（应用数学专业论文）拟概率空间上不确定规划的三种基本类型.pdf

摘要 摘要 芷实际决策中，不确定规划是处理各种不确定信息的理论工具。拟概率空间是比概 率空间与s u g e n 0 测度空间更广的一类非可加测度空间。鉴于不确定规划理论的实际意 义和拟概率空间的广泛性，本文把两者有机结合，讨论了拟概率空间上不确定规划的三 种基本类型。首先讨论了拟概率的一些性质：其次给出了拟概率空间上的拟随机变量及 其分布函数、密度函数、乐观值和悲观值的概念及性质；证明了拟概率空间上的 c h e b y s h e v 不等式、c h e b y s h e v 大数定律和k o l 删) g o r o v 大数定律；最后给出了拟期望值 模型、拟机会约束规划和拟相关机会规划，把概率空间上和s u g e n 0 测度空间上不确定 规划的三种基本类型推广到了拟概率空间上。 关键词拟概率空间q 一随机变量拟期望值模型拟机会约束规划 拟相关机会规划 a b s t r a c t a b s t r a c t u n c en a _ i np r o 伊a i l l m i n gi sat h e o r e t i c a it o o lt od e a l 州t hv 撕o u su n c e 栅ni n f 0 m a t i o l l s i np e a c t i c “d e c i s i o n m a l ( i n g q u a s i p r o b a b i l i 锣s p a c ei sak i n do fn o r l a d d i t i v em e a s u r es p a c e w i l i c hi sm o r ee x t e l l s i v em a np b a b i l i 锣s p a c e 锄ds u g e n om e 嬲u r es p a c e t 1 1 i sm e s i sh 吼g u n c e r h c a i np r o g r a 玎撇i n gm e o 巧a n d ( 1 u 勰i - p r o b a b i l i 锣s p a c et o g e t h e rt 0e s 组b l i s hu n c e n a 洫 p r o g r 猢i n go n 小l a s i p r o b a b i l i t ) rs p a c ei i lv i e wo ft h ep r a c t i c a lm e a j l i n g so fm eu i l c e n a j n p r 0 掣觚吼i n gt h e o r ya n dm el u l i v e r s a j i t ) ，o fq u a s i - p r o b a b i l i t ) rs p a c e f i r s t ，、v ee ) 【p l o r e ds o m e p r o p e r t i e so fq u 【a s i p r o b a b i l 埘a n dt l i 饥g a v ed e f i n i t i o i l sa n dp r o p e n i e so fq u a s i - r 锄d o m v 撕a b l e 觚di t sd i s t r i b u t i o n 如n c t i o n ，d e n s 蚵劬c t i o n ，o p t i l t l i s t i cv a l u ea i l dp e s s i m i s t i cv a l u e o nq u a s i p r o b a b i l i 锣s p a c e f u m l e 姗o r e ，c h c b y s h e v si n e q u a l i 锣a n d 廿l el a wo fl a 培em n b e r s b a l s e do n q u a s i - p r o b a b i l 时s p a c c w i e r ed i s c u s s e d f i 舱l l ye x p e c t e d v a l u e n l o d e l s ， c h a n c e c o n s t r a i n e dm o d e l s 锄dr e l a t e dc h a i l c em o d e l s0 nq u 嬲i - p r o b a b i l 埘s p a c ew e r eb u i l t a i l dt 1 1 e 也r e eb a s i c 呻e si nu n c e r t a i np r 0 伊a m m i n gw e r ee x t e l l d e dt 0q u a s i p r o b a b i l i 够s p a c e e s s e n t i a l l y k e y w o r d s ：q u a s i - p r o b a b i l i 够；q u a s i - r a j l d o mv 撕a b l e ；q u a s i - e x p e c t e d v a l u em o d e l s ； q u a s i - c h a n c e c 0 i l s t r a i n e dp r o g r 锄啪i n g ；q u a s i r e l a t e dc h a n c ep r 0 萨黜i n g i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名：童壁蓥 日期：2 遨年l 月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方格内打“ ) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学学位所提交的题目为( 拟概率空间上不确定规划的三种基本类 型) 的学位论文，是我个人在导师( 哈明虎，田大增) 指导并与导师合作下取得的研究 成果，研究工作及取得的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资 助下完成的。本人完全了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法 律、行政法规以及河北大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 童叠叠日期：2 1 盘年l 月l 日 作者签名： 导师签名： 日期：麴篮年上月鱼一日 日期：趔篮年上月l 日 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1 不确定规划理论的产生背景及研究现状 在实际生产和生活的各种决策系统中，不确定性现象是普遍存在的。要想在决策过 程中合理有效地处理各种不确定性信息，做出更加符合实际的决策，研究和建立各种相 应的不确定性随机规划已是学术界所面临的重要课题【l 】。然而，对于一些复杂的尤其是 含有多重不确定性的决策系统，经典的优化方法通常是无能为力的【2 1 。虽然已有的随机 规划和模糊规划可以解决一部分随机决策系统和模糊决策系统的优化问题，但又远远不 能满足解决具有双重或多重不确定性的决策系统优化问题的要求【2 】。因此，建立和完善 统一的不确定环境下的优化理论与方法不但有深远的理论价值，而且有广阔的应用前 景。不确定规划【1 3 】正是在这种背景下建立和发展起来的。 2 0 世纪5 0 年代中期，出现了随机规划【m 】，这使得许多实际问题获得更好的解决。 随机规划是运筹学的分支，是人们把概率研究应用于处理随机信息不确定性的数学规 划。2 0 世纪7 0 年代，l a z a d e h 【4 】提出了可能性测度的概念，许多学者如d d u b o i s 和 h p m d e 【5 6 1 对其发展起了重要作用；在此基础上b d l i u 川给出了完善的研究模糊性的 公理体系，称之为可信性理论，并建立了模糊期望值模型【3 】模糊机会约束规划【9 。1 1 j ， 模糊相关机会规划【1 2 】，并且提出了随机模糊规划【1 3 。阎，模糊随机规划【1 6 1 趴，给出了模糊 粗糙规划建模与求解的统一原理。从而建立了较系统的不确定规划理论。不确定规划是 处理各种不确定环境下的优化问题的理论工到1 1 。 现阶段，随着计算机技术的飞速发展以及智能计算技术的不断涌现，许多复杂的优 化问题已经能通过计算机求解【2 1 。摆在我们面前的任务是提出更加丰富的建模思想，建 立优化问题的数学模型并设计模型求解的算法。不确定规划理论的建立和发展正是当前 这一方面的国际研究潮流的具体体现。 河北大学理学硕士学位论文 1 2 拟概率空间上不确定规划理论的提出及意义 随机规划是一类可以处理用户输入的具有随机特征数据的最优规划方法。当运筹学 中的规划问题含有随机变量时，目标函数和约束条件已不能按照通常意义理解，需要借 助不确定规划模型3 1 。但是不确定规划中的随机变量是建立在概率空间上的，在实际决 策系统中随机变量的产生并不完全满足概率分布，这样我们在建立模型中就会产生偏 差。刘宝锭等人对一类非概率空间一可信性空间上的不确定规划进行了系统研究，已较 系统的建立了不确定规划【1 。3 1 。在此基础上，哈明虎、张鸿等人通过对s u g e n o 测度空间【1 嗍 的深入研究，把不确定规划理论推广到s u g e n o 测度空间上。 近年来，一些学者借助给定概率通过某种变换来确定非可加测度的值，通过这种方 法，z y w a i l g 觚dj k g c o r g e 【2 l 】引出了拟概率的概念。拟概率因其正规t 一函数的不同 可以代表非常广的一类测度，如概率和s u g e i l o 测度均是拟概率的特例，因此拟概率是 概率和s u g e n 0 测度的一种重要推广。拟概率因其优越性与广泛性被许多学者研究与应 用【2 1 2 2 1 。 本文把具有广泛性的拟概率和具有现实意义的不确定规划理论结合在一起，讨论了 拟概率空间上不确定规划的三种基本类型，拓展了不确定规划理论的应用范围，使得不 确定规划理论更加完备。在实际的决策系统中，为做出更加符合实际的决策，提供新的 建立模型的思想和理论基础。 1 3 本文的主要内容 本文研究了拟概率空间上三种基本的不确定规划：拟期望值模型、拟机会约束规划 和拟相关机会规划。把概率空间上和s u g 饥。测度空间上的不确定规划理论推广到了拟 概率空间上。主要内容和组织如下： ( 1 ) 第二章是预备知识，进一步讨论了拟概率的一些性质，给出了拟概率空间上的 q - 随机变量及其分布函数和密度函数，并给出q 随机变量的数学期望和方差的 定义和性质，以及q 一随机变量的乐观值，悲观值，最后给出并证明大数定律； 2 第l 章绪论 ( 2 ) 第三章在介绍了拟概率的基本性质的基础上，给出了拟概率空间上的拟期望值 模型，拟机会约束规划和拟相关机会规划。把概率空间上和s u g e n o 测度空间上 不确定规划的三种基本类型推广到了拟概率空间上。 3 河北大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 2 1拟概率的定义及性质 在这一节中将给出拟概率的定义和一些性质。 本文假定x 是一个非空集合，厂是由x 的子集构成的仃一代数，尺是实数集。 定义1 2 1 1 设口( o ，o o 】，广义实值函数口：【0 口卜【o ，叫称为t 一函数，当且仅当秒是 连续、严格增加的，且9 ( o ) = o ，口。1 ( o o ) ) = 囝或 ( 根据口是否有限而定) 。 定义2 2 1 1 集函数：尸专【0 叫称为拟可加的，当且仅当存在定义域包含的值域 的t 一函数秒，使定义在尸上的集函数口。是可加的，口。通过如下方式运算 ( p 。) ( e ) = 口( ( e ) ) ，任意e 厂 称为拟测度，当且仅当存在t 一函数目，使得p 。为一个经典测度。t 一函数目称为的 特征t 一函数。 定义3 口1 1 函数9 ：【o ，1 卜【o ，1 】称为正规t 一函数，当且仅当口是连续、严格增加的， 且伊( o ) = 0 ，伊( 1 ) = l ；若秒是正规t 一函数，则拟测度称为拟概率。 当是拟概率时，三元组( x ，厂，) 称为拟概率空间，以下的讨论将限定在拟概率 空间上。 定义4 设( 五，万一) ，f = l ，2 ，万是拟概率空间。如果x = 五五以， 尸= 石巧石，和= h 以以，则称( x ，尸，) 为乘积拟概率空间。 性质1 设( x ，厂，) 为一拟概率空间，则有： ( 1 ) 若彳，曰厂，彳c 曰，则( 彳) ( 曰) ； 4 第2 章预备知识 ( 2 ) ( a ) = o ，( 彳) = l 。 3 连续性。若 4 ，l 1 ) c 厂，且4c4 c c4 c ，则有l v 4 j 2 1 觋( 4 1 ) 。 厂、 证明：( 1 ) 由定义l 显然可得，秒是连续、严格增加的函数，9 _ 也是连续、严格增 加的函数。又因为口。是概率测度，则( 五) 已( 毛) 是严格增加。因此旷1 。p 。是严 格增加，即是严格增加。4 ，b 厂，么c 召，则( 么) ( 召) 得证。 ( 2 ) 因为 ( 秒。) ( ) = 臼( ( ) ) = o ，( 9 。) ( x ) = 9 ( ( x ) ) = l ； 又由定义3 得，9 ( o ) = o ，秒( 1 ) = 1 。所以( f 2 j ) = 0 ( x ) = 1 成立。 ( 3 ) 记 显然可得 甄= 4 ，垦= 4 4 ，e = 4 4 i 巾。 u e 划4 l 。 ll 注意到 e ，刀1 两两互不相交，由概率的可加性可得： 又因为 因而有 汐。( 4 ) = 口。( e ) = 苹口。c 或，。 毋= 4 l ，f = l ，2 ，棚。 l 5 河北大学理学硕+ 学位论文 ， 、 詹 帅l v 4 j _ 溉( 忍) 2 舰帅( 4 ) 。 因为9 - - 是连续的，所以有 一班( 9 4 ) _ 舰口矾讹) 。 妣( ( j 4 i ) - 瓣比) 觚 例题1 假设x = 口，砩，厅尸( z ) ，定义测度通过 如果我们取 则我们有 证明为一个拟概率。 砌，：艇囊蟊 【1 ，如果e ：i 。 秒( y ) = 掣， 州班隧 证明：要证明是一个拟概率。须证( 1 ) p 。是拟概率测度。( 2 ) 秒满足定义3 。 ( 1 ) 首先证明秒。是概率测度。口。的定义域是x 的幂集，值域是【o ，1 】，且满足： 6 第2 章预备知识 ( 秒。) ( 彳) = 1 ，( 口。) ( ) = o ； ( 9 。) ( 4 ) ) ( 秒。) ( x ) ，( 乡。) ( 6 ) ( 秒。) ( x ) ； ( 9 。) ( 以 ) + ( 秒。) ( 6 ) = 1 ，( 秒。) ( ) + ( 秒。) ( x ) = l 。 由概率的公理化定义可知伊。是概率测度。 ( 2 ) 9 ( y ) = 里罨是连续、严格增加的函数。定义域是【。，l 】，值域是【。，1 】，且满足 9 ( o ) = o ，乡( 1 ) = l 。所以臼满足定义3 。 由定义2 和定义3 可得是一个拟概率。 2 2 拟概率空间上的q 一随机变量 在这一节中将给出拟概率空间的q 一随机变量及其分布函数、密度函数、期望、方差、 乐观值、悲观值的定义和性质。 定义5 圆设( x ，厂，) 为拟概率空间，善= 孝( 国) ，功工为定义在x 上的实值集函 数。对任意给定的实数x ，若 缈悟扣) z 厂，则孝称为拟概率空间上的一个随机变量。 简记为q 一随机变量。 定义6 设( 工，厂，) 为拟概率空间，孝是x 到彤的函数，若对于每一个勘愆，集 曰掣，有 彩x 陟( 国) b 户，则称孝为拟概率空间( x ，厂，) 上的以维q 一随机变量。 定义7 设厂：彤寸r 为可测函数，且蠡为定义在拟概率( 五，再鸬) 的q 一随机变量， f = l ，2 ，刀。则称孝= 厂( 磊，乞，磊) 为乘积拟概率空间( x ，厂，) 上的q 一随机变量，且 孝( q ，哆，q ) = 厂编( 嵋) ，磊( 呸) ，点( q ) ) ，其中( q ，q ，q ) q 。 定义8 冽设善是定义在( 石，厂，) 上的q - 随机变量，其分布函数定义为： 7 河北大学理学硕+ 学位论文 其中r 表示实数集。 已( x ) = 彩厂侈( 缈) 工 ，比r ，缈x 定义9 捌设善是定义在( x ，厂，) 上的q 随机变量，是孝的拟概率分布函数。 如果坛r ，函数厶：r 专【o ，佃】满足巴( x ) = 厶( y ) 咖则称厶是q 一随机变量孝的拟 概率密度函数。 定义1 0 设善为一q - 随机变量，如果孝的拟概率密度函数满足： ( 垆妊尚如 6 ( 认咄 【 0 其他， 其中秒是定义3 中的正规t 一函数，则称孝服从【口，6 】拟均匀分布。记作q u ( p ，口，6 ) 。 定义1 1 设毒为一q 一随机变量，如果孝的拟概率密度函数满足： = r 云坨? 等嘭 其中秒是定义3 中的正规t 一函数，则称孝服从参数为名的拟指数分布，记做卿( 秒，允) 。 定义1 2 设孝为一q - 随机变量，如果孝的拟概率密度函数满足： 口。厶( x ) 2 去e 2 ， o ，有 熟鹏一孝l s = o ， 则称 参) 依拟概率收敛于q 一随机变量孝。记为磊山f 。 定义1 8 设 毒 是拟概率空间( x ，厂，) 上的q - 随机变量序列，若存在集合 彳一( 彳) = 1 ，对任意彩彳使得 挫蛩l 毒( 缈) 一孝( 国) l = o l o 第2 章预备知识 成立，则称序列 毒 在拟概率空间上几乎处处收敛到孝。记为磊鹄乡 定理2 例( m 础【o v 不等式) 若告是一个非负q - 随机变量，任意g o ，则下面不 等式成立 础划妙1 h t 一掣) 证明由定义知p 。是概率，则 定理证毕。 毒占) = 矿1 9 。( f 。m 膨 掣与 拟概率空间上的m a r k o v 不等式相同，因此这一定理是概率空间与拟概率空间上m a r k o v 不等式的推广。下面我们再给出拟概率空间上的c h e b y s h e v 不等式和c h e b y 出e v 大数定 定理3 ( c h e b y s h e v 不等式) 设善是一个q 一随机变量，且其期望色( 孝) = p ，方差 d 口( f ) = 口2 ，则对任意占 o ，下面不等式成立 l l 河北大学理学硕士学位论文 证明：由已知可得， j f 一缈i 占) p 1 t p ( 一事) 肛p i g = 睁色( 绯占 = ( 孝一b ( f ) ) 2 掰 由m a 呔o v 不等式可得， 根据定义1 4 可知， 综上可得， 定理证毕。 ( f 一乜( f ) ) 2 岿 矿1 ，9 ( 一兰掣 见吲= 色 孝一乜【孝】 2 i 孝一e l 占 = ( f 一乓( 手) ) 2 挣 p 叫 一p ( 1 一兰掣 m - 一学) = 秒q 一p ( t 一手) 定理4 ( c h e b y s h e v 大数定律) 假设磊，磊，磊，是独立同分布的q 一随机变量列 1 2 第2 章预备知识 若六伽= l ，2 ，) 具有相同的有穷期望值，瓦喙】= e ( 刀= l ，2 ，) ，则对任意s o ，等式 成立。 溉艟和h = 。 证明：对任意给定的占 0 ，由c h e b 妯e v 不等式可得， 舰帱受斗0 = 舰艟最一丢喜嘶h q ( 磊) s 触矿1i 卜秒i 卜钉月 ilj p 一片一 因为嬲一o ，所以熙( 一黯t 。 1 1 ，l 盯2 、1 丽ji j 仃z 、 丙j i ，j 又因为蝴叫是严格增加的，所以蝤卜( 一筹) = o 。 定理证毕。 引理1 吲设缶，色，磊是相互独立的q 随机变量，它们具有有限的期望和方差，且 ；等 ， 1 3 一 一 _。l。l 叫 q 秒 秒 m * m 帅 垃p h p i i = 河北大学理学硕+ 学位论文 引理2 1 9 1 设磊，磊，磊是具有有限的拟概率期望p 而且具有相同的分布函数( x ) 的q - 随机变量，令最= 磊陋 ( 缈) ， 七= 1 ，2 ，若荟乳 美磊 ，则 靠一乜最马。成立的充要条件为磊一毛磊丝! o o 。 定理5 ( k 0 l m o g o r o v 大数定理) 设磊，乞，是相互独立而且具有相同拟概率分布 的q - 随机变量，若邑最 o o ，则丢喜磊一b 喜磊 一。 证明：令嚣= 磊确蟊i s 七 ( 国) 。已知乜磊 ，即e 卜眈( x ) ，其中( 功为磊的 拟概率分布函数。厌ii 比 争监 争幽：- ： 后2 一i 七2 吉( 川) 2 ( f 磊 川) 七= if 兰0 ， ( h 磊 f ) 吉 ( f 一1 参 f ) f 2 导 = 2 咖( f 蠡 f + 1 ) 2 善b 4 l 叫织( 力 e 卜瞬( x ) 七 七j l = f 蚓川 i = l ，b = 枷 f 孝，则每天报纸的剩余量为z 一手，否则为o 。 这样报童的收益为 m 柳= ( 芝苗( 口_ 6 ) 畿 当报纸的需求量孝是服从拟概率分布的q 一随机变量时，使得效益函数厂( 五善) 也是 q 一随机变量。既然不能准确的预测出订购工份报纸的实际收益，我们可以考虑通过寻找 最优的订购数量x 使得拟期望收益达到最大。则建立模型： 1 9 河北大学理学硕+ 学位论文 n a x 毛 厂( 工，善) s t x o ，为整数。 因此如果决策者希望得到最大的期望回报，则可以建立如下拟期望值模型： m a x 瓯 ( x ，孝) s 1 色 毋( x ，孝) o _ ，= 1 ，2 ，p ， 其中x 为决策向量，孝为q 一随机变量，厂( x ，孝) 为目标函数，岛( x ，f ) 表示约束函数， j f = 1 ，2 ，p 。 在很多情况下，决策问题可能包含多个目标函数。若决策者仍希望极大化这些目标 的拟概率期望值，则可以建立如下的多目标拟期望值模型： m a x 邑 彳( x ，孝) ，邑 五( x ，善) ，q 厶( x ，孝) s 1 巳b ( 工，孝) 0 _ ，= 1 ，2 ，p ， 其中z 为决策向量，善为q 一随机变量，z ( x ，孝) 为目标函数，f = l ，2 ，棚。毋( 五孝) 表示约束函数，j = 1 ，2 ，p 。 遗传算法是一种通过模拟自然进化过程搜索最优解的方法【1 1 。在优化问题中，如果目 标函数是多峰的，或者搜索空间不规则，就要求所使用的算法必须具有高度的鲁棒性， 以避免在局部最优解附近徘徊【。遗传算法的优点恰好是擅长全局搜索【1 1 。 神经元网络是基于生物学的神经元网络的基本原理而建立的。它是由许多称为神经 的简单处理单元组成的一类适应系统f l 。3 1 。而所有的神经元通过前方或回馈的方式相互 关联、相互作用。神经元网络的一个重要作用就是具有对运作机制的学习能力，这种能 力不仅表现在对精确样本的学习上，对那些可能不完全或是有噪音的新数据，神经网络 还可以起到校正作用【1 3 1 。 2 0 第3 章拟概率空间上不确定规划的三种基本类型 基于遗传算法和神经元网络各自的优点，我们将用神经元网络逼近不确定函数，并 把它嵌入到遗传算法中形成混合智能算法用来求解不确定规划模型【1 棚。 下面，我们用拟随机模拟、遗传算法和神经元网络结合而成的混合智能算法来求解 一般情况下拟概率空间上的拟期望值模型。算法描述如下： 算法3 ： 步骤l 通过拟随机模拟为目标函数产生输入输出数据。 步骤2 根据产生的输入输出数据训练一个神经元网络逼近目标函数。 步骤3 初始产生p o p - s i z e 个染色体，并检验染色体的可行性。 步骤4 通过交叉和变异操作更新染色体，并用训练好的神经元网络检验后代染色体的 可行性。 步骤5 用训练好的神经元网络计算所有染色体的目标函数值。 步骤6 根据目标函数值，计算所有染色体的适应度。 步骤7 旋转赌轮来选择染色体。 步骤8 重复步骤4 至步骤7 直到满足终止条件。 步骤9 将上述过程中得到的最好的染色体作为最优解。 例题5 求解下面的拟期望值模型 触乜【厄焉再瓦乏万而】 s 1 五2 + 恐2 + 毛2 1 0 0 其中最服从拟指数分布q 圆口( 砩，2 ) ，彘服从拟正态分布q u ( 幺，一1 ，1 ) ，磊服从拟均匀分 布q ( 岛，3 ，2 ) 。 2 1 河北大学理学硕十学位论文 首先给出如下t 函数： 嘶，：掣川垆一掣删垆x 通过拟随机模拟为目标函数 u ：( 五，恐，毛) 专乓 石- 乏5 f i i = 乏了乏丽】 产生输入输出数据。然后，训练一个神经元网络( 3 个输入神经元，5 个隐层神经元，1 个输出神经元) 来逼近日标函数u 。最后，把训练好的神经元网络嵌套在遗传算法中， 形成混合智能算法。 通过运行混合智能算法( 模拟5 0 0 0 代，2 0 0 0 个训练样本，5 0 0 次迭代) ，得出最优 解是： 其目标函数值为6 3 0 7 3 。 x = ( 6 2 7 2 7 ，- 2 5 9 7 5 ，3 0 8 7 2 ) 。 3 2 拟机会约束规划及混合智能算法 继给出拟概率空间上的期望值模型之后，本节将在拟概率空间上建立拟机会约束规 划。机会约束规划是由a c h 踟1 锱和w wc 0 0 p e r 【2 3 】首先提出的，其特点是约束条件 旬( x ，孝) ( = l ，2 ，m ) 至少以一定的置信水平成立。 在拟机会约束规划中，假设石是一个决策向量，孝是拟概率空间上的q 一随机变量， 厂( 艺孝) 是目标函数，毋( x ，孝) ( j = l ，2 ，m ) 是拟随机约束函数。由于拟随机约束 毋( x ，孝) o ( j = 1 ，2 ，m ) 没有给出一个确定的可行集，所以我们就希望拟随机约束以一 定的置信水平口( o ，l 】成立。可以得到拟机会约束如下： 毋( x ，) o ( = l ，2 ，m ) 口。 2 2 第3 章拟概率空间上不确定规划的三种基本类型 也可以表示为： 邑( 墨善) o 吩，_ ，= 1 ，2 ，所。 更为一般的是下面的混合拟机会约束： 毋( 而孝) o ( j = 1 ，2 ，墨) q 岛( 五孝) o ，( ，= 墨+ 1 ，墨+ 2 ，屯) 吃 毋( z ，善) o ，( = 毛一。+ 1 ，毛一。+ 2 ，p ) ) q 其中1 毛 屯 向一l 掰。 在现实问题中，若决策者希望极大化目标函数的乐观值，则我们可以建立如下的拟 机会约束规划： m 强m 野 j， j 7 ( x ，孝) 7 ) 毋( x ，孝) o ，- ，= 1 ，2 ，m 口， 一 其中m a x 厂是目标函数厂( 工，善) 的乐观值，口和是预先给定的置信水平。 如果实际问题含有多个目标，则可以建立标准的多目标拟机会约束规划模型如下： 一 警7 。，警乃，警7 。 s 1 z ( x ，善) 7 ； 屈，f = 1 ，2 ， 毋( x ，孝) o 口，歹= 1 ，2 ，册， 其中m a ) 【7 ，是目标函数z ( z ，孝) 的孱乐观值，( i = 1 ，2 ，z ) ，哆( j = 1 ，2 ，胁) 和 河北大学理学硕士学位论文 届( f = 1 ，2 ，) 是决策者预先给定的置信水平。 若决策者希望用拟机会约束极大化目标函数的悲观值，则可以建立如下的拟机会约 束规划模型： 峄呼 s 1 厂( x ，孝) 7 口 毋( 五孝) 5o ，= 1 ，2 ，p ) ， 其中m i n 厂是目标函数厂( x ，孝) 的口悲观值，口和是决策者预先给定的置信水平。 下： 如果实际问题含有多个目标，我们就可以建立标准的多目标拟机会约束规划模型如 m a x 孵，唧，粤7 。 s 1 彳( x ，孝) 7 ， 屈，f = 1 ，2 ， 白( z ，善) o ) 口，= 1 ，2 ，掰， 其中m i i l 厂，是目标函数z ( x ，孝) 的屏悲观值，f = 1 ，2 ，吩( 歹= l ，2 ，m ) 和 层( f = l ，2 ，) 是决策者预先给定的置信水平。 由于拟随机机会约束规划的复杂性，传统的优化方法求解此模型非常困难，甚至是 不可行的。于是，我们结合拟随机模拟、遗传算法和神经网络设计了一种混合智能算法 来求解一般情况下拟概率空间上的拟机会约束规划。算法描述如下： 算法4 ： 步骤l 通过拟随机模拟为下列不确定函数 第3 章拟概率空间上不确定规划的三种基本类型 产生输入输出数据。 u ：x 一( 毋( x ，孝) o _ ，= l ，2 ，柳) ：x m a x 刁毋( x ，孝) 步骤2 根据产生的输入输出数据训练一个神经元网络逼近不确定函数。 步骤3 初始产生p 印一s 妇个染色体，并检验染色体的可行性。 步骤4 通过交叉和变异操作产生新的染色体种群，并检验子代染色体的可行性。 步骤5 用训练好的神经元网络，计算各个染色体的目标函数值。 步骤6 根据目标函数值，评价各个染色体的适应度。 步骤7 旋转赌轮选择染色体。 步骤8 重复步骤4 至步骤7 ，直到满足终止条件。 步骤9 将上述过程中得到的最好的染色体作为最优解。 例题6 求解下面的单目标拟机会约束规划： m a x 歹 s 1 ( 磊五+ 乞屯7 ) o 9 0 ( 仇五2 + 珑恐2 1 0 ) o 8 0 五，屯0 其中点，协分别服从拟均匀分布q u ( q ，1 ，2 ) ，q u ( 品，2 ，3 ) ，磊，仍分别服从拟正态分 布q ( 岛，1 ，2 ) ，q ( 岛，一1 ，1 ) 。 河北大学理学硕七学位论文 其中 黼蜊垆一掣删栌掣。首先给出幺( 石) = 一掣，皖( 工) 2 警。 我们利用拟随机模拟为下列不确定函数u ：x 专( u ( x ) ，( x ) ) 产生输入输出数据， “( 石) = m a x 歹陋 轰玉+ 乞五歹 o 9 0 ( x ) = ( 仇五+ 仍而1 0 ) 然后，训练一个神经元网络( 2 个输入神经元，1 0 个隐层神经元，2 个输出神经元) 来逼近不确定函数u 。最后，把训练好的神经元网络嵌套在遗传算法中，从而形成混合 智能算法。 通过运行混合智能算法( 模拟1 0 0 0 0 代，3 0 0 0 个训练样本，1 0 0 0 次迭代) ，得到最 优解： 其目标函数值为歹= 2 2 4 9 7 。 ( 五，屯) = ( 2 0 0 0 0 ，o 0 0 0 0 ) 3 3 拟相关机会规划及混合智能算法 在前面介绍的拟概率空间上的拟期望值模型和拟机会约束规划中，当我们根据实际 问题建立模型以后，可行集本质上已经确定。然而这时所给出的最优解也许在实际中根 本无法执行。而本节将要介绍的拟概率空间上的拟相关机会规划并没有假定可行集是确 定的，只是要求给出的确定解在实际问题中尽可能的执行。拟概率空间上的拟相关机会 规划的这一特点与前面所介绍的两种规划有所不同，但在实际问题当中是确实存在的。 首先，我们介绍拟概率空间上的拟相关机会单目标规划， 第3 章拟概率空间上不确定规划的三种基本类型 m a 】【 h 。( 孝) o ，七= 1 ，2 ，肌) s 1 毋( 五孝) o ；，= 1 2 ，p 其中，z 是一个拧维决策向量，孝是一个q 一随机变量，h 。( 毛孝) o ，七= l ，2 ，掰为拟 随机事件，而毋( 五善) o ，= 1 ，2 ，p 为不确定环境。则上述规划可以表述为：在不确定 环境岛( 石，f ) o _ ，= 1 ，2 ，p 下极大化拟随机事件h 。( x ，孝) o ，七= 1 ，2 ，m 的拟概率机会 函数。 在复杂的决策系统中会存在多个可能的目标。则给出建立拟概率空间上的拟相关机 会多目标规划如下： m a x h 。( 而善) o ，七= 1 ，2 ， h k ( x ，孝) o ，后= 1 ，2 ， h 。( 而善) 0 七= l ，2 ， 毋( 而f ) o ，_ ，= 1 ，2 ，p 其中，z 是一个刀维决策向量，善是一个q 一随机变量，h 血( 五孝) 0 七= 1 ，2 ，为拟 随机事件，而g 善) o 歹= l ，2 ，p 为不确定环境。 下面，我们结合拟随机模拟、遗传算法和神经网络设计了一种混合智能算法来求解 一般情况下拟概率空间上的拟机会约束规划。算法描述如下： 算法5 ： 步骤1 用拟随机模拟为下列不确定函数 河北大学理学硕士学位论文 u ：x 魄( x ，孝) o 七= l ，2 ，j ；毋( x ，孝) o ；j = l ，2 ，柳) 产生输入输出数据。 步骤2 根据产生的训练数据训练一个神经元网络逼近不确定函数u 。 步骤3 初始化p 叩一s 妇个染色体 步骤4 通过交叉和变异操作产生新的染色体种群。 步骤5 用训练好的神经元网络，计算各个染色体的目标函数值。 步骤6 根据目标函数值，评价各个染色体的适应度。 步骤7 旋转赌轮选择染色体。 步骤8 重复步骤4 至步骤7 ，直到完成给定的循环次数。 步骤9 将上述过程中得到的最好的染色体作为最优解。 例题7 求解下面的基于拟概率空间的单目标相关机会规划： m a x 五+ 2 而+ 3 毛+ 4 _ = 5 s l 。 五2 + 恐2s 磊 毛2 + 毛2 磊 五，而，屯，o ， 其中卣服从拟指数分布凹 ，3 ) ，受服从拟正态分布q ( 岛，1 ，2