（计算数学专业论文）共轭类长和有限群的正规结构.pdf

摘要 长期以来，共轭类的某些数量性质与有限群的结构的关系是有限群论研究 的重要的课题之一许多群论学者都参与了这一课题的研究，而且获得了大量 的研究成果，这为有限群理论的发展起到了强有力的推动作用在共轭类的众 多的数量性质中，有关共轭类长与共轭类长的个数的研究非常活跃本文则着 重围绕以下两方面的研究进行的： i 某些元素的共轭类长的个数是定数与这些元素所在的某一子群的结构之 间的关系；进而，我们能否减少那些共轭类的个数? i i 某些元素的共轭类长具有某种特定的数量性质的有限群 众所周知，对于i 的研究，人们首先研究了所有的元素的共轭类长的个数 是定数的有限群；后来又研究了p 正则元的共轭类长的个数是定数时所对应的 p 补的结构；近来，人们又开始对研究素数幂阶元的共轭类长的个数是定数时 的有限群产生了极大的兴趣从这些研究中我们可以发现，如何有效地减少共 轭类的个数是人们对i 这一问题研究的关键所在 如果是有限群g 的一个正规子群，那么是群g 的一些共轭类的并， 显然，中所含的g - 共轭类的个数小于等于g 中的共轭类的个数所以通过 正规子群中的孕共轭类长的个数来研究正规子群的结构是减少共轭类个数的 有效手段之一，也是本博士学位论文的核心内容具体地来讲，第三章主要研 究了正规子群中的g 一共轭类长的个数等于2 时的正规子群的结构，从而推广 了i t o 的关于具有两个共轭类长的有限群的相应结果；在第四章中，我们进一 步减少共轭类的个数研究了中的素数幂阶元的g - 共轭类具有两个不同的长 时的的结构；在第五章中，我们研究了中的g - 共轭类具有三个不同的长 时的情形在以上结果的基础上，我们分别研究了的p 正则的g 一共轭类长 与其相应的p 补的结构之间的关系 i 在本文的第六章中我们尝试着把一些与i i 相关的一些已有结果作了一定 的推广具体来说，我们对素数幂阶7 r 7 一元的共轭类长是7 r 7 一数，7 r 一数或者丁一 数的有限群的结构做了一定的描述，其中，7 = 7 rut q ，r ) ，q ，r 是不同的素数 且q ，r 售7 r 从以上有关共轭类长的研究可以看出，很多情形下，我们只需要考虑一些 共轭类的某种性质就可以对有限群的结构作出一定的回答，而不需要考虑所有 的共轭类，这种局部化的思想在有限群的其他研究领域中也被广泛的应用在 本文的最后一章，作为这种局部化思想的应用，我们尝试着研究了某些子群在 某局部子群中的丌一拟正规性对有限群结构的影响，并把相应的结果推广到 包含超可解群类的饱和群系上 关键词：正规子群；共轭类；p 正则元；幂零群；7 r 一拟正规性。 i i a b s t r a c t t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o no nc o n j u g a c yc l a s s e s o faf i n i t eg r o u pa n dt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pi t s e l fh a v eb e e ne x t e n s i v e l y s t u d i e db ym a n ya u t h o r si nt h ep a s tt w od e c a d e s i np a r t i c u l a r ，m a n yr e s u l t s h a v eb e e no b t a i n e db ym a n yg r o u pt h e o r e t i s t si nt h el i t e r a t u r e t h er e s e a r c ho f f i n i t eg r o u p sh a sb e e np u s h e df o r w a r d e db yt h e s ef r u i t f u lr e s u l t sc o n t a i n e di nt h i s t o p i c i ti sn o t e w o r t h yi nt h ea r i t h m e t i c a lc o n d i t i o no nc o n j u g a c yc l a s s e s ，b o t h t h e i rs i z e sa n dt h en u m b e r so ft h e i rs i z e sa r ec l o s e l yr e l a t e da n dl i n k e d i nt h i s t h e s i s ，w ec o n c e n t r a t eo nt h ei n v e s t i g a t i o no ft h e i rm u t u a lr e l a t i o n s h i p s t h em a i no b j e c t i v e so ft h i st h e s i sa r et h ef o l l o w i n g ： i t oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo fas u b g r o u po faf i n i t eg r o u pgw h e nt h e n u m b e ro ft h es i z e so ft h eg c o n j u g a c yc l a s so fs o m ee l e m e n t si nt h es u b g r o u pi s af 1 e dn u m b e r ；f u r t h e r m o r e ，o n ew o u l da s kw h e t h e rw ec a np o s s i b l yr e d u c et h e n u m b e ro fi t sc o n ju g a z yc l a s s e sh a v i n gaf i x e ds i z e ? i i t oi n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pgi nw h i c ht h ec o n j u g a c y c l a s so fs o m ee l e m e n t so fgh a v i n gap a r t i c u l a ra r i t h m e t i c a lp r o p e r t y f o rt h eo b j e c t i v ei ，m a n ya u t h o r sh a v ea l r e a d ys t u d i e dt h es t r u c t u r eo fa f i n i t eg r o u pi nw h i c ht h en u m b e ro ft h es i z eo fi t sc o n ju g a c yc l a s si sa f i x e d n u m b e r b a s e do nt h e s er e s u l t s ，p e o p l ef u r t h e ri n v e s t i g a t e dt h es t r u c t u r eo f t h ep - c o m p l e m e n tb ya s s u m i n gt h a tt h en u m b e ro ft h el e n g t ho ft h ec o n ju g a c y c l a s so fs o m ep - r e g u l a re l e m e n t si s af i x e dn u m b e r r e c e n t l y , t h e r ea r es o m e a u t h o r sw h oh a v ec o n s i d e r e dt h ef i n i t eg r o u p si nw h i c ht h en u m b e ro ft h es i z e s o fi t sc o n ju g a c yc l a s so fe l e m n t sh a v i n gap r i m ep o w e ro r d e ri sa f i x e dn u m b e r f r o mt h e s er e s u l t s ，w ew o u l dn a t u r a l l ya s kw h e t h e rw ec a x lr e d u c et h en u m b e ro f c o r r e s p o n d i n gc o n j u g a c yc l a s s e sw h e nw ec o n s i d e ro b j e c t i v ei ? t t t i fni san o r m a ls u b g r o u po faf i n i t eg r o u pg ，t h e ni ti sk n o w nt h a tn i sa u n i o no fs o m ec o n j u g a c yc l a s s e so fg o b v i o u s l y , t h en u m b e ro ft h eg - c o n j u g a c y c l a s s e si nni sn o tm o r et h a nt h en u m b e ro ft h ec o n ju g a c yc l a s s e sc o n t a i n e di n g i no r d e rt or e d u c et h en u m b e ro ft h ec o n ju g a c yc l a s s e s ，w ec o n s i d e rt h eg - c o n j u g a c yc l a s s e sc o n t a i n e di nn ，i no t h e rw o r d s ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo fn b y a s s u m i n gt h a tt h en u m b e ro ft h e s i z e so ft h ec o n j u g a c yc l a s so fs o m ee l e m e n t si n ni saf i x e dn u m b e r t h i si st h ea i mo ft h i st h e s i s i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h es t r u c t u r eo ft h en o r m a ls u b g r o u po fgb ya s - s u m i n gt h a tt h en u m b e ro fi t sg - c o n j u g a c yc l a s ss i z e si s2 w ec o n c e n t r a t eo i l n o r m a ls u b g r o u p sh a v i n ge x a c t l yt w og - c o n j u g a c yc l a s ss i z e s ，i np a r t i c u l a r ，a k n o w nr e s u l to fi t oi sg e n e r a l i z e d b a s e do nt h er e s u l t si nc h a p t e r3 ，w ea r e a b l et of u r t h e rr e d u c et h en u m b e ro fc o n j u g a c yc l a s s e sa n dc o n s i d e rt h ec a s et h a t t h en u m b e ro ft h es i z e so fc o n j u g a c yc l a s so fe l e m e n t sw i t ho r d e ro fp r i m ep o w e r i nni se q u a lt o2i nc h a p t e r4 b yt a k i n gt h ea b o v er e s u l t si nc o n s i d e r a t i o n ， w ea l s os t u d yt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h en u m b e ro ft h es i z e so ft h ep - r e g u l a r g - c o n j u g a c yc l a s s e sa n dt h e i rc o r r e s p o n d i n gp - c o m p l e m e n t so fn t h u st h em a i n q u e s t i o na r i s e ni nii sa n s w e r e d i nc h a p t e r6 ，s o m ek n o w nc o r r e s p o n d i n gr e s u l t si no b j e c t i v ei ia r eg e n e r - a l i z e d i np a r t i c u l a r ，w es t u d yt h ee a s e st h a tt h el e n g t h so ft h ec o n j u g a c yc l a s s o fs o m ep r i m ep o w e ro r d e r7 r ，一e l e m e n t sa r e7 r - n u m b e r ，7 r n u m b e ro r7 - 一n u m b e r ， r e s p e c t i v e l y , w h e r e7 - = 7 ru 擘，r ) ，丌i sa s e to fs o m ep r i m e s ，qa n dra r ed i s t i n c t p r i m e sw i t hq ，r 叠7 r t h u s ，i nt h i st h e s i s ，w eh a v et h o r o u g h l ys t u d i e dt h ec o n j u g a c y c l a s s e so faf i _ n i t eg r o u pa n dw eh a v eg i v e ns o m ed e s c r i p t i o n so ft h ef i n i t eg r o u p sb yc o n s i d e r i n g t h ep r o p e r t i e so fi t ss o m ec o n j u g a c yc l a s s e s i ti sn o t e dt h a ti fw ed on o tc o n s i d e r a l lt h ec o n j u g a c yc l a s s e so fag i v e ng r o u pg ，t h e nw ec a l lt h i si d e at h el o c a l i z a t i o n o faf i n i t eg r o u p ，i nt h el a s tc h a p t e ro ft h i st h e s i s ，w es h a l la p p l yt h ei d e ao f l o c a l i z a t i o no faf i n i t eg r o u pt os t u d yt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es t r u c t u r eo f af i n i t eg r o u pa n d7 r q u a s i n o r m a l i t yo fs o m es u b g r o u p si na l o c a ls u b g r o u p ，a n d t og e n e r a l i z es o m er e l a t e dr e s u l t si nt h es a t u r a t e dg r o u pf o r m a t i o n sc o n t a i n i n g s o m es u p e r s o l v a b l eg r o u pc l a s s e s k e y w o r d s ：n o r m a ls u b g r o u p s ；c o n j u g a c yc l a s s e s ；p - r e g u l a re l e m e n t s ；n i l p o - t e n tg r o u p s ；7 r q u a s i n o r m a l i t y 符号表 n 某个正整数 7 r 某些素数的集合 佗霄整数几的丌- 部分 佗丌，整数n 的7 r 一部分 x 百元素z 的7 r 一组成部分 7 r ( g ) 群g 的阶的所有素因子 o ( x ) 元素x 的阶 i z g i 元素z 在群g 中的共轭类长 i g l 群g 的阶 e x p ( g ) 群g 的方指数，即g 中所有元素的阶的最小公倍数 x ，y 】元素z ，y 的换位子x - l y _ 1 x y z ，y ，z 】【k ，可】，名】 ( x ) 元素z 生成的循环群 ( x ) 集合x 中的元素生成的群 x ，y 】( z ，y 】ix x ，y y ) g 丌群g 的h a l l7 r 一子群 g n 群g 的h a l l7 r 7 一子群 全记作 一r u l h g 日是群g 的子群 日 4b 或b a 正规子群a 与子群b 的半直积 4 一b zlx a 但zgb ) ( m ，他) 自然数m 和n 的最大公因子 “超可解群类 厂饱和群系 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果 参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意 虢侈善船瞒洲7 t 4z 一 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 髀移考趣飞镑期“切 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 第一章引言 1 有限群论研究的一个重要方面就是确定有限群的结构从有限群论的发展 过程人们不难发现有限群的结构与有限群中的某些数量信息有着非常密切的关 系如：有限群论中最基本的l a g r a n g e 定理，s y l o w 定理，更一般的有，丌一可 解群的7 r s y l o w 定理( 这里7 r 为一些素数的集合) 等都揭示了有限群的某些重 要结构性质与有限群中的某些固有的数量信息之间的关系特别地，著名群论 学家f e i t 和t h o m p s o n 在1 9 6 3 年证明了著名的。奇阶定理” 奇数阶群一定是可解群 t h o m p s o n 因此获得f i e l d s 奖值得一提的是，在有限群所固有的众多的数量 关系中，人们对共轭类的某些数量性质( 如：共轭类的个数，共轭类的长，共轭 类长度的个数等) 却有着特殊的兴趣1 9 0 4 年，b u r n s i d e 1 3 】曾用表示论的方 法证明； 任意有限单群不含长度是素数的正方幂的共轭类 自此，许多群论工作者都纷纷加入到这一研究领域中来，使得有关共轭类长的 许多有趣的问题孕育而生，共轭类的研究也进入了一个蓬勃发展的时期，许多 新的研究成果不断涌现( 见文献 6 ，1 0 ，2 8 ，2 9 ，3 2 ，3 5 ，3 8 ，4 0 ，5 5 ，6 1 ，6 2 】) 再加上 有限群元素的共轭类长与复数域上的不可约特征标的级有许多平行的性质以及 表示论在有限群论研究中的重要性，更加激发了人们对这一领域研究的热情 近年来，一些著名的群论学家进一步围绕有限群的正规结构，有限群的共轭类 长，f i t t i n g 长，导群长以及它们之间的相互关系又提出了许多具有挑战性的猜 想，逐渐成为有限群论研究的一个热点本文则主要从共轭类的一些数量性质， 如s 具有确定个数的某些共轭类长，具有某种特殊长度的共轭类等这两方面入 手展开研究的，也是有关共轭类研究的一个继续 在本文中，我们主要应用局部分析的思想，通过群作用的手段来研究有限 群的共轭类( 个数及长) 对其结构的影响，以此来揭示有限群的共轭类的长或 2 共轭类长和有限群的正规结构 共轭类的长度的个数与其正规子群的共轭类的长或共轭类的长度的个数之间的 关系，以及正规子群在有限群中的嵌入方式，从而推进一些相关的已知结果的 研究；在本文的最后一章，做为这种局部分析的思想的应用，我们研究了子群 的丌一拟正规性与有限群的结构之间的关系 1 1 研究的背景及意义 利用共轭类研究有限群可以追溯到l a n d a u 证明的一个早期结果：对于任 意的自然数r ，下述方程 1 = 1 x l + l x 2 + + 1 x r ( 木) 有且仅有有限个整数解 若令吼( ( 1 i r ) 为有限群g 的全体共轭类的代表且m i = i c g ( g , ) l ，则 类方程1 = ：l 网1 即为方程( 木) 的一个解于是从类方程即知；对任意给 定的自然数r ，具有r 个共轭类的有限群g 只有有限多个然而问题的复杂性 使得在早期人们只能确定所含共轭类的个数较小的有限群的分类 但b u r n s i d e 在文献 1 3 】中的结果任意非交换的有限单群的共扼类的 长度都不可能是某个素数的正方幂为人们真正研究共轭类长对有限群结 构的影响创造了条件，也给共轭类问题的研究注入了新的活力和生机著名群 论学家b a e r 首先应用上述b u r n s i d e 的定理研究了素数幂阶元具有素数幂共轭 类长的有限群的结构，开辟了这一方面研究的先河自此，人们对共轭类的研 究产生了浓厚的兴趣，许多群论工作者纷纷加入到这一研究的行列中来，一系 列有趣的结果也随之产生，如 4 ，5 ，1 3 ，4 9 - 5 2 ，5 9 ，7 1 7 3 ，8 5 ，9 1 】，等等 纵观这些结果，我们不难发现对于共轭类的研究人们往往从以下几个问题 入手进行的： 共轭类个数具有定数的有限群的分类 有限群的正规子群包含较少的共轭类时这个正规子群的结构 有限群的某个正规子群以外含有较少共轭类时有限群的结构 v 共轭类长的个数是定数时有限群的结构 v 某些元素的共轭类的长具有特定性质的有限群 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 3 上述的前三个问题都是对于共轭类个数的研究，目前的研究只涉及到共轭 类的个数取较小值时的情形，但随着取值的不断增大，人们可能会遇到无法克 服的困难 对于问题的研究，b u r n s i d e 7 】给出了至多含有5 个共轭类的有限群的分 类；p o l a n d 【7 6 】拓展了b u r n s i d e 的工作，确定了含有至多8 个共轭类的有限群 的结构；a v l o p e z 和j v l o p e z ( 见 6 3 ， 6 4 】) 则给出了所含共轭类数更大的 有限群的分类 同样，只有当所包含的共轭类的个数较小时人们才可以对问题和问题 给出确切的答案 由于正规子群是一些共轭类的并，于是人们开始研究正规子群所包含的g - 共轭类的个数对正规子群的结构的影响设是有限群g 的一个正规子群 文 8 3 】， 8 4 】， 8 0 】分别研究了当是g 的2 ，3 ，4 个共轭类的并时正规子群 的结构例如【8 4 】证明： 定理1 1 1 若是g 的? 个共轭类的并，则或是一个奇数阶初等交 换p 一群，或是一个亚交换p 一群，或是一个以，为核的f r o b e n i u s 群 而 8 0 】则证明： 定理1 1 2 若是g 的名个共轭类的并，则或是交代群a 5 ，或是亚 交换p 一群，或是矿9 6 阶交换群，或是p a q 6 阶f r o b e n i u s 群 与正规子群所含的共轭类个数相对应，文献【7 8 】则考虑了另外一种情形， 即正规子群几乎包含了群g 的所有的共轭类当g 一只含g 的2 或3 个 共轭类时，g 的结构被确定 从上述研究可以看出，当一个有限群所含的共轭类的个数比较大时，它的 结构我们还不是十分清楚，尤其是正规子群所含的共轭类的个数与正规子群的 结构之间的关系以及正规子群以外所含的共轭类的个数与有限群g 的结构之 间的关系的研究更是迟缓，而本文的研究则主要集中在对问题v 和问题v 的 研究上 4共轭类长和有限群的正规结构 ( 一) 、共轭类长的个数是定数时有限群的结构 关于这一问题的研究，一个比较古典的结果是i t o 给出的具有两个共轭类 长的有限群结构： 定理1 1 3 膨9 ，若有限群g 有两个共轭类长，则g = p a ，其中p 为 g 的s y l o wp 一子群，a 是交换群 自然地，随着共轭类长的个数的增加，i t o 又相继研究了分别具有三个、四 个、以及五个共轭类长的有限群，并分别证明了以下定理： 定理1 1 4 声刃若有限群g 有三个共轭类长，则g 可解。 定理1 1 5 膨j ，若g 是单群，且g 有四个共轭类长，则g 竺s l 2 ( q ) ，其 中q = 2 m 且m 2 定理1 1 6 删若g 是单群，且g 有五个共轭类长，则g 笺s l 2 ) ，其 中p 5 是素数 从上述研究我们可以看出，对于共轭类长的个数是二和三的情形，这类群 的结构已基本确定，但是当共轭类长的个数增加到四和五时，人们已经确定了 对应的单群的结构那么当共轭类长的个数是四或者五时，这类非单的有限群 会有什么样的结构呢? 许多群论工作者都为此而付出了艰辛的努力，但是，事 实证明这一问题的研究是曲折而漫长的就共轭类长的个数等于四而言，到目 前为止，也只能研究一些较为特殊的情形，如； a r c a m i n a 在1 9 7 2 年给出了共轭类长是1 ，p - ，q 6 和p a q 6 ( 其中p ，q 是素 数，a ，b 是正整数) 的有限群的结构： 定理1 1 7 俐若有限群g 的共轭类长是1 ，p a ，q 6 和矿9 6 ，其中p ，q 是 不相等的素数，a ，b 是正整数，那么g 是幂零的 2 0 0 6 年，a b e l t r d n 和m j f e l i p e 在文献 1 5 】中拓展了c a m i n a 2 2 】的结 果，将共轭类长推广到了1 ，m ，他和m n ，其中( m ，扎) = 1 的情形： 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 5 定理1 1 8 设g 是一个可解群，如果g 的共轭类长是1 ，m ，礼和m 礼，其 中( m ，礼) = 1 ，那么g 是幂零的，并且n = p a ，m = q 6 ，这里p ，q 是不相等的 素数 注意到，定理1 1 8 的前提是“g 是一个可解群”后来经过不懈的努力他 们在文献 1 6 】中又证明了： 定理1 1 9 假设g 的共轭类长是1 ，m ，钆和m n ，其中( m ，礼) = 1 ，那么 g 是可解的 到此为止，c a m i n a 2 2 】的结果终于得到了真正意义上的推广观察上述定 理，通过对上述四个类长的分析，我们发现类长m n 中的n 是另外一个类长礼 的一个素因子，那么如果把m n 中的佗换成n 的一个素因子，譬如说k ，群的 结构会发生什么样的变化呢? 基于对这一想法的思考，文献 17 】中又证明了； 定理1 1 1 0 设g 是一个可解群，它的共轭类长是1 ，m ，佗和m k ，其中 m ，n 1 是互素的整数并且1 m ，那么0 丌( g ) z ( g ) ，d 丌，丌( g ) 是一个q u a s i f r o b e n i u s 群而 且， 俾，如果n = 矿，那么h = q a 且a z ( g ) 偿砂如果竹不是素数幂，那么a 垡z ( a ) 且 俐要么h = q a 在g 中正规佃此，g 是q u a s i - f r o b e n i u s ) ； 俐要么q 和k q 都在g 中正规且q 可交换 从上述结果我们可以看出，当共轭类长的个数是4 时，只要把定理的条件 稍微减弱一点，结果的复杂性就可能是我们难以预料的需要指出的是对于共 轭类长的个数是4 的情形这一问题还没有得到完全的解决，更不用说共轭类长 的个数大于等于5 的情形了因此人们对这一问题的研究就转入到“在有效的 6共轭类长和有限群的正规结构 减少共轭类的个数的情形下去确定对应的群的结构”这一问题上来，最为典型 的减少共轭类的个数的方式就是利用p 正则( 矿一) 元的共轭类长去研究有限群 的少结构( 如： 1 4 ，1 8 ，1 9 ，3 1 ，6 7 】) 特别地，a b e l t r d n 和m j f e l i p e 在假设p 正则元的共轭类长的个数是定 数的情形下来研究有限群的少结构首先，他们研究了p 正则元的共轭类长 的个数是两个的情形( 见文献 1 4 】) ： 定理1 1 1 1 设g 是一个p 一可解的有限群对任意的p 一正则元z g ， 如果i x g i = 1 或m ，那么g 的p 补是幂零的，并且m = p a q 6 ，这里g 是不等 于p 的素数，a ，b 是非负整数如果b = 0 ，那么g 有交换的p 一补；如果b 0 ， 那么g = p q a ，其中p s y l p ( g ) ，q s y l g ( g ) ，a z ( g ) 另外，如果 a = 0 ，那么g = p q a 通过对定理1 1 1 1 的观察，我们发现当p 正则元有两个共轭类长时，对应 的p 补是幂零的，如果取p 不整除l g l ，显然此定理是定理1 1 3 的一个推广 这就大大激起了我们对p 正则元的共轭类长的个数是定数这一问题的研究兴 趣，自然地，我们会问，随着共轭类长的个数的增大，在p 正则元的共轭类长 的个数是定数的情形下，群g 的p 补是否都分别具有类似于与上述定理( 定 理1 1 4 ，定理1 1 8 等) 所描绘的结构呢? 最近，a b e l t r d n 和m j f e l i p e 在文献 1 8 】中证明了； 定理1 1 1 2 设m 和扎是g 的最大的两个p 一正则的共轭类长并且m n 1 如果( m ，n ) = 1 且pfn ，那么g 是可解的，且 俐g 的p 一正则的共轭类长是j ，n 和脚； 俐g 的p 一补是q u a s i f r o b e n i u s ，其核和补都是可交换的此时，g 的p 一 补的共轭类长是j ，n 和m 他们在文献 1 8 】的推论中证明了p 正则元的共轭类长的个数是3 的情形： 定理1 1 1 3 假设g 是一个p 可解群如果g 的p 一正则的共轭类长是 j ，n 和m 并且( m ，他) = 1 ，那么g 是可解的，g 的p 一补是q u a s i f r o b e n i u s ， 此时其核和补都是可交换的而且，g 的p 一补的共轭类长是j ，n 和脚 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 7 比较定理1 1 4 和定理1 1 1 3 ，虽然定理1 1 1 3 中附加了条件( m ，礼) = 1 ( 这 也许是由于p 正则元在其所对应的p 补中的共轭类长可能不再是l ，n 和m 的缘故) ，但是这两个定理的结论却有着惊人的相似，这更加激发了人们对p 正则元的共轭类长的个数是4 的情形的研究热情经过对此问题的不断的探索， 文献 1 9 】中证明了p 正则元的共轭类长是1 ，m ，矿和m p o ( p 十m ) 的情形，并 得到了与定理1 1 8 相平行的结论： 定理1 1 1 4 假设g 是一个p - 可解群如果g 的p 一正则元的共轭类长是 j ，m ，矿和m 矿，其中m 是一个正整数，p 是不能整除m 的一个素数，那么g 的p 一补是幂零的，并且m = q 6 ，这里q p 是一个素数 值得一提的是，当p 正则元的共轭类长是1 ，m ，n 和m n ( ( n ，m ) = 1 ) 时，g 的p 补是否是幂零的? 这个问题目前还没有定论，有待于人们继续研究 再者，为了更进一步的减少共轭类的个数，人们考虑了素数幂阶元的共轭 类长，这或许是由于素数幂阶元是构成一个群的最基本的元素单位的缘故而已， 因此素数幂阶元的共轭类长在有限群论的研究中也占有举足轻重的地位李世 荣教授则把素数幂阶元的共轭类长与共轭类长的个数是定数这两个角度相结 合，研究了素数幂阶元具有两个共轭类长的有限群，并证明了。 定理1 1 1 5 膨研如果有限群g 的素数幂阶元的共轭类长是1 或m ，那么 g 是可解的 事实表明当素数幂阶元的共轭类长或者素数幂阶元的共轭类长的个数给定 时，我们还是很难对有限群的结构做出一定的回答，即便是一些极其简单的情 形，如定理1 1 1 5 以及定理4 2 3 ，但在其证明中我们还是很难避开单群分类定 理的，可见其问题的复杂性，因此关于这方面的工作还有待于群论工作者继续 努力 从上述研究的进程我们可以看出，诸如前三个问题所遇到的困难一样，当 共轭类长的个数增大时，随时都会出现一些难以克服的困难由于这一原因，人 们对于这一问题的研究主要集中在在已知结果的基础上如何有效的减少共轭类 的个数去确定相应的群的结构这也是本文研究工作的主旨所在 8 共轭类长和有限群的正规结构 在本文的第三章和第五章中，我们通过考虑正规子群的p 正则元的共轭类 长度的个数是定数的方式来减少的共轭类的个数，并分别考虑了这些p 正则元 的共轭类长度的个数是2 和3 的情形( 见定理3 2 1 和定理5 2 2 ) ，并使得定理 1 1 1 1 和定理1 1 1 3 均获得了推广；而在第四章中，我们则考虑了正规子群的 素数幂阶p 正则元的共轭类长的个数是2 的情形( 见定理4 2 4 ) ，从而在一定 意义上推广了定理1 1 1 5 需要说明的是这些p 正则元( 素数幂阶p 正则元) 在g 中的共轭类长度 的个数是2 或者3 ，但是它们在其所在的正规子群中所对应的共轭类长度的个 数可能会有更多个了，这也正是我们在处理这一问题的难点所在 ( 二) 、某些元素的共轭类长具有特定性质的有限群 这一问题在共轭类长的研究中包含着非常丰富的内容，人们可以从不同的 角度提出各种各样的问题如；1 9 0 4 年，b u r n s i d e 对含有一个长为l aj 2 的共 轭类的有限群g 进行分类( 见文献 7 】) 文献 5 】5 研究了共轭类长是连续自然 数的有限群，而文献 7 1 】则给出了两个最大的共轭类的长是连续的自然数时的 有限群的分类。1 9 7 3 年，m a r k e l ( 7 2 ，7 3 】) 在研究可解群时，提出一个猜想：若 在非平凡的有限群g 中，不同的共轭类具有不同的长，则g 竺& 人们称之 为岛一猜想这一猜想大大激发了人们的研究兴趣，许多群论工作者都参与 到这一问题中来，做了许多相关的工作，得到了一些有趣的结果，可以参考文 献 2 ，3 9 ，4 2 ，5 6 ，7 3 ，8 6 ，9 0 这一猜想也是从共轭类长的纯数量的角度出发旨在确 定不同的共轭类具有不同的长的有限群 在共轭类长的众多的特定的数量性质中，从共轭类长的素因子的角度出发 来研究共轭类长对群结构的影响是人们对这类问题研究的兴趣所在这或许是 受到上文 1 3 】中b u r n s i d e 的非单定理影响的缘故，因为这一结果的出现不但推 动了有关共轭类问题的研究而且对确立矿q 6 可解性法则起着决定性的作用后 来，k a z a r i n 5 4 】改进了b u r n s i d e 的结果，证明了： 定理1 1 1 6 有限群g 的任意一个长是素数幂的共轭类必含于s ( g ) ，其 中s ( a ) 是g 的可解根基 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 9 显然，定理1 1 1 6 研究的是某个元素的共轭类长是素数幂的情形，正如事 物的发展都普遍遵循着由简单到复杂的发展规律一样，自然地，人们会想到如 果存在多个元素的共轭类长是素数幂，会有什么样的结果呢? 后来b a e r 【4 】研 究了每个素数幂阶元所在的共轭类的长是素数幂的有限群： 定理1 1 1 7 有限群g 的每一个素数幂阶元的共轭类长都是素数幂当且仅 当g = g 1 g 2x g n 其中n 是一个正整数，并且g t 满足下列性质； 俐当i j ( 1 i ，j 礼) 时，( i a , i ，l q i ) = 1 俐如果i g 一不是素数幂，l g i 恰有两个不同的素数因子并且g t 的s y l o w 子群可交换 考虑定理1 1 1 6 的极限情形，如果所有元的共轭类长都是素数幂，这个群 会有什么样的结构呢? 文献【2 6 】则对该问题做了充要的回答： 定理1 1 1 8 有限群g 的每个元素的共轭类长都是素数幂当且仅当下列情 形之一成立： 俐g 是幂零的并且g 最多具有一个非交换的s y l o w 子群 俐g 是一个a 一群并且存在两个不同的素数p 和g 使得g = a x p o g ( g ) ， 其中a 是g 的一个交换的d ，g ) 7 一群，p 是g 的一个非正规的& l o wp 一予群， 并且对任意的夕g 一g ( p ) 都有pnp g = q ( g ) 注意到定理1 1 1 6 ，定理1 1 1 7 和定理1 1 1 8 实际上都是问题共轭类 长是素数幂的三种极限的情形，我们不禁会问。长度是素数幂的共轭类 个数如果介于这三者之间，群的结构会发生怎样的变化呢”? 文献 6 5 】在定理 1 1 1 6 和定理1 1 1 7 的基础上，对部分素数幂阶元的共轭类长是素数幂的情形 给出了一定的回答： 定理1 1 1 9 设p 是一个固定的奇素数若g 的任一p 一阶元所在的共轭 类的长是素数幂，那么群g 是p 一可解的 y b e r k o v i c h 和l k a z a r i n 在文献 1 2 】中强化了这个定理的条件，得到了如 下结果： 定理1 1 2 0 设p 是有限群g 的一个s y l o wp 一子群，其中p 是l g i 的一 个素因子 1 0共轭类长和有限群的正规结构 ( o ) 若p 中的每个p 阶元所在的共轭类的长是p 的幂，且当p = 2 时，尹 中的每个彳阶元所在的共轭类的长也是p 的幂，则g 是p 一幂零； ( 6 ) 如果p 是非交换群，且对任意的z p z ( p ) ，z 所在的共轭类的长 是素数的幂，则p 是g 的一个直积因子 作为结果( b ) 的一个推论，文献 1 2 】注记3 回答了b a e r 在 4 】提出的一个 问题，即确定满足下列条件的有限群；p 是i g l 的一个素因子，g 中的每个p 阶 元所在的共轭类的长是素数幂 上述的这些结果主要是对某些元素的共轭类长是素数幂的情形所进行的 研究，从共轭类长的素因子的角度来看，这只是共轭类长的一种非常简单的 情形。事实上，在绝大多数情况下，元素的共轭类长并不一定是某个素数的方 幂，这就需要我们去研究更为一般的情形共轭类长具有较多个素因子的 情形，c h i l l a g - h e r z o g 2 6 则另辟蹊径，研究了平方因子2 2 不整除元素的共轭 类长时的情形： 定理1 1 2 1 若有限群g 的每个共轭类长均不能被彳整除，则群g 是可 解的 在上述定理1 1 2 1 的基础上，他们又大胆地尝试着