（计算数学专业论文）限制角图像重建算法的研究.pdf

北京交通大学硕士学位论文 中文摘要 中文摘要 摘要：限制角图像重建问题涉及领域非常广泛，例如：无线天文学，电子显微学等 领域。这个问题主要是对r a d o n 变换 ， r ，( p ，口) = m c 0 8 p s 咖口，p s i n 口+ s c o s 口) d s j 一 中的角p ，o 口如 r 展开讨论。文中所讨论的问题是将限制角问题转化为带 限函数问题，并由卷积反投影给出了限制角图像重建的迭代算法，通过数值模拟， 验证了其较好的重建效果。 所谓带限信号( 即带限函数) 是指，一个信号若不含有高于某一频率以上的 频率成分时，则称之为频谱有限信号或带限信号。它是经常遇到的一种信号，带 限信号外推在光学信号处理、谱估计等领域都有广泛的应用，是不完全数据重建 中的重要部分。 文中主要对带限函数的外推展开讨论，首先对经典的g e r c b b e r 争p a p o u l i 8 算法 ( 以下简称g p 算法) 进行了推广，将函数，从一维情况推广到了n 维空间，并且时 间域b 由g p 算法中的对称区间，推广到时问域b 为任意有界区域，解决了g - p 算 法的局限性，借助泛函知识给出收敛性证明，并对一维情况进行了数值模拟，效果 很好。 关键词：带限函数外推；g e r 吐l b e r g - p a p o l l l i s 算法；限制角图像重建； r a d o n 变换 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t ：7 1 1 1 ep r o b l 锄o f 柚一e - l i i i l i t e di m a 罾er e o o 珊t r u c t i o ni 8f 缸瑚g i n g l l 氍! di n 棚骝w l l i 出i n c l u d e 瑚d i 0 鹄t r o n o m y ，e l e c t r o nm i c r o s c a p y 蛐d8 0 锄t h i s p m b l 哪m a i 】山rd i s 【嬲9 皓t h e 卸g l e 口，o 曼口s 如 t 时，( ) 的值为零。若在频域中以不 大于去的频域间隔对，( ) 的频谱f ( u ) 进行采样，则采样后的频谱f ( 等) 可以唯一 的表示f ( u ) 其重构公式为 荆= 妻f ( 等) 矧 2 2 带限信号的基本性质 带限信号是我们经常遇到的一种信号，在采样定理、离散傅氏变换、带限信号 外推以及各种数字信号处理中主要的对象就是带限信号，它也称为频谱有限信号。 本章主要讨论与带限函数有关的一些基本定义及带限信号的一些基本性质，以便 为后面的讨论及数值模拟打下基础。 北京交通大学硕士学位论文2 预备知识 2 2 1 口频谱有限连续信号的定义 定义2 2 l1 1 对，( t ) ，( 一o 。，o o ) ，若，( ) 如( 一，) ，而且其傅氏变换f p ) 满 足 f ( “，) = 0 ，i ui 盯 则，( t ) 称为盯频谱有限连续信号。 这里，( ) 岛( 一o o ，o o ) 是指，( ) ，t ( 一，o o ) 为能量有限，即 仁t ) 1 2 出 将全体盯频谱有限连续信号形成的空间记为巧，它是一个希尔伯特空间，是l 2 ( 一，o o ) 中的一个线性子空间，与l 2 ( 一盯，盯) 同构。 2 2 2口殒1 肴伺p 晟= 睦习1 青亏即1 王赝 性质 2 2 1 啊任何口频谱有限连续信号的傅氏变挟f ( u ) 在( 一口) 中是平方 可积的，而且也是绝对可积的 因为从定义可知 巾) = 去即尸由 由于，( ) l 2 ( 一o o ，o 。) ，又根据pa r j s e 、，a l 定理可知，f ( u ) 一定在( 一口，盯) 中是平方可 积的。即 去i f 川2 幽= 仁圳2 疵 定义巧的内积为 ， ( ，0 ) ，9 ( t ) ) = ，( t ) 9 ( t ) d t ，( t ) ，夕( ) l ； ，一 设，( ) 一f ) ，故f ( c ，) 如( 一口，盯) ，根据s d 掰a r t z 不等式，可有 i 由 【- 4i f ( 。) i 。训；【厂l 训l 【i f ( u ) 1 2 训；【l 训5 j 一口 j o ， = 【4 丌盯l ，( t ) 1 2d t 】 ，一 北京交通大学硕士学位论文2 预备知识 其中e = ，：i ，( ) 1 2d 为，( ) 的能量，因此可知f ( “，) 在( 一盯，口) 中为绝对可积的。 性质 2 2 2 m 设，( ) 留，( t ) + ，f ( u ) 令 化) = 去脚池幽 其中z 为复数，则，( z ) 在整个复平面上解析，即，( z ) 为整函数 由于，( z ) 在整个复平面上解析，故，( t ) 在( 一，o 。) 上连续。因为 i ，( t ) 1 2 出 a 1 儿 0 且 。嘎札2 o ( 2 ) 若将对应k 的特征函数记为机( t ) ，则机( t ) 具有以下的正交性： 仁蝴出= r ：荔 蝴出= 协：嚣。 ( 3 ) 机( t ) 奶，即 警+ 机( ) ：机( ) 耳t 、7 ( 4 ) 对任何，( t ) 呸j 有 ，( t ) = e 墨。机( t ) ，t ( 一o o ，o o ) 其中 鲰= ，( ) 饥( t ，4 ，一 故有 ， ，( t ) 1 1 2 = i ，( ) 1 2 疵= e 墨oio i1 2 ，一 ( 5 ) 对任何9 ( t ) 如( 一z d ，则在( 一z 刃中。9 ( t ) 可以展开为 9 ( t ) = ! ：嫠o k 机( t ) 疵，i ti t 北京交通大学硕士学位论文2 预备知识 其中 及有 k = 击仁卵川出 ，r l i9 ( ) o 三卵垒i9 ( t ) 1 2 出= e 墨o a 磋 j r 通常，称 机( t ) ) 为长球函数，简写为p s f 。它是巧，如( 一t ，丁) 的完备正交系。 2 3 2 二维情况 已知积分方程 a ( z ) = b ( 。一) ( 鲈) d 掣，兄( 2 3 1 ) j 丘 其中，z = ( z l ，z 2 ) ，耖= ，抛) ，冗，s 为有界域。 缸。一们= ( 2 ，r ) 以z e * ( 州出 我们可以将( 2 3 1 ) 式右侧推广到特征函数的定义域正岛 定义 ( $ ) = ；上b 。一们毋( 可) 白，易 厶也( z ) 再( 功= 去上如上咖a ( z ) 瓦( 鲈) 厶出b ( z 一。) 瓦。一) 由( 2 3 2 ) 式，根据尸h r s e 们耐定理，得出 厶西。一$ ) 磁。一们如2 石番上妇一州”们= 西扛一i )j 岛 、“，j s 所以 厶也( $ ) 瓦( z ) = 六上如也( z ) 上西b p 一秒) 乃( 耖) 2 竞上也( z ) 乃( z 所以由冠上a 的正交性可以得出也在屁上也是正交的所以也是推广的长球波 函数。 我们用机表示( 2 3 1 ) 的特征函数，a k 表示其对应的特征值，由参考文献【8 】知， k o ，使对一切石x 都有 i i2 k i l 2 g0z i i l 则称t 是有界的。如上的晓下确界称为t 的范数，记作0ti i ，显然， i i t0 = s u pi i7 k 2 1 l 酬l l = 1 记全体从x 到y 的有界线性算子为乡( x ) 。 1 0 北京交通大学硕士学位论文 2 预备知识 使 对每一个从皿到飓的有界线性算子t ，总存在一个从仍到玩的有界线性算子p ， 孔z ，! ，) = ( z ，r ) ，垤皿，p 仍 成立。 定义2 5 3 【1 0 】自伴算子 设丁p ( 日) ，若p = t ，则称t 为自伴算子( 或自共轭算子) 定理2 5 4 1 1 0 l 设x ，y 都是线性赋范空间，r 是从x 到y 的线性算子。则下述条件 等价 ( 1 y r 往x 寺案羔连缑； 2 疆拉x 奇甄南氯连续； ( 3 是赢界讷 定理2 5 5 【1 0 l 触啪缁不等式，对内积空间x 中任意两个向量z ，”，都有 l ( z ，! ，) i l iz0 l i 暑，0 定理2 5 6 【1 0 】 如果丁2 ( 日) ，则丁是自伴的 争( 死，z ) ，z ，恒为实数即 ( n ，功= ( 写，n ) = ( 乳，功 定理2 5 7 【1 1 】觑m & ，l 棚出定理 设a 是历舭疗空间日上的自共轭紧算子i 财存在对应于特征值 k ) ( k o ) 的 特征向量构成的标准正交系 e ，1 ) ，使得每一个元z 日可唯一的表示为 z = 蛳e - + 磊 七 其中磊( a ) ，即满足月矗= 以目时 出= a 胁e 女 七 并且如果k ) 是无穷的，则 ，熙k = o 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 3 1 引言 3 一类带限函数的外推算法及应用 带限信号外推问题是一个经典的信号恢复问题。设r ( t ) l 2 ( r ) 是信号函 数，f = 莎( ，) 是它的f o u r i e r 变换，如果f ) = o ，症月，其中 为有界区间，则 称，( t ) 是带限信号函数( 以下简称带限函数) 。经典的带限信号外推问题是：由信 号，( t ) 在给定区间b 上的值，重建信号，( z ) 在整个( 一，o o ) 上的值。许多学者对带 限函数外推进行了研究，如经典的g e r c h b e r g - p 印o u l i s ( 以下简称g p ) 算法1 1 2 l ，g p 算法改进1 1 3 】【1 q 等文章。带限信号外推问题有着广泛的应用，例如，在信号恢 复、雷达信号合成和雷达天线设计等领域，特别是限制角图象重建问题，由投影 切片定理，它可以转化为二维带限信号外推问题。 假设函数图像，( z ) 具有紧支集，即s u p p ，( z ) = 缸i | zi r ) ，这里，( z ) 驴( 砰) ，o = ( z 1 ，z 2 ) 图象重建是由图象函数，沿投影直线l ：p = z 1c o s p + 沈s i n 口上的投影值，即，的r a d o n 变换，兄，( p ，目) 在q = ( p ，口) i | pi s 冗，o 扩”) 的值重建图象函数，。限制角图象重建是由肜扫，护) 在f b = 扣，口) i f pi r ，0 口如丌) 的值重建图像函数，这个问题是由于工业c t 在 某些角度上无法采集到投影数据，从而导致投影角度覆盖范围小于1 8 0 度，即图 像函数，( z ) 的r a d o n 变换r ，( p ，p ) 仅在区域q o 上已知；或者医学图象重建为了减 少x 射线对病人的辐射，而只将x 射线辐射到病变的区域部分，而重建图像函数。 由投影切片定理，只r ，( ，口) = 易，( 弛，) 其中r 是相对于变量p 对r ，( n 口) 做一 维f o i l r i e r 变换，u = ( c o s p ，s i n p ) ，兄，是对，做二维f o u 胁变换。如果，具有紧支集， 则屁，( 洲) 是解析函数【6 】，所以尼，( 乳j ) 可由d = kif = 乳，u = ( c o s 口，s i n 口) ， 一o 。 口 o 。，osp 如 丌) 上的值唯一确定。而由尼，( 口u ) 在d 上的值 求兄，( ，) 在冗2 上的值可归结为二维带限函数的外推问题。无论是理论还是实际 应用，对带限函数问题的研究，都很有必要。 本文研究的主要内容是：1 ) 对经典的g - p 算法进行了外推，推广到n 维空间，并 且竹维函数，的时域b 为任意有界区域，解决了g p 算法局限性，借助泛函知识给出 收敛性证明，并对一维情况进行了数值模拟，效果很好；2 ) 对于限制角问题我们将 其转化为二维带限函数问题，并给出了限制角重建的迭代算法及数值模拟，显示 了很好的重建效果。 3 2 g e r d l b e r g - p a p o u l i 8 迭代算法简介 已知带限函数。= 片c d ，c 巩其中斥c d = ：；求，c 吼t ( 一o o ，+ ) 【“ 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 迭代过程 ，t g ( u ) = g 0 ( “，) = g ( t ) e 一“以， 9 ( d = 卯( ) j t r c u ，= 瓯一“，b ，b c u ，= i “，i 矿 ， 厶( t ) = 瓯一1 ( u ) e “幽 j d 鲰【) = ，n ( t ) + i ，( ) 一厶( ) 1 昂( ) = g ( t ) + 1 1 一日( t ) 】厶( t ) f rf 口 r p ) = r 一- p ) + e m 【夕( ) 一e “r l ) 驯d t ) b ( u ) j r j 一， 口f d = r l ) + b ( u ) 上re 一b ( o 一上，e 诎r l ( u ) d 胡出( r ( = o ) 肌) = 枷) + 【咖) 篇等打一抽等等叫 3 3 扎维带限函数外推的迭代算法 对于，( z ) ，z = ( z 1 ，现，) 舻，若，( z ) 三2 ( 舻) ，而且其傅氏变换f ( f ) = k ，( g ) e 一。如，= ( l ，如，矗) 满足f ( ) = o ， 压a ，其中 为频域上的有界 域，则称，( z ) 是礼维带限函数用【8 】由满足t 述条件的带限函数构成的空间记为l 盖( j p ) ， 则有若莎是f o i l r i 盯变换莎( ，) = f ( o ，则莎( 碍( 舻) ) = 驴( a ) 。 设已知磁带限函数夕( 加嘶= 髫；其中一m ，) 彤，b 为有界可测区域，如( z ) = 髫；，求，( 功，z 舻 我们给出迭代过程如下： g ( f ) = i 岛( f ) = 9 ( z ) e 缸如， 9 ( 霉) = 9 0 ( 功 删= 钆c o ，眯，= r 箸； 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 于是 ，n ( ) = 击z 瓯- 1 ( 伽协武 ( 3 3 1 ) 如( 功= 厶( z ) + 【，( z ) 一厶( z ) 】岛( 刁= g ( z ) + 【l 只，( z ) 】厶( z )( 3 3 2 ) 由( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 得 厶( z ) = 厶一1 ( ) + 【g ( ) b 0 一掣) 由一厶一t ( y ) b ( z 一! ，) d 引 j 8j b = 厶一l ( z ) + 口0 一厶一1 ) 】( z )( 3 3 3 ) 其中丁：职( ，p ) 碍( 足) 是以七b 扛一f ) = 赤厶一。扛一计如为核的积分算 子1 8 】任何，( z ) 瑗( 舻) ， ( r ，) ( z ) = ，( ! ，) 口( z y ) 咖 ( 3 3 4 ) 对( 3 3 4 ) 式两边作f o u r i e r 变换得 ( 于f ) ( f ) = f ( f 7 ) k 代一f ) 彰 其中 一f ) = 厶e 。悸一 ) 。如酽( a ) ，于是对( 3 3 3 ) 式两边作f o u r i e r 变换得 r ( ) = r 一。( ) + 【e 一g ( z ) 一护。f r l ( f ) 武】如) r ( f ) j bj a = r 一1 ( f ) + f _ ( f ) 【e 一“9 ( 功一e “r l ( f ) 武】如 j 8j a = r 一。健) + 卵g 馐y r l ( f ) 】( 晶( 0 = o )( 3 3 5 ) ( 3 3 5 ) 式是( 3 3 3 ) 式的频域迭代公式。 首先我们给出下面的定理，然后证明上述迭代格式的收敛性。 定理3 3 1 设霞驴) 一工2 ( a ) 上的算子，满足对任意f ( f ) 驴( 月) ，( 行) ( ) = 厶k 健一f ) f ( ) 武。则算子馊紧的，正定的，有界自伴线性算子，且于的特征 值a 满足0 。j aj b 所以于是正定的 又因为于为线性算子，f ( f ) l 2 ( a ) ，显然k 任一f ) l 2 ( 月) ，所以于是有界的， 所以于必存在共轭算子争。又因为( 于只f ) o 为实数1 1 0 1 ，所以于= 争即于是自伴 的1 1 0 】。 由上面的证明我们知道于为正定的，所以其特征值都大于o ，又因为于非零，我 们知道a 0 t 因为 、( tf j t f ) = 0 t f i i = 【，| ( 于f ) ( ) 1 2 蜓】 j = 【上i z 嬉一f ) f ( o 武71 2 蚓 = 眨l z 上e 哳6 如f ( 幻1 2 蚓 = 【上i 上，( 茁) e 砘如1 2 蚓 ( zl 上似川2 耐x 旺i 上e 砘州矧 = 0 ，( 功l l = 0f ( f ) = 、丽 所以0 于0 1 ，所以于的特征值a ，满足o a l 沁 k o ，则两应k 的特征子空间地是有限维的，设j l 靠的标准正交基为，饥2 ， ，则 工2 ( a ) = k e r 予o o 篷，1 北京交通大学硕士学位论文 3 一类带限函数的外推算法及应用 其中。表示正交直和【“我们知道于正定，所以e r 于= o ) ，即 驴( ) = o 芒l 帆 由前面碍( 彤) 的定义可知，碍( 酽) = 莎_ 1 ( 驴( ) ) ，于是有 碍( 舻) = o 嫠，仉 其中q k = 莎- 1 ( 靠) 是t 的对应札的特征子空间，它是有限维的，则q 的标准正交 基为仇。( z ) = 穸- 1 ( ) ( z ) ， = l ，n 3 3 2 迭代算法的收敛性证明 下面在碍( j p ) 里对函数，进行讨论。为了证明迭代算法的收敛性，设，( z ) 碍( 舻) ，则 n k m ) = 讥t ( z ) ( 3 3 6 ) 定理3 3 2 函数，( z ) 的第礼步迭代由下式给出： n 厶( 刁= m ) 一c h ( 1 一k ) “妒h ( z ) ( 3 3 7 ) 七= 0 l = l 证明：首先，假定，( z ) = 銎l 掣慨( 功，下面将由归纳法来证明 n 厶( z ) = a 。( z ) ( 3 3 8 ) = 1 其中a 。= 1 一( 1 一a k ) 忭 显而易见。上式对于n = l 的情况是正确的。不妨假设当n 1 时等式同样成 立。那么，从鲰( z ) 的构造式可知 n kn t 如( 功= a 讥( 。) + ( 1 一a 。) 慨( z ) 岛( z ) t = 1t = 1 把它代入式子 厶( z ) = 9 h 一1 ( z ) 幸j b ( z 一暑) 可以得到 t礓tu 厶+ t ( z ) = 慨( z ) + ( 1 一a ) k 饥( z ) 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 所以 其中 月”+ l = a 。+ ( 1 一a 。) k ，n l 用初始条件a l = k 解决这个递归等式。就可以得到( 3 3 8 ) 式，应用( 3 3 8 ) 式 到( 3 3 6 ) 式的每一项，我们可以推出( 3 3 7 ) 式，证毕。 因为 n o 厶( z ) 一他) l | = | | c h ( 1 一k ) 4 饥( ) o i = 0 t = 1 且1 a o a 1 a 2 k o 。所以当n o 。时，( 1 一k p 0 ，所 以厶( z ) ，( z ) 所以迭代算法是收敛的 3 3 3 数值试验 在前面我们证明了n 维情况下带限函数迭代算法是严格收敛的，b 是任意有界 区域；又证明了限制角问题可以转化为二维带限函数外推问题，岛是任意有界区 域；而g e r c h b e r 分p 印o l l l i 8 迭代算法只是这种迭代算法的特例( 一维对称区间) 。我 们对一维情况进行了数值实验1 1 6 】，证明收敛效果非常好。 图1 图2 图1 的实验函数为，( t ) = 堕挚，t ( 一o 1 5 丌，o 1 5 丌) ，盯= 1 ，从下到上依次表 示n = 4 ，6 ，8 ，1 0 ，时迭代函数的图像及原函数的图像。从图中我们可以看到，随 着n 的增加，迭代函数越来越接近原函数。 1 7 z 忱 m m + ” a = z +厶 北京交通大学硕士学位论文 3 一类带限函数的外推算法及应用 图2 的实验函数为，( t ) = 堕擎，t ( 一2 r ，一1 5 丌) u ( 1 5 r ，2 7 r ) ，盯= 1 ，从下到上 依次表示n = 4 ，1 4 ，2 4 ，3 4 ，4 4 ，5 4 ，6 4 ，7 4 时迭代函数的图像及原函数的图像。从图中 我们可以看到，随着n 的增加，迭代函数也是越来越接近原函数，但较图1 收敛速 度慢，这主要是由特征值引起的。 3 4 限制角图像重建 3 4 1 限制角图像重建简介 对于二维情况我们也可以转化限制角图像重建问题。 假设，( z ) 己2 ( r 2 ) 有紧支集，这里z = ( z 1 ，物) ， ， 兄，妇，口) 一，p c p s8 i n 口，p s i i l 口+ s c 0 8 口) d s j 一 完全数据重建是由r ，p ，口) ，在q = 扣，口) l o o p o o ，o p 兄时，r ，仞，口) 兰o 。 因此，对于s “卯，c 不完全数据重建问题是由r ，( 弘口) 在= 加，口) i 一兄 p 冠o 口如 ，r ) 上的值反演，限制角重建问题是由r ，扫，口) 在= 0 ，口) l r p 兄，0 口岛 r ) 上的值反演，由投影切片定理1 6 】，我们知道 凡兄，口) = 尼，( 叫) 这里u = ( c o s 口，s i n 口) ，r 是相对于变量硝r ，( 弘p ) 做一维f o t 一e r 变换易，是 对，做二维f d u r 拒r 变换，即 厂”r ，加，p ) e 一 枷咖：! ，( 钆匏) e 一渤，u 如r ，加，p ) e 一娜9 咖= ，( 钆匏) e 一渤如 j 一j 碑 令b = ( 6 ，矗) | j 已l 口l6f ，a 确定f ，则一t 锄一1 口口st 锄一1 口，岛= t a n - 1o ，或n = t 龃如当s 印cb 时，即，具有紧支集时，则咒，是解析函数。所 以巴，由兄，在b 上的值唯一确定，即，由r ，在上的值唯一确定，设b ，i9 则 方程对 x b f f = g x a | = 的解是唯一的。其中x 口，x a 分别是b 和a 的特征函数上述两个方程可以等为 x b f x a ，= g 令e = x 口暇 ，则我们有 e ，= g 北京交通大学硕士学位论文 3 一类带限函数的外推算法及应用 设驴是e 的伴随算子，则驴e 是自伴，正定的算子考虑算子a f 月，它是称为有限p o w l e r 变换 ( a p a ) 2 = a ( ，h f ) a 令留= f 一1 b f 则p e = a 留a 现在考虑方程 e l g 给出它的l 岫6 e r 迭代 由于 f l = b f l + u b 、f f 则 ，= f 一1 b f ，+ f _ 1 ( f b ) f ， 由于，= a ，则 ，= f 一1 b f ，+ f 一1 ( ，一b ) f a ，= 5 秽，+ ( ，一l 矽) a ， 所以l 帆缸6 e r 遥代为 | 。= | 。i 午国i 一霸a | 。1 ；净厶= 厶一1 + ，l a 留a 厶一l 3 4 2 限制角图像重建问厦转化为二维带限函数外推问题 假设，( 甸l 2 ( 序) 有紧支集，其中z = ( z l ，z 2 ) ，即s u p p ，( z ) = 扛l i 茁l r ) 。 考虑直线l ：p = z i c 0 8 口+ z 2 s i n 口，其中p 为原点到直线l 的距离，口为l 的法线与轴 的交角。p ，口为直线的位置参数则，( z ) 沿l 的r a d o n 变换为 ，” r ，白，p ) = f ，( p o 口一s 8 i n 口，p 8 i l l 口+ s c o s p ) d s j 一 完全数据重建是由可( p ，口) ，在n = 0 ，i o o p o o ，os 护 霄 上反 演，( z ) 限制角重建问题是由兄，( p ，口) 在= ( p ，l r p 兄，o 口 口) 上的值反演，事实上，如果s u p p ，ca = 忙i lzl r 时，r ，( p ，三o 因此，对于跚p p ，ca 不完全数据重建问题是 由只，扫，口) 在= 加，口) i r p r ，o p 如 丌) 上的值反演，由投影切 片定理【6 】，我们知道 五彤( 叽= 尼，( 乳，) 其中u ；( c 佣口，s i n ，f 1 是相对于变量p 对冗，扫，p ) 做一维f b l l r i 既变换f 2 ，是，的 二维f 0 u 衄变换，即 厂”r ，( p ，口) e 一记- ”咖；! ，( z ) e 一踟一u 如 r ，( p ，口) e 一记”咖一，( z ) e 一踟“如 j 一 j 静 1 9 北京交通大学硕士学位论文 3 一类带限函数的外推算法及应用 令b = ( 6 ，6 ) i i 已i oi6i ，n 确定) ，贝u t 雏- 1 n 口t a n 一1 n ，= t n - 1 口，或n = t a n 当鲫p p ，ca 时，即，具有紧支集时，则最，是解析函数嘲。 取且= 代if b ，ifi o 所以f 2 ，由易，在局上的值唯一 确定现在限制角问题归结为下列类似的二维带限函数外推问题。设，_ ，尸8 、分别 是月和b ，的特征函数已知f 镜尼，兰g ，求出尼，所以对于，我们给出迭代格式 ，一 厶( 卫) = 厶一1 ( z ) + 【e 4 f ( f ) 一e 一4 厶一t ( 甸叫武) j ( z ) = 厶一t ( z ) + p ( z ) 厶。f ( f ) 出一只( z ) 上。e 4 出( 上e 一一。厶- l ( z ) )j b l jb 1 j a = 厶一1 ( 霉) + 亍( 一厶一，) ( z ) 其中，0 ( ) = o ，f ( f ) = b ( 乱，) ，亍是以后( z 一! ，) = ，b 。e 2 “( 4 一计为核的积分算子 这种迭代算法的收敛性证明与第二部分的迭代算法的收敛性证明一样，只要 将f 0 l l r i e r 变换改为逆f o i i r i e r 变换，f 与茹互换即可。这是因为在第二部分中，讨论 的问题是在时间域已知的情况下对带限函数外推，而本节讨论的是在频域已知的 条件下，对带限函数外推。所以限制角问题可以归结为二维带限函数外推问题。 3 4 3 卷积反投影方法 由于此种算法会出现累积误差及小角度等问题，所以我们进行了改进，改用 卷积反投影方法1 1 7 】。 设，( z ) 是二元紧支集函数，z = ( z l ，现) ，即s u 卯，( 茁) = 卫i | 善i r ) 。 限制角重建问题是已知月，0 ，口) 在 n o = ( p ，口) i r p r ，l 口i 如) 上的值反演，( z ) ，由投影切片定理，我们知道 易，( 盯u ) = 只r ，p ， 其中r 是相对于径向变量p 对r ，( p ，p ) 傲一维f d t “e r 变换，如果，是紧支集 函数，则最，( 口u ) 是二维带限函数，类似地，我们给出类似的迭代格式 部”糌：谢吲硼s m ，n + l = t 厶+ ，o 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 其中知= 巧1 i f l p r 门，我们知道，有卷积反投影算法，如果令9 p ，口) = p r ，( p ，p ) ，则 舯，：去r 枷仁端咖 = 嘉卜筹咖 = p 嘉p 鬻却 = 去产磬咖 如果令9 l ( p ，p ) = ( 1 一p ) 置，( 弘口) ，则 t ，o = 巧1 日【( 1 一力硼 = 嘉p 鬻咖 邓一磅z 。够鬻咖 = 去乙如瑚鬻却 由卷积反投影算法知： 舯) 去l 甜俐舡一施 其中口；2 口。巳扣) 。0 b ( 2 霄p l ，) 如， 是一个比较大的确定的常数，n ( 口) 是真 有带宽为以的窗。 而 刍石印断棚北啪( z “，一力妇 h = t 铽七铽 所以依次类推，可以得到 厶+ 1 = ? 厶+ 矗 2 l 北京交通大学硕士学位论文3 一类带限函数的外推算法及应用 3 4 4 数值试验 图3 图5 图4 图3 为测试图像s h e p p _ 如的大脑图，利用图像处理工具箱的p h a n t o m 函数 可以产生数据。s h e p p - i g 姐的大脑图反映了真实世界中人类大脑的很多性质。 图像中外部的椭圆形是头骨，内部的椭圆是大脑的内部特征或者是肿瘤。图4 ， 图5 ，图6 分别为如= 1 3 5 。，= 1 7 0 0 ，8 d = 1 7 8 0 ，迭代次数n = 3 ，我们可以发现 当如= 1 3 5 。时，重建的图像效果最差，因为它用来重建图像的投影数据最少。 当岛= 1 7 0 。时，重建的图像效果较好。当如= 1 7 驴时，重建的图像效果最好。 从图中可以看出，由于当= 1 3 5 。时，重建图像投影太少，导致图像有许多虚假 点，为了避免这种情况，可以增加重建图像的投影数据的数目。 北京交通大学硕士学位论文4 结束语 4 结束语 限制角图像重建问题涉及领域非常广泛，例如：无线天文学，电子显微学等领 域。文中所讨论的问题是将限制角问题转化为带限函数问题，并由卷积反投影给 出了限制角图像重建的迭代算法，通过数值模拟，验证了其较好的重建效果。虽 然这种方法较以前图像效果有了明显改善，但是小角度问题仍然存在，还有待于 作进一步的研究。 带限信号外推在光学信号处理、谱估计等领域都有广泛的应用，是不完全数据 重建中的重要部分。文中主要对带限函数的外推展开讨论，首先对经典的g e r 蝴酽 p 印0 u l i s 算法( 以下简称g p 算法) 进行了推广，将函数，从一维情况推广到了竹维 空间，并且时间域b 由g - p 算法中的对称区间，推广到时间域b 为任意有界区域， 解决了g p 算法的局限性，借助泛函知识给出收敛性证明，并对一维情况进行了数 值模拟，效果很好。 2 3 北京交通大学硕士学位论文参考文献 参考文献 【l 】r n b r