（应用数学专业论文）直积码的广义hamming重量.pdf

皇塑璺堕墨望苎翌翌i ! g 重重 直积码的广义h a m m i n g 重：量 研究生：李志敏 指导教师：董学东 学科专业：应用数学 研究方向：代数编码 摘要第r 广义h a m m i n g 重量是任意r 一维子码的最小支撑重量这一概念由v k w e i 于1 9 9 1 年提出此后，国内外一些学者对广义h a m m i n g 重量进行了广泛而深刻的讨 论，并发现这一特性在密码学的研究中，包括在二元对称信道和t 一相交函数中都非常 有用因此对广义h a n a r a i n g 重量的研究成了9 0 年代以后最年轻最活跃的一个领域 v k w e i 等许多人给出了常见二元线性码的广义h a m m i n g 重量表达式以及由这些 二元线性码按照某种特定规律组成的新的码( 例如直积码) 的广义h a m m i n g 重量表 达式然而，关于q 元域上的直积码的广义h a m m i n g 重量的研究结果尚未在文献中 发现本论文在前人的基础上给出t q 元域中由两个m d s 码构成的直积码，以及一 个m d s 码和一个一阶r e e d - m u l l e r 码构成的直积码的广义h a m m i n g 重量 首先，我们给出q 元m d s 码的第r 广义h a m m i n g 量的表达形式，并由此得到 任一码c 是m d s 码的又一等价条件 其次，利用m d s 满足链条件的特性，我们使用成分码的重量谱直接计算由两 个m d s 码构成的直积码的广3 ( h a m m i n g 重量 最后，我们计算了m d 踊和一个阶r e e d - m u l l e r 码构成的直积码的广 义h a m m i n g 重量，并给出理论证明 关键词广义h a m m i n g 重量；直积码；重量谱；链条件 1 皇塑璺堕兰里塑旦塑! g 重量 1 引言 由于密码学方面的应用，1 9 9 1 年v k w e i 1 提出了线性码的广义h a m m i n g 重 量这一概念1 9 9 7 年h e l l e s e t h 等人研究了二元码的“支座重量”问题，而“最小座 重量”实际上就是码的极小重量，国内外一些学者对广义h a m m i n g 重量进行了广 泛而深刻的讨论，得到了不少有意义的结果目前，广义h a m m i n g 重量问题越来越 日i 起编码界的注意w e i 1 论证了广义h a m m i n g 重量的一些基本性质并给出了 一些常见线性码的广义h a m m i n g 重量谱，其中包括所有阶的二元r j e e d m u l l e r 码 在文献【2 】中f e n g ，t z e n g 和w e i 给出了几类b c h 码和循环码的广义h a m m i n g 重量 的界c h u n g 在文献f 3 中给出了双纠错码b c h 的对偶码的第二广义h a m m i n g 重 量的界w e i 和y a n gf 4 给出了二元域上的两类直积码的广义h a m m i n g 重量谱，它 们分别是由两个奇偶校验码以及一个奇偶校验码和一个对偶h a m m i n g 码构成 的，并就一类成分码满足链条件的积码的广义h a m m i n g 重量给出了一个广义猜 想b a r b e r o 和t e n a 5 则证明了即使不满足链条件该猜想在r 4 时也是成立的 h e l l e s e t h 与k 1 0 v e 6 1 给出了分别由两个简单码，两个一阶r e e d - m u l l e r 码以及一个 简单码和一个一阶r e e d - m u l l e r 码构成的积码的重量谱h e o n e n 与p m l i k a a n 7 1 讨 论y q 元r e e d - m u l l e r 码的广义重量j e n g 【8 1 介绍了n 维向量空间与任意码构成的 积码的重量谱还有d q 2 4 ，1 2 ，8 1 扩充g o l a y 码以及由一个奇偶校验码和【8 ，4 ，4 】扩 充h a m m i n g 码构成的积码的重量谱s c h a a t h u n 9 n i 正n 了对于由满足链条件的 码做成的积码，4 中的猜想成立但大多数文献只是对= 元码进行研究，关于q 元 域上的研究结果很少在本论文中我们考虑口元域上的线性码本文的主要贡献是 给出q 元域上m d s 码的重量谱，由两个极大距离可分码及一个极大距离可分码和 一个一阶r e e d - m u l l e r 码做成的积码的重量谱，并给出一类特定的满足链条件的码 与m d s 码做成的直积码的广义h a m m i n g 重量表达式 本论文结构如下，在第二部分，我们回顾一些相关知识，并给出m d s 码的重量 谱由两个m d s 码构成的积码的重量谱在第三部分介绍第四部分里，我们得到由 一个m d s 码和一个一阶r e e d m u l l e r 码做成的积码的重量谱和一类特定的满足 链条件的码与m d s 码做成的直积码的广义h a m m i n g 重量表达式 2 直积码的广义h a m m i n g 重量 2 预备知识 在本论文中，我们考虑q 元域上的线性码 定义2 1 设t 是一个q 元集合，如果g 是t ”的非空子集，则称c 为口元 码，称n 为码的长度，当g = 2 时，g 称为二元码 定义2 2 设日是一个有限域，一个g 元线性码g 是指n 维向量空间曰的一 个子空间。如果d i mc = 盘，则称g 为b ，纠线性码此时t c = q 定义2 3 ，一个线性码g 的生成矩阵g 是一个k n 阶矩阵，且矩阵g 的行是 码e 的基底如果g = ( 矗，p ) ，这时称矩阵g 为码g 的标准生成矩阵 定义2 4 若g 是一个h ，k 】码，则g 的对偶码定义为g 1 ，且g 1 = y 。曙i ￥互c ， = o 如果a 是b ，k 1 线性码，则对偶码c 1 是b ，n 一嘲维线性码 由此可知若g = ( ，p ) 是码g 的生成矩阵，则日= ( p 7 ，厶一k ) 是码e 1 的 生成矩阵 事实上 g 日7 = ( ，p ) ( l - 一p 。) = ( 一厶最。一”+ 足n 一女) 厶一) 女m 一鲫 = 瓯。( 。一) 所以嚣的每一行都是d 1 的元素并且r a n kh = n - k = d i mc 1 换句话说，日 的行构成了e 1 的一组基所以日是g 1 的生成矩阵，v c g 有c 日7 = 0 ，h c 7 = 0 ， 此时称矩阵日是码g 的检验矩阵 定义2 5 对于向量x = ( z 1 ，霉2 ，) ，y = ( y l ，驰，蜘) ，定义x 和y 的距 离d ( x ，y ) 为d ( x ，y ) = l 1 1 i 曼n ，乳玑) i ，x 的重量叫( x ) 为叫( x ) = d ( x ，o ) ， 例d ( ( 1 ，0 ，l ，1 ) ，( 0 ，1 ，0 ，1 ) ) = 3 ，”( ( 1 ，0 ，1 ，1 ) ) = 3 定义2 6 非平凡码c 的极小距离为m 讯 d ( x ，y ) l x c ，y c ，x y ) 则g 的极小莺量为 d = 协m 佃( x ) i x c ，x o 。 3 直积码的广义h a i i i l i n g 重量 。_-_-_。1。_。_。_。1。_。 引理2 1 1 1 ( s i n g l e t o n 界) 设d 是任意h ，d 码，则d n + 1 定义27 ， 称g 元陋，k ，d j 码g 为极大距离可分码，如果d ：n k + 1 简称 为 f d s 码 定义2 8 令g 是一个b ，k ，翻的q 元线性码，d 是c 的一个任意子码令 x ( d ) 表示d 的支座，即 x ( d ) = 0 ：j c = ( c l ，c 2 ，一，c n ) d ，c ；o ) 定义2 9 称d ，( g ) = m i n 1 ) ( ( d ) l ：d 是e 的任意一个r 维予码) 为e 的 第r ( 1sr 妨广义h 姐l m i n g 重量，并且称集合 4 ( 回：1s rs ) 为码c 的重 量谱系我们记d 0 ( g ) 一0 ，显然d l ( g ) = d ，d 是码a 的极小距离 例 c = ( o ，0 ，0 ，o ) ，( 0 ，0 ，0 ，1 ) ，( 1 ，1 ，1 ，o ) ，( 1 ，1 ，1 ，1 ) ) ， d 1 = ( o ，0 ，0 ，o ) ，( 0 ，0 ，0 ，1 ) ) ，) ( ( d 1 ) = 4 ) ； d 2 = ( o ，0 ，0 ，o ) ，( 1 ，1 ，1 ，0 ) ) ，x ( d 2 ) = 1 ，2 ，3 ) ， d a = ( o ，0 ，0 ，0 ) ，( 1 ，1 ，1 ，1 ) ) ，x ( d 3 ) = 1 ，2 ，3 ，4 d ( t = 1 ，2 ，3 ) 是码g 的子码 d 1 ( c ) = i x ( d 1 ) i = l ，d 2 ( c ) = i x ( c ) = 4 引理2 ，2 f l l线性码gc “是其对偶码日是码g 的校验矩阵，则 ( 1 ) ( 单调性) 0 d 1 ( a ) d d c ) d k ( c ) 5 n ( 2 ) ( 对偶性) d k ( c ) ：1 rsk u n + l 一出( g 1 ) ：1 r 茎 = 1 ，2 ，- ，n ) ( 3 ) d ，( g ) = d 当且仅当 ( a ) 汀的任意d 一1 列的秩至少是d r ； ( b ) 日中存在d 列满足其秩是d r 例极小距离为3 的线性码称为h m i n g 码【1 】给出了这种码的广义h a m m i n g 重量一般表达形式设a 是【1 5 ，i i h a m m i n g 码 码a 的重量谱为 3 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，i s ， 码e 的对偶码的重量谱为 8 ，1 2 ，1 4 ，1 5 故集合伽+ 1 一d k c l ) ：1 r = 1 ，2 ，4 ，8 由g 的重量谱唯一决定 4 直积码的广义h a r n m i n g 重量 注引理2 1 在文f 1 中是定义在二元域上的实际上，该引理在q 元域中也同样 成立 由引理2 1 ( 1 1 我们得到 推论2 1 ( 广义s i n g l e t o n 界) 设g 是任意 1 2 ，k ，a q 码，则d ，曼n k + r 引理2 3 【1 0 设e 是h ，k ，札一k + 1 】m d s 码，如果惫2 ，则口n k + 1 引理2 4 1 0 l 礼，翻码g 的生成矩阵g = i i a ，其中a 是( 佗一k ) 矩阵 g 是m d s 码的充分必要条件为a 的任意子方阵( a 中任选i 行i 列做成a 的i i 方阵，i = 1 ，2 ，一，m i n ( k ，n k ) ) 都是非奇异的 定理2 1 h k i l o 是m d s 码的充分必要条件4 ( g ) = 1 2 一k + r ，1sr 冬 南 证明：( = ；争) 由引理2 1 ，我们有d ，n k + r ， 设g = i k i a 。是g 的生成矩阵，其t o a = 【a i j 是( n k ) 阶矩阵( 日- t - c 是m d s 码，故d = n k + 1 则我们有o “0 ，l 曼i ，1 墨j n k 因此，d ，( a ) n k + r ，1 sr k ( 鲁) 因为d = d l ( g ) = 几k + 1 ，故g 是m d s 码 定义2 1 0 设q 是极小距离为哦的h ，k t 】码“= 1 ，2 ) ，又设g 是由这样的 矩阵组成：它的行是西中的码字，列是c 中的码字，则a 是一个极小距离为d l d e 的【n 1 付2 ，l 如】码码g 称为a 和倪的直积码 对于向量x = 0 i ，x 2 ，z 。，) ，y = ( 鲈l ，y 2 ，如2 ) ，记x o y = ( x z y l ，x z y 2 ， ，7 ；n t ，) 为它们的直积 设 x ，x - x k ，) 是a 的一组基底， y l ，y 2 ，y b ) 是q 的一组基底溅们 有 o y ，：1 i 墨h ，1 j 如 是c lo 已的一组基 5 皇塑璺塑苎旦! 些里! 呈g 重量 例c 1 = 0 0 0 0 ，0 0 0 1 ，1 1 1 0 ，1 1 1 1 ，c 2 = 0 0 0 ，0 1 1 ，1 0 1 ，1 1 0 g l q 易验证集合 是g 圆岛的一组基 定义2 1 1 【6 1整数序列( t l ，t 2 ，一，屯) 称为正整数r 的一个划分，如果t l t 2 “1 且兰1 缸= r 我们可以把划分 = ( t l ，t 2 ，- - ，屯) 想象成一个由 方块和空白组成的s t 1 阶矩砗，其中第 行有如个方块，且都排列在左边，其余是 空白 r 的一个( 让，口) 划分是指r 的划分( 1 ，亡2 ，一，以) 满足5 u ，t 1 i g p ( u ，v ，r ) 为r 的所有( u ， ) 一划分所组成的集合 例”= ( 5 ，3 ，2 ，1 ) 是正整数1 1 的一个( 4 ，5 ) 划分，对应划分矩阵如下所示， 口口口口口 口口口 口口 口 6 、0、， ) 0 1 1 l 0 1 0 l 1 1 o 1 0 1 1 l 0 l ，f-_ii、，ill、 ， ， ， 、，、， 0 1 1 1 0 1 1 l o o 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 0 0 ，、， ， ， ， 、， 0 0 0 0 1 1 l o 1 0 0 0 0 1 1 1 o 1 0 o o o 1 1 1 0 1 0 o 0 0 1 1 1 o l ，、， 、， l 0 1 0 0 0 ，-liii一、j 0 0 0 0 1 l o 1 1 0 1 l ，。一 、，l 0 1 l 0 0 0 0 0 0 l 0 1 o o 0 l 0 1 o 0 0 l o 1 ， 直积码的广义h a n i g 重量 玎= ( 4 ，4 ，2 ，1 ) 也是正整数1 1 的一个( 4 ，5 ) 划分，可见划分不唯一 定义2 1 2 4 设 礼l ，1 码q 和h 2 ，女2 码岛的重量谱分别为 d l ，姥，d ：。) ，懈，d 2 。) 对于p ( k l ，2 ，r ) 中的一个划分7 r = ( t 1 ，t 2 ，t 。) ，定义 0 v 。= 9 。( g ，q ) = ( 霹一越一，) 臻 i = 1 另外定义 d ：( e t o c 2 ) = 以( v 。( g ，q ) ：”p ( - ，k 2 ，r ) ) 。 定义2 1 3 4 1【n ，明线性码g 被称为是满足链条件的，如果存在g 的予 码d ，1 rsk 满足秩( d r ) = n i x ( d ，) j = d a l e ) ，d 1 d 2 d 自规 定d o = o ) 例码c = 满足链条件，d 1 = ，d 2 = d 表示由0 1 1 ，1 1 0 为基底生成的码 由m d s 码的标准生成矩阵易得m d s 码满足链条件 例 9 ，3 码g = 不满足链条件 易验证d 1 ( g ) = 3 ，d 2 ( q = 6 ，4 3 ( o = 9 g 中具有支撑集个数为3 的一维子码只有d 1 = ，但c 中不存 在包含d 1 支撑集个数为6 的二维子码 引理2 5 ( 4 】， 9 1 ) 如果码a ，b 都满足链条件，则 ( 1 ) d ( a b ) = d ：( b o 且) ； ( 2 ) 西( a o b ) = 睇( a o b ) h e l l e s e t h 与k l 印e ( 6 1 曾利用下面这种方法使用成分码的重量谱来直接计算积 码的v 。在下个章节我们也将使用这种方法 设7 r = ( l ，t 2 ，t 。) p ( k l ，r ) ，我们有 d v 。( q ，q ) = e ( 哦一d 1 ，) d t = l 7 皇塑璺塑墨望兰里竺垫g 重重 ：壶苎( 硪一d l ，) ( 霹 t = 1j = l 8t = a i j i = l j = l 其中q = ( d 一d l ，) ( 亏一霹一，) 由v 。( a ，c 2 ) 的表示形式我们得到 田一) ( 口圆c 2 ) = d ：( 岛o c l ) 即直积码的重量谱由它的成分码的重量谱唯一决定 考虑k 1 2 阶矩阵 1 l1 2 1 。，。 = l ： l h 1 h 2 我们有v 。等于矩阵中被7 r 覆盖的元素之和 3 由m d s 码构成的直积码的重量谱 引 定理3 1 设p = p 1 0p 2 ，只是h 。】m d s 码，i = l ，2 ，d ；= n ；一女，+ 1 不妨设亩d 2 ，m 是满足m 2 r 的最大正整数侧 面( p ) = r m n d l d 2 + s d x + ( a 一1 ) d 2 + r 一8 一o ) ， 其中s ，o 满足r = 8 a + t ，a = 1 ，2 ，m ，0 8 七2 ，0 m ) ，那么取= 7 r ”，然后重复刚才的过程 经过刚才的过程j m 次后我们得到行数为m 的划分由于在过程中v 并 没有增加 因此v 霄，曼v 并且v v 。“ 所以我们有v v 。“ 故定理成立也就是说 t 8 一t 矗( p ) ：m i n v 村t 。：每i i # 巧雨，斧珊 其中r = 8 0 , + t ，a = 1 ，2 ，m ，0 s 如，0 墨a 由定理3 1 我们可以得到由两个奇偶校验码构成的直积码的广义h a m m i n g 重 量f 4 1 的另外一种形式 1 0 皇塑堕堕墨堕! 里里! 竖皇量 推论3 ，i ，设p = p 1op 2 ，其中只是 吼，m 一1 】奇偶校验码，i = 1 ，2 ，m 是满 足m 2 r 的最大正整数，则 癣( p ) = m i n 2 + r + s + 8 ) ， 其中s ，6 满足r = s 口+ t ，8 = 1 ，2 ，m ，0 ss 锄一1 ，0 t 18 倒 设p 是二元【6 ，5 】码p 1 与二元【8 ，7 码p 2 的直积 取x l = 0 ，l ，z t ，2 ，x i ，6 ) ，满足z l = z + l = 1 ，其余z ”= 0 ，1s2 s 5 ，1 6 是尸1 的一组基 类似定义y i ，1 茎j s7 是尸2 的一组基 则 埯o y j ：1 i55 ，1sj 7 ) 是p 的一组基 我们按照m a x 0 ，j 的递增顺序重新排列这组基，a p p 的基底按照该顺序可依 次写成： x 1 0 y 1 ，x 2 0 y l ，x 1 0 y 2 ，x 2 0 y 2 ，x 3 0 y l ，x 3 0 y 2 ，x l o y 3 ，x 2 y 3 ，x 3 y z ，。 取d i = ，d 2 = ， d 3 = ， 易验证1 ) ( ( d r ) i = 出( 尸) ，d r 一1 研，1 r 3 5 故p 也满足链条件 4 由一个m d s 码和一个一阶r e e d m u l l e r 码构成的直积码的重 量谱 我们利用日上的m 维仿射1 1 何a g ( m , q ) ( 可参见【1 0 】， 1 1 ”中子集的特征函 数给出r e e d - m u l l e r 码的定义先给出一些符号和定义 考虑a g ( m ，g ) 中的点，它们可以视为叼中的列向量，用“o ，“，“。一- 记 其标准基 f n 一1 设j 的q 元表示为j = 岛q ( o 曼j 矿) = d w 1 - l 定义z ，= 岛u 。，它表示了a g ( m ，g ) 中的一个点，并r a g ( m ，q ) 中的所有 i = 0 的点都可以这样得到 1 1 皇塑璺塑兰堕! 里墨! 呈g 兰兰 设e 是一个矩阵，其第j 列为q ( o j q m ) 记n = q ”，则m n 矩阵e 以a g ( m ，g ) 中的点为其列向量 定义讹= e 的第i 行，记= ( 1 ，1 ，- - - ，1 ) 1 。 定义4 1 设o r 扎2 一南2 + 1 ，我们设 x ( ，( d ) ) l = m l n i x ( 丑( d ) ) i ：仉( d ) o ) ， 4 - p = 秩( 砷( d ) ) ，p i ( d ) = x d ：m ( x ) = o ) 则秩( 如( d ) ) = r ，一p ，并且 l x ( d ) l i x ( p p ( d ) ) l - 4 - l x ( 7 b ( d ) ) i 由归纳法，i x ( p p ( d ) ) j d r 一，= d ：一， 因此我们有l x ( d ) i 一，+ 出( a ) 故d ，( g 圆p ) = ( d o p ) ，1 r 兰秩( g o p ) 推论4 2 设p 是h ，叫m d s 码满足d = n k + l q ，兄是一阶 矿，1 + m r e e d - m u l l e r 码，则有 国融一卜( s + d - 1 ，+ 壹c 州炉葚：之= ：。 d r ( r o p ) = 扛11ss ，u 三 1 十m id ( g 一1 ) q ”一0 r 1 + m 证明：设r 是一阶【口m ，1 + m 】 k e d - m u l l e r g ；，易证r 满足链条件p 是h m d s 码满足d = 竹一+ l 彤( 冗。尸) 情况2 jr = s ( 1 + m ) + t ，8 1 ，0 t 1 + m 如果8 = 1 ，r i 1 + m ，n t i ，t 1 , t 1 , t t ，类似可证坼一t ( r e p ) - f 也( r ) 2 霹( r 圆p ) 即r 满足定理4 2 条件 由定理4 2 及p r 雕j w 3 l h a m m i n g 重量谱，我们有 一一口m ( s + d - 1 1 h 垫e 叫r 葚：之= ：。 f 口m ) +( g 一1 ) q m 一4 ，、。，。，： 由( r 。尸) = ， 仁11s 黾us 。1 十仃。 ld ( q 一1 ) 口0 r 1 + m l = l 直积码的广k h a m m i n g 重量 由( f 4 】， 9 ) ，我们知道由( boa ) = 4 ( 且ob ) ， a b 是满足链条件的线性码因此我们可以利用v 。的定义来计算推 论4 2 中p r 的重量谱 定理4 3 设p 是h k l m d s 码满足k 2 ，d = n k + 1 r 是一阶晒“，1 + m r e e d m u l l e r 码，则有 id ( q 一1 ) g 1sr 1 + m ； d r ( p 。删5 1m + d _ 1 ) + 吏沪m 。一s ( 1 十m ) 州， i 矿( 蚪1 ) + 蚤( 口- 1 ) p 1o 泛i + 二，2 。i # lu t r 6 - 当t = 2 m 盯 酬，= 。暑簿口) 证明：积码por 的矩阵可写成如下形式： ，( q 一1 ) q “一1 d 一i ) q ”一2 d ：( p 删：i ( q 一? 旷p 罗。2 i ( 口一j ) g m 一。( g j ) 矿。一。 d 口 d = q ( q 一1 ) d q 一1 q 一1 设r 满足l 茎r 茎k ( 1 + m ) ，s ，t 是由等式r = 8 ( 1 + m ) + t ，0 t 1 + m 唯一确 定的非负整数则r 的( ，1 + m ) 一划分至少含有s + 1 行 情况j ? d q 日 ，- - - - - - 、- - - - - - - - - - - - _ 、 我们证明4 ( p o r ) = v 。，”= ( 1 + m ，1 + f n ，。一，1 + m ，t ) 设一= ( t l ，t 2 ，) p ( k ，1 + m ，r ) 满足存在j 使得岛= 1 + m ，i ； t ， g 一1 ，我们有o = ( m ，m ) 满足v 。v 。， 因此d 2 。( p o r ) = d ( q ”一1 ) + q ”一1 = ( q + 1 ) ( 口“一1 ) 当r 2 m 时，我们可以利用情况1 中的方法类似证明对任意7 r = ( t l ，t 2 ， ) p ( k ，1 + m ，r ) 有不等式v v 。成立 因此d ，( p o r ) = v 。 例p 是由二元【8 ，4 - - i 价r e e d - m u l l e r 码与二元 8 ，7 校验码做成的直积 码 w ，= _ + 2 m - 。r + l ：兰瑟 5 结论 迄今为止，在文献中发现的积码的广义h a m m i n g 熏量都是在二元域上讨论 的关于口元域上的积码的研究在文献中尚未发现本论文计算了g 元域上两类直积 码的广义h a m m i n g 重量，两个m d s 码做成的的直积码的广义h a m m i n g 重量以及 一个m d s 码和一个一阶r e e d - m u l l e r 码做成的直积码的广义h a m m i n g 重量，并 给出一类特定的满足链条件的码与m d s 码做成的直积码的广义h a m m i n g 重量 表达式 m d s 码是重量谱达到广义s i n g l e t o n 界的码，找出一般线性码与m d s 码做 成的直积码的广义h a m m i n g 重量表达形式有待于进一步研究 1 7 皇塑丝竺 兰里! 璺翌! 坠g 重兰 o nt h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so fs o m e p r o d u c tc o d e s a b s t r a c t ：t h er t hg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h to fal i n e a rc o d ei st h e m i n i m u ms u p p o r ts i z e o fa n yr - - d i m e n s i o n a ls u b c o d ed e f i n e db yv k w e ii n 1 9 9 1 i th a sb e e nf o u n du s e f u li nt h es t u d i e so fc r y p t o g r a p h yi n c l u d i n gt h e w i r e t a pc h a n n e lo ft y p ei i ，a n dt - r e s i l i e n tf u n c t i o n s m a 丑yi n t e r e s t i n gr e s u l t s f o rb i n a r yc o d e sh a v eb e e no b t a i n e do nt h i st o p i c i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e r t h eq - a r yc o d e s w ed e t e r m i n et h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so fm d s c o d e s ，t h ep r o d u c to ft w om d s c o d e sa n dt h ep r o d u c to fam d sc o d ea n da f i r s t o r d e rr e e d m u l l e rc o d eo v e rt h ef i e l d i nt e r m so ft h o s eo fc o m p o n e n t c o d e s w h e r eqi sap o w e ro fap r i m en u m b e r f i r s t l y , w eg i v et h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t s o ft h eq - a r cm d sc o d e t h e nw ed e r i v ea ne q u i v a l e n tc o n d i t i o no fm d sc o d e s e c o n d l y , n o t i c i n gt h a tt h eq - a r ym d s c o d es a t i s f i e st h ec h a i nc o n d i t i o n s ， w ed e r i v et h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so ft h ep r o d u c to ft w om d sc o d e s d i r e c t l yi nt e r m so ft h o s eo fc o m p o n e n tc o d e s f i n a l l y , w ec a l c u l a t et h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so ft h ep r o d u c to f am d sc o d ea n daf i r s t o r d e rr e e d m u l l e rc o d e k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t s ，p r o d u c tc o d e ，w e i g h th i e r a r c h i e s ， c h a i nc o n d i t i o n s 皇塑璺塑墨望呈里翌! 璺曼重兰 致谢 在撰写论文过程中，自始至终都得到导师董学东教授的耐心指导三年来，董老 师对我在思想、学习、生活等各方面都给予无微不至的关怀和帮助，其严谨的治学 态度、渊博的知识、科学的研究方法，给我留下深刻印象董老师不仅指导我从事 代数编码的研究，而且培莽和深化我的数学思想，帮助我逐步走上进行科学研究的正 确道路使我受益终生在此，对导师董学东教授三年来的辛勤培养和关心致以最诚 挚的谢意 1 9 皇塑璺塑墨望! 里里! 竖重量 一 参考文献 f 1 1v k w e i ，“g e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t sf o rl i n e a rc o d e s ，” e e e7 y a n s i n f o r mt h e o r y 1 9 9 1 ( 3 7 ) ：1 4 1 2 1 4 1 8 ( 2 2f e n g ，g l ，t z e n ga n dv k w e i ，“o nt h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t sf o r s e v e r a lc l a s s e so fc y d i cc o d e s ，”i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y 1 9 9 2 ( 3 8 ) ：1 1 2 5 - 1 1 3 0 【3 3h c h u n g , t h es e c q n dg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t s o fd o u b l e - e r r o rc o r r e c t i n gb i n a r yb c hc o d e sa n dt h e i rd u a lc o d e s ，”a a e c cc o n fn e w o r l e a n s ，l a ，1 9 9 1 4 1v k w e i ，k y e o n g c h e o ly a n g ：“o n t h eg e n e r a l i z e dh a m m i n gw e i g h t so f p r o d u c tc o d e s ，”i e e et r a n s i n f o r m t h e o r y 1 9 9 3 ( 3 9 ) ：1 7 0 9 - 1 7 1 3 ， f 5 1a i b a r b e r oa n dj g t e n a l w e i g h th i e r a r c h yo fap r o d u c tc o d e ，”i e e