（理论物理专业论文）玻色—爱因斯坦凝结和超导中若干前沿问题的理论研究.pdf

摘要 自从1 9 9 5 年实验上首次实现了原予气体玻色一爱因斯坦凝结( b e c ) ，有关b e c 静实验或藏獯囊激发了入费对瑗色气棼疆论疆究夔投大兴趣。在这一镁壤人# l 援7 大 量的研究工作来解释最韵观察到的现象并预测新的现象。存在谐撅子禁闭( 捕陷) 势 的情况下，有相互作用的玻色体系的多体理论研究指出了一些以前未预料到的特性。 礤宠b e c 特性的出发点鼹酝究有限体系孛有微弱樱至作殿的玻畿体系的理论。 众所弼知，坐标帮动爨分布是b e c 研究中酶蘩要的标记。在我 j 静理论中，借 助于”前向散射为主”( f s d ) 模型和量予统计中泛函积分理论，我们得到了谐振子外 场中稀薄玻骰气体的坐标手动量分布，不仅包括了排斥和吸引相互作用的情况，而且 奄摇了三缨霸一维壤臻。疆论氍究表鞠玻色终系粒b e c 是可能鹣，对三缝【爱孳| 耀互 作用的玻色体系的计算结屎及数据分析照与相关实验是一致的。 自从发现了高t c 的超导材料m g b 2 及其i f 每界温度大约是4 0k 左右以后，对超导 瞧一声子糖囊终薅摄割的霹究又残了个穰热门的领域。在这簸文章中，扶电一声子 相互作用的模型冶密顿出发，借勘于量予统计第三秭表述和对角纯定理，我稍发展了 一个统一的渐近精确的超导理论。计算结果与m c m i l l a l ，a l l e n 和d y n e s 等人的结果 以及实验结聚遘行了比较，我们的结果与实验符合得很好，这个理论没有任何额外的 缓设，它越供了量子统诗第三释表述秘一个精确可解翡镄予。磁g 转2 鹃t e 在我嬲t e 曲线的附近，最后我们讨论了这种现象的起因及可能的虚真空起伏机制的效应。特别 强调的是所列出的1 9 种树料的临界温度都远离b c s 理论的曲线，落在了本论文的理 论藏线上或凌貔靛酶鏊线隧透。我粕戆溪沦是海运凌臻戆，没有辫鸯要兹变分法矮戗， 抵消危险圈澎近似，切断j 砭似等假设。 一般地讲超导中的能隙，激发能谱，准粒子等概念都是在一些潦于平均场理论的近 骰理论中被鼹爵寒的。在糖确理论中寻找这些概念合邋的定义是一份缀有趣的工作。在 基于电一声予糟互话露统一静澈近精确静超导理论豢籀上，我j f j 戮究了彦参数秘题， 适用于从弱耦合到强耦合的整个区域。因为研究的魑临界现象中的临界指数阍蹶，平 均场理论一般不再适用，发展严格解理论将是一件有趣的工作。在这篇论文中，我们 给篷了枣参数的一拿精凌袭达式。 关键谢：玻色一爱因斯坦凝结，趟繇，序参数和临界指数，囊空起伏，量予统计 薅三秘表述。 a b s t r a c t s i n c et h er e a l i z a t i o no fb o s e e i n s t e i ng o n d e n s a t i o n ( b e c ) i na t o m i cg a s e si n1 9 9 5 ， t h ee x p e r i m e n t a la c h i e v e m e n t so fb e c h a v er e n e w e dag r e a ti n t e r e s ti nt h et h e o r e t i c a l s t u d i e so fb o s eg a s e s a m o u n to fw o r kh a sb e e nd o n et oi n t e r p r e tt h ei n i t i a lo b s e r - v a t i o n sa n dt op r e d i tn e wp h e n o m e n a i nt h ep r e s e n c eo fh a r m o n i cc o n f i n e m e n t ，t h e m a n y b o d yt h e o r yo fi n t e r a c t i n gb o s eg a s e sg i v e sr i s e t os e v e r a lu n e x p e c t e df e a t u r e s t h en a t u r a ls t a r t i n gp o i n to fs t u d y i n gt h eb e h a v i o ro fb e gi st h et h e o r yo fw e a k l y i n t e r a c t i n gb o s o n si nf i n i t es y s t e m s i ti sw e l lk n o w nt h a ts p a t i a la n dm o m e n t u md i s t r i b u t i o n sa r es i g n i f i c a n ts i g n a t u r e s o fb e cs t u d i e s ，i nt h i st h e s i s ，t h es p a t i a la n dm o m e n t u md i s t r i b u t i o n sf o rd i l u t eb o s e g a s e si nh a r m o n i ct r a p si nt h ef o r w a r d8 ( 3 8 t t e r i n gd o m i n a t e dm o d e l f s d ) a r eo b t a i n e d b yt h ef u n c t i o n a li n t e g r a la p p r o a c he x a c t l y , i n c l u d i n gn o to n l ya t t r a c t i v ea n dr e p u l s i v e c a s e s b u ta l s ot h r e ea n do n ed i m e n s i o n a lc a s e s i nt h i ss t u d i e s ，i ti ss h o w nt h a t t h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o no fab o s es y s t e mi sp o s s i b l e ，t h en u m e r i c a la n a l y s i s f o rt h r e ed i m e n s i o n a ls y s t e ma r ea l s op r e s e n t e da n da r ec o n s i s t e n tw i t ht h er e l a t e d e x p e r i m e n t s s i n c et h ed i s c o v e r yo fh i g ht cs u p e r c o n d u c t i v i t ym g b 2 ，w i t ht h es 硅圭) e f e 。珏d t l e t i 狂g t r a n s i t i o nt e m p e r a t u r e 露i sa b o u t4 0k ，t h ef u n d a m e n t a ls t u d i e so ne l e e t r o n - p h o n o n m e c h a n i s mb e c o m ean e wh o tf i e l d i nt h i sp a p e r ，s t a r t i n gf r o ma ne l e c t r o n p h o n o n m o d e lh a m i l t o n i a n ，t h et h i r df o r m a l i s mo fq u a n t u ms t a t i s t i c s ，a n dad i a g o n a l i z a t i o n t h e o r e m ，au n i f i e da n da s y m p t o t i c a l l ye x a c tt h e o r yo fs u p e r c o n d u e t i v i t yi sd e v e l o p e d 。 t h er e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h o s eo fm c m i l l a n ，a l l e na n dd y n e sa n de x p e r i m e n t a l d a t a ，i ti ss h o w nt h a tt h en e w r e s u l t sa r ei nv e r yg o o da g r e e m e n tw i t ht h ee x p e r i m e n t , a l d a t a t h eu n i f i e dt h e o r yh a sn oe x t r aa s s m n p t i o n sa n da l s os u p p l i e sa ne x a c ts o l u b l e e x a m p l eo ft h et h i r df o r m a l i s mo fq u a n t u ms t a t i s t i c s ，t h et co fm g b 2i sc l o s et ot h e u n i f i e dt cc u r v e jt h er e a s o n sa r ed i s c u s s e d av i r t u a lv a c u u mf l u c t u a t i o nm e c h a n i s m i sa l s os u g g e s t e d 。s p e c i a l l yn o t i c et h a tt h ec i t e d1 9e x p e r i m e n t a ld a t aa r el o c a t e di no r n e a ro u rc u r v ea n da w a yf r o mt h o s eo fb c st h e o r y t h et h e o r yi sa s y m p t o t i ca c c u r a t e w i t h o u ti n t r o d u c i n gv a r i t i o nm e t h o d ，t h ec o m p e n s a t i o no fd a n g e r o u sd i a g r a m s ，c i t t o f f a p p r o x i m a t i o ne t c g e n e r a l l ys p e a k i n gt h a te n e r g yg a po fs u p e r c o n d u c t i v i t y , t h ee x c i t a t i o ne n e r g y 2 s p e c t r u mo fq u a s i p a r t i c l e sa x ed e f i n e di ns o m ea p p r o x i m a t i o nt h e o r i e s ，e g m e a nf i e l d t h e o r y i ti sv e r yi n t e r e s t i n gt of i n di t ss u i t a b l ed e f i n i t i o ni n a ne x a c tt h e o r 矿i nt h i s p a p e r an e wi n v e s t i g a t i o no nt h eo r d e rp a r a m e t e ri n au n i f i e da n da s y m p t o t i c a l l y e x a c tt h e o r yo fs u p e r c o n d u c t i v i t yf r o mw e a kt os t r o n gc o u p l i n gi na ne l e c t r o n p h o n o n m o d e li sp r e s e n t e d b e c a u s ei nt h es t u d i e so nc r i t i c a le x p o n e n t si nc r i t i c a lp h e n o m e n a ， t t l er e s u l t so fm e a nf i e l dt h e o r i e sa r en o ts u i t a b l ei ng e n e r a lc a s e s i ti si n t e r e s t i n gt o d e v e l o ps o m ee x a c tt h e o r i e st os t u d yt h ec r i t i c a le x p o n e n t s i nt h i st h e s i s ，a ne x a c t e x p r e s s i o no fo r d e rp a r a m e t e ri so b t a i n e d k e y w o r d s ： b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ，s u p e r c o n d u c t i v i t y ，o r d e rp a r a m e t e ra n dc r i t i c a le x p o n e n t s ，v a c u u mf l u c t u a t i o n ，t h et h i r df o r m a l i s mo f q u a n t u ms t a t i s t i c s 3 第一章 曩言 爱嚣精缝衣玻色1 9 2 4 年王作懿墓磷上溪言了瑗色一一爱落赫毽凝结b e c 静存 在 1 ，2 ，3 。1 9 9 5 年，人们在实验上首次实现了b e c 4 ，5 ，6 l 。在这之后世界各国的 辩研工佟者在这一领域做了大量的壤论和实验方丽的研究工作众骈两知，量子光学 中存在光子的搬于态，b e c 中存在原予的超于态，有棚互作用的玻色体系的b e c ， 是量子统计多体领域中的一个重要的闯题，包含蒋许多丰富而有趣的内容并有着深刻 懿物理意义；奁实验上( 寿5 基体系) 发生b e c 拜孛，毒太爨戆玻氛予占据一令或几个微 观态，因此有限系统可能包含着相变理论的新的丰富内容，b e c 很可能会在理论物 毽方蟊开蠲一个舂瀑邋影璃魏全耨镣域。为了表彰这一领域静先驱工俸，2 0 0 1 年度 的诺贝尔物理奖被授予给了b a c o r n e l l ，wk e t t e r t e ，和c e w i e m a n 三人。 超导，尤其是高温超导的理论研究，由于其爨大的应用前精和极大的研究难度， 使这方露谤究工作倍受人贸美注。擞雾各题寿大爨螅科褥工佟卷在从渗超导豹理论程 实验研究，每年有大量的关于超导的新的文章和报道柱这方面的任何新的理论突破 将有重大酌意义帮价鬣2 0 0 3 年度戆诺羰尔物瑗奖授予了蔚苏联扶寥超导理论磅究 的科学家k a p i t z a ，a b r i k o s o v 和从事超流研究的荧国科学家l e g g e t t 。 量子统计的第一种表述吉布斯统计在上个世纪取得了巨大的成功，但其有两个困 难；一个怒求所有的戆级，另一个是无穷的求积。爨子绞计的第二转表述是路径积分， 但其严格数学定义尚不是很清楚。量子统计的第三种表述是泛函积分f 7 卜1 1 7 j ，泛函积 分没有数学定义上懿爨难，我# j 对b e c 零羹怒导懿理论琚究是麓予泛涵积分疆论，理 论研究的成功同时也是对量子统计第三种表述的发展和验证。 在理论物理，凝聚态物遴研究巾的一艟方法包括：t h o m a s - f e r m i 近似方法， h a r t r e e - f o c k 近似，微捷论，变分法，玻色纯，高欺波泛鳞( 皇浍离婚模型) ，疆整化群 方法，格林函数法等都不是严格解；我们的蹰标是寻求高维的，最子的，有相变的严格 解，发浸蘩予缝计第三耱表述。我甄瓣严强璞论将趣逡乎均场理论，这在量子统诗中楚 很谢意义的。量子统计中大多数的严格解模型都是一维的，并且是建立在y a n g - b a x t e r 方撩或b e t h ea n s a t z 理论基磷之上酶f i 8 f 1 9 i ，高雅的有藕交的严格解还没有。雨b e c 和趣导都是高维的有相变的量子系统，b e c 和趣导理论研究中的方法都是一些近似 方法或基于平均场理论的。这就是我们的理论优于其他理论方法之所在。 本文缀级热下： 在第二章，我们将用泛函积分方法【7 1 7 】研究三绒和准一维各向异性谐振外场 7 8 第一章前言 约束下吸引相互作用体系b e c 的特性，我们发展了一个在谐振子外场中可严格解的 f s d ( ”前项散射为主”) 模型，并以此研究了7 l i 原子气体的坐标和动量分布。集中讨 论了吸引相互作用对b e c 的影响 在第三章中，我们将用泛函积分方法研究三维各向异性谐振外场约束下排斥相互 作用体系b e c 的特性，借助于f s d 模型，我们研究了排斥相互作用玻色气体的坐标 和动量分布。 在第四章中，我们通过泛函积分方法发展了一个电声子模型哈密顿量的渐近精确 解。我们从电声子模型的哈密顿出发，借助于量子统计的第三种表述和对角化定理， 我们研究了超导体在弱耦合和强耦合情况下的特性以此为基础，我们推导出了严格 理论中的序参数的精确表达式。 第二章用坐标和动量分布研究各向舁性谐振子外场下吸引相 互作用的玻色体系b e c 的特性 2 1 引言 垂扶1 9 9 5 年以来，玻色一爱因斯蠛凝结( b e c ) 程不霹的实验塞被观察到【4 、5 ，6 1 ， 有许多研究密开始及事b e c 静研究。在各种原子气体孛最有趣辩是7 血原子f 5 j ，它 的散色长度是负的，原子之间具有吸引的相互作用，而具有吸引相互作用的体系是不 稳定的。但对于有外场约束的条件下，情况会不一榉，在一定条件下，可能形戚旺稳 态懿b e c 7 l i 菝子豹b e c 实验静实褒弓 发了夫爨对这一褒豢黪理论硬突豹缀大匏 兴趣 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 i 。 通常棚变理论是建立在分析热力学函数的奇异性行为的基础上，在研究b e c 问 题畦不再逮会。因为理饯掰毒b e c 懿实验都是在露隈懿体系空阙态窦理的，藤不是 热力学极限。对于有限体系，所有的热力学函数都怒解鸯亍的，帮使在发生b e c 的临 界点上，热力学函数仍旧滚续变化。 在极短的对阉内在这么小的空闻内佟出比热实验测量是十分困难的，对b e c 最好 豹描述魏楚瓷标稻凌量分布函数。文漱f 2 蹉餐赘东渗赫求秘方法瓣究遥瑾怒玻惫气箨 的b e c 分布并给出了解析液达式。借助予不同的理论( 近似) 方法研究有相互作用的玻 色体系的特憔是有重要意义的，例如一熬平均场理论方法：t h o m a s f e r m i 近似方法， h a r t r e e - f o c k 溪论，b o g o 嚣u b o v 理论，g r o s s - p i t a e v s k i i 方程等， 2 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 ，3 羽 但平均场理论方法有其蠲限性，在b e c 的研究中，维硬核模激【3 4 】和有穗互作用 的谐振子模烈f 3 5 1 的研究都表明理论黼要超越平均场理论 在这麓文章中，我嬲发展了一个巍 冀摄子多 场巾可严播解的f s d ( ”翦磺数瓣为 主”) 模型，并以此为基础研究谐振子外场中7 l i 撞予气体豹坐标帮动量分布。穗论簪 究也许会对理解吸引相置作用的玻色体系b e c 的特性以及将来的实验提供有用的信 息。 2 2 ”f s d ”模型 有谮攮子夕 场约寨懿瑗色系啥密赣霪可班表示为 9 1 0 第二章用嫩标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 詹：岛+ 啻 卅：妻f 一蒹v ；+ y ( 酬+ ；u 阿一弓) ( 2 1 ) l 勺 其中v ( o = m i ：，谚。；， ：1 1 = - z h - m 兰2v 2 + v 慨) ( 22 ) 我们取反的本正函数基作为二次爨予化鲍基，铡热，对一维情况： 蛳( 茁) 一帆e i 1 。2 一凰( a 茹)( 2 3 ) 其中一警，峨一( 赢) 5 ，( 。) 是愿密函数。 我翻考纛”前离散色为烹”懿稽茧俸麓，这榉我艇可以褰擎确褥究谐振子羚场中玻 色子的b e c 的特性。令： 厩。= u f f 一尹) ，我们从二次量子化中的动量表象出发， 耦合矩阵元鼹； e 儡西冠蹦一：嘉字强+ 而。耐+ 弼 ( 2 4 ) 其中矿一厩一p i = 剜一癌是交换动壤 毅壤缓下，魏果交换动基为零戆璞占据支配邈经，嚣么我弱哥骥哭糅整含宥虿= 0 的项现在我们考虑玻色予间为吸弓i 糟厦作用的情况，令： 矿汀一0 ) ；翰，其中 u o = 4 ，r a h 2 m a 是s 波散射长度，m 魁原子质量对于“原子，岛= 一1 4 6 n m 3 6 ， 波# j 把这秘类懋的稿互佟用# q 傲蓠顼散射为主的相互俸震( f s d ) 。这榉毫。可以袭示 为； 瓯t 一雾稚知 萨声 我们把它转换成谐振子表象考虑到场算符谚可以表示为 因此 ( 2 5 ) 每( 砖= 茹妇( 刁= ( 而 ( 2 6 ) 筘 m 磅= 嫁力 耋尹 m ” ( 2 7 ) 5 2 3 ”f s d ”模型的严格解 这样我们得到 皓= 酝蟊( ，) 蠊( 一) d ， m 。 ( 2 8 ) 亢f = 6 去，b m 蜡( ) 妒。，( 刁d ，咖( ，) 妒( 一) d f 7 声m m 7 声。 ” = 6 轰，6 。d 尹d r 7 6 ( ，一一) 妒。，( 一) 嚅( 刁 m m ， “ = 5 土，6 。d f 附( 刁戚( 力 m m ， j = 话，5 。如= ( 2 9 ) m l ，m 以上我们证明在前向散色近似中，相互作用可以表示为以下这种形似： 宜n t 一万u o 莩劫等妇2 一雾；善 ( 。，。) 我们把它称之为”前项散射为主”的模型( f s d ) ，这个模型的特点是可以精确求 解并有清晰的物理意义，并且可以和b e c 的研究联系起来 2 3 ”f s d ”模型的严格解 我们从巨配分函数出发： 三= t r e ( p 一) 卢】= t r e 一 ( 一p ) 讯口+ 势 ，k7 讯乱卢】 ( 2 1 1 ) 其中= 1 k b t ；k b ，t 分别是玻尔兹曼常数和温度依据量子统计第三种表 述，借助于修正的s t 趣t o n o v i c h 恒等式 7 ，我们得到： 庙= 仁如仁蛳刊印e 圻珏脚r ( 2 1 2 ) 其中。= z + i y ， 令a = 西= 、雾。饥，我们可以将哈密顿算符线性化： 三曲 ( f z 妣h 2 _ 小一胁脚嘶t 俘吲 ( 2 1 3 ) 1 2 第二章用坐标和动量分布研究备向异性谐撤子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 其中 考虑到求迹慰与表象无关的，我们可以邀撵厄密殴数熬作为表象基矢寒求迹： 丁r 眇一时p ) 峨p 也狮* 喾札1 一矿小一) h * f l - 2 z 打* 、等蚓j 一眇溆叫哪啦师簪叫】 一翠苇豢拳 霉均 对y 积分并令：饥= 翳，6 = 、劳匙予，我们得到了巨配分函数的精确解三： 。骢胁2 玎篡： p d x e 一”2 2e ，江t f v “，( 2 1 5 ) 似，州加。i n 案筹 女，i ；彳、飘靠帮 = p 筹 擘嘲 方程( 2 1 5 ) 给出了令人振奋的结果，这是一个精确可解的模型，也许是量子统计 中有棚变的第一个w 严格解的三缎模型 为了诗羹传学势芦，我秘交淡下表达式交发徽数篷诗葵： 对：一坐：k b t 塑 8 越 三 0 “ 一1 仁妣2 w ( 篙羔“j 一 i1 一型型篓慕掣)(2。17)1 一e ( 强一2 z 锄( 十1 ) 7， 2 4 吸引相互作用玻色体系的坐标分布 只要我们解函数方程( 2 1 7 ) 求出化学势，我们就可以开始计算坐标和动量分布 2 4 吸引相互作用玻色体系的坐标分布 坐标空间中粒子数密度可以表示为 n d ( 力= 6 根据二次量子化中的f o c k 理论 3 7 ，粒子数密度算符d ( 力可以表示为 1 3 ( 2 1 8 1 d ( 刁：，西+ ( f ，) 6 ( 一一力每( ，) d 一( 2 1 9 ) 其中每( ，) 是场算符用正交的厄密函数基 妒。( 而) 展开，我们得到如下具体的 表达式： d ( r - ) a + 锄妒：( 刁忱( 力 k f ( 2 2 0 ) 借助于密度矩阵元p ，通过求系综平均我们可以得到坐标分布d ( 司的表达式 西( 刁= t r a e e p b ( 力 = t r a c e 【p a 吉j f 妒；( 力妒f ( 刁 ( 2 2 1 ) 女f 假设有相互作用的体系的哈密顿量由( 2 1 0 ) 表示，取谐振子表象，并把风和p 的共同的本征函数作为二次量子化的基这样在这个表象中p 可以对角化。我们得到 如下的表达式： = 以，i 因此在f s d 模型中，我们可以精确得到粒子数密度的坐标分布 西( ) = 钆f 妒t ( 而j 2 = 厕。，l 忱，。( 力1 2 ( 2 2 2 ) kf m n = o 其中帆。，。( 力= 忱( ) ( ) ( 如) 是三重厄密函数 占据数饥不是通常的玻色分布，这一点与理想气体不同我们可以找到占据数 的精确表达式： 1 4 第二章用坐标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 讯一。k b t 墨：1 。如。2 + ， = o 2j 一” ( 芸2 ：c 肇1 装蒜2 x ) ( 2 。s ) 、1 一e m ，m ，n d e ( m ，m ，n d ) ( _ + 1 ) 7 、“， 其中m ，m ，。= 等，“= e 1 m ，。= ( f + m + n + i ) 轧 这样对于玻色体系的f s d 模型，我们得到了坐标分布d ( z ) 的精确表达式 ，。 d ( z ) = d x 。d ( x 。，0 ，z ) j o 。 = 吾1 仁虮2 + ，( 芸 一j 一。 nm l 1。 一盟掣竺= 祟) m o ) 陬( 。) i 。 (224)1一e ( m , m , n - - 2 2 6 ) ( + 1 ) 7 ”。、。7 o r “、“7 l 、7 2 5 吸引相互作用玻色体系的动量分布 动量空间中密度算符d ( 四可以表示为 b ( p 03 - 矿拶) 6 一四西) ( 2 2 5 ) 其中谚( 】j ，) 是场算符把它用正交的厄密函数基展开 妒。( 回) ： b ( p - ) = 粕蝶咖( 回 ( 2 2 6 ) k ，2 借助于密度矩阵元卢，通过求系综平均我们可以得到动量分布d ( 刃： 西( 司= t r a c e p d ( p - ) = t r n c e p a 者a l 】妒；( 刃忱( 刃 ( 22 7 ) k ，f 对于f s d 模型，相应的动量分布可以精确的表示为： 。 西( 刃= 嘞。i 帆。，。( j j ) f 2 ( 2 2 8 ) i m ，n = 0 2 6 收敛问题及消发散的方法1 5 其中忱，。，。( 力= 仰( m ) 妒。( 砌) 妒。慨) 是三重厄密函数这样我们得到了f s d 模 型中动量分布的精确表达式： 蚴= 童1 仁妣2 + ，( # 嘉 一j o 。一i 一i：兰等；兰；裟)妒。(o)i。i妒。(p：)i。(z29)2 l e ( m 一z6 卜( + 1 ) 7 l r7 “”，ll r “l ，。川 我们可以做个标度转换： z p z ( 一) ，这样可以在坐标和动量分布之间转换， 如果我们以1 o 。作为坐标。的标度，那么我们用o ：充作为动量的标度，在f s d 模型 中，对于所有的存在谐振子外场的情况，坐标和动量分布的图形是一致的 2 6 收敛问题及消发散的方法 在我们的吸引b e c 的理论中一个很有趣的问题是收敛问题，例如在方程f 2 1 4 ) 中的级数收敛问题。因为x 可以从一o 。变到+ 。，任何有限的弘不能保证级数的收 敛这个问题也许会使人怀疑体系是否稳定，理论是否正确。所以我们必须事先给出 证明 我们可以先对小的z 做无穷层求和得到如下表达式： t r e 【憎e k ( 一卢) p 一2 。打、垆机】1 = 1 一e 岬邮q 何。v ，秽】- 1( 2 3 0 ) k 然后解析延续到大的z ，在延续过程中表达式仍旧是解析的依据解析函数在解 析区域做解析延续是唯一的定理，所以我们的结果仍旧是唯一的和有效的这样我们 证明了表达式( 2 1 4 ) 是正确的，在解析区域内级数收敛也得到了保证 这种处理方式很象r e i m a n nz e t a 函数，由如下表达式定义： 沁) 2 珥( 1 一专) _ ( z 3 1 ) 芦 基本原理是一致的，这要归功于欧拉的欧拉乘积，但欧拉只考虑了兄e ( z ) 1 区 域内的特殊值。是r i e m a n n 首先考虑到( 。) 是复变数的解析函数f 3 8 】。在兄e ( 。) 1 的区域内z e t a 函数可以通过解析函数延续定义。 1 6 第二章用坐标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 在证明过程中，泛函积分严格解的理论的优点是很显然的，但只在解析区域内有 效。另一个重要问题是发散问题： 1 】在( 2 3 0 ) 中，当z o = 器，表达式将会发散，但是如果只有一个单极点的话， 可以通过柯西定理解决 2 】在( 2 3 0 ) 中，是态的标记，是可以简并的，这样奇异性将会变成高阶的，这 将导致积分发散。所以这是泛函积分理论中的一个重要的问题。 所以解析延拓不足以解决所有的问题。文献 9 1 1 】， 1 5 】， 1 6 】， 1 7 指出在泛函积分 近似中消去所有的发散是非常重要的也是基本的研究内容。在当前理论中我们采取如 下的方法消发散： 我们先考虑在有限的体积和粒子数的情况下完成积分，然后令体积和粒子数趋于 无穷。从这个思路出发，在方程( 2 3 0 ) 中我们可以先从有限的求和出发。因为对于有 限的n ，对于各个态，所有的占据数满足的必要条件是礼k ，因此： 掣，其中q ：e 纠z 6 ( 23 2 ) l 一0 当q 一1 ，甚。矿一( + 1 ) 这意味着即使对于简并态，在x o 所有的奇点都 是可去奇点，这样所有的奇点都可以去掉了。因此我们得到了三的一个精确的没有发 散的表达式： 量一i 。i 蔫 2 7 总结 ( 2 3 3 ) 这样积分的收敛 在这篇文章中，我们首先计算了存在弱吸引相互作用的玻色体系的化学势对温度 的依赖关系( 图2 1 ) 。从图2 1 可以看出，在临界温度正，化学势会发生明显的变化， 这样临界温度就可以被确定下来( 文献【3 9 】研究了有限空间玻色体系b e c 中i 瞄 界温度的定义) 图21 中我们还给出了理想玻色气体的化学势随温度变化关系做比 较图2 1 还表明吸引相互作用将会使瓦升高。通过数据分析我们得到了理想玻色 矿 5 2 7 总结 1 7 气体的临界温度是2 7 8 8n k ，对于弱吸引相互作用的玻色体系，取相互作用参数 6 = 1 0 一3 、两砸面虿万飞石面，临界温度t c 是2 8 2 on k 图2 1 ：理想玻色气体( 6 = 0 ) 和有吸引相互作用玻色气体的化学势盖随温度的变化关 系。( 其中相互作用参数5 = 5 0 两硒蕊= 7 开元可，6 0 = 1 0 _ 3 ) 为了对比，我们在图2 2 中给出了理想玻色气体的坐标和动量分布函数。这种凝 结是由于粒子的不可分辨性原理和多体问题中波函数的置换对称性引起的，没有任何 相互作用。 众p ) i ：n 知，玻色子间弱的相互作用的凝结并不意味着相互作用的效果可以忽略 研究吸引相互作用对凝结的影响是有趣的和有意义的。 有报道称，7 “原子的实验中，注入原子的数目不低于2 0 0 0 0 1 4 0 在这篇文章 中，我们取谐振子外场震荡频率：v z = 3 7 3h z ，2 2 = = 比 8 引自f 4 1 的工作， 注入的原子数为4 0 0 0 0 。在有外场约束的原子b e c 实验中，典型的粒子密度值n = y 1 0 ”一1 0 “c m 一3 4 2 】_ 4 3 】- 我们选择相互作用参数6 = 5 0 丽斫面万万丽， 其中6 。= 1 0 ，这样我们的密度值n ( 1 0 ”一_ 3 ) 在低温下疋周围的区域内与有外 场约束的原子b e c 实验是符合的。 我们最感兴趣的一个问题是原子间的吸引相互作用对坐标和动量分布函数的影 响。我们的结果表明：在临界温度正，从坐标和动量分布函数中可以观察到一个凝结 峰( 图2 3 ) 。在临界温度疋以下，随着温度的降低，在谐振子外场的中心区域，粒子 数密度会有明显的增强，这可以从图2 3 上明显的看出来。这表明在临界温度以下， 相互作用的效果更加重要。 1 8 第二章用坐标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 事 拿 奎 璺 荽 蚕 告 图2 2 ：理想玻色气体坐标分布d ( z ) ( 哟) 随z o l ；的变化关系，或动量分布d ( p 。) c b 。h 2 随p z ( 。h ) 的变化关系= o ) ( 温度由理想玻色气体的临界温度= 2 7 88 n k 标 记) 图2 3 ：吸引相互作用玻色气体坐标分布d ( z ) ( a f a 。) 随z a ：的变化关系，或者动量分 布d ( p z ) a ，o 。h 2 随m ( a ：h ) 的变化关系( 相互作用参数6 = 5 0 甄而蕊霸五珂，5 0 = 1 0 。温度由玻色气体的临界温度咒= 2 8 2 o n k 标记) r5争(zdtd)口一事薹n。生一d 2 7 总结 1 9 在同一温度下，相对于理想玻色气体，吸引相互作用将会增加凝结峰值的高度。 ( 图2 4 ) 这意味着在体系稳定的限度内，吸引相互作用有利于b e c 的形成 图2 4 ：在同一温度下原子之间的吸引相互作用对理想玻色气体坐标和动量分布的影 响。( 温度由理想玻色气体的临界温度= 2 7 8 8 n k 标记) 为了进一步分析凝结玻色子在低温下的作用，我们在图2 5 ，图26 ，图2 7 中 分别给出了凝结玻色子在理想情况下的分布( 图2 , 5 ) ，在吸引相互作用下的分布( 图 26 ) 和在同一温度下的吸引相互作用对理想玻色气体的比较( 图27 ) 。 从图中我们可以清晰的看出，在临界温度以下，是凝结玻色子形成了增强峰 许多作者研究过坐标和动量分布函数 2 9 一f 3 2 】，其中绝大多数用的都是平均场 方法，例如：文献 2 9 】用自洽的h a r t r e e - f o c k 理论研究了7 “分布函数，但这些工作 中几乎没有严格解，即使有也局限在一维 我们的工作是建立在”f s d ”模型上的精确解，用量子统计第三种表述进行研究， 得到了以下结论； 在可严格解的”f s d ”模型中，在一定的条件下，有吸引相互作用的玻色子会 发生凝结。这一点与实验 5 】和 4 0 一致 2 在体系稳定的限度内，吸引相互作用将会升高b e c 的卫 【3 】3 通过”f s d ”模型的精确解得到了负散射长度玻色气体的三维坐标和动量分 布，吸引相互作用的效果是与实验 5 】【4 0 】一致的 一个具有挑战意义的问题是对于有限体系如何定义新的相变。在通常的相变理论 中，二维体系通常是没有相变的，但却仍然可以有大量的玻色子占据微观态。如果这 暑手ooj誊凸l。一(z。ko 2 0 第二章用坐标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 图2 5 ：理想玻色气体( j = 0 ) 的凝结玻色子的坐标分布n o o o l o o o ( y = 0 ，z ) 1 2 ( | v o v 。) 随 z a ：的变化关系，或动量分布n o o o t p o o o ( p ”= o ，p z ) 1 2 0 t n ： 2 随胁( 。h ) 的变化关系。， 其中o r y , z = 、户平，u ”= 2 ”( 温度由理想玻色气体的临界温度= 2 7 8 8 n k 标 记。) 圣孳 瑟 图2 6 吸引相互作用玻色气体凝结玻色子的坐标分布n o o o l f f y o o o ( y = 0 ，z ) 1 2 ( n a 。o ：) 随 z o z 的变化关系，或动量分布n o o o i v o o o ( p y = o ，m ) 1 2 0 t n ：舻随m ( n ： ) 的变化关系。其 中相互作用参数d = 5 0 、2 8 0 ( n k ) t ( n k ) ，如= 1 0 一。 a ”= 、弓 ，吻# = 2 ”p ( 温 度由玻色气体的临界温度正= 2 8 2 o n k 标记) 一暑f箩吾。-d)。旷1u】 (in)妄n。k一；扩1c 5 2 8 一维吸引b e c 的结果和总结 2 1 图2 7 ：在同一温度下原子之间的吸引相互作用对理想玻色气体凝结玻色子的坐标和动 量分布函数的影响。( 温度由理想玻色气体的临界温度噩。= 2 7 8 8 n k 标记) 些态有超流或是相位相干的，那么我们可以定义一个宏观量子态，我们可以把这些特 殊的态定义一个新的相。因为在历史上， ko n e s 首先发现了超导，接着人们定义了 一个新的相然后发现了相变对于有限体系，存在一些有不同特性的不同的态，我们 可以把有限体系中不同态之间的转变叫做子相相变。有限体系可能包含着相变理论的 新的丰富内容，b e c 很可能在理论物理方面开创了一个具有深远影响的新领域。 2 8 一维吸引b e c 的结果和总结 b e c 在准一维和准二维体系内被实验所实现 4 4 ，这是很重要也很有趣的现象 相变的特性依赖于空间自由度，空间自由度对b e c 的特性也会有影响，因此，对低 维b e c 的研究是相互作用玻色体系研究中的一个很重要领域。低温下准一维玻色系 统b e c 的实现激发了人们对这一现象理论研究的极大兴趣，研究者在这方面做了大 量的工作， 4 5 4 6 11 4 7 4 8 j 等等 这篇文章中，我们在三维吸引b e c 的理论框架下，用前向散射模型( ”f s d ”) 和 泛函积分理论研究了准一维吸引b e c 的特性。我们取谐振子外场频率：屹= 2 ”35 h z ，= 唧= 2 7 rx3 6 0 h z1 4 4 i ，原子数n = 1 0 0 0 0 在有外场约束的原子b e c 实验中，典型的粒子密度值n = n v 一1 0 1 2 1 0 “c m 一1 4 2 4 3 1 我们选择相互作用参数5 = 屯 而面耳驴开元两，其中5 0 = 0 0 0 2 这样我们的密度值扎( 一1 0 1 3 一。) 在低温下正附近的区域内与有外场约束的原子 一暑量rk卺。-d10u】 (1己王霄ok一兰0c 2 2 第二章用坐标和动量分布研究各向异性谐振子外场下吸引相互作用的玻色体系b e c 的特性 b e c 实验是符合的。 我们首先计算了存在吸引相互作用的准一维玻色体系中化学势随温度的变化关 系，化学势发生明显变化的位置对应的温度就是临界温度( 图2 8 ) ，这样就可以确定 临界温度。取相互作用参数6 = o 0 0 2 7 0 ( n k ) t ( n ) ，则临界温度为7 22 9 n k ( 文 献3 9 1 研究了有限空间玻色体系b e c 中l 临界温度的定义) 我们最感兴趣的一个问题是原子间的吸引相互作用对准一维玻色体系坐标和动量 分布的影响我们的结果表明：在l 陆界温度正，从坐标和动量分布函数中可以观察到 一个凝结峰( 图2 9 ) 在临界温度卫以下，随着温度的降低，在谐振子外场的中心 区域，粒子数密度会有明显的增强。这表明在i | 缶界温度以下，相互作用的效果更加重 要。在同一温度下，相对于理想情况，考虑吸引相互作用时分布会升高，这表明吸引 相互作用有利于准一维b e c 的形成。我们还研究了准一维吸引玻色体系凝结原子的 分布( 图2 1 0 ) ，可以明显看出，在临界温度以下，凝结原子的影响占主要地位并使凝