（概率论与数理统计专业论文）考虑投资回报率的最优再保险问题的研究.pdf

本文分为四章 摘要 第一章为序言，介绍到目前为l t 所研究的各种再保险的最优性，和一些常 见的模型和结果，接着介绍v a r ( v a l u ea tm s k ) 的发展历史和它引入再保险的 方式和优点最后给出本文用到的再保险的基本知识和本文要讨论的两个模型 第二章讨论在方差保费原理，比例再保险，截断损失再保险下，模型一是不 存在最优再保险策略的并给出这种现象的原因 第三章讨论比例再保险，变换损失再保险下，模型二的最优再保险形式并 给出具体的表达式或最优再保险要满足的必要条件并且比例再保险时的结果 比较容易应用 当采用比例再保险之外的分保方式时，计算要用到多元函数求极值，对于不 同风险的分保方式，最优再保险形式没有一个统一的表达式因此，第四章给出 当风险分布为指数分布时定理的直观说明 关键词：v 积，方差保费，比例再保险，变换损失再保险，截断再保险 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s c h a p t e ro n ei st h ep r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h eo p t i m a l i t yo ft h er e i n s u r a n c e t h a th a sb e e ns t u d i e d t h e nw eg i v et h eh i s t o r ya n da d v a n t a g eo fv a r ( v a l u ea t r i s k lu s e di nt h e i n s u r a n c e a tl a s t ，w eg i v et h ek n o w l e d g eo ft h ei n s u r a l l e _ 凳t h a t w i l lb eu s e di nt h i sp a p e ra n di n t r o d u c et h et w om o d e l st h a tw i l lb ed i s c u s s e d c h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h en o n - o p t i m a lr e i n s u r a n c eu n d e rv a r i a n c ep r i n e i - p i ew h e nw eu s ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ea n di n t e r r u p t i o nr e i n s u r a n c ei nm o d e l o n e f u r t h e rm o r e ，w ep o i n to u tt h er e a s o nw h yi td o e s n te x i s t c h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h eo p t i m a lr e i n s u r a n c eu n d e rv a r i a n c ep r i n c i p l e w h e nw eu s ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ec h a n g e - l o s sr e i n s u r a n c ei nm o d e lt w o w e w i l lg i v et h ee x p r e s s i o no ft h eo p t i m a lp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e ，o rt h ee s s e n t i a l c o n d i t i o nt h a to p t i m a lc h a n g e - l o s sr e i n s u r a n c es h o u l db es a t i s f i e d b e s i d e s ，w e c a nc o n c l u d et h a tt h ep r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c ed o e s te x i s tw h e nw eu s ed e v i a t i o n p r i n c i p l ea n dv a r i a n c ep r i n c i p l e w h e nw eu s eo t h e rr e i n s u r a n c ee x c e p tf o rp r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e w e h a v et os o l v et h em u l t i v a r i a n te x t r e m u m i th a sn o tt h es a m ee x p r e s s i o nf o r d i f f e r e n tr e i n s u r a n c ea n dd i f f e r e n tr i s k s ow ew i l lg i v ea ne x a m p l ei nc h a p t e r f o u r k e yw o r d s ：v a r ，v a r i a n c ep r i n c i p l e ，p r o p o r t i o n a l ，c h a n g e - l o s s ，i n t e r r u p t i o n 第一章引言 1 1再保险的介绍 再保险( r e i n s u r a n c e ) 是指保险人承报保业务后，根据风险的大小和自身的 承保能力，将其承担的保险业务的一部分转移给另一个或若干个保险人的行为 和方式本文讨论只有个再保险公司的情形 习惯上，我们称分出保险业务的人为原保险人( o r i g i n a li n s u r e r ) 或分出公 司( c e d i n gc o m p a n y ) ，接受分保业务的人为再保险人( r e i n s u r e r ) 或分入保险 公司( c e d e dc o m p a n y ) 原保险人通过办理再保险将其所承保的一部分风险责 任转移给再保险人，相应的要支付一定的保险费这种保险费称为再保费或分 保保费( r e i n s u r a n c ep r e m i u m ) 同保险一样，再保险也萌芽于海上保险当时，随着海上航运业的繁荣，保 险人接受的风险责任越来越大，一旦发生特大自然灾害或意外事故，往往给他 们造成极度的财务困难，甚至陷入倾家荡产的地步在这种情况下，他们自然 要考虑分散风险的出路因此再保险就出现了世界上第一个再保险协议是 在1 3 7 0 年7 月1 2 日，由一家叫g u s t a vc r u c i g e r 的意大利保险人签定的近年来 世界各地相继发生特大自然灾害和意外事故，如八十年代末美国飓风，九十年代 先后席卷英国，荷兰和德国的风暴，还有伊拉克战争中的船舶损失，白云机场碰 撞案，深圳大火灾等等使人们的分保意识更加增强所以应该且必须再保险 在再保险中，保险契约的双方，保险人一方主要考虑自身的哪些风险需要再 投保，要投保多少，怎样投保再保险一方主要考虑基于本身的分保，如何向保 险人收取保费，收取多少保费才不至于使业务经营亏损 我们用给定概率空间( q ，s p ) 上的非负随机变量x 表示一段时间内总的 的风险，把x 分为保险公司的自留额，和分出给再保险公司的兄，即： x = i + r ( 1 1 ) r 为x 的可测函数，一般的记为n ( x ) 记x 的分布函数为f ( x ) ，z 0 且二 阶矩存在 嘉鼬蠹龟譬塞瘟二熬熬。 ：! 分保方式是指分保函数r ( x ) 的形式，即发生保险事故时，再保险人将以何 种形式对原保险人进行给付本文要用到的分保方式有 1 比例再保险( q u o t as h a r er e i n s u r a n c e ) 冗= c x ，其中0 e 1 称为比例系数 2 变换损失再保险( c h a n g e - l o s sr e i n s u r a n c e l r = e ( x 一6 ) + ，0 c 1 ，0 b 3 截断损失再保险 x “ 仳 x o ( ( o ，害o ) ，( 2 1 ) 式与( 蜘，珈) ，x o 0 为最大值矛盾引理得证 记保险人的方差保费原理为 ( 2 1 ) 口 p ：e x + 3 1 d 2 x ，向 0 ( 2 2 ) 记再保险人的保费原理为 p r ：e r + 屁d 2 r ，阮 0 ( 2 3 ) r 为分保方式，根据更大的风险需要更多的保费，有历岛那么如果不考虑 投资因素，则保险监管部门规定的总资本t 应满足 a p r ( ( o 0 ， 第二章模塑一的讨论8 其中，r = c x t = t 1 + t 。= t l + v a r 。( x ) 一p 1t 1 0 ，o 。) 记保险人的期望收益为s ( t ；c ) ，则保险人的期望盈余为 e m a x 0 ，s ( t ；c ) 】= e m a x 0 ，v a r 。( x ) + t l b 2 厶( x ) 】 = e m a x 0 ，v a r ( , ( x ) + t l 一【e r + 岛d 2 r 】一厶( x ) 】 f u ( t l ，c ) = ( u ( h ，c ) 一y ) d 既( ) ：，“f ，( y ) d y(213)dy = 黾 l z = 广“f ( 吉) 咖 r 望 = ( 1 一c ) f ( y ) d y 记 对c 求导 ，坚紫 ，( c ) = ( 1 一c ) f ( 可) d y ( 2 1 4 ) j 0 五d f ：一z 掣珊m ”c 州掣) 掣 ：一z 掣珊删掣) 掣+ f ( 掣) e ( 一2 c d 2 ( 舻( 掣) = z 掣【f ( 掣) - f 肾f ( 掣) 小叫瑚如 一2 c d 2 ( 舻( 掣 = z 訾妒( 掣h 删f ( 掣) 丘( 1 _ f ( 瑚如 一2 c d 2 ( x ) f ( 掣) o 由引理1 知：当c = 0 时，即不采用再保险时，p ( t ，c ) 取最人值此时 加棚，：蹉羔辫 眨 肌o ) 2 丽帮一1 ， ( 2 1 5 ) o pf ( v a r 。( x ) + t 1 ) ( 矿o r 。( x ) + t 1 一尸) 一。如似+ 1f ( y ) d y 况1( v a 冠。( x ) + t 1 一p ) 2 。置a x 州1 ( f ( y n 冗。( x ) + t 1 ) 一f ( 可) ) d y ( 冠。( x ) + t 1 一p ) 2 f ( v a i k ( x ) + t 1 ) 铲( 1 一f ( ) ) d y + f ( v a r a ( x ) + t 1 ) f l l d 2 ( x ) ( v a r 。( x ) + t 1 一p ) 2 j 。r n 何) + 。1f ) ( f ( y n 冗。( x ) + t 1 ) 一1 ) d y ( v a r 。( x ) + t 1 一p ) 2 f ( v a r ( x ) + t 1 ) 戚如( x ) + 。，( 1 一f ( 可) ) d y + f ( v a r 。( x ) + t 1 ) f l l d 2 ( x ) ( v a r 。( x ) + t 1 一p ) 2 ( 2 1 6 ) 所以当t 1 = 0 时，p ( t 1 0 ) 取最大值，定理得证 口 2 2分保方式是截断损失再保险 当我们采用分保方式 t 已2 = 冗( 。) 僻) f 0 ，当x 姐 1 兄( 。m 尔x ) ： 。( x - u ) 当u x “+ 仉 ( 2 1 7 ) l 铡，当u + 口 x 其中c 【0 ，1 ) ，0 u ，0 口 记 丑。 。) ) = x 一兄( 。，。) ( x ) ( 2 1 8 ) 则亿，。) ( x ) 的分布函数为 f 1 ( 。( x ) c y ) = 只陬c ”) ( x ) s 刎 = 只【 丑。) ( x ) sy 】- n a l = 只【 丑。，。) ( x ) y n ( x i t ) l + 只k 五。阳。) ( x ) 可 n ( 乱 x “+ 钉) 】 + b 【 。，。) ! ) n ( + u x ) 】 if ( ) ， 当y t = f ( 等等) ， 当札 y “+ ( 1 一c 扣 ( 2 1 9 ) 【f ( y + 删) ，当“+ ( 1 一c ) v 0 其中，r = 兄( 。) ( x ) t = t 1 + t m 讯= t 1 + v a r ( x ) 一p 记保险人的总资本 为 s ；c ，u ，v ) = v a r ( x ) + t l j ( c ，口) 一厶。m 。) ( x )( 2 2 4 ) 则保险人的期望盈余为 e m a x o ，s ( t ；c ，u ，移) 】 = e m a x o ，v a r a ( x ) + t l b z ( c ，口) 一丑。“。) ( x ) 】 =e m a x o ，v a r n ( x ) + t l i e r + 恳d 2 捌一厶。一，砷( j r ) 】 2(u(tl，c，“，口)一y)d。m(口)j0 f u ( t a ，c , u ，口) 2 上 以一( 们咖 ( 2 2 5 ) 记 f0 ， i r 1 ： ( x 一札) ， l r 当x u 当仳 x u + u 当u + 口 x 其中0 ，0 t ， 则 c ，( 1 ，c ，”，v ) = y o r 。( x ) + t 1 一c e r l 一侥c 2 d 2 r 1 当u ( t l ，c ，u ， ) 札时 即 c c l ，c 12 而c l 1 ，故这种情况不存在 当u 矿( 1 c ，钉) + ( 1 一c ) u 时，即0 c c 1 ，且c c 2 ， c l2 q= 一e 兄1 + 2 仍d 2 r 1 一( e r ，一口) + 、，i 巨元_ = i 产j _ 覃日醪巧i 可乏i 云f 广f 两 而c 1 冬c 2 ，故这种情况也不存在 当缸+ ( 1 一c ) v u ( t 1 ，c ，u ，口) 时 即 0 c c 2 2 岛d 2 r 1 ( 2 2 6 ) ( 2 2 5 ) 式等于 n 妯+ f u u - b ( 1 - c ) v f ( 篱m = 珊侧咖( 2 - z 7 ) 根据 y o r 。( x ) + t x b i ( c ，u ，u ) y o r 。( x ) + t l c 扣一f ( x ) d x 】 ，u 十 j ，十，u 十 一c 2 【扣一2 ( x u ) f ( z ) ) d x 一【 ( 1 一f ( z ) ) d x 2 】 j t t， 记( 2 2 7 ) 式为 ( t 1 ，c ，t ，) ，对c 求导得 所以 = 一：“押) d y f f ( y d y f ( u ( t a ，c ，u ，”) + 铡) ( 旦煎竺生生气掣) = 一，c 池 ) + 铡) ( 婴生等半幽) j “ 。 = ( f ( u ( t l ，c ，u ，u ) + 例) 一f ( y ) ) d y f u + v f ( u ( t l ，c ，u ，口) + 例) ( 1 一f ) ) d x 】 一2 c v 2 2 ( ( z u ) f ( z ) ) d x - i v 一f ( z ) d 叫2 】f ( u 0 1 ，c ，u ，口) + c u ) f u + v = ，( f ( u ( t l ，c ，钍，u ) + 例) 一1 ) f ( y ) d y j “ 一2 c v 2 2 ( ( z 一“) f ( z ) ) d x p 一f ) d x 2 】f ( u ( t 1 ，c ，口) + c ) ，( 2 2 8 ) 对于任意的t 1 ，“，口都成立 c 3 f l ( t l , c , u , v ) 0 o c 所以，当c = 0 ，或等价于= 0 ，t j = o o 时，e m a x o ，s ( t 1 ；c ，札，t j ) 】取最大值 ( 2 2 9 ) 第二章、模型一的讨论 1 4 综上，当c = 0 时，对于任何u ( t 1 ，c ，札，u ) p ( t 1 ，c ，牡， ) 取最人值 此时 p ( t l , o , u , v ，：簏杀辫， 亿s 。) p ) 2 丽再苌等， ( 2 3 0 o _ a ：f ( v a r a ( x ) 4 - t l ) ( v a r a ( x ) ，4 - t 1 - p ) - f ：a l 屯( x ) + t , f ( y ) d y 。 疣1( v a r 。( x ) + t 1 一尸) 2 。 譬棚n x “1 ( f ( v a r a ( x ) + t 1 ) 一f 白) ) d y ( v a r 。( x ) + t 1 一尸) 2 f ( v a r 。( x ) + t 1 ) 矗”( 1 一f 扛) ) 如一f ( v a r 。( x ) + t 1 ) 卢l d 2 ( x ) ( y o r 。( x ) + t l p ) 2 。如x + “( f ( v a r a ( x ) + t 1 ) 一1 ) f ( ) d y ( v a r a ( x ) + t l p ) 2 f ( v a r n ( x ) + t 1 ) 厩如俩) + “( 1 一f ( z ) ) d x ( v a 风( x ) + t l p ) 2 一f ( 丽v a 葙r a 7 ( x 亓) - = i - t l ) ，i i d 币2 ( x 一) b 时，只要 2 c o e ( x ) 1 ， c o = 1 一、穹乎，就存在最优再保险，并且比比例再保险的回 报率大 证明 在模型( 2 2 ) 下，需要的最小资本为 t r a i n = v a r i ( 。，b ) ( x ) 】( p 一局t )( 3 1 7 ) 记保险公司的总资本为s ( c ，b ) 根据定义有 所以 s ( c ，b ) = t m i 。+ ( p p r ) 一陋。，6 ) ( x ) 】 = y o r 。【丑。，”( x ) 】一【厶。，砷( x ) 】 ( 3 1 8 ) n = p 【亿声) ( x ) 7 y 。吼t x ，= v a r a i ( c , b ) ( x 雪孑：乏警l ： 妻；j 专乙 c s 。， 或等价地 眦地印肛肛 = 础， 所以期望盈余为 当v a r c , i x 】y 当y n r o x ( 3 2 1 ) ) 匆， 叻， ( 3 2 2 ) 当v a r x b ， 当y o 凰i x 】 b ， 当v a r c , x b ， 当y o 吼 圈 b z 1 i 晰 吲 器一茹酬铲计 j 们砒 由 诹 匆 圳俨 俨 砷 砷 戳 第三章模型二的讨论 由( 3 2 2 ) 式，如果要求绝对盈余最大，则不需再保险 此时收益率 p ( 。，6 ) ：生萼删一1 一 e m a x o ，s ( c ，6 ) ) 】， 一_ y o 风【亿，6 ) ( x ) 】一p ( c ，b ) f佩f ( 可) d y lv a r , , i c 。，僻) 】_ p ( c ，b ) l 哦f ( y ) d y c 胡朋1 f ( y ) d y l y o 冗。 。，6 ) ( x ) 】一p ( c ，b ) ( 3 2 3 ) 当v a r a x 】b 当v a r , ， x 】 b 从( 3 2 3 ) 可以看出，当v a r 。 x 】b 时，若p ( c ，b ) 最大，只要分母最小即可 即c = 0 ，保险公司不再考虑再保险可以这样理解，v a r 。i x 】sb ，自留额比 v a n , , x 】还大，保险公司没有必要再保险除非另有投资项目，并且另外的投 资项目收益率大于这项保险收益 分别对( 3 2 3 ) 的当v a r a x 】 b 时的c ，b 求偏导，记 有 a o a c 8 d o b g ( b ，c ) = ( c b 十( 1 一c ) v a r , ，【x 】+ e e ( x 一6 ) + + c 2 免d 2 ( x 一6 ) + 一e ( x ) 一f l l d 2 ( x ) ) 2 一i 再广一 c f ( 6 ) ( ( c 6 + ( 1 一c ) y n 冠。 x 】+ c e ( x 一6 ) + + c 2 岛d 2 ( x 一6 ) + ) 9 【d ，c ) c ( j 嘏d 瞳1f ( y ) d y c 。磁陋1f ) 咖) 【f ( 6 ) 一2 c f l 2 f ( b ) e ( x 一6 ) + 】 一项币广 ( 3 2 4 ) 第三章模型二的讨论 乃= 化，驯笔= o ，丽o f = o ) ( 3 - 2 5 ) 记退化为比例再保险的最优再保险策略为f 3 ( c o ，0 ) 令 ，( c ，“) = m a x ( f ( c ，6 ) ，( c ，b ) 乃f 3 ( c o ，o ) ) ( 3 2 6 ) 则( c o ，b o ) 就是所求的最优分配方案 c 0 一6 0 ) + ( 3 2 7 ) 下面先说明在一定条件下c 0 ，b = 0 比c = 0 ，b 0 的回报率高当 c = 0 ，b 0 时，( 3 2 3 ) 式的第二式为 矗j 喾0 v a rex z s ， 、y ，f ，on o 、 。( x ) 一一屁d 2 ( x ) 。 当c 0 ，b = 0 时，( 3 2 3 ) 式的第二式为 砒f ( y ) d y y o 心僻) 一e x 一也i 警d 2 ( x ) 当( 3 3 0 ) 历， 即 龛 当c 0 ，b = 0 时，记 ，4 ( 6 ，c ) = ( c b + ( 1 一c ) v a r a i x 】+ c e ( x 一6 ) + + c 2 岛d 2 ( x 一6 ) + 一e ( x ) 一岛d 2 ( x ) ) 2 ( 3 2 4 ) 式为 ( 3 2 9 ) ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) o p 一( c 2 仍一2 c f l 2 + 胁) d 2 ( x ) 4 如f ( 可) d y o c ，4 ( 6 ，c ) o_拶pp ( 3 3 2 ) 第三章模垂二的讨论2 2 若塞= o ，则c 2 岛一2 c 岛+ ，= o ，所以 c = 1 士 ( 3 3 3 ) 显然1 一、学 赛，即( c 1 6 ) = ( 1 一 与导，o ) 比不采用再保险的回报率高 下面再说明比比例再保险更优的变换损失再保险存在 对甏的分子进一步的化简有 丽o p = c f ( b ) ( c b + ( 1 一c ) y 。兄。 x 】+ c e ( x 一6 ) + + c 2 岛d 2 ( y 一6 ) + 二e ) 一伪d 2 ( x ) ) 2 ) + c f ( 6 ) ( 厂讹f ( ) 咖 j 0 ，y n 如【x 】 一c f ( y ) d y ) 【2 c 仍e ( x 一6 ) + 一1 】( 3 3 4 ) 故只要2 c 疡e ( x 一6 ) + 一1 0 就有甏0 对于固定的c o = 1 一廛乎，当 2 c 0 疡e ( x 一6 ) + 1 0 ，局部的就有囊0 ，即对于b 是递增的，所以比比例 再保险更优的变换损失再保险存在 口 注6 对于本章出现的( c ，b ) ，我们可以求出二阶偏导数，利用黑塞矩阵就可以给出 整个区域内存在最优再保险的充分条件 孕 fv 第四章例子 对于风险x ，本文统一采用指数分布 f ( x ) = 1 一e x p ( - o 0 1 x ) ， 且保险人和再保险人的参数为 岛= 0 0 0 1 ，岛= 0 0 0 2 q = 0 9 7 5 则 e ( x ) = 1 0 0 ，d 2 ( x ) = 1 0 0 0 0 ，y o 冠。( x ) = 3 6 8 8 8 8 尸= e ( x ) + # i d 2 ( x ) = 1 1 0 对于定理2 1 肿，句：譬磐一。 2 6 8 8 8 8 + t 1 1 0 0 c 一2 0 c 2 2 5 8 8 8 8 + t l + 婴型甓裂丽3 6 8 8 8 8 塑+ t l - - 1 0 0 c - - 2 0 c a ) _ 1 图象如( 4 1 ) 图4 1 第四章饲子 对于定理2 2 考虑到实际的运用，我们假定 f ( “) = ：，f ( + 钉) = i ， 则 u = 2 8 7 6 8 钍+ = 1 3 8 6 2 9 我们仅给出第三种情况的图象，即 牡+ ( 1 一c ) v u ( t l ，c ，t ，t ，) 0 c b 时的情况，记 c b + ( 1 一c ) v a r 。, x 】+ c e ( x 一6 ) + c + b 麓3 。6 8 淼8 8 8 ( 1 竺c 1 0 0 c 卜e x 然p ( ( - 0 鬻0 1 ，) b ， 3 ， + 一1 + 1 、 + 2 0 0 0 c 2 ( 2e x p ( - 0 0 1 b ) 一e x p ( 一0 0 2 b ) ) 一1 1 0 p ( c ，6 ) ：f o v m 面 x 丽lf ( y 一) d y 一 图象如下 c j 夕如闭f ( 可) 白 g ( c ，b ) 3 6 8 8 8 8 ( 1 一c ) + 1 0 0 ( 1 一c ) e x p ( - 3 6 8 8 8 8 ) = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( c ，b ) + - 1 0 0 + c b + z 1 0 1 0 c r e x p ( - 0 一0 1 b ) (44)b厶( c ，) 。 ”一 图( 4 5 ) b k g ，、l 第四章例子 在这种情况下结果不是很明显 当c = c 0 = 1 一 簪时 其中 俐) = 紫一可c o f y a r d x f ( y ) d y 一1 3 6 8 ，8 8 8 ( 1 一c o ) + 1 0 0 ( 1 一c o ) e x p ( - - 3 6 8 8 8 8 ) 矗( c o ，b ) + - 1 0 0 + c o b + 1 0 0 c o - e x p ( - 一0 0 1 b ) 一1 (45)f 6 ( c o ，b ) 一 、， c d 6 + ( 1 一c o ) v a r i x 】+ c o e ( x 一6 ) + +缓-b)一+-)e+(x)cob 3 6 88 8 8 ( 1 c oi o o c o 篙溢00 1 ) b ) ( 4 6 ) + 一 ) + e x p ( ( 一) 、 7 + 2 0 0 0 瑶( 2e x p ( - o 0 1 b ) 一唧( 一0 0 2 b ) ) 一1 1 0 把原来的b 缩小到原来的百分之一得到 图( 4 6 ) 从图( 4 6 ) 可以明显的看出，存在p ( 1 7 2 ，c 0 ) = 0 2 5 8 4 比p ( o ，c 0 ) = 0 1 4 0 0 更优 l ，l g ，_lil(1_i、 参考文献 【1 】d e n e b e r g ，d ，1 9 9 0 p r e m i u mc a l c u l a t i o n ：w h ys t a n d a r dd e v i a t i o ns h o u l db e r e p l a c e db ya b s o l u t ed e v i a t i o n a s t i nb u l l e t i n2 0 ，1 8 1 1 9 0 t 【2 】d ep r i l ，n 1 9 8 9 t h ea g g r e g a t ec l a i m sd i s t r i b u t i o ni nt h ei n d i v i d u a lm o d e l w i t ha r b i t r a r yp o s i t i v ec l a i m s a s t i nb u l l e t i n 1 9 ，9 - 2 4 3 】d h a e n e ，j , w a n g ，s ，y o u n g ，v ，g o o v a e r t s ，m j ，1 9 9 7 c o m o n o t o n o c i t y a n d m a x i m a ls t o p - l o s sp r e m i u m s ，p r e p r i n t 4 】g a j e k ，l ，z a g r o d n y , d ，2 0 0 0 i n s u r e r so p t i m a lr e i n s u r a n c es t r a t e g i e s i n s u r - a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 2 7 ，1 0 5 - 1 1 2 5 h u r l i m a n n w ，n o n - o p t i m a l i t yo f a n dn o n - p r o p o r t i o n a lr e i n s u r a n c e 1 9 9 9 ，2 4 ：2 1 9 - 2 2 7 al i n e a rc o m b i n a t i o no f p r o p o r t i o n a l i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 【6 】h u d i m a n n ，w ，1 9 9 4 b an o t eo ne x p e r i e n c er a t i n g ，r e i n s u r a n c ea n dp r e m i u m p r i n c i p l e s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 1 4 ，1 9 7 - 2 0 4 【7 】h u r l i m a n n ，w ，1 9 9 5 a c a p m ，d e r i v a t i v ep r i c i n ga n dh e d g i n g p r o c e e d i n g so f t h ef i f t hi n t e r n a t i o n a la f i rc o l l o q u i u m ，b r u s s e l s f 8 】k a l n s z k a ，m ，2 0 0 1 o p t i m a lr e i n s u r a n c eu n d e rm e a n - v a r i a n c ep r e m i u mp r i n - c i p l e s i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s 2 8 6 1 6 7 【9 】m a z u r ，t ，2 0 0 0 m s km a n a g e m e n tv i ar e i n s u r a n c e d i p l o m at h e s i s t e c l m i - c a lu n i v e r s i t yo fl o d z l o d z ( i np o l i s h ) 【1 0 】n a k a d a ，p ，s h a n ，h ，k o y l u o g l u ，h ，1 9 9 9 p & cr a r o c ：ac a t a l y s tf o ri m - p r o v e dc a p i t a lm a n a g e m e n ti nt h ep r o p e r t ya n dc a s u a l t yi n s u r a n c ei n d u s - t r y t h ej o u r n a lo fr i s kf i n a n c e ，f a l l 1 1 】o l i v e rd e p r e za n dh a n su g e r b e ro nc o n v e xp r i n c i p l e so fp r e m i u m c a l c u l a t i o n i n s u r a n c e ：m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 8 5 ，4 ：1 7 9 1 8 9 【1 2 】p a n j e r ，h h ，( e d ) ，1 9 9 8 f i n a n c i a le c o n o m i c s w i t ha p p