（应用数学专业论文）粗糙测度与粗糙概率基础.pdf

河北大学 学位论文独创性声明 l i i i iilu tt l l l l i ii tlll 17 9 8 3 7 4 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名：望日期：_ 年上月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密口。 ( 请在以上相应方格内打“”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 魈挺匆舳狙越农牟薹础) 的学位论文，是我个人在导师僦 并与导师合作下取得的研究成果， 研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费 资助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定 的各项法律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大 学的书面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内 容。如果违反本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人：塑 作者签名： 导师签名： 咒教秀 日期：二型年上月j l 日 日期：兰：里年兰月j 壬二_ 一日 日期：盟年上月上一同 摘要 摘要 粗糙集理论是一种处理不精确、不确定与不完整数据的新型数学工具基于z p a w l a k 粗糙集，本文定义了“粗糙交 、“粗糙并 、“粗糙差 、“粗糙补四种运算关 系在四种粗糙运算的基础上提出了上、下粗糙测度与粗糙测度的概念，给出并证明了 它们的性质，为度量粗糙集合提供了一种新的方式同时，本文定义了一个具有自对偶 性质的粗糙测度相糙概率在粗糙概率空间上给出了粗糙变量、粗糙分布、粗糙期 望、粗糙方差的概念，给出并证明了它们的性质 关键词粗糙集粗糙运算粗糙测度粗糙概率 a b s t r a c t a b s t r a c t r o u g hs e tt h e o r yi s an e wa n de f f e c t i v em a t h e m a t i c a lt h e o r yu s e df o r p r o c e s s i n g i n c o m p l e t e ，u n c e r t a i na n dv a g u ed a t a f o u rn e ws e t - t h e o r e t i co p e r a t o r s - r o u g hi n t e r s e c t i o n , r o u g hu n i o n , r o u g hd i f f e r e n c ea n dr o u g hc o m p l e m e n ta r ed e f i n e db a s e do nz p a w l a kr o u g h s e t u p p e rr o u g hm e a s u r e ，l o w e rr o u g hm e 经l s u r ea n dr o u g hm e a s u r ea r ep r e s e n t e do nt h eb a s i s o fr o u g ho p e r a t o r s ，a n dt h e i rp r o p o s i t i o n sa r eg i v e na n dp r o v e d u p p e rr o u g hm e a s u r e ，l o w e r r o u g hm e a s u r ea n dr o u g hm e a s u r ep r o v i d en e wm e a s u r ew a y sf o rt h er o u g hs e t a tt h es a m e t i m e ，as e l f - d u a lr o u g hm e a s u r e - - t o u g hp r o b a b i l i t yi sp r e s e n t e d o nt h er o u g hp r o b a b i l i t y s p a c e ，r o u g hv a r i a b l e ，r o u g hd i s t r i b u t i o n ，r o u g he x p e c t e dv a l u e ，a n dr o u g hv a r i a n c ea r e d e f i n e d , t h e i rp r o p o s i t i o n sa g eg i v e na n dp r o v e d k e y w o r d s ：r o u g hs e t ；r o u g ho p e r a t i o n s ；r o u g hm e a s u r e ；r o u g hp r o b a b i l i t y 目录 目录 第l 章绪论。1 1 1 粗糙集理论的产生背景及研究现状l 1 2 粗糙测度与粗糙概率的提出及意义l 1 3 本文的主要内容2 第2 章粗糙运算4 2 1 粗糙集理论的基本概念4 2 2 粗糙运算5 第3 章粗糙测度1 2 3 7l 上粗糙测度1 2 3 2 下粗糙测度1 5 3 3 粗糙测度j 1 6 3 4 乘积粗糙测度。1 7 第4 章粗糙概率2 1 4 1 粗糙概率2 1 4 2粗糙概率分布2 4 4 2 1 粗糙变量。2 4 4 2 2 粗糙概率分布_ 2 6 4 3粗糙变量的数字特征3 0 第5 章结论与展望3 7 参考文献。3 8 攻读硕士学位期间撰写的论文4 0 驾【 谢：4 1 i i i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 粗糙集理论的产生背景及研究现状 粗糙集理论作为一种处理不精确、不确定与不完全数据的新的数学理论，最初是由 波兰数学家z p a w l a k 【1 ，刁于1 9 8 2 年提出来的由于最初关于粗糙集的研究大部分是用 波兰语发表的，因此当时并未引起国际计算机界和数学界的重视，研究地域也仅限于东 欧的一些国家，直到2 0 世纪8 0 年代末才逐渐引起各国学者的关注由于它在机器学习 和知识发现、数据挖掘、决策支持与分析等方面的广泛、成功的应用 3 1 2 ，已成为当 前计算机、人工智能、信息科学等领域的热点之一 粗糙集理论是建立在分类机制基础上的，它将分类理解为特定空间上的等价关系， 而等价关系构成了对该空间的划分粗糙集理论将知识理解为对数据划分的结果，每一 被划分的集合称为概念它的主要思想是利用已知的知识库，将不精确或不确定的知识 用已知的知识库中的知识来近似刻画该理论与其他处理不精确不确定问题理论的最显 著区别在于它无需提供问题所需处理的数据集合之外的任何先验信息，所以对问题的不 确定性的处理或描述较为客观由于这个理论未包含处理不精确或不确定原始数据的机 制，所以这个理论与概率论、模糊数学和证据理论等其他处理不精确或不确定问题的理 论又有很强的互补性 到目前为止，对粗糙集理论的研究主要集中在以下几个方面：属性约简和规则获取； 粗糙集模型的推广，包括可变精度模型、相容模型和相似模型等；与其他处理不确定性、 模糊性问题的数学理论的融合，包括和模糊集的融合、和神经网路的融合、和概率统计 方法的融合、和支持向量机( s v m ，s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e ) 的融合等等 1 2 粗糙测度与粗糙概率的提出及意义 为了解释集合的粗糙性，国内外一些学者把测度的概念引入粗糙集理论例如 z p a w l a k 等在文献 1 3 q a 定义的粗糙测度，刘宝碇等在文献【1 4 】中定义的信赖性测度等， 它们是研究粗糙现象的数学分支 z p a w l a kf 2 】认为人的智能表现为对事物( 事件、行为、感知等) 的分类 1 河北大学理学硕士学位论文 ( c l a s s i f i c a t i o n ) 能力正因为知识的有限性，使得人对事物的分类不可能是完全精确 的为了对集合进行度量，我们往往需要寻找一个合适的测度然而在实际生活中，我 们常常会遇到有限的知识对集合的描述是不够精确的，这就使我们很难用通常的方法找 到一个合适的度量方式为了说明这种情况，我们举例如下： 例1 假设有一堆木块，已知有红、黄、蓝三种颜色，方、圆、三角三种形状由 于生产中颜色搭配的需要，只记录着红、黄、蓝三种颜色的木块各占2 0 、3 0 、5 0 除 此之外，我们还知道红颜色的木块只有方形一种形状，黄颜色木块有圆、三角两种形状， 而蓝色木块三种形状都有 设u = 一堆木块l ，r 为以颜色分类的等价关系使得 u r = 红色木块 ， 黄色木块 ， 蓝色木块) 由已知的先验信息可以定义一个在仃( u r ) 上的概率测度p ，使得 p 红色木块 = o 2 ，p 黄色木块 = o 3 ，p 蓝色木块 = o 5 然而，因为已知信息的有限性，概率测度尸是无法对 方形木块 、 圆形木块 、 三角形木块 等许多集合进行度量的 文献 1 5 给出了既有粗糙性又有随机性的表达模型，并对粗糙随机信息系统的可测 性问题进行了初步的讨论文献 1 6 引入了粗糙可能性测度的概念基于z p a w l a k 粗 糙集模型，本文定义了“粗糙交、“粗糙并 、“粗糙差、“粗糙补 四种运算关系在 四种粗糙运算关系的基础上，我们把粗糙集的概念引入测度理论中，提出了粗糙测度和 粗糙概率的概念，使得利用有限的知识对粗糙集进行度量成为可能 1 3 本文的主要内容 为了更好的体现粗糙集之间的关系，在z p a w l a k 粗糙集模型的基础上，本文定义 了“粗糙交 、“粗糙并 、“粗糙差 、“粗糙补 四种运算关系我们把粗糙集的概念引 入测度理论中，在粗糙运算的基础上，提出了粗糙测度的概念文章主要内容如下： 1 ) 第2 章是预备知识首先介绍了粗糙集理论的一些基本概念和性质，并对粗糙 集进行了推广在z p a w l a k 粗糙集模型的基础上定义了“粗糙交 、“粗糙并 、 “粗糙差 、“粗糙补 四种运算关系，并且提出了粗糙o r 代数的概念； 2 第1 章绪论 2 ) 第3 章，在粗糙运算的基础上，本文分别给出了上、下粗糙测度和粗糙测度的 概念，并对它们的一些重要性质和定理进行了讨论同时，在乘积空间上，我 们提出了粗糙测度的概念，并且讨论了其性质； 3 ) 第4 章，我们给出了一个自对偶的粗糙测度一粗糙概率在粗糙概率空间上， 我们定义了粗糙变量，粗糙概率分布，粗糙期望值算子，粗糙方差，并对它们 的性质和定理进行了讨论 3 河北大学理学硕士学位论文 第2 章粗糙运算 2 1 粗糙集理论的基本概念 这一节，我们主要介绍关于粗糙集的一些基本概念和性质，相关内容可以参看文献 【l ，2 ，1 7 - 1 9 设u = 毛，x 2 ，毛 是有限对象集，称为论域，记舻缈) 为u 的幂集设r 是u 上的 等价关系，记 h 】足= x j u _ ) r ， 则叫尺= 【x k l 石u 构成了u 的一个划分，且 r1 仃( u r ) 2 t 吵舭u j 是u 上的盯代数 定义1 设只是u 上的等价关系，称( u ，r ) 为近似空间，对于任意x u ，记 星( x ) = x u i 【明且x ) = u 【石k | 【工kc ：x ， 页( x ) = x c 厂i 【x kn x a = u 【x ki t x l 置n x a ， 称星( x ) 为x 关于( u ，r ) 的下近似，j i i ( x ) 为x 关于( u ，r ) 的上近似若 尽( x ) = z = 页( x ) ，称x 是可定义的，否则称x 为粗糙集集合钿矗( x ) = 豆( x ) 一叁( x ) 称作集合x 关于r 的边界域；胛置( x ) = 星( x ) 称作集合x 关于r 的正域； 嘴晨( x ) = u 一页( x ) 称作集合x 关于r 的负域 显然有星，j i i ：矽( u ) 斗盯( u r ) ，分别称星与瓦为下近似算子与上近似算子 性质1 ，y u ，上、下近似算子具有以下性质： ( 1 ) 星( f 2 j ) = 尺( f 2 j ) = g ，星( u ) = r ( u ) = u ； ( 2 ) 丛x 融； 第2 章粗糙运算 ( 3 ) 尺( x u 】，) = r ( x ) u r ( 】，) ，星( x n 】r ) = 星( x ) n 星( y ) ； ( 4 ) x y = ： 一r xc 一一r y ，xc 】，j 瓦x 一r y ； ( 5 ) 星( r u y ) 2 星( x ) u 墨( y ) ，r ( y n y ) r ( x ) n r ( 1 r ) ； ( 6 ) 星( x 。) = ( 砑) 。，页( z 。) = ( 丛) c 定理1 设只是u 上的等价关系，则 r 、 盯( u r ) = u 4 昱：x = u t = x u ：叁( x ) = 豆( x ) l j e 工j 定理2 设( u ，r ) 是一个近似空间，对于任意的x ，y c u ，我们有 页( 石) n 豆( y ) = gj x n y = aj 叁( x ) n 星( 】，) = f 2 i 证明：由性质1 ，我们有 x 豆( x ) ，】，豆( 】，) ， 若豆( x ) n 豆( y ) = f 2 j ，贝u + x n r = o 类似的，若x n 】，= a ，则有星( x ) n 尽( y ) = a 定义2 设( ( 厂，r ) 是一个近似空间，对于任意的x ，y c u ， ( 1 ) 若基( x ) = 星( 】，) ，则称集合x 和y 为r 下粗相等，记作x = 足y ； ( 2 ) 若豆( x ) = 豆( 】r ) ，则称集合z 和y 为r 上粗相等，记作z = 置y ； ( 3 ) 若x 言置y r x = 矗】，则称集合x 和】，为r 粗相等，记作x y 注：= 晨，育矗和为等价关系 定义3 设( u ，r ) 是一个近似空间，对于任意的x ，y u ， ( 1 ) 若尽( x ) 叁( y ) ，则称集合x 为r 下粗包含于y ，记作x 月y ； ( 2 ) 若瓦( x ) 豆( y ) ，则称集合x 为r 上粗包含于y ，记作x 芒ry ； ( 3 ) 若x 且】，且x 芒置y ，则称集合x 为尺粗包含于】，记作x 喜矗】， 注：矗，乞和e r 为拟序关系 2 2 粗糙运算 一般情况下，粗糙集的研究对象非空集u 是有限的我们容易验证，若u 是无 洞北大学理学_ 颐士字位论文 限的，2 1 节中的定义仍然是合理的，并且上面的性质l 与定理2 仍然是成立的然而， 当u 为无限的，v r = 4 足：z u 不一定是一个划分对于任意的近似空间( u ，r ) 集 族u 定= 【z 】足：x u 称为集合u 相对于等价关系r 而言的商集( 可参看文献【2 0 】) 若 v r - 4 置：x u 是不可数的，我们有 仃( u r ) c z g u ：尽( x ) = 豆( 工好， 定理1 中的第一个等号并不总是被满足在下面的内容，我们把研究对象u 扩展成非 空集合对于所有可定义集所构成的类，我们给出了一个新的定义 定义4 设( u ，足) 是一个近似空间，记， c ( u r ) = x u ：星( x ) = 豆( x ) ) ， 我们称c ( u 尺) 为可定义类 由定义4 ，我们可以证明 仃( u r ) c c ( u r ) = x 互u ：尽( x ) = 夏( x ) ) - tu x l ：x c _ v t k x e x j 定理3 设( u ，r ) 是一个近似空间，那么e ( u r ) 是一个仃代数 众所周知，z p a w l a k 粗糙集模型中，对于任何一个粗糙集，我们用它的上下近似 来描述一些学者从不同角度对粗糙集的概念进行了解释，并通过定义不同的运算关系 讨论了它们的代数结构，这些内容我们可以参看文献【1 8 ，2 1 2 5 在本节中，基于z p a w l a k 粗糙集模型，我们定义了以下的粗糙交、粗糙并、粗糙差、粗糙补四种基本运 算关系 定义5 1 2 0 l 设x 是一个非空集合，记舻( x ) 为由x 的所有非空子集构成的集族称 映射g ：矽( x ) 专x 为x 的一个选择函数，如果它满足条件：对于任意ae 矽( x ) ，有 6 ( a ) a 公理1 1 2 0 l ( 选择公理) 任何一个非空集合都有一个选择函数 根据选择公理，对等价关系尺的等价类所构成的集类，存在一个选择函数，我们记 之为f ，以毽厂记厂的值的集合，我们定义矽( 【，) 上的一个一元运算s 如下： s ：矽( u ) 专矽( u ) 第2 章粗糙运算 v x c _ u ，令s ( x ) = b 厂n x b 8 定义6 设( u ，r ) 是一个近似空间，对于任意五u ，t e t ，其中r 是任意的一个 指标集，我们定义： u t e t 置置= g 尽( 置) u s f ，k , u t 主t 夏( 五) ) ； | d 譬五= 9 尽( 五) u s ( 0 页( 五) f e r e r i e r 一， 符号“u 詹与“n 矗 分别称为等价关系尺关于s 的粗糙并运算与粗糙交运算，在不会 混淆的情况下简称符号“u 足 与“n 置 为粗糙并与粗糙交 定理4 设( u ，r ) 是一个近似空间， 置：置互u ，t t ) 是任意一个集类，其中丁是 任意的一个指标集，那么对于任意的s 我们有： 基lu 胄置i _ u 星( 置) ；豆iu 置五l _ u 豆( 五) ； t e t t e t t c t t e t 星ln 矗置l - n 尽( 置) ；豆in r 五l - n 页( 置) t e tt e tt e tt c t 证明：由文献 1 8 】中的推论5 1 ，定理显然成立 注：由定理4 可知粗糙交与粗糙并的上下近似值与s 的选取无关 性质2 设( u ，尺) 是一个近似空间，v a ，b ，c eu 有 ( 1 ) a u 置a = a n 置a 置彳； ( 2 ) 彳u 足b = b u 置彳，彳n 置b = b n 胄a ； ( 3 ) ( 彳u 且b ) u 矗c = a u 矗( b u rc ) ，( a n 矗b ) n 置c = 彳n 矗( b n 矗c ) ； ( 4 ) ( a n 足b ) u 矗c = ( a u 置c ) n r ( b u 且c ) ，( a u 矗b ) n 置c = ( a n 足c ) u 矗( b n rc ) ； ( 5 ) 4 u 足a = an 且u 置a ，彳n 且g = a ，彳u 晨u = u 定理5 设( u ，r ) 是一个近似空间，对于任意x ，y c _ u ，我们有 x n 胄y ra 页( x ) n 豆( y ) = f 2 i 证明：“由定义2 ， x n ry 矗o 豆( x n 詹y ) = 叁( x n 置】，) = a 河北大学理学硕士学位论文 又由定理4 可得豆( x ) n j i i ( y ) = 星( x ) n 叁( 】，) = o ，那么j i i ( x ) n 夏( 】，) = o “仁弦若意( x ) n 豆( 】，) = a ，则由定理2 有星( x ) n 尽( y ) = a ，那么 j i i ( x n 足r ) ：r ( x n 矗y ) = 彩， 则有石n 矗y 置g 综上所述，问题得证 定义7 对任意集列 鼍 ，其粗糙上限集和粗糙下限集分别定义为： 画r 五= n 矗u 且五； l i i n r 五= f 1 矗u 且五； 蜘足五= u 月n 异五 一 f t 斤耳皇i 当且仅当面置五匦矗鼍x 时，称集列 以 粗糙收敛于x ，把x 叫做 五 的 粗糙极限集，记做x 足l i r a 矗五然而，若 置) 是粗糙收敛的，它并不一定是唯一的， 为了不产生歧义，若集列 五 是粗糙收敛的，我们规定l i m 足e = l i r a 足置 定理6 设( u ，尺) 是一个近似空间，集列 墨 的粗糙极限集存在当且仅当 尽( 以) 与 豆( 以) ) 极限集存在 证明：由定义7 与定理4 可知： 哂足以= 叫u 五五； 匦足五= u 足n 且五， i = nn = l 那么我们有l i i n 置以l i _ _ m m 足以 等价于 豆( 阿矗e ) = q q 页( 五) = 豆( 粤胄( 以) ) = g o 豆( 五) ； 星( 哂r ( 瓦) ) = o q 基( 五) = 尽( 粤足以) = q q 豆( 五) ， 等价于 第2 章粗糙运算 l i m s u p 。r ( x , , ) = l i m i n f 。页( 五) ， l i m s u p 。堡( 鼍) = l i m i n f ：i 基( 以) ， 问题得证 定理7 设( u ，r ) 是一个近似空间对于任意集列 五 ，若v n - 1 ，2 ， 五e 置以+ ，我们称 置 是粗糙单调增的，此时有l i r a 詹k = u 足以 v n = 1 ，2 ，五+ e 矗五，我们称 置 是粗糙单调减的，此时有l i i n 足以 证明：( 1 ) 若 以 是粗糙单调增的，由性质1 可知 夏( 置) 与 星( 置) ) 都是单调增 的，因此由定义6 与定义7 我们有： 画胄五= n 置u 足五 一 二一 同理 o o ， 、 = n 足iur 置i n - - i f = =足(璺尽(五)un=l豆( 五) ) ) ，= = ( q 星( ( 璺星c 五，u s ( 璺豆c 五，) u s ( q 豆( ( 璺尽c 五，u s ( q 豆c 墨，) - - in u e ( x , ) i u s in u 豆( 五) l n = l t = nn = l f = = ( q 叁( 墨) ) u s ( q 豆( 五) ， 匦足以= u 胄n 足置 = iu n 叁( 置) i u s iu n 豆( 五) l l n = l ，。j = i f = = ( q 星( 五) us ( 璺天( 置) ) 9 若地 l 删 类 。n 树 ： = 河北大学理学硕士学位论文 所以哂r 鼍2 粤r 墨= u 柚置以成立，则由定义2 哂胄置足粤置鼍亦成立，且有 l i m r x = t i m r x ，- - ur x ( 2 ) 若 五) 是粗糙单调减的，与( 1 ) 方法类似，结论可以得证 定义8 设( u ，r ) 是一个近似空间x c = # 4 - t ：意x ，y u ，记x 一置y - x n 置y c ，我 们称“1 为粗糙差，记z 钮= u - 置x 为集合z 的粗糙补 性质3 设( u ，r ) 是一个近似空间对于任意z ，y u ， ( 1 ) 豆( x 一置】，) = 夏( x ) 一星( 】，) ，星( x 一置】，) = 基( x ) 一豆( y ) ； ( 2 ) 豆( x 铅) = ( 星( x ) ) q ，尽( x 铅) = ( 豆( x ) ) c 1 证明：( 1 ) 由定义8 、定理4 和性质1 可知 豆( x 一再y ) - - 豆( x n ry c ) = 夏( x ) n 豆( 】r 。) = 豆( x ) n ( 尽( y ) ) 。 = 豆( x ) 一基( 】，) ， 同理可证 8 ( x - 且y ) = 尽( 工) 一豆( 】，) ( 2 ) 类似可证 由性质1 和性质3 可知，豆( x 钮) = 豆( x 。) 且尽( x 钮) = 星( x ) 也就是说，从粗糙 集的角度来讲，补运算与粗糙补运算是可以不区分的 性质4 设( 【厂，r ) 是一个近似空间对于任意的a ，b ，c u ，我们有 ( 1 ) 彳一 ( b u c ) = ( 彳一足c ) n 矗( 彳一胄c ) ，彳一r ( b a 矗c ) = ( 彳一rc ) u 足( a 一只c ) ； ( 2 ) a u 矗a 。二震u ，a n 且a 。= 晨u ； ( 3 ) ( 彳u 胄曰) 。= ( 么。) n 月b 。) ，( a n 矗b ) 。= ( 么。) u 置b 。) ； ( 4 ) ( a c ) 。么 1 n 第2 章粗糙运算 至此，我们在近似空间( u ，r ) 上给出了粗糙交、粗糙并、粗糙差、粗糙补的概念， 在第三章中将要给出的粗糙测度就是建立在上述四种粗糙运算关系基础上的 定义9 设( u ，r ) 是一个近似空间，c 是由u 的子集构成的仃代数，且 z = _ c ( u r ) 记 五c - - x l 豆c x ) c 鼬( x ) ， 我们称五c 为近似空间( u ，r ) 上关于c 的粗糙仃代数 定义1 0 设( u ，r ) 是一个近似空间，五为近似空间( u ，r ) 上关于c 的粗糙盯代 数则称( u ，r ，五c ) 为粗糙可测空间，而五c 中的集合称为粗糙可测集 性质5 设( 以r ) 是一个近似空间，五c 为近似空间( u ，火) 上关于的粗糙盯代 数则 ( 1 ) a 五c ，u 覃； ( 2 ) x ry ，若x 二c ，则有】，五； ( 3 ) 若 以 五c ，则有u 足以五c 且n 足以； ( 4 ) 若彳，】r 五c ，则有x 一且】，五c 特别的，若x 磊c ，则有x q 五c 且 x c 手毒 证明：由定义9 ，结论显然 河北大学理学硕士学位论文 第3 章粗糙测度 3 1 上粗糙测度 。 定义i i 设( u ，r ，五c ) 是一个粗糙可测空间磊是定义在粗糙仃代数五c 上的广 义实值集函数，对于任意的xe 五c ，如果它满足： ( 1 ) 磊( a ) = 0 ； ( 2 ) 对于任意的x 五c ，磊( x ) o ； ( 3 ) 对于x ，】，五c ，若x 二置】，则瓦( x ) = 磊( y ) ； ( 4 ) 若 e ) 互五c ，且五n x ，= 置f 2 j ，其中f 歹，f ，j n ，则有 磊iu 足鼍i = 蟊( 以) 我们称磊为粗糙可测空间( u ，r ，五c ) 上的上粗糙测度，四元组( u ，r ，五，磊) 为上粗糙 测度空间当磊( u ) = 1 时，称瓦为粗糙可测空间( u ，r ，五) 上的上粗糙概率，记作磊， 称四元组( u ，r ，五c ，戽) 为上粗糙概率空间 定理8 设( u ，r ，五c ) 是一个粗糙可测空间蟊为粗糙可测空间( u ，r ，五c ) 上的上 粗糙测度当且仅当在可测空间( u ，c ) 上存在着测度万使得对于任意的x 五c ， 磊( x ) = 刀( 夏( x ) ) 证明：由定义9 和定义i i ，必要性显然，下证充分性 设万是定义在可测空间( u ，c ) 上的测度，且瓦是定义在粗糙仃代数五c 上的广义实 值集函数，满足瓦( x ) = 万( 夏( x ) ) 则有 ( 1 ) 瓦( g ) = 万( 豆( a ) ) = 万( a ) = o ； ( 2 ) 对于任意的x 五c ，磊( x ) = 万( 页( x ) ) o ； ( 3 ) 对于x ，】，五c ，若x 二置y ，那么夏( x ) = 豆( y ) ，因此 瓦( x ) = 万( 页( x ) ) = 万( j i i ( y ) ) = 磊( 】，) ； ( 4 ) 若 咒 s 五c ，且五n 置t 二置a ，f ，则有豆( 五) n 豆( 一) = a ，f _ ，因 1 第3 章粗糙测度 此 磊lu 足以l = 万lu 豆( 五) i - 万( 页( 以) ) = 瓦( 鼍) 问题得证 例2 现在来看例1 根据上粗糙测度定义和定理8 ，利用上粗糙概率，我们可以 对任意的石p ( 【，) 进行度量例如 磊 方形木块 = 尸( 豆( 方形木块) ) ) = p 红色木块，蓝色木块) = o 7 它表示方形木块至多占总体的7 0 例3 设b 为实数r 的b o r e l 代数，r 为实数r 上的等价关系，且满足 z ：厂，芒= = 。，三 ， ，r ，e ( ；，； ，( 詈，t ) - 设刀是c = c ( u r ) n 艿上的经典测度，它满足 万 。，吾 = 吾，万( d ，6 】= b - a , v ( 口，6 l ( 吾，； ，万( 詈，1 = 1 3 那么，利用上粗糙测度，我们可以对任意的x 五c 进行度量例如 磊( 丢，三 = 万( 页( 丢，三 ) = 万 。，三 = 万 。，三 + 万( 三，丢 = j 1 性质6 设( c 厂，r ，五c ，瓦) 为上粗糙测度空间那么 ( 1 ) 对于任意的x ，y 五c ，若x 芒矗y ，则磊( x ) 磊( y ) ； ( 2 ) 对于任意的集列 以) 五c ，磊iur 疋i 磊( 鼍) 一土l 玎等l 定理9 设( 【厂，r ，五c ，瓦j 为上租糙测度空间对于任葸的集列 e 五l ，我们有 ( 1 ) 若 以 是粗糙单调增的，至j m a 。l i m f f a ( x ) = 瓦( 1 雩震以) ； ( 2 ) 若 五 是粗糙单调减的且磊( 五) ，那么熙磊( 以) = 磊( 1 i m 。矗以) 证明：由定理7 ，定理8 和测度的连续性定理，我们有 l i m f f r ( x ) = 熙万( 戤) = 万( 觋甄) = 万幢甄 1 3 河北大学理学硕士学位论文 类似的，结论( 2 ) 可以得证 = 万且置) ) 死( 峰置鼍) 定理1 0 设( u ，天，五c ，蟊) 为上粗糙测度空间对于任意的集列 五 五c ，我们有 若瓦( 昏矗五) o o ，则j l i 瓦( 訾置五) 峥卿f 磊( 五) ， l i l ：? 磊( 置) 磊( 呼胄五) i 瑚 、7 证明：因为n 矗五是粗糙单调增的且n 詹五e 足以，那么 i = kl - t 瓦i 地r f 五i = 瓦 类似的可证得，若磊( 0 足z ， 定 u f = l 置五) = 舰磊嗡凡五) l 喈f 磊( 墨) 则粤磊( 五) s 磊( 画置五) i 瑚 、7 理1 1 设( u ，尺，五c ，磊) 为上粗糙测度空间对于任意的集列 以 量五c ，若 景五) 且 是粗糙收敛的，那么 熙磊( ) = 磊( 1 i m 足以) 证明：由定理l o ，我们有 磊( 訾置五) l 罂妒元( 五) 因为 鼍 是粗糙收敛的，易得 1 i i ：? 露( 五) 磊( 呵月五) j 、 7 嬲死( 曩) = 磊( 1 1 等詹以) 1 4 n 献 r m i 、 第3 章粗糙测度 3 2 下粗糙测度 定义1 2 设( 【厂，r ，五) 是一个粗糙可测空间岛是定义在粗糙盯代数磊c 上的广 义实值集函数，对于任意的x 五c ，如果它满足： ( 1 ) 玉( a ) = 0 ； ( 2 ) 对于任意的x g 五c ，孙( x ) o ： ( 3 ) 对于z ，】，五c ，若z = 置y ，则孙( x ) = 编( y ) ： ( 4 ) 若 e 五，且五n 足= 足f 2 j ，其e pi j ，f ，歹n ，则有 叠iu r 鼍i = 孙( t ) 我们称繇为粗糙可测空间( u ，r ，五c ) 上的下粗糙测度，四元组( u ，r ，五c ，岛) 为下粗糙 测度空间当玉( u ) = l 时，称孙为粗糙可测空间( c 厂，r ，五c ) 上的下粗糙概率，记作吕， 称四元组( c ，r ，五c ，g ) 为下粗糙概率空间 定理1 2 设( 【厂，r ，五) 是一个粗糙可测空间幺为粗糙可测空间( u ，r ，五c ) 上的下 粗糙测度当且仅当在可测空间( u ，) 上存在着测度万使得对于任意的x 五c ， 繇( x ) = 万( 尽( x ) ) 例4 由例1 ，根据下粗糙测度定义和定理1 2 ，利用下粗糙概率，我们可以对任意 的x 矽( u ) 进行度量例如 虽 方形木块 = p ( 星( 方形木块 ) ) = p 红色木块) = o 2 它表示方形木块至少占总体的2 0 例5 由例3 ，利用下粗糙测度，我们可以对任意的x 五c 进行度量例如 岛( 三，丢 = 万( 星( 丢，圭 = 万( 三，丢 = 否1 性质7 设( u ，r ，五) 是一个粗糙可测空间瓦与岛分别为粗糙可测空间 ( u ，r ，五c ) 上的上、下粗糙测度那么 ( 1 ) 对于任意的x ，y 五c ，若石足y ，则繇( x ) 繇( y ) ； ( 2 ) 对于任意的集列 五 五c ，孙iu 足以l 幺( 以) ； 若对于任意的x c ，瓦( x ) = 繇( x ) ，则有 猁北天字埋罕坝士罕但论又 ( 3 ) 对于任意的x ，ye 五c ，若丛cj i i 】，则磊( 】，一置x ) = 磊( 】，) 一孙( x ) ； ( 4 ) 对于任意的x ，y 五c 名i f , xc r y ，则玉( y 一矗x ) = 玉( y ) 一磊( x ) 性质8 设( u , r ，五c ，g ) 为下粗糙概率空间若对于任意的x 五c ， 耳( x ) = 最( x ) ，那么 磊( 工。) - - l - e ( x ) 定理1 3 设( u ，r ，五c ，玉) 为下粗糙测度空间对于任意的集列 五 五c ，我们有 ( 1 ) 若 以 是粗糙单调增的，那么熙玉( 五) = 孙( 1 砰且e ) ； ( 2 ) 若 e 是粗糙单调减的且孙( 五) ，那么触孙( 以) = 孙( 1 i m 。足以) 定理1 4 设( u ，r ，五，孙) 为下粗糙测度空间对于任意的集列 五 五c ，我们有 繇( 哗置墨) ，；罂妒孙( 五) ， 若繇( 0 尺置) o o ，则 l i m ，一s u p x _ ( x ，) 孙( 画矗五) j 瑚 、 7 定理1 5 设( u ，r ，五c ，繇) 为下粗糙测度空间对于任意的集列 以 五，若 厂、 岛lur 五l 且 鼍) 是粗糙收敛的，那么 i = l 溉孙( t ) = 繇( t t 詈足以) 3 3 粗糙测度 定义1 3 设( u ，r ，五c ) 是一个粗糙可测空间，磊与繇分别为( u ，r ，五c ) 上的上、 下粗糙测度对于任意的x ，若满足磊( x ) = 孙( x ) ，我们称 ( x ) = 五1 、f f 矗( x ) + 岛( x ) ) 为粗糙可测空间( 【，r ，五c ) 上的粗糙测度，四元组( u ，r ，不c ，) 为粗糙测度空间 弟3 覃租稳测度 性质9 设四元组( u ，r ，五c ，) 为粗糙测度空间那么 ( 1 ) v x ，y e 五c ，若x 岛y ，则( x ) ( y ) ； ( 2 ) v 五) g 五c ，iu 置五l ( 以) ， 特别的，若i # j ，v i ，歹n ， 一- l n = i 五n 置乃g ，那么 iu 矗以l = ( e ) ； 一l n = l ( 3 ) 若面cr y ，则( y 一足x ) = ( 】，) 一( x ) ； 定理1 6 设( u ，r ，瓦c ，) 为粗糙概率空间对于任意的集列 以) 五c ，我们有 ( 1 ) 若 五 是粗糙单调增的，那么熙( 鼍) = ( 1 i m 詹以) ； ( 2 ) 若 以 是粗糙单调减的且( 墨) ，那么恕( 嚣) = ( 1 i m 胄托) ； ( 3 ) 若1 i m 矗咒存在，则l n i m - b o o ( 鼍) = ( 1 砰足鼍) 3 4 乘积粗糙测度 定理1 7 设( u ，墨) ( i = 1 ，2 ，n ) 是n 个近似空间，u = u 。x 吃那么存 在近似空间( u ，尺) ，使得u r = 4 4 以l 弘弘r ，i = 1 ，2 ，l ，且对任意的 x u ，x = 五五x x x n ，我们有 面= j i i ( 墨置以) = 豆五是五x 瓦以， _ r x = 基( 五置五) = g 五垦五曼鼍 证明：( 1 ) 首先证 4 4 x 4 , 1 v 4 够r ，i = 1 ，2 ，疗 为u 上一个商集因为 恳为q ，i = l ，2 ，以，的商集，则w ，口 4 4 , , 4 1 v 4 u r ，i = l ，2 ，以 ， 彳= 4 4 4 ，曰= 墨9 2 e ，若彳曰，必存在f ，1 f ”，使得4 fn 墨= 彩， 则有 a f b = 4n e x4 n 局x 4n e = a ， 1 7 洞北大学理学硕士学位论文 且u 4 4 4 ：v 4 珥r = u ，基i j 4x 4 x x4 1 v 4 u 墨，i = l ，2 ，万 为u 上一个商集，那么存在着u 上的一个等价关系r ，使得 u r = 4 4 4 l v 4e u , l & ，i = l ，2 ，疗 ( 2 ) 由粗糙集上近似定义，x 厨等价于存在着y x ，使得y 【x 】置e u r ，等价 于只【毛】焉，i = 1 ，2 ，万，其中x = ( 毛，毛，) ，y = ( y l ，乃，只) ，等价于西趸五， i = 1 ，2 ，刀因此，我们得到厨= 夏( 五五x 鼍) = 豆五豆墨”趸以 同理可证斛- r ( x , x 2 x - - t ) = g 五曼五五亦成立 我们称等价关系r 为墨，是，r 的乘积，记为r = 墨心x - x 咒 定义1 4 设( u ，足) ( i = 1 ，2 ，靠) 为近似空间设u = u x -