（计算数学专业论文）minea系统有限差分格式的长时间行为.pdf

中文摘要 中文摘要 本文主要t - t f em i n e a 系统，它是n a v i e r - s t o k e s 系统的一种简化n a v i e r - s t o k e s 方程组在流体力学中是最基本、最重要的方程组它是描述不可压缩的粘性流体运 动的数学模型n a v i e r - s t o k e s 方程组的形式虽然比一般的粘性流体力学方程组简 单，但仍是个相当复杂的非线性方程组在这种耗散型的动力系统中，吸引子的存 在性是动力系统最重要的特征之一，动力系统的长时间行为完全由吸引子所决定 本文首先介绍了m i n e a 系统的来源和国内外同类系统的研究成果由于原方程 是一个非线性的常微分方程组，无法直接求解，这就要求使用数值解法在第二章中 利用差分法对其进行离散化，构造了e u l e r 隐格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式。e u l e r 隐 格式的局部截断误差是一阶精度，而c r a n k - n i c o l s o n 格式具有二阶精度然后利用 不动点定理，我们得到了差分解的存在性在第三章差分格式解的先验估计的基础 上，我们在第四、五章中给出了对应的两个差分格式的稳定性和差分解的收敛性 在第六章中讨论了两种格式生成的动力系统长时间行为，证明了这两个格式所生成 的动力系统都存在吸引集和整体的吸引子最后，第七章，我们给出了数值例子 关键词：m i n e a 系统；有限差分法；e u l e r 隐格式；c r a n k - n i c o l s o n 格式 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r m i n e as y s t e mi sc o n s i d e r e d ，w h i c hi sak i n do fs i m p l i f yo fn a v i e r - s t o k e ss y s t e m ，n l ee x i s t e n c eo fa l la t t r a c t o ri so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tc h a r a c t e r i s t i c s f o rad i s s i p a t i v es y s t e m t h el o n g - t i m ed y n a m i c si sc o m p l e t e l yd e t e r m i n e db yt h e 撒一 t o r so ft h es y s t e m a tf i r s t , i n t r o d u c t i o n ，d o m e s t i ca n di n t e m a t i o n a lr e s e a r c hr e s u l t so fn a v i e r - s t o k e s s y s t e ma r ei n t r o d u c e d b e c a u s et h ee q u a t i o n si so n eo f n o l i n e a ro d e s ，a n di ti si m p o s s i b l et oo b t a i nt h es o l u t i o n s w eh a v et os t u d yt h en u m e r i c a lc o m p u t i n gm e t h o d s i nc h a p - t e rt w o ，ab a c k w a r de u l e rd i f f e r e n c es c h e m ea n dac r a n k - n i c o l s o nd i f f e r e n c es c h e m ea r e g i v e nf o rt h et r a n s f o r m e de q u a t i o n s t h el o c a lt r u n c a t i o ne r r o r so f t h ed i f f e r e n c es c h e m e s a r ef i r s to r d e ra c c u r a t ea n ds e c o n do r d e ra c c u r a t er e s p e c t i v e l y t h ee x i s t e n c eo ft h ed i f - f e r e n c es o l u t i o ni sp r o v e db yf i x e dp o i n tt h e o r e m i nc h a p t e rf o u ra n df i v e ，t h es t a b i l i t y a n dc o n v e r g e n c eo ft h et w os c h e m e sa r eo b t a i n e d f i n a l l y , i nc h a p t e rs i x ，t h el o n gt i m e b e h a v i o ro f t h et w od i f f e r e n c es c h e m e sa r ed i s c u s s e d t h ee x i s t e n c eo f a b s o r b i n gs e t sa n d g l o b a la t t r a c t o r so f t h ed y n a m i cs y s t e mw h i c hg e n e r a t e db yt h et w od i f f e r e n c es h e m e sa r e p r o v e d i nc h a p t e rs e v e n ，t w oe x a m p l e so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o na r eg i v e n k e y w o r d s ：m i n e as y s t e m ；f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ；e u l e rb a c k w a r dd i f f e r e n c es c h e m e ； c r a n k - n i c o l s o ns c h e m e h 一 黑龙江大学硕士学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：雨飞 签字日期：阳产州7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 学位论文作者签名：禹飞 签字日期溯1 年s 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位掮尔礴、镝啦镧j 伍擂弘电话：o i i - i f 7 弓孑力乙 通讯地址裾撕欲彳邵l 叼哎百召稗潞) 邮编：觑面 旁p 锰 私 必 仔 名 n 斟 期 计y r 剥 弹 第l 章绪论 第1 章绪论 1 1m i n e a 系统研究的背景 利用计算机来模拟动力系统的行为是研究动力系统很重要的手段，通过在计算 机上的数值模拟，我们可以看到系统的演化过程和最终状态为此，我们就要对原 系统进行离散化，进而研究其离散系统的行为在离散化过程中，我们希望离散系 统能够尽可能多的保持原系统的重要性质，如耗散性等实践已经证明了，有些离 散系统能产生出许多原系统没有的虚假的现象 本论文研究的是流体力学中的m i n e a 系统，它是n a v i e r - s t o k e s 系统的一种简 化，在这种耗散性的动力系统中，吸引子的存在形式是动力系统最重要的特征之一， 动力系统的长时间行为完全由吸引子所决定m i n e a 动力系统由如下的常微分方程 组初值问题生成 1 i + 1 1 + 烈+ ) = 1 ，t 0 ， z f 2 7 + z 也一占u 1 1 1 220 ，t 0 ， 蚴+ z ，3 6 u l l 320 ，t 0 ， ( 1 1 ，1 2 ，z f 3 ) i f = o = ( 1 1 ( 0 ) ，u 2 ( o ) ，z f 3 ( 0 ) ) 其中占是流体力学中的雷诺数这个动力系统首先由g h m i n e a 提出，它是n a v i e r - s t o k e s 生成的动力系统的简化，如它们都有二次非线性项，而且是正交的一般地， 上面的方程组中等号右端可以由印中任意向量代替，等号左端线性项聊，u 2 ，u 3 可 以换成h l u l ，a 2 u 2 ，a 3 1 3 ，其中也 0 ( i = 1 ，2 ，3 ) 无穷维动力系统的研究已经有四、五十年的历史了，至今已经取得了许多重要 的成果动力系统的研究在科学界有着非常重要的意义近二十年来，许多数学家对 此作了大量的工作，如1 l t e m a m i 2 ，j k h a l e 【3 1 4 】【5 】，a v b a b i n , m i v i s h i k 6 7 ， 我国的郭柏灵院士【8 】等 利用计算机来模拟动力系统的行为是研究动力系统很重要的方法由于在数值 计算中必须考虑t 趋向无穷的有效性，这对微分方程的数值解法来说，也是个全 新的研究领域 国内外许多学者都致力于这方面的研究，如j k h a l e ，x b l i n ，g r a u g e l 4 5 】研 究了耗散的抛物方程和双曲方程的离散化问题，证明了离散系统吸引子的存在性圾 它们的上、下半连续性y i n y a n 9 】用差分法研究了带有阻尼项的一维s c h r o d i n g e r 方程的半离散格式，证明了对应的离散系统的存在性及它们的h a u s d r o f f 维数和 黑龙江大学硕士学位论文 f r a c t a l 维数的估计f y z h a n g 1 0 1l 】也用差分法研究了带有阻尼项的一维和三 维s c h r o d i n g e r 方程的全离散格式。证明了对应的离散系统吸引子的存在性韦超 【1 2 】用差分法研究了l o r e n z 系统的长时间行为 动力系统的长时间行为完全被其整体吸引子所刻画，系统的复杂性一般与它的 维数有关，维数越高，系统就越复杂 n a v i e r - s t o k e s 方程组在流体力学中是最基本最重要的方程组它是描述不可压 缩的粘性流体运动的数学模型，是由法国工程师纳维于1 8 2 7 年和英国物理学家斯 托克斯于18 4 5 年提出的，并以二人的名字命名这些方程建立了流体的粒子动量的 改变率( 加速度) 和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力( 类似于摩擦力) 以 及重力之间的关系这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘 这样，n a v i e r - s t o k e s 方程组描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡 从理论上讲，有了包括n a v i e r - s t o k e s 方程在内的基本方程组，再加上一定的初 始条件和边界条件，就可以确定流体的流动但是，由于n a v i e r - s t o k e s 方程比欧拉方 程多了个二阶导数项p 1 ，因此，除在一些特定条件下，很难求出方程的精确解 可求得精确解的最简单情况是平行流动这方面有代表性的流动是圆管内的哈根一 泊肃叶流动和两平行平板间的库埃特流动在许多情况下，不用解出n a v i e r - s t o k e s 方程，只要对n a v i e r - s t o k e s 方程各项作量级分析，就可以确定解的特性，或获得方 程的近似解 n a v i e r - s t o k e s 方程组的形式虽然比一般的粘性流体力学方程组简单，但仍是一 个相当复杂的非线性方程组到目前为止，在三维情形，它的初边值问题解的存在 唯性等基本问题还没有解决对于一维情形，已证明了其整体解的存在唯性 m i n e a 系统作为n a v i e r - s t o k e s 的一种简化，也是个耗散性动力系统，对于耗 散性动力系统来说，吸引子的存在性是最重要的特征之一，系统的长时间动力行为 完全取决于系统的吸引子 近年来，虽然对n a v i e r - s t o k e s 系统的研究的人逐渐增多，得出了很多好的结 论但是到目前为止，对于m i n e a 系统，研究的人不是很多，相关结果也不多见 本文首先将上面的常微分方程组的初值问题离散化，构造对应的有限差分格 式，如e u l e r 隐格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式，进而研究这些有限差分格式的可解性、 稳定性和收敛性其次研究由这些差分格式生成的离散系统的长时间行为，证明离 散系统存在吸引集和整体吸引子。最后我们给出数值例子 第1 章绪论 1 2 本章小结 在本章中，主要介绍了m i n e a 的来源，m i n e a 系统是n a v i e r - s t o k e s 系统的一种 简化，然后讨论了近年来国内外关于n a v i e r - s t o k e s 系统理论研究和利用差分方法求 解的研究现状，同时也指出到目前为止对于m i n e a 系统，很少有人给出相关研究结 果，并介绍了本论文对m i n e a 系统研究的方法和构造的两种差分格式以及对两种差 分格式生成动力系统的研究 黑龙江大学硕士学位论文 2 1 基本概念 第2 章基本概念和引理 定义在b a n a c h 空间b 上的一族算子 s ( f ) l 备被称为算子半群，如果它们满足 s ( t + t ) = s ( f ) s ( 丁) ， y t ，丁r + s ( 0 ) = i ( i d e n t i t yi n 功 如果紧集舅cb 满足 ( i ) 不变性：即s ( f 切= 舅，y t 肘 ( i i ) 吸引性s 翻吸引b 中一切有界集，即对任何有界集m cb ，有 d i s t ( s ( t ) m , 舅) = s u pi 蛭i i s ( t ) x y l i b _ 0 ，t _ 艇肘乒月 特别地，当卜o o 时，从z f o 出发的切轨线s ( t ) u o 收敛于贸，即 d i s t ( s ( t ) u o ，舅) - 0 ，t o o ， 那么，紧集舅称为半群s ( r ) 的整体吸引子 如果存在有界集a ocb ，使得对于任何的有界集m cb ，存在t o ( m ) 0 ，使得 s ( t ) m ca o ，y t t o ( m ) ， 则彳。称为s ( f ) 在b 中的一个有界吸引集 2 2 引理 首先，用节点t i = r ( i = 0 ，1 ，加将区间【0 ，加分割成小网格，其中丁是时间 方向步长本文中用c 代表一般的常数，它在不同地方代表不同常数 通过简单计算我们可以得到以下引理 引理2 1 对于任意实数x ，”有 一一少2 ( x y ) x 引理2 2 ( l e r a y - s c h a u d e r ：不动点定瑚 13 】设丁是b a n a c h 空间丑到自身的紧映 射，又设存在一个常数m 使得 i i x l l b m( 2 1 ) 对所有满足工= o t x ，工b ，o r 【0 ，1 】的j 成立则丁有个不动点 4 第2 章基本概念和引理 引理2 3 【1 4 】假设日是一个完备距离空间，算子半群 s ( f ) 芋满足：对于给定 的t 0 ，i s ( t ) l 孑是从到日的连续一 线恸算子，并且对于充分大的f ，算子 s ( f ) j 是一致紧的，即对于任何一个有界集易都存在f 0 ( 勇) ，使得 u s ( f ) 当 晓幻 在何中是列紧的我们也假设 s ( f ) l 存在何中的个吸引集c ，那么 s ( f ) l 在h 中 存在个紧的吸引子 2 3 本章小结 在本章中，我们给出了论文中要用到的一些基本概念和引理 黑龙江大学硕士学位论文 第3 章两种差分格式及差分解的存在性 3 1e u l e r 隐格式及差分解的存在性 将原微分方程组的初值问题变形为 “1 = l 一材l 一西( “2 2 + 1 1 3 2 ) ， 地7 = 一地+ 砸1 屹 ( 3 1 ) 的7 = 一均+ 6 u i u 3 ， ( z f l ，u 2 ，蚴) i 瑚= ( 加( 0 ) ，u 2 ( o ) ，的( o ) ) 首先，我们讨论常微分方程组初值问题( 3 1 ) 的e u l e r 隐格式 笙二t 兰= l 一矿1 一双i i z + l t 1 2 ) n = o , 1 , 2 - - - 华= 掣+ 时1 科删1 2 ， ( 3 2 ) 锻3 + _ 1 - - ：一半1 + 叫+ 1 妒1 ，刀：o ，1 ，2 ， 若第，层嵋，嵋，嵋的值已知，则上述格式是一个关于第刀+ 1 层的矿1 ，嵋，1 为 未知数的非线性方程组对此我们先证明：对于任给疗0 ，差分格式( 3 2 ) 的解都 存在对任意的( 甜，1 ，w ) r 3 ，定义映射t ：( 甜，v ，w ) _ o ，y ，z ) ，其中o ，乃z ) 是如下方 程组的解 f 型1 - = l 一对+ 矿) ， 芝兰：一，+ 跏，( 3 3 ) f z 一破 一= 一w + 6 u w f 显然映射r 在孵上是连续的根据l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，为了证明差分格 式( 3 2 ) 的解的存在性，只需证明映射a 丁的所有可能的不动点( x , y ，力对于a 【0 ，1 】 是一致有界的而映射a r 的不动点满足以下方程组 半一血一删呐， 华= 一砂+ 枷。 ( 3 4 ) z a 破 2 = 一七+ , t s x z 6 ， 第3 章两种差分格式及差分解的存在性 卜囱呆估计映射, i t 的个动点( 工，y ，力 在( 3 4 ) 的第一个等式两端乘以工，得 x2-=ac,x：一ax2一删+z2,ix ) ，= 一一删1 广+ ) ， f 在( 3 4 ) 的第二个等式两端乘以弘得 y 2 _ _ , l u ”2 y ：一矽+ 五缈， 1 在( 3 4 ) 的第三个等式两端乘以乙得 z 2 _ , l 锻3 z ：一a z 2 + ，l 占存= 一十f f ) r z 然后将上面三式相加可以得到 生生生掣兰螋：肛一a x 2 一妒一a z 2 ( 3 5 ) 7 由引理2 1 ，有估计 三( x 2 一矛嘲2 ) ( x 2 一砝m 圭扩一f 旧2 ) 扩一一砌， 三留一矛蚓2 ) ( x 2 一以绚 于是由( 3 5 ) 式和上述估计，可以得到以下不等式 ( 一矛i 圻1 2 + ，一a 2 i 嵋1 2 + 户一矛l 嵋1 2 ) 2 a x 一2 a x 2 2 a f 一2 a z 2 即 圭( x 2 + ，+ z 2 ) i 嵋1 2 + i 龌1 2 + i 嵋l z + 2 r 2 ， 从而 ( ，+ ，+ 户) 2 ( 1 嵋1 2 + i 噬1 2 + l 嵋1 2 + 2 丁2 ) 由此可知映射l r 的不动点o ，y ，z ) 关于a 一致有界，由l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理 知，e u l e r 隐格式( 3 2 ) 的解( x ，y ，z ) 存在由第五章的定理5 1 知，e u l e r 隐格式( 3 2 ) 的解( 砰，嵋，破) 是唯一的 黑龙江大学硕士学位论文 3 2 c r a n k - n i c o l s o n 格式及差分解的存在性 构造如下的c r a n k - n i c o l s o n 格式 p 中1 一p 一 嵋 p i 1 二p 一5 碹 e i 矿二p 一5 嵋 丁 = l 一三研 i 碹+ 1 + p 一 磁) 2 + 。r 码1 + p 一 固2 】， 刀= o ，l ，2 ， = 丢讹 矿l + e - 圻) p 1 仃 勘”= 0 ，1 ，2 ， = 三p 嵋i + 1 + e - z f 研八g z z 码+ i + p 一固刀= o ，1 ，2 ， ( 3 6 ) 若第力层嵋，噬，嵋的值已知，则上述格式是一个关于z r l ，才1 ，z r l 的个非线性方 程组对此格式，我们证明：对于任给力0 ，差分格式( 3 6 ) 的解都存在仍然用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理来证明对任意的( u ，1 ，川r 3 ，定义映射t ：( i i , 1 ，叻- ，y ，z ) ， 其中( x , y ，z ) 是如下方程组的解 p x p 一 研 f p y p i 嵋 丁 p z e - 坨 丁 = l 一扣西仃 噬) 2 + ( p w 仃i 的2 】， = 三即“p 唰山仃均， = 和饥p 哟( 山盯均 显然映射丁在噼上是连续的根据l e r a y s c h a u d e r 不动点定理，为了证明差分格 式( 3 6 ) 的解的存在性，只需证明映射a t 的所有可能的不动点( x , y ，z ) 对于a 【0 ，1 】 是一致有界的而映射a 丁的不动点满足以下方程组 p 工一知一 嵋 丁 e y 一知一i 噬 t p z 一, t e 一嵋 = a 一扣【( 口匆仃吲t 2 小“p 一 囝2 】， = 丢趔p i x + p i 圻) ( p 移+ p 一 囝， ( 3 7 ) = 丢徘h p 嵋) 幽仃 固 下面来估计映射a r 的不动点( x , y ，z ) 在( 3 7 ) 的第一个等式两端乘以( p i x + e - i 研) ，得 ( e i x - , t e 一 嵋) ( p i x + p i 砰) = 钺p x + p i 印一三似p i 工+ p 一 z d 【( p 匆+ p 一 碹) 2 + 。 z + p i 嵋) 2 】， 在( 3 7 ) 的二个等式两端乘以( p i y + p 一 哩) ，得 ( e i y - l e i 噬) p 移+ e 一 嵋) 丁= 互a 砸：t x + p 一5 印西+ p i 缈， 一8 一 第3 章两种差分格式及差分解的存在性 在( 3 7 ) 的第三个等式两端乘以p z + p 嵋) ，得 墅空兰- = = - 兰三二垒 芋塑：三a 文e i x + e - 嵋) ( p z + p 一 。g ) z 丁 珥 将以上三式均乘以1 - 后相加，得 x 一, t e 一5 嵋) 工+ p 一5 嵋) + ( e 5 y 一3 e 一5 碹) 0 + p 一5 碹) + ( p i z 一, t e i 嵋) ；z + p i 嵋) = a r ( e x + p i 研) ， 将上式左端打开，利用引理2 1 ，有 d ( f + y 2 + z 2 ) = ( a 一1 ) ( 研x + 甜纱+ z f 圣r ) + l e 一7 ( 1 嵋1 2 + i 碹1 2 + i 嵋1 2 ) + a r ( e i x + e 一毛嵋 ) ( i 嵋0 x i + 1 识2 1 l v l + i 嵋l l z l ) + e 一7 ( i 嵋1 2 + j 碹1 2 + i 嵋1 2 ) + r e ii x l + 他一ii 嵋l 三( ，+ ，+ 户) + 三( 1 嵋1 2 + l 噬1 2 + i 嵋1 2 ) + p f ( | 嵋1 2 + i 吃1 2 + 嵋2 ) + 乏尹+ 三矿+ 三p 一7 i 圻1 2 + 三 利用不等式1 + x 矿，最后有 ，+ y 2 + z a _ 2 ( 1 圻1 2 + 呼+ 坶) + 乏t l e t + 1 ) 于是，映射a r 的不动点o ，弘力关于a 一致有界，由l e m y s c h a u d e r 不动点定理知， c r a n k - n i c o l s o n 格式( 3 6 ) 的解o ，y ，力存在由第六章的定理6 1 知，c r a n k - n i c o l s o n 格式( 3 6 ) 的解( 研，碹，嵋) 是唯一的 3 3 本章小结 在本章中，我们构造了m i n e a 方程组的e u l e r 隐格式和c r a n k - n i c o l s o n 格式， 最后利用l e r a y - s c h a u d e r 不动点定理证明了对于任何”0 ，差分解( 嵋，嵋，嵋) 都存 在 9 黑龙江大学硕士学位论文 第4 章两种差分格式的长时间行为 4 1 e u l e r 隐格式解的一致的先验估计 本节对e u l e r 隐格式的解做不依赖于时间的先验估计 定理4 1 对于e u l e r 隐格式p 矽的解( 嵋，嵋，嵋) ，有以下对，一致的先验估计 嵋1 2 + i 噬1 2 + l 嵋1 2 ( 1 + 丁) 一糟( i 0 1 2 + l 迓1 2 + i 嘏1 2 ) + ( 1 一( 1 + 丁) 一，) ， 拧= 0 ，1 ，2 ， 证明在( 3 2 ) 第个关系式两端都乘以矿1 ，得 矿1 一嵋矿1 = 矿1 一i 舻1 1 2 一w + 1 ( 时1 1 2 + i 1 1 2 ) 在( 3 2 ) 第二个关系式两端都乘以蠼，得 哆1 一噬 1 - 矽1 = 一时1 1 2 + 时1 l 矽1 1 2 ， 在( 3 2 ) 第三个关系式两端都乘以嵋+ 1 ，得 以上三式相加之后得 芝箬- ： t 1 一碹 丁 1 + 一i 1 1 2 + 聊+ 1 l 妒1 1 2 1 一嵋 7 1 = 矿1 一l 矿1 1 2 一时1 1 2 一l 1 1 2 ， ( z 矿1 一嵋) 矿1 + ( 嚏州一噬) 噬+ 1 + ( 嵋+ 1 一嵋) z 矿1 = “嵋州一i 嵋+ 1 1 2 - n + 1 1 2 一i z 伊1 1 2 ) ( 4 1 ) 由引理2 1 可以得到以下不等式 三( 1 矿m i i 圻| 2 ) ( 研+ 1 一研) 矿1 ， 三( i 噬“1 2 一l 噬1 2 ) ( 1 一啦) 1 ， 三( i 嵋+ m i l 嵋1 2 ) ( 矿1 一嵋) 妒1 将上面三个不等式均代入( 4 1 ) 式，然后整理得 z 矿1 1 2 + i 矽1 1 2 + i 1 1 2 + 2 “l 嵋+ 1 1 2 + i 噬+ 1 1 2 + l 1 1 2 ) si 嵋1 2 + i 噬1 2 + l 嵋1 2 + 2 丁z r l 一1 0 一 第瘴两种差分格式的长时间行为 由引理2 1 1 1 2 + i 蠼+ 1 1 2 + i 嵋+ 1 1 2 + 2 “l 矿1 1 2 + l 嵋+ 1 1 2 + i 嵋+ 1 1 2 ) i 嵋1 2 + i 噬1 2 + i 1 2 + r i g + 1 1 2 + 丁 即 则有 ( 1 + 丁) i 磁件1 1 2 + ( 1 + 2 r ) l u ! + 1 1 2 + ( 1 + 2 - t ) l 嵋+ 1 1 2 i 圻1 2 + i 1 2 + l 圬1 2 + 丁 i 矿1 1 2 + i 噬+ 1 1 2 + i z 矿1 1 2 ( 1 + r ) - i ( i 嵋1 2 + l 堰1 2 + l 嵋1 2 ) + 鬲t 口定理证毕 ( 1 + d - 2 ( 1 研_ 1 1 2 + l 燧- 1 1 2 + i 嵋_ 1 1 2 ) + ( 1 + 丁) - 1 丁等+ 丁等 卸埘毗l 卅l 岍i 咖击荟”t ) ( 1 + t ) 一( 肿1 ( i 研1 2 + l 逻1 2 + i 逑1 2 ) + ( 1 一( 1 + 丁) 一斛1 ) 4 2 c r a n k - n i c o l s o n 格式解的一致的先验估计 估计 本节对c r a n k - n i e o l s o n 格式的解做不依赖于时间的先验估计 定理4 2 对于c r a n k - n i c o l s o n 格式p 矽的解( 嵋，蠼，嵋) ，有以下对刀一致的先验 i 嵋1 2 + i 碹1 2 + i 嵋1 2 p q i 0 1 1 2 + l 迓1 2 + l 醒1 2 ) + 0 擎+ p ) ( 1 一e - - 譬) 以= 0 ，l ，2 ， 证明在( 3 6 ) 第个关系式两端都乘以( p i 矿1 + p 一 嵋) ，得 ( p 嵋一e - 嵋) 0 旷1 + p 一 砰) = p 矿1 + e 一 嵋) 一丢双p i 嵋+ 1 + p i 嵋) 【。 噬+ 1 + p i 噬) 2 + ( p 。1 , 31 + p 一 嵋) 2 】， 在( 3 6 ) 第二个关系式两端都乘以( p 噬+ 1 + p 一 嵋) ，得 哩+ 1 一e - i 蠼) i 哩+ 1 + g i 嵋) 1 = 丢文已 矿1 + p 一 圻) ( p + 1 + p 一 噬) 2 ， 在( 3 6 ) 第三个关系式两端都乘以0 i 嵋+ 1 + p 一 嵋) ，得 ( p 妒1 一e - i 嵋) ( p 矿1 + e - i 嵋) 丁= 丢p 矿1 + p 一 嵋) ( p 嵋+ 1 + p 一：r ，2 一1 l 一 黑龙江大学硕士学位论文 ii l lii 以上三式分别乘以丁后，再相加得 e r ( t 嵋+ 1 1 2 + 哆1 1 2+ i 嵋+ 11 2 ) = e - r i 嵋1 2 + p 一7j 嵋1 2 + p 一7 i 嵋1 2 + 0 i 1 + e - 卜 ( 4 2 ) 由引理2 1 可以得到 胁 矿1 l 弦1 2 i + i r e 5 嵋l 却嵋1 2 + 将上面的估计都代入到( 4 2 ) ，利用不等式1 - i - 工e s ，有 矿1 1 2 + l 矽1 1 2 口定理证毕 + i 孵+ 1 1 2 p i ( i 嵋1 2 + i 噬1 2 + i 嵋1 2 ) + 三p 吖+ 三 p 一碱1 2 十i 哆1 1 2 + i 疗m i ) 仃z r 。乏t g r + 三) + e r + 三 4 3 本章小结 蚶i ) 州( i 帕i 肌i 咖妒+ 1 ) 矿f 0 一i ) 州( 1 u o l 2 + i 理1 2 + l u o l 2 ) + 0 挈+ p ) ( 1 一p 一学7 ) 本章分别对e u l e r 隐格式( 3 2 ) 和c r a n k - n i c o l s o n 格式( 3 6 ) 的解做不依赖于时 间的先验估计 一1 2 一 、， r h ! 一 p+ t ： 一 p+l 糟 ，l、， 丁一2 + r p 丁一2 ，l + 、j 2 逑 + 2 迓 十 2 研 ，l + 斤 ) t 一 一 0 ，使得 ( i 嵋1 2 + i 碹1 2 + i 嵋1 2 ) c ， ( i 研1 2 + i 趁1 2 + l 醒| 2 ) r ( i 砑1 2 + i 磁1 2 + i 霹1 2 ) c ( 固， 刀0 设( ，w n ) = ( 嵋一研，嵋一霹，嵋一霹) ，则( ，v n ，w n ) 满足方程组 i d n + ! u n t 1 一惕 t w 肿l 一 丁 = 一u n + l 一砒+ 1 ( 噬+ 1 + 缆+ 1 ) 一帆+ l ( 磁+ 1 + 霹) ， 1 7 = 0 ，1 ，2 ， = 一v n + l + 6 甜r 1 蟛r 1 6 研+ 1 矽1 ， 刀= 0 ，l ，2 ， = 一w 胂l + 肺1 一畔1 吼 = 0 ，1 2 一 将( 5 1 ) 第一式两端同乘以l ，得 z 岛+ l u n 了 i d n + l = 一瑗+ l 一l l ( 矽1 + 矽1 ) 一6 l w n + l ( 垮1 + 秽1 ) ， 将( 5 1 ) 第二式两端同乘以l ，得 v n + l h 丁 v n + l = ：一噍， 将( 5 1 ) 第三式两端同乘以1 ，得 w n + l 一 f 将上面三个等式相加得 由引理2 1 ，得 u n + l u n + 弧+ 1 矿1 1 一砜+ l 矿1 矽1 ， w 州= 一哌1 + 8 w , + l 圻+ 1 嵋一跏肿l 矿1 霹制， z k + l + y n + l 一 + 1 +w n + l 一l ( 5 1 ) 丁丁丁 = 一瑗+ l 一砜+ l v 肿1 ( 1 + 才1 ) 一l l ( 1 + 虿1 ) 一矗l + 矾+ 】矿1 矽1 一】矿1 矽1 一记+ l + 砜1 矿1 1 一阮+ 1 矿1 矿1 ( 5 2 ) 主( + ，一z ) ( z “t 一蝴) 翰+ ， 一1 3 黑龙江大学硕士学位论文 1 _ 三( 砖+ 。一7 i ：) ( v 肿，一) v 杆， 三( 哌，一记) 似+ 1 - - w n h 。 将上面三个不等式均代入( 5 2 ) 式，然后整理得 圭( 企n + l - - 瑗) + 三( 记+ 。一1 j j ：) + 三( ，吒+ 。一记) 一丁厶l 一硒l l ( 1 + 趁“) 一i + l ( 1 + 妒1 ) 一+ l + 而嵋“1 v n + l 一而研+ 1 迓“+ 1 一r 记+ l + 百彳+ 1 1 w 肿l 一研1 殍1 w n + l = 一以。一以。一碱+ 。 + 耐1 v n + 1 碹一稻1 v n + l 矽1 + 而矿1 + l 妒1 一咧+ 1 1 秽1 = 一丁磊l 一1 噍l 一丁w 乙1 + 聊+ 1 噍l + 群1 ( 一1 ) h + l + 竹矿1 记+ 1 + 嘲“( 一1 ) l 一丁蟊l 一1 噍l 一丁w 基l + 丁司矿1i e + 。+ 噍。) + 萼l 秽1 l ( 蟊。+ 矗，) + 了r 6 l 谬1l ( 瑗+ ，+ 哌。) 由于l 砑i ，i 迓i ，i 霹i c = c 0 ) ，从而有 矗l + 噍l + 靠1 ( 1 3 c z ) - 1 ( 瑗+ 记+ 记) ，刀= 0 ，1 ，2 ， 当丁丽1 时，有 靠1 + i ；：+ 1 + 靠l - o ，使得对于任意的r 满足盯sr 有 ( 研一研) 2 + ( 噬一逆) 2 + ( 嵋一霹) 2 p 6 c r ( ( 研一留) 2 + ( 迓一避) 2 + 0 2 一趁) 2 ) ，盯r 5 2e u l e r 隐格式解的收敛性 定理5 2 如果m i n e a 方程组的解l l i ( 力，u 2 ( t ) ，u 3 ( t ) c 2 ，助，胁隐格式p 矽的初 值u o ，碹，醒满足 似l ( 0 ) 一胡) 2 + ( 啦( o ) 一逻) 2 + ( 蚴( o ) 一迓) 2 = d p ) 那么e 砌隐格式伶矽的解嵋，噬，嵋与m i n e a 方程组的精确解u l ( t ) ，u 2 ( t ) ，u 3 ( t ) 之间 有如下的误差估计 ( l ( 岛) 一圻) 2 + ( 地( 岛) 一噬) 2 + ( 3 ( t n ) 一磁) 2 e 6 c r ( ( u l ( o ) 一研) 2 + ( 吃( o ) 一迓) 2 + ( 甜3 ( o ) 一醒) 2 ) + c 中， v 刀，盯t 其中c 是与丁无关的正的常数 证明设，w n ) = ( 铆( 岛) 一嵋，u 2 ( t 一) 一噬，u 3 ( t n ) 一w 3 ) ，那么，v n ，w 斗) 满足如 下方程组 其中硝( f = l ，2 ，3 ) 是e u l e r 隐格式( 3 2 ) 的局部截断误差 将( 5 3 ) 第一式两端同乘以l ，得 z 岛+ l 一 丁 n = 0 ，l ， ( 5 3 ) u n + 1 = 一靠1 6 l l 心( “1 ) + 矽1 ) 一砜十l l 沁( “1 ) + 秽1 ) + l 硝1 ， 将( 5 3 ) 第二式两端同乘以l ，得 1 k + l 一 丁 v n + l = 一噍l + 阮+ l 甜l ( “l ( f 斛1 ) 一1 矿1 碹+ 1 + v 肘l 将( 5 3 ) 第三式两端同乘以w n + 1 ，得 ，1 一 f w n + l = 一w i l + 6 + l 甜1 ( 厶+ 1 ) 甜3 ( k 1 ) 一6 w n + 1 研+ 1 1 + w n + l r 譬1 将上面三个等式相加得 a n + 1 - - z n + l + v n + l - - p nb + l + 坠生苎w 斛1z k + l + v ，l + l + w 斛1 1 丁1 - = 一巧0 l 一嵋+ l w 2 + l + 6 z ，r 1 + l 地( 岛+ 1 ) 一妇1 ( 岛+ 1 ) + l 矽1 + 聊+ 1 w 肿l u 3 ( t 。+ 1 ) 一5 u l ( k 1 ) w 肿1 1 + l l n + l 硝1 + + l 群】+ w n + l 霹】 ( 5 4 ) 一1 5 一 、， l l舶扎 肛 刀 卜 刀 瓴司”磅蝴职僻眠 一 叶卜矿阱 一 万 一 可卜 ) h，、：羹 州 州 k “ 州t 茔 “ k 薹虹丁 黑龙江大学硕士学位论文 由引理2 1 ，得 三( 磙，一瑗) ( 。一) + 。， 三( 噍。一记) ( 。一h ) ， 三圹记) 。一w n ) w n + 。 将上面三个不等式均代入( 5 4 ) 式，然后整理得 昙( 磙，一确+ 昙心+ 。一) + 丢+ ，一h j i ：) 一下靠l 一一+ l 一叫+ l + 聊1 v 肿1 地( f 胂1 ) 一z 6 u l 1 ) l 矽1 + 而矿1 w “1 甜3 ( f 肿1 ) - r 6 u 1 ( t + 1 ) w 肿1 矿1 + “蝴+ l 硝1 + l 聊十w n + l 硝1 ) = 一碱+ l 一吒+ l n 噍1 + r 6 u l ( 岛+ 1 ) e + l r 6 u 2 ( t 十1 ) 2 “1 l + r a u j ( t , 件o w 2 , , + l 一砒( k 1 ) + 1 w 一+ 1 + f ( + 1 硝1 + 峙件l 尺乎1 + l 尺譬1 ) 一1 z o l 一1 _ 噍。一r 吒+ l + 调”l ( k 1 ) l ( 记+ ，+ w 未。) + 要l z 红( 岛+ ，) l ( + l + 矗。) + 要f 阮( “1 ) i ( 磙l + 以+ 1 ) + “l 硝】+ v n + l 砰1 + w 肿1 群1 ) c h 靠l + v 1 1 + w 0 1 ) + c p 上式最后一个不等式用到了精确解的一致有界性和截断误差的估计l 硝l c r ( i = l ，2 ，3 ) 因此有 蟊l + 1 j 乙l + 靠l ( 1 3 c r ) 一1 ( 瑗+ 1 暑+ 记) + c r 3 ， 刀= 0 ，l ，2 ， 当1 南时 有 靠l + 噍l + z o l ( 1 3 c t ) 一1 ( 瑗+ v ：+ 谚) + c p s ( 1 + 6 c 丁) ( 瑗+ 砖+ 记) + c 丁3 s ( 1 + 6 c r ) 2 ( 瑗一l + v l l + w 1 1 ) + c 9 ( 1 + 6 c t ) 口定理证毕 - 0 ，使得 ( i 嵋1 2 + l 噬1 2 + l 赡1 2 ) c 僻) ，( 1 霹1 2 十i 述1 2 + i 蚝。1 2 j ! j c ， ”0 设( ，) = ( 砰一田，噬一霹，嵋一霹) ，则对于任意的栉0 ，( ，) 满足方程组 e 肿1 一e - 丁一三万【。i 堰+ 1 + p 一 囝2 + 。r - w ，1 中r - z 7 如，2