（粒子物理与原子核物理专业论文）godel类宇宙模型的近似解.pdf

郑州大学硕士学位论文 摘要 摘要 本文首先回顾了现代宇宙学的研究状况，内容主要包括大爆炸宇宙模型、暴 涨宇宙模型，以及最近提出的量子宇宙模型。毫无疑问，标准宇宙学模型是一个 在各方面都表现得相对比较完善的模型理论。尤其是它对有关宇宙学红移、微波 背景辐射以及元素丰度等观测事实所做出的令人信服的解释，不仅表明了这一学 说有着无可替代的优越性，而且也表明了目前的宇宙学研究正逐步走向成熟。当 然，我们也应当看到，在这个宇宙学模型中还存在一些悬而未决的问题，比如， 宇宙学常数问题。可以说，宇宙学常数问题是现代物理的一个最为神秘和最为深 刻的问题。它是几乎所有从事基础物理研究的人所面临的一个最为困难的挑战； 并且宇宙借助膨胀从无到有只是一种可能性，还存在其它的可能性。为此， k g & t e l 于1 9 4 9 年提出了一种包含宇宙学常数且具有旋转对称性的g 6 d e l 宇宙学 模型，这种宇宙模型不仅能够满足广义相对论的场方程，而且还给出了一个非物 理的封闭类时世界线，即一种观测者可以影响过去的世界线；这一有违因果律的 奇特结果很快便引起了人们的广泛兴趣。 本文工作的重点在于研究g 6 d e l 宇宙学模型的近似演化行为。具体地说，就 是考虑在弱转动的情况下，研究静止理想流体和静止无压尘埃g 6 d e l 宇宙的演化 特征，并进而求得了相应的爱因斯坦场方程解。结果表明，g 6 d d 宇宙的膨胀速 率将主要由宇宙物质密度p ，即宇宙因子五决定。这一点与星系光谱线红移以及 i a 型超新星的亮度等观测结果一致。 关键词：g 6 d d 宇宙模型；度规；爱因斯坦场方程 郑州大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , p r e s e n ts t a t u so ft h em o d e r nc o s m o l o g yi sb r i e f l yr e v i e w e d , t h a ti s i n c l u d i n gt h ed e v e l o p i n gp r o c e s so f t h es t a n d a r dc o s m o l o g yf r o mb i gb a n gm o d e la n d i n f l a t i o nt ot h eq u a n t u mm o d e lo f t h eu n i v e r s e i ts h o w st h a t t h es t a n d a r dc o s m o l o g y m o d e li sar e l a t i v e l yp e r f e c tu n i v e r s em o d e lf o ra l la s p e c t s ，a n ds p e c i a l l y , i to a n t r u s t f u l l y i l l u s t r a t ec o s m o l o g i c a lr e ds h i 屯b a c k g r o u n dr a d i a t i o na n de l e m e n t p r o p o r t i o ne t c s u c ht h es i t u a t i o n ，n o to n l ym e a n st h em o d e lh a ss u p 耐o r i t yt ot h e o t h e r , t h a tc 锄n o tb er e p l a c e d b u ta l s ot h er e s e a r c ho nt h em o d e mc o s m o l o g y b e c o m e sg r a d u a l l ym a t u r e ：h o w e v e r , w es h o u l da l s os e et h a t , s e v e r a lu n r e s o l v e d q u e s t i o n ss t i l l e x i s ti n t h i sc o s m o l o g y ，f o re x a m p l e , t h e8 0 - c a l l e d q u e s t i o no f c o s m o l o g i c a lc o n s t a n t ，t h a ti so n eo ft h em o s tm y s t e r i o u sa n do f t h em o s tp r o f o u n d i s s u e s i ti sa l m o s ta l lp e o p l ee n g a g e di nb a s i cp h y s i c sr e s e a r c hw h oa r ef a c i n gt h e m o s td i f f i c u l tc h a l l e n g e ；a n dt h eu n i v e r s eg r o w so u to fn o t h i n gw i t ht h ea i do ft h e i n f l a t i o ni s o n l yo n e t l l a tc a r ln o tr u l eo u tt h e o t h e rp o s s i b i l i t y f o rt h er e a s o n , i c g 6 d e ld e v e l o p e dt h eg 6 d e lc o s m o l o g i c a lm o d e lw i t ht h er o t a t i o n a ls y m m e t r y , w h i c hc o n t a i n i n gt h ec o s m o l o g i c a lc o n s t a n t 五，c a na c c u r a t e l ys a t i s f yt h ef i e l d e q u a t i o n so fg e n e r a lr e l a t i v i t y s p e c i a l l y , i ts h o u l db ep o i n t e dt h a t , t h eg 6 d e l c o s m o l o g i c a lm o d e la l s oo b t a i n e dan o n p h y s i c a lc l o s e ds p a c e t i m ew o r l d l i n e , a n d t h i ss u r p r i s i n gr e s u l ta g a i n s tt h ec a u s e - e f f e c tl a w ，c a u s e sp e o p l e si n t e r e s tg r e a t l y 1 1 h ef o c a lp o i n to f t h ep a p e ri ss t u d y i n gt h ee v o l u t i o nb e h a v i o ro f g f d e lu n i v e r s e i nt h ea p p r o x i m a t es i t u a t i o n p a r t i c u l a r l y , t h r o u g hc o n s i d e r i n gt h ew e a k - r o t a t i o n c o n d i t i o n , w ew i l li n v e s t i g a t et h ee v o l u t i o np r o p e r t i e so ft h eu n i v e r s ef i l l o dw i t h s t a t i ci d e a lf l u i da n dn op r e s s u r ed u s tr e s p e c t i v e l y ，a n dc o r r e s p o n d i n g l y , t h es o l u t i o n s t oe i n s t e i nf i e l de q u a t i o n sa r eo b t a i n e d t h er e s u l ts h o w st h a t , t h ee x p a n d i n gr a t i oo f g 6 d e lu n i v e r s ei sd e p e n d e n to ft h em a t t e rd e n s i t yp ，i e c o s m o l o g i c a ls c a l ef a c t o r 名t l l i si sc o n s i s t e n tw i t l io b s e r v e dp h e n o m e n o no ft h eg a l a x ys p e c t r u mr e ds h i r a n db r i g h t n e s so f l at y p es u p e m o v a e k e yw o r d s ：g s d e lc o s m o l o g i c a lm o d e l ；m e t r i c ；e i n s t e i nf i e l de q u a t i o n s 郑州大学硕士学位论文第一章引言 第一章引言 近代科学是从发现地球并不处在宇宙的中心开始的，并且，这种非中心的观 念已经融入到科学精神之中，现在谁也不会郑重的提出，或者地球，或者太阳系， 或者银河系在宇宙中有着特别优越的地位 宇宙之浩瀚与神奇，令人惊叹和神往。宇宙是什么? 它是由哪些成份组成 的? 它有起源吗? 如果有，它是怎样起源的? 宇宙的命运又将如何? 这些古老而 又年轻的问题，自古以来就激励着人们去思考，去发现。1 随着观测技术的提高， 人类关于宇宙的知识已经非常丰富了。长期以来，人们发现了以下事实： a 宇宙是均匀的 虽然在宇宙中，恒星的分布并不均匀，它们具有明显的结团性，星系的分布 也并不很均匀，但是当我们把空间的单位体积取得比超星系团还要大，那么计数 测量表明，空间各处的星系数密度是接近均匀的。 b 宇宙在膨胀 宇宙的膨胀是另一个重要的基本事实。上个世纪二十年代，艾德温哈勃 ( e d w i n h u b b l e l 测定了若干星系的距离r 和退行速度矿，发现v = h r ，其中日 跟星系的位置无关，后被称为哈勃参量。当我们把宇宙看成是由大量星系组成的 均匀介质，远处的星系系统地向我们的方向退行，就表明了宇宙介质在膨胀。 c 宇宙的膨胀是加速的 通过高精密望远镜，可以观测到遥远的星体发出的星光光谱线向红端移动。 光谱红移表明星体在退行，越遥远的星体光谱红移越大。如果宇宙等速膨胀，那 么距离与红移成正比，这就是著名的哈勃定律。1 9 9 8 年观测宇宙学研究出现重 大进展。两个独立的天文学家小组 1 ，2 】，发现宇宙不仅在膨胀，而且这种膨胀是 加速的。观测的证据主要基于这样一个事实：i a 型超新星( 距离折算成红移大约 为0 5 1 的亮度跟在自身引力作用下减速膨胀的宇宙中的预期值要小很多。 d 宇宙中充满着微波背景辐射 1 9 6 4 年，美国贝尔电话实验室的彭齐亚斯和威尔逊发现天空各个不同方向 郑州大学硕士学位论文 第一章引言 上都存在一种不变的相当于3k 的黑体辐射背景微波背景辐射。微波背景辐 射的最重要特征是具有黑体辐射谱，从0 0 5 4 厘米直到数十厘米波段的测量表明， 背景辐射是温度近于2 7 k 的黑体辐射，习惯称为3 k 背景辐射。黑体谱现象表 明，微波背景辐射是极大时空范围内的事件。因为只有通过辐射与物质之间的相 互作用，才能形成黑体谱。由于现今宇宙空间的物质密度极低，辐射与物质的相 互作用极小，所以，我们今天观测到的黑体谱必定起源于很久以前。微波背景辐 射的另一特征是具有极高的各向同性。这具有两方面的含义：小尺度上的各向 同性：在小到几十弧分的范围内，辐射强度的起伏小于0 2 0 3 ；大尺度上的 各向同性：沿天球各个不同方向，辐射强度的涨落小于o 3 。各向同性说明，在 各个不同方向上，各个相距非常遥远的天区之间，应当存在过相互联系。 然而，c m b 并不完全是各向同性的，根据c o b e 卫星和最近的 w m a p ( w i l k i n s o nm i c r o w a v ea n i s o t r o p yp r o b e ) _ = e 星对c m b 的观测，c m b 中确 实存在着辐射温度的微小涨落 3 】。 e 宇宙中的轻元素分布 多年来人们对天体范围内的轻元素丰度的观测结果表明，宇宙中元素氦的丰 度约为2 5 ，氢的丰度约为7 5 。 我们在研究宇宙学的时候，常常采用的态度是从我们现在所能看到的现象出 发，然后追溯宇宙早期到底发生了什么事件。基于以上事实，宇宙学家们进行了 大量的研究。在暴涨模型中，在热大爆炸以前我们的宇宙经历了一个近似于指数 膨胀的阶段。经过这个暴涨的阶段，产生于暴涨期间量子扰动被拉到了当时的宇 宙视界之外而凝固下来成为经典扰动，当这些经典扰动重新进入我们的宇宙视界 时影响了宇宙结构的形成，而我们是可以观测这些结构的。有趣的是，我们现在 宇宙这么大的尺度，回溯到暴涨期间时对应的是一个微观的尺度。这就使得我们 可以通过宇宙的膨胀将微观和宏观的物理联系起来。那么我们对宇宙大尺度结构 的精确观测就有可能告诉我们很多微观物理的信息。 近代宇宙论是建立在宇宙学原理的基础上的，即假设宇宙中所有的位置本质 上是等价的。当然，这种宇宙均匀性在我们现在所看到的微波背景辐射的均匀性 中得到很好的体现。也正是基于此，我们建立了一个宇宙学模型现在我们称它为 标准宇宙学模型。这个标准宇宙学模型的意义在于它为汇集和研究大量的各种各 2 郑州大学硕：t 学位论文 第一章引言 样的观测资料提供了一个共同的基础。从一个标准宇宙学模型的角度来讨论这些 观测资料，我们就能由此开始去了解它们对于宇宙论的意义，我们在这里坚持宇 宙学原理的真正理由并不在于它肯定是正确的，而是说它允许我们使用观测宇宙 学提供给宇宙论的极为有限的资料。在标准宇宙学的框架下，我们有了现实的机 会把理论同观测作对比。这些宇宙学观测就可以告诉我们宇宙学原理或者等效原 理是否适用。这无疑是非常有意义的事情。简单的讲，对我们所观测到的宇宙的 描述可以分为两个部分：其一是用一系列宇宙学参数来给出宇宙的整体刻画：其 二是描述宇宙的不规则性。这些宇宙学参数告诉我们宇宙的几何是什么而且告诉 我们宇宙所包含了哪些物质。一个正在膨胀的宇宙可以用它的膨胀率( 由哈勃参 数给出1 和空间曲率来刻画。而空间曲率是由宇宙中不同类型的物质的份量来决 定的。我们的宇宙在小尺度上并不是空间均匀而且各向同性的，而是有一定的结 构的。这种不规则分布叫做密度扰动。可以讲，如何理解宇宙结构的起源和演化 是当今宇宙学的核心问题。下面我们就看一下标准宇宙学模型的理论基础及根据 观测对宇宙的预言。 在黎曼的时代，三维空间的弯曲，还只是一种可能的设想；然而自从本世纪 初广义相对论建立，并得到验证以后，它就变成了现实。根据广义相对论，存在 引力场的空间就是黎曼空间，认为光线在广大的天区中，在引力场的作用下会发 生弯曲。爱因斯坦断言，从一个点发出的星光，过若干年后，会回到原来的地方， 如同一个人在地球上沿着一个方向行走，过若干年后还会回到原来的位置一样。 所以，爱因斯坦的空间不是一个平直的欧几里德几何空间，而是弯曲的黎曼空间。 以这个结论为基础，根据自己的相对论，爱因斯坦提出了自己的静态有界无边宇 宙模型。主张宇宙从它的空间广延来说是一个闭合的连续区，一个弯曲的封闭体。 按照广义相对论的理论，物质引力和空间性质是密切联系在一起的。物质有质量， 质量越大，引力场越强，强大的引力场能使空间弯曲，天体分布在弯曲封闭体内。 爱因斯坦认为，宇宙是一个类似于三维球面的空间，它的体积是有限的，但它又 不存在任何的边界。因此，宇宙是一个有限无边的三维闭合体。因为后来又出现 了大爆炸学说，使一些人更认为，这是对宇宙有限论的绝妙的证明。1 9 2 2 年， 苏联数学家弗里德曼根据爱因斯坦的广义相对论引力场方程得出的宇宙学说，认 为宇宙不是静态的，而是膨胀的。1 9 1 7 年比利时天文学家勒梅特进一步研究了 郑州大学硕上学位论文 第一章引言 弗里德曼的结论，提出了宇宙大尺度空间随时间膨胀的概念。1 9 3 2 年，勒梅特 从宇宙膨胀理论出发，提出了宇宙演化学说。他认为，整个宇宙的物质最初聚集 在一个“原始原子里”，后来发生猛烈爆炸，碎片向四面八方教开，形成了今天 的宇宙。1 9 4 8 1 9 4 9 年，美国物理学家阿尔法、贝尔和伽莫夫，以及赫曼等人 把基本粒子的运动和宇宙膨胀的理论结合起来，提出了比较完整的“大爆炸宇宙 学说”，即关于宇宙起源和演化的科学假说。这个学说认为，宇宙极早期，即大 约1 0 0 亿年前，有一个高温、高密度原始的火球，这个原始的火球在几秒内发 生爆炸。爆炸后，原始物质温度、密度下降，向四处扩散，循着“原始物质一基 本粒子一原子核一原子一分子一各种天体一生命”的顺序，发展到今天。“大爆 炸宇宙学”所描述的宇宙演化的过程，得到了一些观察事实的支持。伽莫夫在提 出大爆炸的观点时，曾预言，在现在的宇宙中应找到宇宙早期遗留下来的热辐射。 1 9 6 4 年，美国贝尔电话公司的彭齐斯和威尔逊，在从事装置人造卫星地面通讯 的工作时，发现在波长7 1 3 5 厘米微波段，有来历不明的、温度为3k 的热辐射。 他们经过分析和证明，认为这就是伽莫夫所预言的大爆炸后遗留下来的热辐射， 从而成为大爆炸宇宙学的有力证明。早在1 9 2 5 年，美国天文学家哈勃发现了河 外星系的谱线“红移”现象，即星或星系问距离和由红移标志的退行速度成正比， 这就是“哈勃定律”。在观察一个发光点时，当这一点向观察者方向移近时，这 时就会出现光谱线向波长较短的紫端的位移，而当这一点远离观测者方向时，这 时就会出现光谱线向波长较长的红端位移，这就是“谱线红移”。近年来，天文 学观测的事实表明，所有已发现的约1 0 亿个河外星系，都在四散逃离，离我们 远去。因而“哈勃定律”向人们描述的各星体的状况就形成一个膨胀式的运动图 景。还有近年来的一些新发现，似乎都支持了大爆炸宇宙学说。 因此，目前大多数字宙学家同意我们的宇宙是从称为“大爆炸”的原始爆炸 开始膨胀的。但是，宇宙借助膨胀从无到有只是一种可能性，还存在其它的可能 性。场方程的某些描述可以在静态但不稳定的宇宙中实现。宇宙很可能正在真空 中旋转，在这种宇宙中，每个观测者犹如位于旋转中心来观察事物，整个星系实 际上整个宇宙在围绕着观测者旋转。g 6 d e l 证明了，这个奇怪的假设精确地满足 广义相对论的场方程。在g 6 d e i 的概念中，星系不是唯一旋转的物体。一切其它 物体沿曲线运动。星系旋转并拽动空间和时间随其运动。在旋转的宇宙中，时 4 郑州大学硕士学位论文第一章引言 间旅行成为可能。围绕中心做充分大的圆周运动，在接近光速时，观测者可能追 上其瞬时尾部，较出发时更早一些返回到起点。必要的轨道称为封闭类时世界线。 在1 9 4 9 年kg s d e l 5 提出了一个静态的旋转宇宙模型，其时空形式为( 坐 标 f ，x ，y ，z ) ，a 为常数) ： d s 2 = a 2 ( a t 2 2 e 。d t d y + p “矿一d x 2 一d z 2 ) 二 由此引出了许多有关g 6 d e l 类宇宙模型的讨论。 5 郑州大学硕上学位论文第二章标准宇宙学模型 第二章标准宇宙学模型 爱因斯坦于1 9 1 6 年发表了广义相对论，认为由于一个物体的质量使其周围空 间弯曲，另一物体处于这个弯曲空间中，因而那个物体就在这个弯曲空间中运动， 表面上看起来是一个物体通过万有引力吸引另一个物体运动，而实质上是空间弯 曲引起运动。这样爱因斯坦开创了宇宙学研究的新路子，为现代宇宙学奠定了基 础 4 】。 现代宇宙学的中心假设是：宇宙是空间均匀和各向同性的，至少在大尺度上 是这样的。观测宇宙学告诉我们，来自于天空各个方向的微波背景辐射的温度几 乎是完全一样的。这是对这个假定最好的支持。然而当我们将目光局限于地球周 围，太阳系，银河系，甚至星系团时，我们发现宇宙却是高度不均匀的。这是因 为对于这些通常所谈论的物质，它们之间总是受万有引力的支配的，正是这种万 有引力在漫漫的宇宙演化过程中将宇宙早期的不规则性逐渐放大，因而在今天甚 至在星系团尺度上我们的宇宙仍然不是十分均匀和各向同性的。但是我们将宇宙 的历史追溯到极早期时，这种不规则其实是十分微小的。 作为一切研究的基础我们将这种认识上升为一个基本原理，即宇宙学原理。 当我们将e i n s t e i n 引力场方程应用到宇宙以后，我们就可以开始来讨论动力学宇 宙论了。 2 1 各向均匀的宇宙模型 我们己经知道，在宇观上，宇宙是一片充满全空间的均匀介质。这样，由它 产生的引力( 度规) 场也自然是均匀和各向同性的。宇宙学原理认为：在大尺度上， 任何时刻的三维宇宙空间是均匀和各向同性的，包括星系分布、射电源数目和微 波背景辐射都是如此。宇宙中一切位置都是等同的，任何一个星系和星系团都是 构成宇宙的元素，没有优越的位置或优越的方向。均匀未必要求各向同性，而各 向同性必然要求均匀。所谓均匀，是指空间各点上度规应没有区别；而各向同性 是指从一点度量不同方向应没有区别。正是这两方面要求，把度规一般形式限定 的很简单。 6 郑州大学硕士学位论文 第二章标准宇宙学模型 我们先介绍一些均匀的各向同性的模型。因此尺度因子仅为时间的函数 4 ( f ) ，( 物理量j ，对时间的导数用夕来表示) 。 2 1 1 标准模型 对于标准的宇宙模型我们分球面，双曲来分别推导爱因斯坦方程： 球面几何度规如下： - 100 0 4 0 ) 2 0 00 a ( t ys i n ( z y 000 e i n s t e i n 张量如下： 4o o 口 0o oo o0 oo co od o 0 o 口盱s i n 如) 2s i n ( 0 y 其中，彳：一! ：竺! ! ! ! ：堑塞a ! ( t ! ! ) 2 丛s i n 竺( x 竺y ! ：竺：竺! ! b =2 棚毗) 2 ( 知) + ( 缸) ) 2 s i n m s i i l 如) 2 ( 2 1 ) ( 2 2 ) c 地m n 埘( 知) 椭c r y + ( 昙口( t ) ) s i n ( z y 口( t ) s i n 坩血钟( 等口( f 归c r ys 证蚍( 知归协t n 上+鳟8a(t)2 3 + ；a 口( f ) 2 一掣w 。3 “ 7 ( 2 3 ) 郑州大学硕上学位论文第二章标准宇宙学模型 寿+ 掣+ 2 挈叫舭 群m ；_ 4 棚 仁， 寿+ 掣洳；a ， 挚一h 础) 亿乃 掣丽x 驯8 a ， 群一( 舯圳+ ， 这里置：+ 1 对于球面，1 对于双曲线，而0 是对于平坦几何的。我们把日：一an t t 口 例如，今天的哈勃参数h f 7 2 h i 以m p c 【3 】，当k = a = 0 时，定义临界密度 以= 差 = 7 9 1 0 - 3 。g 硎3 ，我们定义相对值q = 尝分别对于物质，辐射， 卟鬻m = 鲁 = 万a 以= 一丽k 存今q 。 0 , a = 0 ，由( 1 0 ) 于是有 q 。 0 铮+ 3 p ) 0 ，我们选m 0 。这个度规通常被叫作g & l e l 类的旋转模型。坐标z 给出了球体旋转的方向， 国= 压歹= 詈j 苫 s ， 可以看出，随着坍，0 l ，盯的消失漩涡状态也将不存在。下面我们详细的叙 述一下黎曼时空( 3 2 ) 的几何学。( d a g ) - - - f i r + a ) e 2 “确定，为了获得 洛仑兹算符我们假定k + o r 0 。 从学术上，当我们应用外微分时所有的计算会得到很大的简化。选择在时空 ( 3 2 ) 一个局部正交四阶矢圮是便利的，照常， g ，= 雠a b ， ( 3 。4 ) 其中叩。= d i a g ( + 1 ，一1 ，一1 ，一1 ) 为标准闵可夫斯基度规。选择并不是唯一的，- v i l i i 用 这样的标准： 砧= l ，h ；= 一_ e m ，研= 霹= 1 ，砖= e “i i 孑。 ( 3 5 ) 此后，一个符号表示四个指标；拉丁符号表示局部洛仑兹框架，a , b ，= 0 , 1 ，2 ，3 。 相应地，局部洛仑兹框架的单一形式定义如下： # j | l 。a d x ” ( 3 6 ) 模型( 3 2 ) 的动力学性质首先f l g 6 d e l 5 获得。在广义相对论中，度规满足爱 因斯坦场方程： p 曲净r 西一亡g 曲r = 绐西+ 七 ( 3 7 ) g 6 d e l 5 采用了最简单的物质源：理想流体，能动张量为乙= p u 。替代共动 物质源“4 = 露的四维速度，并且用爱因斯坦张量组分， 2 l 郑州大学硕士学位论文第三章g 6 d c i 类宇宙模型 g = - - c 0 2 ( - + 4 分g i i = 吃嗣，g ：；纠( s + 4 争 ( 3 s ) 其中著名的g 6 d e l 不认定参数解【和( 3 1 ) 比较】： 矿：以，助：2 2 ，一k 委， ( 3 9 ) 从( 3 9 ) 可以看出，宇宙学常数五和参数k 一定都是负的。若不将我们限制在一个 特定的动态实现，我们应该研究所有静态模型( 3 2 ) 。对那个度规而言有一个广泛 的对称组。通过k i l l i n g 矢量场可产生三个明显的对称： 印) - 昙，：晏，q 2 ) - 昙(310)80) 印) 2 磊2 瓦气z ) 2 夏 峨 这些都可以相互交换。无论如何可找到另外两个k i l l i n g 矢量。在合适的坐标转换 下很容易得到。不存在关于z 的坐标，转换剩余的三个( f ，毛y ) 寸( _ ，i ，歹) ，如下： 口“= e ic o s h ( m f ) ， 卵一：塑， m q 托+ o 伽卜、孚硐= s i n h ( m f ) 。 通过简单计算司得到度规( 3 2 ) 的一个新的形式： 出2 = d 于2 一方2 - k s 肌i n ：h 他( m + v ) 盯+ ) c r d 歹2 一出2 + 三m j 南k o rs i n h ( m i ) d 动万 肌2 位+ 盯) 。 v + = d t + 圭压蛐，万 2 - 矾一c o s h 2 ( m f ) 妒_ _ 埘 因此我们立即可以发现第四个l ( i l l i n g 矢量，a 歹。在原始坐标下它记为： 印) 2 丽2 i 瓦一y 瓦 作为选择，我们考虑另一个转换o ，x ，y ) _ ( r ，们给出下面公式 e “= c o s h ( m r ) + c o s ( o s i n h ( m r ) y e 。x = _ s i n 刁o s i i n h ( m r ) o r ， ，l 、，片十 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) f 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 唯网2 砩s n 妒 度规( 3 2 ) 在新的坐标下为： ( 3 1 9 ) 如一堂磐剑谢十昙辱吒d t d 卯刎 = 卜昙压蛐2 ( 等) 却h 2 + 掣舻埘 很明显，a p 也是鼬l l i l l g 矢量场。在原始坐标下它看起来有些复杂，并且能够被 描述为三个向量的线性组合： 昙= 去南铂+ 熹铂一厍而( ) ( 3 2 2 ) 面2 i 1 百i 印) + 瓦了焉气- ) 一后+ 盯占( ) ( 3 在这里我们表示了第五个硒l l i n g 矢量： 删2 b ) 2 面丽瓦+ y 瓦+ 2 i 研征+ 盯) 一删2i 蔷 ( 3 2 3 这五个l ( i l l i i l g 矢量中的三个( 3 1 0 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 2 3 ) 满足交换关系： b 咖占，) j - 唧) ，h 咖e ( 4 ) j = 一占( 4 ) ，k ( 1 ) ，印) j = 研占( ，)( 3 2 4 ) 为了更好的理解可能的因果问题，去计算鼬l l i n g 矢量的平方是有用的。直接 我们就得到： h o ) 孙) ) = 1 ， ( 3 2 5 ) b i ) 唧j ) = 妇抽， ( 3 2 6 ) 0 ( 2 ) q 2 ) - - - - - - 1 ， ( 3 2 7 ) k ，) = _ ( 砂2 p 2 ”+ 嘉) ， ( 3 z 8 ) ) = 一钟“缈2 + 而e - 习a t 卜 ( 3 2 9 ) 矢量场q 。) 是类时的，它的积分曲线是和时间坐标系一致的。k 0 ，k 即，取足够大，如此曲线为类时 的。通过构造，它是封闭的，这很可能会导致因果关系的违反。尽管在 2 4 】中提 出这种曲线不是测地线，原则上能够想象成一个物理微粒在某种特定力的作用下 沿着这些曲线运动。比较( 3 1 5 ) 和( 3 2 1 ) ，可知在两个不同的坐标系下度规的形成 是相似的然而，对于j j j 爿情况下坐标歹曲线 ( 于= c o n s t ，= c d 埘f ，：= c d 删) 也是类时的，但不是封闭的。这个特殊情况| = 0 被 详细的研究【3 3 ，3 4 1 。k = o 使得黎曼曲率大大的简化。特别是，w e s , l 张量消失， 因此四维度规是平坦的。这个空间比七0 情况有更大的等轴群。加上5 个k i l l i n g 矢量( 3 1 0 ) ，( 3 1 6 ) ，( 3 2 3 ) ，我们很容易发现另外两个： 铂确噼b r ) 晏+ 杀s i n b r ) 导， ( 3 s o ) p s 喏“n b r ) 昙+ 杀c o s 缸) 昙 ( 3 s - ) 对于( 3 2 ) ，加上) 这些矢量场形成第二个封闭子代数： k ) ，f ( ，) j = m 占( 。) ，k o ) ，) j = 埘q ，) ，k ( ，) q 。) j = 一m f ( 。) ( 3 3 2 ) 这六个l ( i l l i i l g 矢量) ，a = l ，3 , 4 ，0 ，5 ，6 ，带着交换关系( 3 2 4 ) ，( 3 3 2 ) 描述了完 全的( 3 3 ) 的等轴代数( 一个三维( a n t i ) d es m e r 时空的正形群代数) 3 5 1 。值得注意 的是这两个新的尉l l i n g 矢量都是类空的 h ，) 郎) ) = h 。) ) ) = 一l ， ( 3 3 3 ) 3 1 3g 6 d e l 类膨胀的宇宙模型 郑州大学硕士学位论文第三章g 6 d e l 类宇宙模型 由原g 6 d e l 度规( 3 1 ) 推广的非静态时空，这个广义模型是通过对( 3 2 ) 引入时 间标度因子4 0 ) ， 凼2 = d t 2 2 x - 苫a c t ) e ”d t d y 一口2 ( f ) ( 妇2 “d y 2 + 出2 + 出2 )( 3 3 4 ) 这里，一= 量，一= y ，= z 。就像我们看到的，条件k 0 确保了封闭类时 曲线的不存在。度规( 3 3 4 ) 通常被称为g 6 d e l 类旋转膨胀模型。坐标z 给出了球体 旋转的方向， = 压= 云j 苫 ( 3 3 5 ) 在膨胀宇宙中和( 3 3 ) 比较变小了 回顾( 3 1 0 ) 、( 3 1 6 ) ，三个k i l l i n g 矢量场是： 1 q 1 ) 2 0 y ，q 2 ) = 0 z ，) 2 - - m 10 x - y o ， ( 3 3 6 ) 这些满足交换关系 k ) ，) j = 曩：) ，k ) ，邻) j = k ( 2 ) q ，) l = o ， ( 3 3 7 ) 表明模型( 3 3 4 ) 属于b i a n c h it y p ei i i 。 3 20 6 d e l 类宇宙学的封闭类时世界线 我们给这个神秘的宇宙因子时间一个确切的定义好像是极其困难的。直觉 上，我们感到它是流动的。然而随着人类的不断进步，人们对时间认识不断改变。 牛顿认为时间是绝对的，对宇宙中所有观察者而言，时间以不变的频率流动。但 是，在1 9 0 5 年爱因斯坦改变了这个时间概念，认为对于不同观察者时间的频率 也不同。并且三年后，m i n k o w s k i 正式的对时间和空间进行了统一，从而产生了 四维时空概念。后来，爱因斯坦受m a e h 定理的影响，开始了对由于物质存在对 时空结构影响的研究。根据广义相对论，如果宇宙是空的，时间和空间将不存在。 根据实际情况，这个假设好像是合理的。 对时间概念的定义和理解，无论从数量上还是质量上来说都是极其困难和重 要的。狭义相对论提供给我们与时间扩张效应有关的基本过程的重要的定量说 明。广义相对论对在强弱引力场中出现的时间流效应作了较深的分析。当时间被 合并到合适的时空结构时，去注意广义相对论的特殊的几何性质即产生封闭类时 郑州大学硕上学位论文第三章g & l e l 类宇宙模型 世界线是很有意思的 3 6 】。封闭类时世界线允许时间旅行，在某种意义上来说就 是在时空轨道上的观测者沿着世界线旅行可以回到出发点。按当地观测者测量， 这个时间箭头可能指向将来，但是对球体而言，它也可能指向过去某一点。这个 事实很明显违反了因果关系，开潘多拉盒子及制作时间旅行的悖论 3 7 1 ，使我们 对时间本质属性的理解产生错位。因果概念在物理理论结构中是很基础的，因此 对时间旅行以及和它相联系的矛盾不得不持有警惕性。这个矛盾性可分为两个大 的群体，即一致性矛盾和因果循环 一致性矛盾包含经典的祖父矛盾。假想旅行到过去遇到祖父，培养他的杀人 倾向，时间旅行者谋杀了他的祖父，阻碍了他父亲的出生，因此使他的出生变为 不可能。事实上，有许多祖父矛盾版本，但仅限于假想。当改变过去的事件的可 能性发生的时候，一致性矛盾就出现了。因果循环矛盾是和自我现有的信息或对 象陷