士学位论文 1 5 两种拓扑 在这一节里我们给出两种拓扑：s k o r o k h o d j l 拓扑和一致收敛拓扑。 在第二章中我们将要用到这两种拓扑，在这里我们先交待一下他们的定义 和性质。一致收敛拓扑大家比较熟悉，给定c 空间的两个函数z ，y ，它由 下面的距离定义给出： p ( x ，y ) = s u p a - ( t ) 一y ( t ) 0 t l 在( - i 空间中，两个函数z 很接近，是指z 的图像可从的图像经过纵坐 标的一个一致小的移动( 横坐标固定) 得出。在d 中，我们还允许时间尺度 ( 横坐标) 有一个一致小的变动，s k o r o k t l o d 拓扑就体现了这一想法。这里定 义空间d = d 0 1 为 0 1 】上右连续且存在有限左极限的全体函数。定义， 、皇( o ，1 上严格增的连续函数a ( f ) ，满足a ( o ) = 0 a ( 1 ) = 1 ) s k o r o k h o d 对空间d 中任意两元上定义距离为具有下述性质的e 的 下确界：存在a a ，使得 s u p 】a ( t ) 一t l f s u px ( t ) 一( a ( ) ) e o c t0 s 1 这样就定义了d 空间的一个距离，由它就导出了s k o r o k h o d j l 拓扑。 d 空间在该距离下不完备，为了其完备性，我们需要再定义一个距离d o ， 它和d 是等价的，产生一样的拓扑。所以我们这里就只考虑距离d 。这洋 我们就可以给出在s k o r o k h o d j l 拓扑下收敛的明确含义： ? n ，z d z 。二与z i s u p ( t ) 一t l 铮j ca s t 唧1 i s u pj 。( a 。( ) ) 10 ( i 叫0 一z ( t ) j _ 0 我们可以看出这两种拓扑之间的关系：d 空间的函数序列z 。在一致 收敛拓扑下收敛到z ，则。在s k o r o k h o d j l 拓扑也收敛到z ；如果z 在 5 山东大学博士学位论文 0 ，1 上是连续的，则在s k o r o k h o d j l 拓扑下收敛也可以得到在一致收敛拓 扑下收敛。 但是需要注意的是s k o r o k h o d j l 拓扑不是线性拓扑，即由 z 。鸟z ，y 。鸟 不能简单地得到， x n + 。二与zq - 在一些特殊的情况下，比如z 或y 是连续的，则上式成立。下面给出一个 有用的性质： 性质l2 ：在d ( r ) 中有两个函数序列z 。，y n ，n n 和两个函数。， 满足，n - - - - - 4 。c 贯。鸟z 鸟y 和 r n + 蜘二与z + 则我们有； 【t 。如) 鸟( z ) 在d ( 群) 中 ( 19 ) 这里d ( r 2 ) 表示取值于群的d 空间中的函数，式子( 1 , 9 ) 的意思是指：存 在时间变换序列 a 。) c 、，满足下面两式 s u p | a 。( t ) 一t 一0 0 e 】sl e x x | ( 2 , 3 ) 下面我们看一些判定法则，这些法则把随机过程的收敛性和他们生成 的信息族之间的收敛性联系起来，得到了某些类型信息族的收敛性。 命题2 4 ：( i ) 设x “是具有独立增量的随机过程序列，如果x “与x ， 在 一拓扑下，则y - x 4 与芦x ，这里5 v x 表示由随机过程x 产生的信息 族。 ( i i ) 设每个互鞅是连续的，并且： 一或者，对每个t o ，t ，刀随着n 递增，当n _ + 时弱收敛到五； 一或者，是由r c l l 过程y 生成的，p 是由r c l l 过程y n 生成的， p c ，且有l r “与，7 ，在j l 一拓扑下； 则有：p 与，。 8 山东大学博士学位论文 2 2 一些辅助结果 在性质2 3 的证明中鞅的d o o b 不等式起了主要作用，为了考虑h i l b e r t 空间里信息族弱收敛的一些性质，我们首先考虑h i l b e r t 空间里类似于鞅的 d o o b 不等式的一些结论，这些结论在处理下面的问题中起了重要作用。这 时候信息族仍然是原来的信息族，只是随机变量或随机过程取值于h i l b e r t 空间。 设日是可分的h i l b e r t 空间，在后面的章节中，我们总是记它的内积 为( ，) ，它的范数为f - f h ，定义空间： l 2 ( q ，p ；h ) 垒 取值于h 的，一可测随机变量西的全体， 、 且有j 西 。= ( e l 妒 备) + 。 命题2 5 ：让x 2 ( n ，p ；h ) ，g 是一个盯一代数，9c ，则有： e x i 毋jj 务e i x g l 9 ，伽 证明：设似, ) o c 是日的任一标准正交基，x l 2 ( n ，厂p ：日) ，则x 可以 表示成： 一= 即t = 1 这里3 2 ，2 ( q ，p ；r ) i = 1 ，2 。 对所有的f i ，我们将证明： 实际上，我们有 e 础。例备= ( e z i 2 e z 瑚= e 1 。i e i 9 i = 1t = l4 = lz = 1 并且我们知道 9 ( 2 4 ) g 2 h ez 。斟 e o p ( s u p e x d & i e 】 u s t s 7 p s u pf | 五嘲矧 e l o ! t e j u 三c 三1o f i t s 7 e 【e s u pf x & l & q 】 o t s 了 = e s u pi 五脚 o f js e i x x f 备 0 主c 三 。 在推论2 6 的( i i ) 中令x t 兰x x ，v t 【0 ，列即得上式。 命题2 7 ：( 五) o s ! 丁是任意的信息族，让x l 2 ( q ，r 7 ，：p ；h ) ，则： e 【s u pl e l 兀】鳓4 e i x i 备 0 5 g 证明：我们还是采用命题2 5 的思想去证明这个问题，仍然用命题2 5 的记 号，x l 2 ( q ，而p ：h ) ，则x 可以表示成： x = 犁， 这里孔l 2 ( q ，r r ，尸；r ) i = 1 2 ，。 对所有的n n ，有： 已经知道 e s u p le 竺。e l 五】嘲 u 三曼1 = e s u p 圣。( e z d j ：d ) 2 u 主c 三1 se ( 。s u p ( e 陋。i 五】) 2 j u s s 1 = 羔，e s u p ( 如。 ( 2 7 ) ”三c 三 se ：l4 e ( e x 。i 厅 ) 2 s4 e l 墨。? = 4 e l 竺l 缸白嘲 1 、n 2 h x 2 h ez 。渊 山东大学博士学位论文 由期望的性质 e | 华。嘲一e 玑礼_ 。c t = 1 并且由推论2 6 的( i i ) 知，v e 0 有 因此 p s u pj e 瞵l 五】| 备 e ls e l x 瞎 0 t t t e i x i l + o e s u pf e x l f t j l 备 + 。o a 8 o t t v t o r 】，le 匹掣；旧瞎梦i e x l j = d l 刍 t = 1 s u p i o s t ! t e f 即。 t = 1 n s 瞎s u pi e 陋| 五 l 刍，n _ 0 f t ( 2 8 ) 由单调收敛定理，n _ o 。， e s u p | e 以e 。i 五】i 备 斗e 【s u p e 一i 五 l 备 ( 2 9 ) o f t=o t 在( 2 7 ) 式中让n _ 0 ( 3 ，由( 2 7 2 9 ) 知： e s u pf e x l y t i 备】4 e i x i 备 o e s ；e i x 一y ，瞎j( 2 1 4 ) 由式( 2 1 0 ) ：( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 可以看出，在式( 2 1 3 ) 中令m o o 就有： e x l - ；h - ? 与e 陋i 厂】，在j 。拓扑下 证毕。 实际上，命题2 8 的结果还可以加强 1 3 山东大学博士学位论文 注2 9 ：在命题2 8 的条件下，我们有下面更强的结果：( 为叙述简单 起见，我们认为芦是布朗运动生成的信息族。) e s u pie x l 刀 一e x i 五】i 备】_ o ，礼- - - - 。 o t 9 7 证明： x l 2 ( q ，疗，p ；h ) = e l x l 备 0 ，3 k 0 ，s t e i xi 斋i ( , x , 。 ，】 0 ，n - + 。 p 【s u p ie x i 写卜e x k i 五 i e 】 0 ，( 2 1 6 ) 0 5 t z 由( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 知，n _ 。c e s u pie x 耳i j 呼 一e x l 五】 备 斗0 ，( 2 1 7 ) 根据命题2 7 s u p e s u p n _ v0 t e s u p o t t 向： e 【y i 胃】一e x 1 尹 】f 备 4 e x 备l l x l 。， 】4 e ( 2 1 8 ) e x l j = t 一e x | 五 i 备】4 e 1 x l 备l i x l 。，芹 】4 e