（计算数学专业论文）循环m矩阵及其逆的性质与逆特征值问题.pdf

循环m 一矩阵与其逆的逆特征值问题 摘要 本文研究一类重要的，具有特殊结构的矩阵循环m 一矩阵关于循环矩阵类的研 究是矩阵理论的重要组成部分，也是应用数学领域中一个活跃和比较重要的研究方向由 于这类矩阵有许多良好的性质和结构，很有必要对其特殊性质、特殊结构、逆特征值问 题进行探讨所谓矩阵的逆特征值问题指的是：在一定的限制条件下，求出某矩阵使其具 有预先给定的特征值或特征向量 本文的主要内容及安排如下： 第一章是引言与预备知识，这部分主要介绍了循环矩阵类研究现状与本文的预备知 识 第二章介绍对称的循环m 一矩阵的一些性质：该矩阵的特征值范围、其逆矩阵的存 在性以及讨论了逆矩阵的k 次方的极限性质和2 一范数性质，并给出了其逆矩阵的摄动定 理 第三章分别给出了谱为实数集和复数集情况下的循环m 一矩阵逆特征值问题事实上 谱为实数集的实循环矩阵m 一矩阵是对称的，而谱为复数集( 排除实数集情况) 时一定是 非对称的，故这部分实质研究了对称和非对称循环m 一矩阵的逆特征值问题，相应给出了 数值例子 第四章在第三章的基础上进一步讨论了循环m 一矩阵的逆矩阵( 循环逆m 一矩阵) 的 逆特征值问题，同时分别给出了谱为实数集和复数集情况下的循环逆m 一矩阵的构造，并 相应给出了数值例子对于本文数值例予，利用m a t l a b6 5 科学计算软件对有关的结论 进行编写程序求矩阵，且用m a t l a b6 5 的矩阵的特征值函数e i g 验证所求的矩阵正是所 给的限制谱下的矩阵 关键词：循环m 一矩阵；共轭偶向量：逆特征值问题 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yac l a s so f i m p o r t a n tm a ds p e c i a ls t r u c t u r em a t r i x t h ec i r c l u a n t m - m a t r i x ，w h i c ha r ea ni m p o r t a n tc o m p o n e n to ft h em a t r i xt h e o r y i na d d t i o n ，c i r c l u a n t m - n m t r i xh a v eb e c o m eo n eo ft h em o s ti m p o r t a n ta n da c t i v er e s e a r c hf i e l d so fa p p l i e d m a t h e m a t i c si n c r e a s i n g l y b e c a u s eo f m a n yg o o dp r o p m i e sa n ds t r u c t u r eo f c i r c u l a n tm a t r i x ， i ti sn e c e s s a r yt os t u d yt h e i rs p e c i a lp r o p e r t i e s 、s m l e m 弛、t h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o p l e m t h e i n v e r s ep r o b l e mo ft h em a t r i xi sc o n s i d e r e d ：g i 啪t h el i m i t e dc o n d i t i o n s ，f i n d t h em a t r i x w i t ht h ep r e s c r i b e de i g e n v a l u eo re i g e n v e t o r t h ec o n t e n to f t h ep a p e ri sa r r a n g e d 躺f a l l o w s ： c h a p t e ro n e ，w ec a r r yo nt h ei a t r o d a e t i o nm i dp r e a r t m a g e m e n t 。i no t i sp a r t ，w ep r e s e n t t h ei n t r o d u c t i o no ft h er e s e a r c hd l r e e t i o na n dt h et r e n d so fc i r e u l a n tm a t r i x , w ea l s oo f f e r p r e a r r a n g e m e n t c h a p t e rt w o ，w es l i i d yt h ep r o p e r t i e so ft h es y m m e t r i cc i r c l u a n tm m a t r i xa sf o l l o w s ：t h e r a n g eo fe i g e n v a l u ea n dt h ee x i s t e n c eo ft h ei n v e r s em a t r i xa n dw ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so f l i m i ta n d2 - n o r mf o rt h ei n v e r s em a t r i x - d e g r e ek i nt h ee n d ，t h ep e r u r b a t i o nt h e o r e mo ft h e i n v e s em a t r i xi sp r e s e n t e d c h a p t e rt h r e e ，w eg i v et h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e mo ft h ec i r c u l a n tm m a t r i xw i t h l n e s e r i b e dr e a ls p e c t r u ma n dc o m p l e xs p e c t r u m ，r e s p e c t i v e l y i nf a c t ，w ec a na s s u r et h a tt h e r e a lc i r c u l a n tm m a t r i xo fr e a ls p e c t r u mi s s y m m e t r i c m e a n w h i l e , t h ec i r c u l a n tm ，m a t r i xo f c o m p l e xs p e c t r u mi sd i s s y m m e t r i c s ow ed i s c u s si nd e e dt h ei n v e r s ee i g n v a l u ep r o b l e mo f s y m m e t r i ca n dd i s s y m m e t r i cc i r c u l a n tm - m a t r i x b e s i d e s ，w ep r e s e n tt h ec o r r e s p o n dn u m e r i c a l e x a m p l e s c h a p t e rf o u r , b a s e do nt h ec h a r p t e rt h r e e ，w ed i s c u s sf a r t h e rt h ei n v e r s ee i g n v a l u e p l o h e mo ft h ec i r e u l a n ti n v e r s em - m a t r i x s i m i l a r i l y , w ec o n s t r u c tt h ec i m u l a n ti n v e r s e m - m a t r i xw i t ht h e p r e s c r i b e dr e a ls p e c t r u ma n d c o m p l e xs p e e t 1 i n ，w ea l s oo f f e rt h e c o r r e s p o n dn u m e r i c a le x a m p l e s i nt h i sp a p e r ，w eu s es c i e n c es o f t w a r e - m a t l a b6 5t ot e s t i f y t h er i g h to f a l ln u m e r i c a le x a m p l e s k e yw o r d s ：c i r c u l a n tm m a t r x ；t h ei n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m ；c o n j u g a t e e v e nv e c t o r i i 循环m 一矩阵与其逆的逆特征值问题 第一章引言与预备知识 1 1 引言 随着科学技术的发展，最优控制、参数识别等均需要更为有效的数学工具通常，对 一个给定的控制系统，我们要判别其相应的性态，即判别系统的特征分布而现在往往提 出这样的问题，即在预先给定系统所必须满足的性态的条件下，怎样去设计系统应具有 的参数，这样的问题需要研究的就是逆特征值问题逆特征值问题( 也称特征值反问题) 就是在这样的实际和相应的数学背景下提出的，矩阵的逆特征值问题一般是指在一定的 限制条件下，求出某矩阵使其具有预先给定的特征值或特征向量这一问题的研究从6 0 年代至今已有很大的进展，并在许多领域有极为重要的应用如在结构设计、振动系统 参数识别、自动控制和神经网络等领域逆特征值方法是飞行器设计中的振动和振动控 制的有力工具，同时在数学领域的其它分支中也得到应用和发展 作为特殊矩阵：循环矩阵和m 一矩阵，二者的应用也极为广泛循环矩阵的概念是由 t m u i r 于1 8 8 5 年在文献 1 中首先提出的，关于其初期研究成果可参阅文献 2 4 然 而，在1 9 5 0 年之前，对于循环矩阵的研究并没有引起数学工作者的足够重视直到 1 9 5 0 年至1 9 5 5 年，i j g o o d 等才分别对循环矩阵的逆、行列式以及特征值进行了 研究( 参阅文献 5 - 9 ) 目前，循环矩阵类已成为矩阵理论和应用数学领域中重要的研究 方向它之所以引起数学： 作者如此大的兴趣主要是基于下面两个方面的原因：第一， 循环矩阵类是一类非常重要的特殊矩阵，在现代科技工程领域中被广泛地应用特别是 在分子振动、信号处理、纠错码理论、编码理论、图象处理、小波变换、结构计算、电 动力学、优化设计、自回归滤波器设计、计算机时序分析、石油勘探、线性预测、误差 控糊码、理论物理、固态物理、线性预测、地震物探、计量经济、工程技术、晶体结构 理论以及弹簧振动问题等领域常常要用到循环矩阵。第二，由于循环矩阵类有许多特殊 而良好的性质和结构，已被广泛应用在应用数学和计算数学的许多领域如控制理论、 最优化、求解( 偏) 微分方程、矩阵分解、多目标决策、三次样条插值、图论、傅氏变 换、逼近论、二次型化简以及平面几何学等 m 一矩阵应用也很广泛，在生物学、物理学、数学和社会科学中的许多问题都与m 一 矩阵理论有着密切的关系例如，在偏微分方程中的有限元方法，在经济学中的投入一产 出分析和增长模型，在运筹学中的线性互余问题，在概率统计中的马尔可夫链等问题经 常应用m 一矩阵理论； 近年来，特殊矩阵逆特征值问题的研究非常活跃，如：对称矩阵 1 0 、中心对称矩 1 1 、双对称矩阵 1 2 、双反对称矩阵 1 3 ，对称正交反对称阵 1 4 ，双随机矩阵 1 5 、 三对角阵，其中j a c o b i 矩阵的逆特征值问题的研究比较典型 1 6 - 1 7 ，五对角阵 1 8 ， m 一矩阵 1 9 等逆特征值问题研究相对比较成熟，而对循环m 一矩阵类的逆特征值问题的 研究研究相关文献甚少本文主要研究实循环m 一矩阵的性质与逆特征值问题 1 2 预备知识 定义1 2 1 2 0 设a = k )为实矩阵且有如下形式：a = 、- n c l c n f 吒一2c 。一 ， ： c 2 c 1c 2 c 2 c n 一2c n l q 吒一2 c 、 矗一2q lo o 称矩阵彳为循环矩阵，其全体记为：g ( c o ，c i ，c 。) 定义1 2 2 设4 2 ( 勺l 。为实矩阵，其中勺o ，( f ，f ，j = l ，2 ，一) ，称彳为厶 矩阵 定义1 2 3 口1 1 设爿2 ( 勺) 为z - 矩r 咋，r a 的特征值的实部都是非负的，称4 为m - 矩阵 定义1 2 4 2 1 1 设a r 且爿具有形式：爿= c t i b ，其中实数a 0 且b - 0 ，若 口p ( b ) ，则称彳为m 一矩阵，其中p ( b ) 为非负矩阵b 的谱半径 定义1 2 5 【2 1 1 如果一个n 阶非奇异实矩阵4 的逆是m 一矩阵，则称爿是逆m 一矩阵 定义1 2 6 【2 2 1 若向量y = ( ，如，乃) 7 满足 r 且 。：= 万，= 2 ，3 ， ，l f n 2 + 1 ， 刚称y 为一个共轭偶向量 引理1 2 1 2 4 1 一个实的循环矩阵特征值是实的贝l j 循环矩阵是对称的 引理1 2 2 刚 ，五， ) 是复数集合，则存在一个特征值为 ，五，矗的实循环 矩阵充要条件是：y = ( ，太， ) 7 是一个共轭偶向量 引理1 2 3 口4 1 设一= c i r c ( c o ，c l ，c ：，巳一。) ，a 的特征值为 ，如，矗，其相应的特征 向量为l 。，心，以，f = ( 五) - - 1 。，：，以l ，y = “。如， ) r ，v 是一个共轭偶向量 且c = c o ，c l ，巳一) 7 ，故有彤= y ，则c = 去葡，从而有 当n = 2 m + l 时 q = 熹( 萎m + l k ( 乃) c o s 警+ z 薹m + l h ( 1 ) s m 警 其中k = o ，1 ，2 m 当n = 2 m + 2 时 。= 嘉h 秘咖s 訾+ ( _ 矿+ z 舢咖n 訾 ， 其中k = 0 , i ，2 m + i g f 理1 2 4 1 2 1 非奇异的m 一矩阵每个特征信的空部均县币的 第二章对称循环m 一矩阵的性质 对称的循环矩阵全体记为：s e ( c o ，q ，巳一) ，循环m - 矩阵全体记为： m g ( c o ，q ，q 一，) ，对称的循环m - 矩阵的全体记为：s m g ( c o ，c l ，一。) 记一= ( 勺) r l - - 11 - - l ，c ，= 口，t = 6 p = n = oh = l 01 o o f o o lo o 1 o o oo 0o ol oo 2 1 对称循环m 一矩阵的特征值范围 引理2 1 1 “埘月阶实对称矩阵特征值是实数 引理2 _ 1 , 2 2 9 1 设爿= ( 勺) 矗”，善r “，n p , n - j ：向n x 的三种范数例l ，恻川m ， 的矩阵范数依次是：i i a i i ，2 m 弘j ( 一的行范数) ，= 瓜丽，( 爿的2 一范数) 1 1 4 1 。2m b j ( 4 的列范数) ，这里的p ( ) 为矩阵的谱半径 性质2 i = 1 1 1 删i 。= 1 1 4 。，其中4 脚( c 0 ，c 1 ，巳。) 证明由于4 m g ( c 0 ，c l 一c n 1 ) ，故q o ，f ：1 ，2 ，n l ， 眺5 峄鼽 = c o - b , 且= 乎孰f = c 0 6 酬爿 定理2 1 1 若非奇异矩阵爿s m g ( e o ，q ，q 一) 则 ( f 为爿的一个单特征值，且d o 岛 b 0 一的所有特征值 ( 彳) a , i i a ) ) ， ，其中七= 1 ，2 ，即 证明a s m g ( c o ，q ，) ，设，( 五) 为a 的特征多项式则 f ( a ) = f a i a i = 一c n j 一巳一2 一c i c 2 - 兄一c o 一a q 。巳1 2 - 盯五一c o 矗一2 五一口c 2 一c i 显然五= 口是，( 五) = o 的一个根，由一是m 矩阵，据引理1 2 4 知 o 卜证唯一性 设= ( 玉，矗) t 为日所对的特征向量，有( n ，一爿) f ：0 ，也就是 ( 口一岛) 葺一q 恐一岛而一c i x ：0 j ：黑：j 盥j 冀篡鉴。( ：- 、 ， 一c l 而c 2 乇c 3 墨+ ( 盯一吒) = o 则螽- - 0 i ，1 1 ) 1 为方程组( 2 1 1 ) 的解，即点为a 的特征值日的特征向量，由文 2 0 知，a = 厂( p ) ，( 工) = c o + c i x + 巳一，x - i , e r ，i = o ，1 ，2 ，肝一i ，则a 的全部特征根为 ，) ，( 与) ，厂( 毛一。) ，( 相应记作 ( 一) ，也( 一) ， ( 爿) ) ，其中矗：。s 2 k z + f s i n 丝， i = o ，i ，2 ，n 一1 ，根据引理2 1 1 知，( 岛) ，( 弓) ，厂( 一，) 为实数， 故有 胞) = c o + gc o s 塑+ , c n _ 1 c o s 2 ( n - 1 ) k z + f b n 墅+ l s i n 2 ( n - 1 ) k 螋1 1 ” nn ， ：+q丝+ql2(n-1)kz，t：0l，11co c o sc o s0n1 2 + q + q l ，e = ，。一 当k = 0 时，有( 氏) = c o + q + 吒一。= 口 故口为单特征根，得证 又口 o ，故c 0 = “一c i 一q = 一6 o ，得证 当k = 1 2 n 一1 时。有 + 吖c o + ( 廿一铀) 一忙斟一，卜等塑降( 小刊咿i 忆| ， 所以口 f ( s k ) c o b = l l a l l 。，k = o 1 ，n - 1 得证 2 2 矩阵( 爿一1 ) 的极限与范数性质 本节标题中出现的矩阵一，指的是在非奇异对称循环m 矩阵 引理2 2 1 3 0 1 两个循环矩阵的积仍是循环矩阵，可逆的循环矩阵的逆亦是循环矩 引理2 2 2 2 0 1 如果a 和占都是循环矩阵，其特征值分别是：五( 爿) ，五( 占) ，则a b 和疗1 的特征值分别是五( 4 ) - 如( b ) ； 五( 一) _ 1 其中七= l ，2 ，” 引理2 2 3 2 5 1 对任意正整数n ，总存在一个n 阶实正交矩阵t ，使所有n 阶实循环对 称矩阵同时对角化 引理2 2 4 m 1 设爿r ，贝u i i a i i ：西而硒 定理2 2 i 若非奇异矩阵a s m g ( c o ，c l ，c 。) ，则 a 一存在且有( 彳一1 r 行元素之和为( 口一) 当_ 1 时则憋( 一) 。= ： 让明由非奇异矩阵爿s m g ( c o ，c t ，靠一1 ) ，则a - 存在，由且引理2 2 1 知， 4 一s o ( c o ，q ，q t ) ，据定理2 1 1 证明过程知螽= ( 1 l 1 ”1 ) r 为爿的特征值口的特征向 量，即爿舌= ，贝归1 点= 吉茧，( 4 。) 2 卣= 砉缶，以此类推：( a - i r 卣= 专卣 ，其中 口 、7 口 、， “ i = 1 ，2 ，h ，故( 4 。1 r 行元素之和为专，得证 当口= 1 时，据定理2 1 1 的知五( 彳) 1 ，i = 1 ，2 ，n ，由引理2 2 2 知，a 一1 的全体 特征值为 五( 4 ) 一，七= 1 ，2 ，力i t l a = s ( - o ) = 1 为爿的一个单特征值，则n ( 一) 丁1 = 1 ； 当七= 2 ，3 ，盱时，有o 五( 彳) o ，故p ( 一。) = 三，且 ， ，。，。， ( 爿一1 ) 7 一= 4 4 = ( 爿一1 ) 2 ，( 爿) 7 彳一1 的最大特征值为了1 ， 即 陋1 k = 吉= 吉= p ( ) ，且 ( ) 2 ，( ) 2 = ( ) 4 ，则有i i ( a - i ) 2 i l ：= 专= 当 = p ( 。) 2 ，以此类推：| | ( 一。) 。| l ：= 吉= p ( 爿。) 了，七= ，2 ，抗 性质2 1 2 设非奇异矩阵爿s m g ( c o ，c l ，c n 一。) ，则有口- h a i r ：- f l a i l ， 硼靛理2 2 2 钒t a - 1 i ：i 1 蚓啦u 南钏，鼬引理2 _ 2 蝴， i ：i f 砸，再根据性质2 1 1 有恻| ：i | 刁r 晤吁= i 碱= l l a l l ，故 n - l l a l ：- 4 + 所以口一 一( n 一1 ) a - l - e l ，= 一l ( 订一1 ) 口一- i - 一( 口一一) 即 i = 2 l j = 2 j j = 2 。- e t( 3 1 2 ) 由( 3 ，1 1 ) 、( 3 1 2 ) 知盯。满足引理3 1 1 的充分条件，故存在一个以仃为谱的非负循环矩 阵，设为b ，由引理1 2 1 知b 是对称的现令彳= 口j b ，显然4 为对称循环矩阵，再 由文献 2 7 知爿的谱为盯，故a 是以一个盯为谱的对称循环矩阵 下证a 是m 一矩阵 由口：l - m 。, , 4 + 女 1 0 t - 一( 口一乃) ，j = 2 ，3 ，一又a o ，故a a - 五= ，所以 o r ( 口一兄，) = 一a ，。o ，j = 2 ，3 ， 故口1 t l ，j = 1 ，2 ，亿即 口p ( b 1 ( 3 1 3 ) 由( 3 1 3 ) 以及定义1 2 4 可知，a 是m 一矩阵，故4 是以一个盯为谱的对称循环m 一矩阵 例3 1 1 设盯= 1 5 ，1 0 ，9 ，9 ，l o ) ，令口= 8 ，盯。= 乃。) ? = f 口一a ，口一五，口一 ，盯一 ) = 6 5 ，- 2 ，- 1 ，- i ，- 2 ，则上述满足定理3 1 1 的所有条件，故分别存在一个以盯为谱的非 负循环矩阵b 和以1 7 为谱的对称循环m 一矩阵一，由引理1 2 3 可分别求出矩阵曰和爿， 表示如下： 0 1 0 0 01 3 7 6 41 8 2 3 61 8 2 3 61 3 7 6 4 1 3 7 6 40 1 0 0 01 3 7 6 41 8 2 3 61 8 2 3 6 1 8 2 3 61 3 7 6 40 1 0 0 01 3 7 6 41 8 2 3 6 1 8 2 3 61 8 2 3 61 3 7 6 40 1 0 0 01 3 7 6 4 1 3 7 6 41 8 2 3 6 1 8 2 3 61 3 7 6 40 1 0 0 0 0 z 。脚 一 榭即 a = 7 9- 1 3 7 6 4 - 1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 1 3 7 6 4 - 1 3 7 6 47 9- 1 3 7 6 4 - 1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 一1 3 7 “7 9- 1 3 7 6 4 1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 - 1 3 7 6 47 91 3 7 6 4 - 1 3 7 6 4 一1 8 2 3 6 - 1 8 2 3 6 1 3 7 6 47 9 3 2 谱为复数集的循环m 一矩阵的逆特征值问题 讨论以复数为谱的矩阵逆特征值问题是一个热衷的课题，但同时也是一个艰难的过 程，本节先从三阶、四阶矩阵入手再根据循环m 矩阵有良好的一些性质分别推出存在的 充要条件或充分条件，继而进一步研究给定的复谱下，构造 阶时的循环m 矩阵存在的 充分条件 引理3 2 1 冽设仃= a ，如， ) c c ，r = ( ，如， ) 7 ，v 为复共轭偶向量，若 r e ( 2 j ) _ - - 0 ，= 2 ，3 ，竹，则存在一个以盯为谱的非负循环矩 定理3 2 1 设盯= 五，a + b i ，a - h i ) c c ，v = ( ，a + b i ，臼一6 f ) 7 ，则存在一个以盯为谱的循 环m 一矩阵的充要条件是： 日2 o 且6 2 i 1 0 一a ) 2 证明由盯的共轭性和引理1 2 2 知，存在一个以盯为谱的实循环矩阵，设为 一= c i r c ( c o ，c 1 ，c ：) ，据引理1 2 3 可求得= ；( 一2 口) ，c l = ；( 一口+ 弼) ， 铲批一口一届) 充分性由d o 且6 ：兰；( 口一 ) 2 可得q o ，岛s o ，则一为z 一矩阵且4 的实特征 值丑是非负的，由定义i 2 3 知，a 为m 一矩阵，即a 是以莎为谱的循环矩阵m 一矩阵 必要性若a 为以盯谱的循环m 一矩阵，由定义1 2 3 知，a 为z - 矩阵且a 的实特征 值 是桢的，故q 观巳。可得恢二三二盛茎：，所以 r n i na - 函卅届 ， 则当6 s o 时， 口+ _ 6 即o 一_ 6 日一a ，3 b z - - ( 口一五) 2 ，6 z ；( 口一五) 2 ；当6 o 时， 【- o 0 8 9 3 1 2 4 4 0 2 3 3 3 3j a = c 妇( c 。，c l ，色，c 3 ) ，据引理1 2 3 可求得c 0 = ；( + 丑+ 2 d ) ，c l = ；( 一五十2 6 ) ， c ：= ；( + 丑一2 口) ，岛= ；( 一如一2 b ) 由o 五一2 b ，6 o 知c i o 使得m a x p , q ，r ) o ， 2 渺沁= i 爱 紫卜半+ e r e ( 2 j ) * e i m ( 2 ) 删存在 证明由v 是复共轭刚日量知，蛆钆_ 2 - 巧小2 ，3 ， 字 若存在一个实数 口 o 使得m a x p ，g ，) 口：m ：，i 。n r 乃) ，则令盯= 乃1 ? = 口一 ，口一 ，口一 ) ， y = 似一 ，口一 ，口一矗) 7 ，显然p 亦是一个复共轭偶向量，由口：m 。i n 。i 、r e ( 五，) 知 口一r e ( 2 j ) s0 ，b p r e ( a 一丑) 0 ，= 2 , 3 ，一，”，所以 r e ( 2 j ) so ，= 2 , 3 ，胛( 3 2 i ) a + r e ( ) + l 乃) l 再由t l ，= 笪l 上l 知 行 眦 + 薹r e ( 乃) + 吾1 1 ，( 五，) | ， 煅一 一r e ( 乃) 一i 叫五，) 净o = 2j = 2 瑾一五+ ( 疗一1 ) 口一杰- 一兰i i m ( 乃) 降o ，f 由 ，。：劢，窆r 乃) ：窆tl y - 2j = 2 j = 2j = 2 口一五+ ( 口t ) 一f i m ( 五刊o j = 2 。 故五+喜以一宝ih位一以)j0窆ltm(以)f_薹nj=2j = 2l - m 心一乃) 0 ，即 户2 、，一2， + - - e i i m l 降o ，( 3 2 2 ) j = 21 = 2 由( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 可知，盯。= - ? = 口一 ，口一 ，口一 ，则上述满足引理3 2 1 的所 有条件，即存在一个以o r 为谱的非负循环矩阵，设为b 令= a l b ，下证一是一个m - 矩阵，即只要口p ( b ) 即可 t i j i ! a p ( b ) 当乃r ，e 2 ，n 时，由o e p 知，口；号警 t ，得口乃一口，由于a _ r e ( ) 2 + v i m ( i t j ) 2 ，即 口2 口2 2 0 r r e ( 2 j ) + r e ( j j ) 3 a + h ( 乃) 2 ， 口2 ( a r c ( 乃) ) 2 + h ( 乃) 2 ， 口、 a - r e ( a , ) ) 2 + e i m 4 ) j 2 = 甜一a ，f ，( 口 o ) 故口p 一乃l = f 乃1 又 o 得口 甜一 = 总之口p 一五j = j 乃。j ，- ，= l ，2 ，”，即口p ( b ) ，故彳是以一个盯为谱的循环m 一 矩阵 例3 2 3 设盯= 五拼= ，t ，屯 = 0 5 ，9 + i ，8 + 0 5 i ，8 - i ，8 + i ，8 0 5 i ，9 + i ) ， 口= 7 9 5 ，贝。盯+ = 巧 ? = 口一 ，口一如，口一 ) = 7 4 5 ，一1 0 5 一i ，一0 0 5 0 5 i ，0 0 5 + i ， - - 0 0 5 - i ，- 0 0 5 + 0 5 i ，- 1 0 5 + i ，则上述满足定理3 2 3 的所有条件，故存在一个分别以仃 为谱的非负循环矩薛口和以盯为谱的循环m 一矩阵_ ，由引理1 2 3 可分别求出矩阵曰和 b = 0 7 3 5 70 6 5 4 60 6 9 5 l 1 5 9 5 l 1 0 6 2 61 5 7 5 0 1 1 3 2 0 1 1 3 2 00 7 3 5 70 6 5 4 60 6 9 5 l1 5 9 5 l1 0 6 2 61 5 7 5 0 1 5 7 5 0 1 1 3 2 00 7 3 5 70 6 5 4 60 6 9 5 l1 5 9 5 l1 0 6 2 6 1 0 6 2 61 5 7 5 0 1 1 3 2 00 7 3 5 7 0 6 5 4 60 6 9 5 1 1 5 9 5 l 1 5 9 5 11 0 6 2 61 5 7 5 01 1 3 2 00 7 3 5 70 6 5 4 60 6 9 5 l 0 6 9 5 l1 5 9 5 11 0 6 2 61 5 7 5 01 1 3 2 00 7 3 5 70 6 5 4 6 0 6 5 4 60 6 9 5 l1 5 9 5 l1 0 6 2 61 5 7 5 01 1 3 2 00 7 3 5 7 1 4 a = 7 2 1 4 3 0 6 5 4 6 - 0 6 9 5 1 1 5 9 5 l - 1 0 6 2 6 - 1 5 7 5 0 一1 1 3 2 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 0 6 5 4 6 0 6 9 5 l - 1 5 9 5 l - 1 0 6 2 6 一1 5 7 5 0 1 5 7 5 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 0 6 5 4 6 - 0 6 9 5 1 1 5 9 5 1 一1 0 6 2 6 一1 0 6 2 6 1 5 7 5 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 0 6 5 4 6 - 0 6 9 5 1 一1 5 9 5 1 一1 5 9 5 1 1 0 6 2 6 1 5 7 5 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 - 0 6 5 4 6 0 6 9 5 1 0 6 9 5 1 1 5 9 5 1 1 0 6 2 6 1 5 7 5 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 0 6 5 4 6 0 6 5 4 6 0 6 9 5 1 1 5 9 5 1 1 0 6 2 6 1 5 7 5 0 1 1 3 2 07 2 1 4 3 第四章循环逆m 一矩阵的逆特征值问题 在这一章我们是这样完成了两部分工作的，第一：在第三章3 1 节中，定理3 1 1 刻 划了给定一个实谱构造对称循环m 矩阵存在的充分条件，用定理3 1 1 构造矩阵的方法， 构造一个矩阵4 的逆矩阵爿1 成为对称循环m 一矩阵的充分条件，由定义l - 2 5 知，爿是逆 m 一矩阵，同时也是对称循环矩阵，即4 为对称循环逆m 矩阵，这就构造了对称循环逆m 一 矩阵a 存在的充分条件，就是下面定理4 1 1 所完成的工作第二：在第三章3 2 节中 定理3 1 2 刻划了谱为复数情况下构造一个循环m 矩阵存在的充分条件，用定理3 1 2 构造矩阵的方法，构造一个循环逆m 一矩阵存在的充分条件，就是下面定理4 2 3 所完成 的工作 4 1 谱为实数集的循环逆m 一矩阵的构造 定理4 1 1 设盯= ，五，五) c r ，y = ( ， ， 厂，y 是一个共轭偶向量， 当玎= 2 历+ 1 时，若如五丸。 o ， t 且存在一个实数口使得 ，。2 错 去1 u 存在一个以盯为谱的对称循环逆m 一矩 h 阵当疗= 2 m + 2 时，若 五五以。2 矗。 o ， 乃且存在一个实数口使得 5 嘴k 扣存在制圳的对称循环姗觯 证明 由于盯= 一 ：= ，如，五 c r ，v = ( a ，如， ) 7 ，y 是一个共轭偶向量 由引理1 2 1 和引理1 2 2 知存在一个以盯为谱的对称循环矩阵，设为a ，由已知可得 a ，o ，= 1 ，2 ，疗，由文献 2 0 知a 一1 存在且也是一个循环矩阵，设其谱为仃，其中 盯。= 似 ?= 豫1 ，爿1 = 一一 l 五 j 当n = 2 m + l l t y j ，若 五如九+ ， 0 ， 乃且存在一个实数1 2 使得 j = 2 喘 去击舢气1 = 嬲得 a _ 。得 与等 去 ；( 击+ ) 去 故口；( 击+ t ) 石1 = ； f + 六h 6 一k + i 芦 扣爿= ；端卜扣。 口圭器 爿+ 丑j ( 4 3 ) 岬- 1 ) 、( 4 m ) 、( 4 ，) 得一l m a x 、 + 乃 ，去喜乃卜茎恕根据定瓢 知存在一个以d 为谱的对称循环m 一矩阵，由于对每个丑值均不为0 ，故其逆矩阵存 在，即为循环逆m 一矩阵且以盯为谱 舭鼽= 3 0 , 5 , 4 8 , 4 5 , 4 5 , 4 8 , 5 。喘石1 - - 0 1 9 5 8 , 石1 - o z ， _ ( n 币- i l ) 2 丁+ 1 石1 口茎石1 ，取口= 。1 9 7 9 ，符合定理4 1 1 的条件，则存在一个以盯为谱的 循环逆m 一矩阵，表示如下： a = 8 3 7 1 43 7 1 2 93 5 3 3 83 5 6 7 63 5 6 7 63 5 3 3 83 7 1 2 9 3 7 1 2 98 3 7 1 43 7 1 2 9 3 5 3 3 8 3 5 6 7 63 5 6 7 63 5 3 3 8 3 5 3 3 83 7 1 2 98 3 7 1 43 7 1 2 93 5 3 3 83 5 6 7 63 5 6 7 6 3 5 6 7 63 5 3 3 83 7 1 2 98 3 7 1 43 7 1 2 9 3 5 3 3 83 5 6 7 6 3 5 6 7 63 5 6 7 63 5 3 3 83 7 1 2 98 3 7 1 43 7 1 2 93 5 3 3 8 3 5 3 3 83 5 6 7 63 5 6 7 63 5 3 3 83 7 1 2 98 _ 3 7 1 4 3 7 1 2 9 3 7 1 2 93 5 3 3 83 5 6 7 63 5 6 7 63 5 3 3 83 7 1 2 98 3 7 1 4 第二情况类似，在此略之 4 2 谱为复数集的循环逆m - 矩阵的构造 定理4 2 1 设盯= t ) 3 _ ，d + b i , a b i c c ，v = ( 五，口+ b i ，口6 ，若五- 6 o ，则存在 一个以仃为谱的循环逆m 一矩阵的充要条幅赤 咄2 兰弘竿 2 证明当盯= ，a + b i ，口一b i c c ， b o 时，即o ，j = l ，2 ，3 ，则存在一个以盯为谱 的循环矩阵爿且扩1 存在，1 亦是循环矩阵且是唯一的，其谱为盯+ = 去，i b ，i 与 7 = 协寿一南南+ 寿弘 4 , d + 5 , d - 5 1 ) 一。z ，硼岫为 谱的循环m 一矩阵的充要条件是：口2 1 o r b 2 。钒a ：+ a 6 ：兰_ 1 。 蚶2 弦a 胸( 一南心( 南一糟即 如靳( a 2 + 5 2 ) 0 2 _ l _ 5 2 规腿弘竿 2 i 例4 2 1 设盯= 1 0 ，5 + i ，5 一i ，v = ( 1 0 ，5 + f ，5 - ，则满足定理4 2 i 的条件，故存 a 憾1 0 8 6 9 7 3 2 6 烈6 6 6 72 兰2 8 4 9 3 4 0 2 2 4 4 010 8 9 366 6 6 7 = 1 1 i j 一 定理4 2 2 设口= 五，a + b i ，五，a - b i c c ，y = ( 3 1 , a + b i ，五，口- 6 ，则存在一个以口为谱 的循环逆m 一矩阵的充分条件是：或 b 0 土。 里 五一a 2 +