（应用数学专业论文）算子半群的一些理论及应用.pdf

摘要 b a n a c h 空间上的一个g 半群 t ( t ) ft o ) ，其生成元为a ，如果当t t o ( f 0 0 ) 时，它按一致算子拓扑连续，则称为最终范数连续半群特别如果 t 。= o ，则称为范数连续半群正如文f 1 所说，因为最终范数连续半群满足 谱决定增长阶假设，这是一个与线性动力系统有关的重要性质所以寻求 最终范数连续半群的特征一直是人们关注的课题1 9 8 3 年，p a z y 在文f 1 1 中指出“到目前还没有已知的通过算子a 或a 的预解式r ( a ，a ) 表达的充要 条件保证t ( t ) 当 0 时按一只算子拓扑连续”1 9 9 2 年，p y o u 2 】证明了在 h i l b m t 空间一个算子半群对t 0 范数连续的充要条件是其无穷小生成元 的预解式沿某垂直线趋于零1 9 9 6 年，b l a s c o 和m a l t i n e z 3 】给出了h i l b e l t 空间最终范数连续半群的一个特征他们证明了：设t ( t ) h 上的强连续算 子半群，满足f i t ( t ) l l m e ，4 为其无穷小生成元，则t ( t ) 对t t o 0 范 数连续的充要条件是存在c 0 使得_ ：而i i , ! l l “( z s ，4 川： t o ，e s p e c i a l l y ，i ft o = 0 ，t h i ss e m i g r o u pi sc a l l e dn o r mc o n t i n u o u s ，ab et h e i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro f 丁a ss h o w ni n 【1 a l le v e n t u a l l yn o r mc o n t i n u o u ss e m i g r o u ps a t i s f i e st h es p e c t r u md e t e r m i n e dg r o w t ha s s u m p t i o nw h i c hi sav e r yi m p o r t a n t p r o p e r t yc o n c e r n e dw i t ht h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s s e e t d n g c h a l a c t e r i z a t i o n so fe v e n t u a l l yn o r mc o n t i n u o u ss e m i g l o u p si sa uo l dp r o b l e i ns t u d i e d b b ri l i a n yr e s e a r c h e r s i n1 9 8 3 ，p a z ) 1i n 【1 】p o i n t e do u t “t h a ts of a rt h m ea r cn ok n o w u l l c c e s s a l 3 ra n ds u f f i ( ：i e n tc o n d i t i o n si nt e l 。1 no f 4o rt h er e s o l v e n tr ( a ， 4 ) ，w h i c ha s s u l e t h ee o n t i i u l i t 3 f o rt 0o ft ( t ) i nt i l eu n i f o tm o i ) a t o rt o p o l o g y ”i n1 9 9 2 ，py o ui n 【2 】s h o w e dt h a ti ms e , n i g l o u p si nh i l l ) e lts p a c e st h en o r n lc o n t i n u i t yf o rt 0 i se q u i v a l e n tt ot h ed e c a yt oz e r oo ft h er e s o h , e n to ft h e i l 。g e n e r a t o l sa l o n gs o n gi m a g i n a r 3 r a x i s i n1 9 9 6 ，b l a s c oa n dm a r t i n e zi n 【3 】d i s c u s s e dt h ep r o p e l t yo f n o l 。i t lc o n t i n u o u s s e m i g i o u po nb a n a c hs p a c ea n dp r o v e dt h ef o l l o w i n ga s s e r t i o ni nah i l b e its p a c el e t ab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fac os e m i g r o u pt ( t ) w i t h0t ( t ) j | m e “0 1 1 h i l b c lts p a c e ，t h e nt ( t ) i sn o r n lc o n t i n u o u sf o rt t o 0i fa n do n l yi t 。t h e iee x i t s c0s u c t tt h a t , l ；m 冗“( z s ，一1 ) l l j c ；v v , n b u tt h i sc o n d i t i o ni s n o t ，e a s i l y 十( c h e c k e di nb a n a c hs p a c e s ，1 n o l e m + ( lt h i sc h a r a c t e l i s t i cc o n d i t i o nh a sn o tb e e ns o l v e d ， t h e r e f o r e ，p e o p l ea r eg o i n go nr e s e a r c h i n gt i l ep r o p e r t yo fe v e n t u a l l yn o r r nc o n t i n u o l l s s e l n i g to u p st oo b t a i nl n o r ec o n c i s ec h a r a c t c l i nh i l b m ts p a c e sa n dh ie a kt h r o n g ht h i s p r o b l e mo ub a n a c hs p a c e s i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c es o m ef u n d a m e n t a lc o n c e p t i o n sa n dc o n c l u s i o n sa b o u t o p m a t o rs e m i g r o u pt h e o r yi nt h ef i r s ts e c t i o n i nt i l es e c o n ds e c t i o nw eg i v es o m e n e wc o n c l u s i o n sa b o u te v e n t u a l l yn o r mc o n t i n u o u ss e m i g r o u p s i nt h ef i n a ls e c t i o nw e h a v es o n i ca p p l i c a t i o n so fo p e r a t o rs e m i g lo u p st h e o r yt oi m p u l s i x i ee q u a t i o n ， k e yw o r d s ：c os e m i g r o u p ；e v e n t u a l l yn o l i nc o n t i n u o u ss e m i g r o u p ；g c n e r a t m s p e c t la ld i s t li b u t i o n ；i m p u l s i v ee q u a t i o n 引言 算子半群的发展历程大致可分为四个阶段初期的算子半群理论主要是围绕1 9 3 2 年证明的s t o n e 定理展开的1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 独立得到的生成定理是算子半 群发展史上的一个里程碑后来p h i l l i p s 和f e l l e r 等填补了h i l l e 遗留下来的许多空 白 1 9 5 7 年出版的h i l l e 和p h i l l i p s 的专著泛函分析与半群标志着算子半群理论 已基本形成 1 9 8 7 年a r e n d t 提出积分半群与d a v i e s 和p a n g 重提c 半群给算子半 群的发展赋予了新的生机 b a n a c h 空间上的有界算子半群理论是处理无穷为空问中算子方程的重要工具，它 在抽象分析及应用数学的各个方面有着重要的应用在解决方程问题在实践和理论上 的重要性，微分方程的初值问题又叫c a u c h y 问题，这一名称最早出现于jh a d a m a t d 在1 9 2 1 年所著的关于偏微分方程中的c a u c h y 问题一书相当广泛的一类数学物 理方程可归结为c a l m h y 问题它是偏微分方程理论中的主要问题之，有重要的理 论意义和应用价值到二十世纪四十年代末期eh i l l e ，1 2sp h i l l i p s 和ky o s i d a 等人 发展了算子半群的理论和方法并应用于抽象c a l m h y 问题的研究，有力地推进了微分 方程的现代理论和应用泛函分析的研究和方法 最终范数连续半群是算子半群理论中很一类很重要的半群，我们常见的紧半群， 可微半群，解析半群都是最终范数连续半群，因为最终范数连续半群满足谱决定增长 阶假设，这是一个与线性动力系统有关的重要性质所以寻求最终范数连续半群的特 征一直是人们关注的课题文f 4 1 讨论了h i l l m t 空问最终范数连续半群的一些特征条 件，给出最终范数连续半群无穷小生成元的一个谱分布的性质 m a r i ( i b l a k e 在f 5 1 中给出了h i l b e r t 空间一个半群成为最终范数连续半群的一个充分条件，这个 条件包含了无穷小生成元的一个谱分布性质给及预解式的一个增长阶条件本文继续 讨论最终范数连续半群的性质，并且有了一定的突破( 定理21 ，定理2 2 ，定理23 ) ， 这对算子半群理论的完善和发展有重要意义 对分布参数系统可控性理论的研究，主要采取两种方法进行；一是直接分析方法， 二是利用线性算子半群理论而利用线性算子半群理论研究捕象空间中微分方程描述 的系统的可控性，主要利用不动点定理目前，利用线性算子半群理论对抽象空间中 脉冲微分系统和脉冲时滞微分系统的可控性闷题进行研究，这方面的工作还很少，本 文就是利用算子半群理论对此类问题作了一些简单的工作，但这远远不够，所以能在 这方面做一些工作将有十分重要的意义 第一章绪论 1 1 基础知识 本章中，为了文章叙述清晰及证明的需要，我们做一些准备工作首先对文中经 常用到的一些概念加以说明 定义1 1 1 吵设x 是一个b a n a c h 空间，一个从x 到x 的单参数有界线性算子 族t ( 叱0 t 。，如果 ( i ) t ( o ) = ( 恒等算子) ； ( i i ) t ( t + s ) = t ( ) 丁( s ) ，t ，s o ； ( i i i ) f ! 丁( f ) z 一刈_ 0 ，当t 叶o + 和zex ，则称其为强连续算子半群，或简称 为g 半群 定义112 b a n a c h 空间x 上的有界线性算子半群t ( t ) ( 0 t o o ) 叫做一致 连续半群，如果。+ l i r a 。+ l i t ( t ) 一- r l l = 0 定理11 3 f “b a n a c h 空问上的有界线性算子半群t ( t ) ( o t 0 在x 上强可微，为此引进可微算子半群的概念 定义1l1 0 b a n a c l l 空问x 上半群f ( ) 叫做对t t o ( t o 0 ) 可做，如果 对每个1 ：x ，t t o ，t _ 丁l ( f ) z 是可微的t ( t ) 叫做可微，如果对每个_ ：x ，t 0 ，斗t ( t ) l ：是可微的， 定义1 ，ll l b a n a c h 空问x 上岛半群t ( t ) 叫做对t t o ( t o 0 ) 可微的，如 果对t = t o 它是右可微的，对t t o ，它就是可微的 定理1 1 1 2 设t ( t ) 是b a n a c h 空问x 上的一个g 半群且| ft ( t ) | | l l e w * , a 是其无穷小生成元，则下列命题等价： ( i ) 存在某个常数t o 0 ，使得t ( t ) 对t t o 可微， ( i i ) 存在实常数n ，b ，c ，使得b o ，c 0 ， p ( a ) = a ：r e k a b i n i m ai ) 且 i ir ( a ，a ) i i c i m ai ，a ，r e l 叫 定理1i1 3 “设 t ( t ) t o ) 是b a n a c h 空闻x 上的岛半群，a 是其无穷 小生成元，u = 醵( i nj | t ( t ) 忆则t ( ) 是可微半群当且仅当对每个b 0 存在实 常数和正常数g 使得 ，) ( 4 ) d = ( a ：r e l ( i b b l l l | i m ki ) b 4 算子半群的一些理论及应用 且 j in ( a ，a ) l j c oi m ai ，a n ，r e a w b 定理1 1 1 4 儿设 t ( 妁it 0 是b a n a c h 空间x 上的q 半群，a 是其无穷 小生成元，u 2 i n o f ( l n f | t ( ) i i ) ，如果对某个肛 “j ，有 j i ms u p ( i nl ri ) 1 1r ( 肛+ 打，4 ) | i = 0 r i + o o 则t ( t ) 是一个可微半群 定理1 5 “设f t ( t ) jt o ) 是b a n a c h 空间x 上的g 半群，爿是其无穷 小生成元，l lt ( t 刈m e “，如果存在常数c 0 和5 c 0 使得 1 t ( t ) ， f 2 一c t i n ，0 t o ( t 【1 0 ) 是紧算子半 群，如果对每个t t o , t ( t ) 是紧的；t ( t ) 被叫做紧算子半群，如果对t 0 ，t ( t ) 是 紧的 定理11 1 8 i ”设 t ( t ) t 0 ) 是b a n a c h 空问上的国半群，则t ( t ) 成为 紧半群的充要条件为： ( 1 ) t i t ) 关于t 0 在空问l ( x ) 中连续； ( 2 ) 存在某个a p ( 4 ) ，使得n ( a ，a ) 是紧算子 定理1 ，1 1 9 f 6 】一致连续半群t ( t ) 是紧半群的充要条件为存在某个a 矿( 4 ) ，使 得n ( a ，a ) 是紧算子 我们已经知道，紧算子的谱至多由可列个复数组成，并且除了零以外，不可能有 另外的聚点，特别紧算子的非零谱点必是特征值下面我们给出一个关于紧半群生成 元谱集结构的定理 第一章绪论 5 定理1 1 2 0 6 1 设算子 是紧半群丁( ) 0 0 ) 的生成元，则 ( 1 ) 唧( a ) = 口( a ) ； ( 2 ) a 的谱点至多由可列个复数组成，除了无穷点以外，不可能有其他聚点 ( 3 ) 对任何实数一o 。 p o o ，集合o ( a ) n ：a r e a 芦，至多含有a 的有限多个特征值 在许多具体问题中，常常要求某些c o 半群的定义域是复平面c 中包含非负实轴 的某个区域，这样的半群具有许多非常有用的性质所以引进一类新的也是最为有用 的g 半群，也就是我们将要介绍的解析半群 定义1 1 2 1 ，设_ x = 。：妒l a r g z 忱，妒】 0 0 ，口0 都有 盯+ 圳两c ； 存在0 口 0 ，使得 萨a i g al 0 ，使得 r 、 f | a t ( t ) 1 1 n a ，礼= 1 ，2 ，- ) 定理1 1 2 4 “设 t ( t ) it 0 是b a n a c h 空间x 上的c o 半群，a 是其无穷 小生成元，a d o = 燃n f ( i n lt ( t ) 则下面的命题等价： 6 算子半群的一些理论及应用 ( 1 ) t ( t ) 为解析半群； ( 2 ) 存在常数c 0 ，使得对每个a u ，7 7 0 有 均，帐鬲； ( 3 ) 存在0 t o 连续 定义1 12 7 设( t ( ) it o ) 是b a n a c h 空问x 上的岛半群，如果它在一致 算子拓扑下对t = t o ( 如0 ) 是右连续的，对t t o 是连续的，则称半群t ( t ) 在一致 算子拓扑下对t t o 连续 定义1 1 ，2 8 “b a n a c h 空间x 上的g 半群称为最终范数连续半群，如果当t t o ( t o 0 ) 时，它按一致算子拓扑连续特别，如果t o = 0 ，则称为范数连续半群 定理1 1 2 9 【1 】设 t ( ) j 0 ) 是b a n a c h 空间x 上的g ) 半群，a 是 其无穷小生成元，如果t ( t ) 在一致算子拓扑下对t o 连续，那么存在一个函数 妒： 0 ，o 。) 斗 0 ，o 。) 使得 p ( a ) c a ：a = o - + 仃，iri 妒( 1 口j ) ) 且对每个实数( 9 - 成立 盯1 1 + i m + 。l i r o + 。t ，a ) l j = 0 定理113 0 “，设 t ( t ) iz 0 ) 是h i l b e r t 空间x 上的g 半群，4 是其无穷小 生成元，且 。 1 i m 必! 圳 第一章绪论 则t ( t ) 在一致算子拓扑下对t t o ( t o 0 ) 连续当且仅当 s u p i l t ( t o ) r ( o o + 汀，a ) 。1 1 2d r o ( 0 = + 。) r ， l * i l = t i r l 口 7 定理1 1 3 1 设 7 1 ( t ) | t 0 ) 是h i l b e r t 空间x 上的c o 半群，a 是其无穷小 生成元，且 a 。骧业掣， 则丁( 幻在一致算子拓扑下对t t o ( t o 0 ) 连续当且仅当 厂， s u p | | e “r “( o o + i t ，a ) x d ti l _ o 江- + ) z ，i i z l l = l ，e o + j r i n 对n 1 和任意的d 0 定理ii3 2 n 设 t ( t ) ft 0 是hj i b e l t 空问x 上的c o 半群，4 是其无穷小 生成元，且 u l i r a 。挫嶝剑 - + + o o t 如果u l u ，t o 0 ，则t ( t ) 在一致算子拓扑下对t t o 连续( 即最终范数连续) 当且 仅当 l i 9 s u p i lt ( t o ) 只( u l + i t ，a ) zi 】2d t = 0 “_ + 。x c h 壮= 1 i l r o 1 2 预备结果 在本节中，我们给出些引理和定理，这些结果对于下章主要定理的证明是至关 重要的下面我们将要介绍一类非常重要的半群，即最终范数连续半群我们已经知 道的几类非常重要的半群紧半群，可微半群，解析半群都是最终范数连续半群尽管这 类半群的生成元的可能是无界的，但是它有一些非常好的性质例如谱映像定理成立， 所以对这类半群的研究是非常有意义的 定理l21 1 “( 谱映像定理) 设以下条件之一满足： ( a ) 存在t o 0 ，使得t ( t ) 在t = t o 处是范数连续的； ( b ) 存在t o o ，使得t ( t o ) 是紧算子或月( t ( 幻) ) cd ( a ) ； ( c ) t ( t ) 是范数连续的，或紧的，或可微的，或解析的，或一致连续的， 则下式成立： 口( 丁( ) ) 0 = e x p ( t 盯( a ) ) = e m ：a 盯( a ) ) ( t 0 ) 定理1 22 设( t ( t ) it 0 ) 是b a n a c h 空间x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元，则有 8 算子半群的一些理论及应用 ( a ) 任给t t o ( t o o ) ，t ( t ) 是紧算子咎t ( ) 是从( t o ，+ o 。) 到x 上是连续线性 算子，且r ( x ，a ) t ( t o ) 是紧的 ( b ) t ( t ) 是紧半群甘t ( t ) 是范数连续的，且n ( a ，a ) 是紧的 ( c ) ? ( ) 是从( t o ，+ 。) 到x 上是连续线往算子，且冗( ，a ) 是紧的，刚任给t t o ，t ( t ) 是紧算子 ( d ) 若x 是h i l b e r t 空间，则t ( t ) 是紧半群铮n ( x ，a ) 是紧的，且存在u “o ， 使得f | r ( w + i 7 ，a ) 斗o ( ri - - ) o 。) 其中w o ( a ) = i n f t o i nl ft ( t ) m 定理1 23 吼设p ( ) lt 0 是b a n a c h 空间x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元，那么对每个b r + 集合 a o ( a ) ：r e a 6 ) 是有界的 定理1 2 4 1 1 如果p p ( a ) 且ip a j jr ( p ，4 ) | | 0 ，t ( t o ) 是紧的，刚丁( ) ( z 钔是紧的且映射t _ 丁( t ) 在i t o ，+ ) 上是范数 连续的 定理1 2 j 设 t ( t ) t o 是h i l b e x e 空问x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元， 。 丽! 山! 剑i 。 t - + w ( x ) t 如果“l u 和t o 0 ，则下列论述等价： ( 1 ) t ( t ) 当t t o 时按一致算子拓扑连续，即最终范数连续； ( 2 ) 存在一个单调减函数曲：f 0 ，+ o 。) - r ，满足 p ( a ) d ( a c a = 口+ i r ，庐( ir1 ) o - 0 2 ) 齐 ) i l l l it ( t o ) r p + i r ，j 4 ) j f = o ，v 盯i 5 ( 7 _ ) ， l + + o a 其中，p ( a ) 是a 的预解集，r 是实数域，c 是复数域，n ( o + i t ，a ) 是a 的预解 式； ( 3 ) 1 i m| jr ( t o ) r ( u l + 打，a ) i f = o ； l r l p 第一章绪论 9 ( 4 ) 积分 e “7 r 时1 ( u 1 + i r ，a ) t ( t o ) d r 对某个整数凡0 和每个5 0 ，当t 6 ，+ o 。) 一致收敛； ( 5 ) l i m s u pl | t ( t o ) r ( u l4 - 打，a ) z | 1 2d t = 0 。_ 十。x e t t ，i z l l = lj1 t l 。 定理1 2 7 设f t ( t ) it 0 是h i l b e r t 空问x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元， 。 面刚型虬 u i u 和t o 0 ，则下列论述等价： ( 1 ) 当t t o 时，t ( t ) 是紧的； ( 2 ) r ( w 1 + 打，a ) t ( t o ) 紧且 1 i m | | t ( t o ) r ( w l + i t ，a ) i l = o ； ( 3 ) r ( w l + 帆。4 ) t ( t o ) 紧且上个定理的( 4 ) 成立 定理1 28 1 8 1 设 t ( t ) lt 0 ) 是h i l b e r t 空闻x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元，如果 “j o = l i mt _ 1h i1 | 7 1 ( ) 忆 r ，e a c o mr e a 是a 的实部，则a p ( a ) 且预解式r ( a ，_ ) 满足 几( a ，4 ) 。= e 一1 t ( t ) z d t ，z h 对z d ( a ) ，u 叫。和每个6 0 ，积分 t 。一：脚，删 对t 瓯i 1 1 一致收敛 定理l29 阻设 t ( t ) lt 0 ) 是h i l b e r t 空间x 上的最终范数连续半群，a 是 其无穷小生成元，且满足i it ( t ) j | m e 一，则下列论断是等价的： ( 1 ) 丁( t ) ( 0 ) 是最终范数连续的； ( 2 ) 存在c 0 ，使得 川婴。s u p 舻( 氇钏g ，任鳓n ( 3 ) 存在t o 0 ，使得 1 i m 生：o 一o 。摇 1 0 算子半群的一些理论及应用 其中 q n = 。l i ，m ， s u p ? m + 1 ) 11 ( r 蚪2 ( t s ，a ) z ，y ) id s 。+ o o 1 ，删lj l s l k 、 定理1 2 1 0 设 t ( t ) lt 0 ) 是h i l b e r t 空间x 上的g 半群，4 是其无穷小 生成元，则下列论断是等价的： ( 1 ) t ( t ) ( t 0 ) 是最终范数连续的； ( 2 ) 设岫为t ( t ) 的增长阶，则存在一个u u o 和一个自然数n 1 ，使得 ，j i m ir ( u + i s ，a ) “t ( t o ) i 卜0 ， l 引_ + 。 其中r ( a ，a ) 是a 的预解算予特别地，t ( t ) 对t t o 是范数连续的当且仅当 1 i 1 1 lj | r ( w + i s ，a ) t ( t o ) i = 0 ，对u u 【) i s l + o 。 p y o u 1 lj 指出在h i l b e r t 空间x 上一个以a 为生成元的指数稳定的c o 半群 丁( t ) 0 0 ) 关于t 0 范数连续等价于 。l i r a 。| r ( i ，1 4 ) l 卜0 在文f l 习中o m a re i m e n n a o u ia n dk l a u s je n g e l 把这个结果推广到任意的 b a n a a h 空问，记b = zee ：l l zi l = 1 ，曰+ = 妒x 4 ：i 妒= l 下面我们给出这 个结果 定理l2l l ，设( r ( z ) fz o 是b a n a c h 空间x 上的g 半群，4 是其无穷 小生成元，考虑下面的命题： ( a ) 丁( ) 关于t 0 是范数连续的； ( b ) ( 玎) z ，妒) 在( 0 ，0 0 ) 上是一致连续的，( z ，妒) b ； ( c ) ( 丁( ) z ，妒) 3 在( 0 ，0 0 ) 上是致连续的， ( z ，妒) b b + ； ( d ) 任给6 o ，j i m ( ( a r ( 入，a ) 一j d ) t ( 6 ) z ，妒) = 0 是一致的，( z ，妒) b b ； ( e ) 任给6 0 ，l i l n ( ( a 冗( a ，4 ) 一，d ) r ( d ) z ，妒) = o ； ( f ) 1 呻 r ( 砒a 洲= 0 ， 则有： ( n ) 静( b ) 甘( d ) 甘( e ) 号( c ) ( ，) 特别地，当x 是h i l b e r t 空间时， 上述命题都等价 第二章最终范数连续半群的一些性质 2 1 引言及主要结果 文4 中讨论了h i l b e r t 空间最终范数连续半群的一些特征条件，给出最终范数连 续半群无穷小生成元的一个谱分布的性质，m a r kk b l a k e 在【5 中给出了h i l b m t 空间一个半群成为最终范数连续半群的一个充分条件，这个条件包含了无穷小生成元 的一个谱分布性质给及预解式的一个增长阶条件，本文继续讨论最终范数连续半群的 性质，主要结论如下： 定理2 1 设 t ( ) lt 0 1 是b a n a c h 空间x 上的岛半群，a 是其无穷小生 成元，“o = 燃( i l l | | t ( t ) 忱若t ( ) 关于t “0 是最终范数连续的，则 ( 1 ) ：存在一个减函数妒：( 0 ，。) _ r 满足妒( m ) 叶一o o ( moo 。) 且 s = a cr e a 妒( 1i m aj ) ) p ( 4 ) ，其中p ( 。4 ) 为a 的预解集 ( 2 ) ： t ( 0 0 r ( o 十i r ，a ) f | - o ( | | rf i - + o o ) ，任给的o s 定理2 2 设 r ( ) it 0 是h i b e r t 空问h 上的g o 半群，a 是其无穷小生成 元，0 3 0 = ! n f ( i n | t ( t ) 忆如果存在n o n + 和n w 0 使得l ir ( a 十i r ，a ) “ol i 而- o ( frf - - ( 2 0 ) 成立，其中r ( n + 打，a ) 是4 的预解式，则t ( t ) 是最终范数连续的 定理2 3 设 t ( t ) it o ) 是b a n a c h 空间x 上的g 半群，a 是其无穷小生成 元，u o = j n ! ( h ii ，( f ) 协t ( t ) 关于 n 0 是最终范数连续的如果对于t o n 存在啪n + 和r e a = n 蛐使得s u p 删厝。t t l l - 1 e “t ( t ) z d tl 而：| jz | 1 - 0 ( fr - o 。) 成立( 其中i m a = r ) ，则有 露+ z - a ) ”。 而_ o ( | f 一( = o ) 为了证明上述定理我们需要一些引理 引理a 。】设x 是复b a n a c h 空间， 丁( t ) i t o 是g 半群，a 是其无穷小生 成元当t t 1 ( t i 0 ) 时是最终范数连续的，则对任意给定的a u o 和任给 0 ， 存在? j n 和7 - 0 0 ，当ltl 伯时，有1 1 月( n + z r ，a ) ”| l 吉e 引理b 设a 是b a n a c h 空间的一个线性算子，则对每个a o p ( a ) 和7 7 , 0 n ， 有 。 d i s t ( a o , a ( a ) ) 2 而赢丽而面万币 其中r ( r ( a o ，a ) ) 表示谱半径 引理c 嘲设 t ( t ) it o ) 是h i l b e r t 空间h 上的g 半群，a 是其无穷小生成 元，若存在女 0 ，口0 ，。 和一个减函数妒：( 0 ，) _ r ，当妒( m ) _ 一o 。( m - o 。) 使得s = a cr e a 妒( 1i m ai ) p ( a ) 而且当a s 和r e a a 时，有 矗( 盯+ 打- 1 a ) 盘c o 托c 1 ， 则t ( t 1 关于t 2 n 是最终范数连续的 1 2 2 2 主要结论的证明 算子半群的一些理论及应用 定理1 的证明 ( 1 ) 设a 5 d 0 取c o = i ir ( a + i 0 ，a ) 1 1 ，假设“ n o = 1 ，ni = 0 使得j r ( n + i t l ，4 ) n - | | 古 u 。 选择充分大的f l d 0 ，使得tj t ( t ) 在l t l ，+ o c ) 上是范数连续的 设u ( u o ，“) ，n ，1 ，且| | 丁( ) i i m e “记n = m 厝1c - a t d t ， 取z = m i ，t 号，j ir ( 。十i t ! a ) mi i 击) ，则存在n ： m a x 2 ，札， ，使成立 等 t 。使得对任意的r r 均成立 峙fp e 一分“砷川l m a x 2 ，lr 1f ) 使成立 圳1f 。，t 2t n - e t e “t ( f ) 圳 m a x 七，n 一l 1 i ，n a x k ，ln 一。i ) 满足 月( n + i ，a ) ”。l 瓦 靠( 4 ) 这样就得到一列( “) 单调递减趋于o ； 吼f ) 单调递增趋于+ ； 辄) 单调递增趋 于+ 且满足上式( 4 ) 第二章最终范数连续半群的一些性质 1 3 定义妒( | ri ) = a 一上r ，( | t ki 妒( i 丁j ) ，则a = 盯+ i 7 p ( a ) 设 q ，由丁( ) z 在t 0 的 连续性和基r ( ) z ：a t ( t ) x = t ( t ) a x ，z d ( a ) ，有 4 e c 一 ，f ( s ) 。d s = e 。a f o t ( - - a s t ( s ) z s = e 1 【丁( t ) e 一1 卫一丁( 。，ea c i ) z + a t ( s ) e 一1 5 z d s = ，1 ( t ) z 一丁( o ，) e 1 一“石+ a t ( s ) e 1 ( 8 ) x d s ，z d ( a ) 由t ( t ) 在t 0 时的连续性和丽= x 有 r ( a ，a ) ( e 1 。一丁( 一o o ) t ( a ) = 丁( s ) e 1 ( 一“d s 又因为l l 丁( ) | | m e “所以 ( e o ( “) 一m e “( 。“) | | t ( a ) r ( a ，a ) lj e o ( 。i l e ( ) e 1 。( ”。) t ( s ) d si i ，n 当t o j i i l 一“_ _ u 时，e o ( 】一m e 。( l - - 。 0 ，有 ，0 i it ( t o ) r ( a ，a ) 憾c i e 一( ) e 一( ”。) t ( s )