（计算数学专业论文）利用正则化方法反演声波阻尼系数.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 声波反散射问题是一个典型的数学物理反问题。由于声波反散射理论在地 质勘测和雷达等诸多方面的迫切需要，反散射理论及其计算方法的研究有着广 泛的应用前景。这类问题的难点在于它的非线性和不适定性，而正则化方法的 出现则推动了其研究与发展。本文综述了声波障碍反散射理论的历史发展，并 给出了一种方法，由散射波的近场数据反演声波的阻尼系数，给出了该方法的 收敛性及数值例子，表明方法不仅简单而且有效。 关键词：反散射问题阻尼系数近场数据反演正则化方法 a b s t r a c t t h ei n v e r s ea c o u s t i cs c a t t e r i n gp r o b l e mi sat y p i c a li n v e r s ep r o b l e m ，i th a sb r i g h t f u t u r ei na p p l i c a t i o no ng e o l o g i c mp r o s p e c t i n ga n dr a d a r ，e t c 。t h ed i f f i c u l t yo f t h ei n v e r s ep r o b l e mi sd ut oi t sn o n l i n e a ra n di l l - p o s e d ，h o w e v e rt h ei n t r o d u c t i o n o fr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sf o rl i n e a ri 1 1 p o s e dp r o b l e m sd r a m a t i c a l l yc h a n g e dt h e s i t u a t i o n i nt h i sp a p e r am e t h o dt or e c o v e rt h ei m p e d a n c ec o e f f i c i e n tf r o mt h en e a r f i e l dd a t ao ft h es c a t t e r e dw a v ei sp r e s e n t e da n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h i sm e t h o di s p r o v e n n u m e r i c a le x a m p l e s8 , r eg i v e n t h e ys h o wt h a tt h em e t h o di sb o t ha c c u r a t e a n ds i m p l et ou s e k e y w o r d s ：s c a t t e r i n g ，a c o u s t i cw a v e ，r e c o v e r ，i m p e d a n c eb o u n d a r y i l l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查阅和 借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同 时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：l 尘堕指导教师签名： 至圭! j 一芏年月多日叫，j ，年月争日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 受取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 芩论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得话 i 匕大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 司志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 誊。 学位论文作者签名： 书吐 细芏年j 月莎日 第一章绪论 第一章绪论 1 1声波障碍反散射问题与正则化方法 在数学物理中，通常研究的是数理方程的正问题。也就是给出微分方程及 定解条件，如初值条件，边值条件或混合初边值条件，求满足给定条件的解及 研究解的正则性质。然而在实际中，常常会遇到与求解正问题相反的情况。作 为代表某种物理场的微分方程的解，我们不仅知道它们应取的初边值，而且还 可以观测到解的某些进一步的信息。但是反映场源结构性质的某些物理参数或 几何参数却作为未知量出现在微分方程的系数中，或出现在微分方程的右端部 分，或初边值条件中。要求我们利用解的进一步附加信息去反求这些未知参 数，这就是数理方程反问题。声波反散射理论是一个典型的数学物理反问题。 声波散射理论在二十世纪以来的数学物理领域占有重要的地位，在这一方丽已 有大量的研究工作，而在声波反散射的研究方面，大量的研究工作才是近十多 年的事。由于声波反散射理论在雷达声纳与地球物理勘测等领域的迫切需要， 以及t i k h o n o v 正则化方法的出现与计算机的发展，声波反散射理论及计算方法 的研究有着广泛的应用前景。 1 2 声波障碍反散射理论的历史发展 在8 5 年以前，对声波反散射问题的研究大致可分为两个方面：一是解析 方法。将总体场展成f o u r i e r - b e s s e l 级数，求区域使得总体场在区域的边界上 为零。这种方法只对软表面障碍有效，收敛性要求散射波的奇点远离障碍 的边界。但这对未知区域无法判断，数值实验很难实现。解析方法还有用 复变函数的方法，通过保形映射将未知区域映成单位球。问题归结为求这 个映照，但问题的收敛性受制于苛刻的附加条件。对于解析方法，小扰动 有可能破坏其解析性，数值实现几乎不可能。另一种方法是非线性最优化 方法。由于要求边界到远场模式的映射的n e c l e t 导数，并且每迭代一次都需 要解一个正闻题，即解一个f r e d h o h 方程，数值实验也很困难。8 5 年以后， 对声波反散射的研究，无论在理论上还是在数值计算方面都取得了长足进 展。c o l t o n ，k r e s 8 和k i t s c h 等利用积分方程方法对声波反散射作了深刻的研究。 得到了一些很好的结果f 1 1 ，1 2 ，1 5 ，3 5 。g i l b e r ta n dx u 2 4 ，3 7 | 将声波反散射理 论应用于海洋问题，取得了一系列的研究成果并得到许多数值例子，但只是 限于理论研究。我国对声波反散射的研究很少，尤其在声波散射区域的重建 方面。声波反散射的研究，无论是理论结果还是数值方法，与实际问题的结 合还有很大差距，这是由于对区域较理想的重建。对原始数据的要求相当苛 刻。在这方面要解决的问题还很多，如何降低对原始数据的要求，有效的数 值方法，一些先验估计都是迫切需要解决的问题。对于声波散射区域的重建 目前有两种较为有效的方法：一是c o l t o na n dm o n k 方法，通过对未知区域的 西北大学硕士学位论丈 估计，直接处理稳定化问题，充分利用h e r g l o t z 波函数的性质f l l ，1 2 1 。另一种 方法是k i r s e ha n dk r e s s 方法，首先假设未知区域内可嵌入一封闭曲面所围成 的区域，且女2 不是r 内的l a p l a c e 算子的特征值，再利用t i k h o n o v 正则化方法求 解 1 5 l 。对于声波反散射的研究，目前的研究方法主要是基于积分方程方法。 一个重要途径是利用波场的远场模式f 3 5 1 ，关于这方面r a m m 在1 9 8 6 至1 9 9 0 四年 间先后发表了多篇论文。主要研究系数反问题，对其提出的三种反求系数的 方法，讨论了解的唯一性与稳定性。c o l t o n 等人利用远场模式研究了声波和电 磁波反问题。在文【3 5 1 中对声波和电磁波反问题作了阶段性总结。g i l b e r ta n d x u 主要针对有限深度海洋问题，研究了如何用远场模式反求系数和区域，而 且给出了一些数值例子。虽然他们的研究仅限于理论方面，但为将声波与电磁 波反散射理论应用于海洋问题，提供了一条可行途径。在声波反散射理论的研 究中，利用积分方程方法的优点是，对问题的唯一性和稳定性容易得到证明， 但不容易作数值实验。许多文献只给出算法而没有给出数值例子。反散射问题 的难点在于它的不适定性和非线性。它对理论分析及数值方法的设计带来了相 当大的困难。于是1 9 6 3 年由前苏联数学家a h t i k h o n o v 院士提出的正则化方法 及拟解方法被广泛的应用。c o l t o na n dm o n k 3 6 1 利用正则化方法对时间调和声 波反散射问题作出了一些数值解。e n g a l 2 7 ，s e i d m a n 2 8 ，m o r o z o v d u i 1 0 1 正则化 的应用作了不少工作。然而非线性正则化方法在实际的区域重建中，给出的结 果经常不很理想。原因是为了由时间调和入射波的远场模式得到散射区域的形 状，需要更多的信息。c o l t o na n dk i r s c h 4 1 在1 9 9 6 年提出了线性样条方法，这 种方法不再需要关于散射区域的先验信息也不需要散射区域边界所满足的边 界条件，而且是一种线性算法。后来由c o l t o n ，p i a a o 莉p o t t h a s t 4 3 1 等人加以 改善，而c o l t o n ，g i e b e r m a n n 和m o n k 5 2 对于这种方法给出了一些数值实验的结 果。 1 3三种重建散射区域的方法 古典声波散射理论的两个基本问题：一是时间调和声波在非均匀介质中的 散射问题。另一个是不可穿透的障碍散射问题。我们主要讨论后者。首先考虑 第一种情况，假定入射波是时间调和声波 矿0 ，) = e z v z a u t ) l 其中= 。岛是波数，u 表示频率，岛表示声波在均匀介质中的传播速度，n 表 示波豹传播方向。那么在非均匀介质中最简单的声波散射问题可归结为求总体 场m 使得 “+ 七2 礼( 。) 札= 0 i n r 3 缸( z ) = e 。胁。+ u 。( z ) 】恕r ( + 石o u s - i k u 3 ) = 。 2 f 1 3 1 】 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 第一章绪论 其中r = ，n = c 3 c 2 是折射率，c 表示声波在非均匀介质中的传播速度，矿称 为散射波，( 1 3 3 ) 称为s o m m e r f e l d 辐射条件。对不可穿透的障碍d ，散射问题可 归结为求总体场u ，使得 u + 2 n ( z ) u = 0i n r 3 d f 1 3 4 ) t ( z ) = “+ u 8 ( 。)( 13 5 ) u = 0o no d f 1 3 6 ) l 恕r ( 警“= o ( 1 3 7 ) ( 1 3 6 ) 表示软表面障碍边界条件，物理上可解释为总体压力在障碍边界上为 零。 类似地，硬表面障碍对应于n e u m a r a n 边界条件， 宴；od no d 表示单位外法向，物理上可解释为声波沿法向的速度在障碍边界上为零。 另外还有阻尼边界条件 器+ 认札= o o n o d 虽然( 1 3 ，1 ) 一( 1 。3 3 ) ，( 1 3 4 ) 一( 1 3 7 ) 是两个最简单的声波散射问题，其中有 些问题还是没有得到完全解决，就数值计算而言，还有许多问题需要进一步研 究。 在散射理论中，个重要的概念是远场模式。设矿是( 1 _ 3 1 ) 一 ( 1 3 3 ) 或( 1 3 4 ) 一( 1 3 7 ) 的散射场，那么矿具有如下渐进性质 p l 舸1 钍3 仕) = 。让* ( ；d ) + o ( 专) ，| r | 一 ( 1 38 ) 金= x i o t ，钍鏊称为矿的远场模式远场模式最重要的性质之一就是 在l 2 ( q ) ( n 为单位球面) 中的完备性，这个结果最早由c o l t o na n dk i r s c h 1 1 针 对问题( 1 3 4 ) 一( 1 3 7 ) 得到。假设 靠：n = 1 ，2 ， 是单位球面上稠密的向量 集合，那么 t o 。( ；如) ：n = 1 ，2 ，) 在l 2 ( n ) 中完备的充要条件是，胪不是d 内 负l a p l a c e 算子的特征值，或者若2 是特征值但其特征函数不是h e r g l o t z 波函 数。 h e r g l o t z 波函数在声波反散射问题的研究中有着广泛的应用f l l ， 1 2 1 。h e r g l o t z 波函数是指在印上满足h e r g l o t z 方程的解u ，使得 s u p 。1z ；只i ”( z ) j 2 d 。 o 是波数，d 是单位向量z r 2 。则散射场矿( z ) ：u 。( 。，d ) 有如下渐进性 。i k r ( z ) = 二i t 。( ，d ) + o ( r _ 3 2 )( t 3 1 4 ) 、r 、7 其中 o 。是远场模式。线性样条方法首先选取一个参数z r 2 ，然后寻求远场方 程 r 厶牡o 。忙，d ) g ( d ) d s ( d ) = 垂。 ，d )( 1 3 1 5 ) j n 、 7 的解，其中q 是单位圆周，= x x l ，壬o 。是基本解的远场模式，基本解为 圣( 为z ) = ；磷1 ( i z z ) 于是可以证明，对于= d 以及几乎所有的，远场方程都有逼近的正则解，满 足条件 姆m ，2 ) 慨卿= o 。 ( 1 3 1 6 ) 和 ! 婚( ，z ) j b t ( d ) = o 。 ( 1 3 1 7 ) 这里的码是如下式定义的核为g 的h e r g l o t z 波函数 o ) = e hd g ( d ) d s ( d ) ，。r 2 ( 1 3 i s ) j n 通过远场方程的正则解，再进一步得到散射边界r 。 5 西北大学硕士学位论文 1 4不适定问题与t i k h o n o v 正则化方法 数理方程的大部分反问题都被证明是不适定的，因此首先来介绍不适定性 定义1 1 ：假设x ，y 是赋范空n a ：ucx y ，那么方程a u ：，称为适定的， 如果a 是一一映射并且a o ：y 一矿是连续的否则称为不适定的 , t n 化方法就是对于不适定的方程建立一个稳定的近似解的方法。 定义1 2 ：假设x ，y 是赋范空间，a ：x ：一y 是有界线性算子，并且是单射 有界线性算子序列忍：y x ( a 0 ) 满足凰a 是逐点收敛的，即 d l i + m o r 。a u = “，v u x 那么凰称为算子a 的正则化序列，相应的参数o t 称为正则化参数 正则化方法是用正则解 ：= 磁，6 来近似代替方程a u = ，的解于是有误差 6 一u ( 1 = i i 吼，5 一吼，+ r 口胤一u 划吼+ 取如一n 容易看出右端的第一项随a o 而增大，第二项却随着q 一0 丽减小故丽q 的值 需要合理选择，m o r o z o v 给出了一种选取正则化参数的方法，通过f 的误差水平来 确定参数 t i k h o n o v 正则化方法是通过使一个泛函最小化得到的 定理1 1 ：设a ：x y 是一个全连续算子，令吐 o ，则对于任意的，y ，存在唯 一的u x + 使得 t i a u 一，1 1 2 + 口j i “| 1 2 = i n f ij a u 一，1 1 2 + o fj 札f 1 2 ) 其中满足方程 叫d + a + a u 口= a 。， 且连续依赖于， 证明：由于 l a u 一，l 2 + a “1 1 2 = l a u 。一，l i 2 + a l i u 1 2 + 2 r e ( u 一缸。，o i l * 。+ a + ( a u 。一，) ) + l a ( 钍一u 。) f j 2 + 血i i 钍一u 。f 1 2 可见u = u 。是使得i l a 札一川2 + 口2 最小化的充要条件 其实t i k h o n o v 正则化方法选取的r 。就是如= ( a l + a + a ) “a + 定理1 2 ：设a ：x y 是一个全连续算子，则对任意口 o ，算子q j 十a a ：x x 是一双射，且有连续逆算子， - 3 a 是单射时，r 。：= ( a ，+ a + a ) - 1 a + 就定义了一个 正则化序列，满足l l 吼i is 去 6 g _ - 章利用正受 j 化方法反演声波阻尼系数 第二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 2 1 引言 假设在均匀介质中传播的声波，此声波碰到障碍d 发生散射设dcr 3 为 一单连通区域，a d c 2 。设入射波为平面波口( z ) = e x p i k x q 1 ，其中 o 为 波数，o 为入射角记总体场让= + 矿，乱5 满足阻尼边界条件正散射问题归结为 求扎c 2 ( 舻d ) n e ( 斧d ) 满足 a u + k 2 u = 0 i nr 3 d ( 2 1 1 ) 笔瑚( 咖= 0 o no d ( 2 1 2 ) 一口j 3 l 妇 三一i 女u 5 ) = 0r = ( 2 1 3 ) 其中1 表示单位外法向，a ( 士) c ( a d ) 称为阻尼系数，( 2 1 3 ) 称为辐射条件将 满足辐射条件的h e | m h o i t z 方程的解称为辐射解 对问题( 2 1 1 ) 一( 2 ，1 3 ) 有定理 定理2 1 ：设，m ( 柚0 ，o n o d 那么问题( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 存在唯一的解且相对 于最大模范数，解u a 在帮d 上，矿的各阶导数在舻西的任一闭子集上连续依 赖于边界数据倒 本文讨论反问题利用单层位势对散射波的逼近由给定的散射波近场数 据，即散射波在一封闭曲面上的值反演阻尼系数本文提出一种反演方法并证明 了其收敛性，对文章4 9 1 提出的方法作了改进，较之更简单有效不需要在计算前 先在障碍内取一封闭曲面，而求出散射波的逼近后也不需要再求解一个约束最 优化问题此方法分两步处理第一步利用近场数据，求解一个第一类线性积分 方程，从而求得散射波的一个逼近第二步逐点计算得出阻尼系数的近似数值 例子表明了方法的有效性及简单性 2 2 反演方法 利用单层位势 t ，( 卫) = 庐( ) 圣( z ，) d s ( 9 ) ，曲l 2 ( a d ) ， ( 2 2 1 ) 逼近散射场，其中 咖) = 磊1 篙 表示h e l m h o l t z 方程的基本解 7 一 里兰苎童堡圭童! 兰垒查 对给定的乱托一近场数据，即散射波在封闭曲面r 0 的值，其中r 0 围成的区域 包含区域d ，我们需求解第一类线性积分方程 曲( ) 屯( z ，g ) 如( f ) = “r 。，( 2 22 )jo d 。 定义算子s ：l 2 ( o d ) 一l 2 ( r o ) ( s ) ( ) ：= 毋( 目) 西( z ，y ) d s ( y ) ，。f o ，( 2 23 ) j a d f 2 ，2 ) 可写为 酃= 。，( 2 , 2 4 ) 由边界条件及单层位势的跳跃关系有 ；一k 7 曲一。a s 妒= ，( 22 5 ) 其中，= 筹+ i a u ，算子：l 2 ( a d ) 一l 2 ( d d ) 定义为： ( 跏) ( 小= z 。雩岩船) 蛐) ，。a 。 ( 2 2 6 ) 积分算子s 有光滑核，因而算子方程( 2 ，2 3 ) 是强不适定的，可使 用t i k h o o v f 4 】正则化方法求解，即对正则化参数d 0 ，求丸铲( a d ) ，使 得 | l s n u 。i i i t ( o d ) 5 e l i n 。( f 8 。) ( r i s e u 。1 2 。( r 。) + a | l 1 1 2 。( a 。) ) 故而得到散射波的一个逼近 u ：= z 。纵咖( 础) 蛐) ， 再由( 2 2 5 ) 解得 ( 2 2 7 ) ( 2 28 ) 峥尝 。功 妒2 一面i 丙。严 ( 2 2 9 ) 就可作阻尼系数a ( z ) 的一个近似 定理2 2 ：由r 2 2 圳定义的算子是单射的且有稠密的值域 证明： 设s = 0 ，毋l 2 ( a d ) ，则m ( 2 2 1 ) 定义的单层位势”是a d 围成的区域外 的辐射解，由于 口= 0 0 7 r o 第二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 由d i r i c h l e t 外问题解的唯一性与解析性 6 ，3 5 】得 = 0 ，r 3 d 由单层位势的跳跃关系 中一k 中= 0 ， o n0 d 其中：l 2 ( o d ) 一l 2 ( 0 d ) ( 酬：= 。厶裂帕m ，x eo d 由r n 。e 弛d h o l m f 3 5 】理论，j k 在l 2 ( 8 d ) 中的零空间与在c ( o d ) 6 e 的零空间 重合，因而西连续，再由单层位势的连续性， 故 = 0 o n0 d ；0 i nr 3 由具有连续密度的单层位势的跳跃关系 6 ，3 5 】得庐= 0 ，o n o d ，故而得到算子s 的 单射性 再证s 值域在l 2 ( t o ) 中的稠密性s 的共轭算子为 ( s + 妒) 白) = 妒( 。) 圣( 茁，y ) d s ( x ) ，y o d ，妒l 2 ( r o ) j r 0 类似如上证明，得伊也是单射的，t 后m r ( s ) = n ( s 4 ) 上德结论 为了获得满意的重建效果，我们希望能得到当q 一0 的收敛性结果，为了理论分 析，定义目标范函： p ( ；n ) ：= i i s 一“蠢| | 2 ：( r 。) + i i lj 2 ：( a d ) ， ( 2 ，2 1 0 ) 2 3 收敛性分析 定义3 1 给定入射波及对应的近场数据讳。，对固定的正则化参数o 0 ，妒o u 称为最优解，如果存在o l 2 ( a d ) ，使得目标范函( 2 2 1 0 ) j 姻j 极 小，即 p ( o ；q ) = m ( o ) 其中 m ( a ) 3 妊赫 d ) p ( 南a ) ， ( 2 驯 9 西北大学硕士学位论文 定理2 3 ：对任意口 0 ，存在最优解妒o 证明：设是l 2 ( a d ) 中的极小化序列，即 li芦(妒。；o)=m(o)_m 由 a i i 以幢：f d d l 弘( 钆；q ) 一m ( 8 ) ， 礼一o 。 知。是l 2 ( o d ) 中的一有界序列，故存在弱收敛的子列，不妨设兢一曲o ，n o 。又s ：l 2 ( o d ) 一l 2 ( r o ) 是紧算子，因而 则 s _ s ， n _ o 。 口l l n l l 2 。( a d ) + m ( a ) 一i i s 西。一u 。1 2 。( r 。) 理l 咖o l l 。( a d ) ， n + 。 又西n _ o ，竹_ 。o ， 。1 i m 。0 九一t j l 0 1 1 2 。( a d ) 2 桌1 1 庐n | | 刍( a d ) 一j l o l l z ：( a d ) 0 即咖。按范数收敛于西o ，故 肛( 如；n ) 2 熙p ( ；a ) = m ( 。) 证完 定理2 。4 ：设钍 。是入射波对应的近场数据，则 a l i 。r a o m ( d ) 20a u 证明：由定理( 2 1 ) 对任意e o 存在l 2 ( a d ) 使得 i i s 庐一衅。h l 。( r o ) e 于是 m ( o ) sp ( ；q ) e 2 + o i l 0 2 z ( a d ) 叶e 2 ， o _ o 由是任意的，得证 基于上面的定理，我们有如下的收敛性定理 定理2 。5 ：设入u ，鼢紧集，a 。 0 ，n = l ，2 ，是一收敛于零的数 列， h ) 是对应的最优解，则 。( z ) 入( 嚣) ， n + o 。 1 0 一 第二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 = = = = = 皇! 烹= = = 皇! = = = = = 皇烹= = = = = 皇! ；：； 证明：由于u 是一紧集， a n ) 存在收敛的子列，仍记为 k ) ，设k a - ，我们 证明”( z ) = a ( 。) 设是对应于阻尼系数a 的散射波，即满足边界条件 品( u + 矿) + ”( 豇+ + 矿) = o ， 。礼o d ， ( 232 ) 因k 是对应于的最优解，由定义3 1 ，存在西。l 2 ( o d ) 媚- p ( 。；o 。) = ，n ( n 。) 由于 若( s 奴+ ) + a 。( s 热+ ) = o 故，m ( 2 3 2 ) 及上式得 熙嘉s “+ 如) 一( 品“+ 瓶划b ( = n m o 。i i ( o s 庐+ a 。s + ( 乱。+ a * u i 川职= 。 另一方面，由定理2 ，4 s 庐n 一“& lj l ：( r 。) ，0 ，n ，0 0 则 矿= “+ 由( 2 1 2 ) ( 2 3 2 ) 及 ( r a ) ( u 。+ ) = 0 ，d 佗a d 注意到矿+ u 在a d 的任一面元s 上不恒为零，若不然，设 + t 5 = 0 ，帆s co d 由( 2 1 2 ) 得 品“) - o 。ns f q h o l m g r e n i 8 唯一性定理1 3 5 】扩+ u = 0 在r 3 d 上恒为零，这不可能因为u s 满 足辐射条件，而不满足撤由”一a 的连续性 a ( z ) = a + ( 。) ， z o d 定理得证 在数值计算中，为了得到更好的反演效果我们将n 个平面波迭加为一个入 射波 n ( z ) = e 慨一， ( 2 33 ) j = l ：= 。：；。：；：! 垄童塑圭童竺垒圭 ，j = 1 ，2 ，n ，表示n 个不同的入射方向。近场数据则为 u 。( 。) = u ( z ) ，( 2 3 4 ) j = l 在( 2 2 7 ) ( 2 2 9 ) 中，将u 2 与札氟分别换成( 23 3 ) ( 2 34 ) ，定理2 3 ，2 4 ，2 5 仍然 成立 2 4 数值方法 这一节在二维空间给出计算方法与数值例子。将入射波取为n 个不同方向 的平面波的迭加 o ( 。) = e 让。q j = l 我们采用单层位势 u 8 = 圣( z ，v ) 曲( 掣) d 3 ( g ) 来逼近散射波，用n y s t r i m 方法计算得到原始数据让乱( z ) 由边界条件知，毋应满足方程 ；一k 7 妒一i a s 妒= ，( 2 叫 设区域的边界为。= z ( ) = ( 茁1 ( t ) ，。2 ( t ) ) ，0st 2 7 r ，其中 z ( ) 】2 + 吐( t ) 】2 0 ， 对所有t 郡成立，于是将( 2 4 1 1 参数化得 p 2 妒( t ) 一f ( ，r ) + i p ( t ) m ( t ，7 - ) h d ( r ) 打= 9 ( ) j 0 其中妒( t ) ：= ( z ( t ) ) ，p ( t ) ：= a 如( ) ) ，9 ( ) ：= 2 ，扛( t ) ) j v 。，r ) ：= 一互；西i k _ s ；( ：i v ；) 虿i 日 1 ( r 。，r ) ) ( z - ( ) 一。t ( r ) ) 士：( t ) 一( z 2 ( ) 一z 。( t ) ) z i 。) 1 螂：盟耸幽m ( 。r ) 这里r ( t ，r ) ：= 陋l ( ) 一。l p ) 】2 + 扛2 ( t ) 一。2 ( 7 - ) 2 ) 1 2 ，s ( ) ：= 陋i ( ) 】2 + m ( ) 1 2 ) m 将n ( t ，t ) ，m ( t ，r ) 分解为 ( t ，r ) = l ( f ，r ) i n ( 4s i n z 旱) + 2 ( t ，r ) m ( t ，r ) = m t ( t ，r ) i n ( 4 s i n 2 睾) + 尬( t ，r ) 1 口 第二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 其中 - ( t ，r ) ：= 生1 5 ；耕 ( 。- ( f ) 一。t ( r ) ) z ：( 一( 。( t ) 一z 。( r ) ) z j ( t ) 】 2 ( ，r ) ：= ( ，t ) 一l ( ，r ) i n ( 4 s i n 2 下t - - t ) 尬( 。，7 ) ：= 一2 击j o ( k r ( ，r ) ) s ( r ) ( t ，r ) ：= m ( t ，r ) 一尬( t ，r ) i n ( 4s i n 2 旱) 积分核可以证明是解析的进一步计算有 2 ( t ，t ) = n ( t ，t ) =一1 二型1 2 三趔塑坐塑 2 7 r s ( t ) 】2 蚴，归f ；一；一去1 n ( 掣m 其中c 为欧拉常数 于是方程最终可化为 t 2 1 r 妒( t ) 一k ( t ，t ) 1 ；k ( t ) d r = 9 ( t ) ，0 2 7 r j 0 其中 k ( t ，t ) = k 1 ( ，r ) i n ( 4 s i n 2 _ t - - - t ) + k 2 ( t ，r ) 我们利用积分公式 f 0 2 ”l n ( 4 s i n 2 字r 肌2 若m - 1 妣址吲妨，皿a 2 ) 和矩形公式 f 0m 肌三葛 ( 2 a 固 j ，l = 将方零中的积分离散化其中：= 7 r j m ，j = 0 ，2 m 一1 ，是等距节 点，而碍”( t ) 定义为： 硝咄啦= 一票喜；c o s p ( t - t i ) 一和邮_ _ 0 1 ，。 于是方程变为： 曲”( 。) 一j = o 矽( f ) t ( ，。) + 三鲍( ，圳( 。) = 蝌 ( 2 删 西北大学硕士学住论文 最后只需要求解线性系统 妒一i r 出i k l ( 赴，t j ) + 三配( “，) 砖“= o ( t ：) ， i = o ，一，2 m l j = o 。 ( 2 4 5 ) 其中妒：m ：= 矽( m ( 如) ，i ：0 ，一，2 m l ，r ；m ) ：= r ，( o ) ，j = 0 ，一，2 仃z 1 在( 2 2 7 ) 中出现的积分用等步长的梯形公式计算，节点数为2 m ，然后 由( 2 2 9 ) 逐点加以计算得到阻尼系数的逼近 计算中取有限三角级数逼近西： n 1 丸( z ( 日) ) _ 毋e 卅， 岛c( 2 4 ，6 ) j = - n l 下面给出两个数值例子其中区域d ，r 0 分别取为o d ：p = 1 ，f o ：p = 2 波数= 1 在边界o df ，z = ( c o s 0 ，s i n 0 ) 图中横坐标轴为日轴，纵坐标轴 为a 轴实线表示精确图形，虚线表示近似图形 入射方向取三个不同方向 一黝。= ( 蒜嬲) 参数：正问题：m = 2 0 ，k = 1 ，k = 3 反问题：n l = 6 ，。= 1 0 e 一1 0 例1 精确系数： a ( 。) = 再2 + i x 2 瓦+ x 2 结果参见图1 ( = 1 ) 闺2 ( = 3 ) 八 1 35 一 图1 一( ：耋影骞) 1 3 1 56 v 例2 精确系数： 入( z ) _ 、历雨 结果参见l 虱3 ( k = 1 ) ，匿1 4 ( k = 3 ) 1 4 图2 羔二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = ! = = ! = = 釜釜! ； 例3 精确系数： a ：近匝 z 1 十b 结果参见图5 ( 女= 1 ) ，图6 ( = 3 ) 例4 精确系数 图5 a ( 。) = 结果参见图7 = 1 ) ，l 蛩8 ( k = 3 ) 图4 图6 图7 图8 求得散射波的一个逼近以后，也可以不逐点计算得出阻尼系数的近似而是 求解一个约束最优化问题，从而得到阻尼系数的近似在一个适当的集合u 上 求矽( 茁) c ，使边界条件在极小化意义下满足 撼j 喂( “t + 吲+ 酬u i - bu 驯k ( ， ( 2 4 7 ) 1 5 西北欠学硕士学位论文 嚣。警一k 札一邮札一f i i l ：( ( 2 删 其中，= 筹+ i c u 。这个极小化问题的解就可作阻尼系数a ( z ) 的一个近似 数值计算中对于( 2 4 ，8 ) ，注意到 k 毋+ z 入跚一；+ ，= 2 i i f ( ，r ) 妒( r ) 打一；+ ， 可类似于前面利用公式( 2 4 2 ) ( 2 ，4 3 ) 加以计算计算中取有限三角级数逼近a a 。 ( 日) ) = n o + ( n jc o s j e + b js i n j o ) ， a j ，b j r 参数：t - f i h 题：m = 2 0 ，七= 1 ，= 3 反问题：礼l = 7 , 2 = 6 ，n = 1 0 e 一1 0 粥 糊张：，：凑 其中，6 j 见表1 ，结果参见图9 = 1 ) ，图l o = 3 ) 八 1 3 、5 一v 八 1 3、5 v 图9图1 0 吩毛 k = 1k = 3= 1七= 3 8 7 7 9 5 4 5 48 7 8 1 7 7 4 1 3 4 2 3 6 1 i 5一3 4 0 9 9 8 90 7 4 6 2 4 7 00 7 3 6 1 1 9 1 2 5 0 9 8 0 4 82 5 0 5 6 6 8 50 4 7 3 7 6 8 40 4 9 5 3 3 6 3 一，0 3 6 0 9 5 8 50 3 5 7 6 9 6，0 5 2 7 7 4 4 5一。0 5 1 6 6 2 3 0 0 2 8 4 7 8 8一0 0 1 2 1 8 50 1 5 5 3 0 7 50 0 7 2 5 3 1 9 0 0 3 0 7 2 9 3 20 0 2 9 3 6 1 1一0 0 2 2 4 9 9 30 0 0 7 6 7 0 6 一0 0 0 7 2 7 9 6一0 0 0 0 8 8 40 0 0 0 8 7 9 70 0 0 7 7 2 6 8 1 6 第二章利用正则化方法反演声波阻尼系数 例6 精确系数： a ( z ) = 万丽 其中q ，b 见表2 ，结黪姗l l ( k = 1 ) ，图1 2 ( = 3 ) 图i 1图1 2 口i b k = 1k = 3七= 1= 3 1 3 9 3 2 0 0 11 3 9 3 6 0 4 1 2 7 4 3 5 5 3 32 7 3 2 0 9 0 6，0 1 2 0 8 5 4 9一0 1 2 7 0 0 7 一0 2 3 0 0 7 3 4 0 2 2 4 5 0 4 1 8 2 0 9 9 5 90 1 8 0 9 4 0 1 0 9 2 0 5 5 3 50 9 1 9 2 5 3 1，1 8 5 5 3 5 3 9一0 1 7 9 9 7 3 0 0 3 2 2 6 3 00 0 1 5 5 5 00 0 4 2 8 0 3 20 0 5 8 5 2 5 0 。0 0 0 0 1 0 0 10 0 2 0 8 9 20 0 6 6 7 3 0 14 0 0 4 1 9 5 0 0 1 1 8 8 7 00 0 0 0 8 3 3 90 0 1 5 1 5 3 60 0 2 1 0 0 0 5 例7 精确系数： a ( 石) ：翅x 卫l + 5 其中q ，b 见表3 ，结果参见周1 3 ( = 1 ) ，图1 4 ( k = 3 ) 八 12 3 v 图1 3 八 12 3 1 澎6 图1 4 西北大学硕士学位论文 勺b k = 1k = 3k = lk = 3 3 4 6 9 6 3 8 53 4 7 4 0 1 6 2 一0 3 3 1 3 1 5一0 3 3 6 4 5 3 0 4 4 0 7 8 0 60 4 4 3 1 0 8 3 0 0 1 7 5 2 5 60 0 2 3 2 9 4 7一0 0 3 4 2 3 3一0 0 3 4 7 5 0 0 1 8 5 3 6 9 50 1 8 4 3 2 8 5一0 1 4 4 5 8 6 一0 1 4 3 5 2 3 0 0 4 3 7 1 5，0 0 2 9 4 9 2，0 0 1 2 7 9 4 40 0 0 7 3 6 4 3 i 0 0 4 2 4 2 3 20 0 2 6 0 9 6 8一0 0 0 0 0 4 2一0 0 0 2 0 5 4 l 一0 0 0 7 1 9 3 0 0 0 5 1 1 0 20 0 0 1 6 2 2 80 0 0 2 5 8 7 2 例8 精确系数 a 扛) = 其中q ，弓见表4 ，结果参见图1 5 ( = 1 ) ，图1 6 ( k = 3 ) 图1 5图1 6 6 j k = 1k = 3k = 1k = 3 ，5 9 9 1 6 5 3 66 0 0 0 9 9 2 1 0 6 9 7 1 8 00 7 2 3 4 1 4一1 0 5 1 7 9 91 0 5 5 6 0 3 0 0 4 0 0 2 0 10 0 3 5 5 8 5 80 2 0 0 5 4 4 90 1 9 9 8 4 7 0 0 5 3 2 5 3 30 5 3 0 2 3 10 0 3 8 5 7 40 0 3 6 3 0 2 0 0 3 4 6 3 5 70 0 3 0 6 3 0 10 0 6 7 1 7 2 80 0 4 5 7 3 6 7 0 1 9 2 3 5 8 20 1 1 4 7 0 8 8一，0 0 1 4 6 5 80 0 0 7 7 6 7 0 0 3 8 0 5 5 0 0 1 2 6 9 70 0 1 5 4 2 60 0 1 4 2 2 8 参考文献 1 li v a u o vkv ，i n t e g r a e q n a t i o l t s “t h ef i r s tk i n da n dna p p o x i m es o l u t i e nf o r t h ei n v e r s ep r o b l e mo fp o t e n t i a ls o v i e t m a t h ，d o k i a d y ，1 9 6 2 ，3 ：2 1 0 一 2 1 2 吲i m b r i a l ew a e n dm i t t e ar ，t h et w od i m e n s i o n a li n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e m i e e et r a n sa n tp r o pa p ，1 9 7 0 ，1 8 ：6 3 6 6 4 2 3 】d g i l b e r ga n dns t r u d i n g e r ，e 1 1 i p t i ep a r t i a ld i t t e r e n t i a le q u a t i o no fs e c o n d o r d e r ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 7 【4 】t i k h o n o vav a n da r s e n i nv ，y ，s o l u t i o n so fi l l - p o s e dp r o b l e m w i n s t o na n d s o n sw a s h j r l g t o n 。1 9 7 7 【5 】f l e t c h e r r k r e s s ，p r a c t i a l m e t h o d s o f o p t i m i z a t i o n ，v 0 1 1 ：u n c o n s t r a i n e d o p - t i m i z a t i o n ，j o l mw i l e ya n ds o n s ，c h i c h e s t e r ，1 9 8 0 吲dc o l t o na n drk r e s s ，i n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d